4. Základní statistické pojmy.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "4. Základní statistické pojmy."

Transkript

1 4. Základí statistické pojmy. 4. Úvodí iformace Statistika je často představováa jako pouhý sběr čísel ebo jim podobých údajů. Původí výzam toho slova skutečě souvisí se sběrem iformací o státu ( z latiského status stát ) počtu obyvatel, sídel, o výběru daí atd. I des existují istituce, které se zabývají takovýmto sběrem dat, v ČR je to Český statistický úřad. Sbírá a zveřejňuje ěkteré iformace o obcích, průmyslu, ekoomice, o demografickém rozvoji státu. Pod pojmem statistika des však mííme mohem více, statistika se v jistém slova smyslu stala jazykem pro práci s daty, pro jejich zpracováí a iterpretaci. Ze statistiky se stala rozviutá vědecká metoda aalýzy dat, která achází široké uplatěí v přírodích i společeských vědách i ve společosti vůbec. Při vlastí praxi uplatňujeme dva způsoby přístupu k údajům. Především je to přístup k iformacím vějšího prostředí a posléze aše reflexe a tyto údaje ve formě zobecěí. Například při porováváí sledovaosti televizích kaálů eoslovujeme všechy domácosti, ale z pečlivě vybraých domácostí a jejich sledovaosti televize čiíme závěry platé pro všechy domácosti. Proces zobecňováí pozatků azýváme iduktivím způsobem usuzováí ( idukcí ) apř. zobecěí sledovaosti ve výběru a všechy domácosti. Schopost přijímat ové pozatky a z ich se učit a vyvozovat závěry jsou jedím ze základích rysů lidského uvažováí. Druhým způsobem uvažováí je pricip deduktivího přístupu k údajům ( dedukce ). Při deduktivím přístupu čiíme závěry z obecých zákoitostí. Závěry myšlekových procesů iduktivího charakteru jsou ovlivěy postojem subjektu. Iduktiví statistika se zabývá způsoby jak přeášet závěry takovýchto procesů, umožňuje z pozorovaých dat vytvářet obecé závěry s určeím jejich spolehlivosti. Výpočty takových spolehlivostí jsou založey a pozatcích teorie pravděpodobosti a jsou proto objektiví. 4. Statistický soubor a výběry Jedím ze základích pojmů, s kterými se budeme setkávat stále jsou populace ( statistický soubor ) a výběr. Populace je možia všech prvků, které jsou předmětem daého statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický soubor jsou buď dáy prostě výčtem ebo mají určité společé vlastosti - tzv. idetifikačí zaky - umožňující určit, zda prvek do daého statistického souboru patří ebo epatří. Idetifikačí zaky tedy statistický soubor mohou vymezovat. Z hlediska velikosti je zřejmé, že většia populací bude mít koečý rozsah, ekoečý rozsah budou mít takové populace, které jsou určey zakem, který můžeme hypoteticky ekoečěkrát opakovat ( apř. měříme hmotost po pokusu, teplotu atd. ). Podle počtu sledovaých zaků je potom takováto populace jedorozměré či vícerozměrá ( sledujeme dva a více zaků apř. teplotu, tlak; komuikativost, iteligeci atd. ). Pro vlastí popsáí populací se používá metoda parametrů charakteristik. Jde o číselé hodoty, které jsou většiou pevá čísla. Jejich hodota eí záma a je uto ji zjistit či odhadou vhodými statistickými metodami. Zaky, které sledujeme v populaci mají obecě buď charakter kvatitativí ( lze je vyjádřit číslem apř. délka, hmotost, teplota ) a kvalitativí ( jsou většiou vyjádřey textem ). Kvatitativí zaky dělíme dále a spojité výsledky zkoumáí mohou abývat hodot ěkterého itervalu ( teplota, délka ) a diskrétí jestliže existuje je koečě moho možých stavů zaku ( apř. počet dětí v rodiě, počet vykvetlých rostli atd. ).

