Internetová matematická olympiáda
|
|
- Magdalena Vávrová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Zadání a řešení úloh: Internetová matematická olympiáda. ročník 1. Letadlo letí z Brna do Londýna. Určete délku trajektorie letadla za předpokladu, že se pohybuje od začátku do konce v letové hladině km po ortodromě (tedy neuvažujeme žádné stoupání při startu ani klesání při přistání ani během letu). Poloměr Země necht je 671 km a souřadnice města Brna necht jsou s. š., v. d. a Londýna 51 0 s. š., z. d. Uved te postup řešení (přičemž je dovoleno a doporučeno použít vzorec pro výpočet středového úhlu ortodromy přímo z internetu) a výsledek uved te v kilometrech. Řešení příkladu 1: Ortodroma je nejkratší spojnice dvou bodů na kulové ploše. Označme souřadnice dvou krajních bodů hledané ortodromy jako B[ϕ 1, λ 1 ] a L[ϕ, λ ]. Potom pro středový úhel σ oblouku ortodromy mezi body B a L platí (viz například Wikipedii) σ arccos (sin ϕ 1 sin ϕ + cos ϕ 1 cos ϕ cos(λ λ 1 )). (1) Délka d oblouku mezi body B a L se pak spočítá jako d σ R, () pro úhel σ v radiánech a d π σ R, () 60 pro úhel σ ve stupních, kde R je poloměr kulové plochy. Převed me GPS souřadnice Brna a Londýna do jednotného formátu, například do stupňů a především si pohlídejme východní délku Brna a západní délku u Londýna. Potom B[ N; E]. B[49, 4 N; 16, 578 E] a L[51 0 N; W]. L[51, 501 N; 0, 14 E]. Po dosazení do rovnice (1) vyjde středový úhel mezi Brnem a Londýnem σ. 0, rad., 87. Po dosazení středového úhlu σ 0, rad a R km do rovnice () vyjde délka části ortodromy mezi Brnem a Londýnem v letové hladině km d. 0, , km. 111 km. 1
2 . Pro jaká n N, n nabývá výraz Řešení příkladu : log log... log n n nejmenší hodnoty? Považujme hodnoty zadaného výrazu za členy posloupnosti, kde obecný člen a n má pro n vyjádření a n log log... log n n. Pro lepší orientaci v situaci vyjádřeme několik prvních členů a, a, a 4,..., tedy a log, a log log log log a log, Obecně pro n platí a 4 log log log 4 log log log 4 4 a log 4,... a n a n 1 log n, kde a log. (4) Vzhledem k přítomnosti zlomku log n ve vyjádření (4), můžeme situaci analyzovat takto: a) Je-li hodnota zlomku log n < 1, potom platí a n < a n 1. b) Je-li hodnota zlomku log n 1, potom platí a n a n 1. c) Je-li hodnota zlomku log n > 1, potom platí a n > a n 1. Pro malé hodnoty n je log n < 1, tj. a > a >... a hraniční hodnoty log n 1 dosáhneme pro n. Z části b) plyne, že a 1 a. Pro n > je log n > 1, tj. a < a +1 <... Tedy nejmenší hodnoty nabývají hned dva členy posuzované posloupnosti, a to pro n 1 a pro n.. Uvažujme Slunce, Měsíc a Zemi v takové pozici, aby na Zemi bylo pozorovatelné úplné zatmění Slunce, viz rovinný schématický náčrtek na Obrázku 1. Určete graficky, která část roviny leží ve stínu Měsíce, uvažujeme-li rovinnou situaci, kde je dána kružnice s(s [0, 0]; R s 4 cm) demonstrující Slunce a kružnice m(m [, 0]; R m 1 cm) demonstrující Měsíc. Načrtněte řešení, zapište postup konstrukce, řešení narýsujte a plochu stínu vybarvěte. Obrázek 1: Schématický náčrtek pozice Slunce, Měsíce a Země při úplném zatmění Slunce
