JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH PEDAGOGICKÁ FAKULTA - KATEDRA FYZIKY

Transkript

1 JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH PEDAGOGICKÁ FAKULTA - KATEDRA FYZIKY NÁVRH SBÍRKY PŘÍKLADŮ PRO PŘEDMĚT POČÍTAČOVÁ FYZIKA BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vedoucí práce: RNDr. Petr Bartoš, Ph. D. Autor: Jaa Fktusová

2 Aotace: Bakalářská práce je kocpováa jako soubor příkladů k látce probíraé v předmětu Počítačová fyzka. Pozorost je věováa především metodě Mote Carlo, determstckým techkám počítačového modelováí a řešeí vybraých druhů dferecálích rovc. Každá kaptola je uvozea shrutím ejdůležtějších teoretckých pozatků ezbytých pro jejch úspěšé řešeí, poté ásledují příklady k procvčeí problematky. Abstract: The Bachelor s Thess s structured as a collecto of examples for a certa topc dscussed the subject Computer Physcs. The Thess focuses s partcular o Mote Carlo method, determstc techques appled to computer modelg ad solvg of the selected types of dfferetal equatos. Each chapter s troduced by a summary of the fudametal theoretcal kowledge ecessary for the successful soluto. The summary s followed by examples to exercse the subject.

3 Prohlášeí: Prohlašuj, že svoj bakalářskou prác jsem vypracovala samostatě pouze s použtím prameů a lteratury uvedeých v sezamu lteratury. Prohlašuj, že v souladu s 47b zákoa č. /998 Sb. v platém zěí souhlasím se zveřejěím své bakalářské práce, a to v ezkráceé podobě fakultou elektrockou cestou ve veřejě přístupé část databáze STAG provozovaé Jhočeskou uverztou v Českých Budějovcích a jejích teretových strákách. V Českých Budějovcích de. duba Jaa Fktusová

4 PODĚKOVÁNÍ: Touto formou bych velce ráda poděkovala svému vedoucímu bakalářské práce pau RNDr. Petru Bartošov, Ph. D., za ceé ávrhy, rady, přpomíky a čas věovaý kozultacím, které m pomohly př vypracováváí mé bakalářské práce.

5 OBSAH ÚVOD...7 METODA MONTE CARLO...8. STRUČNÉ SHRNUTÍ POJMŮ STATISTIKY Náhodá velča Charakterstky áhodých velč Vybraé áhodé velčy Vybraé lmtí věty...4. GENEROVÁNÍ NÁHODNÝCH ČÍSEL Algortmy pro trasformac áhodých velč Hledáí jedé ezámé hodoty a Příklady VÝPOČET URČITÝCH INTEGRÁLŮ A PLOCH Základí metody Metody se zvýšeou účostí Vícerozměré tegrály Příklady DALŠÍ VYUŽITÍ METODY MONTE CARLO Řešeí Laplaceovy rovce Příklady TRANSPORTNÍ PROBLÉM, SRÁŽKOVÉ PROCESY Datová struktury Pracoví oblast Rozptylové procesy Náhodá volá dráha Štěpeí trajektore Příklady...9 METODA MOLEKULÁRNÍ DYNAMIKY...3. PRACOVNÍ OBLAST, VÝPOČET SILOVÉHO PŮSOBENÍ Pracoví oblast Výpočet slového působeí...34

6 . ŘEŠENÍ POHYBOVÝCH ROVNIC Determstcká metoda Metoda P-I-C řešeý příklad Příklady ŘEŠENÍ OBYČEJNÝCH DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC JEDNOKROKOVÉ METODY Eulerova metoda Prví modfkace Eulerovy metody Heuova metoda Ruge-Kuttova metoda VÍCEKROKOVÉ METODY Adamsovy-Bashforthovy metody Adamsovy-Moultoovy metody Metody predktor-korektor Příklady ŘEŠENÍ PARCIÁLNÍCH DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC TYPY PARCIÁLNÍCH DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC FORMULACE POČÁTEČNÍCH A OKRAJOVÝCH ÚLOh PRINCIP METODY SÍTÍ PŘÍKLADY...54 ZÁVĚR...56 Použtá lteratura a jé zdroje...57

7 ÚVOD Bakalářská práce je rozčleěa a čtyř část. Prví část se zabývá Mote Carlo, druhá probírá metody molekulárí dyamky, třetí astňuje řešeí obyčejých dferecálích rovc. řádu a posledí část řeší parcálí dferecálí rovce metodou sítí. Hlavím cílem práce je vytvořeí souboru příkladů k uvedeým oblastem. Př sepsováí práce jsem využívala především skrpt od paa prof. RNDr. Rudolfa Hracha, DrSc., které jsou v oblast počítačového modelováí zřejmě tím ejlepším, co je v současost studetům k dspozc. Metoda Mote Carlo patří mez užtečé matematcké postupy. Vzkla z kokrétích požadavků a řešeí složtých problémů fyzky, matematky, ostatích přírodích věd, techky, ekoome, atd. Opírá se o pojmy z pravděpodobost a statstky a umožňuje řešt problémy obtížě řeštelé tradčím metodam. Tato metoda je především mstrovskou ukázkou schopost matematcky modelovat a poté smulovat složté jevy, a matematckou formou dospět v ěkterých případech k výsledku rychlej oprot tradčím postupům. Metoda molekulárí dyamky je přrozeou metodou pro studum dyamky částc ebo těles. Jedá se o metodu determstckého částcového modelováí. Částce, jejchž chováí je touto metodou smulováo, spolu vzájemě teragují a proto se spíše jedá o metodu mohočástcovou. Termolog převzala tato metoda z fyzky kapal, proto jsou jedotlvé objekty zpravdla ozačováy jako molekuly, přčemž se může jedat o elektroy, oty v plazmatu, atomy v plyech, hvězdy v galaxích a galaxe v metagalaxích. Rozhodující ale je, že částce, jejchž chováí pomocí pohybových rovc popsujeme, představují relatvě mkroskopckou úroveň studovaého jevu. [] Obyčejé dferecálí rovce se používají k matematckým popsům modelů systémů, jejchž stavové proměé se měí podle jstého zákoa v závslost a okamžtém stavu systému. Řešeí, pokud exstuje, eí jedé. Jedozačost řešeí zaručuje splěí tzv. počátečí podmíky. Parcálí dferecálí rovce jsou rovce, v chž hledáme fukc u a základě daého vztahu mez jejím parcálím dervacem. Úlohy s parcálím dferecálím rovcem lze obtížě řešt přesě, častěj používaé jsou umercké metody. Parcálí dferecálí rovc jsou většou řešey uvtř ějaké otevřeé možy a a hrac této možy zpravdla jsou defovaé dodatečé tzv. okrajové podmíky. 7

8 METODA MONTE CARLO [] Metoda Mote Carlo je souhr postupů umožňujících pomocí mohoásobých áhodých pokusů získat řešeí problémů, a to eje v počítačové fyzce. Tato metoda patří tedy mez částcové metody. Je to metoda stochastcká, což zameá, že hledaý výsledek je získává a základě počtu pravděpodobost. V době po druhé světové válce se k výpočtům v oblast fyzkálích výzkumů začíají používat počítače. Prcp metody je ale mohem starší, což zameá, že k realzac áhodých pokusů vlastě počítač vůbec epotřebujeme. Jako příklad můžeme uvést úlohu o Buffoově jehle. Jedá se o emprckou metodu a určeí hodoty čísla π Georges Lous Leclerc, Comte de Buffo roku 777. Mez tvůrce metody Mote Carlo patří J. vo Neuma (formuloval statstcké základy), E. Ferm, S. A. Ulam, N. Metropols a H. Kah. Použtí metody Mote Carlo je rozsáhlé. Používá se téměř ve všech vědích dscplíách. Ovšem řešeí problému pomocí metody Mote Carlo eí vždy tím ejvýhodějším a to jak z hledska jedoduchost, přesost rychlost výpočtu. Schéma řešeí problému pomocí metody Mote Carlo: Aalýza problému a vytvořeí modelu Cílem aalýzy zkoumaého jevu je jeho popsáí pomocí áhodé velčy. Vytvořeí modelu pak zameá zjedodušeě popsat zkoumaý jev pomocí kokrétí áhodé velčy s daým oborem hodot a rozděleím pravděpodobostí a současě určt, která charakterstka této áhodé velčy obsahuje ám hledaý výsledek. Geerováí áhodé velčy Geerováí áhodé velčy a počítač se provádí ve dvou krocích:. ageerováí áhodé velčy s určtým pevě daým rozděleím pravděpodobost. přetrasformováí předešlé velčy v hledaou áhodou velču Statstcké vyhodoceí výsledků Předchozím kroky dostaeme pouze jedu realzac áhodé velčy. Proto musíme předchozí kroky opakovat, přčemž počet opakováí musí být velký. Získáme postupě hodoty ξ, ξ,, ξ N. Tyto hodoty podrobíme statstcké aalýze a podle formulace daého problému z ch získáme hledaou odpověď. V případě expermetálí realzace stochastckého modelováí bylo prokázáo, že chyba metody klesá s počtem pokusů N podle vztahu: ϑ ~ N (.) 8

9 Z předchozího vyplývá, že prví krok je tvůrčí část, a ásledující kroky jsou rutí částí expermetu. Metoda Mote Carlo realzuje řešeí problémů pomocí mohokrát opakovaých áhodých pokusů. Odhady hledaé velčy se získávají statstckou cestou a mají tedy pravděpodobostí charakter. Ozačíme v tomto případě odhady θ, θ,, θ N za hledaé hodoty velčy θ, jež získáme statstckým zpracováím expermetálích dat. Požadujeme, aby v tomto případě velča θ, kde začí počet pokusů, která je áhodou velčou, př kovergovala k hledaé hodotě θ podle pravděpodobost. Tím se rozumí splěí vztahu, aby pro lbovolě malé ε > 0 platlo: lm P ( θ θ < ε ) =, (.) kde θ má charakter statstckých odhadů a souvsí s hledaou hodotou θ prostředctvím pravděpodobostích zákotostí.. STRUČNÉ SHRNUTÍ POJMŮ STATISTIKY Nyí uvedeme stručý přehled základích pojmů z počtu pravděpodobost. Výběr témat je podříze metodě Mote Carlo... Náhodá velča Náhodé velčy jsou velčy, u které záme všechy hodoty, kterých mohou abývat, a pravděpodobost jejch abytí, avšak edovedeme předpovědět jejch hodotu v kokrétím případě. Dělíme je a dskrétí a spojté podle toho, jakých hodot mohou př realzacích abývat. Pro každou áhodou velču se zavádí tzv. záko rozděleí áhodé velčy, který každé hodotě ebo možě hodot z určtého tervalu přřazujeme pravděpodobost, že áhodá velča této hodoty abude. Exstují dvě varaty tohoto zákoa: Dstrbučí fukce Přřazuje každému reálému číslu pravděpodobost, že áhodá velkost abude hodot meších ež toto číslo: ( x) P( x) F = ξ <, (.3) kde F(x) je dstrbučí fukce, symbolem P(y) se ozačuje pravděpodobost výskytu jevu y a ξ je áhodá velča. Pravděpodobost emožého jevu je ulová a pravděpodobost jstého jevu se rová. Dstrbučí fukce F(x) proto abývá hodot z tervalu 0,, je eklesající a platí pro { x x} = F( x ) F( x ) pro x x P ξ <. (.4) 9

