9. Základní statistické pojmy.
|
|
- Štefan Čech
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 9. Základí statstcké pojmy. Úvodí formace Statstka je často představováa jako pouhý sběr čísel ebo jm podobých údajů. Původí výzam toho slova skutečě souvsí se sběrem formací o státu ( z latského status stát ) počtu obyvatel, sídel, o výběru daí atd. I des exstují sttuce, které se zabývají takovýmto sběrem dat, v ČR je to Český statstcký úřad. Sbírá a zveřejňuje ěkteré formace o obcích, průmyslu, ekoomce, o demografckém rozvoj státu. Pod pojmem statstka des však mííme mohem více, statstka se v jstém slova smyslu stala jazykem pro prác s daty, pro jejch zpracováí a terpretac. Ze statstky se stala rozvutá vědecká metoda aalýzy dat, která achází šroké uplatěí v přírodích společeských vědách ve společost vůbec. Př vlastí prax uplatňujeme dva způsoby přístupu k údajům. Především je to přístup k formacím vějšího prostředí a posléze aše reflexe a tyto údaje ve formě zobecěí. Například př porováváí sledovaost televzích kaálů eoslovujeme všechy domácost, ale z pečlvě vybraých domácostí a jejch sledovaost televze číme závěry platé pro všechy domácost. Proces zobecňováí pozatků azýváme duktvím způsobem usuzováí ( dukcí ) apř. zobecěí sledovaost ve výběru a všechy domácost. Schopost přjímat ové pozatky a z ch se učt a vyvozovat závěry jsou jedím ze základích rysů ldského uvažováí. Druhým způsobem uvažováí je prcp deduktvího přístupu k údajům ( dedukce ). Př deduktvím přístupu číme závěry z obecých zákotostí. Závěry myšlekových procesů duktvího charakteru jsou ovlvěy postojem subjektu. Iduktví statstka se zabývá způsoby jak přeášet závěry takovýchto procesů, umožňuje z pozorovaých dat vytvářet obecé závěry s určeím jejch spolehlvost. Výpočty takových spolehlvostí jsou založey a pozatcích teore pravděpodobost a jsou proto objektví. Statstcký soubor a výběry Jedím ze základích pojmů, s kterým se budeme setkávat stále jsou populace ( statstcký soubor ) a výběr. Populace je moža všech prvků, které jsou předmětem daého statstckého zkoumáí. Každý z prvků je statstckou jedotkou. Prvky tvořící statstcký soubor jsou buď dáy prostě výčtem ebo mají určté společé vlastost - tzv. detfkačí zaky - umožňující určt, zda prvek do daého statstckého souboru patří ebo epatří. Idetfkačí zaky tedy statstcký soubor mohou vymezovat. Z hledska velkost je zřejmé, že větša populací bude mít koečý rozsah, ekoečý rozsah budou mít takové populace, které jsou určey zakem, který můžeme hypotetcky ekoečěkrát opakovat ( apř. měříme hmotost po pokusu, teplotu atd. ). Podle počtu sledovaých zaků je potom takováto populace jedorozměré č vícerozměrá ( sledujeme dva a více zaků apř. teplotu, tlak; komukatvost, telgec atd. ). Pro vlastí popsáí populací se používá metoda parametrů charakterstk. Jde o číselé hodoty, které jsou většou pevá čísla. Jejch hodota eí záma a je uto j zjstt č odhadou vhodým statstckým metodam. Zaky, které sledujeme v populac mají obecě buď charakter kvattatví ( lze je vyjádřt číslem apř. délka, hmotost, teplota ) a kvaltatví ( jsou většou vyjádřey textem ). Kvattatví zaky dělíme dále a spojté výsledky zkoumáí mohou abývat hodot ěkterého tervalu ( teplota, délka ) a dskrétí jestlže exstuje je koečě moho možých stavů zaku ( apř. počet dětí v rodě, počet vykvetlých rostl atd. ).
2 K vlastímu měřeí kvattatvích údajů používáme buď tervalových ebo poměrových stupc. Jestlže chceme zjstt je rozdíl mez kvaltatvím hodotam, používáme tervalovou stupc ( v takovýchto stupcích je počátek vole apř. 0 C, stupce výšky tóu, stupce bolest atd. ). Př takovémto způsobu měřeí je většou esmyslé ozačeí prvek a má hodotu zaku x větší ež prvek b, eboť počátek je možo volt růzě ( apř. teplota ). Pokud chceme měřt údaje ve vztahu k pevým jedotkám ( váha, vzdáleost ) používáme stupc poměrovou. Kvaltatví zaky se sažíme také měřt, používáme k tomu omálí ( pojem ) a ordálí ( pořadí ) stupc. Nomálí stupce je složea z ejméě dvou avzájem se vylučujících tříd. Jestlže jsou třídy právě dvě azývá se dchotomcká. Příklady takovéto stupce: pohlaví / mužské, žeské /; barva / modrá, zeleá, červeá, bílá /. Příkladem takovéto klasfkace je také. mezárodí stupce emocí, úrazů a příč smrt. Čísla, která jsou přřazea jedotlvým chorobám c evypovídají o daé chorobě. Ordálí stupce je založea opět a eslučtelých třídách, ale ty jsou ještě avzájem uspořádáy. Příklady takovýchto stupc: ejvyšší úroveň vzděláí / egramotý, základí, středí, vysokoškolské / ; srozumtelost / žádá, malá, středí, uspokojvá, vykající/. V tabulkách 9. a 9. íže jsou uvedey způsoby použtí jedotlvých stupc. Tabulka 9. Typ stupce Použtí pro data Přípusté změy Charakterstky rozděleí Nomálí stupce Jsme schop rozhodout o rozdílu mez jedotlvým prvky populace a o jejch zařazeí do tříd Permutace, přejmeováí Absolutí četost, relatví četost, modus Ordálí stupce Navíc: Umíme určt, který prvek je meší a který větší a zařadt je do správých tříd Možo změt pomocí mootóí trasformace ( rostoucí ) Dále: Kumulatví četost, pořadí, kvatly, medá, pořadové hodoty Itervalová stupce Navíc: Umíme staovt relatví ulový bod ( počátek ) a zjstt vztah prvků vůč ěmu ( rozdíly!) Leárí změa - posuutí a zmešeí ebo zvětšeí ( y = a x + b ) Dále: Artmetcký průměr, směrodatá odchylka, škmost, špčatost Poměrová stupce Navíc: Umíme staovt absolutí ulový bod ( počátek ) a zjstt vztah prvků vůč ěmu ( podíly!) Změa je zvětšeí ebo zmešeí ( kladé ) tj. y = a x ( a > 0 ) Dále: Ostatí průměry ( harmocký, geometrcký ), varačí koefcet Tabulka 9. Typ stupce Testy Závslost, ezávslost Nomálí stupce c - testy Kotgečí koefcety, čtyřpolíčkový koefcet Ordálí stupce Dále: Pořadové testy, Kolmogor - Smrův test, U - test Pořadový korelačí koefcet Itervalová stupce Dále: Parametrcké testy odvozeé Korelačí koefcet, bserálí z N(0,) koefcety Poměrová stupce Stejě jako výše Stejě jako výše Pro vyšetřeí populace používáme růzý způsob přístupu k datům : Provádíme buď statstcký pokus, statstcké šetřeí ebo pozorovací stud. Účelem statstckého pokusu je pláovtě mět faktory ( podmíky ) a sledovat jejch vlv a změu vyšetřovaých zaků. Výběr prvků s mž expermetujme provádíme
