Teoretická fyzika Základy teorie elektromagnetického pole

Transkript

1 Teoetiká fyzik Zákldy teoie elektognetikého pole Mihl Len podzi Obsh Teoetiká fyzik Zákldy teoie elektognetikého pole Úvod 3 Mxwellovy ovnie3 Enegie hybnost elektognetikého pole 4 3 Elektin gnetisus 5 4 Podínky n ozhní 6 5 Elektognetiké vlny 7 Elektosttik 8 Coulobv zákon 8 Newtonv zákon 8 3 Poissonov ovnie 9 3 Geenov funke 9 3 Geenov vt 4 Elektosttiká enegie náboj 5 Multipólový ozkld pole 5 Lpleov ovnie ve sféikýh soudniíh 5 Legendeovy polynoy 53 Kulové funke 3 6 Pole bodovýh náboj ve vkuu 4 7 Dielektiká koule v hoogenní poli 5 3 Mgnetosttik 5 3 Anlogie ezi elektosttikou gnetosttikou 5 3 Mgnetiké pole kuhové syky 7

2 4 Kvsistionání pole 7 4 Skin-efekt 7 4 Vzájená induknost vlstní induknost 9 43 Koplexní odpo 5 Mxwellovy ovnie v teiálové postedí 5 Mikoskopiké Mxwellovy ovnie 5 Mxwellovy ovnie po postedí s tiviálníi teiálovýi vzthy 3 6 sov ponná elektognetiká pole ve vkuu 4 6 Rovinná kulová vln 4 6 Obené eení nehoogenní ovnie po poteniály 4 63 Pole sov ponného dipólu 5 64 Liendv - Wiehetv poteniál 8 65 Ztát enegie záení 9 7 Rozptyl záení volnýi náboji 3 7 Thosonv vzoe 3 7 Modifike Thosonov vzoe 3 73 Index lou 3 8 Elektognetiké pole v dispesní postedí 3 8 Mxwellovy ovnie 3 8 Disipe enegie Fázová gupová yhlost 34 9 Rovnie elektognetikého pole ve tyozné zápisu 35 9 tyozný vekto poudu, ovnie kontinuity 35 9 Náboj v elektognetiké poli Tenzo elektognetikého pole Pvní pá Mxwellovýh ovni Duhý pá Mxwellovýh ovni 39

3 96 Tenso enegie hybnosti 4 97 Vlnová ovnie ovinné vlny 4 Úvod Mxwellovy ovnie Zákld teoie elektognetikého pole tvoí Mxwellovy ovnie pohybové ovnie náboje v elektognetiké poli Mxwellovy ovnie popisujíí elektognetiké pole vytváené ve vkuu volnýi náboji hustoty ρ poudy hustoty j jsou B E = ρ, E, ε = t E B = ε + j, B = t Duhý Newtonv zákon po ástii s náboje e je d p = e ée + v Bù dt êë úû () () Konstnty v () jsou dány volbou soustvy jednotek SI Intenzit elektikého pole je udáván ve V, induke gnetikého pole á jednotku T Pltí =, = 4π H, = s (3) ε Zvádíe tké induki elektikého D= ε E intenzitu gnetikého pole H = B Pooí thto veliin ee Mxwellovy ovnie pepst do tvu B B =, E =, t D D = ρ, H = + j t (4) Pvní ádek ovni v (4) uuje hkte pole, duhý ádek ovni spojuje pole se zdoji Ve tvu (4) pltí ovnie i v látkové postedí, n ozdíl od vku jsou vk v látkové postedí vzthy ezi vektoy induke intenzity netiviální sto veli koplikovné To, e z zákldní vektoy pole povujee páv elektikou intenzitu gnetikou induki, je dáno hktee Loentzovy síly v () pvní ádke ovni v (4) 3

4 Enegie hybnost elektognetikého pole Mje testoví ástii s enegií ε hybností p Pi pehodu ke spojitéu ozloení náboje poudu je ε ε = F = F j t, F = ρ E V + j B V = j E (5) ρ V t Enegie získná ástií z jednotku su je tedy j E DV, je tedy páe vykonná pole z jednotku su vztená ne jednotku objeu - j E S vyuití vzthu E H H E = H E (6) odvodíe z Mxwellovýh ovni výz B D H + E = j E E H t t N pvé stn vystupuje hustot vykonné páe njký tok, výz n levé stn ee tedy intepetovt jko sovou znu hustoty enegie Po zvedení veliin hustoty enegie W (7) Poyntingov vektou S ee (7) psát v integální tvu jko W = E D + B H, S = E H W dv + j E dv + S n dσ = t V V Σ (8) (9) Obdobnou úvhu ee povést po hybnost Pi pehodu ke spojitéu ozloení náboje je p p = F t, F = ρ E V + j B V = ρ E + j B () V t Z Mxwellovýh ovni odvodíe výz B D D + B = t t E D B H + H B D E j B ρ E () Poslední dv leny n pvé stn popisují Loentzovu sílu, ee tedy výz n levé stn intepetovt jko sovou znu hustoty hybnosti pole G = D B Povedee úpvu výz v () () 4

5 3 E D E ( D) D ( E) = Ei Dj δi j E D D E i j = x j xi xi 3 H B H ( B) B ( H ) = Hi B j δi j H B B H i j = x j xi xi, (3) zákon zhování á pk tv 3 G dv + P dv + T n dσ = (4) i i i j j t V V j = Σ Definovli jse Mxwellv tenso nptí T i j jko Ti j = Ei Dj + Hi Bj + i j E D + H B δ hustotu hybnosti postedí é E D H B ù Pi = ρ Ei + ( j B) + D - E + B - H i ê xi xi xi x ú ë i û (5) (6) Tkto definovný Mxwellv tenso uuje tok hybnosti z uvovného objeu Jeho stop je ovn hustot enegie W 3 Tii = (7) i = 3 Elektin gnetisus Po sttiké (n se nezávislé) jevy ee zvlá studovt elektosttiku zvlá gnetosttiku, jk je vidt z Mxwellovýh ovni (4) Po elektosttiku je D = ρ, E = (8) po gnetosttiku H = j, B = (9) eíe-li úlohu po hoogenní postedí s tiviálníi vzthy ezi indukí intenzitou, tj D = ε ε E, B = H, () Vede substitue E = φ () k tou, e ovnie s otí v (8) je splnn identiky ovnie s divegení dává Poissonovu ovnii Jsou oné i jiné definie, kteé se vdy shodují po vkuu Vzhlede k obtínosti expeientálního ovování v jiné postedí není otázk spávného ozdlení hybnosti ezi pole hotu ozeen 5

