VYUŽITÍ CITLIVOSTNÍ ANALÝZY V ELEKTROTECHNICE A ŘÍDÍCÍ TECHNICE - II

Transkript

1 8 Informčné utomtizčné technológie v ridení kvlity produkcie Vernár, VYUŽIÍ CILIVONÍ ANALÝZY V ELEKROECHNICE A ŘÍDÍCÍ ECHNICE - II KÜNZEL Gunnr Abstrkt Příspěvek nvzuje n předchozí utorův článek rozšiřuje pojetí citlivostní nlýzy o stvové citlivostní funkce Bodeho Horowitzovu citlivostní funkci ve frekvenční oblsti. Je uveden nlytická metod výpočtu citlivostní funkce pomocí zpětné Lplceovy trnsformce. Metodik určování citlivostních rovnic je prezentován n pěti úlohách z elektrotechniky řídící techniky umožňuje získávt citlivostní modely přímo v prostředí MALAB - imulink. Klíčová slov Dynmický systém, citlivostní funkce, citlivostní model Úvod Dynmický systém může být chrkterizován modelem v čsové nebo frekvenční oblsti, přípdně vhodným kritériem jkosti regulce. Podle této klsifikce uvžujeme citlivostní funkce : v čsové oblstí (npř. ve stvovém prostoru) b) ve frekvenční oblsti c) kritéri kvlity regulce Budeme se zbývt pouze přípdy, b). Přímá metod hledání výstupní nebo stvové citlivostní funkce vede ke složitým výpočtům. Proto byl vyprcován řd metod, které umožňují nlézt citlivostní funkce jednodušeji buď řešením pomocí integrální Lplceovy trnsformce nebo dříve nlogovou nyní číslicovou simulcí pomocí tzv. citlivostního modelu. Pro lineární systémy s jedním vstupem výstupem, řzené z sebou v kskádě, pltí, že celkový přenos je zchován, i když změníme pořdí bloků. o vede k metodě tzv. citlivostních bodů. Nejprve zřdíme celý nominální model, n jeho výstup citlivostní model spojky, které byly mezi nominálním citlivostním modelem zřdíme mezi vybrné tzv. citlivostní body citlivostního modelu výstupní svorky pro měření citlivostních funkcí. Vzhledem k neznlosti detilů konkrétních postupů citlivostní nlýzy se při nlýze syntéze regulčních obvodů doporučuje opkovt příslušné výpočty experimenty několikrát s pozměněnými prmetry sledovt lespoň vliv jejich změn. Vhodnou pomůckou je přitom progrm sisotool v MALABu. Mteriál metody tvová citlivostní funkce je definován obdobně jko výstupní citlivostní funkce [4]. Rovnice x = f ( x, u,, t ) () nechť má pro dné vektory u, počáteční podmínky x(o) = x o řešení vyjádřené funkcí x = x(, t ). Potom výrz x x = pro = const. () předstvuje citlivostní funkci stvové trjektorie, někdy oznčovnou jko citlivostní mtice.