3 zásadě áhodě, aby edošlo k vychýleí výsledých hodot. Př tzv. kotrolovaém pokusu rozdělíme vyšetřovaé skupy a pokusé a kotrolí. U pokusé skupy byla provedey změa, u kotrolí kol. Aby byl pokus dostatečě objektví, je uto, aby obě skupy byly rovoceé jak a začátku pokusu, tak v jeho průběhu. Chceme l zabrát příosu subjektví formací volíme často prcp tzv. slepého pokusu, aby te kdo údaje vyhodocuje ( apř. lékař ) evěděl, která skupa je kotrolí a která je pokusá. Jestlže a vyšetřovaý subjekt eví zda je v pokusé ebo kotrolí skupě azýváme teto prcp dvojté utajeí ebo dvojtý slepý pokus. Je vdět, že prcp áhodého výběru a rozděleí a pokusou a kotrolí skupu zlepšuje výsledky ( odstraňujeme eobjektvtu a závslost ). Někdy ovšem eí možé získávat data mapulací s prvky populace. Neí možo provádět statstcký pokus, můžeme však jedoduše pozorovat jak probíhají změy a regstrovat je. Takovému přístupu říkáme statstcké šetřeí ebo pozorovací stude. Používáme ho tehdy, kdy emůžeme využít prcp áhody ( případy, kdy rozložeí zaků v populac je dáo apř. vzděláí, pohlaví a v pokusu by ebylo respektováo) ; ěkdy eí možo realzovat statstcký pokus z etckých důvodů ( mapulace s ldm ). Vdíme tedy, že v případě statstckého šetřeí se spokojujeme s pasvím sběrem dat. Problémem takovýchto studí je, že pozorovaý jev je velm často ovlvě ežádoucím zaky. Pro pojem úplého šetřeí tj. šetřeí provedeého a celé populac se vžl pojem cesus ( sčítáí ldu ). Pro jeho vysoké ekoomcké áklady se provádí v aší republce jedou za deset let. Každé statstcké šetřeí v podobě cesu by bylo především ekoomcky velm áročé. Ve většě případů te, kdo chce provést statstcké šetřeí má omezeé zdroje ( face, čas ). Někdy je k dspozc je málo údajů ( šetřeí vzácé choroby ebo zvláštího chováí pacetů ). Př dalších šetřeích bychom musel populac zčt ( apříklad sledováí žvotost výrobků ), proto se zabýváme prcpem výběru část populace. Výběr může ést přesější výsledky ež úplé šetřeí ( př velkém možství chyb vou eodborých špatě proškoleých pozorovatelů vzke chyba eodstratelá ). Jakákol část populace, která dobře odráží její strukturu ( především vyšetřovaé zaky ) se azve reprezetatvím výběrem. Ostatí typy výběru se azývají selektví výběry, většou dávají zkresleý obrázek o vyšetřovaé populac. Příkladem selektvího výběru je vzorek vysokoškolských profesorů, z ěhož budeme usuzovat a vzdělaost celé populace. Je jsté, že struktura vzdělaost v ašem výběru bude začě vychýlea prot celé populac. Výběry pořzujeme metodam áhodého výběru ebo metodam záměrého výběru. Metoda záměrého výběru se opírá expertí staovska k vytvořeí represetatvího výběru ( prováděa často v psycholog, socolog ). Jsou často závslé a subjektu experta. Metoda áhodého výběru umožňuje vybírat prvky populace áhodě a ezávsle a subjektech. Podle způsobu provedeí rozlšujeme ěkolk druhů áhodého výběru: Prostý áhodý výběr provádě většou metodou losováí ( každý prvek populace může být vylosová ). Dříve se prováděl pomocí tabulek áhodých čísel, des možo použít vhodý geerátor áhodých čísel růzých statstckých, ale estatstckých programů. Mechacký výběr jde o jstou formu prostého výběru, ejdříve áhodě očísluj prvky populace a poté zvolím pevé číslo. Všechy prvky, které získám vždy o pevý zadaý krok budou v daém výběru. Pokud eprovedeme a začátku áhodé očíslováí, ale číslováí je už vytvořeo musí dbát a to, aby krok výběru esouvsel s číslováím. Oblastí výběr. Celá populace je rozdělea do částí oblastí tak, aby se ve sledovaých zacích se od sebe velm odlšoval, v rámc jedé oblast jsou sledovaé
4 zaky málo odlšé. V jedotlvých oblastech potom provedeme prostý výběr. Spojeím všech takovýchto dílčích výběrů získáme celý hledaý výběr. Skupový výběr. V případě populací, které čítají statsíce ebo mloy prvků je skoro emožé předchozím metodam vytvořt áhodý výběr. Vyžíváme proto přrozeé rozděleí populace a meší celky ebo vytváříme vlastí umělé děleí. Požadujeme, aby prvky ( skupy ) děleí byly pokud možo stejě velké a vyšetřovaé zaky heterogeí v rámc jedé skupy. Varablta mez jedotlvým skupam by měla být co ejmeší. Vícestupňový výběr. Provádí se tehdy, kdy exstuje herarchcký pops celé populace ( geografcký, socálí model ). Popsá statstka Popsá statstka (deskrptví statstka) se zabývá popsem stavu ebo vývoje hromadých jevů. Nejprve se vymezí soubor prvků, a chž se bude uvažovaý jev zkoumat. Následě se všechy prvky vyšetří z hledska studovaého jevu. Výsledky šetřeí - kvaltatví kvattatví, vyjádřey především číselým popsem - tvoří obraz studovaého hromadého jevu vzhledem k vyšetřovaému souboru. V předchozí část jsme studoval pojem statstckého výběru. V této část budeme předpokládat, že