10 Pravděpodobost Dstrbučí fukce má díky své defc (.3) tegrálí výzam, shruje výsledou pravděpodobost za určtý terval. Pokud chceme pracovat s kokrétím pravděpodobostm, musíme zavést odpovídající dferecálí velčy, apř. p(x) ( x) x df p ( x) = ebol F( x) = p( y) dy. (.5) dx Oba popsy jsou ekvvaletí, ale častěj se používá práce s pravděpodobostm, protože je blžší fyzkálímu způsobu vyjadřováí. Typy áhodých velč: Dskrétí áhodé velčy U tohoto typu áhodých velč můžeme záko rozděleí áhodé velčy popsat možou hodot x a odpovídajícím pravděpodobostm p, kde: { } p = P ξ = x x x... x ξ =. (.6) p p... p Hodoty x až x, kterých může áhodá velča ξ abývat, mohou být lbovolá čísla. Pro pravděpodobost p až p platí dvě omezeí: p > 0,,,..., = = p. (.7) Místo pravděpodobostí p můžeme použít dstrbučí fukc F(x), která bude mít případě tvar skokové fukce. Spojté áhodé velčy Spojtá áhodá velča ξ abývá hodot x z ějakého koečého ebo ekoečého tervalu. Pro záps můžeme použít jak dstrbučí fukc F(x), která bude pro spojtou áhodou velču spojtá, tak tzv. hustotu pravděpodobost áhodé velčy ξ v bodě x p(x). Spojtá áhodá velča ξ bude charakterzováa: ξ : x a, b, p( x), (.8) kde hustota pravděpodobost p(x) má tyto vlastost: p ( x) 0, x a, b = - p( y) dy = 0

11 { x x } = p y) P ξ ( y. d x Můžeme pracovat s vícerozměrým áhodým velčam. Pro pops použjeme sdružeou dstrbučí fukc:.. Charakterstky áhodých velč ( x y) = P{ x < ξ, η y} F, <. Náhodá velča X je jedozačě určea rozděleím pravděpodobost pomocí pravděpodobostí fukce ebo dstrbučí fukce (popř. hustoty pravděpodobost). Tyto fukce jsou však často poměrě složté a jejch určeí pracé. Proto je výhodé shrout formace o áhodé velčě do ěkolka čísel, které j dostatečě charakterzují. Tato čísla azýváme číselé charakterstky a dělíme je: a) podle způsobu kostrukce a charakterstky: mometové: jsou kostruováy a základě počátečího mometu µ k ebo cetrálího mometu ν k kvatlové: jsou obvykle odvozey pomocí dstrbučí fukce F(x) a jsou určováy pro spojtou áhodou velču, pro dskrétí áhodou velču ebývá jejch určeí jedozačé ostatí b) podle toho, které vlastost rozděleí pravděpodobost charakterzují a charakterstky: polohy: E(X), Me, Mo, kvatly. Určují jakýs "střed", kolem ěhož kolísají hodoty áhodé velčy X. varablty: D(X), σ,.... Ukazují rozptýleost hodot áhodé velčy kolem středí hodoty. škmost a špčatost: charakterzují průběh rozděleí áhodé velčy X. [3] Někdy je vhodé použít je zkráceou formu zápsu udávající pouze základí vlastost áhodé velčy. Pro teto účel byl avrže systém charakterstk momety áhodých velč. Uvedeme ty ejpoužívaější: Charakterstky polohy Jedou ze základích charakterstk každé áhodé velčy je její středí hodota s ohledem a rozděleí pravděpodobost, ozačuje se Eξ a ejčastěj se azývá očekávaá hodota. Defčí vztahy pro dskrétí a spojtou áhodou velču jsou: = x p Eξ x

12 Charakterstky varablty Eξ = x p( x) dx. (.9) Udávají rozptyl možých hodot áhodé velčy ξ kolem její středí hodoty Eξ. Defčí vztah společý pro dskrétí spojté áhodé velčy se azývá rozptyl, varace ebo dsperze a ozačuje se Dξ: Dξ ξ = E( Eξ ). Teto vztah se ale častěj převádí do výhodějšího ekvvaletího vyjádřeí: ( ξ ) ( Eξ ) Dξ = E. (.0) Odvozeá jedotka od rozptylu se azývá směrodatá odchylka a ozačuje se σξ : Charakterstky vyšších řádů σξ = Dξ. Defovat cetrálí momet k-tého řádu můžeme za předpokladu, že exstuje Eξ a má koečou hodotu: µ ( ξ Eξ ) k, 0,,,... k = E k = a základě mometu třetího řádu je defováa škmost: µ 3 α 3 =. (.) σ 3 U symetrckých rozděleí je tato charakterstka ulová. Je-l kladá, je rozděleí pravděpodobost zeškmeé doleva, je-l záporé tak doprava. ormováím cetrálího mometu 4. řádu defujeme špčatost: µ α. (.) 4 4 σ 4 Bude-l α 4 >3, bude studovaé rozděleí špčatější ež ormálí rozděleí (Gaussovo rozděleí), pro meší hodoty je rozděleí plošší...3 Vybraé áhodé velčy Nejčastěj používaá rozděleí pro dskrétí velčy jsou bomcké rozděleí, Possoovo rozděleí a rovoměré rozděleí pro dskrétí áhodou velču, pro spojté velčy rovoměré rozděleí pro spojtou áhodou velču, Gaussovo a Maxwellovo rozděleí.

13 Bomcké rozděleí Tímto rozděleím se řídí četost áhodého jevu v ezávslých pokusech, když v každém pokusu má výskyt jevu pravděpodobost p, kde je přrozeé číslo a p 0, : 0... x x ξ =, x = ( = ) = ( ) 0... p P ξ x p p. (.3) p p p x Základí charakterstky rozděleí jsou: Eξ = p Dξ = p ( p) ( p) ( p) ( p) p 6 p α 3 = α 4 = + 3. p p Possoovo rozděleí Popsuje proces, př kterém studujeme četost ějakého jevu v moha pokusech, když výskyt tohoto jevu v jedotlvých pokusech je je velm málo pravděpodobý. Z bomckého rozděleí se získá lmtím přechodem, kde p 0, a.p=λ koečé. λ je jedým parametrem Possoova rozděleí. ξ = x 0 λ px = P{ ξ = x} = e p0 x..., p... p x λ λ = λ x! e +! (.4) Základí charakterstky rozděleí jsou: E ξ = λ Dξ = λ α 3 = α 4 = + 3. λ λ Rovoměré rozděleí pro dskrétí áhodou velču Náhodá velča ξ s rovoměrým rozděleím může abývat m hodot,,,m se stejým pravděpodobostm: Prví dva momety této velčy jsou: p = P( ξ = x) =. (.5) m m + m Eξ = Dξ =. Rovoměré rozděleí pro spojtou áhodou velču Náhodá velča ξ zavedeá v tervalu a, b má rovoměré rozděleí tehdy, má-l v tomto tervalu kostatí hustotu pravděpodobost 3

14 Základí charakterstky rovoměrého rozděleí jsou: Gaussovo rozděleí p ( x) = x a, b. (.6) b a a + b Eξ = Dξ = ( b a) 9 α 3 = 0 α 4 =. 5 Obecě bývá ormálí rozděleí pro pops daého jevu použtelé v těch případech, kdy a rozptyl hodot áhodé velčy působí současě velký počet epatrých a avzájem ezávslých vlvů. Hustota pravděpodobost tohoto rozděleí je dáa vztahem Jeho dstrbučí fukce je f ( x µ ) x) = exp x, π σ σ ( x ( t µ ) σ F(x) = e dt. π σ Gaussovo rozděleí má dva parametry: µ a σ, kde σ>0. Základí charakterstky Gaussova rozděleí jsou: Maxwellovo rozděleí ( ) E ξ = µ Dξ = σ α = α = (.7) Toto rozděleí, používaé zejméa v ketcké teor plyů, má jede parametr a > 0. Hustota Maxwellova rozděleí je dáa předpsem f = x x) x exp x 3 0, a π a ( Základí charakterstky rozděleí jsou: a E ξ = Dξ = a 3. ). (.8)..4 Vybraé lmtí věty Z teore pravděpodobost jsou vybráy ty, a chž je založeo statstcké vyhodocováí expermetálích dat a modelováí reálých procesů metodou Mote Carlo. 4

15 Záko velkých čísel Budou-l ξ, ξ,, ξ ezávslé áhodé velčy se stejým rozděleím, pak jejch artmetcký průměr ξ = ξ (.9) koverguje podle pravděpodobost k µ. Toto tvrzeí zameá, že pro každé kladé ε platí lm P = ξ µ < ε =. Pro větší počet ezávslých pozorováí áhodé velčy ξ můžeme proto jejch artmetcký průměr použít pro odhad středí hodoty Eξ. Rozptyl artmetckého průměru ξ je dá vztahem Dξ Dξ σ Dξ = =. (.0) Směrodatá odchylka Dξ pak bude úměrá druhé odmocě z počtu pozorováí. Cetrálí lmtí věta počtu pravděpodobost Budou-l ξ, ξ,, ξ ezávslé áhodé velčy se stejým rozděleím, které má středí hodotu µ a rozptyl σ, pak jejch součet má pro velká přblžě Gaussovo rozděleí s parametry N( µ, σ ).. GENEROVÁNÍ NÁHODNÝCH ČÍSEL Metoda Mote Carlo předpokládá modelováí áhodého procesu pomocí operací s áhodým čísly. K tomu slouží geerátory áhodých čísel, které jsou dáy buď pomocí programů, ebo se jedá o hardwarové geerátory, též se používají fyzkálí geerátory. Fyzkálí geerátory jsou založey a jevech, které mají áhodý charakter. Například rozpad radoaktvího prvku, kde se měří počet částc zachyceý čítačem za jedotku času. Další metodou fyzkálích geerátorů byly tabulky áhodých čísel, tj. fyzkálí geerátory vyprodukovaly áhodá čísla do zásoby, tato čísla pak byla uchovávaá a vějším medu. Hardwarové geerátory bývají geerátory s posuvým regstry a jsou předurčey pro přímou hardwarovou realzac v jedoúčelových počítačích obsahujících tegrovaý obvod, který přímo geeruje pseudoáhodá čísla. Softwarové geerátory obvykle geerují pseudoáhodá čísla, která by správě měla být statstckým testy erozezatelá od skutečých áhodých čísel, cméě jsou vypočtea determstcky. 5

