UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI
|
|
- Barbora Procházková
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Zákoy velkých čísel Vedoucí diplomové práce: prof. RNDr. Ig. Lubomír Kubáček, DrSc., Dr. h. c. Rok odevzdáí: 20 Vypracoval: Veroika Mikolášová MAP, III. ročík
2 Prohlášeí Prohlašuji, že jsem vytvořila tuto diplomovou práci samostatě za vedeí prof. RNDr. Ig. Lubomíra Kubáčka, DrSc., Dr. h. c., a že jsem v sezamu použité literatury uvedla všechy zdroje použité při zpracováí práce. V Olomouci de 4. březa 20
3 Poděkováí Ráda bych a tomto místě poděkovala vedoucímu bakalářské práce prof. RNDr. Ig. Lubomíru Kubáčkovi, DrSc., Dr. h. c. za ceé rady a obětavost, se kterou se mi věoval při vytvářeí této práce. Také chci poděkovat mé rodiě za trpělivost a laskavou pomoc po celou dobu mého studia.
4 Obsah Úvod 4 Základí pojmy 5. Míra a itegrál Míra Měřitelé fukce a jejich kovergece Lebesgueův itegrál Pravděpodobost Náhodý jev, defiice pravděpodobosti Náhodá veličia, způsob zadáí, číselé charakteristiky Náhodý vektor, ezávislé áhodé veličiy Některá rozděleí pravděpodobostí áhodých veliči Cetrálí limití věta Statistika Zákoy velkých čísel Slabý záko velkých čísel Silý záko velkých čísel Empirická distribučí fukce, Glivekova věta Příklady 4 Závěr 50 Přílohy 52 Sezam obrázků Fukce f i Fukce g i Kovergece empirické distribučí fukce χ Kovergece empirické distribučí fukce P o(5) Kovergece aritmetických průměrů Poissoovo rozděleí Kovergece aritmetických průměrů rovoměré rozděleí Kovergece aritmetických průměrů ormálí rozděleí
5 Úvod Zákoy velkých čísel lze právem považovat za jede z ejdůležitějších základích pozatků teorie pravděpodobosti. Podstatou měrou totiž přispívají k přesvědčeí o pozatelosti světa. Uplatňují se rověž výrazě ve dvou fudametálích větách matematické statistiky, zejméa v Glivekově větě o stejoměré kovergeci empirické distribučí fukce k jejímu teoretickému protějšku. Iterferece zákoů velkých čísel s reálým světem se obzvlášť projevuje při experimetálích metodách získáváí zalostí o reálých jevech a procesech. Pozatek o zákoech velkých čísel tak proikl do všech experimetálích disciplí ve formě přesvědčeí, že čím více měřeí bude provedeo, tím přesější představu získáme o skutečé hodotě měřeé veličiy. Cílem práce je vytvořit relativě uzavřeou teorii zákoů velkých čísel a základě odboré literatury. Výchozím podkladem pro ás bude teorie míry a itegrálu, která od prví poloviy miulého století tvoří fudametálí metodiku teorie pravděpodobosti. V závěrečé kapitole bude rověž poukázáo a využití těchto zákoů v ěkterých statistických úlohách. 4
6 . Základí pojmy V této části práce budou shruty základí pojmy a věty teorie míry a itegrálu (zúžeé pak a teorii pravděpodobosti), potřebé pro samotou práci. V závěru této kapitoly pak bude vysvětleo ěkolik základích pojmů matematické statistiky. Mimo to práce předpokládá základí zalosti teorie moži a elemetárí aalýzy (poslouposti, řady reálých čísel i fukcí, jejich limita / kovergece)... Míra a itegrál... Míra Defiice.. Systém podmoži (začíme Σ) možiy X azveme σ-algebra ad možiou X, jestliže A X, N, platí: (i) A Σ A 2 Σ (A \ A 2 ) Σ (ii) {A } = Σ = A Σ (iii) X Σ Pozámka.. Prví dvě podmíky předchozí defiice lze slově vyjádřit tak, že σ-algebra je systém moži uzavřeý a operaci rozdílu a spočetého sjedoceí moži. Věta.. Možiová σ-algebra Σ je uzavřeá také a operaci spočetý průik moži. D ů k a z: Viz [, str. 24] Věta.2. Průik libovolého systému σ-algeber Σ i idexové možiy I, je rověž σ-algebra ad X. ad X, kde i je z ějaké D ů k a z: Viz [2, str. 27]; podmíka X i I Σ i je zřejmá. 5
7 Věta.3. Nechť G je libovolý systém podmoži možiy X. Ozačme G systém všech σ-algeber obsahujících G. Průik tohoto systému je ejmeší σ-algebra geerovaá (obsahující) G. D ů k a z: Viz [2, str. 28] Defiice.2. Nechť G je systém všech otevřeých moži v R. Nejmeší σ-algebru geerovaou tímto systémem azveme σ-algebrou borelovských moži v R a začíme B. Pozámka.2. V R je tedy σ-algebra borelovských moži defiováa jako miimálí σ-algebra geerovaá systémem všech otevřeých itervalů. Defiice.3. Možiovou fukci µ a σ-algebře Σ azveme míra, jestliže: (i) µ: Σ 0, ) (ii) µ( ) = 0 (iii) Jestliže {E } = Σ a E i E j = pro i j, pak ( ) µ E = µ(e ) (řekeme, že µ je σ-aditiví). = = Defiice.4. Uspořádaou trojici (X, Σ, µ), kde X je ějaká (eprázdá) možia, Σ je σ-algebra ad X a µ je míra a Σ, azveme prostor s mírou (ebo také měřitelý prostor.) Věta.4 (Vlastosti míry). Nechť (X, Σ, µ) je prostor s mírou. Pak platí:. A, B Σ, A B µ(a) µ(b) (tzv. mootoie míry) 2. A Σ, =, 2, µ ( = A ) = µ(a ) 3. A A 2 A = = A µ(a) = lim µ(a ) 4. A A 2 A = = A : µ(a ) < µ(a) = lim µ(a ) D ů k a z: Viz [, str ] 6
8 Pozámka.3. Na σ-algebře borelovských moži B lze defiovat tzv. Lebesgueovu míru µ L, která vziká rozšířeím míry z okruhu geerovaého zleva uzavřeými itervaly. Míra a tomto okruhu vziká přirozeým rozšířeím možiové fukce, která itervalu přiřadí jeho délku. Rozšířeí míry z okruhu a miimálí σ-okruh lze provést Caratheodoryho postupem pomocí tzv. vější míry (podroběji viz [])...2. Měřitelé fukce a jejich kovergece Pokud ebude řečeo jiak, budeme adále uvažovat měřitelý prostor (X, Σ, µ). Defiice.5. Fukce f : X R se azývá měřitelá (ěkdy také Σ-měřitelá), jestliže platí: {x X; f(x) < a} Σ a R Pozámka.4. Podmíce z předchozí defiice jsou ekvivaletí také tyto: a R: {x X; f(x) a}, resp. {x X; f(x) > a}, resp. {x X; f(x) a} D ů k a z: [2, str. 72] Pozámka.5. Nechť (R, B, µ), N je měřitelý prostor. Fukci f : R R azveme borelovsky měřitelá (borelovská), je-li B -měřitelá. Věta.5 (Vlastosti měřitelých fukcí). Nechť f a g jsou měřitelé fukce. Pak také fukce:. cf(x) c R 2. f(x)+g(x) po vhodém dodefiováí v bodech, kde f(x)+g(x) emá smysl 3. f(x) 4. max{f(x), g(x)} 5. f(x) g(x) 6. f(x) po dodefiováí v bodech, kdef(x) = 0 7
9 jsou měřitelé fukce. D ů k a z: Viz [2, str. 74] Věta.6. Nechť je dáa posloupost {f } = měřitelých fukcí. Pak také fukce sup N f (x), if N f (x), lim sup N f (x), lim if N f (x) jsou měřitelé. D ů k a z: Viz [, str. 84] Defiice.6. Řekeme, že měřitelá fukce s: X R je jedoduchá, jestliže možia s(x) (obor hodot) je koečá. Takovou fukci lze také zapsat pomocí tzv. charakteristické fukce χ A : s(x) = α i χ Ai (x) χ A (x) = i= { x A 0 jide kde α i jsou libovolé kostaty a možiy A i jsou po dvou disjuktí takové, že i= A i = X. Pozámka.6. Libovolou reálou fukci f lze rozložit a tzv. kladou a záporou část: f + (x) := max{f(x), 0}... kladá část fukce f f (x) := max{ f(x), 0}... záporá část fukce f Pak lze psát: f = f + f f = f + + f Věta.7. Nechť f je měřitelá fukce. Pak existuje posloupost {s } = jedoduchých fukcí, pro které platí: i. s (x) s 2 (x)... x X ii. s f a X Pro jistotu zopakujme dva základí druhy kovergece poslouposti fukcí {f }: bodová kovergece (z.f f) a M: ε > 0 x M 0 N: 0 f (x) f(x) < ε stejoměrá kovergece (z.f f) a M: ε > 0 0 N x M : 0 f (x) f(x) < ε 8
