Odhad funkce přežití

Transkript

1 Acta Oecoomica Pragesia, roč 5, č, 2007 Oha fukce přežití Jaa Kahouová * Přemětem zámu meto aalýzy přežití e sleováí určitého evu a aých obektech Tomuto evu bueme říkat selháí, i kyž se emusí ve všech přípaech eat o egativí uálost Metoy aalýzy přežití se zabývaí aty hootami áhoé veličiy X, která přestavue obu o výskytu určitého evu obu o počátku výzkumu o selháí Tyto metoy se zpočátku využívaly zeméa v meicíě a pro áhoou veličiu X se vžil termí oba života ebo oba přežití Využití těchto meto e však aleko širší, apř ve stroíreství můžeme sleovat obu o poruchy ěakého zařízeí Otu také pochází alterativí ázev teorie spolehlivosti V tomto tetu bueme ezáporou áhoou veličiu X azývat oba o poruchy Přepokláeme, že začeme pozorovat obektů steého typu, přičemž eperimet e orgaizová tak, že pozorováí zače u všech obektů ve steém okamžiku t = 0 a pozorováí bueme prováět tak louho, oku všechy obekty ebuou mít poruchu Takto získáme úplý áhoý výběr, který tvoří ezávislé áhoé veličiy X, =, 2,, přestavuící skutečé oby o poruchy u eotlivých obektů V moha přípaech se eá o louhý časový horizot a z techických či ekoomických ůvoů emůžeme provést eperimet až o koce Musíme tey vhoě rozhoout o ukočeí pozorováí V tomto přípaě ostaeme eúplý cezorovaý áhoý výběr, ky máme úplou iformaci e u r < pozorováí Pole toho aká pravila si staovíme pro ukočeí pozorováí, pracueme s růzými moely cezorováí Cezorováí typu I Při cezorováí typu I e pozorováí ukočeo v přeem určeém okamžiku T > 0 Číslo T e tzv časový cezor Jeá se zřemě o cezorováí časem Tímto postupem získáme prvích r pozorováí pořákových statistik X() X(2) K X( r) T, X( r) T X ( r + ) O zbývaících r obektech víme pouze to, že u ich e skutečá oba o poruchy větší ež T, tz X (), = r +, r + 2,, sou cezorovaá pozorováí * Doc Ig Jaa Kahouová, CSc; Katera statistiky a pravěpoobosti, Fakulta iformatiky a statistiky, VŠE v Praze, kahou@vsecz 36

2 Jaa Kahouová Oha fukce přežití Cezorováí typu II Tak ako v přeešlém přípaě všech obektů vstupue o pozorováí současě Cezorováí typu II e cezorováí poruchou Je přeepsá počet poruch r, r Doba trváí eperimetu e oba o poruchy r-tého obektu X (r) Opět ze máme úplou iformaci u prvích r pozorováí X X K X, () (2) ( r ) o ostatích víme, že sou větší ež X (r) Náhoé cezorováí V tomto přípaě sleueme obu o poruchy X a časový cezor T Ozačíme ako áhoou veličiu W = mi(x, T ), =, 2,, U tohoto typu cezorováí epřepoklááme, že všech obektů vstupue o eperimetu současě Náhoá veličia T, =, 2,, pak přestavue obu o cezorováí u -tého obektu Přepoklááme, že áhoé veličiy X a T sou ezávislé Dále zaveeme veličiu C, tzv cezorovací ie, který ám poskytue iformaci o tom, za se eá o skutečou obu o poruchy ebo obu o cezorováí V přípaě, že pozorováí e v čase T ecezorovaé, bue C = a W = X U cezorovaých pozorováí bue C = 0 a W = T Výslekem eperimetu bue yí vourozměrý áhoý výběr s prvky (W, T ), =, 2,, Fukce přežití a alší formy popisu rozěleí oby o poruchy Uvažume ezáporou áhoou veličiu X spoitého typu přestavuící obu o poruchy s istribučí fukcí F( ) = P( X ) () a s hustotou pravěpoobosti f(), přičemž ve všech boech, ke eistue erivace istribučí fukce e f ( ) = F( ) (2) Fukce F() uává pravěpoobost, že v itervalu (0, oe k poruše Fukce přežití, resp fukce spolehlivosti S() vyařue pravěpoobost, že v itervalu (0, k poruše eoe S ( ) PX ( ) F ( ) ft ( ) t = > = = (3) Tyto i alší fukce bueme uvažovat e a itervalech (0, ), protože eich hooty a itervalu (, 0) sou vzhleem k ezáporosti áhoé veličiy X zřemé Např pro < 0 e F() = 0, S() = 37