16 Algortmů zajšťujících geerováí áhodých čísel je moho a př ízkých árocích a opravdovou áhodost se používají fukce ze systémových khove. Nejčastěj používaé geerátory využívají prcpu leárího kogruetího geerátoru (LCG), který je defová vztahem: ( mod M ) x + = a0x + ax akx k + b (.) kde k 0 ; a, b a M jsou vhodě zvoleé kostaty a geerovaá čísla jsou celá s rovoměrým rozložeím v rozsahu 0 x M. Kokretzací kostat v defčím vztahu můžeme vytvořt tř zjedodušeé typy geerátorů: Adtví založeé a vztahu x x x ( mod M ) =. Tyto geerátory jsou velm + k + k rychlé, kvaltí, ale jejch slabou je velm krátká peroda. Multplkačí založeé a rekuretím vztahu prvího řádu s ulovou hodotou kostaty b,: x a x ( mod M ) výsledku eí dostačující. + = 0. Tyto geerátory jsou dostatečě rychlé, ale kvalta Smíšeé založeé a leárím rekuretím vztahu x = ax b ( mod M ) + +. S posuvým regstry pracuje místo s celým čísly pouze s bty b. ( mod ) b = c0b + cb +... ckb k, kde k a c k abývají pouze hodot 0 ebo + + (ejméě dvě hodoty musí být eulové), kostata k se volí mohem větší ež u leárích kogruečích geerátorů zvýšeí kvalty geerátoru... Algortmy pro trasformac áhodých velč: Rozehráí dskrétí áhodé velčy Velča ξ zadáa tabulkou: x ξ = p x p xk pk V počítač vytvoříme vektor o k složkách: p p + p, p + p + p,..., p + p p,., 3 k Pak ageerujeme jedu hodotu γ a budeme postupě vyšetřovat podmíku: γ < j p = Prví terval j, pro který bude tato podmíky splěa, určí příslušou hodotu ξ = x j. Rozehráí spojté áhodé velčy metodou verzí fukce Hledaou spojtou áhodou velču ozačíme ξ, obor hodot a, b a hustotu 6

17 pravděpodobost p(x). Velču rozehrajeme tak, že ageerujeme číslo γ 0; trasformujeme podle vztahu ξ g( γ ) =. Pro hodotu γ přtom platí, které ξ ( x) γ = p dx. (.) Rozehráí spojté áhodé velčy metodou výběru Předpokládejme, že hustota pravděpodobost p(x) velčy ξ je omezeá a tervalu a a, b. Kostatu M zvolíme tak, aby platlo p ( x) M, x a, b. Nageerujeme dvě η = a + γ b a, η = Mγ. Bude-l hodoty áhodé velčy γ a γ a vytvoříme čísla ( ) bod P o souřadcích (η, η ) ležet pod křvkou y = p(x), tj. bude-l η p( ) <, zvolíme η ξ = η. Nebude-l podmíka splěa, ageerujeme ovou dvojc γ a γ a postup opakujeme. Účost metody závsí a hodotě M, kterou je uto zvolt co ejmeší. Rozehráí Gaussovské áhodé velčy ζ Požadujeme rozehrát áhodou velču ζ s parametry µ = 0, σ =, tj. N(0,). x p( x) = exp, (, ). x π Itegrací ormovaého Gaussova rozděleí vzke tegrál pravděpodobost Φ(x): Uvedeme dva algortmy: t ( dt x Φ x) = exp π m γ = Algortmus založeý a cetrálí lmtí větě: ζ =, kde zrekostruovaá velča m m ζ bude mít parametry µ =, σ =. Přechod a požadovaou ormalzovaou 3 ζ µ velču ζ provedeme pomocí vztahu: ζ =. Mmálě použtelá velča ζ se σ získá pro m = 5, velm vysoká přesost pro m =. Algortmus založeý a přesé Gaussovské velčě: ζ lγ cos( πγ ) γ jsou hodoty rovoměrě rozděleé áhodé velčy γ. Rozehráí áhodého bodu v koul o poloměru R =, kde γ a Pracujeme ve sférckých souřadcích r, θ, ϕ. Trasformačí vztahy získaé s použtím tří hodot áhodé velčy γ jsou: r = R3 γ, cosθ = γ, ϕ = πγ 3. Pro určeí 7

18 áhodého bodu a povrchu koule postačí využít druhý a třetí vztah... Hledáí jedé ezámé hodoty a. Vytvoříme áhodou velču ξ tak, aby hledaé číslo bylo prvím mometem této áhodé velčy. Provedeme ezávslých realzací áhodé velčy ξ (odhad očekávaé hodoty Eξ a tím hledaé a) podle zákoa velkých čísel platí, že pro dost velká se blíží k a: a ξ. =..3 Příklady:. Rozehrajte metodou Mote Carlo dskrétí velčy daé ásledujícím pravděpodobostím fukcem: 0, 5 3 0, a) p ( x) = 0,3 0, , 9 0,3 0 0,005 b) p ( x) = 0,8 3 0,4 4 0,3. Fracouzská ruleta má 36 polí (ula až 35), barevě rozlšeých zeleou, červeou a čerou barvou. Nula je zeleá, lchá má čerou a sudá červeou barvu. Náhodé číslo z geerátoru trasformujte do jedoho výsledku hry. Zkoumejte pravděpodobost a 500 hrách: a) pravděpodobost červeého výsledku, b) pravděpodobost výsledku vyššího ež 9 včetě, c) pravděpodobost padutí čísla Měřeí délky je zatížeo systematckou chybou -0, cm a áhodé chyby měřeí se směrodatou odchylkou η = 0,5 cm. Jaká je pravděpodobost, že chyba měřeí epřekročí v absolutí hodotě dvojásobek směrodaté odchylky? 4. Rozehrajte velču s ormálím Gaussovo rozděleím a) pomocí lmtí cetrálí věty b) pomocí fukčího předpsu ς lγ cos ( πγ ) =. V obou případech porovejte získaá rozděleí s teoretckou křvkou. 5. Rozehrajte velču s Gaussovo rozděleím se středí hodotou µ = 0 a rozptylem σ = 5 a) pomocí lmtí cetrálí věty 8

19 b) pomocí fukčího předpsu ς lγ cos ( πγ ) =. V obou případech porovejte získaá rozděleí s teoretckou křvkou. 6. Pomocí vztahů r = R3, cos θ = γ a ϕ = πγ 3 rozehrajte bod v koul. 7. Metodou Mote Carlo rozehrajte bod a) ve čtverc o hraě, b) bod v kruhu o poloměru, c) v elpse daé rovcí x + y = 6 9, γ d) v trojúhelíku daém body = [ 0,0], B = [,0 ], C = [ 0, ] A, e) v krychl o hraě velkost, f) v koul o poloměru 0,5, g) ve válc o poloměru podstavy 0,5 a výšce. 8. Metodou Mote Carlo rozehrajte áhodý směr vektoru. 9. Rozehrajte fyzkálí velču s Maxwellovo rozděleím pro soubor částc o teplotě a) 300 K b) 500 K c) 000 K. Emprckou hustotu pravděpodobost porovejte grafcky s teoretckým průběhem. 0. Pomocí geerátoru áhodých čísel vygeerujte hodoty tak, aby je bylo možé využít př a) smulac hodu hrací kostkou (hodota až 6), b) smulace 000 hodů hrací kostkou, vyhodoceí práce avržeého algortmu, c) smulac součtu hodu deset kostek ajedou.. Pomocí geerátoru áhodých čísel (a ASCII tabulky) vygeerujte hodoty tak, aby bylo vytvořeo heslo: a) o délce 5 zaků a použtí lbovolých písme abecedy, b) o délce 5 zaků a použtí písme abecedy, tak aby heslo obsahovalo m. jedo velké a jedo malé písmeo, c) o áhodé délce 5-0 zaků a použtí písme abecedy, tak aby heslo obsahovalo m. jedo velké a jedo malé písmeo, d) o áhodé délce 5-0 zaků a použtí všech zaků ASCII tabulky, tak aby heslo obsahovalo m. jedo velké písmeo, m. jedo malé písmeo a m. jedo číslo. 9

20 . Přpravte program, který umoží přblžě rozehrát spojtou áhodou velču s četostm výskytu tabelovaých hodot z ásledující tabulky. 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9, Problém řešte pro tyto terpolačí fukce mez ejblžším body: - leárí terpolace - terpolace metodou ejblžšího souseda - terpolace kubckým splem Výsledky grafcky porovejte. Řešeá úloha: Buffoova úloha o jehle je emprcká metoda pro určeí hodoty čísla π. Obrázek.: Buffoova jehla Na vodorové rově jsou akresley rovoběžky ve vzdáleost d od sebe a je dáa jehla o délce l d. Jehla je áhodě hozea a rovu. Výsledek pokusu bude úspěšý tehdy, protel jehla jedu z čar, jak bude eúspěšý. Pokus bude opaková N-krát a bude určová poměr M / N, kde M je počet úspěšých pokusů. Jedoduchým výpočtem se dá ajít lmtí vztah mez poměrem M / N pro ekoečý počet pokusů a délkam l a d. V kostatě úměrost v tomto vztahu je obsažeo číslo π, takže alezeím poměru hodotu kostaty π, l d π =&. M N M / N expermetálě určíme Př koečém počtu hodů je ale výsledek zatíže začou chybou. Př 0 pokusech jsme schop odhadout hodotu π jako 3, př 000 pokusech jako 3,, př pokusech jako 3,4, atd..3 VÝPOČET URČITÝCH INTEGRÁLŮ A PLOCH Výpočet tegrálů především určtých je častým problémem ve fyzce..3. Použtí základí metody výpočtu tegrálu z fukce f(x) a vlastím tervalu a,b : 0

21 K dspozc máme dvě jedoduché metody: b I = f ( x) dx, a a) výpočet pomocí středí hodoty fukce: prcpem je alezeí středí hodoty f tegrovaé fukce f(x) a tervalu a,b. Hodotu tegrálu I určíme podle vztahu: b I = f ( x) dx = ( b a) f a Středí hodotu f alezeme tak, že vezmeme áhodou velču ξ rovoměrě rozděleou a tervalu a,b a zavedeme áhodou velču η = f(ξ), jejíž matematcké očekáváí Eη je rovo průměré hodotě fukce f(x) a tervalu a,b. Hodotu Eη odhademe pomocí zákoa velkých čísel. Potom: I ( b a) f ( ξ ) (.3) b) geometrcká metoda: metoda vychází z geometrckého výzamu tegrálu jako plochy pod křvkou y = f(x) v rozmezí a až b. Předpokládáme, že fukce f(x) je a celém tervalu a,b omezeá. Vezmeme dvě áhodé velčy ξ a,b a η 0,c rovoměrě rozděleé a příslušých tervalech. Takto přpravíme áhodých bodů (η,ξ) a pomocí podmíky η <f(ξ ) určíme, kolk z ch pade pod křvku y = f(x). Jejch počet ozačíme. Pak za hodotu tegrálu vezmeme odhad: = I c. ( b a) Obrázek.: K výpočtu určtého tegrálu..3. Metody se zvýšeou účostí a) alezeí hlaví část: tegrál rozdělíme a dvě část, hlaví vklad a upřesňující korekc f(x) = g(x) + h(x):

22 b b f x) dx = g( x) dx + I = ( h( x) dx. Pro metodu středí hodoty se vztah (.3) modfkuje a: a a b a I b a [ f ( ξ ) g( ξ )] + g( x) dx. = b a b) metoda vážeého výběru: áhodá čísla ξ v tervalu a,b budou v oblast více přspívající k hodotě tegrálu I geerováy s větší hustotou. jedodušší varata tegračí terval a,b rozdělíme a ěkolk dílčích tervalů, apř. a,c, c,c,, c k,b a v každém budeme geerovat jý počet áhodých čísel ξ :,,, k+. Zvolíme = k+, pak použjeme pro tegrac vztah: c c f x) dx + f ( x) dx I = ( f ( x) dx. a c přesější varata áhodou velču ξ budeme geerovat s hustotou pravděpodobost spojtě se měící a celém tervalu a,b : b a b a ( x) ( x) f I = f ( x) dx = p( x) dx. p Odhad hledaého tegrálu pro ovou áhodou velču η = f(ξ)/p(ξ), kde platí, že c b k Eη = I: = ( ξ ) ( ξ ) f I. p Rozptyl ové áhodé velčy η pak bude: b ( x) ( x) f Dη = dx I. p a c) metoda symetrzace tegrovaé fukce: tegrovaou fukc upravíme tak, aby se a tegračím tervalu měla co ejméě. Je-l fukce f(x) apř. mootóě rostoucí ebo klesající, je jí vhodé symetrzovat podle vztahu g ( x) [ f ( x) + f ( a + b x) ] = Itegrál lze přblžě spočítat apř. metodou středí hodoty podle modfkovaého vztahu: b a I [ f ( ξ ) + f ( a + b ξ )]. =.

