VE FYZICE A GEOMETRII. doc. RNDr. Jan Kříž, Ph.D., RNDr. Jiří Lipovský, Ph.D.
|
|
- Radim Novotný
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 POUŽITÍ INTEGRÁLNÍHO POČTU VE FYZICE A GEOMETRII doc. RND. Jn Kříž, Ph.D., RND. Jiří Lipovský, Ph.D. Hdec Kálové 215
2 Obsh 1 Použití integálního počtu ve fyzice Kinemtik Potenciál, potenciální enegie Učení těžiště těles Moment setvčnosti Gvitční síl mezi dvěm tělesy Výpočet páce Elektosttik Příkldy k smosttnému pocvičování Výsledky příkldů s smosttnému pocvičování Geometické plikce učitého integálu Délk křivky Plošný obsh ovinných množin Výpočet objemů těles Výpočet povchů otčních ploch Příkldy k smosttnému pocvičování Výsledky příkldů s smosttnému pocvičování Dopoučená litetu 28 2
3 Předmluv Tento studijní tet je učen zejmén jko studijní pomůck po studenty předmětu Doplňková mtemtik 2, vyučovného v letním semestu 1. očníku bklářského studi obou Fyzikálně-technická měření výpočetní technik n Ktedře fyziky Příodovědecké fkulty Univezity Hdec Kálové. Tento předmět od kdemického oku 214/15 vyučuji. Tet jsem převážně (ž n kpitoly ) sepsl podle poznámek předchozího vyučujícího doc. Jn Kříže, kteé jsem doplnil podobnějším slovním komentářem obázky příkldy k smosttnému pocvičování. Tet je ozdělen do dvou hlvních částí: pvní se zbývá použitím integálů ve fyzice duhá jejich geometickými plikcemi. N konci kždé části nleznete příkldy k smosttnému pocvičování se stučnými výsledky. Budu ád, když tento tet bude sloužit mým studentům, le i nejen jim. V přípdě, že v tetu objevíte chybu, překlep či nejsnost, sdělte mi ji posím n emilu jii.lipovskyzvináč uhk.cz. V Čenvíře, Jiří Lipovský veze 1.2 3
4 1 Použití integálního počtu ve fyzice 1.1 Kinemtik Uvedeme si jednoduché použití neučitého integálu po výpočet ychlosti polohy při pohybu v postou. Máme zdnou zdnou ychlost polohu v čse t zychlení jko funkci čsu. Učujeme závislost ychlosti polohy n čse; potože se jedná o vektoy, musíme učit všechny tři jejich složky. Složky ychlosti jsou v i (t) = i (t) dt, integční konstntu zvolíme tk, by se složky ychlosti v čse t = ovnly složkám zdné počáteční ychlosti v i (t ) = v i. Obdobně učíme složky polohy i (t) = v i (t) dt, integční konstntu volíme s ohledem n i (t ) = i. Příkld 1.1. Rychlost jednoozměného pohybu závisí n čse vzthem v = 3t 1 t 2. Učete závislost polohy n čse, znáte-li (2) = m. Řešení: Polohu učíme z výše uvedeného vzthu (t) = v(t) dt = 3 2 t2 + 1 t + C. Konstntu učíme z počáteční podmínky (2) = Závislost polohy n čse tedy je C = C = (t) = 3 2 t2 + 1 t Příkld 1.2. Učete závislost složek ychlosti polohy n čse při pohybu v ovině s 1 (t) = 1 ms 2, 2 (t) = 1 ms 1 t+1 s, když v čse t = s je v 1() = 2 ms 1, v 2 () = 1 ms 1, () = 2 m y() = 3 m. Řešení: Ze vzthu po ychlost dostneme v 1 (t) = 1 (t) dt = dt = t + C 1, doszením počáteční podmínky máme v 1 () = 2 2 = + C 1 C 1 = 2, v 1 = t
5 Obdobně po duhou složku 1 v 2 (t) = 2 (t) dt = t + 1 dt = ln (t + 1) + C 2, v 1 () = 1 1 = + C 2 C 2 = 1, v 1 = ln (t + 1) + 1. Složky polohy dostneme integcí složek ychlosti podle čsu. (t) = v 1 (t) dt = (t + 2) dt = t t + C 3, () = 2 2 = C 3, (t) = t t 2. Obdobně učíme závislost y-ové souřdnice n čse. Při integci použijeme metodu pe ptes y(t) = v 2 (t) dt = ln (t + 1) dt + dt = f = ln (t + 1), f = 1 t + 1, g = 1, g = t + 1 = (t + 1) ln (t + 1) dt + dt = (t + 1) ln (t + 1) + C 4, y() = 3 3 = ln 1 + C 4 C 4 = 3, y(t) = (t + 1) ln (t + 1) + 3. Obdobně můžeme získt úhlovou ychlost z úhlového zychlení úhel z úhlové ychlosti. 1.2 Potenciál, potenciální enegie Pokud je intenzit pole K funkcí jedné poměnné je závislá pouze n pozici objektu, je potenciál dán jko pimitivní funkce k K. Integční konstntu můžeme volit libovolně (podle toho, kde zvolíme nulovou hldinu). Obdobně potenciální enegie je pimitivní funkcí k negtivně vzté síle F. Síle, kteá závisí pouze n pozici objektu, říkáme konzevtivní. Příkld 1.3. Učete potenciální enegii odpovídjící elstické síle F () = k. Řešení: Potenciální enegie je E p () = F () d = k d = 1 2 k2 + E. Příkld 1.4. Učete potenciální enegii odpovídjící elektosttické síle F e () = 1 4πε Q 1Q 2 2. Řešení: Potenciální enegie je E p () = F e () d = 1 4πε Q 1 Q 2 2 d = Q 1Q 2 4πε + E. 5
6 Příkld 1.5. Učete potenciální enegii odpovídjící gvitční síle F g () = κ m1m2 2. Řešení: Potenciální enegie je E p () = F g () d = κ m 1m 2 2 d = κ m 1m 2 + E. Jko nulovou hldinu potenciální enegie můžeme vzít npř. povch Země (v tom přípdě dostneme E = κ m1m2 R Z ) nebo nekonečno (E = ). Příkld 1.6. Učete potenciální enegii homogenního tíhového pole se silou F G (h) = mg. Řešení: Potenciální enegie je E p (h) = F G () d = mg dh = mgh + E. 1.3 Učení těžiště těles Budeme uvžovt tuhé těleso v homogenním tíhovém poli. N hmotný bod v tíhovém poli působí moment síly M = F G, kde je polohový vekto síly vzhledem k ose otáčení. Moment síly působící n element těles o hmotnosti dm je g dm, kde g je tíhové zychlení. Celkový moment síly působící n těleso tedy bude M = g dm, kde se integuje přes celou hmotnost (m) těles. Účinek momentu sil se ovná momentu výslednice sil, kteá má působiště v těžišti M = T gm, kde T je polohový vekto těžiště. Poovnáním obou vzthů po momenty dostáváme po polohu těžiště T = 1 dm, m po jednotlivé složky dostáváme T = 1 dm, y T = 1 y dm, z T = 1 m (m) m (m) m (m) (m) z dm. Využijeme-li vzthu po hustotu těles m = ρv, tedy dm = ρ dv, dostáváme T = 1 ρ dv = 1 dv, y T = 1 y dv, z T = 1 z dv. ρv (V ) V (V ) V (V ) V (V ) Obdobně po těleso se stále stejnou výškou dostáváme T = 1 ds, y T = 1 y ds, z T = 1 S (S) S (S) S po těleso se stejným půřezem T = 1 dl, y T = 1 y dl, z T = 1 l (l) l (l) l 6 (l) (S) z ds z dl.