3 Řešení příkladu : Příklad vyřešíme pomocí stejnolehlosti, která patří mezi podobná zobrazení zachovávající rovnoběžnost. Zadání příkladu vyneseme do souřadného systému, viz Obrázek. Obrázek : K zadání příkladu Postup konstrukce: 1. K; K je libovolný vhodný bod na kružnici s. KS. K ; K m, K M KS 4. KK 5. O; O KK SM (O je střed stejnolehlosti kružnic s a m) 6. n; n je Thaletova kružnice nad SO 7. n ; n je Thaletova kružnice nad MO 8. T 1, T, T 1, T ; T 1, T, T 1, T jsou průsečíky Thaletových kružnic s kružnicemi s a m 9. T 1 O, T O. Plocha ve stínu Měsíce je oblast vybarveného křivočarého trojúhelníka T 1 T O, viz Obrázek Obrázek : Grafické řešení příkladu
4 4. Mějme přímku a : y 1 x a přímky b : y mx a c : y nx, kde m, n R. Uvažujme přímku b, která je rovnoběžná s přímkou b a je vzhledem k přímkce b posunutá o 7 jednotek v kladném směru osy x a přímku c, která je rovnoběžná s přímkou c a je vzhledem k přímce c posunutá o 5 jednotek v kladném směru osy y. Víme, že se přímky a, b, c protínají v právě jednom bodě. a) Necht m. Určete rovnici přímky c ve směrnicovém tvaru. b) V závislosti na parametru m určete rovnici přímky c ve směrnicovém tvaru. Řešení příkladu 4: ad a) Grafické řešení části a) příkladu 4 je znázorněno na Obrázku 4. Obrázek 4: K řešení části a) příkladu 4 Přímka b je dána ve směrnicovém tvaru y x. Vyjádříme-li ji ve tvaru x y, tak snadno získáme rovnici přímy b, která je vzhledem k b posunutá o 7 jednotek ve směru osy x, tedy b : x y + 7. Určíme souřadnice průsečíku P přímek a a b, pro jehož x-ovou souřadnici platí x 1 x + 7, 6x x + 4, x 6 a y-ová souřadnice průsečíku P je y 1 6. Přímka c je dána bodem P [6, ] a průsečíkem [0, 5] na ose y. Potom c : y kx + 5, P c : k 6 + 5, k 4, odkud c : y 4 x + 5 a hledaná přímka c má tedy směrnicový tvar c : y 4 x. 4
5 ad b) V případě, že uvažujeme směrnici přímky b za parametr m R, tak jen zobecníme postup uvedený v řešení části a) a pohlídáme přípustné hodnoty tohoto parametru. Vzhledem k tomu, že se přímky a a b mají protínat v jediném bodě, musí být různoběžné, tedy m 1. Rovnice přímky b zapíšeme ve tvaru b : x y m + 7 pro m 0 a b : y 0 pro m 0. α) Nejprve analyzujme situaci pro m 1 a současně m 0. Potom pro x-ovou souřadnici průsečíku přímek a a b platí x 1 x m + 7, mx x + 14m, 14m x m + 1 a y-ová souřadnice průsečíku je y 1 14m m + 1 7m m + 1. [ 14m Přímka c je tedy dána bodem m + 1, 7m ] a průsečíkem [0, 5] na ose y. Potom m + 1 c : y kx + 5, 7m k 14m m + 1 m , 7m 14mk + m + 5, k 17m m, odkud c : y 17m + 5 x + 5 a hledaná přímka c má tedy směrnicový tvar 14m c : y 17m m x. β) Pro m 0 je b : y 0 a průsečíkem přímek a a b je počátek [0, 0]. Přímka c je určena body [0, 0] a [0, 5], má tedy rovnici c : x 0 a přímka c je tedy přímkou bez směrnice. Potom přímka c by byla také přímkou bez směrnice, což je v rozporu se zadáním příkladu, kdy má mít přímka c směrnici n R. Tedy pro m 0 řešení neexistuje. 