10 iii. pro f 0 a X lze zvolit s s 2..., tj. s f D ů k a z: [, str. 85] Teorie míry ám umožňuje zavést další druhy kovergece fukčích posloupostí, které, jak dále uvidíme, ám poslouží jako postačující podmíky itegrovatelosti: Defiice.7. Řekeme, že posloupost {f } skoro všude koečých měřitelých fukcí koverguje skoro všude a možiě M (začíme f f s.v. a M), jestliže ε > 0 x M \ M 0 0 N N: 0 f (x) f(x) < ε, kde µ(m 0 ) = 0. Pozámka.7. Pojem skoro všude a možiě zameá, že daá vlastost eplatí pouze a takové podmožiě daé možiy, která má ulovou míru. Defiice.8. Řekeme, že posloupost {f } skoro všude koečých měřitelých fukcí koverguje k fukci f podle míry (začíme f µ f s. v. a M), jestliže ε > 0: lim µ({x; f (x) f(x) ε}) = 0 Věta.8. Nechť f f s.v. a M, µ(m) <. Pak také f µ f a M. D ů k a z: Viz [2, str. 25] Věta.9. Nechť f µ f a M, µ(m) <. Pak existuje podposloupost {f k } = {f } = taková, že f k f s. v. a M. D ů k a z: Viz [2, str. 26]..3. Lebesgueův itegrál Defiice.9. Nechť s(x) = i= α iχ Ai (x), µ(a i ) <, i =,..., pak Lebesgueův itegrál z jedoduché fukce s je defiová takto: X s(x) dµ = α i µ(a i ) i= 9
11 Pozámka.8. Zřejmě:. 2. X χ A dµ = µ(a) s(x) dµ = χ E X Es(x) dµ = X E Σ i= α iχ Ai χ E dµ = i= α iµ(a i E), kde Defiice.0. Nechť f 0 je měřitelá fukce taková, že existuje posloupost jedoduchých fukcí {s } =, s (x) = m i= α i χ Ai (x), pro kterou platí s f pro a µ( m() i= A i ) < N. Pak Lebesgueův itegrál z ezáporé fukce f položíme: X f(x) dµ = lim s (x) dµ X Defiice.. Nechť f je libovolá měřitelá fukce. Pak její Lebesgueův itegrál defiujeme X má-li teto výraz smysl. f(x) dµ = X f + (x) dµ X f (x) dµ Věta.0 (Mootoie itegrálu). Nechť 0 f(x) g(x) s.v. Pak 0 f(x) dµ g(x) dµ D ů k a z: [2, Str. 95] X X Věta.. Nechť f(x) je měřitelá fukce, c libovolé reálé číslo. Pak platí: D ů k a z: [2, str. 07] X cf(x) dµ = c f(x) dµ X Věta.2.. X f(x) dµ < f < s.v. v X 0
12 2. f(x) dµ > f > s.v. v X X D ů k a z: Viz [2, str. 96] Věta.3. Nechť f(x) a g(x) jsou měřitelé fukce, které mají koečý itegrál, a echť h(x) = f(x) + g(x) a h je dodefiováo tam, kde teto součet defiová eí. Pak: X D ů k a z: Viz [2, str. ] h(x) dµ = X f(x) dµ + X g(x) dµ Věta.4. Měřitelá fukce f má koečý Lebesgueův itegrál f +, f mají koečý Lebesgueův itegrál f má koečý Lebesgueův itegrál a platí f(x) dµ f(x) dµ. X X D ů k a z: Prví ekvivalece plye přímo z defiice Lebesgueova itegrálu měřitelé fukce, zbytek viz [2, str. 96]..2. Pravděpodobost.2.. Náhodý jev, defiice pravděpodobosti Teorie pravděpopodobosti studuje výsledky tzv. áhodých pokusů, tj. pokusů (určeých pevě daým systémem podmíek), které mohou mít více růzých výsledků, z ichž astává vždy právě jede. Uvažujme tedy ějaký pevě zvoleý pokus. Ozačme Ω možiu všech možých výsledků tohoto pokusu, ω Ω jede kokrétí výsledek. Defiice.2. Každá podmožia A Ω se azývá jev, každá jedoprvková podmožia {ω} Ω se azývá elemetárí jev. Řekeme, že při realizaci áhodého pokusu astal jev A, astal-li takový výsledek ω, pro který platí ω A, tedy astal-li výsledek přízivý jevu A.
13 Prázdá možia se azývá emožý jev, možia všech výsledků Ω jistý jev. Sjedoceí jevů A,..., A je jev, který astae, jestliže astae alespoň jede z jevů A,..., A ; začíme A A ebo i= A i. Průik jevů A,..., A je jev, který astae, astaou-li všechy jevy A,..., A současě; začíme A A ebo i= A i. Rozdíl jevů A a B je jev, který astae, astae-li A a zároveň eastae B; začí se A \ B. Jev opačý (doplěk) k jevu A je jev A C = Ω \ A. Jevy A a B azveme eslučitelé (disjuktí), emohou-li astat současě, tedy A B =. Abychom mohli zavést a Ω fukci pravděpodobosti, je třeba uvažovat systém jevů obsahující Ω, který je uzavřeý a operaci rozdílu a spočetého sjedoceí jevů ám už zámou σ-algebru. Defiice.3. Nechť Ω je možia výsledků áhodého pokusu. Je-li Σ σ-algebra podmoži možiy Ω, azývá se jevové pole. Prvky A Σ se azývají áhodé jevy. Defiice.4. Nechť je dáa eprázdá možia Ω a a í defiovaá σ-algebra Σ. Pravděpodobostí (pravděpodobostí mírou) azveme každou reálou fukci P() defiovaou a Σ, která splňuje tyto podmíky: (i) P(A) 0, A Σ (ii) P(Ω) = (iii) Jestliže {A } = Σ a A i A j = pro i j, pak ( ) P A = 2 = P(A ) =
14 Defiice.5. Uspořádaou trojici (Ω, Σ, P) azýváme pravděpodobostí prostor. Pozámka.9. Pokud ebude řečeo jiak, budeme v dalším textu uvažovat pravděpodobostí prostor (Ω, Σ, P). Věta.5 (Vlastosti pravděpodobosti). Pro libovolé áhodé jevy A, B Σ, {A } = Σ platí: (V.) P( ) = 0 (V.2) P(A C ) = P(A) (V.3) P(A) (V.4) A B P(A) P(B) (V.5) P(B \ A) = P(B) P(A B), speciálě A B P(B \ A) = P(B) P(A) (V.6) P( = A ) = P(A ) D ů k a z: Viz [3, str. -4] Pozámka.0. Z defiičích vlastostí (i) a (iii) a z tvrzeí (V.) předchozí věty je patré, že pravděpodobost je speciálí případ míry. Rověž lze aopak tvrdit, že míra µ, která splňuje podmíku µ(x) =, je pravděpodobostí. Pozámka.. Podle předchozí pozámky tedy lze tvrzeí uvedeá v sekcích aplikovat i a pravděpodobostí prostor (Ω, Σ, P). Pro ěkteré pojmy teorie míry se však v teorii pravděpodobosti užívají speciálí ázvy. Pro ás budou v dalším důležité tyto: a) jestliže P(X má určitou vlastost) =, řekeme, že X má tuto vlastost skoro jistě (s. j.), b) pojmům kovergece skoro všude a kovergece podle míry odpovídají v teorii pravděpodobosti po řadě pojmy kovergece skoro jistě a kovergece podle pravděpodobosti. 3
15 Defiice.6. Náhodé jevy A, B se azývají ezávislé, jestliže platí P(A B) = P(A) P(B) Věta.6. Pro libovolý áhodý jev A platí, že Ω a A jsou ezávislé, a také a A jsou ezávislé. D ů k a z: [3, str. 27] Defiice.7. Náhodé jevy systému C = {A λ, λ Λ} se azývají ezávislé, jestliže pro každou koečou skupiu {λ,... λ k } Λ platí: ( k ) P A λi = i= k P(A λi ) i= Věta.7. Jestliže jsou áhodé jevy systému C = {A λ, λ Λ} azávislé, pak jsou ezávislé áhodé jevy libovolého podsystému C C. D ů k a z: Plye přímo z defiice ezávislých áhodých jevů Náhodá veličia, způsob zadáí, číselé charakteristiky Defiice.8. Reálou fukci X : Ω R azveme áhodou veličiou, jestliže je tato fukce Σ-měřitelá, to zameá, jestliže pro každé x R platí {ω Ω; X(ω) x} z. = (X x) Σ Pozámka.2. Obdobě zavedeme pro zjedodušeí zápisu toto začeí: {ω Ω; X(ω) B} z. = (X B) Defiice.9. Rozděleí pravděpodobostí áhodé veličiy X je možiová fukce P X (B): B R defiovaá vztahem: P X (B) = P(X B), B B Věta.8. Nechť X je áhodá veličia, P X její rozděleí pravděpodobostí. Pak (R, B, P X ) tvoří pravděpodobostí prostor. D ů k a z: Viz [3, str. 36] 4