2 K vlastímu měřeí kvatitativích údajů používáme buď itervalových ebo poměrových stupic. Jestliže chceme zjistit je rozdíl mezi kvalitativími hodotami, používáme itervalovou stupici ( v takovýchto stupicích je počátek vole apř. C, stupice výšky tóu, stupice bolesti atd. ). Při takovémto způsobu měřeí je většiou esmyslé ozačeí prvek a má hodotu zaku x větší ež prvek b, eboť počátek je možo volit růzě ( apř. teplota ). Pokud chceme měřit údaje ve vztahu k pevým jedotkám ( váha, vzdáleost ) používáme stupici poměrovou. Kvalitativí zaky se sažíme také měřit, používáme k tomu omiálí ( pojem ) a ordiálí ( pořadí ) stupici. Nomiálí stupice je složea z ejméě dvou avzájem se vylučujících tříd. Jestliže jsou třídy právě dvě azývá se dichotomická. Příklady takovéto stupice: pohlaví / mužské, žeské /; barva / modrá, zeleá, červeá, bílá /. Příkladem takovéto klasifikace je také. meziárodí stupice emocí, úrazů a příči smrti. Čísla, která jsou přiřazea jedotlivým chorobám ic evypovídají o daé chorobě. Ordiálí stupice je založea opět a eslučitelých třídách, ale ty jsou ještě avzájem uspořádáy. Příklady takovýchto stupic: ejvyšší úroveň vzděláí / egramotý, základí, středí, vysokoškolské / ; srozumitelost / žádá, malá, středí, uspokojivá, vyikající/. V tabulkách 4. a 4. íže jsou uvedey způsoby použití jedotlivých stupic. Tabulka 4. Typ stupice Použití pro data Přípusté změy Charakteristiky rozděleí Nomiálí stupice Jsme schopi rozhodout o rozdílu mezi jedotlivými prvky populace a o jejich zařazeí do tříd Permutace, přejmeováí Absolutí četost, relativí četost, modus Ordiálí stupice Navíc: Umíme určit, který prvek je meší a který větší a zařadit je do správých tříd Možo změit pomocí mootóí trasformace ( rostoucí ) Dále: Kumulativí četost, pořadí, kvatily, mediá, pořadové hodoty Itervalová stupice Navíc: Umíme staovit relativí ulový bod ( počátek ) a zjistit vztah prvků vůči ěmu ( rozdíly!) Lieárí změa - posuutí a zmešeí ebo zvětšeí ( y = a x + b ) Dále: Aritmetický průměr, směrodatá odchylka, šikmost, špičatost Poměrová stupice Tabulka 4. Navíc: Umíme staovit absolutí ulový bod ( počátek ) a zjistit vztah prvků vůči ěmu ( podíly!) Změa je zvětšeí ebo zmešeí ( kladé ) tj. y = a x ( a > ) Dále: Ostatí průměry ( harmoický, geometrický ), variačí koeficiet Typ stupice Testy Závislost, ezávislost Nomiálí stupice c - testy Kotigečí koeficiety, čtyřpolíčkový koeficiet Ordiálí stupice Dále: Pořadové testy, Kolmogor - Smirův test, U - test Pořadový korelačí koeficiet Itervalová stupice Dále: Parametrické testy odvozeé z Korelačí koeficiet, biseriálí N(,) koeficiety Poměrová stupice Stejě jako výše Stejě jako výše Pro vyšetřeí populace používáme růzý způsob přístupu k datům : Provádíme buď statistický pokus, statistické šetřeí ebo pozorovací studii. Účelem statistického pokusu je pláovitě měit faktory ( podmíky ) a sledovat jejich vliv a změu vyšetřovaých zaků. Výběr prvků s imiž experimetujme provádíme zásadě áhodě, aby edošlo k vychýleí výsledých hodot. Při tzv. kotrolovaém pokusu rozdělíme vyšetřovaé skupiy a

3 pokusé a kotrolí. U pokusé skupiy byla provedey změa, u kotrolí ikoli. Aby byl pokus dostatečě objektiví, je uto, aby obě skupiy byly rovoceé jak a začátku pokusu, tak i v jeho průběhu. Chceme li zabráit příosu subjektiví iformací volíme často pricip tzv. slepého pokusu, kdy te kdo údaje vyhodocuje ( apř. lékař ) evěděl, která skupia je kotrolí a která je pokusá. Jestliže ai vyšetřovaý subjekt eví zda je v pokusé ebo kotrolí skupiě azýváme teto pricip dvojité utajeí ebo dvojitý slepý pokus. Je vidět, že pricip áhodého výběru a rozděleí a pokusou a kotrolí skupiu zlepšuje výsledky ( odstraňujeme eobjektivitu a závislost ). Někdy ovšem eí možé získávat data maipulací s prvky populace. Neí možo provádět statistický pokus, můžeme však jedoduše pozorovat jak probíhají změy a registrovat je. Takovému přístupu říkáme statistické šetřeí ebo pozorovací studie. Používáme ho tehdy, kdy emůžeme využít pricip áhody ( případy, kdy rozložeí zaků v populaci je dáo apř. vzděláí, pohlaví a v pokusu by ebylo respektováo ; ěkdy eí možo realizovat statistický pokus z etických důvodů ( maipulace s lidmi ). Vidíme tedy, že v případě statistického šetřeí se spokojujeme s pasivím sběrem dat. Problémem takovýchto studií je, že pozorovaý jev je velmi často ovlivě ežádoucími zaky. Pro pojem úplého šetřeí tj. šetřeí provedeého a celé populaci se vžil pojem cesus ( sčítáí lidu ). Pro jeho vysoké ekoomické áklady se provádí v aší republice jedou za deset let. Každé statistické šetřeí v podobě cesu by bylo především ekoomicky velmi áročé. Ve většiě případů te, kdo chce provést statistické šetřeí má omezeé zdroje ( fiace, čas ). Někdy je k dispozici je málo údajů ( šetřeí vzácé choroby ebo zvláštího chováí pacietů ). Při dalších šetřeích bychom museli populaci zičit ( apříklad sledováí životosti výrobků ). Výběr může ést přesější výsledky ež úplé šetřeí ( při velkém možství chyb viou eodborých špatě proškoleých pozorovatelů vzike chyba eodstraitelá ). Jakákoli část populace, která dobře odráží její strukturu ( především vyšetřovaé zaky ) azveme reprezetativím výběrem. Ostatí typy výběru se azývají selektiví výběry, většiou dávají zkresleý obrázek o vyšetřovaé populaci. Příkladem selektivího výběru je vzorek vysokoškolských profesorů, z ěhož budeme usuzovat a vzdělaost celé populace. Je jisté, že struktura vzdělaosti v ašem výběru bude začě vychýlea proti celé populaci. Správé výběry pořizujeme metodami áhodého výběru ebo metodami záměrého výběru. Metoda záměrého výběru se opírá expertí staoviska k vytvořeí represetativího výběru ( prováděa často v psychologii, sociologii ). Jsou často závislé a subjektu experta. Metoda áhodého výběru umožňuje vybírat prvky populace áhodě a ezávisle a subjektech. Podle způsobu provedeí rozlišujeme ěkolik druhů áhodého výběru: Prostý áhodý výběr provádě většiou metodou losováí ( každý prvek populace může být vylosová ). Dříve se prováděl i pomocí tabulek áhodých čísel, des možo použít i vhodý geerátor áhodých čísel růzých statistických, ale i estatistických programů. Mechaický výběr jde o jistou formu prostého výběru, ejdříve áhodě očísluji prvky populace a poté zvolím pevé číslo. Všechy prvky, které získám vždy o pevý zadaý krok budou v daém výběru. Pokud eprovedeme a začátku áhodé očíslováí, ale číslováí je už vytvořeo musí dbát a to, aby krok výběru esouvisel s číslováím. Oblastí výběr. Celá populace je rozdělea do částí oblastí tak, aby se ve sledovaých zacích se od sebe velmi odlišovali, v rámci jedé oblasti jsou sledovaé zaky málo odlišé. V jedotlivých oblastech potom provedeme prostý výběr. Spojeím všech takovýchto dílčích výběrů získáme celý hledaý výběr.