6 Nopk substitue ρ φ = () ε ε / (3) B = A vede k tou, e ovnie s divegení v (9) je splnn identiky ovnie s otí vede n / / ovnii A A = j (4) Vektoový poteniál nezní hodnotu gnetiké induke, pitee-li k pvodníu vektou gdient libovolné sklání funke ( otgd f º ) Toho ee vyuít k volb tkového / poteniálu A = A +Ñ f, jeho divegene je nulová 3 ísto (4) áe opt (vektoovou) Poissonovu ovnii 4 Podínky n ozhní D A = - j Máe-li dv hoogenní postedí se spolený ozhní, eíe ovnie pole zvlá v kdé z nih Poto usíe zjistit, by byly n spolené ozhní splnny podínky plynouí z Mxwellovýh ovni N obázku 4 je popis veh potebnýh veliin: n noál t ten k ozhní, ovnobné s ozhní jsou i podstvy vále o ploe D S delí hny obdélníku délky Dl Ktí hny obdélník i stny vále jí znedbtelné délky V =Ñ Ñ V =Ñ Ñ V - Ñ Ñ V = V -D V otot gd( div ) 3 diva = znená, e funki f volíe jko eení ovnie / D f =- div 4 J D Jkson: Clssil Eletodynis (John Wiley@Sons, 999), Figue 4 A 6

7 Povhová hustot náboje je oznen σ, povhová hustot poudu K (á sloky pouze podél ozhní) Integální tv Mxwellovýh ovni s divegenei je D n ds = ρ dv Þ D - D n D S = σ DS ò S ò V ( ) ò B n ds = Þ ( B - B ) n D S = S Integální tv ovni s otei je ò E ( t n) d = Þ ( E - E l ) ( t n) D l = leny ò S ò C B t ds C H t n dl = j t d S Þ H - H t n D l = K t Dl ò ( ) ò S S D t ds jí oezený integnd v liit lé plohy jdou k nule, poto jse je v posledníh dvou vztzíh ni nepsli Máe tk po noálové sloky D - D n = σ, B - B n = (5) ( ) ( ) po tené sloky 5 ( ) ( ) n E - E =, n H - H = K (6) 5 Elektognetiké vlny Zvedee-li po popis sov ponného elektognetikého pole vektoový sklání poteniál vzthy A B = A, E = φ, (7) t áe po doszení do Mxwellovýh ovni ρ φ + A =, t ε A φ A ε A + ε = j t t (8) S vyuití klibní tnsfoe (tj tnsfoe, kteá nevede ke zná vekto E B ) 5 Pltí X ( t n) = t ( n X ) vekto t je libovolný tený vekto k ozhní 7

8 ee dosáhnout, by pltilo ψ A A + ψ, φ φ t A + ε φ = t (9) (3) dostáváe tk po poteniály nehoogenní vlnovou ovnii φ ρ φ =, t ε A A = j t (3) Elektosttik Coulobv zákon Síl, kteou psobí náboj q (nházejíí se v íst ) n náboj q v íst je q q F =, =, = 3 4π ε () síl, kteou psobíí náboj q (nházejíí se v íst ) n náboj q v íst je je tedy q q F =, =, =, 3 4π ε F = F () (3) Newtonv zákon Newtonv gvitní zákon zde uvádíe po poovnání Síl, kteou psobí hotnost (nházejíí se v íst ) n hotnost v íst je F = G, =, = 3 (4) 8

9 síl, kteou psobí hotnost (nházejíí se v íst ) n hotnost v íst je F = G, =, =, 3 (5) je tedy sozej opt F = F 3 Poissonov ovnie 3 Geenov funke 6 Poissonovu ovnii po elektosttiké pole i ovnii po gvitní pole budee psát jednotný zpsobe jko ρ φ = (6) ε φ = 4π G (7) H ψ = J, (8) kde H = J = ρ ε nebo J = 4π G Pedpokládeje, e znáe vlstní funke vlstní hodnoty opeátou H x H x x x x x λ ψ ψ λ ψ ψ (9) / / * / = = Pedpokládeje dále, e ádná z vlstníh hodnot není ovn nule Poloíe pk Geenovu funki ovnu Poto dostáváe x G x x x x x λ λ ψ ψ ψ ψ () / / * / = = / / x G H x = x ψ ψ λn ψ n ψ n x λ = n / / / x ψ n ψ n x = x I x = δ ( x x ) n eení Poissonovy ovnie tk zpíee ve tvu () x x G J x G x x J dx / / / ψ = = () nebo 6 Tento odstve ono vyneht 9

10 3 Geenov vt ψ ψ ψ λ * / / / ( x) = n ( x) n ( x ) J ( x ) d x (3) n Vine si nejpve psobení lpliánu n funki Máe =, = 3 n (4) vude, kde je tto funke dobe definován, tedy s výjikou bodu = Pouití Gussovy vty n kouli se stede v poátku áe d V = 4 π K (5) Pokud povujee ( ) z funki, je její hování neobvyklé Zpisujee ji pooí Diovy delt funke jko ( 3 ) = 4 π δ ( ) Z Gussovy vty plyne Geenov vt Mje identity u v = u v + u v v u = v u + v u Po odetení ovni uití Gussovy vty dostáváe Geenovu vtu u v v u dv = u v v u n d S V V, (6) (7) Máe te po u = φ v= ρ ( 3 ) φ =, = 4 π δ ( ) ε (8) Rozííe-li integní oblst n elý posto pedpokládáe-li dostten yhlý pokles funkí v nekonenu, dostáváe / ρ ( ) 3 / φ ( ) = d / 4π ε (9) Ve dvouozné pípd je postup podobný Vine si nejpve psobení lpliánu n funki ln Máe ln =, ( ln ) = ()

11 vude, kde je dobe definován, tedy s výjikou bodu = Pouití Gussovy vty n kunii se stede v poátku áe ln ds = π, () K je tedy hování funke ( ln ) neobvyklé Zpisujee je pooí Diovy delt funke jko ln = π δ ( ) ( ) Z Geenovy vty poto dostáváe (pozo n podínky v nekonenu oz ln ) 4 Elektosttiká enegie náboj / / / φ ( ) = σ ( ) ln d π ε Elektosttikou enegii spojitého ozloení náboje ee po soustvu bodovýh náboj dsledek postého doszení Z Coulobov zákon áe () (3) U = ρ φ dv (4) 3 ρ = e δ zdánliv sndno npst jko / U = e φ, φ = φ ( ) eb φ =, b b 4π ε = b b (5) (6) Musíe tedy vylouit psobení pole vytvoeného dný bodový náboje s n sebe, byho ohli psát konený výz po enegii 5 Multipólový ozkld pole e eb U = (7) 8π ε b b 5 Lpleov ovnie ve sféikýh soudniíh Lplev opeáto ve sféikýh soudniíh je Sepí ponnýh ψ sin ψ ψ = θ ψ + + sinθ θ θ sin θ ϕ (,, ) R dojdee ke te obyejný difeeniální ovnií (8) ψ θ ϕ = Θ θ Φ ϕ (9)

