PETR KULHÁNEK. Praha 2001 FEL ČVUT

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "PETR KULHÁNEK. Praha 2001 FEL ČVUT"

Transkript

1 ASTOFYZIKA -- S PET KULHÁNEK Paha 00 FEL ČVUT

2 OBSAH I ZÁKLADNÍ VZTAHY 3 Pasek 3 Poxima Cetaui 4 3 Magituda 4 4 Pogsoova ovice 5 5 Absolutí magituda Sluce 5 6 Hodiový úhel Aldebaau 6 7 Jety kvasau - fiktiví adsvětelá ychlost 6 8 Plackovy škály 6 9 Vektoový souči 7 II ELEKTOMAGNETICKÉ ZÁŘENÍ 9 Zářeí husté jako voda 9 Teplota Sluce z vlové délky světla 0 3 Zářivý výko Sluce 0 4 Měý výko Sluce 0 5 Sluečí kostata 6 Teplota Sluce z itezity zářeí 7 Elektické pole sluečího zářeí u Země 8 Tlak zářeí 3 9 Teplota těles a vlové délky zářeí 4 III HVĚZDY, SLUNCE 5 Hydodyamický čas 5 Jeasovo kitéium 5 3 ovováha polytopí hvězdy 6 4 ovice ovováhy polytopí hvězdy 7 5 Poováí výkoů 8 6 Polomě Pocyou B 8 7 Úbytek sluečí hmoty 9 8 Kytí podukce eegie gavitačí kotakcí 9 9 Teplota sluečí skvy 0 IV GAVITACE A TÍŽE Vztah mezi tíhovým a gavitačím polem Pád z malé výšky - difeečí schéma 3 Pád z velké výšky - difeečí schéma 4 4 Oběh tělesa po kuhové dáze 4 5 Třetí Kepleův záko 5 6 Gavitačí působeí Sluce a Země a Měsíc 6 7 Příliv a odliv 6 8 Hmotost Země 7 9 Hillovy ekvipoteciály 8 0 Vitří Lagageův bod soustavy Země - Měsíc 9 Úiková ychlost z Galaxie 9 V OTAČNÍ POHYBY 3 otace bodu 3 Kyvadlo 33 3 Hvězda měící ozměy 34 4 Záko ploch 35 5 Duhý Kepleův záko 35

3 6 Efektiví poteciál 36 7 Země jako hamoický osciláto 37 8 Pohyb elektou v magetickém poli 38 9 Pofil hladiy kapaliy v otující ádobě 38 0 Pofil víu a vodí hladiě 39 ychlostí pofil v otující galaxii s hustým jádem 40 VI SPECIÁLNÍ ELATIVITA 4 Maticový zápis Loetzovy tasfomace 4 Detemiat LT 4 3 Ivezí matice k LT 43 4 Úhel otace - apidita 43 5 elativistický Doppleův jev 44 6 Mio 45 VII GAVITACE A OBECNÁ ELATIVITA 46 Laplaceův výpočet Schwazschildova poloměu 46 Hustota čeé díy 46 3 Pohyb fotou 46 4 Čeveý posuv fotou - výpočet ze zákoa zachováí eegie 47 5 Čeveý posuv fotou - výpočet z LIS 48 6 Čeveý posuv fotou - výpočet z metiky 49 7 Poud ebkův expeimet 49 8 Čeveé posuvy po typické hvězdy 50 9 Beckesteiova teplota čeé díy 50 0 Vypařováí čeé díy 5 VIII OZPÍNÁNÍ VESMÍU 53 Objem koule 53 Objem Vesmíu 54 3 Kosmologický posuv 55 4 Kvasa 57 5 Kosmologický posuv a Doppleův jev 57 6 Pokles hustoty eegie zářeí s expazí 58 7 Základí řešeí Eisteiovy ovice 58 8 Iflace při H cost 59 9 Stáří Vesmíu 59 0 Látka a zářeí 60 Stavová ovice expadující etity 60 IX POHYBY ČÁSTIC V POLÍCH 6 Náboj v elektickém poli 6 Lamoův polomě 6 3 Magetický momet abité částice 63 4 Magetická ezoace 63 5 Magetický momet jako ivaiat 64 6 Magetické zcadlo 64 7 Gavitačí dift 65 8 Beettův pič 65 Aktuálí vezi skipta si můžete stáhout a seveu v sekci Studium ebo v sekci Stáhout Nalezeé chyby posím pošlete a adesu

4 TABULKA ZÁKLADNÍCH KONSTANT G N m kg c m s J s σ W m K 4 b K m gavitačí kostata ychlost světla Plackova kostata Stefa Boltzmaova kostata Wieova kostata TABULKA HODNOT VELIČIN M S kg M Z kg M M M Z /8 m kg ZS km ZM km S km Z km P S W b J s v 30 km s I 39 kw m hmotost Sluce hmotost Země hmotost Měsíce hmotost ukleou vzdáleost Země - Sluce vzdáleost Země - Měsíc polomě Sluce polomě Země celkový zářivý výko Sluce momet hybosti Země vzhledem ke Sluci ychlost Země kolem Sluce soláí kostata (itezita sluečího zářeí u Země) JEDNOTKY VZDÁLENOSTI AU km ly km pc km astoomická jedotka světelý ok pasek

5 TYPICKÉ VLASTNOSTI HVĚZD polomě hmotost hustota čeá día 3 km M S 0 6 g/cm 3 eutoová hvězda 0 až 00 km M S 0 4 g/cm 3 bílý tpaslík 000 až km M S 0 6 g/m 3 Sluce km M S,4 g/cm 3 veleob až 500 S M S 0 6 g/cm 3

6 I ZÁKLADNÍ VZTAHY AU - astoomická jedotka: půměá vzdáleost Země od Sluce, km ly - světelý ok: vzdáleost, kteou světlo uléte za jede ok, km pc - pasek, paalaktická sekuda: vzdáleost, ze kteé by polomě oběžé dáhy Země byl kolmo k zoému papsku vidět pod úhlem ", km m - elativí magituda: logaitmická mía jasosti objektu, m,5 log I Tato defiičí ovice se azývá Pogsoova ovice Koeficiet je vole tak, aby hvězdy s ozdílem pěti magitud měly podíl vzájemých jasostí :00 Zaméko mius v defiici je z histoických důvodů Magitudy takto vypočteé odpovídají histoickému děleí hvězd do šesti skupi (ula ejjasější, 5 ejméě jasé pozoovatelé okem) Nejjasější hvězda a seveí polokouli Vega má magitudu ~ 0, ejjasější hvězda očí oblohy Siius má magitudu,6 elativí magituda vypovídá o skutečé jasosti hvězdy a obloze, kteá komě svítivosti závisí i a vzdáleosti hvězdy M - absolutí magituda: magituda, kteou by hvězda měla ve vzdáleosti 0 pc Závisí je a skutečé svítivosti hvězdy Každou hvězdu si představíme přestěhovaou do vzdáleosti 0 pc Zadáváme-li vzdáleost hvězdy v pasecích, platí mezi absolutí a elativí magitudou jedoduchý vztah M m log δ - dekliace: Oblouk mezi světovým ovíkem (pojekce oviy zemského ovíku a ebeskou sféu) a hvězdou Světový ovík má δ 0, seveí světový pól má δ 90, jiží světový pól δ 90 α - ektasceze: Oblouk mezi jaím bodem a dekliačí kužicí hvězdy (kolmá a světový ovík) měřeý ve stupích ebo v hodiách (jaí bod : α 0 0 h) Jaí bod je půsečík ekliptiky (půmět oviy oběžé dáhy Země kolem Sluce a ebeskou sféu) se světovým ovíkem v souhvězdí yb Sluce se achází v jaím bodě při jaí ovodeosti t - hodiový úhel: úhel mezi místím poledíkem a objektem měřeý ve směu zdálivého pohybu hvězd, tj od jihu k západu Udává se v hodiách (azimut vyjádřeý v hodiách) Hoí kulmiace: hvězda v ejvyšším bodě své dáhy (ad jihem, t 0 h) Dolí kulmiace: hvězda v ejižším bodě své dáhy (ad seveem, t h) θ hvězdý čas: hodiový úhel jaího bodu Jde o ektascezi hvězd, kteé pávě kulmiují θ α + t K daému datu alezeme hvězdý čas v hvězdářské očece Pasek Zadáí: Spočtěte vzdáleost pc Řešeí: pc (pasek, paalaktická sekuda) je vzdáleost, ze kteé vidíme velkou poloosu oběžé dáhy Země kolem Sluce pod úhlem ϕ '' Úhel '' je tak malý, že stay VS a VZ a obázku pakticky splývají a místo pavoúhlého tojúhelíka VSZ můžeme použít defiičí vztah úhlu (úhel je oblouk ku poloměu) Poto 3