4 Skupiový výběr. V případě populací, které čítají statisíce ebo milioy prvků je skoro emožé předchozími metodami vytvořit áhodý výběr. Vyžíváme proto přirozeé rozděleí populace a meší celky ebo vytváříme vlastí umělé děleí. Požadujeme, aby prvky ( skupiy ) děleí byly pokud možo stejě velké a vyšetřovaé zaky heterogeí v rámci jedé skupiy. Variabilita mezi jedotlivými skupiami by měla být co ejmeší. Vícestupňový výběr. Provádí se tehdy, kdy existuje hierarchický popis celé populace ( geografický, sociálí model ). 4.3 Popisá statistika Popisá statistika (deskriptiví statistika) se zabývá popisem stavu ebo vývoje hromadých jevů. Nejprve se vymezí soubor prvků, a ichž se bude uvažovaý jev zkoumat. Následě se všechy prvky vyšetří z hlediska studovaého jevu. Výsledky šetřeí - kvalitativí i kvatitativí, vyjádřey především číselým popisem - tvoří obraz studovaého hromadého jevu vzhledem k vyšetřovaému souboru. V předchozí části jsme studovali pojem statistického výběru. V této části budeme předpokládat, že jsme provedli výběr z populace a budeme se sažit z těchto dat získat údaje o vlastostech základího souboru. Grafické zázorěí výběrových rozděleí je uvedeo v ásledující kapitole. V této kapitole budeme využívat data z tabulky 4.3 Tabulka 4.3: Rozděleí měsíčích ákladů studetů a bydleí Pořadí Náklady Pořadí Náklady Pořadí Náklady Uveďme dále důležité pojmy, které budeme eustále využívat. Četost ( absolutí ) hodoty x i je daá počtem prvků x i ve výběru. Relativí četost hodoty x i je daá podílem absolutí četosti a celkového počtu prvků ve výběru. Kumulativí absolutí četost hodoty x i je daá součtem všech absolutích četostí prvků, které jsou meší ebo rovy prvku x i. Kumulativí relativí četost hodoty x i je dáa součtem všech relativích četostí prvků, které jsou meší ebo rovy prvku x i Míry polohy Jde o číselé hodoty pomocí, ichž určujeme polohu míst, kolem kterých jsou data ejvíce umístěy Průměr Průměr x se používá v případě kvatitativích zaků. Je velmi citlivý a odlehlé hodoty. Průměr hodot x, x,, x vypočteme takto

