Ukázky aplikací matematiky. Jaro 2014, 2. přednáška

Transkript

1 Ukázky plikcí mtemtiky Jro 2014, 2. přednášk

2 Polsko 1926 Odposlechnuté rdiové zprávy Wehrmchtu MFNOJ WYFHJ EXZZD BJNDS BECFE NGQOU CFWZE RBSFQ WCUCQ XCKTT RDOAC VDYPM XYOFF HMSOZ THOSD HFPDI UKWRD MNDZX BYMIA FXXTA WWFYS G NEVGW YCJUM IYFCW JXMDR TBIFU PQDMH RPCOX WYXTJ YQXZG CQMSP CJHGA OMHEV QFCGX SXATA HXFHV HZBED VALPY ZPMPW JNPDY RZXKJ DDQZO X NEVGW YIPUC AVKHH FTAPT ZVYXV KRJIG APWAT LWBQH UJASR JMBSF KDVRN IUOXV FKLQG MPSWY EDYHP LSICW ALFPZ XOOFZ BNZUX DCEKG PXJON U Všechn písmen se vyskytují přiližně stejněkrát Frekvence písmen v němčině není rovnoměrná E N I S R... P J X,Y,Q 19,2% 10,2% 8,2% 7,1% 7,0% 0,5% 0,16% 0,01%

3 Identifikce šifry MFNOJ WYFHJ EXZZD BJNDS BECFE NGQOU CFWZE RBSFQ WCUCQ XCKTT NEVGW YCJUM IYFCW JXMDR TBIFU PQDMH RPCOX WYXTJ YQXZG CQMSP RDOAC VDYPM XYOFF HMSOZ THOSD HFPDI UKWRD MNDZX BYMIA FXXTA CJHGA OMHEV QFCGX SXATA HXFHV HZBED VALPY ZPMPW JNPDY RZXKJ WWFYS G DDQZO X NEVGW YIPUC AVKHH FTAPT ZVYXV KRJIG APWAT LWBQH UJASR JMBSF NEVGW YCJUM IYFCW JXMDR TBIFU PQDMH RPCOX WYXTJ YQXZG CQMSP KDVRN IUOXV FKLQG MPSWY EDYHP LSICW ALFPZ XOOFZ BNZUX DCEKG CJHGA OMHEV QFCGX SXATA HXFHV HZBED VALPY ZPMPW JNPDY RZXKJ PXJON U DDQZO X Index koincidence němčiny je přiližně 8%. Pokud je prvních šest písmen u dvou zpráv ve stejný den shodných, pk šifr zchovává index koincidence. Jde si o polylfetickou šifru. Množství zpráv nsvědčovlo, že k šifrování je ptrně využíván nějký přístroj.

4 Enigm klávesnice žárovky propojovcí desk okénk ozuená kolečk měřič npětí

5 Rotor 1. ozuené kolečko 2. ecední kroužek 3. společná os rotorů 4. spon ecedního kroužku 5. tělo rotoru s 26 dráty 6. kontktní kolíky 7. kontktní plošky 8. zářez pro přenos pohyu

6 Elektrické schém E - vstupní rotor 1. reflektor 2. trojice rotorů 3. žárovky 4. terie 5. klávesnice 6. propojovcí desk

7 Mnuál pro operátory Frncouzská špionáž získl mnuál pro operátory vojenského přístroje Enigm komcem roku 1931 (generál Gustve Bertrnd). Německým gentem yl Hns-Thilo Schmidt ( ). Později předl frncouzské špionáži tké denní klíče pro měsíce září říjen Počátkem prosince 1932 dostlo polské Biuro Szyfrów kopie těchto dokumentů n zákldě dohody o vojenské spolupráci mezi Polskem, Frncií Velkou Británií. V prosinci roku 1932 tk Biuro Szyfrów mělo k dispozici: - komerční přístroj Enigm (ez propojovcí desky s jinými rotory, - operční mnuál, - denní klíče pro měsíce září říjen 1932.

8 Denní klíče Denní klíč říkl, jk má ýt nstvený přístroj Enigm v dném dni n zčátku šifrování liovolné zprávy v dném dni. Denní klíč sestávl z: pořdí rotorů, npř. II, III, I, ylo v té doě stejné po celý čtvrt roku, polohy ecedních kroužků n rotorech, npř. KUB, propojení v propojovcí desce, npř. AU, CR, DK, JZ, LN, PS, zákldní nstvení, tj. jká písmen jsou vidět v mlých okénkách, npř. UFW.

9 Klíč zprávy Po nstvení přístroje podle denního klíče měl osluh zvolit náhodnou trojici písmen, kupříkldu HTS, to je klíč zprávy, poté ji npst dvkrát z seou, tj. HTS HTS, pk tuto šestici zšifrovt pomocí přístroje nstveného podle denního klíče, výsledkem ylo NEV GWY, poté ručně přenstvit rotory tk, y v okénkách yl vidět klíč zprávy, zčít šifrovt smotnou zprávu. Tk npříkld zpráv AHOJ yl zšifrován jko JCRI. Celou šifrovou zprávu NEV GWY JCRI pk osluh předl rdistovi k odvysílání. Dešifrování n přijímcí strně proíhlo nprosto stejně.