7 l ZS, ϕ kde l je vzdáleost pc v metech, ZS je vzdáleost Země od Sluce a ϕ je úhel jedé vteřiy vyjádřeý v adiáech: m l 3 0 π m Poxima Cetaui Zadáí: Najděte paalaxu Poximy Cetaui, kteá je vzdáleá asi 43 světelého oku Řešeí: Díky pohybu Země kolem Sluce se zdá, že blízké hvězdy opisují opoti vzdáleým elipsu Úhlový polomě této elipsy se azývá paalaxa hvězdy Lze ji změřit je po ejbližší hvězdy Z defiice úhlu (jako v předchozím příkladě) tedy vyplývá, že 5 0 m 5 0 m 6 π ZS 37 0 ad, l 43 ly m což je přibližě 076'' Vidíme, že i u duhé ejbližší hvězdy po Sluci eí paalaxa ai celá '' 3 Magituda Zadáí: Jaký je ozdíl magitud dvou hvězd, jejichž jasost se liší stokát? Řešeí: Magituda je logaitmickou míou svítivosti: m 5 log J Koeficiet 5 se objevuje před logaitmem z histoických důvodů, kdy ejjasější hvězdy pozoovatelé okem měly třídu 0, ejslabší třídu 5 Zaméko " " zajišťuje, aby ižší magitudy měly vyšší svítivost Koeficiet 5 zase zajistí, aby po pomě svítivostí J /J 00 byl ozdíl magitud pávě 5: 4

8 J m m m 5 (log J log J) 5 log 5 log00 5 J 4 Pogsoova ovice Zadáí: Odvoďte vztah mezi absolutí magitudou a elativí magitudou v pasecích (tzv Pogsoovu ovici) Řešeí: Víme, že J klesá se čtvecem vzdáleosti od zdoje (J ~ / ) a tak můžeme podle defiice magitudy psát: m J m 5 log 5 log 5 log J Absolutí magituda je magituda hvězdy přepočítaá a jedotou vzdáleost 0 pc od zdoje (hvězdy) Jestliže bude 0 pc a m M po absolutí magitudu a, m m po elativí magitudu, pak 0 M m 5 log 5 log0 log Pogsoova ovice má tedy tva: M m log, kde je vzdáleost zdoje v pc 5 Absolutí magituda Sluce Zadáí: Učete absolutí magitudu Sluce elativí magituda je m 66 Řešeí: Nejpve převedeme vzdáleost Sluce od ás ( AU) a paseky pc Nyí z Pogsoovy ovice dostáváme M m + 5 5log ( 53) 49 Absolutí magituda Sluce je tedy přibližě M 5 pc 5

9 6 Hodiový úhel Aldebaau Zadáí: Učete hodiový úhel hvězdy Aldebaa de 0000 ve 3h 0mi v cetu Pahy Souřadice Aldebaau: ektasceze α 4h 33mi; dekliace δ 6 Souřadice ceta Pahy: zem délka: λ 4 3' zem šířka: ϕ 50 07' Hvězdý čas k půloci 0000 (z Hvězdářské očeky): θ h mi Řešeí: Nejpve učíme místí hvězdý čas (zaedbáme ozdíl mezi středím a pavým časem) Po převod úhlových a časových údajů užijeme 4mi (5 h), esp ' 4s (5' mi): θloc θ + λ + t0 h mi + 0h 58mi + 3h 0mi 5h 0mi h 0mi Dále učíme hodiový úhel hvězdy t θloc α h 0mi 4h 33 mi 0h 37 mi Aldebaa se tedy achází ad jihovýchodem, kulmiovat bude za 3h 3mi (bude ad jihem, t 4h) 7 Jety kvasau - fiktiví adsvětelá ychlost Zadáí: Vzdáleý kvasa je zdojem dvou výtysků látky (jetů) z ichž jede se pohybuje směem k pozoovateli pod malým úhlem téměř ychlostí světla Učete, jakou ychlost aměří pozoovatel Řešeí: Poloha objektu je dáa vztahy: x( t) vt siα ; y( t) y0 vt cosα Sigál přichází k pozoovateli se zpožděím v čase yt () τ t + c ychlost, kteou zjistí pozoovatel poto bude d x dx / dt v dτ dτ / dt v siα v cosα c v c c siα cosα cα c ( α / ) α << α Z výsledku je zřejmé, že pohybuje-li se jet směem k pozoovateli, tato fiktiví pozoovaá ychlost sado převýší ychlost světla y 0 y a v x 8 Plackovy škály Zadáí: Nalezěte takové kombiace kostat c, G,, kteé dají přiozeou jedotku po délku, čas, hmotost a eegii 6

10 8 c 3 0 ms, 3 G kg m s, kg m s Řešeí: Pokusíme se vytvořit výaz po délku l P, čas t P, hmotost m P a eegii E P Začeme délkou tak, že apíšeme souči výše uvedeých tří kostat, s ezámými expoety α, β, γ: α β γ l P c G Tato ovice ve skutečosti představuje čtyřásobou ovost: ovost číselou a ovost ozměovou v metech, kilogamech a sekudách Napíšeme yí ozměové části vytvořeého výazu: 0 0 α α β 3β β γ γ γ m kg s m s kg m s kg m s Nyí zapíšeme soustavu ovic po expoety u metu, kilogamu a sekudy: α + 3β + γ, 0 β + γ, 0 α β γ Řešeím této soustavy získáme jedozačé řešeí po expoety α 3 / ; β / ; γ / Tyto expoety jedozačě až a ásobící číselý fakto učují velikost Plackovy délky Zcela aalogickým způsobem můžeme odvodit vztahy po ostatí Plackovy veličiy Výsledky udává ásledující tabulka: l t m P P P G 0 3 c G 0 5 c c G m, s, kg, E P 5 c G 0 9 GeV Pozámka: Plackovy škály jsou přiozeé jedotky po áš Vesmí V Plackově čase se oddělovala gavitačí iteakce od ostatích iteakcí (došlo k aušeí supesymetie) a Vesmí popvé získal vlastosti podobé deším vlastostem V tomto čase měl Vesmí komplikovaou postoovou stuktuu, jejíž základím elemetem byla vláka o ozměech Placovy délky Půměá pohybová hmotost (eegie) částic v té době byla ova Plackově hmotosti (eegii) 9 Vektoový souči Zadáí: Ukažte, že vektoový souči má tezoový chaakte 7