jsme provedl výběr z populace a budeme se sažt z těchto dat získat údaje o vlastostech základího souboru. Grafcké zázorěí výběrových rozděleí je uvedeo v ásledující kaptole. V této kaptole budeme využívat data z tabulky 9.3 Tabulka 9.3: Rozděleí měsíčích ákladů studetů a bydleí Pořadí Náklady Pořadí Náklady Pořadí Náklady Uveďme dále důležté pojmy, které budeme eustále využívat. Četost ( absolutí ) hodoty x je daá počtem prvků x ve výběru. Relatví četost hodoty x je daá podílem absolutí četost a celkového počtu prvků ve výběru. Kumulatví absolutí četost hodoty x je daá součtem všech absolutích četostí prvků, které jsou meší ebo rovy prvku x. Kumulatví relatví četost hodoty x je dáa součtem všech relatvích četostí prvků, které jsou meší ebo rovy prvku x. Míry polohy Jde o číselé hodoty pomocí, chž určujeme polohu míst, kolem kterých jsou data ejvíce umístěy. Průměr Průměr x se používá v případě kvattatvích zaků. Je velm ctlvý a odlehlé hodoty. Průměr hodot x, x,, x vypočteme takto
5 x x + x x x = = (9.). Pro aše data je x = 4, 33. Někdy jsou data uvedea v tabulce včetě svých absolutích četostí ( počtu opakováí ), potom počítáme průměr jako tzv. vážeý průměr: k. x x = (9.) V tomto případě jsou data rozdělea a k skup o k prvcích. Pokud jsou data uvedea v tabulce roztříděých dat ( původí dat jsou ahrazea příslušostí do jedoho z vybraých tervalů ) vytvoříme ejprve střed tervalu ( bude ahrazovat všecha data uvedeá v daém tervalu ) a pak z těchto hodot vytvoříme podle vztahu (9.) průměr. Tabulka 9.4 třídí rozděleí četostí: Rozpětí četost Hodota středů tervalů je 50, 750,, 450. Spočítáme l průměr podle vzorce (9.) je hodota třídího průměru rova 733,7. Je vdět, že hodota tohoto průměru velm závsí a správé volbě rozpětí třídy. Pro vytvořeí stejě velkých tříd o počtu k z celkem prvků je možo použít tzv. Sturgesovo pravdlo k º + 3,3. log 0 (9.3) Například pro áš případ je = 30 a tedy hodota k º 5,8745. Tedy volíme k = 6. Uveďme dále ěkteré důležté vlastost průměru: a) Jestlže ke každé hodotě x ve výběru přčteme kostatu k, zvětší se o kostatu k také původí průměr ( k může být lbovolé reálé číslo ). b) Násobíme l každou hodotu ve výběru x stejou kostatou m, vypočteme ový průměr jako souč starého průměru a kostaty m c) Součet odchylek všech hodot x ve výběru od jejch průměru x je rove ule ( x) = 0 x (9.4) d) Součet čtverců odchylek všech hodot od jejch průměru je meší ež součet čtverců odchylek všech hodot od lbovolé jé hodoty. a x ( ) ( ) x x a x (9.5)
6 Těchto vlastostí průměru využíváme také k tomu, abychom upravl vstupí hodoty jejch zmešeím ( resp. zvětšeím ) a posuutím. Průměr se používá jako číselá charakterstka protože: a) Je jedozačý b) Je leárí c) Je spolehlvou číselou hodotou. Průměr epoužjeme, jestlže a) Rozděleí je vícevrcholové b) Rozděleí má a krajích otevřeé třídy c) Údaje ejsou škálovaé metrcky, ale ordálě d) Výběr je extrémě malý e) Rozděleí je asymetrcké Modus Modus xˆ je hodota, která se vyskytuje ejčastěj. Podle tabulky 9. ho můžeme zjšťovat zaků, které jsou kvaltatví, dokoce omálí. Neí ovlvňová všem prvky ve výběru. Jestlže je četost všech prvků ve výběru stejá, modus eurčujeme. Jestlže dvě ebo více avzájem sousedících hodot abývají stejé ejvětší četost, pak artmetcký průměr z těchto hodot azveme modulem. Jestlže exstují dvě avzájem esousedící hodoty s ejvětším stejým četostm, uvádíme obě jako modus. Rozděleí je pak dvou vrcholové ( bmodálí ). Jž ze samé defce modusu je jasé, že tato charakterstka velm závsí a výběru a většou velm kolísá. Příklad Zjstěte modus šetřeí výběru barev respodetů bílá, červeá, modrá, červeá, zeleá, bílá, červeá, modrá, bílá, červeá. Odpověď : Nejčetější výskyt má a modus je červeá. Příklad Zjstěte hodotu modusu pro data z aší tabulky 9.9. Odpověď: Podle tabulky je x ˆ = 90. Jestlže jsou kvattatví zaky uspořádáy do třídí tabulky, určíme ejdříve modálí terval x D ( s ejvyšší četostí ) a modus staovíme terpolací xˆ = xd + h. (9.6) + m kde h je délka modálího tervalu, je četost, x D je dolí hrace tohoto tervalu, je četost ásledujícího tervalu a m četost předchozího tervalu. Aplkujme vzorec (9.6) a data z tabulky 9.4 xˆ = xd + h. = = 583,33. + m 6 Vdíme tedy, že modus zjštěý podle vzorce (9.6) může být výrazě odlšý od modusu skutečého. Kvatly a medá Přrozeou mírou jsou kvatly. Daý výběr se ejdříve seřadí od ejmeší hodoty po ejvětší a poté určíme pro daý p% kvatl pořadové číslo jedotky p, pro které platí
7 p p. < p <. +, (9.7) kde je počet prvků výběru. Pro hodotu p = 50% se daý kvatl ozačuje medá ~ x. Jestlže je počet sudé číslo, vypočteme medá jako průměrou hodotu z hodot stojících vlevo a vpravo od teoretckého medáu určeého vzorcem (9.7). Medá popsuje hodotu, která dělí daý výběr a dvě stejě velké část. V ašem příkladě je ~ x = = 785. Další výzamé kvatty jsou : Dolí kvartl x 0,5 je urče jako 5% kvatl. Horí kvartl x 0,75 je urče jako 75% kvatl. V ašem případě je x 0,5 = 080 a x 0,75 = Pro hodoty kvartlů vytváříme ještě jedu míru ( jde o míru varablty ) a to kvartlové rozpětí R q = x 0,75 - x 0,5 V ašem případě je R q = = 90. Pro hodoty p=0,0,,90 azýváme takto spočteé kvatly ázvy decly. Pro hodoty p =,,3,,99 azýváme podobě kvatly jako percetly. Pomocí kvartlů je také možo velm přehledě zázort data v grafu s ázvem Box Plot( krabcový graf ). Pomocí ěho můžeme rozdělt data z výběru a vtří, vější a odlehlá. Vytváříme ho ásledujícím způsobem: Základím prvkem grafu je obdélík, jehož hray tvoří hodoty dolího a horího kvartlu uvtř tohoto obdélíku je 50% hodot výběru. Uvtř je svslou čarou vyzače medá, popř. tečkou průměr ( křížkem modus). Z obdélíku vedou dvě úsečky kolmé k hraám, jejchž délka je dáa vzdáleostí vtřích hradeb od hray obdélíku. Vtří hradby se vypočtou tímto předpsem h D = x 0,5,5. ( x 0,75 x 0,5 ) (9.8) h H = x 0,75 +,5. ( x 0,75 x 0,5 ) (9.9) V ašem případě jsou h D = 080,5. 