23 .3.3 Vícerozměré tegrály: Základí vzorec b d(x) I = f ( x, y) dy dx. a c(x) Obecá formulace problému: I = f ( P) p( P) dp, G kde p(p) je zadaá hustota pravděpodobost v oblast G přes kterou tegrujeme a P = (x,y, ) je bod z oblast G. a) metoda středí hodoty fukce: vezmeme áhodé body P, P s hustotou p(p) a zavedeme áhodou velču η = f(p) Nalezeí odhadu hledaého tegrálu E η = f ( P) p( P) dp = I. G η = η = f ( P ). = b) geometrcká metoda: předpokládáme, že fukce f(p) je v oblast G omezeá, tj. 0 f(p) c. Náhodé body Q geerujeme v ově vytvořeé d+ rozměré oblast G ( 0,c) =. Zjšťujeme, kolk z těchto bodů leží pod povrchem plochy z = f(p). Jejch počet ozačíme.3.4 Příklady: I c G. Pomocí metody Mote Carlo odhaděte obsah kruhu o daém poloměru.. Pomocí metody Mote Carlo určete hodoty ásledujících jedorozměrých tegrálů. 3 a) ( x + ) π x 3 dx, b) s x dx, 0 π c) x cos x dx, 0 π d) s x cos x dx, 0 Problém řešte pomocí: geometrcké metody, 3

24 metodou alezeí hlaví část, metodou vážeého výběru, metodou symetrzace tegrovaé fukce. 3. Pomocí metody Mote Carlo určete objemy těchto těles s daým parametry: a) polokoule o poloměru, b) válec o poloměru podstavy 0,5 a výšce, c) čtyřstěu s vrcholy [,0,0], [,0,0 ], [ 0,0,] [ 0,,0 ] 0 a, d) rotačího kužele o poloměru a výšce. Hodoty porovejte s výsledky získaým pomocí obvyklých vzorců. 4. Vypočtěte hodotu dvojého tegrálu pomocí metody Mote Carlo. ( x) x y f = +, kde x 0, a y 0,. 5. Částce se pohybuje po přímce s rovoměrým zrychleím a = 3 m s -. Pomocí metody Mote Carlo pro výpočet určtého tegrálu určete její rychlost v čase t = 5 s a dráhu, kterou urazla, jestlže v 0 = 0 m s -. Výsledky porovejte s umerckým výpočtem. 6. Metodou výpočtu středí hodoty fukce spočítejte ztrátu eerge za mutu a rezstoru o odporu R = 000 Ω, přpojeém a elektrcký zdroj střídavého apětí se susovým průběhem, jestlže ampltuda apětí U max = 00 V a frekvece f = 50 Hz. Výpočet proveďte dvakrát (pro =0* ). Výsledky porovejte s umerckým výpočtem. 7. Metodou Mote Carlo výpočtu určtého tegrálu určete, a kolk % maxmálí hodoty klese příko do odporové zátěže př použtí tyrstorové regulace a otevřeí tyrstoru př hodotách a) π/8, b) π/4, c) π/..4 DALŠÍ VYUŽITÍ METODY MONTE CARLO.4. Řešeí Laplaceovy rovce u u, x Laplaceova rovce je specálím případem Possoovy rovce = f ( x, x,..., x ) = kde ozačuje tzv. Laplaceův operátor. Rovce u = 0 se azývá Laplaceova rovce. Řešeí elptcké parcálí dferecálí rovce = Obvyklým postupem z umercké matematky převedeme parcálí dferecálí 4

25 rovc a její dferečí ekvvalet, tz., že ejprve alezeme ekvvalety parcálí dervace f/ x, f/ y, f/ x, z ch sestavíme dferečí ekvvalet celé rovce a dostaeme obvyklý čtyřbodový vztah pro defovaou dvourozměrou oblast G [ u + u + u ] u j = +, j, j, j+ + u, j. (.4) 4 Algortmus blouděí v pravoúhlé sít Hledáme pravděpodobost, kdy po vypuštěí z bodu P dorazíme po áhodé trajektor do ěkterého hračího bodu, kde jž zůstaeme. S tímto bodem je spojea ějaká číselá hodota, kterou uložíme do pamět a v závěrečé fáz j vyhodotíme. Pokus -krát opakujeme a startovímu bodu P přřadíme průměrou hodotu z takto získaých velč. Př áhodém blouděí procházíme řadou dalších bodů a v každém z ch máme stejou pravděpodobost, že budeme pokračovat v jedom ze čtyř směrů. Vyjádříme-l tuto podmíku v pravděpodobostech, dostaeme ekvvaletí výraz k výrazu.4. Obrázek.: K blouděí v pravoúhlé sít. [] Algortmus blouděí s áhodým krokem Vyjdeme z bodu P 0, kolem ěhož vytvoříme kružc, jejíž poloměr l 0 je áhodý. Tato kružce musí být celá v oblast G. Na této kružc zvolíme bod P, který se stává pro ás ovým výchozím bodem, a celý postup opakujeme. Dostaeme tak trajektor tvořeou body P 0, P, P, a obecě bude platt P + = P + l ω, kde k = 0,,,.; ω k = cos φ k + s φ k a áhodý úhel φ k je v tervalu k k k k 0,π. Problém této metody spočívá v ukočeí trajektore a ve volbě optmálího poloměru každé kružce. 5

26 Obrázek.3: K blouděí s áhodým krokem. [].4. Příklady:. Metodou Mote Carlo řešte Laplaceovu rovc d ϕ d ϕ + = 0 d x d y pro x 0, a y 0, s okrajovým podmíkam ϕ ( 0, y) = y, ϕ(, y) = y +, ϕ( x,0) = x a ϕ( x,) = x + Úlohu řešte: a) algortmem blouděí v pravoúhlé sít, b) algortmem blouděí s áhodým krokem c) pomocí dferečího schématu u = [ u + u + u u ]. Řešte předchozí úlohu pro okrajové podmíky ϕ j 4 +,j,j,j+ + ( 0, y) = y, ϕ(, y) = y +, ϕ( x,0) = x a ϕ( x,) = x +,j.5 TRANSPORTNÍ PROBLÉM, SRÁŽKOVÉ PROCESY V tomto problému studujeme průchod částc hmotým prostředím. Před začátkem modelováí je třeba expermetálě ebo teoretcky rozhodout, které fyzkálí procesy jsou podstaté a je potřeba je uvažovat v modelu. Obecě platí, že eí možé studovat daý jev v jeho plé šíř, ať už z důvodu výpočetí áročost, č z edostatku expermetálích dat. Příkladem je průchod částc ějakou látkou, pohyb abtých částc v plazmatu, atd..5. Datová struktura Vytvořeím datové struktury zajstíme v přrozeém modelu ukládáí potřebých dat: 6

27 Obrázek.4: Ukázka datová struktura pro částcové modelováí. [] Všechy údaje příslušející jedé částc jsou ukládáy do jedoho sloupce datové struktury, tj. počet sloupců odpovídá celkovému počtu částc. Pro každou částc do í ukládáme ěkolk skup údajů, přčemž ejčastější jsou prostorové souřadce, rychlost částc, jejch hmotost, áboj, stupeň exctace. Samozřejmě, že e všechy z ch se musí použít..5. Pracoví oblast Studovaý proces smulujeme v pracoví oblast tvořeé zdrojem částc, vlastí pracoví oblastí, v íž se trasport odehrává, a cílovou oblastí. Obrázek.5: Zázorěí pracoví oblast př modelováí trasportu částc. [] zdroj částc představuje geerátor částc, které vstupují do pracoví oblast pracoví oblast je část prostoru, kde dochází k terakcím procházejících částc s látkovým prostředím cílová oblast je prostor, kde evdujeme počet částc, které do tohoto prostoru vstouply..5.3 Rozptylové procesy Předpokládáme, že v látce, v íž probíhá trasport, je přítomo celkem k-typů rozptylových procesů. Tyto procesy jsou charakterzováy středím volým draham λ, λ,, λ k, případě účým průřezy jedotlvých typů terakcí S, S,, S k. Středí volá dráha λ je průměrá vzdáleost mez srážkam -tého řádu a udává se v metrech. Účý makroskopcký průřez vztažeý k počtu záchytých ceter v jedotce objemu udáváme: 7

28 S =. N λ Hodota N odpovídá počtu molekul plyu v jedom m 3 a př běžých podmíkách je její hodota rova 3, 0 molekul ebo atomů. Makroskopcký účý průřez je udává v m. Účý mkroskopcký průřez S =. λ Celkový účý průřez S ebo celková středí volá dráha λ. Složeí dílčích terakcí: k S = S ebo = = Dílčí celkové středí volé dráhy účé průřezy mohou být kostaty, většou však závsí v ehomogeím prostředí a poloze ebo a eerg částce. Mez parametry modelováí, kterým přzpůsobujeme obecý model studovaého jevu, započítáváme kokrétí typy rozptylových procesů, jejch tezty vyjádřeé pomocí λ a S a eergetcké a prostorové závslost. Základí typy rozptylových procesů: Pružý rozptyl Př pružém rozptylu se př terakc eměí celková eerge teragujících částc, tz., že eerge částce E před po srážce bude stejá. Směr pohybu částce se ovšem změí a proto se změí složky eerge E x, E y a E z. Nepružý rozptyl Př epružém rozptylu dochází ke ztrátě eerge E. Tato ztráta eerge je buď kostatí ebo áhodá velča. Směr částce po terakc bývá většou zadá z expermetu. V řadě modelů bývá větší počet epružých rozptylových procesů s růzým parametry. Záchyt Záchyt fyzkálě odpovídá růzým mechasmům, apř. pohlceí eutrou, záchyt elektrou a past v zakázaém pásu delektrka, atd. Štěpeí Štěpeím ozačujeme proces, př kterém z jedé studovaé částce vzká větší počet částc. Ukázkou je apříklad vzk eutroů př rozpadu v jaderé fyzce. Po uražeí áhodé volé dráhy dojde k terakc, je však třeba rozhodout, která terakce to bude. Př tom se využjí hodoty středích volých drah dílčích terakcí λ (ebo λ k =. λ 8