16 Defiice.20. Nechť X je áhodá veličia. Fukce F X : R R defiovaá předpisem F X (x) = P(X < x), x R se azývá distribučí fukce áhodé veličiy X. Věta.9 (Vlastosti distribučí fukce).. F X je eklesající fukce 2. lim x F X (x) = lim x F X (x) = 0 3. F X je zleva spojitá v každém bodě x R D ů k a z: Viz [3, str ] 2 Defiice.2. Distribučí fukce F X se azývá a) diskrétí, existuje-li (koečá či ekoečá) prostá posloupost reálých čísel {x } a jí odpovídající posloupost kladých čísel {p }, p =, pro které platí F X (x) = : x <x p x R Fukci p(x ) = p azýváme pravděpodobostí fukcí áhodé veličiy X. b) absolutě spojitá, existuje-li ezáporá, borelovsky měřitelá fukce f X (x): R R, pro kterou platí vztah: F X (x) = x f X (t)dt x R Fukci f X azveme hustotou (rozděleí pravděpopodobostí) áhodé veličiy X. Jestliže má X diskrétí (absolutě spojitou) distribučí fukci, pak stejě azveme i tuto áhodou veličiu samotou a její rozděleí pravděpodobostí. 2 Teto důkaz je vede sice pro distribučí fukci defiovaou předpisem F X (x) = P(X x), x R, která je spojitá zprava, ovšem důkaz spojitosti zleva ámi defiovaé distribučí fukce by se s ezbytými úpravami vedl aalogicky. 5
17 Defiice.22. Nechť X je áhodá veličia. Její středí hodotou rozumíme číslo E(X) = X(ω) d P Ω Možiu všech áhodých veliči defiovaých a pravděpodobostím prostoru (Ω, Σ, P), které mají koečou středí hodotu, budeme začit symbolem L (Ω, Σ, P) ebo zkráceě L. Pozámka.3. Praktický výpočet středí hodoty se provádí pomocí těchto vzorců, odvozeých z předešlé defiice: E(X) = x p pro X diskrétí, E(X) = xf(x)dx R pro X absolutě spojitou. Věta.20 (Vlastosti středí hodoty áhodé veličiy). Nechť X, Y jsou áhodé veličiy z možiy L a a, b jsou libovolá reálá čísla. Pak platí:. E(aX) = a E(X) 2. E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) 3. P (X Y ) = E(X) E(Y ) 4. P(X = a) = E(X) = a D ů k a z: [3, str. 54] Defiice.23. Rozptylem (variací) áhodé veličiy X rozumíme číslo var(x) = σ 2 (X) = E(X E(X)) 2 Věta.2 (Vlastosti rozptylu). Nechť X má koečý rozptyl, a, b R. Platí:. var(x) 0 2. var(x) = 0 P(X = c) = 6
18 3. var (a + bx) = b 2 var (X) 4. var (X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 D ů k a z: [3, str. 58] Věta.22. Libovolou áhodou veličiu X lze trasformovat a tzv. ormovaou áhodou veličiu, tedy takovou áhodou veličiu Y, pro kterou platí E(Y ) = 0 a var(y ) =. D ů k a z: Uvažujme Y = X E(X) var(x) Platí: E(Y ) = E ( ) X E(X) = var(x) E(X E(X)) var(x) = E(X) E(X) var(x) = 0 var(y ) = var ( ) X E(X) = var(x) var(x E(X)) var(x) = var(x) var(x) = Defiice.24. Číslo x α R, (α (0, )), azveme α-kvatil áhodé veličiy X, jestliže platí: P(X < x α )) α P(X > x α ) α Pozámka.4. Kvatily ormovaého ormálího rozděleí obvykle začíme u α, α (0, ). Druhou erovost v předešlé defiici lze psát P(X x α ) α, dohromady pak P(X < x α )) α P(X x α ) a tedy x α je takové číslo, které splňuje F X (x α ) α F X (x α + 0). Jestliže je X absolutě spojitá áhodá veličia, platí α = F X (x α ). 7
19 .2.3. Náhodý vektor, ezávislé áhodé veličiy Defiice.25. Zobrazeí X: Ω R azveme (-rozměrý) áhodý vektor, jestliže je Σ-měřitelé. Pozámka.5. Pro zjedodušeí zápisu zavedeme ásledující ozačeí: X(ω) x X x,..., X x, kde x = (x,... x ) R Pozámka.6. Σ-měřitelost zobrazeí X zameá, že platí: {ω Ω; X(ω) x} Σ x R, ebo ekvivaletě {ω Ω; X(ω) B} Σ B B Věta.23. X = (X,..., X ): Ω R je áhodým vektorem právě tehdy, když X i je áhodá veličia pro všecha i =,...,. D ů k a z: [3, str. 80] Defiice.26. (Sdružeou) distribučí fukcí áhodého vektoru X rozumíme fukci F X : R R defiovaou vztahem: F X (x) = F X (x,..., x ) = P(X < x,..., X < x ) = P(X < x), x R Pozámka.7. Distribučí fukce F X (x,... x ) áhodého vektoru X se azývá diskrétí, existuje-li prostá posloupost {x m } R (koečá ebo ekoečá) a jí odpovídající posloupost kladých čísel {p m }, p m =, takové, že platí F X (x,..., x ) = F X (x) = p m, x R m: x m < x Řekeme pak, že áhodý vektor X je diskrétí. Distribučí fukce F X (x,... x ) áhodého vektoru X se azývá absolutě spojitá, existuje-li ezáporá borelovsky měřitelá fukce f(x) = f(x,... x ): R R taková, že: F X (x,..., x ) = F X (x) = x x 8 f(t,..., t ) dt... dt x R
20 Fukce f(x) se azývá hustota áhodého vektoru X a o vektoru X rověž říkáme, že je absolutě spojitý. Defiice.27. Náhodý vektor (X i,... X ik ), k =,..., ; i <... < i k, se azývá margiálí áhodý vektor příslušý k áhodému vektoru X a jeho distribučí fukce F Xi,...,X ik (x i,..., x ik ) margiálí distribučí fukce k fukci F X (x,..., x ). Věta.24. Nechť X = (X,..., X ) je áhodý vektor s distribučí fukcí F X (x,..., x ). Pro distribučí fukci áhodého vektoru (X i,..., X ik ), k =,..., ; i <... < i k D ů k a z: [3, str. 88] F Xi,...,X ik (x i,..., x ik ) = platí lim F X (x,..., x ) x j j i,...,i k Defiice.28. Nechť X = {X λ, λ Λ} je systém áhodých veliči. Řekeme, že áhodé veličiy tohoto systému jsou ezávislé, jestliže pro každou koečou podmožiu {λ,..., λ } Λ platí F Xλ,...,X λ (x,..., x ) = F Xλj (x j ) j= (x,..., x ) R Věta.25 (Nutá a postačující podmíka ezávislosti áhodých veliči). Nechť F X (x) = F X,...,X (x,..., x ) je sdružeá distribučí fukce áhodého vektoru X = X,..., X a F Xj (x), j =,...,, jsou margiálí distribučí fukce příslučé áhodé veličiy X j. Náhodé veličiy X,..., X jsou ezávislé právě tehdy, když platí F X (x) = D ů k a z: Viz [3, str. 95] F Xj (x j ) x = (x,..., x ) R j= Věta.26. Nechť X,..., X jsou ezávislé áhodé veličiy a echť φ j (x): R R, j =,...,, jsou borelovsky měřitelé fukce. Potom jsou áhodé veličiy Y j = φ j (X j ), j =,...,, rověž ezávislé. 9
21 D ů k a z: Viz [3, str. 97] Věta.27. Jsou-li X,..., X mezávislé áhodé veličiy s koečými druhými momety, potom platí: ( ) var X j = j= var(x j ) j= D ů k a z: Viz [3, str. 04].2.4. Některá rozděleí pravděpodobostí áhodých veliči Defiice.29. Řekeme, že diskrétí áhodá veličia X má biomické rozděleí pravděpodobostí s parametry a p, N, p (0, ), (začíme X Bi(, p)), jestliže abývá pouze hodot j = 0,...,, a to s pravděpodobostmi P(X = j) = ( ) p j ( p) j, j = 0,..., j Defiice.30. Řekeme, že diskrétí áhodá veličia X má Poissoovo rozděleí pravěpodobostí s parametrem λ, λ > 0, (začíme X P o(λ)), jestliže abývá pouze hodot j = 0,,... s pravděpodobostmi P(X = j) = λj j! e λ j = 0,,... Pozámka.8. Náhodá veličia X P o(λ) má tyto charakteristiky: E(X) = λ var(x) = λ Defiice.3. Řekeme, že absolutě spojitá áhodá veličia X má rovoměré rozděleí s parametry a a b, a, b R, jestliže má hustotu f X (x) = { b a x (a, b) 0 x / (a, b) 20