5. Na milimetrovém papíru je narýsován obdélník o stranách 7 04 mm, jehož strany leží na přímkách vyznačených na milimetrovém papíru. Sestrojíme úhlopříčku obdélníka a určíme všechny uzly milimetrové sítě na papíru, které leží přesně na této úhlopříčce. Na kolik částí je úhlopříčka těmito uzly rozdělena? Řešení příkladu 5: Poměr délky delší strany obdélníka ku kratší straně obdélníka je Prohlásíme-li levý dolní roh obdélníka za počátek souřadného systému s osami podél stran obdélníka, potom úhlopříčka vedená z tohoto počátku protíná právě uzly, které mají souřadnice [4k, k], kde k 0, 1,..., 04. Protože , tak je úhlopříčka tímto způsobem rozdělena uzly milimetrové sítě na 68 dílů. 4 5
6 6. Uvažujme funkci danou vztahem f(z) z množinu M {z C : z t + 0 i, kde 0 < t < 1} Určete množinu, na kterou tato funkce zobrazí z Poznámka: Komplexní číslo z a + bi, kde a, b R lze pomocí Eulerovy formule e iϕ cos ϕ + i sin ϕ zapsat ve tvaru z z e iϕ, kde číslo z a + b se nazývá modul a ϕ se nazývá argument (nebo také úhel) komplexního čísla z. Reálná mocnina komplexního čísla z je definována jako z r e r(ln z +iϕ), kde z C \ {0}, r R, ϕ ( π, π. Řešení příkladu 6: Množinu M si graficky znázorníme v komplexní rovině jako otevřenou úsečku na reálné ose. Tato úsečka jde z bodu [0, 0] do [1, 0] vyjma těchto bodů, viz Obrázek 5. Obrázek 5: Grafické znázornění zadané množiny M v komplexní rovině Obrazem bodů množiny M jsou body, které získáme dosazením komplexního čísla z t + 0 i do zadaného funkčního předpisu. Tedy 1 f(z) f(t + 0 i) (t + 0 i) 1 1 t + 0 i t 1t t t 1 t t t ( t t ) 1, což je r-tá mocnina, kde r 1, komplexního čísla t t. Podle definice r-té mocniny komplexního čísla z poznámky v zadání příkladu platí ( t t ) 1 e 1 (ln t t +iϕ). (5) V rovnici (5) je argumentem logaritmické funkce výraz t t. Pro 0 < t < 1 je hodnota t t < 0, tedy ln t t ln(t t ). Úhel ϕ je argumentem (úhlem) komplexních čísel t t, 0 < t < 1. Úsečka půjde z bodu [0, 0] do [ 1 4, 0] vyjma bodu [0, 0]. Tato čísla graficky znázorníme v komplexní rovině jako úsečku bez jednoho krajního bodu na reálné ose, viz Obrázek 6 a je vidět, že čísla t t, 0 < t < 1 mají argument ϕ π. Obrázek 6: Grafické znázornění množiny bodů t t, 0 < t < 1 Úpravou vztahu (5) dostáváme ( t t ) 1 e (ln(t t 1 1 )+iπ) e ln(t t) e i π (6) a použitím Eulerovy formule upravíme (6) na tvar ( t t ) 1 e ln t t ( cos π + i sin π ) t t i. Tedy pro 0 < t < 1 platí f(z) t t i a obrazem množiny M je úsečka s krajními body [0, 0] a [ 0, 1 ] na imaginární ose vyjma bodu [0, 0], viz Obrázek 7. 6