12 d ( ϕ ) ( θ ) Φ, dr, d + Φ ( ϕ ) = λ R = dϕ d d dθ sinθ dθ dθ sin θ d sin θ + λ Θ ( θ ) = Jednodue odvodíe, e (podvek peiodiity v ponné ϕ ) usí být elé íslo ( ϕ ) = C osϕ + S sin ϕ (3) Φ (3) Dále pk zjistíe, e eení diální ovnie je (konstntu píee jko l ( l ) λ = +, by tv eení byl jednoduhý zején poto, by ovnie v ponné θ l eení ve tvu polyno v ponnýh osθ sinθ ) B R = A + (3) l l l l l + Nejobtínjí je ovnie po polání úhel Substitue osθ = x vede k Legendeov ovnii d d Pl x Pl x x x + l ( l ) P l ( x), dx dx + = x kteá á jko egulání eení polynoy ponnýh x ( x ) - (33) 5 Legendeovy polynoy Sndno vidíe, e po = ee ovnii (33) pepst n Integí ozdílu ovni po l = l n d dpl x ( x ) + l ( l + ) Pl ( x) = dx dx = n intevlu (,) - dostnee vzth (34) n + n + P x Pn x dx =, (35) odkud plyne otogonlit Legendeovýh polyno Pl ( x ) n toto intevlu Z noh dleitýh vlstností Legendeovýh polyno uvee dv: vyjádení polynou pooí Rodiguesov vzoe výz po vytváejíí funki = d l l! dx (36) l ( x ) P x l l l Pouití Leibnizov pvidl ( xt + t ) = l Pl ( x) t (37) l =

13 d k k f x g x! d f x d g x = (38) d x k! k! dx dx k k k = dostnee násobný deivování ovnie (34) ovnii kde d ( x ) f // ( x) x( ) f / ( x) ( n )( n ) f ( x) =, (39) = l Substitue f ( x) ( x ) g ( x) f x P x dx usí splovt ovnii (33), je tedy konen = vede k tou, e funke g ( x ) d Pl x Pl ( x) = ( x ) (4) dx Vyuijee-li jet (36), ee (4) ozíit i n oblst záponýh, tedy l + l ( ) ( ) d ( l ) Pl x = x x, l l (4) l + l l! dx Polynoy (4) se nzývjí piduené Legendeovy polynoy Nái definovné polynoy P ( x ) nebo P ( x) nejsou n intevlu (,) l l noovné n jedniku Osttn zné dobné i vtí odhylky v definiíh speiálníh funkí jsou díky histoikéu vývoji bohuel zel bné 53 Kulové funke Pooí piduenýh Legendeovýh polyno definujee úplný otonoální soubo kulovýh funkí (tj kdou funki úhlovýh ponnýh ve sféikýh soudniíh ee npst pooí (nekonené) dy thto funkí) Pltí tedy ( l + ) ( l ) π ( l + )! Y ( θ, ϕ l ) = Pl ( os ) exp ( i ) 4! θ ϕ (4) π π * dϕ dθ sin θ Yl ( θ, ϕ ) Y (, ) l θ ϕ = δ l l δ (43) = l * ( θ ϕ ) = ( θ ϕ ) = ϕ θ θ ( θ ϕ ) ( θ ϕ ) f, f Y,, f d d sin f, Y, Nkolik pvníh kulovýh funkí je l l l l l = = l π π (44) 3

14 Y = 4π Y = sinθ exp( iϕ ) Y = osθ Y = sinθ exp( iϕ ) 8π 4π 8π (45) 5 5 Y = sin θ exp( iϕ ) Y = sin θ exp( iϕ ) 3π 3π Y = sinθ osθ exp( iϕ ) Y = ( 3os θ ) Y = sinθ osθ exp( iϕ ) 8π 6π 8π Veli dleitý speiální pípde ozkldu (44) je vzth po Legendev polyno n = sinθ os ϕ,sinθ sin ϕ, osθ obeného úhlu ezi dv jednotkovýi vektoy ( sin os,sin sin, os ) / n = α β α β α, tedy / osγ = n n = osθ osα + sinθ sinα os ϕ β, = l 4π * Pl ( os γ ) = Yl ( α, β ) Yl ( θ, ϕ ) l + = l (46) 6 Pole bodovýh náboj ve vkuu Víe, e pole bodového náboje ve vkuu je dáno Coulobový poteniále Je-li náboj q uístn io poátek soudné soustvy, np n ose z (v bod z = R ), je tento poteniál dán vzthe q q φ = = 4π ε x + y + ( z R) 4π ε + R R osθ Vzth (37) ná uoní zpst poteniál (47) ve tvu ultipólového ozkldu (47) q φ = Pl ( os θ ), R, 4π ε R l = R q R φ = Pl ( os θ ), R 4π ε l = l l (48) Po R pevuje otn souná (vzhlede k poátku soudni, nikoliv poloze náboje) slok l = Uístíe-li vk n ose z jet náboj opné velikosti do z = R, vyuí se identiké píspvky len s l = po R pevuje pk dipólová slok ( l = ) φ ( osθ ) q R P D osθ dip, 4π ε = 4π ε (49) kde D = q R oznuje dipólový oent Podobn, uístíe-li v ovin z = náboje q ve vzdálenosti R od poátku n osu x náboje q ve vzdálenosti R od poátku n osu y, 4

15 vyuí se identiké píspvky len s l = l = (pi výpotu vyuíváe (46)) po pevuje pk kvdupólová slok ( l = ) φ qud ( osθ ) 3 3 π ε R q R P Q 3os θ =, (5) 4π ε 4 kde Q = q R je kvdupólový oent 7 Dielektiká koule v hoogenní poli Pvodn nekonené hoogenní postedí s dielektikou konstntou ε s intenzitou elektikého pole E =- E e je poueno uístní koule se stede v poátku poloe z R Koule á dielektikou konstntu ε Po popis výsledného pole bude stit dipólový len elektosttikého poteniálu B Φ = æ ç A + ö os θ çè ø Podínky spojitosti n povhu koule tené sloky intenzity Et (5) = E θ noálové sloky induke Dn = ε E vedou po k ovnií Φ Φ Et = -, Dn = -ε θ æ B ö æ B ö A + sinθ = A 3 + sin θ, ç 3 è R ø çè R ø æ B ö æ B ö -ε A - osθ = -ε 3 A - os θ ç 3 è R ø èç R ø (5) Pole v nekonenu usí nbývt pvodní hodnoty, je tedy A = E Pole v poátku usí být konené, to vyduje B = Zbývjíí ovnie po B A sndno vyeíe, tke áe ì æ ε ε ö - + E osθ R ç ε ε è + ø Φ = ï í ïæ 3 ε -ε R ö ï + os 3 E θ R < ïç ï ç ε + ε ïî è ø (53) 3 Mgnetosttik 3 Anlogie ezi elektosttikou gnetosttikou Vidli jse, e eení Poissonovy ovnie (6) v elektosttie je poteniál (9) 5