3 Acta Oecoomica Pragesia, roč 5, č, 2007 Uveeé fukce sou vě ekvivaletí vyářeí rozěleí ezáporé spoité áhoé veličiy Je možo použít i alší fukce ako apř fukci rizikovou Riziková fukce r() e efiováa vztahem r ( ) = lim P ( X< + X ), > 0, > 0 (4) 0 Z efiice pomíěé pravěpoobosti ostaeme f( ) r ( ) =, S ( ) > 0 (5) S ( ) Protože f ( ) = [ ( )] [ ( )], S = S bue r ( ) ( ) ( ) l ( ) S = S = S (6) Výraz r() uává přibližě pravěpoobost poruchy ve velmi krátkém časovém itervalu (, + ) pomíěou bezporuchovým provozem po obu Fukci r() můžeme iterpretovat ako riziko poruchy za eotku času (ebo také ako itezitu poruch) během procesu stárutí Oha fukce přežití Je-li zámo, že pravěpoobostí rozěleí oby o poruchy e popsáo fukcí F(, Θ) ke Θ = [ Θ, Θ2, K, ΘP ] e vektor ezámých parametrů, a ichž toto rozěleí závisí, pak oha fukce přežití staovíme obvykle a záklaě ohau parametru Θ Přepokláeme, že ako moel rozěleí oby o poruchy použieme eoparametrické epoeciálí rozěleí s hustotou pravěpoobosti -λ f( ; λ) = λe, > 0, λ > 0, (7) = 0 iak Fukce přežití v boě, t pravěpoobost, že zařízeí bue pracovat bez poruchy po obu alespoň rovou λ S ( ) = e (8) K ohau parametrické fukce S() e možo také použít Raovu-Blackwellovu větu (viz apř []) Vyeme z eouchého estraého ohau 38

4 Jaa Kahouová Oha fukce přežití U = pro X, = 0 pro X < a staovíme úplou postačuící statistiku pro λ V = X =, která má rozěleí Gama s parametry a λ Nelepším estraým ohaem fukce S() e pak statistika ϕ(v), pro kterou platí ϕ( V) = E( U v) = P X X = v, t = ϕ( V) = pro X, X = = = 0 pro X < = U výběrů většího rozsahu lze použít maimálě věrohoé ohay Pro maimálě věrohoý oha parametrické fukce γ ( Θ) = γ ( Θ, Θ2, K ΘP ) platí ˆ( γ Θ, Θ, KΘ ) = γ( Θˆ, Θˆ, K Θˆ ) (9) 2 P 2 P Z rozěleí f(; Θ) pořííme úplý áhoý výběr X = [ K ] Věrohoostí fukce při aém = [ ] =, 2, K, má tvar X, X,, X 2 L( ; Θ) = f( ; Θ ) (0) Maimálě věrohoý oha Θ ˆ = Θˆ ˆ ˆ, Θ2,, Θ K P ostaeme řešeím soustavy věrohoostích rovic l L( ; Θ) = 0, k =, 2, K P () Θ k Nyí bueme uvažovat eúplý áhoý výběr, který tvoří áhoě cezorovaá pozorováí Přepoklááme, že X a T sou ezávislé spoité áhoé veličiy Rozěleí áhoé veličiy X závisí a vektorovém parametru Θ a e popsáo istribučí fukcí F, resp hustotou pravěpoobosti f a rozěleí áhoé veličiy T závisí a vektorovém parametru Θ 2 a e popsáo istribučí fukcí G, resp hustotou pravěpoobosti g Je možo okázat, že rozěleí áhoého vektoru (W, C) má hustotu pravěpoobosti 39