7 y α α Obázek 1: Dát ve tvu kuhového oblouku Příkld 1.7. Stnovte polohu těžiště homogenního velmi tenkého dátu tvu kuhového oblouku s poloměem středovým úhlem 2α. Řešení: Zvolíme si osu tk, by tvořil osu symetie oblouku (viz ob. 1). Ze symetie vidíme y T = z T =. Délk oblouku je l = 2α, oblouk můžeme pmetizovt = cos ϕ, y = sin ϕ mlý element délky oblouku je dl = dϕ. Po výpočet -ové souřdnice těžiště použijeme vzth T = 1 l (l) dl = 1 l α α 2 cos ϕ dϕ = = 1 α 2α 2 cos ϕ dϕ = α 2α [sin ϕ]α α = α sin α. Příkld 1.8. Učete polohu tenké homogenní desky omezené obloukem pboly y 2 = 2p přímkou = (viz ob. 2). Řešení: Ze symetie máme y T = z T =. Obsh desky vypočítáme tk, že ji ozkájíme n mlé použky o tloušťce d zintegujeme. Dostáváme S = 2 y d = 2 2 2p d = 2 2p 3 [3/2 ] = 4 2p 3/2. 3 -ová souřdnice těžiště tedy je s využitím ds = 2y d = 2 2p d T = 1 S (S) ds = 1 4 2p 3 3/2 2 2p d = 3 2 3/2 [ 2 5/2 5 ] = 3 5. Příkld 1.9. Učete polohu těžiště homogenního otčního kužele, kteý má polomě podstvy výšku h. Řešení: Zvolíme si souřdnou soustvu tk, že os y je osou kužele počátek je ve středu jeho podstvy. Ze symetie vidíme T = z T =. Kužel ozřežeme 7
8 y d Obázek 2: Desk tvu pboly d h y ϕ ρ dy Obázek 3: Rotční kužel Obázek 4: Řez kuželem 8
9 y Obázek 5: Velmi tenká tyč n válce o výšce dy poloměu ρ (viz ob. 3 4), dostáváme dv = πρ 2 dy. Z geometie máme (viz půřez n ob. 4) Objem je V = h dv = π 2 h 2 tg ϕ = h = h ρ h y (h y) 2 dy = π2 h 2 y-ovou souřdnici těžiště učíme ze vzthu y T = 1 V (V ) y dv = 3 π 2 h h yπ 2 = 3 [ h 3 h 2 y hy3 + y Moment setvčnosti (h y). h h 2 (h y)2 dy = 3 h 3 ] h ] h [h 2 y hy 2 + y3 = π2 h. = 3 h 3 ( h 4 h y(h y) 2 dy = h4 + h4 4 ) = h 4. Při učení momentu setvčnosti tuhé těleso opět ozložíme n elementy o hmotnosti dm vzdálené od osy otáčení. Příspěvek tohoto elementu do celkového momentu setvčnosti je di = 2 dm, dostáváme tedy vzth I = (m) 2 dm. Příkld 1.1. Učete moment setvčnosti homogenní velmi tenké tyče délky l hmotnosti m vzhledem k ose pocházející těžištěm tyče kolmo n tyč. Řešení: Učujeme moment setvčnosti tyče n ob. 5 vzhledem k ose y. Nechť tyč má hustotu ρ půřez S. Pk po element hmotnosti pltí dm = ρs d. Po moment setvčnosti máme l/2 [ ] I = 2 3 l/2 ( ) l 3 ρs d = ρs = ρs l3 = ρsl l = 1 12 ml2. l/2 l/2 9
10 d Obázek 6: Řez válcem Příkld Učete moment setvčnosti homogenního otčního válce o hmotnosti m poloměu vzhledem k podélné ose válce. Řešení: Nechť je délk válce l jeho hustot ρ. Rozřežeme válec n tenké slupky (v řezu n ob. 6). Element hmotnosti je dm = ρ2πl d. Moment setvčnosti podle výše uvedeného vzthu je I = [ ρ2π 3 4 l d = 2πρl 4 ] = 2πρl 4 4 = 1 2 m2. Příkld Učete moment setvčnosti koule poloměu hmotnosti m vzhledem k ose jdoucí středem. Řešení: Kouli budeme řezt n válcovité plátky o výšce dy poloměu. Element hmotnosti je dm = ρπ 2 dy. Z Pythgoovy věty máme 2 + y 2 = 2, tedy dm = ρπ( 2 y 2 ) dy. Z výše uvedeného vzthu po moment setvčnosti výsledku předchozího příkldu dostáváme I = (m) dm = 1 2 = 1 2 ρπ [ 4 y y 3 + y Gvitční síl mezi dvěm tělesy ρπ( 2 y 2 ) 2 dy = 1 2 ρπ ( y 2 + y 4 ) dy = ] = ρπ = = 8 15 πρ5 = 4 3 πρ = 2 5 m2. Gvitční síl mezi dvěm hmotnými body (nebo dvěm koulemi) je F g = κ m 1m 2 2, 1
11 y dy m 2 Obázek 7: Řez koulí dm m 1 l Obázek 8: Tyč hmotný bod kde je vzdálenost těchto bodů (esp. vzdálenost středů koulí), m 1 m 2 jejich hmotnosti κ gvitční konstnt. Tohoto vzthu využijeme element gvitční síly mezi dvěm elementy hmotnosti tuhých těles vyjádříme jko df g = κ dm 1dm 2 2, F g = (m) df g. Příkld Učete velikost gvitční síly, kteou n sebe vzájemně působí hmotný bod o hmotnosti m 1 homogenní tyč délky l hmotnosti m 2, jejíž hmotný střed má vzdálenost od hmotného bodu hmotný bod leží v podloužení podélné osy tyče. Řešení: Nechť je půřez tyče S její hustot ρ. Rozřežeme si ji n elementy dm dle ob. 8. Gvitční síl je podle výše uvedeného vzthu F g = κm 1 +l/2 l/2 ρs d 2 [ = κm 1 ρs 1 ] +l/2 = κm ( ) 1m 2 1 l/2 l l/ l/2 11
12 w/2 h Obázek 9: Válcový tnk Obázek 1: Řez válcem 1.6 Výpočet páce Páci učíme jko W = F ds, tj. integujeme půmět síly do tjektoie po (s) dáze, po kteé je těleso přemisťováno. Příkld Vypočtěte mechnickou páci, kteá je zpotřebí k vyčepání vody z válcového tnku z vodou. Válec o poloměu podstvy výšce h má osu symetie vodoovnou otvo má n honím okji (viz ob. 9). Řešení: Zveďme si oznčení jko n ob. 1. Potom element objemu vody (tenká vstv vody při hldině) je dv = hw d, kde je vzdálenost hldiny od otvou. Z Pythgoovy věty vidíme, že w = 2 2 ( ) 2 = 2 1 ( 1 ) 2. Síl působící n element hmotnosti je ovn součinu tohoto elementu s gvitčním zychlením, poto po element páce dostáváme dw = g dm. Páce je ovn W = 2 gρh2 1 Integál vypočteme pomocí substituce = ( 1 ) 2 2 d = 2gρh 1 ( 1 ) 2 d. ( 1 ) 2 d = t = 1, dt = 1 d, = (1 t) = (1 t)( ) t 2 dt = 2 1 t2 dt + 2 t 1 t 2 dt