16 φ ( ) ρ = 4π ε / ( ) 3 / d (3) / tedy intensit / 3 / E ( ) = ρ ( ) d / 3 4π ε (3) eení zákldní ovnie gnetosttiky (volíe klibi A= ) A = j (33) je nlogiky / j ( ) 3 / A( ) = d / 4π (34) Po gnetikou induki pk je / / j ( ) ( ) 3 / B ( ) = d / 3 4π (35) e d ( 3 Po bodový náboj npíee ρ d = δ ) ( ) dostáváe Coulobovo pole / 3 / / 3 / E = 3 z obeného vzthu (3) e 4π ε (36) / 3 / / j d = J δ d d ( Obdobn po lineání vodi npíee ) z obeného vzthu (35) dostáváe Biotovo Svtovo pole Gussov vt B J d = 3 4π ( ) (37) V Q E dv = E n ds = ρ dv = (38) ε ε S V á nlogii v Apéov zákonu ( B) n ds = B t dl = j n d S = J (39) S l S 6

17 3 Mgnetiké pole kuhové syky Do vzthu po vektoový poteniál (34) dosdíe z poudovou hustotu / 3 / / / / / / / / / j ( ) d = J δ ( ρ ) δ ( z ) e / ρ dρ dz dϕ, kde e / = sin ϕ ( ϕ ϕ ) eρ + os( ϕ ϕ ) e ϕ ϕ, dostnee A z A z e, A z ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) J osϕ dϕ π ρ ρ ϕ, = ϕ, ϕ ϕ, =, ( + + z os ) J k 4 ρ Aϕ ( ρ, z) = K ( k ) E ( k ), k = π k ρ ( + ρ ) + z K ( k ) esp E( k ) jsou eliptiké integály π (3) π π, sin ξ d ξ dξ K ( k ) = E ( k ) = k (3) k sin ξ Pi výpotu induke potebujee deive eliptikýh integál (výzy získáe vhodnýi úpvy integnd deivovnýh výz) E k E k K k K k E k K k =, = k k k k k ( k ) Poto áe po sloky induke (ziutální slok je B ϕ = ) (3) A J z + ρ + z Bρ ( ρ z) K k E k z π ρ ( + ρ ) + z ( ρ ) + z ϕ, = = +, ρ A J ρ z Bz ( ρ z) K k E k ρ ρ π ( + ρ ) + z ( ρ ) + z ϕ, = = + (33) (34) 4 Kvsistionání pole 4 Skin-efekt Mxwellovy ovnie v piblíení kvsistionáního pole 7 7 Následujíí vzth ee hápt jko definii piblíení kvsistionáního pole: u poud uvujee pouze poud dný Ohový zákone 7

18 vedou n B E =, E =, t B = σ E, B = E B E = σ, = E t t (4) (4) Uvuje nekonený píý dát kuhového pezu V dsledku syetie á elektiké i gnetiké pole jedinou sloku E = E ( ) exp { iω t} ez, B = B exp{ iω t} e ϕ (43) áe tedy kde jse oznili E + k E = iω B = d d de,, d d d (44) i + i k = =, δ = (45) δ δ ω σ eeníi ovni (44) konenýi n ose jsou k E = K J ( k ), B = i K J ( k ) ω (46) Konstntu únosti K získáe pooí jedné nebo duhé následujíí podínky (poud potékjíí dáte á dnou hodnotu esp tok gnetikého pole plohou potínnou dáte usí ít dnou hodnotu) Máe tedy uvnit vodie Po lé hodnoty fekvene je R = = π σ E d I, π R B R I (47) I k R J k I J k E, B = σ π R J k R = π R J k R (48) I I,, σ π R π R R (49) B E ztío po velké hodnoty áe v blízkosti R 8

19 I R R R π E exp exp i ω t ez, π σ Rδ δ δ 4 I R R R B exp exp i ω t e ϕ π R δ δ Vzthy (4) získáváe z syptotikého ozvoje Besselovýh funkí π Jν ( z) os z ν + π z (4) (4) Pbh eltivní hodnoty hustoty poudu po dný dát polou se speifiký odpoe 8 σ,555 = Ω pi dvou znýh fekveníh ( f = 5 Hz f = 5 MHz ) je ukázán n obázku Je vidt, e pi síové fekveni je skin-efekt znedbtelný 4 Vzájená induknost vlstní induknost Uvuje dv geoetiky pevné ívky s ponný poude v íve Indukovné nptí v íve vyvolné znou pole buzeného ívkou je 8 I dl U = B n d S, B n ds = A d, A = t l 4π (4) Po doszení dostáváe di dl dl U = M, M = dt 4 π (43) 8 Poznák: noál k ploe je dán pvidle pvé uky, tedy ve su vektoového souinu teny vnitní noály k oientovné (poti su hodinovýh uiek) uzvené kive n ploe 9

20 Pokud by tekl ponný poud ívkou, bylo by indukovné nptí v íve d I U = M, M = M = M d t (44) Ale tké zn gnetikého toku ívkou vytvoí indukovné nptí v této íve, stejné pltí po ívku Oben tedy ee psát di di di di U = L + M, U = M L dt dt dt dt (45) sová zn enegie gnetikého pole je ovn zápon vzté pái dw d d d d = U I U I = L I + L I M I + I dt dt dt dt dt, (46) tke po enegii gnetikého pole je W = L I + L I M I I, L L M (47) Enegii gnetikého pole áe ove tké vyjádenu jko W = B H dv = j Ad V V Pi odvození ovnosti obou výz v (48) je postupn vyuito vzth B = A, H A A H = A H, H = j Vzthu po enegii vyuijee po výpoet vlstní induknosti L B V V I V (48) (49) = d (4) Uvuje dv ívky ve tvu solenoidu kdou o N záviteh tsn n sob Pez ívek je S jejih délk l Pole pvní duhé ívky jsou tedy piblin B N I l, B N I l po induknosti áe L L M N S l Po enegii gnetikého pole pk N S W I + I l (4) 43 Koplexní odpo Po obvod s odpoe, kondenzátoe indukností v séiové zpojení áe Q di dq U = R I + + L, I =, (4) C dt dt tedy po honiký pbh { ω } { ω } U = U exp i t, I = I exp i t (43)

21 dostáváe vzth U = Z I, Z = R i ω L (44) ω C Vezee-li eálnou ást (44), dostáváe ( ) U os ω t ϕ ω L = tg ϕ = R ω R C R + ω L ω C I, Po soustvu induktivn váznýh obvod á zobenní ovnie (4) tv (45) Q dib dq U = R I + + Lb, I =, (46) C dt dt b kteý po peiodiké dje dává i U = Zb Ib, Zb = R + b i Lb b ω C δ ω (47) Vlstní fekvene dostnee z podínky eitelnosti soustvy ovni po poudy pi veh U =, tedy ( b ) det Z = (48) Rovnie (46) lze foáln získt doszení lgngiánu L disiptivní funke R dq dqb Q dq L = Lb + Q U, R = R (49), b dt dt C dt do obeného vzthu d L L R = dt dq Q dq dt dt (43) Jde tedy o nlogii k soubou tluenýh honikýh osiláto buzenýh vnjí silou 5 Mxwellovy ovnie v teiálové postedí 5 Mikoskopiké Mxwellovy ovnie Náboje poudy ozdlíe n ty, kteou jsou vázné n postedí n vnjí náboje poudy Mikoskopiké Mxwellovy ovnie v teiálové postedí tedy budou ext h e = ρ + ρ, e, ε = t e h = ε + ρ v + jext, h = t (5)