22 Pozámka.9. Náhodá veličia s rovoměrým rozděleím o parametrech (a, b) má tyto charakteristiky: E(X) = a + b 2 var(x) = (b a)2 2 Defiice.32. Řekeme, že absolutě spojitá áhodá veličia X má ormálí (Gaussovo) rozděleí s parametry µ a σ 2, µ R, σ 2 > 0, jestliže má hustotu f X (x) = σ 2π (x µ) 2 e 2σ 2 Pozámka.20. Náhodá veličia X, která má ormálí rozděleí N(µ, σ 2 ), má tyto charakteristiky: E(X) = µ var(x) = σ 2 Pozámka.2. Pro libovolou áhodou veličiu X N(µ, σ 2 ) platí: P(µ σ < X < µ + σ) 68, 3% P(µ 2σ < X < µ + 2σ) 95, 5% P(µ 3σ < X < µ + 3σ) 99, 7% Posledí výraz je zámý pod ázvem pravidlo tří sigma a v podstatě říká, že mimo uvedeý iterval se realizuje pouze velmi malý zlomek hodot áhodé veličiy X N(µ, σ 2 ). Defiice.33. Nechť X,..., X k jsou ezávislé áhodé veličiy s rozděleím N(0, ). Pak řekeme, že áhodá veličia Q = k= X 2 k má χ 2 -rozděleí s k stupi volosti. Začíme Q χ 2 k. 2
23 .2.5. Cetrálí limití věta Oblast cetrálích limitích vět přesahuje rámec ámi probíraé teorie, ale s jejich využitím budeme moci sáze ilustrovat Glivekovu větu zmiňovaou v úvodu (viz příklad 3.3). Proto alespoň okrajově zmííme jedu z těchto vět, a to Moivre-Laplaceovu, kterou později v uvedeém příkladu použijeme. Defiice.34. Nechť {X } = je posloupost áhodých veliči a echť X je áhodá veličia, každá z ich defiovaá a pravděpodobostím prostoru (Ω, Σ, P). Řekeme, že posloupost áhodých veliči {X } koverguje k X v distribuci (podle rozděleí), jestliže lim F X (x) = F X (x) v každém bodě spojitosti fukce F X. Začíme X D X Věta.28 (Moivreova-Laplaceova věta). Mějme posloupost {Y } = ezávislých áhodých veliči, Y Bi(, p). Potom Z = Y p p( p) D X N(0, ) Řekeme, že posloupost {Z } má asymptoticky rozděleí N(0, ) (začíme {Z } as N(0, ) ). D ů k a z: Viz [3, straa 28] Pozámka.22. Z tvrzeí předchozí věty a podle vět.20 a.2 je zřejmé, že Y as N(p, p( p)), Y ( as N p, ) p( p).3. Statistika V praktickém životě ezáme přesé teoretické rozděleí pravděpodobostí (či distribučí fukci) zkoumaé áhodé veličiy (statistického zaku) apř. pravděpodobosti výskytu vadého výrobku, počtu mikroorgaismů ve vzorku, chyby 22
24 měřeí. Ovšem provedeím ěkolika a sobě ezávislých pokusů lze získat představu o tom, jak teoretická distribučí fukce vypadá. Pomocí zákoů velkých čísel pak můžeme dokázat, že pokud provedeme dostatečě velké možství pokusů, můžeme se s libovolou přesostí blížit teoretickým výpočtům teorie pravděpodobosti. Defiice.35. Náhodý vektor X = (X (ω),..., X (ω)), jehož složky jsou ezávislé áhodé veličiy se stejým rozděleím pravděpodobostí Q, se azývá áhodý výběr o rozsahu z rozděleí Q. Defiice.36. Každou borelovsky měřitelou fukci φ(x (ω),..., X (ω)) áhodého výběru X = (X (ω),..., X (ω)) azýváme výběrovou fukcí ebo také statistikou áhodého výběru X. Pozámka.23. Jedou z ejzámějších a ejužívaějších statistik áhodého výběru je tzv. výběrový průměr X = i= X i. Věta.29. Nechť X = (X (ω),..., X (ω)) je áhodý výběr z rozděleí ( ) N(µ, σ 2 ). Pak výběrový průměr X má rozděleí N µ, σ2. Realizací áhodého výběru o rozsahu získáme -tici hodot (x,..., x ). Vytvoříme tzv. vektor variat získaé hodoty uspořádáme a opakující se hodoty zahreme pouze jedou. Vektor variat začíme (x [],..., x [r] ). Defiice.37. Počet všech výskytů variaty x [i] v této realizaci azveme absolutí četostí této variaty a začíme i. Číslo r i = i azveme relativí četostí variaty x [i]. Součet všech relativích četostí variat meších či rových x [i] azveme relativí kumulativí četost a začíme F i. 23
25 Defiice.38. Empirická distribučí fukce F je fukce defiovaá tímto předpisem: 0 x x [] F (x) = F i x [i] < x x [i+], i =,... r x > x [r] Pozámka.24. Empirická distribučí fukce je tedy schodovitá distribučí fukce, a ose x jsou vyesey aměřeé variaty x [i], a skoky v ich mají velikost i /, (tedy relativí četost daé variaty). 24
26 2. Zákoy velkých čísel 2.. Slabý záko velkých čísel Věta 2. (Čebyševova erovost). Nechť X je áhodá veličia se středí hodotou E(X) a rozptylem σ 2 (X). Pak ε > 0: P({ω; X(ω) E(X) ε}) ε 2 σ2 (X) D ů k a z: Ozačme A = {ω; X(ω) E(X) ε}, A C její doplěk, tedy A C = {ω; X(ω) E(X) < ε}. Můžeme psát: σ 2 (X) = (X E(X)) 2 d P = A (X E(X))2 d P + A C (X E(X)) 2 d P Odtud přímo plye tvrzeí věty. A (X E(X))2 d P ε 2 P(A) Věta 2.2 (Slabý záko velkých čísel). Nechť {X } = je posloupost ezávislých áhodých veliči, která splňuje ásledující podmíky: (i) E(X ) = X d P = 0 N (ii) σ 2 (X ) = X 2 d P < N (iii) lim 2 σ 2 (X i ) = 0 i= Pak posloupost aritmetických průměrů { } X i koverguje k 0 podle pravděpodobosti. i= D ů k a z: Uvažujme áhodou veličiu X = X i. i= Podívejme se a její středí hodotu a rozptyl: 25
27 ( E(X) = E σ 2 (X) = σ 2 ( ) X i = i= E(X i ) = 0 i= ) X i = σ 2 (X 2 i ) i= i= Použijeme Čebyševovu erovost: P(ω; X(ω) ε) ε 2 2 σ 2 (X i ) i= Tedy 0 lim P(ω; X(ω) ε) lim ε 2 2 σ 2 (X i ) = 0 i= přičemž prví erovost plye z defiičích vlastostí míry a posledí rovost zaručuje předpoklad (iii) tvrzeí věty. Odtud plye: lim P(ω; X(ω) ε) = 0 což zameá, že X koverguje k 0 podle pravděpodobosti, a to je ovšem požadovaý výsledek. Pozámka 2.. Prví předpoklad tvrzeí 2.2 lze zobecit: stačí předpokládat, že všechy uvažovaé áhodé veličiy mají koečou středí hodotu, tedy E(X ) <, N. Pak za platosti ostatích předpokladů věty platí: (X i E(X i )) P 0 i= Tedy i= X i P lim E(X i ). i= D ů k a z: Budeme uvažovat áhodou veličiu Y = i= (X i E(X i )). Dále využijeme stejý postup jako v předešlém důkaze: ( ) E(Y ) = E (X i E(X i )) = (E(X i ) E(X i )) = 0 i= i= 26
28 σ 2 (Y ) = σ 2 ( ) (X i E(X i )) = 2 σ2 (X i ) i= Z Čebyševovy erovosti tedy: 0 lim P(ω; Y (ω) ε) lim ε 2 2 σ 2 (X i ) = 0 Odtud plye, že Y = i= (X i E(X i )) koverguje k ule podle pravděpodobosti. Defiice 2.. Nechť {X i } je posloupost áhodých veliči, pro které platí i= i N: σ 2 (X i ) b, 0 b < Pak řekeme, že áhodé veličiy X i mají stejoměrě omezeé rozptyly. Věta 2.3 (o aritmetickém průměru). Nechť {X } je posloupost po dvou ezávislých áhodých veliči, které mají stejoměrě omezeé rozptyly, a platí pro ě E(X ) = a R, N. Pak lim i= X i P a D ů k a z: Předpoklad (ii) tvrzeí věty 2.2 je zřejmě splě. Rověž platí: lim 2 A podle pozámky 2. platí: i= σ 2 b (X i a) lim = 0 i= X i P lim i= a a = lim = a Věta 2.2 vyjadřuje pouze postačující podmíky k tomu, aby posloupost áhodých veliči splňovala slabý záko velkých čísel. V ásledující větě uvidíme, že áhodé veličiy X i emusí za určitých podmíek být ai ezávislé. 27