13 Duhý integál je nulový, potože integujeme lichou funkci přes symetický intevl. V pvním integálu zvedeme substituci t = sin u, dt = cos u du dostáváme π/2 π/2 2 cos 2 u du = 2 π/2 = 2 Páce tedy je π π 1 4 dv 2 π/2 π π cos (2u) 2 cos v dv = 2 4 W = 2gh 1 2 π2 = mg = E p, du = v = 2u, dv = 2du = [v + sin v] π π = 1 2 π2. což je záponě vztá potenciální enegie těžiště vzhledem k otvou. Příkld Učete vzth po páci plynu při izotemickém ději. Řešení: Při izotemickém ději pltí pv = c, kde c je konstnt, z toho p = c V. Element páce je oven dw = F ds = ps ds = p dv. Páce je ovn V1 c W = dw = V dv = c ln V 1, V kde V je počáteční V 1 konečný objem. Příkld Učete vzth po páci plynu při dibtickém ději. V Řešení: Po dibtický děj pltí pv κ = c, kde c κ jsou konstnty. Obdobně jko v předchozím příkldě dostáváme W = V1 V p dv = 1.7 Elektosttik V1 V [ c V 1 κ V κ dv = c 1 κ ] V1 V = c V 1 κ 1 V 1 κ. 1 κ Intenzit elektického pole je ovn součtu intenzit způsobených jednotlivými elementy náboje de = dq 4πε 2, kde je jednotkový vekto ve směu od elementu náboje do bodu, ve kteém intenzitu zjišťujeme. Příkld Učete intenzitu pole nbité přímky s lineání hustotou náboje τ ve vzdálenosti R od této přímky. Řešení: Náboj v části přímky o délce dl je z definice lineání hustoty náboje dq = τdl. Tento náboj způsobuje v bodě vzdáleném R od přímky intenzitu de (viz ob. 11). Tuto intenzitu lze ozložit do dvou složek složky ovnoběžné s přímkou de l složky kolmé k přímce de. Složk E l se vyuší s příspěvkem opčné části přímky de l, ztímco de se sečte se stejně velkou složkou de. Velikost kolmé složky je de = de cos β = 13 τdl cos β 4πε 2.
14 β dl dl dβ de l de R β de de de l de Obázek 11: Pole nbité přímky Z geometie vidíme dl = dl cos β = dβ, z tohoto vzthu dosdíme do předchozí ovnice z dl cos β de = τ dβ τ dβ cos β = 4πε 4πε R, neboť R = cos β. Velikost celkové intenzity tedy je E = E = τ π/2 cos β dβ = 4πε R π/2 τ [sin β]π/2 4πε R π/2 = τ 2πε R. Příkld Učete velikost intenzity pole nbitého pstence n jeho ose. Hustot náboje je µ, polomě pstence vzdálenost bodu, ve kteém intenzitu měříme, od středu pstence je. Řešení: Situce je znázoněn n ob. 12. Elektosttická síl od elementu pstence je de s, kteá se dá ozložit n složku ovnoběžnou s osou pstence de složku k ní kolmou de. Příspěvky de od opčných stn pstence se vyuší, tkže nás zjímá pouze velikost de. T je de = de s cos α = dq 4πε s 2 cos α. Element náboje dq = µ dl = µ dβ dosdíme do vzthu výše de = µ dβ 4πε s 2 cos α = µ dβ 4πε ( )
15 de s de de α s dβ Obázek 12: Pole nbitého pstence Intenzit tedy je µ 2π E = 4πε ( dβ = ) µ = 4πε ( ) 2 + 2π = µ sin α cos α 2 2ε Příkld Učete intenzitu nbité oviny (plošná hustot náboje σ) ve vzdálenosti od ní. Řešení: Využijeme obázku v předchozím příkldu. Z geometie vidíme, že s dα = cos α d, záoveň s = cos α. Kombincí těchto dvou vzthů dostáváme d = dα cos 2 α. Využijeme vzthu mezi lineání plošnou hustotou µ = σ d výsledku předchozího příkldu. de = σ d sin α cos α 2ε 2 + = σ sin α cos α 2 2ε Velikost intenzity tedy je E = σ 2ε π/2 sin α dα = dα cos 2 α = = σ sin α cos 2 α 2ε cos 2 dα = σ sin α dα. α 2ε σ 2ε [ cos α] π/2 = σ 2ε. Všimněte si, že intenzit nezávisí n vzdálenosti od oviny. 15
16 R dα R O dα α α A Obázek 13: Pole nbité kulové slupky Příkld 1.2. Učete potenciál intenzitu nbité kulové slupky o poloměu R ve vzdálenosti od jejího středu. Řešení: Budeme uvžovt pstenec elementání šířky R dα kolmý k ose OA (viz ob. 13). Tento pstenec má náboj dq = σ(2πr sin α)r dα = 2πR 2 σ sin α dα. Z kosinové věty máme 2 α = R R cos α, difeencováním tohoto vzthu dostáváme 2 α d α = 2R sin α dα. Odsud vyjádříme sin α dα dosdíme do vzthu po element náboje Element potenciálu je dq = 2πRσ α d α. dϕ = dq = σr 4πε α 2πε d α. Pokud A leží vně plochy ( R), dostáváme ϕ = σr 2πε +R R Pokud A leží uvnitř plochy ( < R), dostáváme ϕ = σr 2πε +R R d α = σr2 ε = Q 4πε. d α = σr ε = Q 4πε R. V pvním přípdě dostáváme potenciál nbitého bodu, uvnitř kulové slupky je potenciál konstntní. Intenzitu učíme ze vzthu E = dϕ d, její velikost je 16
17 tedy záponě vztou deivcí potenciálu. R : E = Q 4πε 2, < R : E = Uvnitř koule je intenzit nulová, jedná se o Fdyovu klec. 1.8 Příkldy k smosttnému pocvičování Příkld Učete závislost složek ychlosti složek polohy n čse po pohyb v ovině s 1 (t) = (t+2 s) 4ms 3, 2 (t) = (t 2 +1 s 2 ) 3ms 4, počátečními hodnotmi složek ychlosti v 1 () = 1 ms 1, v 2 () = ms 1 polohy () = 1 m, y() = 2 m. Příkld Učete polohu těžiště tenké homogenní půlkuhové desky o poloměu se středem v počátku. Příkld Učete moment setvčnosti otčního kužele o výšce h poloměu podstvy R vzhledem k ose pocházející osou jeho symetie. Příkld Dokžte, že gvitční síl mezi hmotným bodem homogenní koulí je stejná jko v přípdě, kdy kouli nhdíme hmotným bodem o stejné hmotnosti. (Rozdělte kouli n kulové slupky dále postupujte obdobně jko v příkldu 1.2). 1.9 Výsledky příkldů s smosttnému pocvičování 1.21 v 1 (t) = 2t 2 + 8t + 1, v 2 (t) = t 3 + 3t, (t) = 2 3 t3 + 4t 2 + t 1, y(t) = t t T = 4 3π, y T = I = 3 1 mr2. 17