7 Obrázek 7: Grafické znázornění množiny bodů t t i, 0 < t < 1 7. Dokažte, že funkce f(x) ln tg ( 1 arccotgx) a g(x) ln x + x + 1 jsou si rovny. Poznámka: Funkce vznikly dvěma různými postupy užitými při integraci funkce 1 1+x dx. V prvním případě byla použita substituce x cotg t a v druhém případě substituce 1 + x t x. Ale ani integrace, ani použitá substituce nemá na princip řešení úlohy zásadní vliv. Řešení příkladu 7: Pokud víme, že dané funkce mají vazbu na integrál, tak by stačilo dokázat, že se rovnají jejich derivace a v jednom bodě nabývají stejné hodnoty. Tuto myšlenku ovšem opustíme, protože derivací vzniknou funkce, které jsou ještě méně hezké než zadané funkce a derivováním si opravdu vůbec nepomůžeme. Při řešení příkladu budeme tedy postupovat tak, že precizně dokážeme rovnost funkcí zadaných funkčními předpisy f(x) a g(x). Při dokazování rovnosti funkcí postupujeme ve dvou krocích: a) dokážeme, že funkce f(x) a g(x) mají stejné definiční obory, tedy že platí Dom f(x) Dom g(x), b) dokážeme, že pro všechna x z definičního oboru platí f(x) g(x). ad a) Nejprve tedy ověříme totožnost definičních oborů. Pro funkci f(x) musí platit tg ( 1 arccotg x) 1 0, arccotg x π + kπ, k Z, 1 arccotg x kπ, k Z, arccotg x π + kπ, arccotg x kπ, což je splněno pro každé x R, tedy Dom f(x) R. Definičním oborem funkce g(x) je zřejmě Dom g(x) R, protože x + 1 > x x pro každé x R. Tedy platí Dom f(x) Dom g(x). ad b) V dalším kroku ověříme rovnost funkčních předpisů f(x) g(x) pro x Domf(x), tedy platnost rovnosti ln tg ( 1 arccotg x) ln x + x + 1. Ekvivalentními úpravami dostáváme ln tg ( 1 arccotg x) ln x + x + 1, ln tg ( 1 arccotg x) ln x + x + 1 1, ln tg ( 1 arccotg x) 1 ln x+, x +1 ln tg ( 1 arccotg x) ln x x +1, tedy x (x +1) ln tg ( 1 arccotg x) ln x + 1 x, tg ( 1 arccotg x ) x + 1 x. (7) Zamysleme se nad tím, jaký k sobě mají vztah argumenty obou absolutních hodnot v rovnici (7). 7
8 [ Necht x R je libovolné. Bod existuje t (0, π) takové, že Obrázek 8: Jednotková kružnice k řešení příkladu 7 x, 1 x +1 x +1 cos t ] leží na jednotkové kružnici (viz Obrázek 8) a tudíž x x + 1, sin t 1 x + 1, ( ) 1 a proto cotg t x. Potom t arccotg x a tg arccotg x tg t sin t cos t. Použijeme-li vztahy sin t 1 cos t a cos t 1 + cos t, dostáváme tg ( 1 arccotg x) tg t sin t cos t 1 x x x x +1 1 cos t 1 cos t 1+cos t 1+cos t x x +1 x +1 x x +1 x x +1+x x +1+x x +1 x (x + 1 x) x + 1 x, nebot x + 1 > x x. Odtud vidíme, že rovnost (7) platí pro každé x R a funkce f(x) a g(x) jsou si tedy rovny. 8. Vybereme náhodně tři reálná čísla z intervalu 0, 1. Jaká je pravděpodobnost, že součet druhých mocnin těchto čísel bude menší nebo roven 1? Řešení příkladu 8: Úlohu vyřešíme pomocí geometrické definice pravděpodobnosti. Vybraná čísla označme x, y a z a chápejme je jako souřadnice bodu [x, y, z] v kartézské soustavě souřadnic Oxyz. Je zřejmé, že tento bod bude ležet v prvním oktantu (x 0, y 0, z 0) uvnitř krychle 0, 1 0, 1 0, 1, tj. krychle s hranou délky 1. Podmínka v zadání bude splněna tehdy, bude-li platit x + y + z 1. Tato nerovnost popisuje kouli s poloměrem 1 a středem v počátku soustavy souřadnic. V prvním oktantu leží 1 8 této koule. Hledanou pravděpodobnost nyní určíme jako podíl objemu oblasti obsahující body vyhovující podmínce v zadání a objemu oblasti obsahující všechny přípustné body, tj. P 1 8 4π 1 1 π 6. 0, 54 5, 4 %. 8