5 xi x + x x x = = (4.). Pro aše data je x = 4, 33. Někdy jsou data uvedea v tabulce včetě svých absolutích četostí ( počtu opakováí ), potom počítáme průměr jako tzv. vážeý průměr: k i. xi x = (4.) V tomto případě jsou data rozdělea a k skupi o k prvcích. Pokud jsou data uvedea v tabulce roztříděých dat ( původí dat jsou ahrazea příslušostí do jedoho z vybraých itervalů ) vytvoříme ejprve střed itervalu ( bude ahrazovat všecha data uvedeá v daém itervalu ) a pak z těchto hodot vytvoříme podle vztahu (4.) průměr. Tabulka 4.4 třídí rozděleí četostí: Rozpětí četost Hodota středů itervalů je 5, 75,, 45. Spočítáme li průměr podle vzorce (4.) je hodota třídího průměru rova 733,7. Je vidět, že hodota tohoto průměru velmi závisí a správé volbě rozpětí třídy. Pro vytvořeí stejě velkých tříd o počtu k z prvků je možo použít tzv. Sturgesovo pravidlo k º + 3,3. log (4.3) Například pro áš případ je = 3 a tedy hodota k º 5,8745. Tedy volíme k = 6. Uveďme dále ěkteré důležité vlastosti průměru: a) Jestliže ke každé hodotě x i ve výběru přičteme kostatu k, zvětší se o kostatu k také původí průměr ( k může být libovolé reálé číslo ). b) Násobíme li každou hodotu ve výběru x i stejou kostatou m, vypočteme ový průměr jako souči starého průměru a kostaty m c) Součet odchylek všech hodot x i ve výběru od jejich průměru x je rove ule ( x) = x (4.4) i d) Součet čtverců odchylek všech hodot od jejich průměru je meší ež součet čtverců odchylek všech hodot od libovolé jié hodoty. a x ( ) ( ) x x a x i i (4.5) Těchto vlastostí průměru využíváme také k tomu, abychom upravili vstupí hodoty jejich zmešeím ( resp. zvětšeím ) a posuutím. Průměr se používá jako číselá charakteristika protože: a) Je jedozačý

6 b) Je lieárí c) Je spolehlivou číselou hodotou. Průměr epoužijeme, jestliže a) Rozděleí je vícevrcholové b) Rozděleí má a krajích otevřeé třídy c) Údaje ejsou škálovaé metricky, ale ordiálě d) Výběr je extrémě malý e) Rozděleí je asymetrické Modus Modus xˆ je hodota, která se vyskytuje ejčastěji. Podle tabulky 4. ho můžeme zjišťovat i zaků, které jsou kvalitativí, dokoce i omiálí. Neí ovlivňová všemi prvky ve výběru. Jestliže je četost všech prvků ve výběru stejá, modus eurčujeme. Jestliže dvě ebo více avzájem sousedících hodot abývají stejé ejvětší četosti, pak aritmetický průměr z těchto hodot azveme modulem. Jestliže existují dvě avzájem esousedící hodoty s ejvětšími stejými četostmi, uvádíme obě jako modus. Rozděleí je pak dvou vrcholové ( bimodálí ). Již ze samé defiice modusu je jasé, že tato charakteristika velmi závisí a výběru a většiou velmi kolísá. Příklad Zjistěte modus šetřeí výběru barev respodetů bílá, červeá, modrá, červeá, zeleá, bílá, červeá, modrá, bílá, červeá. Odpověď : Nejčetější výskyt má a modus je červeá. Příklad Zjistěte hodotu modusu pro data z aší tabulky 4.3. Odpověď: Podle tabulky je x ˆ = 9. Jestliže jsou kvatitativí zaky uspořádáy do třídí tabulky, určíme ejdříve modálí iterval x D ( s ejvyšší četostí ) a modus staovíme iterpolací xˆ = xd + h. (4.6) + m kde h je délka modálího itervalu, je četost, x D je dolí hraice tohoto itervalu, je četost ásledujícího itervalu a m četost předchozího itervalu. Aplikujme vzorec (4.6) a data z tabulky 4.4 xˆ = xd + h. = = 583,33. + m 6 Vidíme tedy, že modus zjištěý podle vzorce (4.6) může být výrazě odlišý od modusu skutečého Kvatily a mediá Přirozeou mírou jsou kvatily. Daý výběr se ejdříve seřadí od ejmeší hodoty po ejvětší a poté určíme pro daý p% kvatil pořadové číslo jedotky p, pro které platí p p. < p <. +, (4.7) kde je počet prvků výběru. Pro hodotu p = 5% se daý kvatil ozačuje mediá ~ x. Jestliže je počet sudé číslo, vypočteme mediá jako průměrou hodotu z hodot stojících vlevo a vpravo od