11 Řešeí: Pomocí klasické defiice přes detemiat můžete vektoový souči zapsat jako i j k ab y z ab z y c a b det ax ay az azbx axbz bx by b z axby ayb x Už z tohoto zápisu je zřejmé, že se vektoový souči emůže tasfomovat jako vekto, potože se tam vyskytují součiy původích uspořádaých tojic a a b Obecě jde o matici C ab ab kl k l l k Tato matice má své tasfomačí vlastosti a je to atisymetický ( Ckl C lk ) tezo duhého řádu Atisymetické matice mají a diagoále vždy ulu a pvky pod diagoálou lze dopočítat z pvků ad diagoálou obáceím zaméka U aší matice to vypadá takto: 0 c3 c C c3 0 c c c 0 Existují tedy je tři ezávislé pvky této matice To svádí k tomu, apsat je do tojice a itepetovat jako vekto To ale ejde!!! Vaiace příkladu: Kolik ezávislých pvků má symetická a atisymetická matice ve dvou, třech a čtyřech dimezích 8

12 II ELEKTOMAGNETICKÉ ZÁŘENÍ Tok eegie elektomagetického zářeí je popsá elativistickým čtyřvektoem (ρ W, j W ) ρ W W E D + H B ; j E H Složka ρ W se azývá hustota eegie elektomagetického zářeí a zpavidla ji ozačujeme symbolem u Tři postoové složky j W se azývají tok eegie (Poytigův vekto) a zpavidla je ozačujeme symbolem S ebo jde-li je o velikost (tzv itezitu) symbolem I Velikosti postoové a časové části čtyřvektou jsou spojey vztahem I uc Z čtyřvektou lze složit ovici kotiuity ρw + div jw j E t Na pavé staě eí ula, eegie elektomagetického zářeí se ezachovává, převádí se a abité částice v podobě hustoty Jouleova výkou je NĚKTEÉ DŮLEŽITÉ VZTAHY I EH I σt 4 I u c u ED/ + HB/ u ED u HB u I /c EH/c P u/3 E/B c tok eegie (itezita, velikost Poytigova vektou) [I] Jm s W/m tok eegie - Stefa Boltzmaův záko tok eegie - vyjádřeí z hustoty eegie hustota eegie - výpočet z elektické i magetické složky [u] Jm 3 hustota eegie - výpočet z elektické složky hustota eegie - výpočet z magetické složky hustota eegie - výpočet z toku eegie tlak elektomagetického zářeí poměy polí v elektomagetické vlě c / εµ ychlost světla λ max b/t Wieův záko (vlová délka maxima vyzařováí) Zářeí husté jako voda Zadáí: Učete při jaké fázi expaze Vesmíu (při jaké teplotě) mělo zářeí hustotu stejou jako voda Řešeí: Mezi hustotou hmoty a eegie platí jedoduchý vztah plyoucí z Eisteiovy fomule 9

13 ρ W ρ m c Hustota hmoty bude odpovídat hustotě vody Hustotu eegie zářeí učíme z toku eegie, kteý je dá Stefa Boltzmaovým zákoem: 4 I σ T ρ W c c Poováím obou vztahů učíme teplotu Vesmíu, při kteé mělo elektomagetické zářeí hustotu stejou jako voda: T 4 ρ m σ c Pozámka: Vesmí měl tuto teplotu asi 4 miuty po Velkém třesku a pávě se v ěm začíaly tvořit pví lehké pvky Teplota Sluce z vlové délky světla Zadáí: Učete povchovou teplotu Sluce, víte-li, že maximum vyzařováí je a vlové délce 500 m Řešeí: Podle Wieova zákoa je povchová teplota ova T λ b max m K ~ m 8 K ~ 5800 K Pozámka: Hoké hvězdy vyzařují obecě a katší vlové délce Typické modé hvězdy mají povchovou teplotu přes 9000 K, žluté a zeleé hvězdy okolo K, čeveé hvězdy je asi K Wieův záko lze aplikovat i a podstatě chladější tělesa Například člověk s povchovou teplotou cca 30 K vyzařuje přibližě jako čeé těleso s maximem vyzařováí a vlové délce 0 mikometů V této oblasti musí být poto maximálě citlivá čidla po detekci osob 3 Zářivý výko Sluce Zadáí: Nalezěte celkový zářivý výko Sluce, záte-li jeho povchovou teplotu T 5800 K Řešeí: Zářivý výko Sluce učíme ze Stefa-Boltzmaova zákoa: P S I S σ T 4 4π S π (7 0 8 ) W 4 0 Pozámka: Obovská hodota zářivého výkou Sluce je dáa je velkou hmotostí V půměu podukuje jede kilogam sluečí hmoty výko velmi malý 6 W 4 Měý výko Sluce Zadáí: Jaký výko se půměě uvolňuje v jedom kilogamu sluečí hmoty? 0

14 Řešeí: Měý výko přepočítaý a kilogam je PS P M S 0 4 W/kg Pozámka: Přestože je celkový zářivý výko eomí a obtížě představitelý, je měý výko zaedbatelý Jede kilogam sluečí hmoty by epostačil ai k ozsvíceí ejmeší žáovky Temojadeá sytéza v cetu Sluce pobíhá velmi, velmi pomalu, zato však v obovských měřítkách Ohomý výko Sluce je tak dá je jeho velkou hmotostí, ikoliv itezitou temojadeé sytézy 5 Sluečí kostata Zadáí: Učete itezitu sluečího zářeí v okolí Země Řešeí: Sluečí kostata je itezita sluečího zářeí (eegie kolmo dopadající a jedotkovou plochu za jedotku času) ad atmosféou aší Země Tuto veličiu můžeme spočítat jako podíl celkového výkou Sluce a celkové plochy povchu koule pocházející Zemí se středem ve Sluci: I Z PS 4π ZS 4 kw m Zemì m Sluce m I,4 kw/m Pozámka: U aší Země dopadá a každý met čtveečí plochy, kolmo postaveé ke Sluečímu zářeí, výko 4 kw Teto ohomý výko je přímo využívá v paelech sluečích bateií kosmických sod a ve sluečích elektáách Při povchu Země je teto výko síže ozptylem v atmosféře Komě jadeé eegie pochází veškeá běžě dostupá eegie a Zemi ze sluečí eegie Dopadající výko sluečího zářeí je apříklad částečě absobová ostliami a pomocí fotosytézy ukládá do eegie chemických vazeb Po moha letech je tato eegie zpětě využita při spalováí uhlí, afty ebo bezíu Dopadající zářeí způsobuje také odpařováí vody z povchu Země a umožňuje tak vodí koloběh Poto i eegie využívaá ve vodích elektáách má papůvod ve sluečí eegii

