PETR KULHÁNEK. Praha 2001 FEL ČVUT

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "PETR KULHÁNEK. Praha 2001 FEL ČVUT"

Transkript

1 ASTOFYZIKA -- S PET KULHÁNEK Paha 00 FEL ČVUT

2 OBSAH I ZÁKLADNÍ VZTAHY 3 Pasek 3 Poxima Cetaui 4 3 Magituda 4 4 Pogsoova ovice 5 5 Absolutí magituda Sluce 5 6 Hodiový úhel Aldebaau 6 7 Jety kvasau - fiktiví adsvětelá ychlost 6 8 Plackovy škály 6 9 Vektoový souči 7 II ELEKTOMAGNETICKÉ ZÁŘENÍ 9 Zářeí husté jako voda 9 Teplota Sluce z vlové délky světla 0 3 Zářivý výko Sluce 0 4 Měý výko Sluce 0 5 Sluečí kostata 6 Teplota Sluce z itezity zářeí 7 Elektické pole sluečího zářeí u Země 8 Tlak zářeí 3 9 Teplota těles a vlové délky zářeí 4 III HVĚZDY, SLUNCE 5 Hydodyamický čas 5 Jeasovo kitéium 5 3 ovováha polytopí hvězdy 6 4 ovice ovováhy polytopí hvězdy 7 5 Poováí výkoů 8 6 Polomě Pocyou B 8 7 Úbytek sluečí hmoty 9 8 Kytí podukce eegie gavitačí kotakcí 9 9 Teplota sluečí skvy 0 IV GAVITACE A TÍŽE Vztah mezi tíhovým a gavitačím polem Pád z malé výšky - difeečí schéma 3 Pád z velké výšky - difeečí schéma 4 4 Oběh tělesa po kuhové dáze 4 5 Třetí Kepleův záko 5 6 Gavitačí působeí Sluce a Země a Měsíc 6 7 Příliv a odliv 6 8 Hmotost Země 7 9 Hillovy ekvipoteciály 8 0 Vitří Lagageův bod soustavy Země - Měsíc 9 Úiková ychlost z Galaxie 9 V OTAČNÍ POHYBY 3 otace bodu 3 Kyvadlo 33 3 Hvězda měící ozměy 34 4 Záko ploch 35 5 Duhý Kepleův záko 35

3 6 Efektiví poteciál 36 7 Země jako hamoický osciláto 37 8 Pohyb elektou v magetickém poli 38 9 Pofil hladiy kapaliy v otující ádobě 38 0 Pofil víu a vodí hladiě 39 ychlostí pofil v otující galaxii s hustým jádem 40 VI SPECIÁLNÍ ELATIVITA 4 Maticový zápis Loetzovy tasfomace 4 Detemiat LT 4 3 Ivezí matice k LT 43 4 Úhel otace - apidita 43 5 elativistický Doppleův jev 44 6 Mio 45 VII GAVITACE A OBECNÁ ELATIVITA 46 Laplaceův výpočet Schwazschildova poloměu 46 Hustota čeé díy 46 3 Pohyb fotou 46 4 Čeveý posuv fotou - výpočet ze zákoa zachováí eegie 47 5 Čeveý posuv fotou - výpočet z LIS 48 6 Čeveý posuv fotou - výpočet z metiky 49 7 Poud ebkův expeimet 49 8 Čeveé posuvy po typické hvězdy 50 9 Beckesteiova teplota čeé díy 50 0 Vypařováí čeé díy 5 VIII OZPÍNÁNÍ VESMÍU 53 Objem koule 53 Objem Vesmíu 54 3 Kosmologický posuv 55 4 Kvasa 57 5 Kosmologický posuv a Doppleův jev 57 6 Pokles hustoty eegie zářeí s expazí 58 7 Základí řešeí Eisteiovy ovice 58 8 Iflace při H cost 59 9 Stáří Vesmíu 59 0 Látka a zářeí 60 Stavová ovice expadující etity 60 IX POHYBY ČÁSTIC V POLÍCH 6 Náboj v elektickém poli 6 Lamoův polomě 6 3 Magetický momet abité částice 63 4 Magetická ezoace 63 5 Magetický momet jako ivaiat 64 6 Magetické zcadlo 64 7 Gavitačí dift 65 8 Beettův pič 65 Aktuálí vezi skipta si můžete stáhout a seveu v sekci Studium ebo v sekci Stáhout Nalezeé chyby posím pošlete a adesu

4 TABULKA ZÁKLADNÍCH KONSTANT G N m kg c m s J s σ W m K 4 b K m gavitačí kostata ychlost světla Plackova kostata Stefa Boltzmaova kostata Wieova kostata TABULKA HODNOT VELIČIN M S kg M Z kg M M M Z /8 m kg ZS km ZM km S km Z km P S W b J s v 30 km s I 39 kw m hmotost Sluce hmotost Země hmotost Měsíce hmotost ukleou vzdáleost Země - Sluce vzdáleost Země - Měsíc polomě Sluce polomě Země celkový zářivý výko Sluce momet hybosti Země vzhledem ke Sluci ychlost Země kolem Sluce soláí kostata (itezita sluečího zářeí u Země) JEDNOTKY VZDÁLENOSTI AU km ly km pc km astoomická jedotka světelý ok pasek

5 TYPICKÉ VLASTNOSTI HVĚZD polomě hmotost hustota čeá día 3 km M S 0 6 g/cm 3 eutoová hvězda 0 až 00 km M S 0 4 g/cm 3 bílý tpaslík 000 až km M S 0 6 g/m 3 Sluce km M S,4 g/cm 3 veleob až 500 S M S 0 6 g/cm 3

6 I ZÁKLADNÍ VZTAHY AU - astoomická jedotka: půměá vzdáleost Země od Sluce, km ly - světelý ok: vzdáleost, kteou světlo uléte za jede ok, km pc - pasek, paalaktická sekuda: vzdáleost, ze kteé by polomě oběžé dáhy Země byl kolmo k zoému papsku vidět pod úhlem ", km m - elativí magituda: logaitmická mía jasosti objektu, m,5 log I Tato defiičí ovice se azývá Pogsoova ovice Koeficiet je vole tak, aby hvězdy s ozdílem pěti magitud měly podíl vzájemých jasostí :00 Zaméko mius v defiici je z histoických důvodů Magitudy takto vypočteé odpovídají histoickému děleí hvězd do šesti skupi (ula ejjasější, 5 ejméě jasé pozoovatelé okem) Nejjasější hvězda a seveí polokouli Vega má magitudu ~ 0, ejjasější hvězda očí oblohy Siius má magitudu,6 elativí magituda vypovídá o skutečé jasosti hvězdy a obloze, kteá komě svítivosti závisí i a vzdáleosti hvězdy M - absolutí magituda: magituda, kteou by hvězda měla ve vzdáleosti 0 pc Závisí je a skutečé svítivosti hvězdy Každou hvězdu si představíme přestěhovaou do vzdáleosti 0 pc Zadáváme-li vzdáleost hvězdy v pasecích, platí mezi absolutí a elativí magitudou jedoduchý vztah M m log δ - dekliace: Oblouk mezi světovým ovíkem (pojekce oviy zemského ovíku a ebeskou sféu) a hvězdou Světový ovík má δ 0, seveí světový pól má δ 90, jiží světový pól δ 90 α - ektasceze: Oblouk mezi jaím bodem a dekliačí kužicí hvězdy (kolmá a světový ovík) měřeý ve stupích ebo v hodiách (jaí bod : α 0 0 h) Jaí bod je půsečík ekliptiky (půmět oviy oběžé dáhy Země kolem Sluce a ebeskou sféu) se světovým ovíkem v souhvězdí yb Sluce se achází v jaím bodě při jaí ovodeosti t - hodiový úhel: úhel mezi místím poledíkem a objektem měřeý ve směu zdálivého pohybu hvězd, tj od jihu k západu Udává se v hodiách (azimut vyjádřeý v hodiách) Hoí kulmiace: hvězda v ejvyšším bodě své dáhy (ad jihem, t 0 h) Dolí kulmiace: hvězda v ejižším bodě své dáhy (ad seveem, t h) θ hvězdý čas: hodiový úhel jaího bodu Jde o ektascezi hvězd, kteé pávě kulmiují θ α + t K daému datu alezeme hvězdý čas v hvězdářské očece Pasek Zadáí: Spočtěte vzdáleost pc Řešeí: pc (pasek, paalaktická sekuda) je vzdáleost, ze kteé vidíme velkou poloosu oběžé dáhy Země kolem Sluce pod úhlem ϕ '' Úhel '' je tak malý, že stay VS a VZ a obázku pakticky splývají a místo pavoúhlého tojúhelíka VSZ můžeme použít defiičí vztah úhlu (úhel je oblouk ku poloměu) Poto 3