2 8 Informčné utomtizčné technológie v ridení kvlity produkcie Vernár, Zde je vhodné se zmínit o tzv Miller-Murryově klsifikci prmetrů systémů, která rozlišuje prmetry:.) lf, což jsou prmetry systémů, jejichž uvžovná změn nezmění řád systému b.) bet, což jsou počáteční podmínky systému c.) lmbd, což jsou prmetry systému, jehož odchýlení od nominální hodnoty λ = mění řád systému. kové prmetry je vhodné uvžovt npř. při zjednodušování modelů, znedbávání rozptylových indukčností pod. Chyby, způsobené změnou prmetrů lmbd bývjí v litertuře nzývány též singulárními perturbcemi. Citlivostní rovnice jejich modely byly již definovány v utorově práci [4]. Bližší postupy včetně určování tzv. citlivostních bodů jsou uvedeny npř. v [, ]. Bodeho citlivostní funkce je typickou funkcí ve frekvenční oblsti. Je definován jko reltivní citlivostní funkce přenosu G podle sklárního prmetru. ln G( G( G = = pro = konst. (3) ln G( kde p je operátor Lplceovy trnsformce. to citlivostní funkce může být obecně rozšířen n citlivostní změny subsystému G (p), zvného vribilním komponentem. ln G G G G G = = pro G = konst. (4) ln G G G Ve frekvenční oblsti je též definován tzv. Horowitzov citlivostní funkce, jež pltí pro libovolně velké přírůstky sledovného přenosu G jeho prmetru G G G H G = = (5) G G Pltí vět: Pro konkrétní zpětnovzební systém, který obshuje vribilní komponent v přímé větvi, je Bodeho Horowitzov citlivostní funkce totožná! Horowitzov citlivostní funkce přenosu uzvřeného zpětnovzebního obvodu F = G/( + GH) vzhledem k přenosu bloku G v přímé větvi (H je přenos zřzený ve zpětné vzbě z výstupu n vstup bloku G) je dán výrzem F F H F G = = (6) G G + G H což odpovídá přenosu regulční odchylky. tejný výrz pltí i pro Bodeho citlivostní funkci. Ve funkcích sisitool rltool v MALABu je možno vykreslit frekvenční chrkteristiku podle rov. (6) pomocí příkzů menu ools => Loop Responses => Others => ensitivity. V dlším textu ukážeme nlytický výpočet citlivostní funkce pomocí Lplceovy trnsformce (z předpokldu nulových počátečních podmínek). Pro lineární systémy pro něž pltí ( t, = G( U ( p) (7) y L - - { } kde y( t, je výstupní veličin, G je přenos systému U(p) je Lplceův obrz vstupní veličiny. Pro výstupní citlivostní funkci pltí y y( t, = = L - - { G( U ( p) } pro = konst. (8) G H

3 8 Informčné utomtizčné technológie v ridení kvlity produkcie Vernár, Je-li možno změnit nvzájem operce integrce v inverzní Lplceově trnsformci prciální derivce, pk y = L - - G( U ( p) = L - - { G U ( p) } pro = konst. (9) Vzhledem k definici přenosu Y(p) = G(p)U(p) je možno pro jediný sklární prmetr G vyjádřit citlivostní funkci pomocí Bodeho citlivostní funkce = L - - { G, Y ( ) } () y Změnu integrce derivce je možno provést.) pro prmetry lf bez omezení b.) pro prmetry lmbd jen tehdy, mjí-li dodtečné kořeny, vzniklé zvětšením řádu záporné reálné části. Pro prmetry bet počáteční podmínky úloh nemá smysl. Výsledky diskuse Uvedenou metodiku získávání citlivostních funkcí předvedeme n několik vybrných úlohách z elektrotechniky z teorie řízení. Úloh. Určete výstupní citlivostní funkci, vzhledem.) k čsové konstntě = RC, b.) k odporu R pro psivní integrční RC obvod. (Obr. ) Nejprve určíme přenos Y ( p) G ( p) = = ; bsolutní citlivostní funkcí je tedy U ( p) p + Obr. chém RC obvodu p G = () ( p + ) Jde o prmetr lf, je tedy možno změnit integrci prciální derivci rov. (9). Doszením obdržíme t y = L - - p t e = () ( p + ) p uto citlivostní funkci lze též vyjádřit grficky. Podle prvidel pro citlivostní funkce [] pltí, že citlivost vzhledem k R je t y y tc RC R = R = e (3) ( R C) Úloh. Určete citlivostní rovnici vzhledem k prmetru pro Vn der Polovu nelineární diferenciální rovnici II. řádu, popisující npř. elektronický oscilátor s kvziperiodickým chováním. y ( y ) y + y = (4) ento systém má jeden rovnovážný stv v počátku jedno stbilní řešení, jehož tvr závisí n prmetru. Citlivostní rovnici Vn der Polov oscilátoru obdržíme provedením prciálních derivcí doszením do obecného tvru (vynecháváme indexy) ( y ) + ( y y + ) = ( y y (5) / )