22 Vytvoíe stední hodnoty 9 dostnee ext B E = ρ + ρ, E, ε = t E B = ε + ρ v + jext, B =, t kde jse oznili e = E, h = B (5) (53) Celkový náboj vázný n postedí, pln uzvené uvnit oblsti V je oven nule ρ dv = ρ = P, pie P = V (54) vn teiálu Poto je toti z Gussovy vty nulovost elkového náboje zuen ρ dv = P dv = P n ds = V V S Uvuje dipólový oent ρ dv = P dv = n P ds + P dv = P d V V V S V V (55) (56) Povee nyní ez teiále tk, by byl pln uzven uvnit njké plohy S Celkový poud touto plohou vázný n postedí je dán elkovou hodnotou sové zny ptu vektou polize P P ρ v n ds = n d S ρ v = M +, t t S S pie M = vn teiálu Poto je toti Uvuje gnetiký oent T P li M n ds dt T T + = t S T li { M d dt + P( T ) P n ds } = T T l l S (57) (58) 9 Je to obdob situe v ehnie kontinuity: stedujee pes lý obje, kteý sie obshuje dosttek to i olekul po vyhlzení ikoskopikýh fluktuí, le stále jej ee z koskopikého hledisk povovt z bod postedí

23 d d ρ v V = M V = V V ( n M ) ds ( M ) dv = M d V S V V (59) Definie vekto polize P gnetize M pooí oent je dleitá po jednoznnost, jink by vyhovovly tké P + f M + f Povine si, e spojení ovni (54) (57) dává ovnii kontinuity ρ + ρ v t = (5) Vyneháe-li te indexy ext, dostáváe konený tv Mxwellovýh ovni (4) B B =, E =, t D D = ρ, H = + j t (5) Mteiálové vzthy jsou pk D = ε E + P, H = ( B - M ) (5) V kovovýh teiáleh pokládáe j = σ E (53) 5 Mxwellovy ovnie po postedí s tiviálníi teiálovýi vzthy V hoogenní izotopní lineání postedí bez dispese áe jednoduhé teiálové vzthy D = ε ε E, H = B Zvedee-li po popis elektognetikého pole vektoový sklání poteniál A B = A, E = φ, t (54) (55) áe po doszení do Mxwellovýh ovni ρ φ + A = t ε ε A φ A ε ε A + ε ε = j t t S vyuití klibní tnsfoe, (56) 3

24 ee ít ψ A A + ψ, φ φ t A + ε ε φ = t (57) (58) dostáváe tk po poteniály nehoogenní vlnovou ovnii n φ ρ φ =, t ε ε (59) n A A = j t Oznili jse yhlost svtl ve vkuu index lou n =, n = ε (5) ε 6 sov ponná elektognetiká pole ve vkuu 6 Rovinná kulová vln Vlnová ovnie v jednoozné pípd vlnová ovnie po sféiky syetiké eení v tojozné pípd jsou ( x, t) ψ ( x, t) ψ =, x t (, t) ψ (, t) ψ = t Obené eení thto ovni je x x ψ ( x, t) = f t + g t +, ψ (, t) = f t g t + + (6) (6) N tto eení se ee dívt jko n ovinnou vlnu jdouí ve su nebo poti su osy x espektive n ozbíhvou nebo sbíhvou kulovou vlnu 6 Obené eení nehoogenní ovnie po poteniály Pvní eení z eení (6) se sféikou syetii je veli dleité, nebo ná uoní zpst oben zpodné poteniály, zpsobené zdný ozloení náboje poudu Pipoee si, e pltí 4

25 ( 3 ) = 4 π δ ( ) (63) Obené eení nehoogenníh ovni po poteniály φ ρ φ =, t ε A A = j t (64) ee tedy získt jko 3, = d 4π ε ( t) ρ, t φ (65) j, t 3 A(, t) = d, (66) 4π = Po deivování integi dá ittel integndu pvou stnu nehoogenní kde ovnie, jenovtel je funke, kteá je eení hoogenní vlnové ovnie 63 Pole sov ponného dipólu Uvuje vehny náboje soustedny kole poátku soudni Pk ee po vektoový poteniál psát = / 3 / (, ), d A t j t e v t 4π 4π neboli A(, t) p t, p( t) = e ( t) 4π t (67) (68) Sklání poteniál spotee integí klibního vzthu φ t = A (69) Jednoduhýi úpvi dostnee 5

26 A = p t p t, 3 + 4π t t A = p t + p t 3 4π t t Sklání poteniál je tedy φ (, t) = p t p t 3 + 4π ε t Po intenzity dostnee p t 3 E (, t) p t p t =, 3 4π ε + t p t p t B (, t) =, p t = p t + 3 4π t t Dostten dleko od dipólu áe E (, t) = D t n, B (, t) = D t, π 4π ε 4 kde jse oznili p t D t = n, n = t Po hustotu enegie áe Poyntingv vekto je Pltí piozen W E B = ε + = 6 D 4 π ε S = E B = 3 6π ε D n S W = n Píkld: Veze ozloení poudu ve tvu π z j (, t) = J δ ( x) δ ( y) sin os ( ω t) ez L, z L (6) (6) (6) (63) (64) (65) (66) (67) (68) 6

27 Podle (67) (68) spotee sndno p t L J π ω t e = sin( ω ) z (69) podle (64) L J D t ω sinθ sin ω t = eϕ π (6) Píkld: V kvntové teoii vezee ísto integálu z poudové hustoty tiový eleent opeátou poudu ezi poátení konový stve elektonu v tou Ze Shödingeovy ovnie * ψ i ħ ψ f ħ * i ħ = + V ψ i, i ħ = + V ψ f (6) t t dostnee po úpv t + = i * ħ * * ( ψ ψ ) ( ψ ψ ψ ψ ) i f f i i f (6) Vzth (6) uouje zpst ovnii kontinuity ρ t f i + =, kde hustot náboje hustot poudu odpovídjíí pehodu i j f i f jsou * e ħ * * ρ f i = eψ iψ f, j f i = ψ f ψ i ψ i ψ f i (63) (64) Vynásobení (63) vektoe lou úpvou získáe vzth Dosdíe * ( ψ iψ ) f ( j f i ) ( j f i ) ( j f i ) = j f i t x x y y (65) z z dné títo vzthe do (67) Integály s deivei podle postoovýh j f i soudni djí nulu, tke zbude jen pvní len s deiví podle su Poovnání s (68) vede k výzu po dipólový oent Vezee pito v úvhu, e po stionání stvy i * * i ψ i (, t) = ui ( ) exp Ei t, ψ f (, t) = u f ( ) exp E f t ħ ħ S oznení f i ( E f Ei ) (66) ω = ħ ee psát po dipólový oent vyvolný elektonový pehode i f p ( t ) = ( iω t ) e u ( ) u ( ) d * 3 f i exp f i f i (67) 7