7 l ZS, ϕ kde l je vzdáleost pc v metech, ZS je vzdáleost Země od Sluce a ϕ je úhel jedé vteřiy vyjádřeý v adiáech: m l 3 0 π m Poxima Cetaui Zadáí: Najděte paalaxu Poximy Cetaui, kteá je vzdáleá asi 43 světelého oku Řešeí: Díky pohybu Země kolem Sluce se zdá, že blízké hvězdy opisují opoti vzdáleým elipsu Úhlový polomě této elipsy se azývá paalaxa hvězdy Lze ji změřit je po ejbližší hvězdy Z defiice úhlu (jako v předchozím příkladě) tedy vyplývá, že 5 0 m 5 0 m 6 π ZS 37 0 ad, l 43 ly m což je přibližě 076'' Vidíme, že i u duhé ejbližší hvězdy po Sluci eí paalaxa ai celá '' 3 Magituda Zadáí: Jaký je ozdíl magitud dvou hvězd, jejichž jasost se liší stokát? Řešeí: Magituda je logaitmickou míou svítivosti: m 5 log J Koeficiet 5 se objevuje před logaitmem z histoických důvodů, kdy ejjasější hvězdy pozoovatelé okem měly třídu 0, ejslabší třídu 5 Zaméko " " zajišťuje, aby ižší magitudy měly vyšší svítivost Koeficiet 5 zase zajistí, aby po pomě svítivostí J /J 00 byl ozdíl magitud pávě 5: 4

8 J m m m 5 (log J log J) 5 log 5 log00 5 J 4 Pogsoova ovice Zadáí: Odvoďte vztah mezi absolutí magitudou a elativí magitudou v pasecích (tzv Pogsoovu ovici) Řešeí: Víme, že J klesá se čtvecem vzdáleosti od zdoje (J ~ / ) a tak můžeme podle defiice magitudy psát: m J m 5 log 5 log 5 log J Absolutí magituda je magituda hvězdy přepočítaá a jedotou vzdáleost 0 pc od zdoje (hvězdy) Jestliže bude 0 pc a m M po absolutí magitudu a, m m po elativí magitudu, pak 0 M m 5 log 5 log0 log Pogsoova ovice má tedy tva: M m log, kde je vzdáleost zdoje v pc 5 Absolutí magituda Sluce Zadáí: Učete absolutí magitudu Sluce elativí magituda je m 66 Řešeí: Nejpve převedeme vzdáleost Sluce od ás ( AU) a paseky pc Nyí z Pogsoovy ovice dostáváme M m + 5 5log ( 53) 49 Absolutí magituda Sluce je tedy přibližě M 5 pc 5

9 6 Hodiový úhel Aldebaau Zadáí: Učete hodiový úhel hvězdy Aldebaa de 0000 ve 3h 0mi v cetu Pahy Souřadice Aldebaau: ektasceze α 4h 33mi; dekliace δ 6 Souřadice ceta Pahy: zem délka: λ 4 3' zem šířka: ϕ 50 07' Hvězdý čas k půloci 0000 (z Hvězdářské očeky): θ h mi Řešeí: Nejpve učíme místí hvězdý čas (zaedbáme ozdíl mezi středím a pavým časem) Po převod úhlových a časových údajů užijeme 4mi (5 h), esp ' 4s (5' mi): θloc θ + λ + t0 h mi + 0h 58mi + 3h 0mi 5h 0mi h 0mi Dále učíme hodiový úhel hvězdy t θloc α h 0mi 4h 33 mi 0h 37 mi Aldebaa se tedy achází ad jihovýchodem, kulmiovat bude za 3h 3mi (bude ad jihem, t 4h) 7 Jety kvasau - fiktiví adsvětelá ychlost Zadáí: Vzdáleý kvasa je zdojem dvou výtysků látky (jetů) z ichž jede se pohybuje směem k pozoovateli pod malým úhlem téměř ychlostí světla Učete, jakou ychlost aměří pozoovatel Řešeí: Poloha objektu je dáa vztahy: x( t) vt siα ; y( t) y0 vt cosα Sigál přichází k pozoovateli se zpožděím v čase yt () τ t + c ychlost, kteou zjistí pozoovatel poto bude d x dx / dt v dτ dτ / dt v siα v cosα c v c c siα cosα cα c ( α / ) α << α Z výsledku je zřejmé, že pohybuje-li se jet směem k pozoovateli, tato fiktiví pozoovaá ychlost sado převýší ychlost světla y 0 y a v x 8 Plackovy škály Zadáí: Nalezěte takové kombiace kostat c, G,, kteé dají přiozeou jedotku po délku, čas, hmotost a eegii 6

10 8 c 3 0 ms, 3 G kg m s, kg m s Řešeí: Pokusíme se vytvořit výaz po délku l P, čas t P, hmotost m P a eegii E P Začeme délkou tak, že apíšeme souči výše uvedeých tří kostat, s ezámými expoety α, β, γ: α β γ l P c G Tato ovice ve skutečosti představuje čtyřásobou ovost: ovost číselou a ovost ozměovou v metech, kilogamech a sekudách Napíšeme yí ozměové části vytvořeého výazu: 0 0 α α β 3β β γ γ γ m kg s m s kg m s kg m s Nyí zapíšeme soustavu ovic po expoety u metu, kilogamu a sekudy: α + 3β + γ, 0 β + γ, 0 α β γ Řešeím této soustavy získáme jedozačé řešeí po expoety α 3 / ; β / ; γ / Tyto expoety jedozačě až a ásobící číselý fakto učují velikost Plackovy délky Zcela aalogickým způsobem můžeme odvodit vztahy po ostatí Plackovy veličiy Výsledky udává ásledující tabulka: l t m P P P G 0 3 c G 0 5 c c G m, s, kg, E P 5 c G 0 9 GeV Pozámka: Plackovy škály jsou přiozeé jedotky po áš Vesmí V Plackově čase se oddělovala gavitačí iteakce od ostatích iteakcí (došlo k aušeí supesymetie) a Vesmí popvé získal vlastosti podobé deším vlastostem V tomto čase měl Vesmí komplikovaou postoovou stuktuu, jejíž základím elemetem byla vláka o ozměech Placovy délky Půměá pohybová hmotost (eegie) částic v té době byla ova Plackově hmotosti (eegii) 9 Vektoový souči Zadáí: Ukažte, že vektoový souči má tezoový chaakte 7