4 83 Informčné utomtizčné technológie v ridení kvlity produkcie Vernár, Obě rovnice (4) (5) lze řešit v MALAB-imulinku lze tk získt jk řešení y(t, tk její citlivostní funkci (t) y Úloh 3. Určete citlivost Mthieovy diferenciální rovnice prmetrického oscilátoru vzhledem k úhlovému kmitočtu ω. Zdná M. diferenciální rovnice je y + ( cosω t) y = ; y() = b, y () = b (6) Po provedení příslušných derivcí je citlivostní rovnice + ( cosωt) = y ( t) t sinωt (7) Kde y (t) je řešení Mthieovy rovnice pro nominální hodnotu úhlového kmitočtu ω Úloh 4. Derivční dynmo je chrkterizováno rovnicí 3 u = u + bu + c kde u je npětí dynm, b konstnty chrkteristiky nprázdno c konstnt úměrná remnentnímu npětí. (8) Určete citlivost výstupního npětí u n prmetrech, b. Postup je vidět n obr.,b pojky mezi nominálním citlivostním modelem jsou znčeny písmeny Obr. Blokové schém pro výpočet výstupu u u u Obr. b Blokové schém pro výpočet výstupu u b Úloh 5. Určete čsové průběhy citlivostních funkcí u j (t) (j =,,,3) pro lineární servomechnismus s přenosem

5 84 Informčné utomtizčné technológie v ridení kvlity produkcie Vernár, Y ( p) b H ( p) = = 3 E( p) 3 p + p + p + (9) kde 3 =,5, =,5, =, = b =,4 Rovněž určete odezvu n jednotkový skok při změně prmetru =,. Diferenciální rovnici původního systému lze přímo zpst ze zdného přenosu,5y +,5y + y +,4y =, 4e () Příslušná citlivostní rovnice pro u prmetru má stejnou strukturu, le liší se prvou strnou tedy,5u +,5u + u +,4u = y( t) () Pro simulci řešení y (t), y (t), (které vznikne změnou o =,) citlivostních funkcí u (t) u 3 (t) lze využít blokových schémt, dříve využívných pro nlogové počítče. Převod do IMULINKu je sndný umožňuje získt grfické průběhy původního řešení y(t), perturbovného řešení y(t) všech citlivostních funkcí (obr. 3, 4, 5). Obr. 3 Blokové schém původní citlivostní rovnice Obr. 4 Průběh citlivostních funkcí u (t) u 3 (t)

6 85 Informčné utomtizčné technológie v ridení kvlity produkcie Vernár, Obr. 5 Čsové průběhy y (t), y (t) citlivostní funkce u (t) Závěr: Příspěvek zvádí citlivostní funkci ve stvovém prostoru Bodeho Horowitzovu citlivostní funkci ve frekvenční oblsti. Ke kždé diferenciální rovnici existuje též citlivostní diferenciální rovnice se stejnou strukturou liší se pouze prvou strnou. V pěti vybrných úlohách z elektrotechniky řídicí techniky je ukázáno, jk lze určovt citlivostní funkce citlivostní rovnice. Přístupy citlivostní nlýzy budou využity ve výuce při cvičeních předmětu Počítčové modelování dynmických soustv n ČZU F. Litertur:. John, J., ystémy řízení, ČVU, Prh 3, IBN Frnk, P.M., Introduction to ystém ensitivity heory, Acdemic Press, omovič, R., Vukobrtovič, M., Obščj teori čuvstvítělnosti, Moskv, Künzel, G., Citlivostní nlýz dynmických systémů I, Konference IK 5, PÚ Nitr, 5 Ing. Künzel Gunnr F ČZU Prh Ktedr elektrotechniky utomtizce Kmýcká 87, 65, Prh 6 uchdol