5 Acta Oecoomica Pragesia, roč 5, č, 2007 c { [ ]} { [ ]} hwc (, ) = f( w) Gw ( ) gw ( ) Fw ( ), w> 0, c= 0, (2) Pak věrohoostí fukce při aém výsleku eperimetu bue c { } { } c c 2 = 2 = 2 = = = L( wcθθ,,, ) L( ΘΘ, ) hw (, c; ΘΘ, ) f( w) Gw ( ) g( w) F( w) Ozačíme možiu ieů ecezorovaých pozorováí ako R a možiu cezorovaých pozorováí ako Z Jak bylo iž výše řečeo, estliže R, pak c = a estliže Z, pak c = 0 Po alších úpravách věrohoostí fukce bue L( Θ, Θ 2) = f( w ) F( w) g( w) G( w) R Z Z R Ozačíme L( Θ) = f( w) F( w), R Z L2( Θ2) = g( w) G( w) Z R Jestliže rozěleí uvažovaých veliči ezávisí a společých parametrech a mezi Θ a Θ 2 eeistue fukčí závislost, ostaeme maimálě věrohoé ohay řešeím soustavy rovic l L( Θ) = 0, k =, 2, K P (4) Θ k Celý postup ilustrueme opět a eouchém příklaě eoparametrického epoeciálího rozěleí s hustotou pravěpoobosti (7) V přípaě úplého áhoého výběru bue věrohoostí fukce (0) L( ; λ) = λ ep λ = a řešeím věrohoostí rovice () = 0 ˆ e λ = ˆ λ = =, > 0 = Pole vztahu (8) bue maimálě věrohoý oha fukce přežití S ˆ( ) = ep (3) 40

6 Jaa Kahouová Oha fukce přežití Při áhoě cezorovaém výběru využieme (3) a ( ) e λw e λw L λ λ = R Z Ozačíme počet prvků možiy R ako R, takže ( ) R e λw e λw L λ λ = R Pak rovice (4) R w = 0 ˆ λ = ává výsleek ˆ λ = R w = Z a oha fukce přežití ˆ R S( ) = ep w = Uvažume yí áhoý výběr X, X 2,, X z rozěleí, ehož tvar ezáme Na záklaě realizace tohoto áhoého výběru chceme ohaout istribučí fukci F() Dobrým ohaem e empirická istribučí fukce, kterou bueme začit Fˆ ( ) Empirickou istribučí fukci efiueme ako fukci, která kažému přiřazue relativí četost pozorováí meších ebo rových Ozačíme-li M počet veliči X, které splňuí erovosti X, pak ˆ M ( ) F = (5) Zřemě platí, že Fˆ ( ) = 0, < X() =, X( ) < X( + ), =, K,, (6) =, X ( ) Empirická istribučí fukce e schoovitá fukce, e rova 0 pro všecha < X (), e rova / pro všecha X () < X (2), at To zameá, že e kostatí v itervalech ˆ má iskotiuitu X (), X (+) ) se skokem / v kažém boě X (), v ěmž fukce ( ) F 4

7 Acta Oecoomica Pragesia, roč 5, č, 2007 Veličia M ˆ = F ( ) má biomické rozěleí s parametry a π = F() Pro střeí hootu, resp rozptyl áhoé veličiy, řekěme X, použieme obvyklé symboly E(X), resp D(X) Pak zřemě platí EM ( ˆ ) = E F( ) = F ( ), DM ( ) ˆ = D F( ) = F ( )[ F ( )], takže E Fˆ ( ) = F ( ), (7) ˆ F( ) [ F( ) ( ) ] D F = (8) Fukce F ˆ ( ) e tey estraým ohaem istribučí fukce F() a protože F( ) [ F( ) ] lim = 0, (9) e fukce F ˆ ( ) také ohaem kozistetím Z Moivreovy-Laplaceovy věty plye, že pro má áhoá veličia Fˆ ( ) F ( ) F( ) F( ) [ ] asymptotické ormálí rozěleí N(0;) Obobě můžeme postupovat i pro áhoě cezorovaá ata Nechť oby o poruchy X, X 2,, X tvoří áhoý výběr ze spoitého rozěleí s istribučí fukcí F a oby o cezorováí T, T 2,, T přestavuí áhoý výběr ze spoitého rozěleí s istribučí fukcí G Náhoé veličiy X, T sou ezávislé V přípaě áhoého cezorováí pozorueme hooty veliči W = mi(x, T ) a hooty cezorovaého ieu C, =, 2,, Z těchto hoot pak proveeme oha istribučí fukce F, resp fukce přežití S áhoých veliči X, X 2,, X Jeá se o určitou moifikaci empirické istribučí fukce F ˆ ( ), resp empirické fukce přežití S ˆ ( ) ˆ = F( ) Nechť W (), W (2),, W () e uspořáaý áhoý výběr ob o poruchy ebo cezorováí Vzhleem k tomu, že F, G sou fukce spoité, astae s pravěpoobostí ea W () < W (2) < < W () Ozačíme ako C (i) =, W (i) e ecezorováo, = 0, W (i) e cezorováo (20) 42