11 Řešeí: Pomocí klasické defiice přes detemiat můžete vektoový souči zapsat jako i j k ab y z ab z y c a b det ax ay az azbx axbz bx by b z axby ayb x Už z tohoto zápisu je zřejmé, že se vektoový souči emůže tasfomovat jako vekto, potože se tam vyskytují součiy původích uspořádaých tojic a a b Obecě jde o matici C ab ab kl k l l k Tato matice má své tasfomačí vlastosti a je to atisymetický ( Ckl C lk ) tezo duhého řádu Atisymetické matice mají a diagoále vždy ulu a pvky pod diagoálou lze dopočítat z pvků ad diagoálou obáceím zaméka U aší matice to vypadá takto: 0 c3 c C c3 0 c c c 0 Existují tedy je tři ezávislé pvky této matice To svádí k tomu, apsat je do tojice a itepetovat jako vekto To ale ejde!!! Vaiace příkladu: Kolik ezávislých pvků má symetická a atisymetická matice ve dvou, třech a čtyřech dimezích 8

12 II ELEKTOMAGNETICKÉ ZÁŘENÍ Tok eegie elektomagetického zářeí je popsá elativistickým čtyřvektoem (ρ W, j W ) ρ W W E D + H B ; j E H Složka ρ W se azývá hustota eegie elektomagetického zářeí a zpavidla ji ozačujeme symbolem u Tři postoové složky j W se azývají tok eegie (Poytigův vekto) a zpavidla je ozačujeme symbolem S ebo jde-li je o velikost (tzv itezitu) symbolem I Velikosti postoové a časové části čtyřvektou jsou spojey vztahem I uc Z čtyřvektou lze složit ovici kotiuity ρw + div jw j E t Na pavé staě eí ula, eegie elektomagetického zářeí se ezachovává, převádí se a abité částice v podobě hustoty Jouleova výkou je NĚKTEÉ DŮLEŽITÉ VZTAHY I EH I σt 4 I u c u ED/ + HB/ u ED u HB u I /c EH/c P u/3 E/B c tok eegie (itezita, velikost Poytigova vektou) [I] Jm s W/m tok eegie - Stefa Boltzmaův záko tok eegie - vyjádřeí z hustoty eegie hustota eegie - výpočet z elektické i magetické složky [u] Jm 3 hustota eegie - výpočet z elektické složky hustota eegie - výpočet z magetické složky hustota eegie - výpočet z toku eegie tlak elektomagetického zářeí poměy polí v elektomagetické vlě c / εµ ychlost světla λ max b/t Wieův záko (vlová délka maxima vyzařováí) Zářeí husté jako voda Zadáí: Učete při jaké fázi expaze Vesmíu (při jaké teplotě) mělo zářeí hustotu stejou jako voda Řešeí: Mezi hustotou hmoty a eegie platí jedoduchý vztah plyoucí z Eisteiovy fomule 9

13 ρ W ρ m c Hustota hmoty bude odpovídat hustotě vody Hustotu eegie zářeí učíme z toku eegie, kteý je dá Stefa Boltzmaovým zákoem: 4 I σ T ρ W c c Poováím obou vztahů učíme teplotu Vesmíu, při kteé mělo elektomagetické zářeí hustotu stejou jako voda: T 4 ρ m σ c Pozámka: Vesmí měl tuto teplotu asi 4 miuty po Velkém třesku a pávě se v ěm začíaly tvořit pví lehké pvky Teplota Sluce z vlové délky světla Zadáí: Učete povchovou teplotu Sluce, víte-li, že maximum vyzařováí je a vlové délce 500 m Řešeí: Podle Wieova zákoa je povchová teplota ova T λ b max m K ~ m 8 K ~ 5800 K Pozámka: Hoké hvězdy vyzařují obecě a katší vlové délce Typické modé hvězdy mají povchovou teplotu přes 9000 K, žluté a zeleé hvězdy okolo K, čeveé hvězdy je asi K Wieův záko lze aplikovat i a podstatě chladější tělesa Například člověk s povchovou teplotou cca 30 K vyzařuje přibližě jako čeé těleso s maximem vyzařováí a vlové délce 0 mikometů V této oblasti musí být poto maximálě citlivá čidla po detekci osob 3 Zářivý výko Sluce Zadáí: Nalezěte celkový zářivý výko Sluce, záte-li jeho povchovou teplotu T 5800 K Řešeí: Zářivý výko Sluce učíme ze Stefa-Boltzmaova zákoa: P S I S σ T 4 4π S π (7 0 8 ) W 4 0 Pozámka: Obovská hodota zářivého výkou Sluce je dáa je velkou hmotostí V půměu podukuje jede kilogam sluečí hmoty výko velmi malý 6 W 4 Měý výko Sluce Zadáí: Jaký výko se půměě uvolňuje v jedom kilogamu sluečí hmoty? 0

14 Řešeí: Měý výko přepočítaý a kilogam je PS P M S 0 4 W/kg Pozámka: Přestože je celkový zářivý výko eomí a obtížě představitelý, je měý výko zaedbatelý Jede kilogam sluečí hmoty by epostačil ai k ozsvíceí ejmeší žáovky Temojadeá sytéza v cetu Sluce pobíhá velmi, velmi pomalu, zato však v obovských měřítkách Ohomý výko Sluce je tak dá je jeho velkou hmotostí, ikoliv itezitou temojadeé sytézy 5 Sluečí kostata Zadáí: Učete itezitu sluečího zářeí v okolí Země Řešeí: Sluečí kostata je itezita sluečího zářeí (eegie kolmo dopadající a jedotkovou plochu za jedotku času) ad atmosféou aší Země Tuto veličiu můžeme spočítat jako podíl celkového výkou Sluce a celkové plochy povchu koule pocházející Zemí se středem ve Sluci: I Z PS 4π ZS 4 kw m Zemì m Sluce m I,4 kw/m Pozámka: U aší Země dopadá a každý met čtveečí plochy, kolmo postaveé ke Sluečímu zářeí, výko 4 kw Teto ohomý výko je přímo využívá v paelech sluečích bateií kosmických sod a ve sluečích elektáách Při povchu Země je teto výko síže ozptylem v atmosféře Komě jadeé eegie pochází veškeá běžě dostupá eegie a Zemi ze sluečí eegie Dopadající výko sluečího zářeí je apříklad částečě absobová ostliami a pomocí fotosytézy ukládá do eegie chemických vazeb Po moha letech je tato eegie zpětě využita při spalováí uhlí, afty ebo bezíu Dopadající zářeí způsobuje také odpařováí vody z povchu Země a umožňuje tak vodí koloběh Poto i eegie využívaá ve vodích elektáách má papůvod ve sluečí eegii