90 = -800 a h H = 3000+,5.90 =5865. Dále se počítají vější hradby H D = x 0,5.(,5. ( x 0,75 x 0,5 )) (9.0) H H = x 0,75 +.(,5. ( x 0,75 x 0,5 )) (9.) V ašem případě je H D = = a H H = = Hradby slouží pro detfkac dat ve výběru. Hodoty uvtř vtřích hradeb jsou hodoty přlehlé; hodoty mez vtřím a vějším hradbam jsou hodoty vější a hodoty vě vějších hradeb jsou hodoty vzdáleé ebo jak odlehlé. Do grafu se zakresluje mmum a maxmum jako body.
8 Jestlže máme data uvedea v třídí tabulce musíme p% kvatl počítat pomocí leárí terpolace x p xd p D =, (9.) x x H D H D kde x D je dolí a x H je horí mez tervalu v ěmž leží daý kvatl; D je kumulatví relatví četost odpovídající x D a H je kumulatví relatví četost odpovídající x H.Zjstěme hodotu kvatlu pro áš případ tabulky 9.4: ~ x 500 0,5 0,33 = ~ x = 854, ,57 0,33 Použtí medáu je vhodé př rozděleích s otevřeým třídam, pro ordálí hodoty, pro velm symetrcká rozděleí. Geometrcký průměr Provádí se je pro hodoty ve výběru, které jsou kladé. Jeho ozačeí je G a spočítá se jako tá odmoca ze souču hodot x. Používáme ho, jak je zřejmé z defce, a kvatfkovatelé zaky měřeé a poměrové stupc. Používá se k určeí průměré změy velkost, jestlže předpokládáme, že tato změa je kostatí ( multplkatvě ). G = x. x.. (9.3) x Harmocký průměr Harmocký průměr H zjstíme jako podíl počtu hodot a součtu převráceých hodot výběru. H = (9.4) x Míry varablty Pomocí je měr polohy elze přesě popsat výběr, protože moho dat má stejé ebo přblžě stejé hodoty jedotlvých parametrů měr polohy, přesto jsou a prví pohled odlšé. Na obrázku íže je uvede případ tří skup dat, která mají stejý průměr, modus, medá a přesto jsou odlšá. Odlšost vdíme v soustředěí hodot kolem průměru. Toto soustředěí budeme studovat pomocí růzých měr varablty.
9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, Varačí rozpětí Varačí rozpětí R se vypočte jako rozdíl mez ejvětší a ejmeší hodotou výběru. R = x max x m (9.5) Pokračujme dále v ašem příkladě, hodota R = = Výhodou této míry je jedoduchost určeí a porozuměí. Je však málo stablí vzhledem k počtu čleů výběru. Používá se proto je u malých výběrů ( ). Výrazě závsí a velkost výběru. Proto emůžeme mez sebou porovávat jedotlvé hodoty varačího rozpětí z růzě velkých výběrů. Nedává spolehlvé odhady rozptylu základího souboru. Průměrá odchylka Průměrou odchylku e výběru defujeme jako artmetcký průměr z absolutích hodot odchylek všech hodot výběru od průměru x x e = (9.6) Uvádíme j je pro úplost. Je málo stablí vzhledem k velkost výběru a dává espolehlvé odhady pro rozptyl. Rozptyl a směrodatá odchylka Nejužívaější mírou varablty je rozptyl ( resp. směrodatá odchylka ). Pomocí ěho měříme velkost čtverců odchylek jedotlvých hodot výběru od průměru. Ozačujeme ho většou symbolem s a azýváme ho výběrovým rozptylem s =. ( x x ), (9.7) = Všměme s, že př výpočtu edělíme součet odchylek čtverců hodotou ( jako př defc klasckého rozptylu ), ale hodotou ( azývaou také počtem stupňů volost ). Je to provedeo proto, že získáme lepší odhad skutečého rozptylu s populace. Výběrová směrodatá odchylka se ozačuje symbolem s a je rova odmocě z výběrového rozptylu s =. ( x x), (9.8)
10 Pro vlastí výpočet se hodí já forma vzorce (9.7) s = x x = x x, =,,, (9.9) Použjeme l vzorce a určeí rozptylu pro data z tabulky 9.3 získáme s = 09733,448 a hodota s = 009,8. Jsou l hodoty x výběru uvedeé včetě četostí potom přejde vzorec (9.6) a s k ( x x) =.. x. x k =.., 9.0) kde k je počet všech růzých hodot ve výběru a je celkový počet prvků výběru. Jestlže jsou data uvedea pomocí tříděí do tervalů apř. data z tabulky 9.4, potom většou hodoty x zameají středy třídích tervalů a počet dat v tomto tervalu. Pokud jsou třídí tervaly ekvdstatí ( mají pevou délku ) s rozměrem h bude výpočet podle vzorce (9.0) zatíže chybou. Tuto chybu opravujeme pomocí tzv. Sheppardovy korekce h s kor = s (9.) Použjeme l opět aše data z tabulky 9.4 získáme : Nekorgovaé hodoty s = a s = 00,49; Korgovaé hodoty s kor = 98666,7 a s kor = 990,7909. Velm často astává případ, že celý výběr je z určtých důvodů rozděle do k dílčích částí. V té část je počet prvků rove, průměr je rove x a výběrový rozptyl s. Potom můžeme počítat celkový výběrový rozptyl s jako s. k k ( ). s +.( x x) = (9.) Z předchozího vzorce vyplývá, že celkový výběrový rozptyl s můžeme rozložt a dvě část a vtroskupový a mezskupový. Vtroskupovým výběrovým rozptylem sledujeme varabltu uvtř jedotlvých skup a mezskupovým výběrovým rozptylem varabltu mez těmto skupam. Takovéto metody rozděleí celkové varablty a ezávslé část budeme dále využívat v část Aalýza rozptylu ( ANOVA ). Výběrový rozptyl ezávsí a zvětšeí č zmešeí všech hodot výběru o kostatu. Jestlže všechy hodoty výběru zvětšíte m - krát, zvětší se výběrový rozptyl m krát. Těchto vlastostí velm často využíváme pro úpravu původí tabulky dat tím, že všechy hodoty posueme - volba ového počátku a výrazě zmešíme ( zvětšíme ) volba ové jedotky.