29 Věta 2.4 (Markovova). Nechť pro posloupost áhodých veliči {X } = platí: [ ( )] lim var X 2 j = 0 Pak posloupost { } (X j E(X j )) koverguje k 0 podle pravědpodobosti. D ů k a z: j= j= { } Použijme a posloupost j= (X j E(X j )) Čebyševovu erovost: ( ) ( 0 P j= (X j E(X j )) ε = P j= X ) j j= E(X j) ε = ( ( = P j= X ) ) j E j= X j ε var( P [ ( j= X j) )] = var ε 2 ε 2 2 j= X j Posledí čle koverguje k 0 podle předpokladu, čímž je dokázáo tvrzeí věty. Pro úplost uveďme ještě větu, která eklade žádá omezeí a rozptyl uvažovaých áhodých veliči: Věta 2.5 (Chičiova). Nechť {X j } je posloupost ezávislých stejě rozděleých áhodých veliči, které mají koečou středí hodotu E(X j ) = a, j N. Pak j= X j P a D ů k a z: Viz [3, str. 8-20] 2.2. Silý záko velkých čísel Věta 2.6 (Kolmogorovova erovost). Nechť {X i } i= je posloupost ezávislých áhodých veliči s ulovou středí hodotou a koečými rozptyly a echť X(ω) = max k { k i= X i(ω) } (tedy X(ω) je maximum absolutích hodot částečých součtů). Pak ε > 0: P({ω; X(ω) ε}) ε 2 σ 2 (X k ) k= 28
30 D ů k a z: Ozačme: E = {ω; X(ω) ε} (hledaý jev) s k = k i= X i (k-tý částečý součet) E k = {ω; s k (ω) ε} i<k {ω; s i(ω) < ε} (k-tý částečý součet je prví, který vyskočí z epsiloového okolí uly, tedy E k, k =, 2,... jsou eslučitelé jevy) Platí: = E k ( s 2 d P = E k s 2 k + 2s k i=k+ E k X i + ( s k + i=k+ Rozeberme podroběji jedotlivé sčítace: i=k+ X i X i ) 2 d P = i=k+ j=i+ X i X j ) d P 2s k E k X i d P = i=k+ χ Ek 2s k i=k+ X i d P = 2 χ Ek s k d P i=k+ X i d P = 0 (veličiy χ Ek s k a X i, i k+, jsou ezávislé, tedy itegrál lze rozdělit a souči; druhý itegrál je ulový podle předpokladu a z aditivity itegrálu) X 2 i d P = E k i=k+ i=k+ χ Ek Xi 2 d P = P(E k ) i=k+ X 2 i d P (opět χ Ek a X i, i k + jsou ezávislé) 2 E k i=k+ j=i+ j=i+ X i X j d P = 2 ( ) X j d P = 2 E k = 2 i=k+ ( P(E k ) i=k+ j=i+ i=k+ ( E k X i X j d P = 2 ) χ Ek X i d P ) X i d P j=i+ j=i+ ( P(E k ) ( i=k+ ( ) X i d P E k ) χ Ek X j d P = ) X j d P = 0 29
31 (podle předpokladů jsou áhodé veličiy X i a X j, i j ezávislé, rověž jsou pro i k + všechy ezávislé s fukcí χ Ek, středí hodota X d P = 0,, takže výsledek je ulový) Tedy souhrem: s 2 d P = s 2 k d P + P(E k ) Xi 2 d P s 2 k d P P(E k )ε 2 E k E k E k Pak lze psát: i=k+ ( ) ( ) 2 σ 2 (X k ) = σ 2 X k = X k d P = k= k= k= P(E k )ε 2 = P(E)ε 2 Odtud už přímo plye tvrzeí. k= s 2 d P k= E k s 2 d P Věta 2.7. Nechť {y } je posloupost reálých čísel, pro kterou je lim y koečá. Pak také lim y i = y i= = y D ů k a z: Z předpokladů plye, že ε > 0 0 N 0 : y y < ε 2 Nechť je přirozeé číslo větší ež 0 takové, pro které platí: 0 i= y i y < ε 2 Pro > platí: y i y = i= y i y 0 (y i y) + i= < 0 i= i= (y i y) + 0 ε 2 < ε i= 0 + (y i y) < 30
32 Věta 2.8. Nechť {y } je posloupost reálých čísel taková, že y = = s <. Pak lim y i = 0 i= D ů k a z: Ozačme: Odtud: s 0 = 0 s = y i i= i t = i= y i pro N y i = (s i s i )i t + = y i = is i is i = is i (i + )s i = i= i= i= i= i=0 = s 0 + (is i (i + )s i ) + ( + )s + = s i + ( + )s + Rovost vydělíme výrazem (+): i= i=0 t + + = + s i + s + i=0 Tedy: lim t + + = s + s = 0 (z předchozí věty) Věta 2.9. Nechť {X } je posloupost ezávislých áhodých veliči, pro kterou platí: (i) X d P = 0 N (ii) = σ2 (X ) < Pak X koverguje skoro jistě. = 3
33 D ů k a z: Ozačme: s (ω) = X i (ω) i= a m (ω) = sup{ s m+k (ω) s m (ω) ; k N} a(ω) = if{a m (ω); m N} Dokažme ejprve, že X (ω) koverguje a(ω) = 0 = Podle Cauchy Bolzaova kritéria kovergece řad: X koverguje ε > 0 0 N m 0 k N: s m+k (ω) s m (ω) < ε = Tato erovost platí pro všecha k, tedy rověž a m (ω) = sup{ s m+k (ω) s m (ω) ; k N} < ε Tvrzeí pak plye z libovolosti ε: if{ε, ε > 0} = 0 a(ω) = if{a m (ω), m N} = 0 Předpokládejme, že a(ω) = if{a m (ω), m N} = 0. Odtud vyplývá, že: ε > 0 m 0 N: a m0 (ω) < ε tj. tj. ε > 0 m 0 N: sup{ s m0 +k(ω) s m0 (ω) ; k N} < ε ε > 0 m 0 N k N: s m0 +k(ω) s m0 (ω) < ε 32
34 Pro libovolá přirozeá čísla, p > m 0 pak platí: s (ω) s p (ω) s (ω) s m0 (ω) + s p (ω) s m0 (ω) < 2ε Čímž jsme dokázali cauchyovskost (a tedy kovergeci): ε > 0 m 0 N, p > m 0 : s (ω) s p (ω) < 2ε Tímto je ekvivalece dokázáa. Z Kolmogorovovy erovosti ε > 0, m, N: P ({ω; sup{ s m+k (ω) s m (ω) ; k =, 2,... } ε}) ε 2 Při limitím přechodu se erovost ezměí: P({ω; a m (ω) ε}) ε 2 k=m+ Protože a(ω) = if{a m (ω)}, zřejmě platí i erovost: 0 P({ω; a(ω) ε}) ε 2 k=m+ σ 2 (X k ) σ 2 (X k ) < m+ k=m+ σ 2 (X k ) Protože řada = σ2 (X ) koverguje (a tedy posloupost zbytků této řady koverguje k 0: lim m =m+ σ2 (X ) = 0), platí: 0 P({ω; a(ω) ε}) 0 Z libovolosti ε pak plye a(ω) = 0 s. v., a tvrzeí je tímto dokázáo. Věta 2.0 (Silý záko velkých čísel). Nechť {X } = je posloupost ezávislých áhodých veliči, která splňuje ásledující podmíky: (i) E(X ) = X d P = 0 N (ii) σ 2 (X ) = X 2 d P < N 33
35 (iii) σ 2 (X ) = 2 < Pak posloupost aritmetických průměrů { } X i i= koverguje k 0 skoro jistě. D ů k a z: Ozačme Y (x) = X(x). Podívejme se, zda posloupost {Y } splňuje předpoklady předchozí věty: σ 2 (Y ) = = = E(Y ) = E ( ) σ 2 X = ( X = ) = E(X ) = 0 σ 2 (X ) 2 < podle předpokladu (iii) Předpoklady věty 2.9 jsou splěy, tedy platí: Y = = = X Pak z věty 2.8 o posloupostech plye, že lim a tedy tvrzeí věty je dokázáo. koverguje skoro jistě. X i = 0 skoro jistě i= Pozámka 2.2. Předpoklad (i) předešlé věty lze rověž zobecit stačí uvažovat E(X ) <, N. Pak X i i= E(X i ) 0 skoro jistě i= Tedy lim i= X i = lim i= E(X i) s. j. D ů k a z: Za {Y } yí vezmeme Y = X E(X) jako v předchozí větě. a důkaz vedeme aalogicky 34
36 Pozámka 2.3. Předpoklady silého ZVČ jsou zřejmě silější ež předpoklady slabého ZVČ. D ů k a z: Dokažme ejprve, že = σ 2 (X ) 2 < lim 2 σ 2 (X i ) = 0 i= Protože rozptyl σ 2 (X) je ezáporý, zřejmě platí:, p N: p i= σ 2 (X +i ) ( + p) 2 p i= σ 2 (X +i ) ( + i) 2 Nekoečá číselá řada X + X koverguje právě tehdy, když posloupost jejích částečých součtů je cauchyovská, tedy: ε > 0 0 N p N: Z předchozích dvou erovostí plye: ε > 0 0 N p N: 0 +p i= p i= 0 + σ 2 (X i ) i 2 σ 2 (X i ) ( 0 + p) 2 < < ε 0 +p i= 0 + σ 2 (X i ) i 2 < ε Odtud tedy: lim 2 σ 2 (X i ) = 0 i= Příklad takové poslouposti, která splňuje podmíky slabého ZVČ a esplňuje podmíky silého ZVČ, ajdeme v příkladu 3. v další kapitole. Tím bude tvrzeí pozámky dokázáo. Pozámka 2.4. Rověž předpoklady věty 2.0 jsou pouze postačujícími podmíkami, ikoli utými. Lze tedy apříklad ajít takovou posloupost {Y }, která koverguje k 0 skoro jistě, přičemž σ 2 (Y ) = 2 35 diverguje.