15 6 Teplota Sluce z itezity zářeí Zadáí: Učete povchovou teplotu Sluce, víte-li, že u Země je tok eegie světelého zářeí od Sluce ove 4 kw/m Řešeí: Itezita vyzařováí je defiováa jako výko a plochu eboli P I Z S Zářivý výko v kouli kolem Sluce ve vzdáleosti AU (u Země) je ove P S ZS 4π I Potože záme polomě Sluce S km, můžeme předchozí vztah přepočítat a itezitu a povchu Sluce jako PS ZS I S I Z 4 π S S Ze Stefa-Boltzmaova zákoa yí plye teplota a povchu T I 4 S σ Po dosazeí docházíme k přibližé hodotě 5800 K a povchu Sluce 7 Elektické pole sluečího zářeí u Země Zadáí: Sluečí zářeí má v okolí Země itezitu I 4 kw/m Nalezěte půměou hodotu itezity elektického a idukce magetického pole v sluečím zářeí v místě, kde se achází Země Řešeí: Itezita dopadající eegie je dáa velikostí Poytigova vektou: I Z S EH Pomě elektické itezity a magetické idukce v elektomagetické vlě je E/B c Tyto dva vztahy můžeme chápat jako soustavu dvou ovic po elektické a magetické pole: E µ 0I EB ; c B Vyásobeím a vyděleím obou ovic dostaeme řešeí: E Výsledek: E 76 V/m, B T cµ I ; B 0 Pozámka: Pole 76 V/m se a pví pohled zdá být eomí Musíme si však uvědomit, že ozdíl poteciálů 76 V je měře a vzdáleosti m Skutečé emisí akty však tvají kátkou dobu a pozoovaé světlo se skládá z úseků déozměů ěkolikaásobku vlové délky Na této vzdáleosti je již ozdíl poteciálů malý Z µ I 0 c

16 8 Tlak zářeí Zadáí: Učete ozměy částeček pachu, u kteých je v mlhoviě kolem hvězdy vyováa gavitačí síla tlakem zářeí *, T * Hvìzda F gav pachové zko p mp F záø p Řešeí: Veličiu x chakteizující cetálí hvězdu v mlhoviě budeme ozačovat idexem x, * veličiu x chaakteizující zíčko pachu idexem x p Po gavitačí sílu působící a zíčko pachu vychází: 4 3 m m π p ρ pm p 3 * * FG G G Sílu elektomagetického zářeí učíme jako souči tlaku zářeí a účié plochy zíčka Ta závisí a tvau zíčka a jeho oietaci vzhledem k dopadajícímu zářeí V pvím přiblížeí ji lze považovat za půřez zíčka: I( ) FAD pad S p u π p π p 3 3 c Itezitu zářeí a povchu hvězdy můžeme učit ze Stefa-Boltzmaova zákoa I( * ) σ T * 4 Itezita ubývá s kvadátem vzdáleosti a v místě zíčka poto bude I( ) σ T / * * Výsledý vztah po sílu způsobeou tlakem zářeí tedy bude: πσ T * * p FAD 3 c Povšiměte si, že gavitačí síla i síla od tlaku zářeí ubývají s duhou mociou vzdáleosti od hvězdy! Budou-li po zo učité velikosti vyováy v blízkosti hvězdy, budou také vyováy ve větší vzdáleosti Malá zíčka tak budou vypuzea tlakem zářeí a velká zíčka udžováa v mlhoviě gavitací ezávisle a tom, o kteou část mlhoviy jde Poováím obou sil sado učíme ozměy zíčka, po kteé jsou obě síly vyováy: 4 T * * p0 4cG m * σ ρ 4 p 4 3

17 Po ozměy zíček p < p 0 převláde tlak zářeí a po ozměy zíček p > p 0 převláde gavitace Pozámky: Uvedeé vztahy závisí je a hustotě pachu, kteá bývá v celé mlhoviě stejá V mlhoviě jsou však oblasti s malými ozměy zek a oblasti s většími ozměy Dojde-li v mlhoviě ke vziku mladé hvězdy, jsou oblasti dobých zek vyfoukáy vě mlhoviu, podobě jako je a poušti větem odvát dobý pach a úko hubozého písku Tomuto jevu se říká fotoevapoace, zpavidla je způsobea ultafialovým světlem mladých hvězd Výsledkem fotoevapoace jsou chaakteistické ostře ohaičeé oblasti mlhoviy, kteé odolaly agesivímu zářeí mladých hvězd Například u Olí mlhoviy obklopující hvězdokupu M 6 se těmto útvaům říká Sloupy stvořeí Obdobý jev také záme u komet Často mívají dva ohoy, jede z hubších částeček, kteý míří blíže ke Sluci a je ovládá gavitací a duhý z dobějších částeček, kteý míří spíše od Sluce a je ovládá tlakem zářeí Vzhledem k přítomosti odstředivé síly ejsou oba ohoy a spojici kometa-sluce 9 Teplota těles a vlové délky zářeí Zadáí: Naletěte z Wieova zákoa vlové délky vyzařováí po hvězdy spektálí třídy W ( K), G (6700 K), L (700 K), člověka (30 K) a eliktího zářeí (,73 K) Naopak učete teplotu čeé díy velikosti ašeho Sluce, kteá září převážě a vlové délce sovatelé s Schwazchildovým poloměem (3 km) Řešeí: Z Wieova zákoa λ max b/t sado alezeme: Objekt Teplota Vlová délka Hvězda typu W K 36 m Hvězda typu G 6700 K 43 m Hvězda typu L 700 K 7 µm Člověk 30 K 9 µm el zářeí,73 K mm Čeá día (3 km) 0 7 K 3 km Pozámky: Nejteplejší hvězdy spektálí třídy W září převážě v UV oblasti a velmi kátkých vlových délkách (Wolf-ayetovy hvězdy) Podobé hvězdy jako Sluce mají spektálí třídu G a září ve viditelé oblasti, maximum vyzařováí Sluce je apříklad a 500 m Lidské oko se v půběhu vývoje tomuto zářeí dokoale přizpůsobilo Nejchladější zámé hvězdy typu L mají maximum vyzařováí v blízké I oblasti Sám člověk by jako absolutě čeé těleso zářil asi a 0 µm Na této vlové délce musí být citlivá čidla moitoující pohyb člověka (čidla a zloděje apod) eliktí zářeí z doby odděleí zářeí od látky, kteé postupuje celý Vesmí má vlovou délku asi mm a je tedy z adiového obou Stejě tak jako v miulosti vyplňuje posto beze zbytku To je dáo tím, že vlová délka zářeí se zvětšuje spolu s ozpíáím Vesmíu Do m 3 se tak vejde asi miliada eliktích fotoů Čeá día velikosti Sluce by měla paepatou teplotu a vyzařuje velmi málo Malé čeé díy ale září výazě více 4

18 III HVĚZDY, SLUNCE Hydodyamický čas Zadáí: Nalezěte hydodyamické časy po Sluce, bílého tpaslíka a eutoovou hvězdu (Hydodyamický čas je doba šířeí pouchy a je přibližě ove času, po kteý by částice s povchovým zychleím padala do ceta objektu) Řešeí: Víme, že mm M Wp G m g h, kde g G S použitím s gt / vyplývá po hydodyamický čas t hydo 3 s g GM GM Po kokétí hodoty poloměů hvězdých objektů dostáváme ásledující výsledky: Sluce: ~ 40 miut, bílý tpaslík: ~ s, eutoová hvězda: ~ ms Jeasovo kitéium Zadáí: Odvoďte vztah po kitickou hmotost mlhoviy, při kteé se zače vlastí gavitací houtit Předpokládejte, že hmotost jedé molekuly je m, záte teplotu a hustotu mlhoviy Řešeí: V mlhoviě jsou dva typické pocesy: ) difúze způsobeá tepelým pohybem, kteá mlhoviu zvětšuje ) gavitačí přitahováí, kteé se saží mlhoviu smštit Spočtěme chaakteistické ychlosti obou pocesů: Chaotickou tepelou ychlost učíme z ekvipatičího teoému Půměá kietická eegie a jede stupeň volosti je ova půměé tepelé eegii a jede stupeň volosti mv kt v tep Půměou složku ychlosti odpovídající gavitaci učíme z ekvipatičího teoému po gavitačí eegii kt m 5