18 B A Obázek 14: K délce křivky 2 Geometické plikce učitého integálu 2.1 Délk křivky Křivk je zobzení ϕ intevlu [, b] R do R 2 (R 3 ). Množinu ϕ([, b]) nzýváme geometickým obzem křivky. Délku křivky vypočítáme tk, že ji poimujeme lomenými čmi sčítáme jejich délky; zjemňujeme dělení díváme se, zd se výsledek blíží nějkému číslu obdobně jko v definici Riemnnov integálu. ) křivk pmeticky zdná = f 1 (t), y = f 2 (t), t [, b]. Předpokládáme, že f i mjí spojité deivce. Pk je délk křivky ovn b s = N (f i (t))2 dt, N = 2, 3. (1) i=1 b) křivk zdná jko gf spojitě deivovtelné funkce Podle ob. 14 A B = f (), kde B = d. Potom z Pythgoovy věty ds = A2 + B 2 = 1 + (f ()) 2 d. Dostáváme s = b 1 + (f ()) 2 d. (2) Jiný způsob odvození je pomocí vzthu (1) s použitím =, y = f(). Příkld 2.1. Učete délku kužnice zdné pmeticky = cos t, y = sin t, t [, 2π]. 18
19 ds dϕ d dϕ ϕ Obázek 15: Křivk zdná v poláních souřdnicích Řešení: Učíme deivce d dy = sin t, dt dt = cos t. S využitím vzthu (1) dostáváme s = 2π 2 sin 2 t + 2 cos 2 t = 2π. Příkld 2.2. Učete délku kužnice zdné ovnicí 2 + y 2 = 2. Řešení: Honí půlkuh popíšeme ovnicí y = 2 2, = [, ], dolní půlkuh y = 2 2, = [, ]. Deivce je dy d = ( 2) = Délk křivky je (počítáme integál přes honí polovinu násobíme dvěm) s = d = d = = t, d = dt, = t = 1, = t = 1, = t dt = 1 1 ( π ( = 2 dt = 2[csin 1 1 t 2 t]1 1 = 2 2 π )) = 2π. 2 c) křivk zdná v poláních souřdnicích Křivk je zdán vzthem = f(ϕ), ϕ [α, β]. Podle ob. 15 Pythgoovy věty dostáváme Z toho (ds) 2 = ( dϕ) 2 + (d) 2 = f(ϕ) 2 (dϕ) 2 + f (ϕ) 2 (dϕ) 2. ds = (f(ϕ)) 2 + (f (ϕ)) 2 dϕ, β s = (f(ϕ))2 + (f (ϕ)) 2 dϕ. α 19
20 y f 2 () y f 2 () b f 1 () Obázek 16: Obsh plochy mezi křivkmi c b f 1 () Obázek 17: Obsh plochy mezi křivkmi, když f 1 nbývá záponých hodnot Příkld 2.3. Učete délku kužnice zdné v poláních souřdnicích = R. Řešení: S využitím předchozího vzthu dostáváme s = 2π R2 + dϕ = 2πR. 2.2 Plošný obsh ovinných množin ) Množin M je omezen gfy funkcí f 1 (), f 2 () s f 1 () f 2 () po [, b] přímek =, = b. Obsh plochy mezi křivkmi (vybvený čeveně n ob. 16) je ozdílem plochy pod křivkou f 1 () (vybvené někteou z bev) plochy pod křivkou f 2 () (vybvené modře). Tedy S = b (f 2 () f 1 ()) d. Stejný vzth pltí i po přípd, kdy někteá z funkcí nbývá záponých hodnot (viz ob. 17). V tomto přípdě dostáváme S = c (f 2 () f 1 ()) d+ b c f 2 () d b c f 1 () d = b (f 2 () f 1 ()) d. Stejný vzth bude pltit i v přípdě, kdy záponých hodnot nbývá f 2 (). b) M R 2 omezená uzvřenou křivkou dnou pmeticky = f 1 (t), y = f 2 (t), t [, b], f i () = f i (b), i = 1, 2. Příkld 2.4. Pmeticky popište křivku n obázku 18 nlezněte vzth po obsh plochy uzvřené touto křivkou pomocí pmetického popisu. 2
21 y f() Obázek 18: Křivk zdná pmeticky Řešení: Popíšeme postupně čtyři části křivky = f 1 (t) = t, y = f 2 (t) =, t [, ]. = f 1 (t) =, y = f 2 (t) = t, t [, f() + ]. 3. = f 1 (t) = t+f()+2, y = f 2 (t) = f(f()+2 t), t [f()+, f()+2]. 4. = f 1 (t) =, y = f 2 (t) = t+f()+2+f(), t [f()+2, f()+2+f()]. Obsh můžeme učit ze vzthu po obsh plochy pod křivkou: S = f() d = = f()+ f()+2 f()+2 f()+ y(t) d(t) dt dt = f 2 (t)f 1(t) dt = f()+ f 2 (t)f 1(t) dt = f()+2 f()+2+f() f 2 (t)f 1(t) dt, neboť integály přes části 1), 2) 4) jsou nulové. Předchozí vzth pltí i obecně. Uvžujme uzvřenou křivku pmetizovnou pmetem t. Má-li v někteém bodě pmet t hodnotu po obkoužení hodnotu b, lze obsh plochy uzvřené křivkou vyjádřit jko β S = f 1(t)f 2 (t) dt. α Příkld 2.5. Učete obsh kuhu o poloměu metodou ), tedy omezením plochy dvěm křivkmi. 21
22 Řešení: V nšem přípdě f 1 () = 2 2, f 2 () = 2 2. Poto S = ( ) d = d = = cos ϕ, d = sin ϕ dϕ, = ϕ = π, = ϕ = = = 2 π 1 cos 2 ϕ ( sin ϕ) dϕ = 2 2 = sin2 ϕ = 1 cos 2ϕ 2 π ( = 2 [ϕ] π π sin 2 ϕ dϕ = ) cos 2ϕ dϕ = π 2. Duhý integál v předposledním výzu je oven nule, potože integujeme kosinus přes celou peiodu. Příkld 2.6. Učete obsh kuhu o poloměu metodou b), tedy pomocí pmetizce. Řešení: Kužnici, kteá omezuje kuh, pmetizujeme pomocí Po deivci pltí Poto S = 2π = cos ϕ, y = sin ϕ, ϕ [, 2π]. d = sin ϕ. dϕ 2π ( sin ϕ) sin ϕ dϕ = 2 sin 2 ϕ dϕ = = ( [ϕ] 2π 2π ) sin 2ϕ dϕ = π 2. Opět integujeme sinus přes celou peiodu, poto duhý integál v předposledním výzu je nulový. c) M je dán dvěm polopřímkmi v poláních souřdnicích ϕ = α, ϕ = β křivkou = f(ϕ), ϕ [α, β]. V tomto přípdě si plochu n ob. 19 ozdělíme n elementání tojúhelníky s jedním vcholem v počátku souřdnic dvěm vcholy n křivce. Výšk tojúhelníků je přibližně f(ϕ), délk nejmenší stny je f(ϕ) dϕ. Obsh je tedy S = 1 2 β α f(ϕ)f(ϕ) dϕ = 1 2 β α f 2 (ϕ) dϕ. Příkld 2.7. Učete obsh kuhu o poloměu R pomocí metody c), křivky zdné v poláních souřdnicích. Řešení: Zde f(ϕ) = R, tedy s využitím předchozího vzthu S = 1 2 2π R 2 dϕ = R2 2 [ϕ]2π = πr 2. 22