15 6 Teplota Sluce z itezity zářeí Zadáí: Učete povchovou teplotu Sluce, víte-li, že u Země je tok eegie světelého zářeí od Sluce ove 4 kw/m Řešeí: Itezita vyzařováí je defiováa jako výko a plochu eboli P I Z S Zářivý výko v kouli kolem Sluce ve vzdáleosti AU (u Země) je ove P S ZS 4π I Potože záme polomě Sluce S km, můžeme předchozí vztah přepočítat a itezitu a povchu Sluce jako PS ZS I S I Z 4 π S S Ze Stefa-Boltzmaova zákoa yí plye teplota a povchu T I 4 S σ Po dosazeí docházíme k přibližé hodotě 5800 K a povchu Sluce 7 Elektické pole sluečího zářeí u Země Zadáí: Sluečí zářeí má v okolí Země itezitu I 4 kw/m Nalezěte půměou hodotu itezity elektického a idukce magetického pole v sluečím zářeí v místě, kde se achází Země Řešeí: Itezita dopadající eegie je dáa velikostí Poytigova vektou: I Z S EH Pomě elektické itezity a magetické idukce v elektomagetické vlě je E/B c Tyto dva vztahy můžeme chápat jako soustavu dvou ovic po elektické a magetické pole: E µ 0I EB ; c B Vyásobeím a vyděleím obou ovic dostaeme řešeí: E Výsledek: E 76 V/m, B T cµ I ; B 0 Pozámka: Pole 76 V/m se a pví pohled zdá být eomí Musíme si však uvědomit, že ozdíl poteciálů 76 V je měře a vzdáleosti m Skutečé emisí akty však tvají kátkou dobu a pozoovaé světlo se skládá z úseků déozměů ěkolikaásobku vlové délky Na této vzdáleosti je již ozdíl poteciálů malý Z µ I 0 c

16 8 Tlak zářeí Zadáí: Učete ozměy částeček pachu, u kteých je v mlhoviě kolem hvězdy vyováa gavitačí síla tlakem zářeí *, T * Hvìzda F gav pachové zko p mp F záø p Řešeí: Veličiu x chakteizující cetálí hvězdu v mlhoviě budeme ozačovat idexem x, * veličiu x chaakteizující zíčko pachu idexem x p Po gavitačí sílu působící a zíčko pachu vychází: 4 3 m m π p ρ pm p 3 * * FG G G Sílu elektomagetického zářeí učíme jako souči tlaku zářeí a účié plochy zíčka Ta závisí a tvau zíčka a jeho oietaci vzhledem k dopadajícímu zářeí V pvím přiblížeí ji lze považovat za půřez zíčka: I( ) FAD pad S p u π p π p 3 3 c Itezitu zářeí a povchu hvězdy můžeme učit ze Stefa-Boltzmaova zákoa I( * ) σ T * 4 Itezita ubývá s kvadátem vzdáleosti a v místě zíčka poto bude I( ) σ T / * * Výsledý vztah po sílu způsobeou tlakem zářeí tedy bude: πσ T * * p FAD 3 c Povšiměte si, že gavitačí síla i síla od tlaku zářeí ubývají s duhou mociou vzdáleosti od hvězdy! Budou-li po zo učité velikosti vyováy v blízkosti hvězdy, budou také vyováy ve větší vzdáleosti Malá zíčka tak budou vypuzea tlakem zářeí a velká zíčka udžováa v mlhoviě gavitací ezávisle a tom, o kteou část mlhoviy jde Poováím obou sil sado učíme ozměy zíčka, po kteé jsou obě síly vyováy: 4 T * * p0 4cG m * σ ρ 4 p 4 3

17 Po ozměy zíček p < p 0 převláde tlak zářeí a po ozměy zíček p > p 0 převláde gavitace Pozámky: Uvedeé vztahy závisí je a hustotě pachu, kteá bývá v celé mlhoviě stejá V mlhoviě jsou však oblasti s malými ozměy zek a oblasti s většími ozměy Dojde-li v mlhoviě ke vziku mladé hvězdy, jsou oblasti dobých zek vyfoukáy vě mlhoviu, podobě jako je a poušti větem odvát dobý pach a úko hubozého písku Tomuto jevu se říká fotoevapoace, zpavidla je způsobea ultafialovým světlem mladých hvězd Výsledkem fotoevapoace jsou chaakteistické ostře ohaičeé oblasti mlhoviy, kteé odolaly agesivímu zářeí mladých hvězd Například u Olí mlhoviy obklopující hvězdokupu M 6 se těmto útvaům říká Sloupy stvořeí Obdobý jev také záme u komet Často mívají dva ohoy, jede z hubších částeček, kteý míří blíže ke Sluci a je ovládá gavitací a duhý z dobějších částeček, kteý míří spíše od Sluce a je ovládá tlakem zářeí Vzhledem k přítomosti odstředivé síly ejsou oba ohoy a spojici kometa-sluce 9 Teplota těles a vlové délky zářeí Zadáí: Naletěte z Wieova zákoa vlové délky vyzařováí po hvězdy spektálí třídy W ( K), G (6700 K), L (700 K), člověka (30 K) a eliktího zářeí (,73 K) Naopak učete teplotu čeé díy velikosti ašeho Sluce, kteá září převážě a vlové délce sovatelé s Schwazchildovým poloměem (3 km) Řešeí: Z Wieova zákoa λ max b/t sado alezeme: Objekt Teplota Vlová délka Hvězda typu W K 36 m Hvězda typu G 6700 K 43 m Hvězda typu L 700 K 7 µm Člověk 30 K 9 µm el zářeí,73 K mm Čeá día (3 km) 0 7 K 3 km Pozámky: Nejteplejší hvězdy spektálí třídy W září převážě v UV oblasti a velmi kátkých vlových délkách (Wolf-ayetovy hvězdy) Podobé hvězdy jako Sluce mají spektálí třídu G a září ve viditelé oblasti, maximum vyzařováí Sluce je apříklad a 500 m Lidské oko se v půběhu vývoje tomuto zářeí dokoale přizpůsobilo Nejchladější zámé hvězdy typu L mají maximum vyzařováí v blízké I oblasti Sám člověk by jako absolutě čeé těleso zářil asi a 0 µm Na této vlové délce musí být citlivá čidla moitoující pohyb člověka (čidla a zloděje apod) eliktí zářeí z doby odděleí zářeí od látky, kteé postupuje celý Vesmí má vlovou délku asi mm a je tedy z adiového obou Stejě tak jako v miulosti vyplňuje posto beze zbytku To je dáo tím, že vlová délka zářeí se zvětšuje spolu s ozpíáím Vesmíu Do m 3 se tak vejde asi miliada eliktích fotoů Čeá día velikosti Sluce by měla paepatou teplotu a vyzařuje velmi málo Malé čeé díy ale září výazě více 4