19 mm GM mv G v gav Nyí z podmíky po houceí v gav > v tep máme GM kt > m Spolu se vztahem po hustotu M ρ 3 lze kitéium upavit a tva M 3/ kt, > mg kteý je zám jako Jeasovo kitéium Při vyšších hmotostech ež je pavá staa je mlhovia estabilí a může dojít k samovolému houceí Pozámka: Řešeí lze přesě odvodit stadadím vyšetřováím stability v hydodyamice za pomocí pouch ovovážého stavu Jeasovo kitéium je haicí za kteou se pouchy samovolě etlumí a mlhovia se stává estabilí Povšiměte si také, že kitická hmotost je úměá p 3/ Kitéium popvé odvodil Jeas v oce 90 ρ 3 ovováha polytopí hvězdy Zadáí: Řešte ovováhu gavitačí a tlakové síly ve hvězdě po polytopí závislost tlaku a hustotě Řešeí: Při řešeí se budeme zabývat je závislostí a ozměech hvězdy Gavitačí síla má tva F gav γ Tlaková síla je dáa součiem tlaku p ρ a povchu S, tj γ 3γ Ftlak ~ ρ ~ ~ 3γ Obě síly za omálích okolostí klesají s ozměy hvězdy ovováha se ustaví při ovosti obou sil Styl poklesu obou sil je stejý po koeficiet 4 γ 3 Diskutujme dva případy Nejpve γ > 4/3 Tlaková křivka je stmější ež gavitačí 6

20 F γ > 4/3 (tlaková stmější) F γ < 4/3 (tlaková méě stmá) F gav F tlak F tlak F gav δ δ 0 +δ 0 +δ Jestliže hvězda zcela áhodě zvětší své ozměy, převláde gavitačí síla a hvězdu opět smští Zmeší-li hvězda své ozměy, převláde tlaková síla a afouke hvězdu a původí ozmě Hvězda je stabilí a výkyvy v jejích ozměech eohozí její existeci V případě γ < 4/3 je tomu jiak Jestliže hvězda zcela áhodě zvětší své ozměy, převláde tlaková síla a bude hvězdu adále utit zvětšovat ozměy Hvězda bude estabilí a miimálě odhodí obálku Zmeší-li hvězda své ozměy, převláde gavitačí síla a bude utit hvězdu ke kolapsu Pozámka: Mateiál bílých tpaslíků má polytopí koeficiet blízký 4/3 Polytopí koeficiet se poěkud měí s hmotostí tpaslíka Při hmotosti přibližě 44 M S má polytopí koeficiet pávě hodotu 4/3 a po vyšší hmotosti je bílý tpaslík estabilí Této haici se říká Chadasekhaova mez 4 ovice ovováhy polytopí hvězdy Zadáí: Sestavte ovici ovováhy polytopí hvězdy Řešeí: Nechceme-li se omezit a odhady v miulém příkladu, je třeba skutečě řešit ovici ovováhy F gav d F tlak Cílem je sestavit takové ovice, ze kteých bude možé učit závislost tlaku p () a hustoty hvězdy ρ () a vzdáleosti od ceta Jedou z ovic je ovice polytopího chováí p kρ γ () Duhou ovici získáme z podmíky ovováhy gavitačí a tlakové síly a vstvu tloušťky d zázoěou a obázku Na tuto vstvu působí gavitačí síla M() dm dfgav G ; dm 4 π ρ( ) d 4 π ρ( ) M( ) dfgav G d 7

21 M() je hmotost vitřku hvězdy pod vybaou slupkou Tlaková síla působící a slupku je dftlak 4π dp Z ovováhy obou sil máme duhou ze sady ovic: dp ρ() M() G d Posledí ovici získáme ze vztahu po hmotost M(): Difeeciací máme: M () 4 π ρ() d dm d 0 () 4 π ρ( ) (3) Soustavu těchto tří ovic řešíme vhodým difeečím schématem Počátečí podmíky ovic jsou p(0) p 0 a M(0) 0 Itegací se tlak směem od ceta sižuje V okamžiku, kdy p 0, ukočíme itegaci, eboť jsme došli až k povchu hvězdy p p 0 5 Poováí výkoů Zadáí: Jaký je pomě zářivých výkoů bílého tpaslíka a omálí hvězdy, mají-li stejou povchovou teplotu? Předpokládejte polomě tpaslíka WD 5000 km a polomě omálí hvězdy NOM km Řešeí: Mají-li hvězdy stejé teploty, mají také stejou itezitu vyzařováí a povchu, takže PWD σt 4π T : P σt 4π T NOM 4 WD 4 NOM WD NOM 4 WD 4 NOM WD NOM Vidíme, že zářivý výko bílého tpaslíka je řádově meší ež u omálí hvězdy 6 Polomě Pocyou B Zadáí: Bílý tpaslík Pocyo B vyzařuje výko T 900 K Jaký má hvězda polomě? Řešeí: Jak víme z předchozího příkladu je 4 P 63 0 PS Jeho povchová teplota je 8

22 z čehož vyplývá polomě Poc 4 Poc Poc Poc P T PS S TS S PPoc TS km km PS TPoc 900, 7 Úbytek sluečí hmoty Zadáí: Kolik pocet sluečí hmoty se přeměí v eegii za jedo tisíciletí? Řešeí: Hledáme pomě hmoty, kteá se přeměí a eegii (ubude) a původí hmoty Sluce, eboli m E c PS t c PS t x, M M M Mc x % Za celé tisíciletí tedy současým vyzařovaým výkoem ubude je sedm miliadti poceta sluečí hmoty! 8 Kytí podukce eegie gavitačí kotakcí Zadáí: O kolik by se musel změit polomě Sluce za ok, aby eegie uvolěá gavitačím smšťováím odpovídala eegii vyzařovaé Slucem ( km, M 0 30 kg, P 0 6 W)? Jak dlouho by mohlo Sluce kýt vyzařovaou eegii z gavitačích zdojů? Řešeí: V ašem řešeí budeme hledat je hubý odhad a koeficiety vyecháme M Wp G M Wp G W p GM P S t GM Za ok po dosazeí v sekudách dostáváme 3 m Jestliže by se tedy Sluce zmešovalo o 3 m za ok, pak by se při poloměu km zmešovalo ejdéle m let T 3 m ok 9

23 Sluce už ale existuje ěkolik miliad let (což víme apříklad z hoi a Zemi), a poto emůže být zdojem jeho eegie gavitačí smšťováí 9 Teplota sluečí skvy Zadáí: Odhaděte teplotu ve sluečí skvě ze zalosti magetického tlaku ve skvě, kocetace částic a teploty okolí Řešeí:Celkový tlak vě i uvitř skvy musí být stejý Ve skvě je tlak součtem tlaku látky a magetického tlaku: kt T pi + pmag pout, i i B + ktout, µ 0 0 B Tout µ k Je zřejmé, že díky přítomosti magetického pole musí být teplota ve skvě ižší ež teplota okolí 0