7 teoretického mediáu určeého vzorcem (4.7). Mediá popisuje hodotu, která dělí daý výběr a dvě stejě velké části. V ašem příkladě je ~ x = 785 =. Další výzamé kvatity jsou : Dolí kvartil x,5 je urče jako 5% kvatil. Horí kvartil x,75 je urče jako 75% kvatil. V ašem případě je x,5 = 8 a x,75 = 3. Pro hodoty kvartilů vytváříme ještě jedu míru ( jde o míru variability ) a to kvartilové rozpětí R q = x,75 - x,5 V ašem případě je R q = 3 8 = 9. Pro hodoty p=,,,9 azýváme takto spočteé kvatily ázvy decily. Pro hodoty p =,,3,,99 azýváme podobě kvatily jako percetily. Pomocí kvartilů je také možo velmi přehledě zázorit data v grafu s ázvem Box Plot. Pomocí ěho můžeme rozdělit data z výběru a vitří, vější a odlehlá. Vytváříme ho ásledujícím způsobem: Základím prvkem grafu je obdélík, jehož hray tvoří hodoty dolího a horího kvartilu uvitř tohoto obdélíku je 5% hodot výběru. Uvitř je svislou čarou vyzače mediá, popř. tečkou průměr ( křížkem modus). Z obdélíku vedou dvě úsečky kolmé k hraám, jejichž délka je dáa vzdáleostí vitřích hradeb od hray obdélíku. Vitří hradby se vypočtou tímto předpisem h D = x,5,5. ( x,75 x,5 ) (4.8) h H = x,75 +,5. ( x,75 x,5 ) (4.9) V ašem případě jsou h D = 8,5. 9 = -8 a h H = 3+,5.9 =5865. Dále se počítají vější hradby H D = x,5.(,5. ( x,75 x,5 )) (4.) H H = x,75 +.(,5. ( x,75 x,5 )) (4.) V ašem případě je H D = 8-3.9= a H H = = 873. Hradby slouží pro idetifikaci dat ve výběru. Hodoty uvitř vitřích hradeb jsou hodoty přilehlé; hodoty mezi vitřími a vějšími hradbami jsou hodoty vější a hodoty vě vějších hradeb jsou hodoty vzdáleé ebo jiak odlehlé. Do grafu se zakresluje i miimum a maximum jako body Jestliže máme data uvedea v třídí tabulce musíme p% kvatil počítat pomocí lieárí iterpolace x p xd p D =, (4.) x x H D H D

8 kde x D je dolí a x H je horí mez itervalu v ěmž leží daý kvatil; D je kumulativí relativí četost odpovídající x D a H je kumulativí relativí četost odpovídající x H.Zjistěme hodotu kvatilu pro áš případ tabulky 4.4: ~ x 5,5,33 = ~ x = 854,67. 5,57,33 Použití mediáu je vhodé při rozděleích s otevřeými třídami, pro ordiálí hodoty, pro velmi symetrická rozděleí Geometrický průměr Provádí se je pro hodoty ve výběru, které jsou kladé. Jeho ozačeí je G a spočítá se jako tá odmocia ze součiu hodot x i. Používáme ho, jak je zřejmé z defiice, a kvatifikovatelé zaky měřeé a poměrové stupici. Používá se k určeí průměré změy velikosti, jestliže předpokládáme, že tato změa je kostatí ( multiplikativě ). G = x. x.. (4.3) L x Harmoický průměr Harmoický průměr H zjistíme jako podíl počtu hodot a součtu převráceých hodot výběru. H = (4.4) xi 4.3. Míry variability Pomocí je měr polohy elze přesě popsat výběr, protože moho dat má stejé ebo přibližě stejé hodoty jedotlivých parametrů měr polohy, přesto jsou a prví pohled odlišé. Na obrázku íže je uvede případ tří skupi dat, která mají stejý průměr, modus, mediá a přesto jsou odlišá. Odlišost vidíme v soustředěí hodot kolem průměru. Toto soustředěí budeme studovat pomocí růzých měr variability.,8,7,6,5,4,3,, Variačí rozpětí Variačí rozpětí R se vypočte jako rozdíl mezi ejvětší a ejmeší hodotou výběru. R = x max x mi (4.5) Pokračujme dále v ašem příkladě, hodota R = = 3

9 Výhodou této míry je jedoduchost určeí a porozuměí. Je však málo stabilí vzhledem k počtu čleů výběru. Používá se proto je u malých výběrů ( ). Výrazě závisí a velikosti výběru. Proto emůžeme mezi sebou porovávat jedotlivé hodoty variačího rozpětí z růzě velkých výběrů. Nedává spolehlivé odhady rozptylu základího souboru Průměrá odchylka Průměrou odchylku e výběru defiujeme jako aritmetický průměr z absolutích hodot odchylek všech hodot výběru od průměru xi x e = (4.6) Uvádíme ji je pro úplost. Je málo stabilí vzhledem k velikosti výběru a dává espolehlivé odhady pro rozptyl Rozptyl a směrodatá odchylka Nejužívaější mírou variability je rozptyl ( resp. směrodatá odchylka ). Pomocí ěho měříme velikost čtverců odchylek jedotlivých hodot výběru od průměru. Ozačujeme ho většiou symbolem s a azýváme ho výběrovým rozptylem s =. ( x i x ), (4.7) i = Všiměme si, že při výpočtu edělíme součet odchylek čtverců hodotou ( jako při defiici klasického rozptylu ), ale hodotou ( azývaou také počtem stupňů volosti ). Je to provedeo proto, že získáme lepší odhad skutečého rozptylu s populace. Výběrová směrodatá odchylka se ozačuje symbolem s a je rova odmociě z výběrového rozptylu s =. ( x i x), (4.8) Pro vlastí výpočet se hodí i jiá forma vzorce (4.7) xi xi s = x x =, i =,, L, (4.9) Použijeme li vzorce a určeí rozptylu pro data z tabulky 4.3 získáme s = 9733,448 a hodota s = 9,8. Jsou li hodoty x i výběru uvedeé včetě četostí i potom přejde vzorec (4.6) a k k s =. i. ( xi x) =. i. xi. x, 4.) kde k je počet všech růzých hodot ve výběru a je celkový počet prvků výběru. Jestliže jsou data uvedea pomocí tříděí do itervalů apř. data z tabulky 4.4, potom většiou hodoty x i zameají středy třídích itervalů a i počet dat v tomto itervalu. Pokud jsou třídí itervaly ekvidistatí ( mají pevou délku ) s rozměrem h bude výpočet podle vzorce (4.) zatíže chybou. Tuto chybu opravujeme pomocí tzv. Sheppardovy korekce h s kor = s (4.)