29 účých průřezů S ) k alezeí pravděpodobostí dílčích terakcí v daém místě a př daé eerg částce. Pro pravděpodobost výskytu -té terakce použjeme jede ze vztahů: λ p = ebo λ S p =. S.5.4 Náhodá volá dráha Rozehráí áhodé volé dráhy je základím úkolem př řešeí trasportího problému. Operujeme se dvěma pojmy: áhodá volá dráha ξ je vzdáleost, kterou urazí částce mez dvěma sobě jdoucím terakcem a jedá se o áhodou velču středí volá dráha λ je eáhodé číslo udávající průměrou vzdáleost mez terakcem a charakterzující tak prostředí, v ěmž trasport probíhá. Středí volá dráha představuje prví momet áhodé velčy ξ a je mez m obvyklý vztah: λ = E ξ ξ. Předpokládáme l, že středí volá dráha je kostatí, tj. že látkové prostředí je homogeí, a středí volá dráha ezávsí a a dalších parametrech částce, můžeme použít pro geerováí jedotlvých realzací áhodých volých drah ξ jedoduchý vztah: ξ = λ lγ. γ je rovoměrě rozděleá áhodá velča v tervalu 0,. pokud ale eí předpoklad λ = kost. splě, emůžeme předchozí vztah použít. =.5.5 Štěpeí trajektore V modelech ěkterých fyzkálích jevů se mez rozptylovým procesy vyskytují takové, př kterých vzkají ové částce a dochází tak ke štěpeí trajektore. Studovaý model zače být mohočástcový. Př štěpeí trajektore se z původí jedé stopy částce vytvoří tzv. strom a program musí projít všem jeho větvem. K zefektvěí celé procedury byly avržey dvě metodky: aalýza po větvích aalýza po geeracích..5.6 Příklady:. V tabulkách ajděte středí volé dráhy atomů č molekul růzých plyů za ormálího tlaku a teplotě 300 K. 9

30 . Nechť v daém plyu dochází ke dvěma typům srážkových procesů prvímu s účým průřezem 0-6 m a k druhému s účým průřezem x0-6 m. Přpravte fukc, která rozhode o typu srážkového procesu, který astae v okamžku srážky. 3. Pro srážku elektrou s eutrálem argou v ízkoteplotím plazmatu jsou dáy ásledující účé průřezy σ j a E ~ je eerge elektroů [8] a) ozace atomu A r ze základího stavu I. pro eerg elektrou meší ež 5,8 ev je σ o = 0 cm, 4 ~ II. pro eerg větší ež 5,8 ev je 9,7 0 ( ) ( E 5,8) o E = ~ ( 70 + E ) ~ ~ ( ) + 8 ~ E σ 6 0 E 5,8 exp, 9 b) pro exctac eutrálu A r ze základího stavu (teto účý průřez zahruje exctac do všech ejdůležtějších eergetckých stavů) σ ~ cm, I. pro eerg elektrou meší ež,5 ev je ( E) 0 II. pro eerg vyšší ež,5 ev je exc = ~,8 8 ~, E 3,4 0 ( E,5 ) ~ ~,3 0 ( ) ( E,5 ) σ exc E = +, 5,5 ~,9 ~ E E c) pro elastckou srážku elektrou s eutrálím atomem A r ~,4 ~ 3 ~ 6 6, E 0,05 0,0E σ ela ( E) = 0 abs + + Υ Υ ~ ~, 6 E E kde ~ ~ E E Υ = + + 0, 0,6 3,3 a Υ ~ E = + 5, ~ E + 5,5,5 ~ E , 0,5. Jaký účý průřez má srážkový proces ulové srážky? Výsledky zobrazte grafcky. 4. Zobrazte pohyb částce v kruhu o poloměru cm, jestlže středí volá dráha je a) mm, b) 5 mm. 30

31 Velkost rychlost částce echť se v průběhu expermetu eměí, její velkost zvolte tak, aby měl obrázek dobrou vypovídací hodotu. 5. Zobrazte polohy 00 molekul po 00 teracích výpočtu, které se acházejí a počátku expermetu ve středu pracoví oblast, kterou je kruh o poloměru cm. Řešte pro středí volé dráhy a) mm, b) 5 mm a výsledky dskutujte. 6. Modfkujte předchozí úlohu tak, abyste prokázal vlv tlaku a rychlost dfúze. Úlohu pro růzé tlaky vyřešte. 7. Vytvořte zdroj částc s maxwellovským rozděleím rychlostí. 8. Pomocí metody Mote Carlo smulujte růst D teké vrstvy. Ve středu pracoví oblast, kterou tvoří pravoúhlá mříž o 0 x 0 uzlech předpokládejte kodezačí jádro. Předpokládejte, že částce mgrující po pracoví oblast a mohou dopadout se stejou pravděpodobostí pro všechy eobsazeé uzly. Pohyb částce ustává v případě, že částce opustla pracoví oblast ebo došlo k jejímu přpojeí k jž vytvořeému útvaru. 3

32 METODA MOLEKULÁRNÍ DYNAMIKY [] Obecý postup řešeí modelováí trajektorí molekul (částc, těles) je ásledující: Vytvořeí co ejvěrějšího modelu studovaého jevu. Popsáí systému pomocí souboru N částc. Sestaveí klascké pohybové rovce pro všechy částce. Určeí počátečích podmíek a vyřešeí pohybových rovc. Rozmezí časů probíhá v tervalu t 0, t max. Cílem výpočtu je většou alezeí trajektore částce ebo polohy částce v daém čase. V ěkterých oblastech fyzky se metoda molekulárí dyamky používá pro výpočet statckých vlastostí, apříklad př sledováí dráhy částc ve fázovém prostoru pro koečou dobu t. Hledaá velča bývá zpravdla vyjádřea ve formě středí hodoty.. PRACOVNÍ OBLAST, VÝPOČET SILOVÉHO PŮSOBENÍ Nyí se podívejme a jedotlvé kroky př vytvářeí počítačového modelu. Pro praktcké řešeí fyzkálího problému je třeba zvolt pracoví oblast, odhadout výsledé síly působící a jedotlvé částce souboru, určt počátečí stav částc, umercky vyřešt příslušé pohybové rovce všech částc a případě statstcky zpracovat získaé výsledé trajektore... Pracoví oblast Pracoví oblast se bude lšt podle typu řešeého problému. Pro potřeby počítačového modelováí je potřeba vždy zvolt určtou velkost oblast (elze smulovat ekoečě velkou oblast): Studum pohybu těles ebo částc, jejchž trajektore leží v omezeé oblast. Pracoví oblast musí být tak velká, aby studovaá soustava byla celá umístěa v této oblast (apř. pohyb komety kolem Sluce). Studum chováí velkého počtu částc zajímajících velký objem. Pracoví oblast musí mít měřítko podle charakterstky systému a proto bude mohem meší ež celý objem prostoru aplěého částcem, jelkož j volíme jako jakýs výřez do studovaé soustavy částc (apř. víme, že elektrcké pole dosahuje do vzdáleost 0 cm, takže oblast musíme vymezt tak, aby tam toto pole bylo zahruto celé). Tvar pracoví oblast Př volbě tvaru se řídíme symetrí řešeého problému. 3

33 Jsou l částce rozložey pravdelě, tvar pracoví oblast podřídíme tomuto rozložeí, protože pak se zjedoduší pops procesů a hrac pracoví oblast, apř. studum pohybu elektroů v pevé látce, kdy tvar pracoví oblast apodobuje zvětšeou elemetárí buňku krystalové mřížky. Nemá l studovaý problém žádou výrazou symetr, volíme tvar pracoví oblast co ejjedodušší, aby se zjedodušla mapulace s daty př modelováí. Např. ve dvourozměrém případě budeme pracovat se čtvercem o hraě L, v trojrozměrém případě s krychlí o hraě L. Velkost pracoví oblast Př volbě velkost pracoví oblast máme dvě krtéra: prví výpočetí a druhé fyzkálí. Současá výpočetí techka ám umožňuje pracovat řádově s mloy částc. Př meším počtu jsou přílš velké fluktuace a př přílš velkém počtu částc je výpočet přílš pomalý a emusí stačt kapacta pamět počítače. Fyzkálí krtérum vyplye z charakteru slového působeí v modelu. Rozezáváme síly dalekodosahové, kdy jejch velkost se vzdáleostí klesá s kvadrátem vzdáleost (gravtačí síla, elektrostatcká síla, aj.), a krátkodosahové, které mají závslost a vzdáleost mohem slější r 7 (apř. síly v pevých látkách). Př volbě velkost pracoví oblast požadujeme, aby a částc umístěou v jejím středu bylo slové působeí od částc mmo pracoví oblast zaedbatelé, tj. aby a vzdáleost L/ klesly síly a evýzamou hodotu. Ve většě případů ám současá aplkace obou krtérí určí terval, z kterého můžeme rozměr pracoví oblast zvolt. Někdy však se obě krtéra avzájem vylučují a pak je uté použít ekvvalet umělých obratů z metody Mote Carlo (vz předcházející kaptoly). Volba okrajových podmíek V případě, že pracoví oblast je pouze výřezem z celého objemu aplěého částcem, bude eustále docházet k vylétáváí částc z pracoví oblast a aopak vstupu částc z okolího prostoru. V modelu teto rovovážý proces smulujeme pomocí tzv. cyklckých okrajových podmíek pokud částce pracoví oblast opustí, hed vstoupí do pracoví oblast zpět a odpovídajícím místě protlehlé stěy (vz obrázek.). 33

34 Obrázek.: Cyklcké okrajové podmíky ve směru osy x. [] V kubcké pracoví oblast o hraě L každá souřadce x, y a z každé částce musí ležet v rozmezí 0, L. Sledujeme pouze hodoty souřadc a přčteme ebo odečteme hodotu L k příslušé souřadc, která z tervalu 0, L vybočí. Př aplkac cyklckých okrajových podmíek klademe a studovaou soustavu částc určtá fyzkálí omezeí. V systému esmí být přítome žádý usměrěý tok částc a prostředí musí být zcela homogeí. Pokud tomu tak ebude, musíme vytvořt zdroj částc a jím kompezovat úbytek částc opouštějících pracoví oblast... Výpočet slového působeí Metoda molekulárí dyamky je založea a řešeí pohybových rovc. Proto musíme určt síly, které a každou částc působí. Předpokládáme, že pracoví oblast obsahuje N částc. Sílu působící a částc acházející se poblíž pracoví oblast ajdeme jako vektorový součet slového působeí od ostatích N částc v pracoví oblast. Komplkovaější stuace astae pro částce ležící poblíž hrace pracoví oblast, kde emůžeme zaedbat slější slové působeí od blízkých částc a druhé straě hrace pracoví oblast a je uté jejch vlv započítat do výpočtu. To elze udělat přímo do modelu bychom zahrul vedle původích N částc ěkteré sousedí částce a došlo by tím je ke zvětšeí pracoví oblast, což problém eřeší. Teto problém lze však řešt apříklad kopírováím pracoví oblast. Na obrázku. je pracoví oblast zobrazea bez ozačeí ve středu a kolem í je umístěo 8 kopí. Pracoví oblast obsahuje N částc (zde N=5). Kope jsou ozačey I VIII, zůstávají svázaé s původí pracoví oblastí, takže každý pohyb původí částce se promíte do všech jejích obrazů. 34