24 IV GAVITACE A TÍŽE Gavitací ozumíme vzájemé přitahováí dvou libovolých těles Toto přitahováí se řídí Newtoovým gavitačím zákoem Nejjedodušší je zadat vztah po poteciálí eegii (skaláí veličiu) Na tělesa působí síla mířící k miimu poteciálí eegie, kteou učíme ze vztahu F W p Síla je veličia vektoová a má tři složky V ěkteých výjimečých případech postačí zát je velikost gavitačí síly, esp její adiálí složku W p / Tíže je je přibližý vztah ke gavitaci Jde o lieáí ozvoj poteciálí eegie Tíhové pole je použitelé v situacích, kdy se příliš eměí aše vzdáleost od ceta gavitace (apříklad a zemském povchu) Ve vztahu po poteciálí eegii i sílu vystupuje souči hmotostí obou přitahovaých těles Zpavidla jde o zdoj gavitace (M) a meší testovací tělísko (m) Výhodé je zavést veličiy ezávislé a hmotosti testovacího tělesa: poteciál φ (poteciálí eegie děleá hmotostí testovacího tělesa) a itezitu K (síla děleá hmotostí testovacího tělesa) Poteciál a itezita závisí je a paametech zdoje pole Podobě se v elektostatice zavádí poteciál a itezita elektostatického pole vyděleím veliči ábojem testovacího tělesa Gavitace W G G φ G G Tíže mm M FG KG WG φg G G mm M W T mgh W F T T h mg φ T gh φ K T T h g Vztah mezi tíhovým a gavitačím polem Zadáí: Ze vztahu po gavitačí poteciálí eegii odvoďte pomocí Tayloova ozvoje v blízkosti povchu vztah po poteciálí eegii tíže Řešeí: Vyjádřeo v poteciálích eegiích je W T mgh (poteciálí eegie tíhového pole), mm W G G (poteciálí eegie pole gavitačího)

25 W T ~h W G h ~ / Na pví pohled se může zdát být divé, že v obou případech při vzdalováí od ceta eegie oste Ituitivě tušíme, že by gavitačí působeí mělo se vzdalováím slábout Vysvětleí spočívá v tom, že vztah po tíhové pole platí je v těsé blízkosti povchu, takže o vzdalováí od tělesa emůže být ai řeč Jde o lieáí přiblížeí ke gavitačímu poli Ve vztahu po gavitačí pole poteciálí eegie sice se vzdalováím oste, ale k ule! V absolutí hodotě skutečě pole slábe k ule h Wp ~ h ~ / Nahaďme gavitačí pole tečou v blízkosti povchu (udělejme Tayloův ozvoj do pvího řádu v 0 ): W G ( ) W G ( ) + W ' G ( ) ( ) + Poteciálí eegii můžeme posuout o kostatu a a silách se to epojeví, takže postačí W mm GM ' G ( ) WG ( ) ( ) G ( ) m h kde jsme zavedli tíhové zychleí vztahem GM g Pád z malé výšky - difeečí schéma Zadáí: Napište difeečí schéma po pád tělesa z malé výšky (tíhové pole) a z velké výšky (gavitačí pole) Po pád z velké výšky uvažujte odpo atmosféy úměý ychlosti tělesa Pád pobíhá je v adiálím směu Řešeí: Pohybová ovice po malou výšku vyplývá z Newtoova zákoa s tíhovou poteciálí eegií W mgh mh T mg h h mgh,

26 Výsledá difeeciálí ovice h g je mimořádě jedoduchá a její řešeí bychom sado mohli ajít aalyticky Tvobu difeečího schématu si poto ukážeme pávě a takto jedoduché ovici Stejý postup můžete aplikovat i a složitější ovice, kteé již emají aalytické řešeí h m mg Nejpve převedeme difeeciálí ovici duhého řádu a soustavu ovic pvího řádu (ve fyzice k tomu využijeme defiice ychlosti jako pví deivace hledaé poměé podle času): dh v, dt dv g dt Nebudeme yí hledat řešeí v každém čase (difeeciálí ovice), ale je v ěkteých časech difeečí ovice) V paxi to zameá ahazeí skutečého řešeí lomeou čaou Budou ás tedy zajímat je hodoty h h( t ), v v( t ) Skutečé deivace ahadíme koečými ozdíly: h v + t + t h v Nyí vypočteme hodoty + pomocí hodot : h v + + h v v, g + v t, g t Získali jsme tak difeečí schéma, podle kteého počítáme jedotlivé hodoty h v h, v h, v 0, 0 Je zřejmé, že k umeické kodstukci řešeí postačí zát počátečí výšku a ychlost (počátečí podmíky), apříklad: h H v 0 0, 0 3

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Měření na D/A a A/D převodnících

Měření na D/A a A/D převodnících Měřeí a D/A a A/D převodících. Zadáí A. Na D/A převodíku ealizovaém pomocí MDAC 8: a) Změřte závislost výstupího apětí převodíku v ozsahu až V a zvoleé vstupí kombiaci sousedích kódových slov. Měřeí poveďte

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Newtonův gravitační zákon Gravitační a tíhové zrychlení při povrchu Země Pohyby těles Gravitační pole Slunce

Newtonův gravitační zákon Gravitační a tíhové zrychlení při povrchu Země Pohyby těles Gravitační pole Slunce Gavitační pole Newtonův gavitační zákon Gavitační a tíhové zychlení při povchu Země Pohyby těles Gavitační pole Slunce Úvod V okolí Země existuje gavitační pole. Země působí na každé těleso ve svém okolí

Více

Petr Kulhánek, Milan Červenka

Petr Kulhánek, Milan Červenka A S T R O F Y Z I K A V P Ř Í K L A D E C H Pet Kulhánek, Milan Čevenka Paha 01 FEL ČVUT OBSAH I. ZÁKLADNÍ VZTAHY 3 1. Pasek 3. Poxima Centaui 4 3. Magnituda 4 4. Pogsonova ovnice 5 5. Absolutní magnituda

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů - 12.1 - Přehled Ifomace po odhad ákladů Míy po áklady dotazu Opeace výběu Řazeí Opeace spojeí Vyhodocováí výazů Tasfomace elačích výazů Výbě pláu po vyhodoceí Kapitola 12: Zpacováí dotazů Základí koky

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

Hlavní body. Keplerovy zákony Newtonův gravitační zákon. Konzervativní pole. Gravitační pole v blízkosti Země Planetární pohyby

Hlavní body. Keplerovy zákony Newtonův gravitační zákon. Konzervativní pole. Gravitační pole v blízkosti Země Planetární pohyby Úvod do gavitace Hlavní body Kepleovy zákony Newtonův gavitační zákon Gavitační pole v blízkosti Země Planetání pohyby Konzevativní pole Potenciál a potenciální enegie Vztah intenzity a potenciálu Úvod

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla Disperze světla. Spektrálí barvy v = = f T v = F(f) růzé f růzá barva rychlost světla v prostředí závisí a f = disperze světla c = = F ( f ) idex lomu daého optického prostředí závisí a frekveci světla

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUÍ HODNOTY. Typy a druhy úročeí, budoucí hodota ivestice Úrok - odměa za získáí úvěru (cea za službu peěz) Ročí úroková sazba (míra)(i) úrok v % z hodoty kapitálu za časové období

Více

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu . ýpočty s využití vztahů ezi stavovýi veličiai ideálího plyu Ze zkušeosti víe, že obje plyu - a rozdíl od objeu pevé látky ebo kapaliy - je vyeze prostore, v ěž je ply uzavře. Přítoost plyu v ádobě se

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/ a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata C) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

- 1 - Ekonomicko-matematické metody II Rozhodování a rozhodovací modely

- 1 - Ekonomicko-matematické metody II Rozhodování a rozhodovací modely Ekoomicko-matematické metody II Rozhodováí a ozhodovací modely Vybaé aplikace - Řízeí a všech jeho úovích - Zemědělství - Hazadí hy - Běžá každodeí ozhodutí Poblém k zamyšleí - Lze systematicky bohatout

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY.

