III. METODY MĚŘENÍ A ZPRACOVÁNÍ MĚŘENÍ

Transkript

1 III. METODY MĚŘENÍ A ZPRACOVÁNÍ MĚŘENÍ Způsob, jímž se provádí fzkálí měřeí, závsí jedak a povaze měřeé velč, jedak a tom, ze kterých vztahů pro měřeou velču vjdeme a jakých přístrojů použjeme. Všech měřcí metod se dělí a:. absolutí měřcí metod,. srovávací měřcí metod. ad ) Absolutí měřcí metod vcházejí z defce měřeé velč, která se určí výpočtem ze zámých základích fzkálích velč. Používají se k měřeí základích velč. ad ) Hodota měřeé velč se srovává se zámou hodotou velč téhož druhu ebo velč jého druhu, jež je zámou fukcí měřeé velč. Sem patří všech měřcí metod kromě metod absolutích. Srovávací metod dále dělíme a výchlkové, ulové, kocdečí a specálí. Podle způsobu určeí měřeé velč lze měřeí rozdělt a: měřeí přímá - hodotu měřeé velč získáváme přímo, až b blo uto dodatečě provádět výpočt založeé a fukčí závslost daé velč a jých zámých velčách; apř. určeí velkost proudu z údaje ampérmetru, měřeí epřímá - hodota měřeé velč se určuje pomocí přímých měřeí velč jého druhu, které jsou s měřeou velčou vázá zámým vztah; apř. měřeí odporu pomocí Ohmova zákoa, měřeí kombačí - hodot určtého počtu měřeých velč staovíme z růzých kombací výsledků měřeí přímých ebo epřímých řešeím soustav rovc; apř. měřeí teplotích součtelů odporů. V dalším popíšeme dvě měřcí metod, používaé př měřeí úloh uvedeých v těchto skrptech.. METODY MĚŘENÍ a) Metoda kompezačí Podstatou metod je, že měřeou velču kompezujeme (vrováváme) velčou téhož druhu, stejé a zámé velkost, ale opačého zaméka tak, ab se oba účk vroval a astala rovováha. Metoda bývá velm často uspořádáa tak, že po vkompezováí měřcí přístroj ukazuje ulovou výchlku. Má to tu výhodu, že emusíme zát příslušé hodot a stupc přístroje a ezáleží a přesost stupce. Stačí, kdž přístroj dost přesě ukazuje ulovou polohu. Takovou metodou je vlastě vážeí a aaltckých vahách, kd slový momet tělesa kompezujeme mometem závaží, kompezačí metoda měřeí elektromotorckého apětí a mohé další. b) Metoda omezovací Pro měřeí času u perodckých dějů, které se opakují ve velkém počtu a pro ěž je jeda peroda delší ež dvojásobek odhadu chb jedoho měřeí, můžeme použít omezovací metodu, kterou lze za uvedeých předpokladů dosáhout lbovolé relatví přesost. Postup vložíme a příkladu měřeí dob kvu reverzího kvadla.

2 Změříme stopkam apř. dobu deset kvů: 0 τ, s. Víme-l teď, že tato doba je zaručea uvtř mezí ± 0, s (což je přesost jedoho měřeí stopkam), můžeme zapsat:,0 s < 0 τ <,4 s. Pro 0 kvů bude ted 4,0 s < 0 τ < 4,8 s. Tto meze jsou užší, ež doba jedoho kvu. Stačí ted spustt stopk a začátku lbovolého kvu a bez počítáí kvů je zastavt př ukočeí kvu po 4,0 sekudách. Na stopkách přečteme hodotu, apř. 4,4 s. Tím se zúží meze pro 0 kvů a bude 4, s < 0 τ < 4,6 s. Z toho pak pro 50 kvů 60,5 s < 50 τ < 6,5 s. Rozdíl mezí je opět meší ež doba jedoho kvu, takže zastaveím stopek po 60,5 sekudách dostaeme zase přesější určeí dob 50 kvů. Určl jsme 6, s. Tím se zúží meze pro 50 kvů a bude 6,0 s < 50 τ < 6,4 s. Pro 00 kvů bude ted,0 s < 00 τ <,8 s. Rozdíl mezí je opět meší ež doba jedoho kvu, stačí ted spustt stopk a začátku lbovolého kvu a bez počítáí kvů je zastavt př ukočeí kvu po,0 sekudách. Ukočíme-l teď měřeí, je údaj 00 τ,4 s zaruče uvtř mezí ± 0, s:, s < 00 τ <,6 s. Z toho pro dobu jedoho kvu platí:, s < τ <,6 s, ebol τ (,4 ± 0,00) s. Výhodou metod je, že můžeme určt dobu velkého počtu opakovaých dějů bez jejch přesého počítáí. Podstatou podmíkou použtí této metod ovšem je, abchom voll je takový ásobek, ab rozdíl mezí ásobku bl meší ež velkost měřeého tervalu.. METODY ZPRACOVÁNÍ MĚŘENÍ a) Iterpolace je početí postup, kterým můžeme určt velkost měřeé velč, odpovídající daé výchlce měřcího přístroje, zjstíme-l dvě výchlk,, odpovídající dvěma zámým hodotám, téže velč tak, ab platlo < <. V malém rozmezí výchlek lze závslost výchlk a měřeé velčě pokládat za leárí a musí ted platt: a + b, a + b () a tak a + b. () 3