28 64 Liendv - Wiehetv poteniál A se nbitá ástie pohybuje po zdné tjektoii = ( t) ( 3) ρ, t = eδ t ( ) Vzoe po sklání poteniál pepíee jko / / / ρ (, t ) / / 3 / φ (, t) = δ t t + dt d = / 4π ε / / / δ t t + d t, / 4π ε R ( t ) R t / = t /, R t / = R t / S pooí vzthu kde jse oznili / / δ ( ) ( ) v ( t ) R ( t ) Hustot náboje je pk (68) (69) R t t t / R t δ t t + =, t = t (63) R t npíee výz po sklání poteniál jko e R t φ (, t ) =, t = t (63) 4π ε R ( t ) v ( t ) R ( t ) Výz po vektoový poteniál je pk obdobn e v ( t ) R ( t ) A(, t ) =, t = t 4π R ( t ) v ( t ) R ( t ) (63) Veze te jednoduhý pípd pohybu s konstntní yhlostí podél osy x Podínku po nlezení sového zpodní pepíee n odkud t t = x v t + y + z, (633) v v x v t t x v t y z = + + Jenovtel výz (63) (63) po poteniály ee psát jko Po lé úpv pk dostáváe v x v t v x v ( t t ) = t t (634) (635) 8

29 po sklání poteniál φ (, t) = e 4π ε ( β ) * e A(, t) = ( Ax (, t),,), Ax (, t) = 4π po vektoový poteniál, kde jse oznili Vekto intenzity elektikého pole je vekto induke gnetikého pole je * ( x v t) = + + y z β 4π ε ( β ) ( β ) e E (, t) = x vt, y, z *3 B t e 4π ( β ) v ( z y), =,, *3 v * (636) (637) (638) (639) (64) Po vekto hustoty ipulsu pole G = ε E B dostáváe e v G t y z y x vt z x vt *6 6π β (, ) = +, ( ), ( ) po hustotu enegie W ( ε E B ) 65 Ztát enegie záení = + výz ( x vt ) + ( + β )( y + z ) e W (, t ) = 3π ε β *6 (64) (64) Po Poyntingv vekto dipólového elektognetikého pole jse li výzy (64) (66) Po jednu neeltivistikou ástii s náboje e, kteá se pohybuje se zyhlení w je pk intenzit záení vyhází jko D = e w n e di = S n dω = w sin θ d Ω 3 6π ε (643) (644) Po integi pes elý postoový úhel dostnee po vyzovnou intenzitu (E je enegie ástie) 9

30 I de e = = dt 6π ε 3 w (645) 7 Rozptyl záení volnýi náboji 7 Thosonv vzoe Budee popisovt ozptyl záení, kteé dopdá n soustvu nbitýh ásti Zvedee poto poje úinného pezu A di zní intenzitu záení, tj stední hodnotu enegie vyzovné soustvou z jednotku su do eleentu postoového úhlu dω S je stední hodnot velikosti Poyntingov vektou (stední hodnot toku enegie) dopdjíího záení Poto je definován difeeniální úinný pez (úinný pez ozptylu do eleentu postoového úhlu dω ) jko veliin ozu eleentu plohy di d σ = (7) S Uvuje te ozptyl elektognetiké vlny jední volný náboje Budee pedpokládt, e yhlost získná náboje bude lá e vlnová délk dopdjíí vlny je nohe vtí ne plitud vyvolnýh kit náboje okolo pvodní polohy (do této polohy uístíe poátek soudni), tedy ee psát d = e E os( k ω t + α ) e E os ( ω t α ) (7) dt Po intenzitu dipólového záení kitjíího náboje áe podle (645) e e di = E n os t d E sin d 6π ε ω α Ω = 3 θ Ω π ε (73) po stední hodnotu Poyntingov vektou dopdjíí vlny S = ε E os ( ω t α ) = ε E, (74) tke difeeniální úinný pez je e dσ = sin θ d Ω 4π ε Celkový úinný pez je pk dán Thosonový vzoe (75) 8π e 8 3 4π ε 3 σ = = π e (76) 3

31 Veliin e oznuje tzv klsiký polo elektonu Vzth po polo získáe tk, e poloíe elektosttikou enegii elektonu polou e ovnu klidové enegii 7 Modifike Thosonov vzoe e 4π ε e Uvuje nyní nikoliv volný náboj, le tluený osiláto, tedy d d e + γ + ω = E os ω t dt dt Po dipólový oent p = e odsud dostáváe e p = ( ) os ( ) Celkový úinný pez je v toto pípd 73 Index lou = (77) ω ω ω t + γ ω sinω t E ω ω + γ ω 8π σ = 3 e 4 ω ( ) ω ω + γ ω (78) (79) (7) Definujee polizovtelnost α ( ω ) jko konstntu únosti ve vzthu ezi (lokální) elektiký pole zápisu (78) Poto d d E lo dipólový oente p Vyjdee z koplexního d e + γ + ω = E exp iω t t dt E α ( ω ) lo e p = ε α ω, = lo ε ω iγ ω ω (7) (7) Polize je pk P = N p Musíe ove uváit, jké pole psobí n náboj Pipoee z elektosttiky, e je-li v dielektiku s hoogenní pole dutin, je lokální pole ovno E = E, E = E + P, E = E + P, lo lo lo ε 3ε (73) podle toho, jde-li o tbinu podél nebo npí pole nebo o kulovou dutinu Po úplnost pozneneje, e po gnetiké pole áe v podobné situi Blo = B M, Blo = B, Blo = B M 3 (74) 3

32 Po dielektik uvujee o váznýh nábojíh uvnit kulové dutiny, ee tedy psát N α P = ε E N α 3 po index lou (z veli stého pedpokldu ( ω ) = ) n N α = + N α 3 Obvyklá fo tohoto vzthu je (Clusius - Mossotti) n 3 N = α n + (75) (76) (77) Ve vodii uvujee o té volnýh elektoneh (neváznýh k tou, tedy ω = ) dále áe po konstntu γ (ze dvou znýh vyjádení poudu zápisu zny hybnosti z dobu ezi sáki) N e j = σ E, j = N evd, vd γ = e E γ = (78) σ Tké lokální pole je ovno vnjíu, opt díky neustáléu pohybu té volnýh elekton Odtud áe po index lou v kovu ω p N e n =, ω p = ε ω + iω ω ε p σ (79) 8 Elektognetiké pole v dispesní postedí 8 Mxwellovy ovnie Mxwellovy ovnie po Fouieovy sloky (píee oben bez vyznení postoové ponné) poítné jko f ( t ) = exp d f ω i ω t ω π (8) jsou B =, H = i D, (8) D =, E = i B ( ω ) ( ω ) ω ( ω ) ( ω ) ( ω ) ω ( ω ) Pedpokld lineáního píinného vzthu ezi intenzitou indukí elektikého pole pipoutí následujíí vzth 3