37 Klíčem k sestrojeí takové poslouposti bude ásledující defiice. V příkladu 3.2 pak jedu takovou posloupost zkostruujeme. Defiice 2.2. Řekeme, že dvě poslouposti fukcí {X } a {g } jsou ekvivaletí v Chičiově smyslu, jestliže P({ω; X (ω) Y (ω)}) < = 2.3. Empirická distribučí fukce, Glivekova věta Pomocí silého zákoa velkých čísel si yí dokážeme tzv. Glivekovu větu. Ta říká, že empirická fukce F (x) áhodého výběru z rozděleí Q koverguje skoro jistě k teoretické distribučí fukci F (x) tohoto rozděleí. 0 x x [] Připomeňme, že F (x) = F i = x [i] < x x [i+], i =,... r x > x [r] Lze tedy říct, že F (x) = k, kde k je počet realizovaých hodot meších ež x. Mějme áhodý výběr o rozsahu z rozděleí s distribučí fukcí F (x). Pravděpodobostí fukce áhodé veličiy Y (x): R {0,,..., } vyjadřující, kolik hodot bude při libovolé realizaci tohoto áhodého výběru alevo od bodu x, má zřejmě biomické rozděleí Bi(, F (x)): P (Y = k) = ( ) (F (x)) k ( F (x)) ( k) k = 0,,... k Vypočítejme středí hodotu a rozptyl této áhodé veličiy: = E(Y ) = k= ( ) k (F (x)) k ( F (x)) k = k k=0 k=0 ( )! (k )!( k)! (F (x))k ( F (x)) k = k! k!( k)! (F (x))k ( F (x)) k = k= ( ) (F (x)) k ( F (x)) k = k ( ) = F (x) (F (x)) k ( F (x)) k = F (x)(f (x) + ( F (x))) = F (x) k k=0 36
38 K určeí rozptylu využijeme ásledujícího výpočtu: E(Y (Y )) = =! k(k ) k!( k)! (F (x))k ( F (x)) k = k=0 k=2 = ( )! (k 2)!( k)! (F (x))k ( F (x)) k = k=2 ( 2)! (k 2)!( k)! (F (x))k ( F (x)) k = 2 ( ) 2 = ( ) (F (x)) k ( F (x)) 2 k = ( )F 2 (x) k k=0 Tedy: E(Y 2 ) E(Y ) = ( )F 2 (x) E(Y 2 ) = ( )F 2 (x) + F (x) σ 2 (Y ) = E(Y 2 ) E 2 (Y ) = ( )F 2 (x) + F (x) 2 F 2 (x) = = F (x)( F (x)) Nyí uvažujme posloupost {F (x)}, tedy posloupost empirických distribučích fukcí realizací áhodého výběru o rostoucím rozsahu a ověřme, zda splňuje předpoklady věty 2.0 ve zěí pozámky 2.2: ( ) Y E(F (x)) = E ) σ 2 (F (x)) = σ 2 ( Y = E(Y ) = σ2 (Y ) 2 F (x) = = = F (x) F (x)( F (x)) Uvažujme posloupost {F (x)} tedy posloupost empirických distribučích fukcí realizací áhodého výběru o rostoucím rozsahu a ověřme, zda splňuje předpoklad (iii) věty 2.0 : = σ 2 (f ) 2 = = 37 F (x)( F (x)) 2
39 K důkazu kovergece této řady využijeme itegrálí kriterium. Budeme uvažovat fukci f(x) = x 3, která je zřejmě a (, ) defiovaá, ezáporá a erostoucí, tedy splňuje předpoklady pro toto kriterium. Vypočítejme yí itegrál [ x dx = ] = x 2 2 = 2 < Protože teto itegrál koverguje, koverguje i uvažovaá řada, a tedy posloupost empirických distribučích fukcí {F (x)} splňuje předpoklady silého zákoa velkých čísel a koverguje skoro všude k F (x). Nyí si tedy odvodíme jedu z podstatých vět matematické statistiky Glivekovu( Catelliho) větu. Ta ám dává podklad k tvrzeí, že při dostatečém možství pozorováí lze s libovolou přesostí aproximovat skutečé zastoupeí pozorovaého jevu v celku. Věta 2. (Glivekova). Nechť áhodé veličiy X,... X jsou prvky áhodého výběru z rozděleí s distribučí fukcí F (x). Dále echť F (x) začí empirickou distribučí fukci a koečě ozačme Potom platí = sup F (x) F (x) <x< P( lim = 0) = D ů k a z: Pro každé M N a k =, 2,... M ozačme x M,k ejmeší takové číslo, pro které platí F (x) k M F (x + 0) (kde F (x + 0) = lim y x+ F (y)). Tyto body se acházejí tam, kde F (x) = k, ebo v bodech espojitosti teoretické M distribučí fukce. Ozačme: () = max F (x M,k ) F (x M,k ), (2) = max F (x M,k + 0) F (x M,k + 0) k M k M Dokažme, že pak platí: max( (), (2) ) + M 38
40 Uvažujme ejprve, že maximum v předchozí erovosti bude () a předpokládejme, že je této hodoty dosažeo v bodě x M,k. Když půjdeme od tohoto bodu doleva, rozdíl mezi empirickou a teoretickou distribučí fukcí se může zvětšovat. Ovšem maximálě do bodu, kdy se teoretická distribučí fukce síží a (resp. pod) hodotu k M, tedy do bodu x M,k. Ovšem v tom případě by uvažovaé maximum muselo být právě v bodě x M,k, což je spor s předpokladem. Hodota teoretické distribučí fukce tedy může klesout maximálě o M, přičemž F (x) emůže směrem doleva stoupat - a tedy celkově se rozdíl mezi imi zvýší o maximálě M (a tohoto maxima elze dosáhout). Pokud bychom se pohybovali od bodu x M,k apravo, okamžitě arazíme a limitu F (x M,k +0) F (x M,k +0), která je podle předpokladů meší ež aše maximum (a platí pro i aalogické tvrzeí, že při pohybu apravo od í emůžeme její hodotu přesáhout o více ež M ). Aalogické úvahy je možo provést i v případě, že maximum v předchozí erovosti je (2). Následující dva obrázky ilustrují popsaou situaci pro výběr z ormovaého ormálího rozděleí o rozsahu 7 pro M = 5. Zeleou barvou jsou vykresley rozdíly fukčích hodot v bodech x M,k, resp. x M,k +0, červeou je pak maximum rozdílu teoretické a empirické distribučí fukce a celé reálé ose. Podle silého ZVČ (viz také předchozí příklady) platí: x R: P( lim F (x) = F (x)) = P( lim F (x + 0) = F (x + 0)) = 39
41 Odtud tedy: x R: P( lim F (x) F (x) = 0) = P( lim F (x+0) F (x+0) ) = Z čehož vyplývá max( (), (2) ) 0 s. v. lim sup M s. v. Což se dá přepsat pomocí pravděpodobosti: ( P lim sup ) M ( = P Odtud limitím přechodem pro M P(lim sup > 0) = 0 Odtud už přímo plye dokazovaé tvrzeí. lim sup > M ) = 0 40
42 3. Příklady Příklad 3.. Najděme příklad poslouposti, která splňuje předpoklady slabého ZVČ a esplňuje silý ZVČ. Zkostruujme posloupost {f } ezávislých áhodých veliči, pro které σ 2 (f ) = + +. Posloupost { } je pro > rostoucí, tedy lze psát: l(+) l(+) lim 2 i= σ 2 (f i ) lim ( + ) 2 l( + ) = 0 Nyí dokažme, že řada = + 2 l(+) majoratí kriterium a itegrálí kriterium. = + 2 l( + ) = = ( diverguje. Využijeme k tomu obměěé ) 2 l( + ) + 2 l( + ) Na tuto řadu aplikujeme itegrálí kriterium: = l( + ) Mějme fukci f(x) =. Ta je zřejmě pro x (, ) defiovaá, ezáporá x l(x) a erostoucí, a tedy splňuje předpoklady itegrálího kriteria. Uvažujme yí fukci F (x) = l(l(x)). Její derivace podle x má tvar: df (x) dx = x l(x) dx = l(l(x)) = F (x) x l(x) Protože ovšem F ( ) = a F () =, itegrál proto divergují i obě řady: dx zřejmě diverguje, x l(x) = l( + ) a = + 2 l( + ) 4
43 Příklad 3.2. Najděme příklad takové poslouposti, která koverguje skoro všude k 0, a přitom esplňuje předpoklady silého ZVČ. Jak už bylo řečeo, k sestrojeí této poslouposti využijeme defiici 2.2. Nejprve defiujme posloupost {f (x)} a itervalu 0, : pro x 0, = A 2 f (x) = pro x, = A jide... ozačme A c Toto je posloupost áhodých veliči defiovaých a pravděpodobostím prostoru (J, B J, P), kde J = 0,, B J je systém průiků borelovských moži B s J a P je Lebesgueova míra (viz pozámka.3) a R (P(J) =, tedy P je pravděpodobostí míra). Obrázek : Grafy prvích čtyř čleů poslouposti {f (x)} 42
44 Ukažme, že tato posloupost splňuje podmíky věty 2.0, a tedy koverguje skoro všude k 0: E(f ) = f d P = 0 f d P = P(A ) + P(A 2 ) ( ) + P(A c ) 0 = σ 2 (f ) = f 2 d P = = 0 = = 0 f 2 d P = P(A ) 2 + P(A 2 ) ( ) 2 + P(A c ) 0 2 = σ 2 (f ) 2 = = 2 = 2 < 2 2 < 2 2 < 2 = Nyí sestrojme posloupost {g }, která je k {f } ekvivaletí v Chičiově smyslu: e pro x A g (x) = e pro x A 2 0 pro x A c Dokažme, že je tato posloupost je opravdu ekvivaletí s {f }: Platí: P({x; f (x) g (x)}) = = P(A A 2 ) = = = 2 2 = 2 = 2 < ε > 0 x (0, ) 0 N N : 0 g (x) = 0 g (x) 0 = 0 < ε Odtud plye, že posloupost {g } ekoverguje pouze v bodech 0 a, přičemž P({0, }) = 0, a tedy {g } 0 s. v. Nyí dokažme, že posloupost {g } esplňuje podmíku (iii) silého ZVČ. σ 2 (g 2 ) = 0 g 2 d P = 2 P(A ) e 2 = 2e2 2 43