18 III HVĚZDY, SLUNCE Hydodyamický čas Zadáí: Nalezěte hydodyamické časy po Sluce, bílého tpaslíka a eutoovou hvězdu (Hydodyamický čas je doba šířeí pouchy a je přibližě ove času, po kteý by částice s povchovým zychleím padala do ceta objektu) Řešeí: Víme, že mm M Wp G m g h, kde g G S použitím s gt / vyplývá po hydodyamický čas t hydo 3 s g GM GM Po kokétí hodoty poloměů hvězdých objektů dostáváme ásledující výsledky: Sluce: ~ 40 miut, bílý tpaslík: ~ s, eutoová hvězda: ~ ms Jeasovo kitéium Zadáí: Odvoďte vztah po kitickou hmotost mlhoviy, při kteé se zače vlastí gavitací houtit Předpokládejte, že hmotost jedé molekuly je m, záte teplotu a hustotu mlhoviy Řešeí: V mlhoviě jsou dva typické pocesy: ) difúze způsobeá tepelým pohybem, kteá mlhoviu zvětšuje ) gavitačí přitahováí, kteé se saží mlhoviu smštit Spočtěme chaakteistické ychlosti obou pocesů: Chaotickou tepelou ychlost učíme z ekvipatičího teoému Půměá kietická eegie a jede stupeň volosti je ova půměé tepelé eegii a jede stupeň volosti mv kt v tep Půměou složku ychlosti odpovídající gavitaci učíme z ekvipatičího teoému po gavitačí eegii kt m 5

19 mm GM mv G v gav Nyí z podmíky po houceí v gav > v tep máme GM kt > m Spolu se vztahem po hustotu M ρ 3 lze kitéium upavit a tva M 3/ kt, > mg kteý je zám jako Jeasovo kitéium Při vyšších hmotostech ež je pavá staa je mlhovia estabilí a může dojít k samovolému houceí Pozámka: Řešeí lze přesě odvodit stadadím vyšetřováím stability v hydodyamice za pomocí pouch ovovážého stavu Jeasovo kitéium je haicí za kteou se pouchy samovolě etlumí a mlhovia se stává estabilí Povšiměte si také, že kitická hmotost je úměá p 3/ Kitéium popvé odvodil Jeas v oce 90 ρ 3 ovováha polytopí hvězdy Zadáí: Řešte ovováhu gavitačí a tlakové síly ve hvězdě po polytopí závislost tlaku a hustotě Řešeí: Při řešeí se budeme zabývat je závislostí a ozměech hvězdy Gavitačí síla má tva F gav γ Tlaková síla je dáa součiem tlaku p ρ a povchu S, tj γ 3γ Ftlak ~ ρ ~ ~ 3γ Obě síly za omálích okolostí klesají s ozměy hvězdy ovováha se ustaví při ovosti obou sil Styl poklesu obou sil je stejý po koeficiet 4 γ 3 Diskutujme dva případy Nejpve γ > 4/3 Tlaková křivka je stmější ež gavitačí 6

20 F γ > 4/3 (tlaková stmější) F γ < 4/3 (tlaková méě stmá) F gav F tlak F tlak F gav δ δ 0 +δ 0 +δ Jestliže hvězda zcela áhodě zvětší své ozměy, převláde gavitačí síla a hvězdu opět smští Zmeší-li hvězda své ozměy, převláde tlaková síla a afouke hvězdu a původí ozmě Hvězda je stabilí a výkyvy v jejích ozměech eohozí její existeci V případě γ < 4/3 je tomu jiak Jestliže hvězda zcela áhodě zvětší své ozměy, převláde tlaková síla a bude hvězdu adále utit zvětšovat ozměy Hvězda bude estabilí a miimálě odhodí obálku Zmeší-li hvězda své ozměy, převláde gavitačí síla a bude utit hvězdu ke kolapsu Pozámka: Mateiál bílých tpaslíků má polytopí koeficiet blízký 4/3 Polytopí koeficiet se poěkud měí s hmotostí tpaslíka Při hmotosti přibližě 44 M S má polytopí koeficiet pávě hodotu 4/3 a po vyšší hmotosti je bílý tpaslík estabilí Této haici se říká Chadasekhaova mez 4 ovice ovováhy polytopí hvězdy Zadáí: Sestavte ovici ovováhy polytopí hvězdy Řešeí: Nechceme-li se omezit a odhady v miulém příkladu, je třeba skutečě řešit ovici ovováhy F gav d F tlak Cílem je sestavit takové ovice, ze kteých bude možé učit závislost tlaku p () a hustoty hvězdy ρ () a vzdáleosti od ceta Jedou z ovic je ovice polytopího chováí p kρ γ () Duhou ovici získáme z podmíky ovováhy gavitačí a tlakové síly a vstvu tloušťky d zázoěou a obázku Na tuto vstvu působí gavitačí síla M() dm dfgav G ; dm 4 π ρ( ) d 4 π ρ( ) M( ) dfgav G d 7

21 M() je hmotost vitřku hvězdy pod vybaou slupkou Tlaková síla působící a slupku je dftlak 4π dp Z ovováhy obou sil máme duhou ze sady ovic: dp ρ() M() G d Posledí ovici získáme ze vztahu po hmotost M(): Difeeciací máme: M () 4 π ρ() d dm d 0 () 4 π ρ( ) (3) Soustavu těchto tří ovic řešíme vhodým difeečím schématem Počátečí podmíky ovic jsou p(0) p 0 a M(0) 0 Itegací se tlak směem od ceta sižuje V okamžiku, kdy p 0, ukočíme itegaci, eboť jsme došli až k povchu hvězdy p p 0 5 Poováí výkoů Zadáí: Jaký je pomě zářivých výkoů bílého tpaslíka a omálí hvězdy, mají-li stejou povchovou teplotu? Předpokládejte polomě tpaslíka WD 5000 km a polomě omálí hvězdy NOM km Řešeí: Mají-li hvězdy stejé teploty, mají také stejou itezitu vyzařováí a povchu, takže PWD σt 4π T : P σt 4π T NOM 4 WD 4 NOM WD NOM 4 WD 4 NOM WD NOM Vidíme, že zářivý výko bílého tpaslíka je řádově meší ež u omálí hvězdy 6 Polomě Pocyou B Zadáí: Bílý tpaslík Pocyo B vyzařuje výko T 900 K Jaký má hvězda polomě? Řešeí: Jak víme z předchozího příkladu je 4 P 63 0 PS Jeho povchová teplota je 8

22 z čehož vyplývá polomě Poc 4 Poc Poc Poc P T PS S TS S PPoc TS km km PS TPoc 900, 7 Úbytek sluečí hmoty Zadáí: Kolik pocet sluečí hmoty se přeměí v eegii za jedo tisíciletí? Řešeí: Hledáme pomě hmoty, kteá se přeměí a eegii (ubude) a původí hmoty Sluce, eboli m E c PS t c PS t x, M M M Mc x % Za celé tisíciletí tedy současým vyzařovaým výkoem ubude je sedm miliadti poceta sluečí hmoty! 8 Kytí podukce eegie gavitačí kotakcí Zadáí: O kolik by se musel změit polomě Sluce za ok, aby eegie uvolěá gavitačím smšťováím odpovídala eegii vyzařovaé Slucem ( km, M 0 30 kg, P 0 6 W)? Jak dlouho by mohlo Sluce kýt vyzařovaou eegii z gavitačích zdojů? Řešeí: V ašem řešeí budeme hledat je hubý odhad a koeficiety vyecháme M Wp G M Wp G W p GM P S t GM Za ok po dosazeí v sekudách dostáváme 3 m Jestliže by se tedy Sluce zmešovalo o 3 m za ok, pak by se při poloměu km zmešovalo ejdéle m let T 3 m ok 9