35 Obrázek.: Obrazy pracoví oblast pro výpočet slového působeí. [] Výsledé slové působeí a kokrétí částc v původí pracoví oblast se adále počítá jako vektorový součet působeí od ostatích N částc, přčemž se uvažují ejvětší síly. V ašem případě dostaeme: r r r r r F = f + f + f +, 3 4 f5 kde všechy částce, 3, 4 a 5 vezmeme v původí pracoví oblast. Naprot tomu: r r r r r F = f + f3 + f4 + f5 r r r r r V VII = f + f + f + f ( I ) ( I ) ( VII ) ( ) ( ) ( VI ) F r r r r r ( V ) ( III ) ( V ) F4 = f4 + f4 + f43 + f45 r r r r r ( III ) ( II ) ( I ) = f + f + f + f, F kde horí dex rozlšuje, do které oblast částce patří, zda původí ebo ěkterého jejího obrazu. Př realzac zjstíme, že každá částce ebo její obraz se v součtu popsujícím slové působeí objeví právě jedou. Algortmus hledáí ejvětších sl se tím zjedoduší. Nepracuje se přímo se slam, ale pouze se vzdáleostm částc, eboť všechy typy sl ubývají se vzdáleostí a stačí proto ajít N ejblžších částc. Jelkož epotřebujeme síly, ejedá se o absolutí hodoty vzdáleostí, ale je o jejch pořadí, takže pracujeme je s druhým mocam vzdáleostí. Všechy souřadce všech obrazů částce se lší pouze přčteím ebo odečteím hodoty L v rozdílech typu x x, což lze v cyklu jedoduše realzovat. j 35

36 . ŘEŠENÍ POHYBOVÝCH ROVNIC.. Determstcká metoda molekulárí dyamky je založea a řešeí soustavy pohybových rovc pro všechy částce typu r r F = m a,,..., N. Dferecálí rovce druhého řádu = r a r d dt = převedeme a dvojásobý počet rovc prvího řádu (v proměých r r a v r ). Ty posléze převedeme a rovce dferečí (spojtou časovou osu ahradíme dskrétí posloupostí časů 0,,..., t t = t k + t ). Zvolíme t t max, kde k počátečí podmíky pro polohu a rychlost všech částc v čase t 0 a dostaeme jedoduchý algortmus pro řešeí soustavy pohybových rovc pro všech N částc. Byla avržea celá řada algortmů, z chž ejjedodušší jsou metody: Eulerova metoda řešeí pohybových rovc Počátečí podmíky: r r 0 0 r,v Přechod z času t 0 do t, Přechod z času t k do t k+ r k+ s = r k r + v t + k m r F t k r k+ r r k k v = v + F t =,..., N m F r k+ =... (.) Tato metoda je uverzálí, epřáší žádá fyzkálí omezeí. Verletova metoda řešeí pohybových rovc: Počátečí podmíky: r r 0 0 r,v Přechod z času t 0 do t, Přechod z času t k do t k+ r k+ s = r k r + v t + k m r F t k r k+ F =...,..., N r v = r = v r r + m k k+ ( F + F ) t k+ k Ve vztahu používáme současě starou a ovou hodotu síly r r F a F k+ současě dva vektory, což zvyšuje ároky a kapactu pamě počítače. (.), takže potřebujeme 36

37 Leap frog metoda řešeí pohybových rovc: Počátečí podmíky: r r 0 r,v Přechod z času t 0 do t, Přechod z času t k do t k+ r k+ s = r k r + v k+ t + m r F t k r k+ F =...,..., N r v = r = v + m F k+ 3 k+ k+ t (.3)... Metoda P I C (Partcle I Cell) Formulace problému: aalyzováím algortmů a řešeí pohybových rovc (.), (.) a (.3) z hledska časové áročost zjstíme, že převážou část doby program stráví př výpočtu síly F r. Sílu působící a tou částc počítáme podle vztahu: kde ext F r r r N r ext F = F + fj =,... N, (.4) J j = je síla působící a částc z exterího zdroje a druhý čle rovce představuje vzájemé slové působeí souboru částc. V případě přítomost pouze elektrostatckého pole můžeme exterí sílu vyjádřt pomocí tezty tohoto pole: r r ext kde E ( r ) r F r r ( r ) ext ext = qe (.5) je tezta lokálího pole v místě té částce r a q je áboj této částce. Jelkož tato tezta pole závsí je a poloze té částce, bude prví čle v soustavě rovc pro výpočet celkového slového působeí (.4) leárě závset a počtu částc N, O(N). O efektvtě výpočtu rozhoduje druhý čle rovce (.4). Zde musíme rozlšt případ dalekodosahových a krátkodosahových sl. lok E r K tomu účelu musíme ajít teztu lokálího elektrckého ebo gravtačího pole a vztah pro výsledé slové působeí je: r r r ext r r lok r F = F + F,...,. ( ) ( ) ( ) N = V této metodě avíc k obvyklé dskretzac časové osy ( s krokem t ) provedeme ještě dskretzac prostoru. Pracoví oblast rozdělíme a soustavu meších čtvercových buěk s hraou x. Původí soubor N částc se ám tak rozdělí mez jedotlvé buňky. 37

38 Další postup výpočtu tezty lokálího pole pro elektrostatcké pole (obdobě bude probíhat pro pole gravtačí):. Elektrcký áboj všech částc v buňce složíme do jedé výsledé částce ve středu buňky q j, kde (j) jsou souřadce příslušé buňky. Celkový elektrcký áboj v buňce q j můžeme získat buď pomocí metody NGP (Neatest Grd Pot), což je prosté sečteí všech ábojů v buňce a přeeseí výsledého áboje do středu buňky, ebo pomocí metody CIC (Cloud I Cell), kde áboj eí bodový, ale má eurčtý tvar, který obvykle zasahuje do více buěk úměrě svému objemu v příslušé buňce. Pro jedoduchost předpokládáme, že ábojový útvar má kostatí hodotu a tvar stejý jako buňka.. K prostorové hustotě áboje ρ j od ábojů q j přejdeme vyděleím objemem buňky. 3. Vyřešíme Possoovu rovc a dostaeme hodoty elektrckého potecálu v každé buňce U j : ρ U =. ε 0 4. Dferečím schématy typu ( E ) hledaé teztě elektrckého pole U+, j U, j j = přejdeme od elektrostatckého potecálu x x lok E r j v jedotlvých buňkách...3 Příklady:. Vytvořte souhrý přehled všech typů ejvýzamějších sl.. Odhaděte charakterstckou velkost pracoví oblast pro ásledující systémy: a) pohyb Země kolem Sluce, b) pohyb elektrou kolem jádra atomu, c) studum vlvu přílvu a odlvu a eroz pobřežích oblastí, d) elektrcké abíjeí povrchu kosmcké stace ve vesmíru, e) studum jaderých zařízeí užívaých pro výrobu elektrcké eerge, f) studum kvatových systémů, g) studum pohybu hvězd v galax. 3. Uvažujte 00 elektroů v pracoví oblast tvaru čtverce o straě velkost L. Metodou kopírováí pracoví oblast určete velkost síly působící a každou z částc. Uvažujte a) pouze gravtačí sílu, b) pouze elektromagetckou sílu, c) gravtačí a elektromagetckou sílu. Výsledky porovejte. 38

39 4. V pracoví oblast tvaru čtverce o straě délky L áhodě rozmístěte 0000 částc. Poté aprogramujte fukc, která umoží aproxmovat velkost síly působící a částc pomocí algortmu Partcle--Cell (PIC). Úlohu řešte v modfkacích a) Nearest Grd Pot (NGP), b) Cloud Cell. Porovejte přesost obou algortmů a jejch časovou áročost. 5. V MATLABu přpravte fukce, které umoží vypočítat ovou polohu soustavy částc po provedeí jedoho časového kroku. K výpočtu použjte a) Eulerův algortmus, b) Verletův algortmus, c) algortmus Leap Frog. 6. Algortmy z předchozího příkladu použjte ke studu pohybu plaety a) Země kolem Sluce, b) Jupter kolem Sluce, c) Neptu kolem Sluce. Úlohu řešte pro růzě velké časové kroky a sledujte, jak se projevuje efyzkálí ohřev. 7. Modelujte pohyb deset částc, které a sebe vzájemě epůsobí a) ve čtverc se straou délky L, b) v krychl se straou délky L. Srážkové procesy euvažujte. Využjte v modelu cyklcké okrajové podmíky. 8. Modelujte pohyb deset částc a) ve čtverc se straou délky L, b) v krychl se straou délky L. Využjte v modelu cyklcké okrajové podmíky. V modelu uvažujte lustratví srážkový proces. 9. Modelujte pohyb 00 elektroů ve čtverc, a které působí ve směru kolmém ke spodí straě elektrostatcká síla. Velkost působící síly zvolte tak, aby bylo možé pozorovat zvýšeou kocetrac částc v okolí spodí stray. Částce, které a tuto strau dopadou, echť se odrážejí zpět do pracovího prostoru. 39

40 3 ŘEŠENÍ OBYČEJNÝCH DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC [4] Numercká tegrace obyčejých dferecálích rovc patří mez ejčastější úlohy umercké aalýzy. Numercky tegrujeme dferecálí rovce, pokud jsou eleárí. Leárí dferecálí rovce s kostatím koefcety umercky tegrujeme tehdy, jde-l o větší systém, jehož aalytcké řešeí je vyjádřeo složtým a epřehledým výrazy obsahujícím expoecálí fukce. [5] Omezíme se a obyčejé dferecálí rovce, avíc a dferecálí rovc. řádu. Pro ě budeme řešt ejjedodušší možou úlohu, Cauchyho počátečí úlohu. Na daém reálém tervalu <x 0, x > máme řešt dferecálí rovc s počátečí podmíkou ( x) = f ( x y( x) ) y, (3..) y ( x 0 ) = y0, (3..) kde f je fukce dvou reálých proměých (pravá straa dferecálí rovce) a Pokud f ezávsí a y, tj. f ( x y) = g( x) y 0 R., pro ějakou fukc g jedé reálé proměé, pak dostáváme výpočet určtého tegrálu jako specálí případ řešeí dferecálí rovce ( x) g( x) y = s počátečí podmíkou (4..); a její řešeí je ( x) = y + g( t) x y 0 dt, x x 0, x. x 0 Obyčejé dferecálí rovce vyšších řádů lze vhodou volbou pomocých proměých převést a soustavy dferecálích rovc prvího řádu. Ty lze řešt aalogcky jako pro jedu proměou s příslušě upraveým typy proměých, tj. y je vektorová fukce reálého argumetu. Nejdříve bychom se měl ujstt, že řešeí Cauchyho počátečí úlohy exstuje a že je jedé. Obecě tomu tak být emusí. Příklad: Dferecálí rovce s počátečí podmíkou: Pro 0 ( x) y( x) y = y(0)=0 x má trválí řešeí y ( x) = 0, ale řeší j fukce ( x) x y =. 4 Nedostatkem předchozího případu je, že pravá straa eí defováa pro ( x) < 0 lze však ajít podobé příklady, které jsou defováy všude. y, 40