3 Vloučeím kostat a, b obdržíme pro velkost měřeé velč terpolačí vztah: + ( ). (3) Teto postup se azývá leárí terpolace a je zázorě a obr.. Leárí terpolac budeme používat př vážeí a tlumeých aaltckých vahách. Protože je pracé vvážt předmět závažím přesě do výchlk ezatížeých vah ( ), vvážíme předmět ějakým závažím ( ) do výchlk a stupc ( ) a přdáme (ebo ubereme) malý přívažek ( ) tak, ab ové závaží ( ± ) způsoblo výchlku ( ) a druhé straě stupce. Hmotost vážeého předmětu (závaží, odpovídající výchlce ) určíme pak terpolací ze vztahu (3). Další terpolačí metodou, kterou budeme používat, je terpolace grafcká. Zjšťujeme závslost výchlk měřcího přístroje (ebo odpovídající fzkálí velč) a měřeé velčě pro řadu zámých hodot měřeé velč. Tuto závslost (emusí být leárí!) veseme do grafu a bod proložíme křvkou. Velkost měřeé velč odpovídající zjštěé výchlce potom odečítáme z grafu. Nutou podmíkou je dodržeí zásad pro kostrukc grafu (vz čláek 3, kaptola III). b) Metoda skupová Patří mez metod, jmž provádíme vrováí aměřeých hodot. Obvkle se používá ke staoveí parametrů, obsažeých ve fukčí závslost dvou měřeých velč. Dosadíme aměřeé hodot obou velč do předpokládaého vztahu. Vzklé rovce rozdělíme a tolk skup, kolk je ezámých parametrů. V každé skupě sečteme všech rovce a vdělíme jejch počtem. Obdržíme soustavu tolka rovc, kolk parametrů hledáme a jejím řešeím dostaeme přblžě hodot hledaých parametrů. Postup ukážeme a příkladu leárí fukce. Máme dvojc aměřeých hodot velč, a víme, že ebude obecě platt současě všech rovc a + b,,,...,. (4) Dvojce odpovídajících aměřeých hodot, seřadíme podle velkost velč a rozdělíme a dvě skup I a II o I a II měřeích,,,..., I ; I +,..., I + II, pro sudé je I II, pro lché I II +. Sečteme rovce (4) v obou skupách a vdělíme jejch počtem. Ozačíme-l průměr aměřeých hodot v obou skupách: I I I ; ; ;, (5a) I II I II I II I + I II I + dostaeme pro přblžé hodot a 0, b 0 kostat a, b dvě rovce: I a0 I + b0 ; II a0 II + b0, (5b) jejchž řešeím obdržíme: a ; b II I I II II I 0 0 II I II I Obr. Leárí terpolace. (6) 4

4 Zbývá rozhodout otázku přesost určeí kostat a 0, b 0. Dosadíme je do odchlkových rovc a0 + b0 (7) a vpočteme středí kvadratcké chb jedoho měřeí v každé skupě s ( ) ( ) (I) (II) I ; sii I II. (8) Ab ejstota určeí kostat a 0, b 0 bla ejmeší, musí platt si sii. Nejsou-l tto hodot alespoň přblžě stejé, posueme rozhraí obou skup tak, ab pokud možo počet měřeí v I. skupě I a počet měřeí v II. skupě II bl v poměru příslušých směrodatých odchlek I : II s I : s II. Pro ejstot kostat a 0, b 0 můžeme pak odvodt vztah: u a0 s s + I II II I I II ; s s ub + 0 I II II I II I I II. (9) V případě, že v leárím vztahu dvou velč určujeme pouze jedu kostatu a 0 (b 0 0), stačí sečíst všech hodot závsle proměé a vdělt součtem všech hodot ezávsle proměé : a 0. (0) c) Metoda postupá Tato metoda je vhodá pro měřeí, která se vícekrát opakují a kde koečá hodota jedoho měřeí je počátečí hodotou měřeí ásledujícího. Její prcp spočívá v početím zpracováí aměřeých údajů. Používá se obecě v těch případech, kd měřeí postupuje po stejých hodotách měřeé velč a aměřeé hodot tvoří přblžě artmetckou posloupost. Tak je tomu u perodckých časových měřeí ebo př staoveí vlové délk stojatého vlěí v rezoátoru. Máme ted aměřeých hodot,,..., a velkost měřeé velč odpovídá rozdíl dvou po sobě jdoucích hodot a + -, kde,,..., -. Kdbchom za ejsprávější hodotu velč vzal artmetcký průměr hodot (jak to děláme v případě opakovaých měřeí), dostaeme hodotu průměru ( ) ( 3 )... ( ) + + +, () jež je ezávslá a všech ostatích aměřeých hodotách kromě prví a posledí. Přesější výsledek získáme, rozdělíme-l po sobě jdoucí aměřeé hodot a dvě polov (počet aměřeých hodot musí být ted sudý!) a utvoříme rozdíl prvích, druhých 5