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. Ig.Karel Hoder, ÚAMT-VUT Bro. 1.Úvod Optimálí rozděleí ákladů a vytápěí bytového domu mezi uživatele bytů v domě stále podléhá

Více

ELEKTRICKÝ NÁBOJ COULOMBŮV ZÁKON INTENZITA ELEKTRICKÉHO POLE

ELEKTRICKÝ NÁBOJ COULOMBŮV ZÁKON INTENZITA ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÝ NÁBOJ COULOMBŮV ZÁKON INTENZITA ELEKTRICKÉHO POLE 1 ELEKTRICKÝ NÁBOJ Elektický náboj základní vlastnost někteých elementáních částic (pvní elektické jevy pozoovány již ve staověku janta (řecky

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS. Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.

Více

Gravitace. Kapitola 8. 8.1 Gravitační zákon. 8.1.1 Isaac Newton a objev gravitačního zákona

Gravitace. Kapitola 8. 8.1 Gravitační zákon. 8.1.1 Isaac Newton a objev gravitačního zákona Kapitola 8 Gavitace 8.1 Gavitační zákon 8.1.1 Isaac Newton a objev gavitačního zákona Keple objevil své evoluční zákony o pohybu planet v oce 1609 a 1619. Dlouho však byly jeho výsledky přijímány s nedůvěou.

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

Asynchronní motory Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006

Asynchronní motory Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006 8 ELEKTRCKÉ STROJE TOČVÉ říklad 8 Základí veličiy Určeo pro poluchače akalářkých tudijích programů FS Aychroí motory g Vítězlav Stýkala, hd, úor 006 Řešeé příklady 3 fázový aychroí motor kotvou akrátko

Více

Rozklad přírodních surovin minerálními kyselinami

Rozklad přírodních surovin minerálními kyselinami Laboatoř anoganické technologie Rozklad příodních suovin mineálními kyselinami Rozpouštění příodních mateiálů v důsledku pobíhající chemické eakce patří mezi základní technologické opeace řady půmyslových

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

5.3.4 Využití interference na tenkých vrstvách v praxi

5.3.4 Využití interference na tenkých vrstvách v praxi 5.3.4 Využití intefeence na tenkých vstvách v paxi Předpoklady: 5303 1. kontola vyboušení bousíme čočku, potřebujeme vyzkoušet zda je spávně vyboušená (má spávný tva) máme vyobený velice přesný odlitek

Více

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky ELEKTRICKÉ POHONY. pro kombinované a distanční studium

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky ELEKTRICKÉ POHONY. pro kombinované a distanční studium Vysoká škola báňská - Techická uiverzita Ostrava Fakulta elektrotechiky a iformatiky ELEKTRICKÉ POHONY pro kombiovaé a distačí studium Ivo Neborák Václav Sládeček Ostrava 004 1 Doc. Ig. Ivo Neborák, CSc.,

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.

Více

Seminární práce z fyziky

Seminární práce z fyziky Seminání páce z fyziky školní ok 005/006 Jakub Dundálek 3.A Jiáskovo gymnázium v Náchodě Přeměny mechanické enegie Přeměna mechanické enegie na ovnoamenné houpačce Název: Přeměna mechanické enegie na ovnoamenné

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

3.3 Soustavy sil a silových momentů. soustava sil a momentů = seskupení sil a momentů sil působících na těleso

3.3 Soustavy sil a silových momentů. soustava sil a momentů = seskupení sil a momentů sil působících na těleso 3.3 Soustav s a sových oetů soustava s a oetů sesupeí s a oetů s působících a těeso váští případ: svae s (paps všech s soustav se potíají v jedo bodě) soustava ovoběžých s (paps všech s soustav jsou aváje

Více

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty)

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty) (variata s odděleým hodoceím ivestičích ákladů vyaložeých a jedotlivé privatizovaé objekty) Vypracoval: YBN CONSULT - Zalecký ústav s.r.o. Ig. Bedřich Malý Ig. Yvetta Fialová, CSc. Václavské áměstí 1 110

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

Přehled vzorců z matematiky

Přehled vzorců z matematiky ) Výz: Přehled vzoů z tetik ( + ) + + ( ) + ( + ) ( ) ( + ) + + + ( ) + ( ) ( ) + + + ( ) ( ) + + ) Moi:....... s + s (. ). s ( ) s s.s ) Odoi: ( ).p... p ( ). 4) Kvdtiká ovie: 5) Kopleí čísl: + + 0 kde

Více

2002 Katedra obecné elektrotechniky FEI VŠB-TU Ostrava Ing.Stanislav Kocman

2002 Katedra obecné elektrotechniky FEI VŠB-TU Ostrava Ing.Stanislav Kocman ASYNCHRONNÍ STROJE Obsah. Pricip čiosti asychroího motoru. Náhradí schéma asychroího motoru. Výko a momet asychroího motoru 4. Spouštěí trojfázových asychroích motorů 5. Řízeí otáček asychroích motorů

Více

10. Energie a její transformace

10. Energie a její transformace 10. Energie a její transformace Energie je nejdůležitější vlastností hmoty a záření. Je obsažena v každém kousku hmoty i ve světelném paprsku. Je ve vesmíru a všude kolem nás. S energií se setkáváme na

Více

9. Astrofyzika. 9.4 Pod jakým úhlem vidí průměr Země pozorovatel na Měsíci? Vzdálenost Měsíce od Země je 384 000 km.

9. Astrofyzika. 9.4 Pod jakým úhlem vidí průměr Země pozorovatel na Měsíci? Vzdálenost Měsíce od Země je 384 000 km. 9. Astrofyzika 9.1 Uvažujme hvězdu, která je ve vzdálenosti 4 parseky od sluneční soustavy. Určete: a) jaká je vzdálenost této hvězdy vyjádřená v kilometrech, b) dobu, za kterou dospěje světlo z této hvězdy

Více

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu.

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu. KVALIMETRIE Miloslav Sucháek 16. Statistické metody v metrologii a aalytické chemii Řešeé příklady a CD-ROM v Excelu Eurachem ZAOSTŘENO NA ANALYTICKOU CHEMII V EVROPĚ Kvalimetrie 16 je zatím posledí z

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

Neparametrické metody

Neparametrické metody I. ÚVOD Neparametrické metody EuroMISE Cetrum v Neparametrické testy jsou založey a pořadových skórech, které reprezetují původí data v Data emusí utě splňovat určité předpoklady vyžadovaé u parametrických

Více

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Statitické metody ve veřejé právě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Ig. Václav Friedrich, Ph.D. 2013 1 Kapitola 2 Popi tatitických dat 2.1 Tabulka obahuje rozděleí pracovíků podle platových tříd: TARIF PLAT POČET TARIF

Více

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová Matematicko-fyzikálí fakulta Uiverzita Karlova Diplomová práce e Reata Sikorová Obor: Učitelství matematika - fyzika Katedra didaktiky matematiky Vedoucí práce: RNDr. Jiří Kottas, CSc. i Prohlašuji, že

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1 Středí hodoty. Artmetcký průměr prostý Aleš Drobík straa 0. STŘEDNÍ HODNOTY Př statstckém zjšťováí často zpracováváme statstcké soubory s velkým možstvím statstckých jedotek. Např. soubor pracovíků orgazace,