45 Obrázek 2: Grafy prvích čtyř čleů poslouposti {g (x)} = σ 2 (g ) 2 = = 2e 2 2 > e Tato řada diverguje podle limitího Cauchyova odmociového kritéria: = lim e 2 2 = lim e = e2 2 2 lim 2 = e2 2 > 44
46 Příklad 3.3. Graficky ukažme, že empirická distribučí fukce áhodého výběru z rozděleí a) chí-kvadrát, b) Poissoova, skutečě koverguje k teoretické distribučí fukci toho rozděleí. Z výpočtů v sekci 2.3. víme, že áhodá veličia Y vyjadřující počet aměřeých hodot vyskytujících se při realizaci áhodého výběru rozsahu alevo od bodu x má biomické rozděleí Bi(, F (x)). Dále víme, že ( ) Y E(F (x)) = E (x) = F (x), var(f (x)) = p( p) Rověž z pozámky za větou.28 víme, že áhodá veličia Y ( ) rozděleí N F (x),, tedy F (x)( F (x)) má asymptoticky F (x) F (x) F (x)( F (x)) N(0, ) Pro každé x R můžeme sestrojit iterval, v ěmž se bude hodota F (x) pohybovat s pravděpodobostí 95% (95% iterval spolehlivosti): P ( u 0,025 F (x) F (x) F (x)( F (x)) u0,975 ) = = P ( F (x) u 0,975 F (x)( F (x)) ) F (x)( F (x)) F (x) F (x) + u 0,975 Grafy pro Poissoovo a χ 2 rozděleí vytvoříme v programu Matlab (použitý zdrojový kód viz příloha). Červeou barvou je vyzačea teoretická distribučí fukce daého rozděleí, zeleou hraice výše uvedeého itervalu a modrou empirická distribučí fukce pro jedu vygeerovaou realizaci áhodého výběru z tohoto rozděleí. 45
47 Obrázek 3: Kovergece empirické distribučí fukce χ 2 7 Obrázek 4: Kovergece empirické distribučí fukce P o(5) Z obrázků je jasě patré, že iterval spolehlivosti se pro rostoucí zužuje, což lze ostatě jedoduše dokázat výpočtem: l(x) = F (x) + u 0,975 F (x)( F (x)) ( F (x) u 0,975 F (x)( F (x)) ) = 2 u 0,975 F (x)( F (x)) což pro rostoucí klesá Rověž je zřejmé, že limitu horí i dolí hraice itervalu tvoří teoretická distribučí fukce F (x): lim ( ) F (x)( F (x)) F (x) u 0,975 = F (x) u 0,975 F (x)( F (x)) lim = F (x) 46
48 Příklad 3.4. Pro Poissoovo, rovoměré a ormálí rozděleí, pro které platí a) E =, var. =, b) E = 6, var. = 6, graficky zázorěte kovergeci aritmetických průměrů áhodých výběrů o rostoucím rozsahu k teoretické středí hodotě E daého rozděleí. V programu Matlab asimulujeme prováděí áhodého pokusu z daého rozděleí, tím ám vzike posloupost čísel, kterou ozačíme {x j }. Hodotu arimetického průměru aměřeých hodot budeme vyšetřovat vždy po k (ve zdrojovém kódu uvedeém v přílohách se tato proměá azývá krok) měřeích a tyto průměry vyeseme do grafu s vyzačeou teoretickou středí hodotou daého rozděleí. Teto výpočet provedeme celkem -krát (v Matlabu azýváme pocet). Maximálí rozsah souboru tedy bude rove k. Jak je vidět z íže vyobrazeých grafů, pro rozděleí s rozptylem bylo obecě třeba mohem meší rozsah áhodého výběru, aby se jeho průměr ustálil v itervalu E 0, ; E +0,. Porováí všech tří zadaých typů rozděleí přiáší poměrě zajímavé zjištěí totiž že ejméě korektí vlastosti vykazuje ormálí rozděleí: aritmetický průměr se k teoretické středí hodotě blíží relativě ejpomaleji a má ejvětší výkyvy. Ovšem podle věty.29 platí X N(µ, σ2 ). Výběrový průměr má tedy ormálí rozděleí a lze použít pravidlo tří sigma (pozámka.2): hodoty áhodé veličiy X se budou s pravděpodobostí zhruba pohybovat v itervalu I = E(X ) 3 var(x ), E(X ) + 3 var(x ) Teto iterval se pro zužuje až k jediému bodu E(X ) = µ. Když hraice tohoto itervalu vykreslíme do grafu (zeleou barvou), vidíme, že hodoty aritmetického průměru se v tomto itervalu vesměs pohybují. Pozámka 3.. Pravidlo tří sigma ám v tomto případě zaručuje, že pro každý rozsah k i, i =,.. je pravděpodobost, že křížek ozačující aritmetický průměr realizace áhodého výběru x k i bude uvitř itervalu I k i, rova 0.997, ikoli, 47
49 Obrázek 5: Kovergece aritmetických průměrů Poissoovo rozděleí Obrázek 6: Kovergece aritmetických průměrů rovoměré rozděleí Obrázek 7: Kovergece aritmetických průměrů ormálí rozděleí 48
50 že je to pravděpodobost počtu křížků vyskytujících se uvitř oblasti vyzačeé hraicemi I v rámci jedoho pozorováí (simulace). Pozámka 3.2. Obdobé itervaly I by se daly vykreslit i pro ostatí rozděleí, ovšem k jejich sestrojeí je třeba další teorie, která eí předmětem této práce. 49
51 Závěr V rámci této bakalářské práce jsem se zabývala zákoy velkých čísel. Na základě literatury jsem dokázala základí zěí slabého a silého zákoa velkých čísel, i ěkteré jejich obecější variaty, a a příkladě ukázala jejich rozdílost. Práce rověž obsahuje důkaz Glivekovy věty o stejoměré kovergeci empirické distribučí fukce k teoretické, jejíž platost je pak také demostrováa a příkladu. Dále jsem se zabývala vyšetřováím kovergece aritmetických průměrů áhodého výběru z určitého rozděleí ke středí hodotě tohoto rozděleí v závislosti a jeho typu - kokrétě jsem zkoumala ormálí, Poissoovo a rovoměré rozděleí. Z příkladu je patré, že ejpomalejší kovergeci v tomto smyslu jeví ormálí rozděleí, ale i u ěj se s rostoucím rozsahem áhodého výběru tato kovergece projevuje. 50
52 Referece [] Halmos, Paul R. Measure Theory. Spriger Verlag, New York Ic., 974 [2] Jarík, Vojtěch. Itegrálí počet II. Academia. Praha. 984 [3] Kuderová, Pavla. Úvod do teorie pravděpodobosti a matematické statistiky. 2. vydáí. Olomouc: VUP [4] Réyi, Alfred. Teorie pravděpodobosti. Praha: Academia. 972 Sezam příloh Příloha A. Zdrojový kód k příkladu Příloha B. Příklad zdrojového kódu k příkladu
53 Přílohy Příloha A. Zdrojové kódy pro tvorbu grafů ilustrujících kovergeci empirické distribučí fukce k teoretické (příklad 3.3) v programu Matlab : fuctio poissemp(, lambda) R = poissrd(lambda,[ ]); [f,rf]=ecdf(r); stairs(rf,f); x = 0:0.2:5; F = poisscdf(x,lambda); hold o; stairs(x,f, r ) if=f-.96*sqrt(f.*(-f)/); sup=f+.96*sqrt(f.*(-f)/); stairs(x,if, g-. ) stairs(x,sup, g-. ) hold off; fuctio chi2emp(, st) R = chi2rd(st,[ ]); [f,rf]=ecdf(r); stairs(rf,f); x = 0:0.2:5; F = chi2cdf(x,st); hold o; plot(x,f, r ) if=f-.96*sqrt(f.*(-f)/); sup=f+.96*sqrt(f.*(-f)/); plot(x,if, g-. ) plot(x,sup, g-. ) 52
54 hold off; Příklad voláí: poissemp(0, 5) title( Po(5), = 0, fotsize, 4) 53
55 Příloha B. Příklad zdrojového kódu fukcí pro tvorbu grafů kovergece aritmetických průměrů áhodého výběru k teoretické středí hodotě (příklad 3.4). Normálí rozděleí (ostatí obdobě): fuctio ormali(e, var, pocet, krok) max=pocet*krok; x=0:0.:max; plot(x,e, Color, Red ); axis([0,max+,e-.3,e+.3]) set(gca, YTick, [E-:0.5:E+]) set(gca, YTickLabel, [E-:0.5:E+], fotsize, 4) hold o plot(x, E-0., Color, Yellow ); plot(x, E+0., Color, Yellow ); prumer=zeros(,pocet); vyber=ormrd(e,var,[pocet krok]); for i=:pocet suma(i)=sum([vyber(i,:)]); prumer(i)=sum(suma)/(i*krok); xove(i)=i*krok; yove(i)=3*sqrt(var/(i*krok)); ed plot(xove,prumer, b+ ); plot(xove,e+yove, Color, gree ); plot(xove,e-yove, Color, gree ); 54
jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých
9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
Více6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.