33 D( t) = ε E ( t) + χe ( τ ) E ( t τ ) d τ Podobn po gnetiké veliiny B ( t) = H ( t) + χ ( τ ) H ( t τ ) d τ Fouieov tnsfoe (83) (84) vede k výz D ω = ε ε ω E ω, B ω = ω H ω, (83) (84) (85) kde e (86) = + ( i ) = + ( i ) ε ω χ τ exp ωτ d τ, ω χ τ exp ωτ d τ Z tohoto vyjádení áe hned * *, ε ω = ε ω ω = ω (87) ( ω ) li ε ω =, li = (88) ω ω Koplexní veliiny ε ( ω) ( ω ) je zvyke znit pooí eálnýh igináníh ástí jko Po dielektik nbývá ε ( ω) ε / ( ω) iε / / ( ω ) ( ω ) / ( ω ) i // ( ω) = +, = + (89) ε ω pi ω konenou hodnotu sttiké eltivní peitivity Po kovy je hování zjívjí Z poovnání dvou tv ( H )( ω ) dostáváe iσ iω ε ( ω ) E ( ω ) σ E ( ω ) ε ( ω ) ω S vyuití vzth (85) ee Mxwellovy ovnie (8) pepst n kde ( ω ) ( ω ) ω ( ω ) ( ω ) n B ( ω ) =, B ( ω ) = iω E ( ω ), E =, E = i B, (8) (8) ε =, ε ( ω ) ( ω ) = n ( ω ) (8) φ ω =, A ω =, tke Vhodnou volbou klibe poteniál je E i A B A ( ω ) = ω ( ω ), ( ω ) = ( ω ) (83) 33

34 po vektoový poteniál áe Helholtzovu ovnii ( ω ) ω n A( ω ) + A ( ω ) = 8 Disipe enegie Veze nyní výz (7) B D S = H + E t t (84) (85) Uvuje onohotikou elektognetikou vlnu Ponvd pvá stn (85) obshuje kvdtiké výzy, usíe povt s eálnýi epezentei pole, tj doszovt * E = E ( ω ) exp( iω t) E ( ω ) exp ( iω t), + D iω ε = ε ω ω ω + ε ω ω ω t * * E exp( i t) E exp( i t) (86) * H = exp exp, H ω iω t + H ω iω t B iω * * = ( ω ) H ( ω ) exp( iω t) + ( ω ) H ( ω ) exp ( iω t) t (87) Po sovou stední hodnotu Poyntingov vektou T S ( ω) = li S ( ω, t) dt T T (88) dostáváe ze vzthu (85) doszení z (86) (87) ω S = E + H ( ω ) ε ε ( ω ) ( ω ) ( ω ) ( ω ) (89) Enegie pidávná do jednotky objeu postedí piházejíí elektognetikou vlnou je poován n teplo Podle duhé vty teodyniké usí být toto teplo pi disipi enegie vytváeno, usí tedy být ω ε ω >, ω ω > (8) 83 Fázová gupová yhlost Uvuje íení vlny ve su osy z Pedpokládeje, e postedí á jen slbou dispesi, tedy kvdát indexu lou bude souine eálnýh ástí peitivity peebility (áky vyneháváe) vlnu npíee jko 34

35 ( ω) ω n A = ( ω ω ) exp i z ω t d ω (8) Aplitudová funke je soustedn kole entální fekvene ω, tke podsttnou oli bude hát jen lá gup vln s blízkýi fekvenei Povedee ozvoj fáze kole entální fekvene ω n( ω) ω n( ω ) z d ω n( ω) z ω t = z ω t + t( ω ω ) + dω ω = ω Vlnu (8) poxiujee výze z z A exp i ω t exp i t d, v ξ ξ = f v ξ g (8) kde jse oznili fázovou yhlost (index u fekvení u vyneháváe) v f = (83) n ω gupovou yhlost v g = d ω n( ω) dω ω = ω (84) Pokud je index lou ení ne jedn, e nbývt fázová yhlost hodnot vtíh jk yhlost svtl ve vkuu Fázová yhlost je vk jen bstktní veliin Zto gupová yhlost vystupuje npíkld jko yhlost penosu enegie, l by tedy podle Einsteinovy teoie být vdy ení ne Poto usí být splnn podínk ( ω) d ω n > (85) dω Není tiviální to ukázt, le podínk skuten splnn je 9 Rovnie elektognetikého pole ve tyozné zápisu 9 tyozný vekto poudu, ovnie kontinuity Hustotu náboje píee jko dq = ρ d V, ρ = e 3 δ (9) 35

36 Ze vzthu i i i dx dq dx = ρ dv dx = ρ dv dt (9) dt poovnání geoetikýh vlstností (dv skláy dq eleent náboje dv dt = dω eleent tyobjeu jeden tyvekto dx i ) vyplývá, e usíe definovt dlí tyvekto (poudu) i i dx j = ρ = ( ρ, ρ v ) = ( ρ, j ) dt (93) Ve výzu po úinek ee pk psát pi pehodu ke spojitéu ozdlení náboje i i i e Ai dx = ρ Ai dx dv = Ai j d Ω (94) Náboj, kteý ubude v njké objeu, ee zpst dvojí zpsobe ρ dv = j n d S t (95) S pooí Gussovy vty pk z (95) plyne ρ j + dv =, t tedy (obje je libovolný) ovnie kontinuity i ρ j j + = = i t x (96) (97) Zákon zhování náboje (ovnie kontinuity) zuuje, e pi klibní tnsfoí se úinek zní pouze o divegeni i i χ i i ( χ j ) Ai j Ai j Ai j (98) i j = dω + dω = dω + d Ω i i i x x x 9 Náboj v elektognetiké poli Úinek po nbitou ástii v elektognetiké poli, kteý je invintní á iniální inteki, ee zvolit jko Lgngeov funke zobenná hybnost jsou b b i i φ S = d s e Ai d x, A =, A v L v L = + e A v e φ P = = + e A = p + e A (99), (9) v β 36

37 Je pk φ Lgngeov ovnie je tedy L = e A v e = e v A + ev A e φ d d p A ( p + e A) = + e + e( v ) A d t d t t d p e E v B dt = +,, (9) (9) kde jse oznili A E = φ, B = A t (93) Ve tyozné noti b b b i δ S = δ ds e Ai dx = i A b i i k A k i i i δ x dui + e δ x dx e δ x d x ( ui + e Ai ) δ x k k x x Pouili jse pi odvození integi pe ptes vzthy (94) i Ai k δ ds = ui d δ x, δ Ai = δ x (95) k x Obvyklý postupe dostáváe výz po zobennou hybnost i i i P = u + e A (96) pohybovou ovnii d ui k Ak Ai e Fi k u, F = i k = i k d s x x (97) 93 Tenzo elektognetikého pole Ve vzthu (97) jse zvedli tenzo elektognetikého pole Pi úpv pouijee identitu znáou z vektoové nlýzy = ( b ) ( ) b ( b ) b ( ) ( b ) 37