23 Sluce už ale existuje ěkolik miliad let (což víme apříklad z hoi a Zemi), a poto emůže být zdojem jeho eegie gavitačí smšťováí 9 Teplota sluečí skvy Zadáí: Odhaděte teplotu ve sluečí skvě ze zalosti magetického tlaku ve skvě, kocetace částic a teploty okolí Řešeí:Celkový tlak vě i uvitř skvy musí být stejý Ve skvě je tlak součtem tlaku látky a magetického tlaku: kt T pi + pmag pout, i i B + ktout, µ 0 0 B Tout µ k Je zřejmé, že díky přítomosti magetického pole musí být teplota ve skvě ižší ež teplota okolí 0

24 IV GAVITACE A TÍŽE Gavitací ozumíme vzájemé přitahováí dvou libovolých těles Toto přitahováí se řídí Newtoovým gavitačím zákoem Nejjedodušší je zadat vztah po poteciálí eegii (skaláí veličiu) Na tělesa působí síla mířící k miimu poteciálí eegie, kteou učíme ze vztahu F W p Síla je veličia vektoová a má tři složky V ěkteých výjimečých případech postačí zát je velikost gavitačí síly, esp její adiálí složku W p / Tíže je je přibližý vztah ke gavitaci Jde o lieáí ozvoj poteciálí eegie Tíhové pole je použitelé v situacích, kdy se příliš eměí aše vzdáleost od ceta gavitace (apříklad a zemském povchu) Ve vztahu po poteciálí eegii i sílu vystupuje souči hmotostí obou přitahovaých těles Zpavidla jde o zdoj gavitace (M) a meší testovací tělísko (m) Výhodé je zavést veličiy ezávislé a hmotosti testovacího tělesa: poteciál φ (poteciálí eegie děleá hmotostí testovacího tělesa) a itezitu K (síla děleá hmotostí testovacího tělesa) Poteciál a itezita závisí je a paametech zdoje pole Podobě se v elektostatice zavádí poteciál a itezita elektostatického pole vyděleím veliči ábojem testovacího tělesa Gavitace W G G φ G G Tíže mm M FG KG WG φg G G mm M W T mgh W F T T h mg φ T gh φ K T T h g Vztah mezi tíhovým a gavitačím polem Zadáí: Ze vztahu po gavitačí poteciálí eegii odvoďte pomocí Tayloova ozvoje v blízkosti povchu vztah po poteciálí eegii tíže Řešeí: Vyjádřeo v poteciálích eegiích je W T mgh (poteciálí eegie tíhového pole), mm W G G (poteciálí eegie pole gavitačího)

25 W T ~h W G h ~ / Na pví pohled se může zdát být divé, že v obou případech při vzdalováí od ceta eegie oste Ituitivě tušíme, že by gavitačí působeí mělo se vzdalováím slábout Vysvětleí spočívá v tom, že vztah po tíhové pole platí je v těsé blízkosti povchu, takže o vzdalováí od tělesa emůže být ai řeč Jde o lieáí přiblížeí ke gavitačímu poli Ve vztahu po gavitačí pole poteciálí eegie sice se vzdalováím oste, ale k ule! V absolutí hodotě skutečě pole slábe k ule h Wp ~ h ~ / Nahaďme gavitačí pole tečou v blízkosti povchu (udělejme Tayloův ozvoj do pvího řádu v 0 ): W G ( ) W G ( ) + W ' G ( ) ( ) + Poteciálí eegii můžeme posuout o kostatu a a silách se to epojeví, takže postačí W mm GM ' G ( ) WG ( ) ( ) G ( ) m h kde jsme zavedli tíhové zychleí vztahem GM g Pád z malé výšky - difeečí schéma Zadáí: Napište difeečí schéma po pád tělesa z malé výšky (tíhové pole) a z velké výšky (gavitačí pole) Po pád z velké výšky uvažujte odpo atmosféy úměý ychlosti tělesa Pád pobíhá je v adiálím směu Řešeí: Pohybová ovice po malou výšku vyplývá z Newtoova zákoa s tíhovou poteciálí eegií W mgh mh T mg h h mgh,

26 Výsledá difeeciálí ovice h g je mimořádě jedoduchá a její řešeí bychom sado mohli ajít aalyticky Tvobu difeečího schématu si poto ukážeme pávě a takto jedoduché ovici Stejý postup můžete aplikovat i a složitější ovice, kteé již emají aalytické řešeí h m mg Nejpve převedeme difeeciálí ovici duhého řádu a soustavu ovic pvího řádu (ve fyzice k tomu využijeme defiice ychlosti jako pví deivace hledaé poměé podle času): dh v, dt dv g dt Nebudeme yí hledat řešeí v každém čase (difeeciálí ovice), ale je v ěkteých časech difeečí ovice) V paxi to zameá ahazeí skutečého řešeí lomeou čaou Budou ás tedy zajímat je hodoty h h( t ), v v( t ) Skutečé deivace ahadíme koečými ozdíly: h v + t + t h v Nyí vypočteme hodoty + pomocí hodot : h v + + h v v, g + v t, g t Získali jsme tak difeečí schéma, podle kteého počítáme jedotlivé hodoty h v h, v h, v 0, 0 Je zřejmé, že k umeické kodstukci řešeí postačí zát počátečí výšku a ychlost (počátečí podmíky), apříklad: h H v 0 0, 0 3

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

Newtonův gravitační zákon Gravitační a tíhové zrychlení při povrchu Země Pohyby těles Gravitační pole Slunce

Newtonův gravitační zákon Gravitační a tíhové zrychlení při povrchu Země Pohyby těles Gravitační pole Slunce Gavitační pole Newtonův gavitační zákon Gavitační a tíhové zychlení při povchu Země Pohyby těles Gavitační pole Slunce Úvod V okolí Země existuje gavitační pole. Země působí na každé těleso ve svém okolí

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Příklady k přednášce 9 - Zpětná vazba

Příklady k přednášce 9 - Zpětná vazba Příklady k předášce 9 - Zpětá vazba Michael Šebek Automatické řízeí 205 6--5 Příklad: Přibližá iverze tak průřezu s výškou hladiy y(t), přítokem u(t) a odtokem dy() t dt + 2 yt () = ut () Cíl řízeí: sledovat

Více

Měření na D/A a A/D převodnících

Měření na D/A a A/D převodnících Měřeí a D/A a A/D převodících. Zadáí A. Na D/A převodíku ealizovaém pomocí MDAC 8: a) Změřte závislost výstupího apětí převodíku v ozsahu až V a zvoleé vstupí kombiaci sousedích kódových slov. Měřeí poveďte

Více

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Je vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým epotřebujeme zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

2. Definice plazmatu, základní charakteristiky plazmatu

2. Definice plazmatu, základní charakteristiky plazmatu 2. efiice plazmatu, základí charakteristiky plazmatu efiice plazmatu Plazma bývá obyčejě ozačováo za čtvrté skupeství hmoty. Pokud zahříváme pevou látku, dojde k jejímu roztaveí, při dalším zahříváí se

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

λ λ λ λ c n2 n = n = ; 4.2.- 2. n n c v

λ λ λ λ c n2 n = n = ; 4.2.- 2. n n c v 4.. Geometická optika 4... Idex lomu. Popsat sklo jako ejběžěji používaý mateiál v optice, jeho složeí a techologii výoby.. Deiovat absolutí a elativí idex lomu jako výzamé chaakteistiky optického postředí.