23 y f(ϕ) β α Obázek 19: Obsh plochy omezené křivkou dnou v poláních souřdnicích dv Obázek 2: K výpočtu objemu těles, bod ) 2.3 Výpočet objemů těles ) Těleso leží mezi ovinmi = = b, < b po všechn [, b] známe plošný obsh S(). Element objemu (viz ob. 2) je dv = S() d. Vzth po objem tedy je V = b S() d. b) Těleso je tvořeno otáčením množiny M (t leží v ovině y) kolem osy. Množin M je omezen přímkmi = = b, < b, osou, gfem funkce y = f(), f() (přípdně gfy funkcí f 1, f 2, kde f 1 () f 2 ()) po [, b] (viz ob. 21). Obsh řezu je πf 2 (), esp. π(f 2 2 () f 2 1 ()), integcí podle poměnné 23
24 y f() b Obázek 21: K výpočtu objemu těles, bod b) tedy dostáváme V = π b f 2 () d, esp. π b (f 2 2 () f 2 1 ()) d. c) V tomto přípdě je těleso vytvořeno otáčením množiny M z bodu b) s kolem osy y. Těleso si ozdělíme n tenkými řezy soustřednými válci s osou symetie y (viz ob. 22). Element objemu pk je Integcí dostáváme V = 2π b dv = f() d 2π. f() d, esp. V = 2π b (f 2 () f 1 ()) d. Příkld 2.8. Učete objem koule o poloměu metodou ). Řešení: Objem je V = πy 2 d = ( 2 2 ) d = π [ 2 3 = 3 ] = π [ = π3. Příkld 2.9. Učete objem koule o poloměu metodou b). Řešení: V tomto přípdě je funkce f ovn f() = 2 2, [, ]. Dostáváme V = π f 2 () d = π ( 2 2 ) d = 4 3 π3. 24 ]
25 y f() d b Obázek 22: K výpočtu objemu těles, bod c) Příkld 2.1. Učete objem koule o poloměu metodou c). Řešení: Honí polokouli popíšeme popisem v bodě c) s funkcí f() = 2 2, [, ]. Výsledek musíme tedy vynásobit ještě dvěm, bychom dostli celou kouli. V = 2 2π 2 2 d = y = 2 2, dy = 2 d, ( = y =, = y = = 4π 1 ) y dy = 2 [ ] 2y = 2π y 1/2 3/2 dy = 2π = π Výpočet povchů otčních ploch Uvžujeme plochu v R 3, kteá vznikne otcí okolo osy (y) křivky zdné pmeticky = f 1 (t), y = f 2 (t), t [, b] s f 2 (f 1 ). Potom její obsh spočteme pomocí vzthu ( P = 2π P = 2π b b f 2 (t) (f 1 (t))2 + (f 2 (t))2 dt, ) (f 1 (t))2 + (f 2 (t))2 dt. f 1 (t) Vzth odvodíme tk, že si uvědomíme (viz ob. 23), že element obshu plochy 25
26 y f() b Obázek 23: K odvození výpočtu povchů otčních ploch je dán jko dp = 2πy ds = 2πf 2 (t) (f 1 (t))2 + (f 2 (t))2 dt. Speciálně, je-li gf funkce y = f(), f(), [, b] otovný kolem osy, dostáváme P = 2π b f() 1 + (f ()) 2 d. Příkld Vypočtěte povch jednotkové koule. Řešení: Zmíněnou křivku (jednotkovou polokužnici) si pmetizujeme = cos t, y = sin t, t (, π). Podle výše zmíněného vzthu je povch koule P = 2π π sin t dt = 2π[ cos t] π = 2π( 1 1) = 4π. 2.5 Příkldy k smosttnému pocvičování Příkld Učete délku steoidy pmetizovné = cos 3 t, y = sin 3 t, t [, 2π]. Příkld Učete délku oblouku kdiody pmetizovné poláními souřdnicemi = (1 + cos ϕ), ϕ [, 2π]. Při výpočtu můžete použít vzthu 1+cos ϕ 2 = cos ϕ 2. Příkld Odvoďte vzth po obsh elipsy o poloosách b dné ovnicí 2 + y2 2 b = 1. Při jednom ze způsobů výpočtu můžete použít vzth d = 1 2 ( csin ). 26
27 Příkld Odvoďte vzth po objem povch kužele o poloměu podstvy R výšce h. 2.6 Výsledky příkldů s smosttnému pocvičování bπ πr2 h, πr(r + R 2 + h 2 ). 27
28 3 Dopoučená litetu 1. Mioslv Ješová, Ivo Volf: Integální počet ve fyzice, studijní tet Fyzikální olympiády, 2. Zdeněk Kdeřábek, Deivce integál ve fyzice, %2integ%C3%A1l%2ve%2fyzice.pdf 3. Bohumil Vybíl, Elektosttik, studijní tet Fyzikální olympiády, 4. Ev Schlesingeová, Geometické plikce učitého integálu, schlesi/dp/web/i21.html 28
Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.
.4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli
VíceGEOMETRICKÉ APLIKACE INTEGRÁLNÍHO POČTU
Integální počet funkcí jedné eálné poměnné - 4. - GEOMETRICKÉ APLIKACE INTEGRÁLNÍHO POČTU PŘÍKLAD Učete plochu pod gfem funkce f ( x) = sinx n intevlu,. Ploch pod gfem nezáponé funkce f(x) se n intevlu,
VíceGeometrické a fyzikální aplikace určitého integrálu. = b a. je v intervalu a, b záporná, je integrál rovněž záporný.
4. přednášk Geometické zikální plikce učitého integálu Geometické plikce. Osh ovinného útvu A. Pokud se jedná o ovinný útv omezený osou přímkmi gem spojité nezáponé unkce pk je jeho osh dán učitým integálem
Více= b a. V případě, že funkce f(x) je v intervalu <a,b> záporná, je integrál rovněž záporný.
5. přednášk APLIKAE URČITÉHO INTERÁLU Pomocí integálního počtu je možné vpočítt osh ovinných útvů ojem otčních těles délk ovinných křivek. Velké upltnění má učitý integál tké ve zice chemii. eometické
VíceMAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU. r je vyjádřen vztahem
MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU udeme se zabývat výpočtem magnetického pole vytvořeného danou konfiguací elektických poudů (podobně jako učení elektického pole vytvořeného daným ozložením elektických
VíceDráhy planet. 28. července 2015
Dáhy plnet Pet Šlecht 28. čevence 205 Výpočet N střední škole se zpvidl učí, že dáhy plnet jsou elipsy se Sluncem v ohnisku. Tké se učí, že tento fkt je možné dokázt z Newtonov gvitčního zákon. Příslušný
Více6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.
KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou
VíceII. 5. Aplikace integrálního počtu
494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu
Více18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34.