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

Planimetrie. Přímka a její části

Planimetrie. Přímka a její části Planimetie Přímka a její části Bod - značí se velkými tiskacími písmeny - bod ozděluje přímku na dvě opačné polooviny Přímka - značí se malými písmeny latinské abecedy nebo AB, AB - přímka je dána dvěma

Více

Téma 3: Popisná statistika

Téma 3: Popisná statistika Popá tatta Téma : Popá tatta Předáša 7 Záladí tattcé pojmy Pojem a úoly tatty Statta je věda, teá e zabývá zíáváím, zpacováím a aalýzou dat po potřeby ozhodováí. Zoumá tav a vývoj homadých jevů a vztahů

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH ECHNICKÝ AUDI VODÁRENSKÝCH DISRIBUČNÍCH SYSÉMŮ Ig. Ladislav uhovčák, CSc. 1), Ig. omáš Kučera 1), Ig. Miroslav Svoboda 1), Ig. Miroslav Šebesta 2) 1) 2) Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta stavebí, Ústav

Více

4 Získejte to nejlepší. Všestranně využitelný prostor se stylovým exteriérem. 6 Poznejte své druhé já. Připravte se na zážitek z dynamické jízdy.

4 Získejte to nejlepší. Všestranně využitelný prostor se stylovým exteriérem. 6 Poznejte své druhé já. Připravte se na zážitek z dynamické jízdy. Mazda2 Mazda2 4 Získejte to ejlepší Všestraě využitelý prostor se stylovým exteriérem. 6 Pozejte své druhé já Připravte se a zážitek z dyamické jízdy. 8 Prostor a všestraá využitelost Flexibilí ložý prostor

Více

Makroekonomie cvičení 1

Makroekonomie cvičení 1 Makroekoomie cvičeí 1 D = poptávka. S = Nabídka. Q = Možství. P = Cea. Q* = Rovovážé možství (Q E ). P* = Rovovážá caa (P E ). L = Práce. K = Kapitál. C = Spotřeba domácosti. LR = Dlouhé období. SR = Krátké

Více

8 Průzkumová analýza dat

8 Průzkumová analýza dat 8 Průzkumová aalýza dat Cílem průzkumové aalýzy dat (také zámé pod zkratkou EDA - z aglického ázvu exploratory data aalysis) je alezeí zvláštostí statistického chováí dat a ověřeí jejich předpokladů pro

Více

Univerzita Karlova Přírodovědecká fakulta Katedra analytické chemie

Univerzita Karlova Přírodovědecká fakulta Katedra analytické chemie Uivezit ov Příodovědecká fkut ted ytické chemie Sttitické vyhodoceí výedků Picip: Výedky opkových zkoušek, kteé jou ztížey áhodými chybmi, mjí učité ozděeí (ditibuci). Rozděeím e zde ozumí záviot pvděpodoboti

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

Základní pojmy kombinatoriky

Základní pojmy kombinatoriky Základí pojy kobiatoriky Začee příklade Příklad Máe rozesadit lidí kole kulatého stolu tak, aby dva z ich, osoby A a B, eseděly vedle sebe Kolika způsoby to lze učiit? Pro získáí odpovědi budee potřebovat

Více

Laboratorní práce č. 4: Úlohy z paprskové optiky

Laboratorní práce č. 4: Úlohy z paprskové optiky Přírodí ědy moderě a iteraktiě FYZKA 4. ročík šestiletého a. ročík čtyřletého studia Laboratorí práce č. 4: Úlohy z paprskoé optiky G Gymázium Hraice Přírodí ědy moderě a iteraktiě FYZKA 3. ročík šestiletého

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ČÁST JAR-OPS 3 AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ACJ OPS 3.605 Hodoty hmotostí Viz JAR-OPS 3.605 V souladu s ICAO Ae 5 a s meziárodí soustavou jedotek SI, skutečé a omezující hmotosti vrtulíků, užitečé zatížeí

Více

2. Měření základních optických vlastností materiálů. index lomu a disperze propustnost, absorpce kvalita optických prostředí

2. Měření základních optických vlastností materiálů. index lomu a disperze propustnost, absorpce kvalita optických prostředí . Měřeí základích optických vlastostí materiálů idex lomu a disperze propustost, absorpce kvalita optických prostředí .1. Měřeí idexu lomu a disperze Sellmeierův vztah i ( ) = 1+ i B C i Coruův vzorec

Více

Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso

Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso DUM Základy přírodních věd DUM III/2-T3-16 Téma: Práce a energie Střední škola Rok: 2012 2013 Varianta: A Zpracoval: Mgr. Pavel Hrubý TEST Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso 1 Účinnost

Více

Poznámky k tématu Korelace a jednoduchá lineární regrese (Téma není ve skriptech)

Poznámky k tématu Korelace a jednoduchá lineární regrese (Téma není ve skriptech) Pozámk k tématu Koelace a jedoduchá leáí egee (Téma eí ve kptech) Mějme data, ),...,(, ), kteá jou áhodým výběem z ějaké populace. Data ted pokládáme za ezávlé ealzace dvojce áhodých velč ( X, Y ). Půmě

Více

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9 Obsah 1 Mechanická práce 1 2 Výkon, příkon, účinnost 2 3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie......................... 6 3.2 Potenciální energie........................ 6 3.3 Potenciální energie........................

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

Beta faktor a ekvitní prémie z cizího trhu: přenositelnost a statistická spolehlivost

Beta faktor a ekvitní prémie z cizího trhu: přenositelnost a statistická spolehlivost Beta fakto a ekvtí péme z czího thu: přeostelost a statstcká spolehlvost Veze 15. 4. 014 chal Dvořák Abstakt Cílem textu je lustovat že český buzoví th eobsahuje dostatečý počet ttulů ke koektímu staoveí

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Petr Otipka Vladislav Šmajstrla Vytv ořeo v rámci projektu Operačího programu Rozv oje lidských zdrojů CZ.04..03/3..5./006

Více

-1- Finanční matematika. Složené úrokování

-1- Finanční matematika. Složené úrokování -- Fiačí ateatika Složeé úrokováí Při složeé úročeí se úroky přičítají k počátečíu kapitálu ( k poskytutí úvěru, k uložeéu vkladu ) a společě s í se úročí. Vzorec pro kapitál K po letech při složeé úročeí

Více

50 Hz. Tradiční sériový ceník CZK

50 Hz. Tradiční sériový ceník CZK 11 5 Hz 4 Tradičí sériový ceík Osvědčeí a Záruka bez udáí důvodů... Pokud je ám zámo, ZDS je jediým výrobcem, který abízí záruku Bez udáí důvodů a celý sortimet výrobků. Jedoduše to zameá, že bez ohledu

Více

ZÁKLADNÍ ICHTYOLOGICKÉ METODY

ZÁKLADNÍ ICHTYOLOGICKÉ METODY ZÁKLADNÍ ICHTYOLOGICKÉ METODY Určováí věku a staoveí růstu ryb Ryby jsou poikilotermí obratlovci, u ichž jsou všechy biologické fukce zásadím způsobem ovlivňováy teplotou vody. To platí v plém rozsahu

Více

Základní jednotky v astronomii

Základní jednotky v astronomii v01.00 Základní jednotky v astronomii Ing. Neliba Vlastimil AK Kladno 2005 Délka - l Slouží pro určení vzdáleností ve vesmíru Základní jednotkou je metr metr je definován jako délka, jež urazí světlo ve

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více