Více

Technická univerzita v Liberci

Technická univerzita v Liberci Techická uiveita v Libeci Fakulta stojí Kateda výobích systémů VÝROBNÍ TROJE. Obáběcí stoje Podklady po cvičeí 005 g. Pet ZELENÝ CVČENÍ VÝROBNÍ TROJE. Obáběcí stoje Výpočet sovávací saby stoje a výpočet

Více

IV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa...

IV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa... IV- Eergie soustavy bodových ábojů... IV- Eergie elektrického pole pro áboj rozmístěý obecě a povrchu a uvitř objemu tělesa... 3 IV-3 Eergie elektrického pole v abitém kodezátoru... 3 IV-4 Eergie elektrostatického

Více

Petr Kulhánek, Milan Červenka

Petr Kulhánek, Milan Červenka A S T R O F Y Z I K A V P Ř Í K L A D E C H Pet Kulhánek, Milan Čevenka Paha 01 FEL ČVUT OBSAH I. ZÁKLADNÍ VZTAHY 3 1. Pasek 3. Poxima Centaui 4 3. Magnituda 4 4. Pogsonova ovnice 5 5. Absolutní magnituda

Více

Hlavní body. Keplerovy zákony Newtonův gravitační zákon. Konzervativní pole. Gravitační pole v blízkosti Země Planetární pohyby

Hlavní body. Keplerovy zákony Newtonův gravitační zákon. Konzervativní pole. Gravitační pole v blízkosti Země Planetární pohyby Úvod do gavitace Hlavní body Kepleovy zákony Newtonův gavitační zákon Gavitační pole v blízkosti Země Planetání pohyby Konzevativní pole Potenciál a potenciální enegie Vztah intenzity a potenciálu Úvod

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

3 - Póly, nuly a odezvy

3 - Póly, nuly a odezvy 3 - Póly, uly a odezvy Michael Šebek Automatické řízeí 5 3--5 Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Póly přeosu jsou kořey jmeovatele pro gs () = bs () as () jsou to komplexí čísla si: as ( i) = pokud

Více

Jednotkou tepla je jednotka energie, tj. 1 Joule (J). Z definice dále plyne, že jednotkou tepelného toku je 1 J/s ( neboli 1 W )

Jednotkou tepla je jednotka energie, tj. 1 Joule (J). Z definice dále plyne, že jednotkou tepelného toku je 1 J/s ( neboli 1 W ) 5. Sdíleí tepla. pomy: Pomem tepelá eergie ozačueme eergii mikroskopického pohybu částic (traslačího, rotačího, vibračího). Měřitelou mírou této eergie e teplota. Teplo e část vitří eergie, která samovolě

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb:

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb: ruhlář Michal 8.. 5 Laboratorí práce č. Úloha č. 9 Polarizace světla a Browův pohyb: ϕ p, C 4% 97,kPa Úkol: - Staovte polarizačí schopost daého polaroidu - Určete polarimetrem úhel stočeí kmitavé roviy

Více

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů - 12.1 - Přehled Ifomace po odhad ákladů Míy po áklady dotazu Opeace výběu Řazeí Opeace spojeí Vyhodocováí výazů Tasfomace elačích výazů Výbě pláu po vyhodoceí Kapitola 12: Zpacováí dotazů Základí koky

Více

1. Definice elektrického pohonu 1.1 Specifikace pohonu podle typu poháněného pracovního stroje 1.1.1 Rychlost pracovního mechanismu

1. Definice elektrického pohonu 1.1 Specifikace pohonu podle typu poháněného pracovního stroje 1.1.1 Rychlost pracovního mechanismu 1. Defiice elektrického pohou Pod pojmem elektrický poho rozumíme soubor elektromechaických vazeb a vztahů mezi pracovím mechaismem a elektromechaickou soustavou. Mezi základí tři části elektrického pohou

Více

Metodický postup pro určení úspor primární energie

Metodický postup pro určení úspor primární energie Metodický postup pro určeí úspor primárí eergie Parí protitlaká turbía ORGRZ, a.s., DIVIZ PLNÉ CHNIKY A CHMI HUDCOVA 76, 657 97 BRNO, POŠ. PŘIHR. 97, BRNO 2 z.č. Obsah abulka hodot vstupujících do výpočtu...3

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5.

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5. Příklad V kompresoru je kotiuálě stlačová objemový tok vzduchu [m 3.s- ] o teplotě 20 [ C] a tlaku 0, [MPa] a tlak 0,7 [MPa]. Vypočtěte objemový tok vzduchu vystupujícího z kompresoru, jeho teplotu a příko

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

GRADIENTNÍ OPTICKÉ PRVKY Gradient Index Optical Components

GRADIENTNÍ OPTICKÉ PRVKY Gradient Index Optical Components Nové metody a postupy v oblasti přístrojové techiky, automatického řízeí a iformatiky Ústav přístrojové a řídicí techiky ČVUT v Praze, odbor přesé mechaiky a optiky Techická 4, 66 7 Praha 6 GRADIENTNÍ

Více

Elektrotechnické materiály a výrobní procesy Příklady z části Materiály v elektrotechnice

Elektrotechnické materiály a výrobní procesy Příklady z části Materiály v elektrotechnice Útav elektotechologie FEKT VT v Bě Akademický ok 004/005 Bakalářký tudijí ogam,. očík Elektotechické mateiály a výobí ocey Příklady z čáti Mateiály v elektotechice A. Vybaé kotaty c,998.0 8 m. - ychlot

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

Diferenciální operátory vektorové analýzy verze 1.1

Diferenciální operátory vektorové analýzy verze 1.1 Úvod Difeenciální opeátoy vektoové analýzy veze. Následující text popisuje difeenciální opeátoy vektoové analýzy. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univezitě Hadec Kálové k přípavě

Více

vzhledem k ose kolmé na osu geometrickou a procházející hmotným středem válce. c) kužel o poloměru R, výšce h, hmotnosti m

vzhledem k ose kolmé na osu geometrickou a procházející hmotným středem válce. c) kužel o poloměru R, výšce h, hmotnosti m 8. Mechanika tuhého tělesa 8.. Základní poznatky Souřadnice x 0, y 0, z 0 hmotného středu tuhého tělesa x = x dm m ( m) 0, y = y dm m ( m) 0, z = z dm m ( m) 0. Poznámka těžiště tuhého tělesa má v homogenním

Více

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t. Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

2.1.2 Jaký náboj projde proudovodičem, klesá-li v něm proud z 18 A na nulu tak, že za každou sekundu klesne hodnota proudu na polovinu?

2.1.2 Jaký náboj projde proudovodičem, klesá-li v něm proud z 18 A na nulu tak, že za každou sekundu klesne hodnota proudu na polovinu? . LKTCKÝ POD.. lektický odpo, páce a výkon el. poudu.. Jaké množství el. náboje Q pojde vodičem za t = 0 s, jestliže a) poud = 5 A je stálý, b) poud ovnoměně oste od nuly do A?.. Jaký náboj pojde poudovodičem,

Více

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ Vlastosti úloh celočíselého programováí VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ PRINCIP ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ A ZÁKLADNÍ METODY. METODA VĚTVENÍ A HRANIC. TYPY ÚLOH 1. Úloha lieárího programováí: max{c

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

Návod pro výpočet základních induktorů s jádrem na síťové frekvenci pro obvody výkonové elektroniky.