5 až posledích měřeí v obou skupách. Je-l v každé polově m / hodot, udává každý z těchto rozdílů Y m + -,,,..., m m-ásobou hodotu měřeé velč. Zpracujeme-l teď velč Y statstck, dostaeme: m m ( Y Y) ;, () Y Y Y u m m m ( ) kde je stejoměrě vužto všech aměřeých hodot. Pro středí hodotu měřeé velč pak bude platt: Y ; u uy m m. (3) Protože ejstota velč (vz kap. IV), staoveá z průměru (), je řádově stejá jako u, Y lze postupou metodou staovt přesější výsledek měřeí, jak je patro ze vztahu (3). Uvedeý postup lustrujeme a příkladu měřeí vlové délk stojatého vlěí v rezoátoru (Tabulka č.) Tabulka č.. A B C 5+ Y λ 5 λ ( Y ) ( Y ) ( ) ( ) (cm) (cm) (cm) (cm) (cm) (cm) (cm) (cm) 4,3 53,6 49,3-0,04 0,6 0-9,5-0,3 9,6 0-3,8 63,5 49,7 0,36,96 0-9,9 0,09 0, ,7 73,3 49,6 0,6 6,76 0-0, 0,9 8, ,8 8,5 48,7-0,64 40,96 0-9,4 0,4 6, , 9,6 49,4 0,06 0,36 0-0,4 0,59 34, ,6 9,9 0,09 0, ,5 9,8-0,0 0, ,3 9, -0,6 37, ,5 0 9,6 0, 0,9 8,4 0-9 Σ 46,7 6, 0-88,3 6, Y 49,34 cm, u Y 0,75 cm λ 9,74 cm, u λ 0,07 cm λ 9,8 cm, u 0,3 cm λ 9,6 cm, u λ 0,6 cm 9,6 0,3 cm ( 9,74± 0,07) cm λ ( ± ) V část A tabulk jsou uvede aměřeé hodot; rozdíl po sobě jdoucích hodot odpovídá délce půlvl λ/. Naměřeé hodot jsou rozděle a dvě polov, zapsaé vedle sebe. V část B jsou tto hodot zpracová postupou metodou a v část C pro srováí postupem (vz rovce ()). 6

6 d) Zprostředkující měřeí - metoda ejmeších čtverců U těchto měřeí půjde o zjštěí ejpravděpodobějších hodot ěkolka fzkálích velč ebo kostat fzkálích zákoů, jejchž souvslost s měřeým velčam může být dáa růzým způsobem, a které vedle toho mají ěkd splňovat jsté podmík. Vjádříme-l souvslost mez měřeým a hledaým velčam matematckým vztahem a dosadíme-l do tohoto vztahu aměřeé hodot, dostaeme tzv. určující rovce. Počet určujících rovc je vžd větší ež počet ezámých, a protože měřeí je zatížeo ejstotam, eestují takové hodot hledaých velč, které b splňoval všech určující rovce současě. Hledáme proto ejpravděpodobější hodot staovovaých velč. Řešeí podobých úloh se azývá vrováváí měřeí a je založeo a metodě ejmeších čtverců. Prcp vrováí měřeí metodou ejmeších čtverců objasíme a ásledujícím příkladu: Provedl jsme měřeí velč a tak, že hodotě odpovídá hodota (,,..., ); ( může být apř. teplota a ěkterá velča, závslá a teplotě; pak začí hodotu, kterou dostaeme měřeím př daé teplotě ). Předpokládáme, že mez velčam a platí fukčí vztah a + b, (4) počet měřeí > a máme určt ejpravděpodobější hodot kostat a, b. Kdb př měřeí evzkal chb, platlo b pro jedou dvojc kostat a, b a pro všecha měřeí přesě a + b a všech bod (, ) b ležel a přímce daé rovcí (4). Ve skutečost platí a + b + ejstota. Bod (, ) jsou kolem přímk a + b rozptýle. Měřeí pak můžeme vjádřt rovcí a + b + u,,,...,, (5) kde u, u,..., u jsou ejstot měřeí, které považujeme za áhodé velč. Rovce (5) jsou určující rovce a úlohou je proložt bod (, ), (, ),..., (, ) přímku, tj. určt kostat a, b tak, ab přímka co ejlépe přléhala k emprckým bodům (, ). Kostat, které tuto podmíku splňují, ozačíme a *, b * a jejch určeí závsí a tom, jaké zvolíme krtérum pro "přléhavost přímk k bodům". * * Metoda ejmeších čtverců požaduje, ab součet čtverců rozdílů a b bl ejmeší: * * ( ) S a b. (6) Podmík etrému S S 0 0 (7) * * a b představují tzv. ormálí rovce, které po provedeí azačeých parcálích dervací a úpravě zapíšeme ve tvaru * * + * * + a b (8) a b 7