8 Jaa Kahouová Oha fukce přežití Pak oha fukce přežití má tvar C() ˆ( ) i S=, W( ), i: W( i ) Yi = 0, > W, ke Y i e počet obektů, které pozorueme těsě pře uálostí v čase W (i), tey Y = i+, i=, 2, K, i ( ) Vztah (2) e tzv Kaplaův-Meierův oha fukce přežití V literatuře se můžeme setkat s růzými alterativími tvary tohoto ohau V přípaě, že při eperimetu eastae žáé cezorováí, t C() = C(2) = K = C( ) =, pak osazeím o (2) ostáváme Sˆ( ) = i: W ( i ) i+ (22) a Kaplaův-Meierův oha se zeouší a empirickou fukci přežití S ˆ ( ) (2) Závěr Aalýza přežití přestavue skupiu meto, které půvoě sloužily pro aalyzováí at získaých při laboratorích výzkumech živočichů ebo při kliických stuiích lií Využití e však aleko širší Kromě stroíreství, ke se používá alterativí ázev aalýza spolehlivosti, ochází ke začému rozšířeí těchto meto i o takových oborů ako e sociologie, marketig, poišťovictví apo Jeou z forem popisu pravěpoobostího rozěleí áhoé veličiy oby o výskytu určité uálosti e fukce přežití Obsahem čláku sou možosti ohau této fukce v přípaě úplého i eúplého áhoého výběru Jsou ze uveey možosti ohau za přepoklau určitého pravěpoobostího moelu rozěleí sleovaé áhoé veličiy i ea z možostí eparametrického ohau fukce přežití Některé postupy sou ilustrováy a eouchém přípaě, ky přepoklááme epoeciálí moel pravěpoobostího rozěleí uvažovaé áhoé veličiy Literatura [] ANDĚL, J, 978: Matematická statistika Praha, SNTL/Alfa, 978 [2] FLEMING, T R HARRINGTON, D P, 99: Coutig Processes a Survival Aalysis New York, Joh Wiley a Sos, 99 [3] HURT, J, 984: Teorie spolehlivosti Praha, SPN, 984 [4] LEE, E T, 992: Statistical Methos for Survival Data Aalysis New York, Joh Wiley,

9 Acta Oecoomica Pragesia, roč 5, č, 2007 [5] LIKEŠ, J MACHEK, J, 98: Počet pravěpoobosti Praha, SNTL, 98 [6] LIKEŠ, J MACHEK, J, 983: Matematické statistika Praha, SNTL, 983 [7] MILLER, Jr, R G, 98: Survival Aalysis New York, Joh Wiley, 98 Oha fukce přežití Jaa Kahouová Abstrakt Aplikace aalýzy at o přežití (survival ata) zazameala velký rozvo a metoy aalýzy přežití se rozšířily z oblasti biomeicíy a techiky o řay alších oborů Problému ohau pravěpoobostího rozěleí oby o výskytu určitého evu v přípaě, ky sou k ispozici cezorovaá ata, e věováa začá pozorost V tomto čláku se zabýváme možostmi ohau fukce přežití za růzých situací Jestliže esme ochoti čiit parametrické přepoklay o přesé formě pravěpoobostího rozěleí oby o selháí a oby o cezorováí, ale sme ochoti přepokláat eich ezávislost, pak e vhoé využít Kaplaův-Meierův oha, který, kromě iých vhoých vlastostí, e kozistetí Klíčová slova: aalýza přežití; fukce přežití; cezorovaá pozorováí Estimatio of Survival Fuctio Abstract I the past ecae applicatios of the statistical methos for survival ata aalysis have bee etee beyo biomeical a reliability research to other fiels The term survival ata has bee use i a broa sese for ata ivolvig time to a certai evet such a failure, respose, eath a so o Survival times are subecte raom variatios a like ay raom variable, they form a istributio The ability to estimate a survival istributio i the presece of cesorig is importat a has bee stuie etesively This paper is cocere with estimators of survival fuctio If oe is ot willig to make parametric assumptios about the eact form of the uerlyig survival a cesorig istributios but is willig to assume iepeece betwee survival a cesorig variables, Kapla a Meier provie a estimator which is cosistet, amog other esirable properties Key wors: survival aalysis; survival fuctio; cesore observatios 44