I. Určete integrály proved te zkoušku. Určete intervl(y), kde integrál eistuje... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0... 3. 4. 5. 6. 7. e d substituce t = ln ln(ln ) d substituce t = ln(ln ), dt = ln 3 e 4 d substituce
VíceKřivkový integrál prvního druhu verze 1.0
Křivkový integrál prvního druhu verze. Úvod Následující text popisuje výpočet křivkového integrálu prvního druhu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT k příprvě n zkoušku. Mohou se v něm
VíceELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Spojité rozložení náboje
EEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Spojité ozložení náboje Pete Doumashkin MIT 006, překlad: Jan Pacák (007) Obsah. SPOJITÉ OZOŽENÍ NÁBOJE.1 ÚKOY. AGOITMY PO ŘEŠENÍ POBÉMU ÚOHA 1: SPOJITÉ OZOŽENÍ
Více11. cvičení z Matematické analýzy 2
11. cvičení z Mtemtické nlýzy 1. - 1. prosince 18 11.1 (cylindrické souřdnice) Zpište integrály pomocí cylindrických souřdnic pk je spočítejte: () x x x +y (x + y ) dz dy dx. (b) 1 1 x 1 1 x x y (x + y
VíceOdraz na kulové ploše Duté zrcadlo
Odz n kulové ploše Duté zcdlo o.. os zcdl V.. vchol zcdl S.. střed zcdl (kul. ploch).. polomě zcdl (kul. ploch) Ppsek vchází z odu A n ose zcdl po odzu n zcdle dopdá do nějkého odu B n ose. Podle oázku
Více26. listopadu a 10.prosince 2016
Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální
VíceURČITÝ INTEGRÁL. Motivace:
Motivce: URČITÝ INTEGRÁL Pomocí učitého integálu můžeme vpočítt: Osh ovinného ozce. Ojem otčního těles. Délku ovinné křivk. Dlší vužití učitého integálu: ve zice, chemii, ekonomii Histoická poznámk: Deinici
Více1. Dvě stejné malé kuličky o hmotnosti m, jež jsou souhlasně nabité nábojem Q, jsou 3
lektostatické pole Dvě stejné malé kuličk o hmotnosti m jež jsou souhlasně nabité nábojem jsou pověšen na tenkých nitích stejné délk v kapalině s hustotou 8 g/cm Vpočtěte jakou hustotu ρ musí mít mateiál
Vícea polohovými vektory r k
Mechania hmotných soustav Hmotná soustava (HS) je supina objetů, o teých je vhodné uvažovat jao o celu Pvy HS se pohybují účinem sil N a) vnitřních: Σ ( F + F + L+ F ) 0 i 1 i1 b) vnějších: síly od objetů,
VíceOdraz na kulové ploše
Odz n kulové ploše Duté zcdlo o.. os zcdl V.. vchol zcdl S.. střed zcdl (kul. ploch).. polomě zcdl (kul. ploch) Ppsek vchází z odu A n ose zcdl po odzu n zcdle dopdá do nějkého odu B n ose. tojúhelníků
Vícevzhledem k ose kolmé na osu geometrickou a procházející hmotným středem válce. c) kužel o poloměru R, výšce h, hmotnosti m
8. Mechanika tuhého tělesa 8.. Základní poznatky Souřadnice x 0, y 0, z 0 hmotného středu tuhého tělesa x = x dm m ( m) 0, y = y dm m ( m) 0, z = z dm m ( m) 0. Poznámka těžiště tuhého tělesa má v homogenním
Vícev 1 = at 1, (1) t 1 = v 1
Příklad Statující tyskové letadlo musí mít před vzlétnutím ychlost nejméně 360 km/h. S jakým nejmenším konstantním zychlením může statovat na ozjezdové dáze dlouhé,8 km? Po ychlost v ovnoměně zychleného
VíceSeznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.
.. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).
VíceR n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na
Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.
VícePříklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem
Příkld 22 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými rovinmi Příkld 2 Kpcit kondenzátoru je
VíceDiferenciální operátory vektorové analýzy verze 1.1
Úvod Difeenciální opeátoy vektoové analýzy veze. Následující text popisuje difeenciální opeátoy vektoové analýzy. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univezitě Hadec Kálové k přípavě
Více14. cvičení z Matematické analýzy 2
4. cvičení z temtické nlýzy 2 22. - 26. květn 27 4. Greenov vět) Použijte Greenovu větu k nlezení práce síly F x, y) 2xy, 4x 2 y 2 ) vykonné n částici podél křivky, která je hrnicí oblsti ohrničené křivkmi
VíceELEKTRICKÝ NÁBOJ COULOMBŮV ZÁKON INTENZITA ELEKTRICKÉHO POLE
ELEKTRICKÝ NÁBOJ COULOMBŮV ZÁKON INTENZITA ELEKTRICKÉHO POLE 1 ELEKTRICKÝ NÁBOJ Elektický náboj základní vlastnost někteých elementáních částic (pvní elektické jevy pozoovány již ve staověku janta (řecky
Vícex + F F x F (x, f(x)).
I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných
VíceHlavní body. Keplerovy zákony Newtonův gravitační zákon. Konzervativní pole. Gravitační pole v blízkosti Země Planetární pohyby
Úvod do gavitace Hlavní body Kepleovy zákony Newtonův gavitační zákon Gavitační pole v blízkosti Země Planetání pohyby Konzevativní pole Potenciál a potenciální enegie Vztah intenzity a potenciálu Úvod
VíceIII.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( III.. Fubiniov (Fubiniho vět pro trojný integrál Vpočítejte trojné integrál n dných množinách E : Příkld. I Řešení : I ( + d d d; {[,, E
VíceGravitační pole. a nepřímo úměrná čtverci vzdáleností r. r r
Newtonův avitační zákon: Gavitační pole ezi dvěa tělesy o hotnostech 1 a, kteé jsou od sebe vzdáleny o, působí stejně velké síly vzájené přitažlivosti, jejichž velikost je přío úěná součinu hotností 1
VíceKONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE. Mgr. Petra Pirklová, Ph.D. kmd.fp.tul.cz Budova G, 4. patro
KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE Mg. Pet Piklová, Ph.D. kmd.fp.tul.cz Budov G, 4. pto SYLBUS. Mongeovo pomítání.. nltická geometie v E 3. 3. Vektoová funkce jedné eálné poměnné. Křivk. 4. Šoubovice - konstuktivní
Více11. cvičení z Matematiky 2
11. cvičení z Mateatiky. - 6. května 16 11.1 Vypočtěte 1 x + y + z dv, kde : x + y + z 1. Věta o substituci á analogický tva a podínky pouze zanedbatelné nožiny nyní zahnují i plochy, oviny atd.: f dv
VíceSubstituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1
Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.