41 Z fyzky jsme zvyklí, že dferecálím rovcem popsujeme systémy, jejchž chováí se zdá být plě určeo počátečím podmíkam. Z předchozích příkladů je vdět, že po matematcké stráce by počátečí podmíky emusely stačt k jedozačému určeí řešeí. Následující podmíka vyloučí ejedozačost řešeí v moha důležtých případech. Lpschtzova podmíka: Když fukce f je defovaá a spojtá a x 0, x R (tj. f (x, y) je určeo pro všecha x x 0, x a pro všecha y R ) a když: 0 x y, y R : f, ( x, y ) f ( x y ) L y L R x x, y, pak exstuje právě jeda reálá fukce y a tervalu s počátečí podmíkou (3..). x 0, x, která je řešeím rovce (3..) Cauchyho počátečí úlohu lze přepsat a ekvvaletí tegrálí rovc y x = 0 x 0 ( x) y + f ( t, y( t) ) dt Itegrál a pravé straě lze chápat jako tegrál fukce g jedé proměé, g ( t) f ( t, y( t) ) Tuto fukc však obecě ezáme, eboť obsahuje hledaé řešeí y. Můžeme jej také chápat jako křvkový tegrál přes křvku s parametrzací ( y( t) ) t,, =. t x 0, x ; tuto křvku však ezáme. Protože můžeme pracovat je s koečě moha body, rozdělíme terval dílčích tervalů, pro jedoduchost stejé délky x x + h, kde 0, K, 0 = ( x x ) 0 h x0, x a =. Získáme uzlové body =. Správé hodoty řešeí v uzlových bodech, ( ) y, ahradíme jejch odhady, které budeme začt y. Odpovídající hodoty pravé stray dferecálí rovce budeme pro zjedodušeí začt ( x, y ) f = f. Postupě budeme geerovat posloupost y, =0, K,. V kroku + záme odhady y 0,K, y, s jejchž pomocí počítáme odhad y +. Podle aaloge se vztahem pro přesé řešeí budeme hledat složky řešeí takové, že y y x + x ( x ) y( x ) = f ( t y( t) ) + y = y +,, dt x 4

42 kde y bude odhad tegrálu x + x ( t y( t) ) Pomocí tohoto odhadu počítáme další hodotu y f, dt. (3.3.) = y + y +. Jedotlvé metody se lší pouze způsobem odhadu y tegrálu (3.3.). 3.. JEDNOKROKOVÉ METODY Pomocí těchto metod počítáme ové hodoty pouze a základě výsledku předchozího kroku řešeí. Typckým a ejčastěj používaým metodam z této skupy jsou Ruge- Kuttovy metody. 3.. Eulerova metoda Je to ejjedodušší metoda řešeí dferecálích rovc, je to jedokroková metoda a je. řádu. Jedá se o stuac, kdy tegrál (3.3.) počítáme metodou levého odhadu (s jedím tervalem), tj. fukc ( t y( t) ) f, ahrazujeme kostatou rovou její hodotě v levém krajím bodě uvažovaého tervalu x. Druhý argumet y máme jž odhadutý z předchozího kroku (ebo pro = 0 vyplývá z počátečí podmíky). y y x + = f, x ( x, y ) dt = h f ( x y ) ( x y ) = y + h + = y + h f, f. Uvedeý vzorec má ázorý geometrcký výzam: hodota f ( x, y ) vedeé z bodu ( x, y ) do bodu ( ) x. +, y + f = je směrce úsečky 3... Prví modfkace Eulerovy metody Tak jako Eulerova metoda je zobecěím tegrace metodou levého odhadu, ásledující metoda je zobecěím obdélíkové metody. Fukc ( t y( t) ) f, v í ahradíme opět kostatou, kterou však bude hodota uprostřed tervalu tegrace, tedy v bodě x x + + h = x + 4

43 Problémem však zůstává, co dosadt za druhý argumet fukce f ; měla by to být hodota hledaého řešeí. Teto edostatek se vyřeší tím, že provedeme pomocý krok polovčí h délky (Eulerovou metodou), čímž dostaeme odhad řešeí v bodě: x + : h η = y + f. h f,, ahradíme kostatou f x +, η a dostaeme Fukc ( t y( t) ) Tato metoda je. řádu. x = + h h y f x +, η dt = h f x +, η. x Druhá modfkace Eulerovy metody (Heuova metoda) Metoda je zobecěím lchoběžíkové metody tegrace. Fukc ( t y( t) ) f, v í ahradíme leárí fukcí, proložeou hodotam v krajích bodech tervalu. Hodota v levém krajím bodě je f ( x, y ) f =. V pravém krajím bodě však arážíme a ezalost y- ové souřadce, což opět řešíme pomocým krokem (tetokrát délky h) Eulerovou metodou, kterým dostaeme odhad řešeí v bodě x + : Fukc ( t y( t) ) θ = y + h f. f, ahradíme leárí fukcí, jejíž graf prochází body ( x, f ( x, y )), ( x, f ( θ )). Dostaeme = ( f ( x ) + f ( x θ )) + x +, Tato metoda je. řádu. h y +, Ruge-Kuttova metoda [] Ruge-Kuttova metoda je metodou jedokrokovou, ale jž 4. řádu (v Taylorově rozvoj umerckého a aalytckého řešeí se shodují koefcety u moc kroku až do čtvrté mocy). Podstatou uvedeých modfkací Eulerovy metody bylo, že v pomocých krocích byly staovey hodoty, které umožly kompezovat ejžší čley Taylorova rozvoje chyby. Takto bylo možé pokračovat dále a s více pomocým kroky získat metody vyšších řádů. To je prcp obecých Ruge-Kuttových metod, které používají hodoty pravé stray ve 4 bodech. Postup: ejprve byly vypočtey pomocé body a hodoty pravé stray, k = f, ( x, y ) 43

44 k k k,,3 h h = f x +, y + k, h h = f x +, y + k, ( x + h y + h ),4 f, k,3 =. Itegrál (4.3.) byl ahraze leárí kombací těchto hodot: h y =,,,3 + 6 ( k + k + k k ) Začátek výpočtu přpomíá prví modfkac Eulerovy metody. Hodotu k, byl počítá v bodě, který byl urče Eulerovou metodou s polovčím krokem, ta pak byla použta př výpočtu k, 3 podobě jako v prví modfkac Eulerovy metody, s tím rozdílem, že byl udělá pouze krok polovčí délky. S hodotou k, 3 pak bylo aložeo obdobě jako v prví modfkace Eulerovy metody. Všechy dosud uvedeé metody patří do rozsáhlejší třídy Ruge-Kuttových metod. Jejch společým rysem je, že odhadují tegrál ( t y( t) ) x + x,4 f, dt z ěkolka hodot fukce f v bodech, získaých z výchozích hodot x, y a pomocých kroků. Tyto hodoty jsou zkombováy tak, aby se vykompezovaly chyby ejžších řádů. Takto lze za ceu větší složtost obdržet metody lbovolě vysokého řádu. Ruge-Kuttova metoda 4. řádu se obvykle jeví jako optmálí komproms, když př výpočtu používá hodota pravé stray ve čtyřech bodech; je dokázáo, že pro řád p > 4 eexstuje obdobý postup, který by vystačl pouze s hodotam v p bodech. 3.. VÍCEKROKOVÉ METODY Tyto metody využívají obecě více ež jedu posledě vypočteou hodotu. Myšleka je založea a tom, že z posloupost dříve vypočteých hodot dostáváme formac o průběhu řešeí, která ám umožňuje lépe odhadout tegrál f ( t y( t) ) x + x, dt. To dovoluje apříklad zvýšt řád metody, až bychom potřeboval další pomocé kroky, jaké jsme používal v Rugových-Kuttových metodách. Jedoduchost ěkterých vícekrokových metod je lákavá. Bohužel má začou evýhodu, eboť k astartováí s-krokové metody potřebujeme s hodot y 0, y, K, y. Ty získáváme zvoleou startovací metodou, obvykle ěkterou z jedokrokových metod, apř. 44

45 Ruge-Kuttovou, jejímuž aprogramováí se tedy evyheme. Na druhé straě asazeí vícekrokové metody může sížt výpočetí složtost. Hlaví výhodou je možost zpřesěí řešeí v metodách predktor-korektor. Z hledska závslost chyb a kroku by bylo žádoucí, aby startovací metoda byla zhruba stejého řádu jako vícekroková metoda, kterou se bude pokračovat. Zejméa by bylo evhodé zvolt startovací metodu podstatě žšího řádu, eboť pak hrozí, že hed v prvích krocích přpustíme velkou chybu, která zehodotí ásledý výpočet, provedeý s vyšší přesostí. Přesější aalýza chyb vede k doporučeí, aby řád startovací metody byl stejý ebo o jedu žší ež řád ásledé vícekrokové metody. O jedu žší proto, že startovací metodu použjeme v kostatím počtu kroků (mmálím pro astartovaí vícekrokové metody), zatímco počet kroků vícekrokové metody je epřímo úměrý délce kroku Adamsovy-Bashforthovy metody (explctí) Tyto metody vychází z toho, že s hodotam pravé stray f, f, K, f s+ (odpovídajícím uzlovým bodům x, x, K, x s+ ) proložíme terpolačí polyom ϕ a te tegrujeme místo ezámé fukce ( t y( t) ) f,. Tedy: x + x ( t) y = ϕ dt. Ve skutečost eí potřeba přímo počítat terpolačí polyom ϕ. Podle úvahy o leartě tegrálu závsí výsledek leárě a hodotách f, f, K, f s+, je tedy tvaru kde s j= 0 y = h ϖ f, j ϖ j jsou předem vypočítaé kostaty pro daou metodu. (Lze j získat tegrací polyomů z Lagrageova tvaru terpolačího polyomu ebo metodou eurčtých koefcetů.) Jede krok metody tedy představuje pouze jede výpočet pravé stray a jedu leárí kombac s hodot. Řád metody je s, tedy počet použtých bodů. Je uté ještě zdůrazt, že áhrada polyomem se zde používá pro pravou strau ( t y( t) ) řešeí y ( t). j f,, kol pro 3... Adamsovy-Moultoovy metody (mplctí) Tyto metody používají obdobou myšleku jako metody Adamsovy-Bashforthovy, pravou strau ( t y( t) ) f, aproxmují terpolačím polyomem. Abychom se vyhul velké chybě způsobeé extrapolací, terpolujeme (v užším smyslu) díky tomu, že terpolačí 45

46 polyom ϕ proložíme eje hodotam f, f, K, f s+, ale hodotou pravé stray v bodě x +, tj. ( x ) f + = f +, y+. Ta ovšem závsí a výsledé hodotě y +. Stejě jako u Adamsovy-Bashforthovy metody se postup redukuje a výpočet leárí kombace hodot pravé stray kde s + y = y = h j j= 0 y ϖ f, ϖ j jsou předem vypočteé koefcety pro daý řád metody. Po dosazeí za f + dostáváme rovc j s + = y + h f ϖ j 0 ( ) x+ y+ + h j= y ϖ, f (3.4.) pro ezámou hodotu y +, která je tímto určea mplctě; proto se takovým metodám říká mplctí. Nevýhodou je, že je zřídka se rovc (4.4.) daří řešt aalytcky a tím realzovat původí záměr. Případé umercké řešeí této rovce zvyšuje výpočetí áročost. Používá se ve zjedodušeé podobě jako součást metod predktor-korektor; ty jsou hlavím místem uplatěí mplctích metod. j Metody predktor-korektor Jedá se o šroké spektrum metod, které se hojě používají, zejméa v úlohách, kde je dosažeí požadovaé přesost obtížé. Základem je korektor, což je ěkterá z mplctích metod, modfkovaá tak, že se rovce (4.4.) řeší umercky. V j-té terac z í vypočítáme odhad y +, hodoty y +, přčemž a pravé straě použjeme odhad y +, j získaý v předchozí terac. Je-l korektorem Adamsova-Moultoova metoda, dostaeme předps s ( ) x+ y+, j + h j= + = y + h f ϖ j 0 y ϖ, f. Jedá se vlastě o řešeí rovce (4.4.) metodou prosté terace. Pro pops algortmu zbývá staovt řídící mechasmus teračího použtí korektoru. Jedotlvé kroky výpočtu je zvykem ozačovat zkratkam jejch aglckých ázvů: P pro predkátor (predctor), C pro korektor (corrector). Kromě ch může být (z hledska složtost) ezaedbatelou částí výpočtu vyhodoceí pravé stray (evaluato), tj. hodot ozačovaé písmeem E. ( x ) j f +, j = f +, y +, j j = 0,,, 46