7 8 Řešeím rovc (8) dostaeme pro daý počet epermetálích bodů (, ) ejpravděpodobější hodot kostat a *, b * : Σ a b. (9) Velča S ve vztahu (6) se azývá chbový součet čtverců. Pomocí í vpočteme středí odchlku jedoho měřeí : p S s, (0) kde p představuje počet staovovaých velč (kostat), v ašem případě p. Výraz -p je počet stupňů volost. Pro stadardí ejstot kostat a, b, můžeme odvodt vztah: a s u, b s u. () Pozámka : Neí-l mez měřeým velčam leárí vztah, lze ěkd vhodou substtucí jejch souvslost "learzovat" a pak použít vrováí měřeí pro tto ové proměé, apř. : Y a log X + b, X log X Y a X + b ; Y a X + b, X X a X + b ; Y e ax + b, Y l Y Y a X + b ; apod. 3. GRAFICKÉ ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ Grafcké zpracováí výsledků měřeí jedoduchým způsobem posktuje ázorou představu o provedeém měřeí závslost dvou fzkálích velč. Př měřeí závslost f () obdržíme bodů (, ), které slouží ke kostrukc grafu a svým rozložeím azačují průběh křvk. Často můžeme předpokládat plulý průběh jevu a tím spojtou změu parametrů fzkálí soustav. V pra však často pozorujeme př kostrukc grafu určtý rozptl bodů získaých měřeím. Proto každou závslost, která má zřejmě plulý průběh, zázoríme jedoduchou hladkou křvkou. Křvku evedeme přímo

8 aměřeým bod (výjmkou je korekčí křvka, která je tvořea lomeou čarou), ale mez bod tak, ab algebracký součet odchlek jedotlvých bodů od křvk bl rove 0. Pokud se stae, že jeda ebo více aměřeých hodot jsou zatíže chbou, která přesahuje možou ejstotu měřeí, a je-l v daém oboru vloučea áhlá změa průběhu sledovaé závslost, lze tto odchlk vsvětlt pouze hrubou chbou. Takové bod z grafu vecháme, případě, zjstíme-l hrubou chbu jž v průběhu měřeí, v těchto bodech měřeí opakujeme. Hlaví zásad grafckého zobrazeí.. K sestrojeí grafů použjte buď mlmetrový, logartmcký č semlogartmcký papír ebo vužjte možost počítačového zpracováí.. Pokud graf kreslíte tužkou, použjte pravítko a křvítko. Čár a křvk kd ekreslete od ruk! 3. Základem grafu jsou souřadé os. Na každou osu veste vhodě zvoleou rovoměrou stupc, zahrující rozsah aměřeých hodot. Měřítko volte takové, ab ejstota odečítáí z grafu bla meší, ež ejstota určeí zázorňovaé velč. Dílk stupc vzačte krátkým kolmým rskam, k mž přpojíte číselý údaj vě os. Os popšte smbol příslušých velč a jejch jedotkam. 4. Př kresleí grafu f () hodot ezávsle proměé vášejte zásadě a osu, hodot závsle proměé a osu. Souřadce bodů odpovídajících aměřeým hodotám a osách a v grafu evzačujte! 5. Zakreslete všech bod, z chž je graf kostruová, a to křížkem, kroužkem apod. Těmto bod pak proložte plulou křvku tak, ab procházela co ejblíže jedotlvých bodů. 6. Graf musí mít v záhlaví adps, vjadřující, jaká závslost je grafem zobrazea. 7. Zásad uvedeé v bodech 3 až 6 dodržujte v případě, že graf kostruujete a počítač. Vzorový graf je uvede a obr.. I (A) I f (U),0 0,8 0,6 0,4 0, 0, U (V) Obr.. Závslost proudu a apětí př regulac potecometrem (R Z ) 9