10 Použijeme li opět aše data z tabulky 4.4 získáme : Nekorigovaé hodoty s = 5 a s =,49; Korigovaé hodoty s kor = 98666,7 a s kor = 99,799. Velmi často astává případ, že celý výběr je z určitých důvodů rozděle do k dílčích částí. V i té části je počet prvků rove i, průměr je rove x i a výběrový rozptyl s i. Potom můžeme počítat celkový výběrový rozptyl s jako k k s =. ( i ). si + i. ( xi x) (4.) Z předchozího vzorce vyplývá, že celkový výběrový rozptyl s můžeme rozložit a dvě části a vitroskupiový a meziskupiový. Vitroskupiovým výběrovým rozptylem sledujeme variabilitu uvitř jedotlivých skupi a meziskupiovým výběrovým rozptylem variabilitu mezi těmito skupiami. Takovéto metody rozděleí celkové variability a ezávislé části budeme dále využívat v části Aalýza rozptylu ( ANOVA ). Výběrový rozptyl ezávisí a zvětšeí či zmešeí všech hodot výběru o kostatu. Jestliže všechy hodoty výběru zvětšíte m - krát, zvětší se výběrový rozptyl m krát. Těchto vlastostí velmi často využíváme pro úpravu původí tabulky dat tím, že všechy hodoty posueme - volba ového počátku a výrazě zmešíme ( zvětšíme ) volba ové jedotky Variačí koeficiet Nechť má výběr čleů s průměrem x a směrodatou odchylkou s. Potom variačí koeficiet výběru v je daý vztahem s v =.% (4.3) x Používáme ho, když chceme porovat variabilitu růzých zaků ve výběru ebo mezi růzými výběry Charakteristiky tvaru rozděleí Výběrová míra šikmosti Jde o číselý údaj, který vypovídá o o souměrosti či esouměrosti tvaru rozděleí. Ozačuje se symbolem a. a = ( x x ) 3 i 3, (4.4) s. kde je počet čleů výběru, s je hodota výběrové směrodaté odchylky, x je průměr a x i je kokrétí hodota výběru. Je li rozděleí souměré, je hodota a =. Rozděleí je tím esousměrější, čím se hodota a více liší od uly. Je li jeho hodota kladá, potom je rozděleí zešikmeo kladě ( ve výběru je větší kocetrace meších hodot ). Je li jeho hodota záporá, potom je zešikmeo záporě (ve výběru je větší kocetrace větších hodot). Pokračujme s aším příkladem, s daty z tabulky 4.3. Níže vidíme data v grafu.

11 Polygo četostí 3,5 3,5,5, Hodota míry šikmosti pro aše hodoty a =. Je tedy kladá a data jsou zešikmea kladě Výběrová míra špičatosti. Tato míra popisuje stupeň kocetrace hodot zaku kolem charakteristiky úrově ( kolem průměru ). Stejé ahuštěí prostředích i krajích hodot vede k plochosti ( hodota míry je potom záporá ), větší ahuštěí prostředích hodot se projevuje špičatostí rozděleí( hodota míry je kladá. Tato míra porovává daé rozděleí s ormovaým ormálím rozděleím N(,) ( má hodotu špičatosti rovu ule ). Vypočte se podle vztahu 4 ( xi x) = 4 b 3, (4.5) s. ozačuje se symbole b. Hodota špičatosti pro aše data z tabulky 4.3 je rova,93. Rozděleí je ploché, což je vidět i z polygou četostí. 4.4 Grafické zobrazeí dat Pro presetaci statistických údajů je velmi působivé používat růzé grafické způsoby. Každý typ grafického zobrazeí hodot má svoje omezeí, ale zároveň i svoje výhody. Kromě klasických typů se k zobrazováí statistických dat hodí speciálí grafy, jede typ jsme už měli možost vidět v části Kvatily a mediá šlo o tzv. Box Plot eboli Krabicový graf. V dalším si ukážeme možé grafy pro presetaci údajů. Běžé grafy 4.4. Bodový graf Zázorňuje hodoty pomocí bodů,většiou v pravoúhlé soustavě. Používá se většiou k zachyceí závislostí právě dvou statistických zaků. Při více ež dvou zacích jeho jedoduchost mizí a stává se méě přehledým. Nelze pomocí ěho vystihout data s větší četostí. Graf 4. velikost ákladů v závislosti a pořadí