6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola
VíceNáhodný výběr 1. Náhodný výběr
Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti
Více5. Posloupnosti a řady
Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru
Víceodhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.
10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé
Vícen=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0
Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada
Více6. Posloupnosti a jejich limity, řady
Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme
Víceprocesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze
limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí
Víceje číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost
Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet
Vícen=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1
[M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti
VícePosloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b
Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a
Více14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
VíceMatematická analýza I
1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí
VíceOdhady parametrů 1. Odhady parametrů
Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:
VíceMocninné řady - sbírka příkladů
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.
Více2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;
. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité
Vícez možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet
6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p
VíceNáhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.
Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího
Vícea logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.
Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o
VíceMasarykova univerzita Přírodovědecká fakulta
Masarykova uiverzita Přírodovědecká fakulta Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák NEKONEČNÉ ŘADY Bro 00 c Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 00 ISBN 80-0-949- 3 Kapitola 3 Řady absolutě
VícePřednáška 7, 14. listopadu 2014
Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.
Více4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
VíceŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil
ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická
VícePři sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací
3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací
Více3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie
3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí
Více3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin
3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo
VíceSpojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné
Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že
VíceDeskriptivní statistika 1
Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky
VícePetr Šedivý Šedivá matematika
LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími
VíceMATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce
MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která
VíceNMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) =
NAF61, ZS 17 18 Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo a příjmeí:
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,
VíceOdhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:
Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy
VíceMatematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
Více1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie
1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho
VíceIntervalové odhady parametrů některých rozdělení.
4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:
VíceObsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...
Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1
VíceMatematika I, část II
1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího
VíceMezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.
ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém
Více1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A );
1 PSE 1 Náhodý pokus, áhodý jev. Operace s jevy. Defiice pravděpodobosti jevu, vlastosti ppsti. Klasická defiice pravděpodobosti a její použití, základí kombiatorické vzorce. 1.1 Teoretická část 1.1.1
VícePřednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti
Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou
Více1 Nekonečné řady s nezápornými členy
Nekoečé řady s ezáporými čley Příklad.. Rozhoděte o kovergeci ásledující řady Řešeí. Pro každé N platí Řada tg. tg. diverguje, a proto podle srovávacího kritéria diverguje také řada tg. Příklad.. Určete
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr
Více8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti
Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z
VíceZnegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:
. cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.
VíceNMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx
NMAF06, ZS 07 08 Zápočtová písemá práce skupia A 6. listopad 07 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo
VíceDERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře
Více11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel
KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:
VíceSTEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.
VíceKapitola 4 Euklidovské prostory
Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru 4.1.1. DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro
VíceCvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?
1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí
VíceMatematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
VíceStatistika pro metrologii
Statistika pro metrologii T. Rössler Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a státím rozpočtem České republiky v rámci projektu Vzděláváí výzkumých pracovíků v Regioálím cetru pokročilých
Více1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE
1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;
VíceBudeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)
Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a
Více1 Základní pojmy a vlastnosti
Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).
Více6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:
6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece
VíceKomplexní čísla. Definice komplexních čísel
Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují
Více(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci
... 4. 5. 6. 0 0 0 a q koverguje pro q < geometrická řada diverguje harmoická řada koverguje srovejte s teleskopickou řadou + + utá podmíka kovergece + 4 + + 7 ití srovávací kritérium, srováí s ití podílové
Více8. Zákony velkých čísel
8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy
VíceZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)
ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti
VíceP2: Statistické zpracování dat
P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu
Více8. Analýza rozptylu.
8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,
Více1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V
Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být
VíceZS 2018/19 Po 10:40 T5
Cvičeí - Matematická aalýza ZS 08/9 Po 0:40 T5 Cvičeí 008 Řešte erovice v R: 8, log 3 ( 3+3 0 Částečý součet geometrické řady: pro každé q C, q, a N platí 3 Důsledek: +q +q + +q = q+ q si+si+ +si = si
VíceČíselné charakteristiky náhodných veličin
Číselé charakteristiky áhodých veliči Motivace Doposud jsme pozali fukcioálí charakteristiky áhodých veliči (apř. distribučí fukce, pravděpodobostí fukce, hustota pravděpodobosti), které plě popisují pravděpodobostí
Více1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL
Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,
VíceUžitečné zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičením z Kalkulu 3 od Kristýny Kuncové:
Užitečé zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičeím z Kalkulu 3 od Kristýy Kucové: http://www.karli.mff.cui.cz/~kucova/historie8. php K posloupostem řad a fukcí Ilja Čerý: Iteligetí kalkulus. Olie zde:
Více11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.
11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám
VíceI. TAYLORŮV POLYNOM ( 1
I. TAYLORŮV POLYNOM Připomeňme si defiice elemetárích fukcí: a si( = 2+ = ( (2+! b cos( = 2 = ( (2! c e = =!. Dokažte, že Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukce f je rove polyomu P : (tyto výsledky
VíceÚloha III.S... limitní
Úloha III.S... limití 10 bodů; průměr 7,81; řešilo 6 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat postup kostrukce itervalových odhadů středí hodoty v případě obecého rozděleí měřeých dat (postačí vlastími
VíceV. Normální rozdělení
V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,
Víceveličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou
1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i
VíceDIM PaS Připomenutí poznatků ze střední školy. Faktoriály a kombinační čísla základní vzorce: n = k. (binomická věta) Příklady: 1.
DIM PaS. Připomeutí pozatků ze středí školy Faktoriály a kombiačí čísla základí vzorce: ( )( 2 )...2.! =. 0! = =! ( k)! k! ( )...( k ). + = k! = k + + = k + k + 2 2 ( a + b) = a + a b+ a b +... + a b +...
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost I
8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu
VíceČeské vysoké učení technické v Praze. Fakulta dopravní. Semestrální práce. Statistika
České vysoké učeí techické v Praze Fakulta dopraví Semestrálí práce Statistika Čekáí vlaku ve staicích a trase Klado Ostrovec Praha Masarykovo ádraží Zouzalová Barbora 2 35 Michálek Tomáš 2 35 sk. 2 35
VíceÚloha II.S... odhadnutelná
Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost
8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž
VíceDIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce
DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji
Více14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou
4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,
VíceOdhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme
Více1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:
1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí
VícePoznÁmky k přednášce
NMSA331 Matematická statistika 1 PozÁmky k předášce Naposledy upraveo de 15. úora 2019. Katedra pravd podobosti a matematické statistiky Matematicko-fysikálí fakulta Uiversity Karlovy Teto učebí text představuje
Více6. P o p i s n á s t a t i s t i k a
6. P o p i s á s t a t i s t i k a 6.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme
VíceNáhodné jevy, jevové pole, pravděpodobnost
S Náhodé jevy pravděpodobost Náhodé jevy jevové pole pravděpodobost Lbor Žák S Náhodé jevy pravděpodobost Lbor Žák Základí pojmy Expermet česky též vědecký pokus je soubor jedáí a pozorováí jehož účelem
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor
SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor Lbor Žák SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu
VícePravděpodobnostní modely
Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k
VíceKapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a
Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých
VíceAbstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat
Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor
SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor SP Náhodý vektor Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu eho výsledek a
VíceKapitola 5 - Matice (nad tělesem)
Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic
VíceNMSA331 Matematická statistika 1
NMSA331 Matematická statistika 1 POZNÁMKY K PŘEDNÁŠCE Naposledy upraveo de 29. prosice 2018. Katedra pravd podobosti a matematické statistiky Matematicko-fysikálí fakulta Uiversity Karlovy Teto učebí text
VícePravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci
Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí
Více2.4. INVERZNÍ MATICE
24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:
VíceMATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER
MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem
Více