10 Porušení prvidel ezpečnosti Všechny klíče zpráv yly ve stejném dni šifrovány pomocí stejného klíče (stejného nstvení přístroje). Kždý konkrétní klíč zprávy yl šifrován dvkrát pomocí dvou různých klíčů (tj. různých nstvení přístroje). Porušení prvidel ezpečnosti ylo počátkem mtemtické nlýzy šifry. Jk jich využít k prolomení šifry?

11 Konec roku 1932 Henryk Zyglski Jerzy Rózycki Mrin Rejewski Tři nejlepší solventu kurzu kryptonlýzy, který uspořádlo Biuro Szyfrów v roce 1928 pro posluchče mtemtiky n univerzitě v Poznni.

12 c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z Mtemtický model rotoru c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z d c i h e l j m f n g o l q r t v p s u z y x w N = ( )

13 Mtemtický model rotoru N= ( c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z ) d c i h e k j m f n g o l q r t v p s u z y x w d c i h e l j m f n g o l q r t v p s u z y x v N -1 = ( ) c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z

14 Rotory lze násoit c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z M N c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z N: ( d c i h e k j m f n g o l q r t v p s u z y x w) d c i h e k j m f n g o l q r t v p s u z y x w M: ( j m o k c u e q d h f l i x t v g s r w y p z n ) c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z MN:( j m o k c u e q d h f l i x t v g s r w y p z n) c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z NM:( l m g s c h f i d j r k n v y p t u z e o w q x) MN se nerovná NM R(MN)=(RM)N =RMN

15 Grfické znázornění permutcí N= ( c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z d c i h e k j m f n g o l q r t v p s u z y x w) i j h n d e m f k l o c q g v z y p r s u w x t Cyklický typ permutce N : (0,2,3,2,1,0,0,.... )

16 Grf složené permutce N= ( c d e f g ) c e f g d M= ( c e f g d e f g d c ) c MN=( c d e f g e f g d c ) e d f g

17 Řešitelnost rovnice U=X -1 VX U,V jsou permutce n nějké množině Z nechť permutce X n množině Z je řešením této rovnice. X() VX()=X() c X(c) p Je-li X řešením rovnice, zorzuje šipky liovolného cyklu permutce U n šipky nějkého cyklu permutce V téže délky. Nutnou podmínkou pro řešitelnost rovnice je to, že permutce U,V stejný cyklický typ, tj. stejný počet cyklů liovolné délky. musí mít X(p)

18 Řešitelnost rovnice U=X -1 VX Nechť nopk permutce U,V mjí stejný cyklický typ. Zvolíme nějký cyklus v permutci U v nějký cyklus téže délky v permutci V. Dále zvolíme ve vyrném cyklu permutce U prvek ve vyrném cyklu permutce V nějký prvek v zkusíme njít řešení X, pro které pltí X()=v. v=x() VX()=X() c X(c) p Zvolená hodnot X() tk jednoznčně určuje hodnoty permutce X ve všech odech vyrného cyklu permutce U. Protože permutce U,V mjí stejný permutční typ, můžeme spárovt cykly permutce U s cykly permutce V stejné délky. X(p)

19 Řešitelnost rovnice U=X -1 VX Pltí proto následující tvrzení. Říká se mu vět o konjugovných permutcích. Vět. Jsou-li U,V dvě permutce n konečné množině Z, pk existuje permutce X n množině Z, pro kterou pltí, že U=X -1 VX právě když permutce U,V mjí stejný cyklický typ. Uvedený nástin důkzu ve skutečnosti oshuje lgoritmus, jk njít všechn řešení této rovnice. Kždý pár cyklů délky n dává n možností, jk permutci X definovt n prvcích toho cyklu permutce U, který v dném páru leží. Leží-li v kždé z permutcí U,V právě k=p n cyklů délky n, pk pro dné spárování těchto cyklů dostneme celkem n k možností, jk definovt permutci X n prvcích cyklů délky n. A protože možných spárování k cyklů je k!, celkový počet počet možností, jk definovt permutci X n k cyklech délky n, je k! x n k. Celkový počet řešení X je pk součinem těchto čísel přes všechny délky cyklů n.

20 Počet řešení Npříkld, mjí-li U,V po jednom cyklu délky 26, pk má rovnice 26 řešení. Mjí-li U,V po dvou cyklech délky 13, pk má rovnice 2 x 13 2 = 338 řešení. Mjí-li U,V cyklický typ (0,2,3,2,1,0,0,.... ), pk počet řešení rovnice U = X -1 VX je (2! x 2 2 ) x (3! x 3 3 ) x (2! x 4 2 ) x 5. Mjí-li U,V cyklický typ (26,0,0,0,0,.... ), pk má rovnice 26! řešení, neoť kždá permutce X je řešením.

21 Sttický model u z c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z R L M N H S S -1 H -1 N -1 M -1 L -1 RLMNHS

22 Dynmický model u z R L M P -1 N P H S c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z P= ( c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z ) A= S -1 H -1 P -1 N -1 PM -1 L -1 RLMP -1 NPHS