38 F i k Ex Ey Ez Ex Ey Ez Ex Bz By Ex B ik z By =, F = (98) Ey Bz B x Ey Bz B x Ez By Bx Ez By Bx Pi Loentzov tnsfoi se tenzo elektognetikého pole tnsfouje podle vzthu Ozníe-li γ = β, dostáváe pi tnsfoi i k i k n F = Λ Λ F (99) n / / / / / 3 /3 x = γ x + β x, x = γ x + β x, x = x, x = x, (9) neboli v tiové zápisu γ β γ i i / k i β γ γ x = Λk x, Λ k = (9) tnsfoní vzth po tenso pole ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) / / / / 3 /3 F γ F β F γ F β F / / / /3 / 3 F γ F β F γ F β F i k F = (9) / / / / / 3 γ ( F + β F ) γ ( F + β F ) F / 3 /3 / 3 /3 /3 γ ( F + β F ) γ ( F + β F ) F Pevedeno do vekto intenzity induke E / ( / / ) ( / / x = Ex, Ey = γ Ey + V B z, Ez = γ Ez V B y ), / / V / / V / (93) Bx = Bx, By = γ By E z, Bz = γ Bz + E y V neeltivistiké piblíení ( V ) pehází (93) n / / / E E V B, B B (94) Invinty pole ee zkonstuovt z tenzou pole Ponvd je ntisyetiký, zúení nedává ni áe kvdtiké výzy g g F F = F F =, F F = F F = (95) i k n i k i k n * i k i k n i k inv ε i k n i k inv Duální tenzo vyjádený pooí intenzity elektikého pole induke gnetikého pole á tv 38

39 * F i k Bx By Bz Bx Ez Ey = (96) By Ez Ex Bz Ey Ex Invinty jí pk vyjádení i k E * i k E B Fi k F = B, F 4 i k F = (97) 94 Pvní pá Mxwellovýh ovni Z vyjádení tensou elektognetikého pole pooí poteniálu sndno odvodíe pltnost vzthu Fi k Fk l Fl i + + = l i k x x x (98) N levé stn je úpln ntisyetiký tenso tetího ádu, pedstvuje pouze tyi zné ovnie Zetelnji je to vidt, uijee-li zápis pooí duálního (pseudo)vektou ε i k l F x l k * i k F = = (99) k x Nultá koponent dává tvzení o nezídlové hkteu gnetikého pole, dlí ti koponenty Fdyv indukní zákon B B =, E = (93) t 95 Duhý pá Mxwellovýh ovni Duhý pá Mxwellovýh ovni odvodíe z viního pinipu Z Lgngeovu funki elektognetikého pole zvolíe piozen znáý invint s vhodnou konstntou i i k S = Ai j Fi k F d + Ω 4 (93) ε = E ρ φ B + j AdV d t S uváení i k i k F δ Fi k Fi k δ F = dostáváe i i k δ S = j Ai F Fi k d δ + δ Ω = i ik i k j δ Ai F δ Ak F δ Ai d i k + Ω x x Po integi pe ptes ve (93) (93) 39

40 i k i F i k δ S = j δ Ai d F δ Ai d S k k + Ω x (933) Duhý pá Mxwellovýh ovni je tedy F x i k k = i j (934) Nultá koponent je ovnie po divegeni induke elektikého pole (zobenní Gussovy vty elektosttiky), zbývjíí ti po oti intenzity gnetikého pole (Apév zákon doplnný Mxwellový posuvný poude) D D = ρ, H = + j t 96 Tenso enegie hybnosti (935) Tenso enegie hybnosti dostnee z teoéu Noetheové pi tnsfoi, odpovídjíí tnsli soudni L X = δ, Q =, T x = q Lδ, i i A i A i j j j j j A j q, i (936) Tdy je index j vlstn indexe náhodn tensoový Tkto získný tenso enegie hybnosti i k T není oben syetiký Po Lgngeovu funki elektognetikého pole je q A L L i j = = F A, i j, i tenso enegie hybnosti vyhází nesyetiký (937) l A T = g gl F g F j l F x 4 i k i j k i k l (938) K výzu po elkovou hybnost i k T ee ove pidt len, zuujíí syetii, kteý pito neovlivní τ T T T, x i k l ik ik ik ik l il k = + τ = τ l (939) Podvek syetie se objevuje poto, by byl splnn i zákon zhování oentu hybnosti, ik l i k l k il definovného vzthe M = x T x T, tedy M x ik l l i k k i = T = T (94) i k l Po elektognetiké pole tenso τ sndno njdee jko τ = A F, (94) i k l i k l 4

41 tke výsledný tenso enegie hybnosti bude i k il k i k l T = gl F F + g Fl F 4 (94) Zpsáno pooí tíoznýh veliin W Sβ i k T = Sα σ α β, (943) kde W B ε, S E = + = B (944) jsou hustot enegie Poyntingv vekto σ = ε E E + B B W δ (945) α β α β α β α β je Mxwellv tenso nptí 97 Vlnová ovnie ovinné vlny Vezee duhý pá Mxwellovýh ovni (ve vkuu) dosdíe vyjádení pole pooí poteniál i k F i k i j k l A A l j =, F = g g, k j l x x x g i j k i A k l A g = j k k l x x x x (946) Loentzov klibní podínk zjednoduí (946) n vlnovou ovnii k i A k l A =, g = k k l x x x (947) Pooí dalebetov opeátou áe pk ve tíozné zápisu = (948) t φ + A =, φ =, A = t (949) Hledáe-li eení ve tvu ovinné vlny, jde vlstn o konstntní tyvekto násobený koplexní jednotkou Je pk 4

42 { } i i j i i A = Re exp i k x, k k =, k = (95) j i i Poslední vzth ve (95) je dán Loentzovou klibní podínkou tyvekto hybnosti zpisujee jko ω ω i k =, k, k = n, n = (95) Veli jednodue popíee pooí hkteistik ovinné onohotiké vlny Dopplev jev Mje zdoj svtl, kteý je v klidu v soustv K Soustv K se pohybuje vzhlede k lbotoní soustv K yhlostí V A je úhel ezi se pohybu zdoje se íení svtl α Poto pltí odtud k β k ω ω k =, k =, k =, β k β k ω ω k =, k = os α, k = osα β (95) ω = ω β β osα Po yhlosti lé ve sovnání s yhlostí svtl áe (953) V V os os + + (954) Tenso enegie hybnosti je { } T W k k, W Re exp i k x ω i k i k i * i j = = i + i j (955) Ve stední hodnot podle su je duhý len ve výzu po hustotu enegie oven nule Ob invinty (97) jsou ovny nule Se speiální volbou klibe (spojené ove s jednou uitou ineiální soudnou soustvou) áe i A = (, A), A = y os ( ω t k x + α ) ey + z sin ( ω t k x + α ) ez, E = ω y sin( ω t k x + α ) ey ω z os ( ω t k x + α ) ez, B = k os ω t k x + α e + k sin ω t k x + α e Eliptiká polize tkové vlny je vidt ze vzthu ω E z y y z y Ez y Bz y ω z k z k y (956) B + =, + = (957) 4

43 43