Více29. OBJEMY A POVRCHY TĚLES
9. OBJEMY A POVRCHY TĚLES 9.. Vypočítejte poch kádu ABCDEFGH, jestliže ) AB =, BC = b, BH = u b) AB =, BH = u, odchylk AG EH je ϕ H G Poch kádu učíme podle zoce: S = b + c + bc ( ) c E F D b C ) A B u
VíceNapětí horninového masivu
Npětí honinového msivu pimání npjtostí sekundání npjtostí účinky n stbilitu podzemního díl Dále můžeme uvžovt * bobtnání honiny * teplotní stv honiny J. Pušk MH 6. přednášk 1 Pimání npjtost gvitční (vyvolán
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26
Určitý integrál Zákldy vyšší mtemtiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu http://kdemie.ldf.mendelu.cz/cz
Více3.7. Magnetické pole elektrického proudu
3.7. Magnetické pole elektického poudu 1. Znát Biotův-Savatův zákon a umět jej použít k výpočtu magnetické indukce v jednoduchých případech (okolí přímého vodiče, ve středu oblouku apod.).. Pochopit význam
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. RNDr. Zdeněk Chobola,CSc., Vlasta Juránková,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU
VíceGeometrie. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Geometie RND. Yett Btákoá Gymnázium, OŠ VOŠ Ledeč nd ázou Objemy pochy těles komolá těles VY INOVACE_05 9_M Gymnázium, OŠ VOŠ Ledeč nd ázou Objemy pochy těles A) Komolý jehln - je těleso, kteé znikne půnikem
Více6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace
Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál výpočet, plikce T. Slč, MÚ MFF UK ZS 2017/18 ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 1 / 13 6.1 Newtonův integrál Definice 6.1 Řekneme,
VíceELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Kapacita a uložená energie
ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy postupy: Kpcit uložená energie Peter Dourmshkin MIT 6, překld: Jn Pcák (7) Osh 4. KAPACITA A ULOŽENÁ ENERGIE 4.1 ÚKOLY 4. ALGORITMUS PRO ŘEŠENÍ PROBLÉMŮ ÚLOHA 1: VÁLCOVÝ
VícePříklady elektrostatických jevů - náboj
lektostatika Hlavní body Příklady elektostatických jevů. lektický náboj, elementání a jednotkový náboj Silové působení náboje - Coulombův zákon lektické pole a elektická intenzita, Páce v elektostatickém
VíceFYZIKA I. Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D.
Více4. cvičení z Matematiky 2
4. cvičení z Mtemtiky 2 14.-18. březn 2016 4.1 Njděte ity (i (ii (iii (iv 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y 1 2 z 2 y 2 z yz 1 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 2 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 3 (i Pro funkci f(, y = 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y
VíceIntegrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)
Integrální počet - IV. část (plikce n určitý vlstní integrál, nevlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednášk z AMA Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 4 Obsh
Víceintegrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.
Přednášk 1 Určitý integrál V této přednášce se budeme zbývt určitým integrálem. Eistuje několik definic určitého integrálu funkce jedné reálné proměnné. Jednotlivé integrály se liší v tom, jké funkce lze
VíceOBJEMY A POVRCHY TĚLES
OBJEMY A POVRCHY TĚLES Metodický mteiál do semináře MA SDM Růžen Blžkoá, Ien Budínoá KOMOLÝ JEHLAN Ojem komolého jehlnu Po zjednodušení ododíme zthy po komolý jehln, jehož podstmi jsou čtece. Oznčení:
VíceIntegrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace)
Integrální počet - II. část (určitý integrál jeho plikce) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednášk z ESMAT Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 23 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
VíceMatematika II: Testy
Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit
Více3.1. Magnetické pole ve vakuu a v látkovém prostředí Elektromagnetická indukce Energie a silové účinky magnetického pole...
Obsah Předmluva... 4. Elektostatika.. Elektostatické pole ve vakuu... 5.. Elektostatické pole v dielektiku... 9.3. Kapacita. Kondenzáto....4. Enegie elektostatického pole... 6. Elektický poud.. Elektický
Více2.1 Shrnutí základních poznatků
.1 Shnutí základních poznatků S plnostěnnými otujícími kotouči se setkáváme hlavně u paních a spalovacích tubín a tubokompesoů. Matematický model otujících kotoučů můžeme s úspěchem využít např. i při
VíceNewtonův gravitační zákon
Gavitační pole FyzikaII základní definice Gavitační pole je posto, ve kteém působí gavitační síly. Zdojem gavitačního pole jsou všechny hmotné objekty. Každá dvě tělesa jsou k sobě přitahována gavitační
VíceJak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:
.. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto
VíceF9 SOUSTAVA HMOTNÝCH BODŮ
F9 SOUSTAVA HMOTNÝCH BODŮ Evopský sociální fon Ph & EU: Investujee o vší buoucnosti F9 SOUSTAVA HMOTNÝCH BODŮ Nyní se nučíe popisovt soustvu hotných boů Přepokláeje, že áe N hotných boů 1,,, N N násleující
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici
VíceGAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY
GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY PLOCHA JAKO VEKTOR Matematický doplněk n n Elementární plocha ΔS ds Ploše přiřadíme vektor, který 1) je k této ploše kolmý 2) má velikost rovnou velikosti (obsahu) plochy Δ
VíceNMAF061, ZS Písemná část zkoušky 25. leden 2018
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 6 6 4
VíceNMAF061, ZS Písemná část zkoušky 16. leden 2018
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 1 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 7 6
VíceMAGNETICKÉ POLE CÍVEK V HELMHOLTZOVĚ USPOŘÁDÁNÍ
Úloha č. 6 a MAGNETICKÉ POLE CÍVEK V HELMHOLTZOVĚ USPOŘÁDÁNÍ ÚKOL MĚŘENÍ:. Změřte magnetickou indukci podél osy ovinných cívek po případy, kdy vdálenost mei nimi je ovna poloměu cívky R a dále R a R/..
VíceMATEMATIKA II V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Petr Schreierová, Ph.D. Ostrv Ing. Petr Schreierová, Ph.D. Vsoká škol áňská Technická univerzit
VíceMatematické metody v kartografii
Mtemtické metody v krtogrfii. Přednášk Referenční elipsoid zákldní vzthy. Poloměry křivosti. Délky poledníkového rovnoběžkového oblouku. 1. Zákldní vzthy n rotčním elipoidu Rotční elipsoid dán následujícími
Vícey ds, z T = 1 z ds, kde S = S
Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných
VíceGeometrie. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Geometie RND. Yvetta Batáková Gymnázium, OŠ a VOŠ Ledeč nad ázavou Objemy a povchy těles otační válec a kužel VY_3_INOVACE_05_3_17_M Gymnázium, OŠ a VOŠ Ledeč nad ázavou 1 Objemy a povchy těles A) Rotační
VíceF5 JEDNODUCHÁ KONZERVATIVNÍ POLE
F5 JEDNODUCHÁ KONZERVATIVNÍ POLE Evopský sociální fond Paha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti F5 JEDNODUCHÁ KONZERVATIVNÍ POLE Asi nejznámějším konzevativním polem je gavitační silové pole Ke gavitační
Více+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c
) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším
VíceVzorová řešení čtvrté série úloh
FYZIKÁLNÍ SEKCE Přírodovědecká fkult Msrykovy univerzity v Brně KORESPONDENČNÍ SEMINÁŘ Z FYZIKY 8. ročník 001/00 Vzorová řešení čtvrté série úloh (5 bodů) Vzorové řešení úlohy č. 1 (8 bodů) Volný pád Měsíce
VíceFYZIKA I. Mechanická energie. Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art.