11 Varačí koefcet Nechť má výběr čleů s průměrem x a směrodatou odchylkou s. Potom varačí koefcet výběru v je daý vztahem s v =.00% (9.3) x Používáme ho, když chceme porovat varabltu růzých zaků ve výběru ebo mez růzým výběry. Charakterstky tvaru rozděleí Výběrová míra škmost Jde o číselý údaj, který vypovídá o o souměrost č esouměrost tvaru rozděleí. Ozačuje se symbolem a. a = ( x x ) 3 s. 3, (9.4) kde je počet čleů výběru, s je hodota výběrové směrodaté odchylky, x je průměr a x je kokrétí hodota výběru. Je l rozděleí souměré, je hodota a = 0. Rozděleí je tím esousměrější, čím se hodota a více lší od uly. Je l jeho hodota kladá, potom je rozděleí zeškmeo kladě ( ve výběru je větší kocetrace meších hodot ). Je l jeho hodota záporá, potom je zeškmeo záporě (ve výběru je větší kocetrace větších hodot). Pokračujme s aším příkladem, s daty z tabulky 9.9. Níže vdíme data v grafu. Polygo četostí 3,5 3,5,5 0, Hodota míry škmost pro aše hodoty a =. Je tedy kladá a data jsou zeškmea kladě. Výběrová míra špčatost. Tato míra popsuje stupeň kocetrace hodot zaku kolem charakterstky úrově ( kolem průměru ). Stejé ahuštěí prostředích krajích hodot vede k plochost ( hodota míry je potom záporá ), větší ahuštěí prostředích hodot se projevuje špčatostí rozděleí( hodota míry je kladá. Tato míra porovává daé rozděleí s ormovaým ormálím rozděleím N(0,) ( má hodotu špčatost rovu ule ). Vypočte se podle vztahu
12 4 ( x x) = 4 b 3, (9.5) s. ozačuje se symbolem b. Hodota špčatost pro aše data z tabulky 9.3 je rova 0,93. Rozděleí je ploché, což je vdět z polygou četostí. Grafcké zobrazeí dat Pro presetac statstckých údajů je velm působvé používat růzé grafcké způsoby. Každý typ grafckého zobrazeí hodot má svoje omezeí, ale zároveň svoje výhody. Kromě klasckých typů se k zobrazováí statstckých dat hodí specálí grafy, jede typ jsme už měl možost vdět v část 0 Kvatly a medá šlo o tzv. Box Plot ebol Krabcový graf. V dalším s ukážeme možé grafy pro presetac údajů. Běžé grafy Bodový graf Zázorňuje hodoty pomocí bodů,většou v pravoúhlé soustavě. Používá se většou k zachyceí závslostí právě dvou statstckých zaků. Př více ež dvou zacích jeho jedoduchost mzí a stává se méě přehledým. Nelze pomocí ěho vysthout data s větší četostí. Graf 9. velkost ákladů v závslost a pořadí Náklady Náklady Spojcový graf Jestlže chceme zázort velké možství hodot, chceme l vysthout průběh časové řady hodí se k tomu více spojcový graf. Používá se také k vyjádřeí předpokladu o spojtost vyšetřovaého zaku. Jestlže se pomocí ěho vyjadřuje rozložeí absolutích ebo relatvích četostí ve výběru, azýváme se polygo četostí.
13 Graf 9. sloupcový graf, vyjadřuje změu ákladů Náklady Po změě Sloupcový graf Sloupcový graf vyjadřuje jedoduché závslost mez dvěma hodotam, velm často jsou jedotlvé prvky výběru seskupováy do tříd. Exstuje ěkolk typů těchto grafů klascké sloupcové, sloupcové s procetím rozložeím, trojrozměré sloupcové grafy. Klascká ukázka je uvedea v grafu 9.3 Graf 9.3- rozděleí ákladů do tříd Sloupcový graf četostí četost Hstogram Svou defcí je to sloupcový graf, který se používá k zázorěí absolutích ebo relatvích četostí (většou )spojtého zaku. Sloupce v grafu jsou zásadě vertkálí,šířka sloupce odpovídá velkost třídy a celková plocha sloupce odpovídá četost prvků třídy ve výběru Hstogram
14 Kruhový graf Zobrazuje hodoty jako výseče v kruhu a tím se zachytí struktura výběru. Předchozí data jsou zobrazea v kruhovém grafu ( koláč, výsečový graf ) takto 9% % 9% 6% 6% % 38% % Specálí statstcké grafy Jedím z užívaých grafckých způsobů je dříve uvedeý hstogram. V současé době exstuje moho profesoálích způsobů presetace statstckých dat. V část 0 Kvatly a medá jsme zavedl velm užtečý typ Box Plot český ekvvalet ázvu je Krabcový graf. Statstckých grafů exstuje velké možství, zaměříme se a ěkteré specálí. Kvatlový graf Jde typ grafu, kterým můžeme přehledě zázort data, porovat je se zámým rozděleím, ajít vybočující hodoty atd. Na osu x aášíme pořadovou pravděpodobost teoretckého rozděleí, a osu y skutečé kvatly daých dat. Na grafu íže je uvedeo porováí výběru s N(0,). Data se s hodotam teoretckého rozděleí eshodují, zjevě vybočují a krajích. 3 6% 0 - N(0,) výběr , 0,4 0,6 0,8 Teto typ grafu se velm často užívá pro prví porováí údajů především s ormálím ormovaým rozděleím. Dříve se k takovému porováí používal tzv. pravděpodobostí papír, des ho provádíme s pomocí počítače. Mez základí statstcká vyšetřováí patří rozhodutí, zda daý výběr patří ebo epatří k rozdělím symetrckým. K takovému rozhodutí ám pomáhá ásledující typ grafu:
15 Graf polosum Jeho kostrukce je založea a myšlece, že u symetrckého rozděleí je artmetcký průměr kvatlu p% a kvatlu (-p)% stejý a je rove medáu. Níže je uvede daý graf pro data vyšetřovaá v předchozí část. Symetrcká rozděleí jsou tedy charakterzováa přímkou y= x. Celkově je zřejmé,že data pochází ze symetrckého rozděleí Graf symetre Pomocí tohoto grafu je možo sledovat zak symetre výběru. Na osu x aášíme u P hodoty pro P = a a osu y stejé hodoty jako u předchozího grafu tedy hodoty + ( x x ) ( + ) ( ) osa x 50,37 5 0, 0,7 0, 0,7 0,3 0,37 Opět je zřejmé, že hodoty výběru jsou symetrcké, s výjmkou krajích hodot. Pomocí dalšího grafu je možo srovávat parametr špčatost s rozděleím N(0,). Graf špčatost Za předpokladu symetre je pro ormálí rozděleí grafem přímka. Pokud leží body a přímce s eulovou směrcí, je hodota této směrce odhadem výběrového parametru špčatost. Opět je zřejmé, že data odpovídají symetr, avíc můžeme z grafu odhadout výběrovou špčatost.