Návod pro výpočet základních induktorů s jádrem na síťové frekvenci pro obvody výkonové elektroniky. Návod pro cvičeí předmětu Výkoová elektroika Návod pro výpočet základích iduktorů s jádrem a síťové frekveci pro obvody výkoové elektroiky. Úvod V obvodech výkoové elektroiky je možé většiu prvků vyrobit

Více

Gravitační a elektrické pole

Gravitační a elektrické pole Gavitační a elektické pole Newtonův gavitační zákon Aistotelés (384-3 př. n. l.) předpokládal, že na tělesa působí síla směřující svisle dolů. Poto jsou těžké předměty (skály tvořící placatou Zemi) dole

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

1.3.8 Rovnoměrně zrychlený pohyb po kružnici I

1.3.8 Rovnoměrně zrychlený pohyb po kružnici I 1.3.8 Rovnoměně zychlený pohyb po kužnici I Předpoklady: 137 Opakování: K veličinám popisujícím posuvný pohyb existují analogické veličiny popisující pohyb po kužnici: ovnoměný pohyb pojítko ovnoměný pohyb

Více

1.7.2 Moment síly vzhledem k ose otáčení

1.7.2 Moment síly vzhledem k ose otáčení .7. oment síly vzhledem k ose otáčení Předpoklady 70 Pedagogická poznámka Situaci tochu komplikuje skutečnost, že žáci si ze základní školy pamatují součin a mají pocit, že se pouze opakuje notoicky známá

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

Měřící technika - MT úvod

Měřící technika - MT úvod Měřící techika - MT úvod Historie Už Galileo Galilei zavádí vědecký přístup k měřeí. Jeho výrok Měřit vše, co je měřitelé a co eí měřitelým učiit platí stále. - jedotá soustava jedotek fyz. veliči - símače

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

Úvod do zpracování měření

Úvod do zpracování měření Laboratorí cvičeí ze Základů fyziky Fakulta techologická, UTB ve Zlíě Cvičeí č. Úvod do zpracováí měřeí Teorie chyb Opakujeme-li měřeí téže fyzikálí veličiy za stejých podmíek ěkolikrát za sebou, dostáváme

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ 3 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ Představa obsahu roviého obrazce byla pro lidi důležitá od pradávých dob ať již se jedalo o velikost a přeměu polí či apříklad rozměry základů obydlí Úlohy a výpočet obsahu základích

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS. Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.

Více

Elektrický náboj [q] - základní vlastnost částic z hlediska EM pole - kladný (nositel proton), záporný (nositel elektron) 19

Elektrický náboj [q] - základní vlastnost částic z hlediska EM pole - kladný (nositel proton), záporný (nositel elektron) 19 34 Elektomagnetické pole statické, stacionání, nestacionání zásady řešení v jednoduchých geometických stuktuách, klasifikace postředí (lineaita, homogenita, dispeze, anizotopie). Vypacoval: Onda, otja@seznam.cz

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta B)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta B) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/5 a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata B) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla Disperze světla. Spektrálí barvy v = = f T v = F(f) růzé f růzá barva rychlost světla v prostředí závisí a f = disperze světla c = = F ( f ) idex lomu daého optického prostředí závisí a frekveci světla

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více

MĚŘENÍ PARAMETRŮ OSVĚTLOVACÍCH SOUSTAV VEŘEJNÉHO OSVĚTLENÍ NAPÁJENÝCH Z REGULÁTORU E15

MĚŘENÍ PARAMETRŮ OSVĚTLOVACÍCH SOUSTAV VEŘEJNÉHO OSVĚTLENÍ NAPÁJENÝCH Z REGULÁTORU E15 VŠB - T Ostrava, FE MĚŘENÍ PARAMETRŮ OVĚTLOVACÍCH OTAV VEŘEJNÉHO OVĚTLENÍ NAPÁJENÝCH Z REGLÁTOR E5 Řešitelé: g. taislav Mišák, Ph.D., Prof. g. Karel okaský, Cc. V Ostravě de.8.2007 g. taislav Mišák, Prof.

Více

20. Eukleidovský prostor

20. Eukleidovský prostor 20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude

Více

4.5.9 Vznik střídavého proudu

4.5.9 Vznik střídavého proudu 4.5.9 Vzik střídavého proudu Předpoklady: 4508 Miulá hodia: Pokud se v uzavřeém závitu měí magetický idukčí tok, idukuje se v ěm elektrické apětí =. Př. 1: Vodorově orietovaá smyčka se pohybuje rovoměrě

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu . ýpočty s využití vztahů ezi stavovýi veličiai ideálího plyu Ze zkušeosti víe, že obje plyu - a rozdíl od objeu pevé látky ebo kapaliy - je vyeze prostore, v ěž je ply uzavře. Přítoost plyu v ádobě se

Více

3. Decibelové veličiny v akustice, kmitočtová pásma

3. Decibelové veličiny v akustice, kmitočtová pásma 3. Decibelové veličiy v akustice, kmitočtová ásma V ředchozí kaitole byly defiováy základí akustické veličiy, jako ař. akustický výko, akustický tlak a itezita zvuku. Tyto veličiy ve v raxi měí o moho

Více

MAGNETICKÉ POLE CÍVEK V HELMHOLTZOVĚ USPOŘÁDÁNÍ

MAGNETICKÉ POLE CÍVEK V HELMHOLTZOVĚ USPOŘÁDÁNÍ Úloha č. 6 a MAGNETICKÉ POLE CÍVEK V HELMHOLTZOVĚ USPOŘÁDÁNÍ ÚKOL MĚŘENÍ:. Změřte magnetickou indukci podél osy ovinných cívek po případy, kdy vdálenost mei nimi je ovna poloměu cívky R a dále R a R/..

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

Základní vlastnosti elektrostatického pole, probrané v minulých hodinách, popisují dvě diferenciální rovnice : konzervativnost el.

Základní vlastnosti elektrostatického pole, probrané v minulých hodinách, popisují dvě diferenciální rovnice : konzervativnost el. Aplikace Gaussova zákona ) Po sestavení základní ovnice elektostatiky Základní vlastnosti elektostatického pole, pobané v minulých hodinách, popisují dvě difeenciální ovnice : () ot E konzevativnost el.

Více

Diskrétní matematika

Diskrétní matematika Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Diskrétí matematika látka z I semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia Obsah Biárí relace2

Více

Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně

Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně Uiverzita Tomáše Bati ve Zlíě LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY II Název úlohy: Iterferece a teké vrstvě Jméo: Petr Luzar Skupia: IT II/ Datum měřeí: 3.říja 007 Obor: Iformačí techologie Hooceí: Přílohy: 0

Více

BEZKONKURENČNÍ SERVIS A PODPORA.

BEZKONKURENČNÍ SERVIS A PODPORA. BEZKONKURENČNÍ SERVIS A PODPORA. Pro výrobky Heliarc, stejě jako pro všechy další výrobky ESAB, abízíme jediečý zákazický servis a podporu. Naši kvalifikovaí pracovíci techického servisu jsou připravei

Více