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Mechanická enegie Pof. RND. Vilém Mád, CSc. Pof. Ing. Libo Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Iena Hlaváčová, Ph.D. Mg. At. Dagma Mádová Ostava
Více5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti
Určitý intgrál Dfinic vlstnosti Má-li spojitá funkc f() n otvřném intrvlu I primitivní funkci F(), pk pro čísl, I j dfinován určitý intgrál funkc f() od do vzthm [,, 7: [ F( ) = F( ) F( ) f ( ) d = (6)
VíceDigitální učební materiál
Digitální učení mteriál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.080 Název projektu Zkvlitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo název šlony klíčové ktivity III/ Inovce zkvlitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce
VíceKapitola 8: Dvojný integrál 1/26
Kapitola 8: vojný integrál 1/26 vojný integrál - osnova kapitoly 2/26 dvojný integrál přes obdélník definice výpočet (Fubiniova věta pro obdélník) dvojný integrál přes standardní množinu definice výpočet
VíceFyzika. Fyzikální veličina - je mírou fyzikální vlastnosti, kterou na základě měření vyjadřujeme ve zvolených jednotkách
Fyzika Studuje objekty neživé příody a vztahy mezi nimi Na základě pozoování a pokusů studuje obecné vlastnosti látek a polí, indukcí dospívá k obecným kvantitativním zákonům a uvádí je v logickou soustavu
Více1.7.2 Moment síly vzhledem k ose otáčení
.7. oment síly vzhledem k ose otáčení Předpoklady 70 Pedagogická poznámka Situaci tochu komplikuje skutečnost, že žáci si ze základní školy pamatují součin a mají pocit, že se pouze opakuje notoicky známá
VíceŘešení úloh krajského kola 58. ročníku fyzikální olympiády Kategorie B Autor úloh: J. Thomas
Řešení úlo kajskéo kola 58 očníku fyzikální olympiády Kategoie B Auto úlo: J Tomas a) Doba letu střely od okamžiku výstřelu do zásau označíme t V okamžiku výstřelu se usa nacází ve vzdálenosti s měřené
Více10. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z Matematické analýzy 3. - 7. prosince 8. (dvojný integrál - Fubiniho věta Vhodným způsobem integrace spočítejte daný integrál a načrtněte oblast integrace (a (b (c y ds, kde : y & y 4. e ma{,y
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2
PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku
VíceEvropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
F8 KEPLEOVY ZÁKONY Evopský sociální fond Paha & EU: Investujeme do vaší udoucnosti F8 KEPLEOVY ZÁKONY Kepleovy zákony po planetání pohy zfomuloval Johannes Keple (1571 1630) na základě měření Tychona Baheho
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2015
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 205 Studijní program: Studijní obory: Fyzika FFUM Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Příklad (25 bodů) Pro funkci f(x) := e x 2. Určete definiční
Více4. konference o matematice a fyzice na VŠT Brno, Fraktály ve fyzice. Oldřich Zmeškal
4. konfeence o matematice a fyzice na VŠT Bno, 15. 9. 25 Faktály ve fyzice Oldřich Zmeškal Ústav fyzikální a spotřební chemie, Fakulta chemická, Vysoké učení technické, Pukyňova 118, 612 Bno, Česká epublika
Více8. cvičení z Matematiky 2
8. cvičení z Mtemtiky 2 11.-1. dubn 2016 8.1 Njděte tři pozitivní čísl jejichž součin je mximální, jejichž součet je roven 100. Zdání příkldu lze interpretovt tké tk, že hledáme mximální objem kvádru,
Více1 Tuhé těleso a jeho pohyb
1 Tuhé těleso a jeho pohyb Tuhé těleso (TT) působením vnějších sil se nemění jeho tvar ani objem nedochází k jeho deformaci neuvažuje se jeho částicová struktura, těleso považujeme za tzv. kontinuum spojité
VíceIntegrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek
Integrál jeho plikce Tomáš Mtoušek Křivk Definice.(Vektorováfunkce) Funkci ϕ:r R n,kteráreálnémučíslupřiřzuje n-tici reálných čísel(vektor), nzýváme funkcí vektorovou. Lze ji tké popst po složkáchjko ϕ(t)=(ϕ
VíceLINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU
LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y
VíceUčební text k přednášce UFY102
Matematický popis vlnění vlna - ozuch šířící se postředím zachovávající svůj tva (pofil) Po jednoduchost začneme s jednodimenzionální vlnou potože ozuch se pohybuje ychlostí v, musí být funkcí jak polohy
VíceV = π f 2 (x) dx. f(x) 1 + f 2 (x) dx. x 2 + y 2 = r 2
Odození zorců pro ýpočet objemů porchů některých těles užitím integrálního počtu Objem rotčního těles, které znikne rotcí funkce y f(x) n interlu, b kolem osy x, lze spočítt podle zorce b V f (x) dx Porch
VíceIntegrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)
Integrální počet - III. část (určitý vlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednášk z AMA1 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 18 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
VíceHarmonický pohyb, výchylka, rychlost a zrychlení
Střední půmyslová škola a Vyšší odboná škola technická Bno, Sokolská 1 Šablona: Inovace a zkvalitnění výuky postřednictvím ICT Název: Téma: Auto: Číslo: Anotace: Mechanika, kinematika Hamonický pohyb,
VícePohyb tělesa, základní typy pohybů, pohyb posuvný a rotační. Obsah přednášky : typy pohybů tělesa posuvný pohyb rotační pohyb geometrie hmot
Pohyb tělesa, základní typy pohybů, pohyb posuvný a otační Obsah přednášky : typy pohybů tělesa posuvný pohyb otační pohyb geoetie hot Pohyb tělesa, základní typy pohybů, pohyb posuvný a otační posuvný
VíceStřední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Šablona: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Střední půmyslová škola a Vyšší odboná škola technická Bno, Sokolská 1 Šablona: Inovace a zkvalitnění výuky postřednictvím ICT Název: Téma: Auto: Číslo: Anotace: Mechanika, dynamika Pohybová ovnice po
Více= 2888,9 cm -1. Relativní atomové hmotnosti. leží stejný přechod pro molekulu H 37 Cl? Výsledek vyjádřete jako
Přijímcí zkoušk n nvzující mgisterské studium - 018 Studijní progrm Fyzik - všechny obory kromě Učitelství fyziky-mtemtiky pro střední školy, Vrint A Příkld 1 Určete periodu periodického pohybu těles,
Více4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil
4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr
VíceObecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)
KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Více11. cvičení z Matematické analýzy 2
11. cvičení z Matematické analýzy 11. - 15. prosince 17 11.1 (trojný integrál - Fubiniho věta) Vypočtěte (i) xyz dv, kde je ohraničeno plochami y x, x y, z xy a z. (ii) y dv, kde je ohraničeno shora rovinou
VíceF n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.
Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,
VíceTrivium z optiky Vlnění
Tivium z optiky 7 1 Vlnění V této kapitole shnujeme základní pojmy a poznatky o vlnění na přímce a v postou Odvolávat se na ně budeme často v kapitolách následujících věnujte poto vyložené látce náležitou
VíceŘešení: Nejdříve musíme určit sílu, kterou působí kladka proti směru pohybu padajícího vědra a napíná tak lano. Moment síly otáčení kladky je:
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium - 16 Studijní program Fyzika - všechny obory kromě Učitelství fyziky-matematiky pro střední školy, Varianta A Příklad 1 (5 bodů) Jak dlouho bude padat
VíceVýpočet obsahu rovinného obrazce
Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh
VíceŘešení testu 2b. Fyzika I (Mechanika a molekulová fyzika) NOFY ledna 2016
Řešení testu b Fika I (Mecanika a molekulová fika NOFY. ledna 6 Příklad Zadání: Po kouli o poloměu se be pokluovaní valí malá koule o poloměu. Jaká bude úlová clost otáčení malé koule v okamžiku kd se
VíceMechanika tuhého tělesa
Mechanika tuhého tělesa Tuhé těleso je ideální těleso, jehož tvar ani objem se působením libovolně velkých sil nemění Síla působící na tuhé těleso má pouze pohybové účinky Pohyby tuhého tělesa Posuvný
Více