16 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0,5 0, 0,05 0 4, 4, 4,3 4,4 4,5 4,6
11. Popisná statistika
. Popsá statstka.. Pozámka: Př statstckém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákotost, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme statstcké jedotky. Př
VíceTento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i
: ometové míry polohy zahrují růzé druhy průměrů pomocí kterých můžeme charakterzovat cetrálí tedec dat ometové míry polohy jsou jedoduché číselé charakterstky které se vyčíslují ze všech prvků výběru
VíceIlustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.
Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95
VíceMendelova univerzita v Brně Statistika projekt
Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4
VíceDoc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Statsta statstcé údaje o hromadých jevech čost, terá vede zísáí statstcých údajů a jejch zpracováí teore statsty - věda o stavu, vztazích a vývoj
Více4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností
4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.
Více4. Základní statistické pojmy.
4. Základí statistické pojmy. 4. Úvodí iformace Statistika je často představováa jako pouhý sběr čísel ebo jim podobých údajů. Původí výzam toho slova skutečě souvisí se sběrem iformací o státu ( z latiského
VíceNejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A
Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota
Vícea další charakteristikou je četnost výběrového souboru n.
Předáška č. 8 Testováí rozptylu, testy relatví četost, testy dobré shody, test ezávslost kvaltatvích zaků Testy rozptylu Testy se používají k ověřeí hypotézy o určté velkost rozptylu a k ověřeí vztahu
VíceIlustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.
Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95
VíceStatistika. Jednotlivé prvky této množiny se nazývají prvky statistického souboru (statistické jednotky).
Statstka. Základí pojmy Statstcký soubo - daá koečá, epázdá moža M předmětů pozoováí, majících jsté společé vlastost (událost, věc,.) Jedotlvé pvky této možy se azývají pvky statstckého soubou (statstcké
VíceMetody zkoumání závislosti numerických proměnných
Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy
VíceOdhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme
VíceDeskriptivní statistika 1
Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky
VíceS1P Popisná statistika. Popisná statistika. Libor Žák
SP Popsá statstka Popsá statstka Lbor Žák SP Popsá statstka Lbor Žák Základí zdroje : skrpta Mateatka IV - doc. RNDr. Z. Karpíšek, CSc. ateatka o le - http://athole.fe.vutbr.cz/ Základ ateatcké statstk
VíceÚvod do korelační a regresní analýzy
Úvod do korelačí a regresí aalýz Bude ás zajímat, jak těsě spolu souvsí dva sledovaé jev Příklad: vztah mez rchlostí auta a brzdou dráhou vztah mez věkem žáka a rchlostí v běhu a 60 m vztah mez spotřebou
VíceOdhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt
Více3. Hodnocení přesnosti měření a vytyčování. Odchylky a tolerance ve výstavbě.
3. Hodoceí přesost měřeí a vytyčováí. Odchylky a tolerace ve výstavbě. 3.1 Úvod o měřeí obecě 3.2 Chyby měřeí a jejch děleí 3.2.1 Omyly a hrubé chyby 3.2.2 Systematcké chyby 3.2.3 Náhodé chyby 3.3 Výpočet
Více6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.
6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola
Více1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků
1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,
Více[ jednotky ] Chyby měření
Chyby měřeí Provedeme-l určté měřeí za stejých podmíek vícekrát, jedotlvá měřeí se mohou odlšovat (z důvodu koečé rozlšovací schopost měř. přístrojů, áhodých vlvů apod.). Chyba měřeí: e = x x x...přesá
Více5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC
5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém
Více11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad
. Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé
VíceVY_52_INOVACE_J 05 01
Název a adresa školy: Středí škola průmyslová a umělecká, Opava, příspěvková orgazace, Praskova 399/8, Opava, 74601 Název operačího programu: OP Vzděláváí pro kokureceschopost, oblast podpory 1.5 Regstračí
VíceChyby přímých měření. Úvod
Chyby přímých měřeí Úvod Př zjšťováí velkost sledovaé velčy dochází k růzým chybám, které ovlvňují celkový výsledek. V pra eestuje žádá metoda měřeí a měřcí zařízeí, které by bylo absolutě přesé, což zameá,
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
VíceSOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek
SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO Statstka I dstačí studjí opora Mla Křápek Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo Dube 3 Statstka I Vydala Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo. vydáí Zojmo, 3 ISBN
VícePro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).
STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,
Více1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL
Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,
Více14. Korelace Teoretické základy korelace Způsoby měření závislostí pro různé typy dat
4. Korelace 4. Teoretcké základy korelace 4. Způsoby měřeí závslostí pro růzé typy dat Př prác se statstckým údaj se velm často setkáváme s daty, která jsou tvořea dvojcem, trojcem hodot. Složky takovýchto
VíceSTATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson
STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,
VíceZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY
UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 OBSAH: ÚVOD... 4. CO JE STATISTIKA?... 4. STATISTICKÁ DATA... 5.3 MĚŘENÍ
VíceOdhady parametrů 1. Odhady parametrů
Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:
VícePřednáška č. 10 Analýza rozptylu při jednoduchém třídění
Předáška č. 0 Aalýza roztylu ř jedoduchém tříděí Aalýza roztylu je statstcká metoda, kterou se osuzuje romělvost oakovaých realzací áhodého okusu tj. romělvost áhodé velčy. Náhodá velča vzká za relatvě
VíceP2: Statistické zpracování dat
P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu
Více, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle
Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,
VíceTest dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:
Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám
Vícejsou varianty znaku) b) při intervalovém třídění (hodnoty x
Výběr z eřeštelých příkladů ze zkouškových testů Jde o výběr z tpů příkladů, jejchž úspěšost řešeí u zkoušek se blíží ule. Itervalové versus bodové tříděí V tabulce je uvedeo rozděleí četostí a) př bodovém
VíceGenerování dvojrozměrných rozdělení pomocí copulí
Pravděpodobost a matematcká statstka eerováí dvojrozměrých rozděleí pomocí copulí umbelova copule PRAHA 005 Vpracoval: JAN ZÁRUBA OBSAH: CÍL PRÁCE TEORIE Metoda verzí trasformace O copulích Sklarova věta
Více12. Neparametrické hypotézy
. Neparametrcké hypotézy V této část se budeme zabývat specálí částí teore statstckých hypotéz tzv. eparametrckým hypotézam ebo jak řečeo eparametrckým statstckým testy. Neparametrcké se azývají proto,
VíceBIVŠ. Pravděpodobnost a statistika
BIVŠ Pravděpodobost a statstka Úvod Skrpta Pravděpodobost a statstka jsou učebím tetem pro stejojmeý kurz magsterského studa Bakovího sttutu vysoké školy Kurzy Pravděpodobost a statstka a avazující kurz
Více1 EXPLORATORNÍ ANALÝZA PROMĚNNÝCH. Čas ke studiu kapitoly: 120 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umět použít
EXPLORATORNÍ ANALÝZA PROMĚNNÝCH Čas ke studu kaptoly: mut Cíl: Po prostudováí této kaptoly budete umět použít základí pojmy eploratorí (popsé) statstky typy datových proměých statstcké charakterstky a
Více13 Popisná statistika
13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický
VíceSpolehlivost a diagnostika
Spolehlvost a dagostka Složté systémy a jejch spolehlvost: Co je spolehlvost? Vlv spolehlvost kompoetů systému Návrh systému z hledska spolehlvost Aplkace - žvotě důležté systémy - vojeské aplkace Teore
VíceAPLIKOVANÁ STATISTIKA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA MANAGEMENTU A EKONOMIKY VE ZLÍNĚ APLIKOVANÁ STATISTIKA FRANTIŠEK PAVELKA PETR KLÍMEK ZLÍN 000 Recezoval: Haa Lošťáková Fratšek Pavelka, Petr Klímek, 000 ISBN 80 4
VíceÚvod do teorie měření
Uverzta Jaa Evagelsty Purkyě v Ústí ad Labem Přírodovědecká fakulta Úvod do teore měřeí Prof. Chlář emář 0 Průměr, rozptyl a směrodatá odchylka X = X = ( X X ) = = = Výpočty pomocí vzorců a pomocí statstckých
VíceTestování statistických hypotéz
Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bodové a intervalové odhady
SP Bodové a tervalové odhady PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a tervalové odhady Lbor Žák SP Bodové a tervalové odhady Lbor Žák Bodové a tervalové odhady Nechť je áhodá proměá, která má dstrbučí fukc
VícePřednáška č. 2 náhodné veličiny
Předáša č. áhodé velčy Pozámy záladím pojmům z počtu pravděpodobost Pozáma 1: Př výpočtu pravděpodobost áhodého jevu dle lascé defce je uté věovat pozorost způsobu formulace vybraého jevu. V ásledující
VíceNáhodné jevy, jevové pole, pravděpodobnost
S Náhodé jevy pravděpodobost Náhodé jevy jevové pole pravděpodobost Lbor Žák S Náhodé jevy pravděpodobost Lbor Žák Základí pojmy Expermet česky též vědecký pokus je soubor jedáí a pozorováí jehož účelem
VíceStatistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.
Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
Matematka IV PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Lbor Žák Matematka IV Lbor Žák Regresí aalýza Regresí aalýza zkoumá závslost mez ezávslým proměým X ( X,, X k a závsle proměou Y. Tato závslost se vjadřuje ve tvaru
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 2
SP3 Neparametrcké testy hypotéz PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Neparametrcké testy hypotéz čast Lbor Žák SP3 Neparametrcké testy hypotéz Lbor Žák Neparametrcké testy hypotéz - úvod Neparametrcké testy statstckých
VíceP1: Úvod do experimentálních metod
P1: Úvod do epermetálích metod Chyby a ejstoty měřeí - Každé měřeí je zatížeo určtou epřesostí, která je způsobea ejrůzějším egatvím vlvy, vyskytujícím se v procesu měřeí. - Výsledek měřeí se díky tomu
VícePopisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem
Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme
Více1. Základy měření neelektrických veličin
. Základ měřeí eelektrckých velč.. Měřcí řetězec Měřcí řetězec (měřcí soustava) je soubor měřcích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, ab blo ožě splt požadovaý úkol měřeí, tj. získat formac o velkost
Více1.1 Rozdělení pravděpodobnosti dvousložkového náhodného vektoru
Lekce Normálí rozděleí v rově V této lekc se udeme věovat měřeí korelačí závslost dvojce áhodých velč (dvousložkového áhodého vektoru) Vcházet udeme z ormálího rozděleí pravděpodoost áhodého vektoru v
VíceInterpolační křivky. Interpolace pomocí spline křivky. f 1. f 2. f n. x... x 2
Iterpolace pomocí sple křvky dáo: bodů v rově úkol: alézt takovou křvku, která daým body prochází y f f 2 f 0 f x0 x... x 2 x x Iterpolace pomocí sple křvky evýhodou polyomálí terpolace změa ěkterého z
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách
Více8. Zákony velkých čísel
8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy
VíceStatistické charakteristiky (míry)
Stattcé charaterty (míry) - hrují formac, obažeou v datech (vyjadřují j v ocetrovaé formě); - charaterzují záladí ryy zoumaého ouboru dat; - umožňují porováváí více ouborů. upy tattcých charatert :. charaterty
Více1.1 Definice a základní pojmy
Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých
Více1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor
1 Měřeí závlot tattckých zaků 1.1 Dvourozměrý tattcký oubor Př aalýze ekoomckých kutečotí á čato ezajímají jedotlvé velč jako takové, ale vztah mez m. Ptáme e, jak záví poptávka a ceě produktu, plat zamětaců
Více9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost
Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,
VíceUNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy
UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesé výchovy VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ STATISTICKÉ POSTUPY V ANTROPOMOTORICE Zdeěk Havel Davd Chlář 0 VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ
VíceZáklady statistiky. Petr Kladivo
mm Základy statstky Petr Kladvo Uverzta Palackého v Olomouc Přírodovědecká fakulta Základy statstky Petr Kladvo Olomouc 03 Opoet: RNDr. Šárka Brychtová, Ph.D. RNDr. Mloš Fňukal, Ph.D. Mgr. Petr Zemáek,
VíceMomenty a momentové charakteristiky
Lekce 3 Momety a mometové charaktertky Pokud jme e v předešlém výkladu zmňoval o ěkteré tattcké charaktertce, zpravdla jme rověž uváděl, zda j řadíme mez více ebo méě důležté. A byly to právě artmetcký
Více1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti
. Úvod do základích pojmů teore pravděpodobost. Úvodí pojmy Větša exaktích věd zobrazuje své výsledky rgorózě tj. výsledky jsou získáváy a základě přesých formulí a jsou jejch terpretací. Příkladem je
Víceodhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.