12 Náklady Náklady Spojicový graf Jestliže chceme zázorit velké možství hodot, chceme li vystihout průběh časové řady hodí se k tomu více spojicový graf. Používá se také k vyjádřeí předpokladu o spojitosti vyšetřovaého zaku. Jestliže se pomocí ěho vyjadřuje rozložeí absolutích ebo relativích četostí ve výběru, azýváme se polygo četostí. Graf 4. sloupcový graf, vyjadřuje změu ákladů Náklady Po změě Sloupcový graf Sloupcový graf vyjadřuje jedoduché závislosti mezi dvěma hodotami, velmi často jsou jedotlivé prvky výběru seskupováy do tříd. Existuje ěkolik typů těchto grafů klasické sloupcové, sloupcové s procetím rozložeím, trojrozměré sloupcové grafy. Klasická ukázka je uvedea v grafu 4.3 Graf 4.3- rozděleí ákladů do tříd

13 Sloupcový graf četostí četost Histogram Svou defiicí je to sloupcový graf, který se používá k zázorěí absolutích ebo relativích četostí (většiou )spojitého zaku. Sloupce v grafu jsou zásadě vertikálí,šířka sloupce odpovídá velikosti třídy a celková plocha sloupce odpovídá četosti prvků třídy ve výběru Histogram Kruhový graf Zobrazuje hodoty jako výseče v kruhu a tím se zachytí struktura výběru. Předchozí data jsou zobrazea v kruhovém grafu ( koláč, výsečový graf ) takto 9% % 9% 6% 6% % 38% % Speciálí statistické grafy Jedím z užívaých grafických způsobů je dříve uvedeý histogram. V současé době existuje moho profesioálích způsobů presetace statistických dat. V části Kvatily 6%

14 a mediá jsme zavedli velmi užitečý typ Box Plot český ekvivalet ázvu je Krabicový graf. Statistických grafů existuje velké možství, zaměříme se a ěkteré speciálí Kvatilový graf Jde typ grafu, kterým můžeme přehledě zázorit data, porovat je se zámými rozděleími, ajít vybočující hodoty atd. Na osu x aášíme pořadovou pravděpodobost teoretického rozděleí, a osu y skutečé kvatily daých dat. Na grafu íže je uvedeo porováí výběru s N(,). Data se s hodotami teoretického rozděleí eshodují, zjevě 3 - N(,) výběr - -3,,4,6,8 vybočují a krajích. Teto typ grafu se velmi často užívá pro prví porováí údajů především s ormálím ormovaým rozděleím. Dříve se k takovému porováí používal tzv. pravděpodobostí papír, des ho provádíme s pomocí počítače. Mezi základí statistická vyšetřováí patří rozhodutí, zda daý výběr patří ebo epatří k rozdělím symetrickým. K takovému rozhodutí ám pomáhá ásledující typ grafu: Graf polosum Jeho kostrukce je založea a myšlece, že u symetrického rozděleí je aritmetický průměr kvatilu p% a kvatilu (-p)% stejý a je rove mediáu. Níže je uvede daý graf pro data vyšetřovaá v předchozí části. Symetrická rozděleí jsou tedy charakterizováa přímkou y= x%. Celkově je zřejmé,že data pochází ze symetrického rozděleí

15 4.4.8 Graf symetrie Pomocí tohoto grafu je možo sledovat zak symetrie výběru. Na osu x aášíme u P hodoty i i pro Pi = a a osu y stejé hodoty jako u předchozího grafu tedy hodoty + ( x x ) ( + i) ( i) osa x 5,37 5,,7,,7,3,37 Opět je zřejmé, že hodoty výběru jsou symetrické, s výjimkou krajích hodot. Pomocí dalšího grafu je možo srovávat parametr špičatosti s rozděleím N(,) Graf špičatosti Za předpokladu symetrie je pro ormálí rozděleí grafem přímka. Pokud leží body a přímce s eulovou směricí, je hodota této směrice odhadem výběrového parametru špičatosti. Opět je zřejmé, že data odpovídají symetrii, avíc můžeme z grafu odhadout výběrovou špičatost.,4,35,3,5,,5,,5 4, 4, 4,3 4,4 4,5 4,6

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

Elementární zpracování statistického souboru

Elementární zpracování statistického souboru Elemetárí zpracováí statistického souboru Obsah kapitoly 4. Elemetárí statistické zpracováí - parametrizace vhodými empirickými parametry Studijí cíle Naučit se výsledky měřeí parametrizovat vhodými empirickými

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

U klasifikace podle minimální vzdálenosti je nutno zvolit:

U klasifikace podle minimální vzdálenosti je nutno zvolit: .3. Klasifikace podle miimálí vzdáleosti Tato podkapitola je věováa popisu podstaty klasifikace podle miimálí vzdáleosti, jež úzce souvisí s klasifikací pomocí etaloů klasifikačích tříd. Představíme si

Více

Zhodnocení přesnosti měření

Zhodnocení přesnosti měření Zhodoceí přesosti měřeí 1. Chyby měřeí Měřeím emůžeme ikdy zjistit skutečou (pravou) hodotu s měřeé veličiy. To je způsobeo edokoalostí metod měřeí, měřicích přístrojů, lidských smyslů i proměých podmíek

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

9. Základní statistické pojmy.

9. Základní statistické pojmy. 9. Základí statstcké pojmy. Úvodí formace Statstka je často představováa jako pouhý sběr čísel ebo jm podobých údajů. Původí výzam toho slova skutečě souvsí se sběrem formací o státu ( z latského status

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d.