47 Jak je zvykem u metody prosté terace, měl by se cyklus korektoru provádět tak dlouho, dokud edosáheme dostatečě malého rozdílu po sobě ásledujících výsledků y +, j y +, j. Takový postup má však problém v tom, že předem evíme, kolk terací budeme potřebovat. V prax se to může projevt radkálím zpomaleím metody v průběhu řešeí. Přtom emusí mít smysl uslovat o velm přesé řešeí, eboť samotá rovce (4.4.) je jž je epřesou aproxmací správého řešeí původí dferecálí rovce. Z těchto důvodů se obvykle volí kostatí počet k opakováí korektoru a odpovídající řídící mechasmus se formálě zapsuje P(EC) k E. Teto postup odpovídá jedomu kroku umerckého řešeí dferecálí rovce. Často se volí k =, pak se korektor bez ohledu a obdržeé výsledky použje je jedou a řídící mechasmus lze zapsat jako P(EC)E. Příkladem metod predktor-korektor jsou Adamsovy metody. V ch je predktorem Adamsova-Bashforthova metoda, korektorem Adamsova-Moultoava metoda. Kombací růzých predktorů a korektorů dostáváme velm šrokou škálu metod. Metody predktor-korektor se v posledích letech podílely a řadě ových úspěšých aplkací tam, kde dřívější postupy selhávaly, jako apř. př předpověd vývoje sluečí soustavy a desítky mlard let. Řešeý příklad: Na těleso působí tíha m g směrem dolů a odporová síla prostředí λ v směrem vzhůru. Počátečí rychlost tělesa je ulová. Pak platí: Pokud: můžeme apsat řešeí dv m = m g λ v, v ( 0 ) = 0. dt y ν, f mg λv, =, 0 0 m y. ( t v) Velčy y, y 0 a fukce f mohou být také vektory. Zapsujeme je do sloupců: Dervac začíme takto y ( t) = y y y ( t) ( t) M ( t), y y y 0 ( ) 0 0 =, f ( t, y) M y0 ( t, y) ( t, y) f f = M f. ( t, y) 47

48 dy y =. dt Nyí porováme vektorový záps ( t y) y = f,, y ( t 0 ) = y0 a složkový záps y = ( t, y, y, K y ) f, y = ( t, y, y, K y ) f, M y = ( t, y, y, K y ) f, ( t0 ) 0 y = y ( t0 ) 0 y = M y ( t0 ) y0 y =. Rovce vyšších řádů ež prvího lze vhodým substtucem převést a soustavu rovc prvího řádu. Rovce -tého řádu y (k) k-tá dervace resp. okrajovým podmíkam: ( t0 ) 0 y = y ( t0 ) 0 y = M y ( ) ( t0 ) y0 y = Po přepsáí do systému rovc. řádu substtucem: y = y = y y, y = y, K,. ( t, y, y, K, ) ( ) ( ) y = g y s počátečím, ( ) y = g y = y y = y M ( t, y, y, K, y ) 3 f ( t, y) = g y y 3 M ( t, y) 48

49 y y y ( t0 ) ( t ) 0 ( t ) 0 M = y = y = y y 0 y y3 = M y Příklady: x + y. Eulerovou metodou řešte dferecálí rovc y = s počátečí podmíkou y()= xy a tervalu <,> s krokem h = 0,. Výsledé hodoty zapšte do tabulky a zobrazte grafcky.. Eulerovou metodou řešte dferecálí rovc y = 0, y x s počátečí podmíkou + y( ) = a tervalu <, 3> s krokem h = 0,5. Výsledé hodoty zapšte do tabulky a zobrazte grafcky. 3. Eulerovou metodou řešte dferecálí rovc y = ( y x) s s počátečí podmíkou y(0) = 0 a tervalu <0,> s krokem h = 0,. Výsledé hodoty zapšte do tabulky a zobrazte grafcky. 4. Eulerovou metodou řešte dferecálí rovc y = x exp( y) s počátečí podmíkou y(0) = 0 a tervalu <0,3> s krokem h = 0, a h = 0,05. Výsledé hodoty zapšte do tabulky a zobrazte grafcky. 5. Eulerovou metodou řešte dferecálí rovc ( y l( x) ) y y = s počátečí podmíkou x y() = 0,5 a tervalu <,> s krokem h = 0,5. Výsledé hodoty zapšte do tabulky a zobrazte grafcky. 6. Ruge-Kutta metodou čtvrtého řádu řešte dferecálí rovc y = x xy s počátečí podmíkou y(0) = 3 a tervalu <0,> s krokem h = 0,. Výsledé hodoty zapšte do tabulky a zobrazte grafcky Ruge-Kutta metodou čtvrtého řádu řešte dferecálí rovc y = y 9x, 5y s počátečí podmíkou y() = a tervalu <0,5, > s krokem h = 0,. Výsledé hodoty zapšte do tabulky a zobrazte grafcky. 8. Ruge-Kutta metodou čtvrtého řádu řešte dferecálí rovc y = yx 3, 5y s počátečí podmíkou y(0) = a tervalu <0,> s krokem h = 0,5 a h = 0,5. Výsledé hodoty zapšte do tabulky a zobrazte grafcky. 49

50 9. Ruge-Kutta metodou čtvrtého řádu řešte dferecálí rovc y = y ' 3t ty t + ty s počátečí podmíkou y() = a tervalu <0,> s krokem h = 0,. Výsledé hodoty zapšte do tabulky a zobrazte grafcky. 50

51 4 ŘEŠENÍ PARCIÁLNÍCH DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC [6] 4. TYPY PARCIÁLNÍCH DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC Parcálí dferecálí rovce prvího řádu jsou dferecálí rovce, v chž se vyskytují ejvýše parcálí dervace prvího řádu. Takovou rovc můžeme psát v obecém tvaru: z z f x, x,..., x, z,,..., = 0, x x kde z (x, x,..., x ) je ezámá fukce proměých. Pokud má parcálí dferecálí rovce prvího řádu jedoduchý tvar, pak j můžeme řešt jako obyčejou dferecálí rovc. Je však třeba vzít v úvahu, že př tegrac podle proměé x považujeme všechy ostatí proměé, tz. x, x,..., x, x +, atd., za kostaty a za tegračí kostatu bereme fukc c (x, x,..., x, x +,...), tz. př tegrac podle x je tegračí kostatou lbovolá fukce, která ezávsí a proměé x. Leárí parcálí dferecálí rovc prvího řádu lze vyjádřt obecým vztahem: z z z a = ( x, x,..., x ) + a ( x, x,..., x ) a ( x, x,..., x ) b( x, x x ),..., x x x Tuto rovc pro ( x x,..., x ) 0 b ozačujeme jako ehomogeí leárí parcálí, dferecálí rovc prvího řádu v proměých. Pro ( x x,..., x ) 0 b hovoříme, = o homogeí leárí parcálí dferecálí rovc prvího řádu v proměých. Leárí parcálí dferecálí rovce druhého řádu: a u x u x y u y ( x y) + b( x, y) + c( x, y) + d( x, y) + e( x, y) + g( x, y) u = f ( x, y), u x u y., kde dskrmat představuje: ( x, y) b ( x, y) a( x, y) c( x y) D =,. Elptcká rovce: jako elptckou parcálí dferecálí rovc (parcálí dferecálí rovc elptckého typu) fukce dvou ezávsle proměých ozačujeme takovou leárí parcálí dferecálí rovc druhého řádu, pro ž je ásledující determat větší ež ula: [7] ( ). D x, y < 0 Parabolcká rovce: jako parabolckou parcálí dferecálí rovc (parcálí dferecálí rovc parabolckého typu) fukce dvou ezávsle proměých ozačujeme 5

52 takovou leárí parcálí dferecálí rovc druhého řádu, pro ž je ásledující determat rove ule: [7] ( ). D x, y = 0 Hyperbolcká rovce: jako hyperbolckou parcálí dferecálí rovc (parcálí dferecálí rovc hyperbolckého typu) fukce dvou ezávsle proměých ozačujeme takovou leárí parcálí dferecálí rovc druhého řádu, pro ž je ásledující determat meší ež ula: [7] ( ). D x, y > 0 Rozděleí a elptcké, hyperbolcké a parabolcké rovce se užívá také pro fukce více proměých. Pro fukce více proměých však v obecém případě elze ajít trasformac v celém okolí daého bodu, ale pouze v daém bodě. [6] 4.. FORMULACE POČÁTEČNÍCH A OKRAJOVÝCH ÚLOH [6] Drchletova úloha - hledáme a oblast: je dáa oblast Ω s hrací Γ, je dáo řešeí a hrac, tedy fukce ( x, y) a Γ. ϕ defovaá Cauchyova ebol počátečí úloha: je dáo řešeí pro kostatí y0 y =, tedy je dáa fukce ( x) u ( x y ) = ϕ( x),. U hyperbolcké rovce je dáa ještě fukce ψ ( x), pro íž platí u y 0 ( x y ) =ψ ( x),. Smíšeá úloha kombace počátečí a okrajové úlohy: Je dáo řešeí pro kostatí y0 u ( x y ) = ϕ( x) 0 0 ϕ a podmíka y =, tedy je dáa fukce ( x),. Řešeí je dáo pro kostatí x = a a b ϕ a podmíka x =, tedy fukce α ( y) a ( y) β. U hyperbolcké rovce je dáa a tervalu a, b ještě fukce ψ ( x), pro íž platí u y ( x y ) =ψ ( x),. 0 5

53 da dy Musí platt podmíky souhlasu: ( ) =ψ ( α ) y 0 dβ dy a ( y ) = ψ ( b) 0. Parabolcký případ pro smíšeou úlohu. Hyperbolcký případ pro smíšeou úlohu 4.3. PRINCIP METODY SÍTÍ DIFERENČNÍ METODA [6] Dskretzujeme rovc. Oblast pokryjeme obdélíkovou sítí (vz obrázek 4.). Parcálí dervace ahradíme dferecem. V každém uzlu sítě vzke algebracká rovce (zvláští pozorost je třeba věovat sgulárím uzlům. Hodoty řešeí v uzlech sítě získáme řešeím soustavy leárích algebrackých rovc. Obrázek 4.: Prcp metody sítí [6] 53