10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé
VíceStatistika - vícerozměrné metody
Statstka - vícerozměré metody Mgr. Mart Sebera, Ph.D. Katedra kezologe Masarykova uverzta Fakulta sportovích studí Bro 0 Obsah Obsah... Sezam obrázků... 4 Sezam tabulek... 4 Úvod... 6 Pojmy... 7 Náhodé
VíceZáklady statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková
Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují
Více6. P o p i s n á s t a t i s t i k a
6. P o p i s á s t a t i s t i k a 6.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí
VíceParametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti
1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto
VíceLABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Měření objemu tuhých těles přímou metodou
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATEDRA FYZIKY LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY Jméo: Petr Česák Datum měřeí:.3.000 Studjí rok: 999-000, Ročík: Datum odevzdáí: 6.3.000 Studjí skupa: 5 Laboratorí skupa:
VíceTéma 6: Indexy a diference
dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
SP4 Přpomeutí pojmů PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP4 Přpomeutí pojmů SP4 Přpomeutí pojmů Pravděpodobost Náhodý jev: - základí prostor - elemetárí áhodý jev A - áhodý jev, - emožý jev, jstý jev podjev opačý
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,
Vícevají statistické metody v biomedicíně
Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk
VíceOptimalizace portfolia
Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí
VíceElementární zpracování statistického souboru
Elemetárí zpracováí statistického souboru Obsah kapitoly 4. Elemetárí statistické zpracováí - parametrizace vhodými empirickými parametry Studijí cíle Naučit se výsledky měřeí parametrizovat vhodými empirickými
Vícevají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví
Statistika v biomedicísk ském výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Literatura Edice Biomedicísk ská statistika vydáva vaá a Uiverzitě
Více7 LIMITNÍ VĚTY. Čas ke studiu kapitoly: 70 minut. Cíl:
7 LIMITNÍ VĚTY Čas ke studu kaptoly: 70 mut Cíl: o prostudováí tohoto odstavce budete umět formulovat a používat lmtí věty aproxmovat já rozděleí rozděleím ormálím - 96 - Výklad: V této kaptole adefujeme
VíceSTATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK
STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK 04 prof. Ig. Bohuml Mařík, CSc. STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH.
VíceChyby měření: 1. hrubé chyby - nepozornost, omyl, únava pozorovatele... - významně převyšuje rozptyl náhodné chyby 2. systematické chyby - chybné
CHYBY MĚŘENÍ Opakovaé měřeí téže fyzkáí večy evede vždy k přesě stejým výsedkům. Této skutečost bychom se evyhu, kdybychom měřeí provádě s ejvětší důkadostí a precsostí aopak, čím ctvější a přesější jsou
Více6. Posloupnosti a jejich limity, řady
Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme
VíceDigitální učební materiál
Dgtálí učebí materál Číslo projetu CZ..07/.5.00/34.080 Název projetu Zvaltěí výuy prostředctvím ICT Číslo a ázev šabloy líčové atvty III/ Iovace a zvaltěí výuy prostředctvím ICT Příjemce podpory Gymázum,
Více2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;
. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité
VícePřednáška V. Úvod do teorie odhadu. Pojmy a principy teorie odhadu Nestranné odhady Metoda maximální věrohodnosti Průměr vs.
Předáška V. Úvod do teore odhadu Pojmy a prcpy teore odhadu Nestraé odhady Metoda mamálí věrohodost Průměr vs. medá Opakováí výběrová dstrbučí fukce Sestrojíme výběrovou dstrbučí fukc pro výšku a váhu
VíceLineární regrese ( ) 2
Leárí regrese Častým úolem je staoveí vzájemé závslost dvou (č více) fzálích velč a její matematcé vjádřeí. K tomuto účelu se používají růzé regresí metod, pomocí chž hledáme vhodou fuc f (), apromující
VíceČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE DIPLOMOVÁ PRÁCE
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE DIPLOMOVÁ PRÁCE Praha 8 Pavel Třasák ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE DIPLOMOVÁ
VíceNáhodný výběr 1. Náhodný výběr
Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti
Více2. Vícekriteriální a cílové programování
2. Vícerterálí a cílové programováí Úlohy vícerterálího programováí jsou úlohy, ve terých se a možě přípustých řešeí optmalzuje ěol salárích rterálích fucí. Moža přípustých řešeí je přtom defováa podobě
Víceveličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou
1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i
VíceOdhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:
Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy
VíceStatistická analýza dat
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Statstcká aalýza dat Učebí texty k semář Autor: Prof. RNDr. Mla Melou, DrSc. Datum: 5.. 011 Cetrum pro rozvoj výzkumu pokročlých řídcích a sezorckých techologí CZ.1.07/.3.00/09.0031
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Lbor Žák SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Posloupost áhodých proměých,,,, koverguje
VíceKomplexní čísla. Definice komplexních čísel
Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr
VíceIntervalové odhady parametrů některých rozdělení.
4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:
Více