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d. ZÁPOČTOVÝ TEST. JEV JISTÝ a. je jev, který ikdy eastae b. je jev, jehož pravděpodobost ½ c. je jev, jehož pravděpodobost 0 d. je jev, jehož pravděpodobost e. je jev, který astae za jistých okolostí f.

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t. Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základy měřeí eelektrických veliči.. Měřicí řetězec Měřicí řetězec (měřicí soustava) je soubor měřicích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, aby bylo ožě split požadovaý úkol měřeí, tj. získat iformaci

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý.

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý. evost a životost - Hr III EVNOT a ŽIVOTNOT Hr III Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý zbyek.hrby@fs.cvt.cz evost a životost - Hr III tatistické metody vyhodocováí dat evost a životost - Hr III 3 tatistické

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

ZÁKLADY STATISTIKY (s aplikací na zdravotnictví)

ZÁKLADY STATISTIKY (s aplikací na zdravotnictví) PŘEMYSL ZÁŠKODNÝ RENATA HAVRÁNKOVÁ JIŘÍ HAVRÁNEK VLADIMÍR VURM ZÁKLADY STATISTIKY (s aplikací a zdravotictví) Vzik publikace byl ispirová myšlekami, pracemi a ávrhy výzamého sloveského vědce v oblasti

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

PE 301 Podniková ekonomika 2. Garant: Eva KISLINGEROVÁ. Téma Metody mezipodnikového srovnávání. Téma 12. Eva Kislingerová

PE 301 Podniková ekonomika 2. Garant: Eva KISLINGEROVÁ. Téma Metody mezipodnikového srovnávání. Téma 12. Eva Kislingerová PE 30 Podiková ekoomika Garat: Eva KISLINGEROVÁ Téma Metody mezipodikového srováváí Eva Kisligerová Téma Eva Kisligerová Vysoká škola ekoomická v Praze 003 - Mezipodikové srováváí Poprvé 956- koferece

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc. PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Statsta statstcé údaje o hromadých jevech čost, terá vede zísáí statstcých údajů a jejch zpracováí teore statsty - věda o stavu, vztazích a vývoj

Více

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Je vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým epotřebujeme zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy Měřeí statistické závislosti, korelace, regrese Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. MĚŘENÍZÁVISLOSTI Cílem statistické aalýzy vepidemiologii bývá eje staovit, zda oemocěí závisí a výskytu rizikového faktoru,

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název školy Gymázium, Šterberk, Horí ám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šabloa III/2 Iovace a zkvalitěí výuky prostředictvím ICT Ozačeí materiálu VY_32_INOVACE_Hor018 Vypracoval(a), de Mgr. Radek

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

BAKALÁŘSKÁ STA I. + II.

BAKALÁŘSKÁ STA I. + II. Statistika I. - Teorie ) Statistika - Číselé údaje o hromadých jevech. Praktická čiost - sběr, zpracováí a vyhodocováí statistických údajů - Teoretická disciplía - metody k odhalováí zákoitostí při působeí

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

Vyhledávání v tabulkách

Vyhledávání v tabulkách Vyhledáváí v tabulkách Tabulkou azveme možiu položek idetifikovatelých hodotou přístupového (idetifikačího) klíče (key, ID idetificator). Ve vodorovém směru se jedá o heterogeí pole, tz. že každá položka

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad

Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad Lekce Náhodý výběr, statistiky a bodový odhad Parametr rozděleí pravděpodobosti je ezámá kostata, jejíž přímé určeí eí možé. Nástrojem pro odhad ezámých parametrů je áhodý výběr a jeho charakteristiky

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Předáška VIII. Testováí hypotéz o kvatitativích proměých Úvodí pozámky Testy o parametrech rozděleí Testy o parametrech rozděleí Permutačí testy Opakováí hypotézy Co jsou to hypotézy a jak je staovujeme?

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Statistika pro ekoomy Eduard Souček Statistika pro ekoomy VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat DŽ ředášky část 7 tatistické metody vyhodocováí dat Mila Růžička mechaika.fs.cvt.cz mila.rzicka@fs.cvt.cz DŽ tatistické metody vyhodocováí dat Jak velké rozptyly lze očekávat mezi dosažeými pevostmi ebo

Více

8 Průzkumová analýza dat

8 Průzkumová analýza dat 8 Průzkumová aalýza dat Cílem průzkumové aalýzy dat (také zámé pod zkratkou EDA - z aglického ázvu exploratory data aalysis) je alezeí zvláštostí statistického chováí dat a ověřeí jejich předpokladů pro

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů. Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu

Více

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA Počet automobilů Ig. Martia Litschmaová EXPLORATORNÍ ANALÝZA.1. Níže uvedeá data představují částečý výsledek zazameaý při průzkumu zatížeí jedé z ostravských křižovatek, a to barvu projíždějících automobilů.

Více