9 9. Pro jakou hodnotu koeficientu a mají mnohočleny x 4 +ax +1 a x +ax+1 stejný kořen? Zdůvodněte. Řešení příkladu 9: Označme zadané mnohočleny p(x) x 4 + ax + 1 a q(x) x + ax + 1. Dále označme společný kořen těchto mnohočlenů například symbolem α. Poznamenejme, že kořen mnohočlenu je číslo, pro které mnohočlen nabývá hodnoty 0, tedy platí p(α) α 4 + aα (8) a Platí tedy q(α) α + aα (9) p(α) q(α), α 4 + aα + 1 α + aα + 1, α(α + aα) α + aα, α 1, nebot z (9) plyne α + aα 1. Vidíme, že společným kořenem mnohočlenů p(x) a q(x) je α 1. Dosad me tento kořen například do mnohočlenu p(x), potom p(1) a a +. Vzhledem k tomu, že α 1 je kořenem, pak podle (8) také platí, že p(1) 0. Odtud vidíme, že a + 0, tedy hledaný koeficient a má hodnotu. Poznamenejme, že úlohu bylo možné řešit například i tak, že bychom hledali řešení soustavy nelineárních rovnic x 4 + ax + 1 0, x + ax a diskutovali bychom nad hodnotou parametru a.. Je dána funkce f(x) xe x. Zapište tuto funkci jako součet sudé funkce a liché funkce a o těchto funkcích dokažte, že jde skutečně o funkci sudou a funkci lichou. Řešení příkladu : Označme hledanou sudou funkci jako s(x) a lichou funkci jako l(x). Víme, že je-li funkce s(x) sudá, pak s( x) s(x) a je-li funkce l(x) lichá, pak l( x) l(x). Podle zadání má platit a z vlastností sudé, resp. liché funkce plyne platnost Po sečtení rovnice () a (11) platí odkud získáme funkční předpis pro sudou funkci xe x s(x) + l(x) () xe x s( x) + l( x) s(x) l(x). (11) s(x) xex xe x xe x xe x s(x), x ex e x Dosazením (1) do () získáme funkční předpis pro lichou funkci x sinh x. (1) l(x) xe x xex xe x xex + xe x x ex + e x x cosh x. (1) 9
10 Zápis funkce s(x) x sinh x a l(x) x cosh x je uvedený především pro zajímavost a rozšíření vašich obzorů. O funkci sinh x totiž víme, že je to funkce lichá, funkce cosh x je naopak funkce sudá a jejich definiční obory jsou všechna reálná čísla, tedy platí s( x) x sinh( x) x sinh x s(x) a s(x) je sudá funkce a l( x) x cosh( x) x cosh x l(x) a l(x) je lichá funkce. Pokud nevyužijeme zápisu pomocí hyperbolických funkcí, tak dokazujeme, že s(x) xex xe x je sudá funkce a funkce l(x) xex + xe x, že je lichá funkce. Definičním oborem funkce s(x), resp. l(x) jsou všechna reálná čísla, tedy pro každé x R i číslo x leží v definičním oboru funkce s(x), resp. l(x) a platí tedy funkce s(x) je sudá funkce, resp. s( x) xe x ( x)e ( x) xe x + xe x s(x), tedy funkce l(x) je lichá funkce. l( x) xe x + ( x)e ( x) xe x + xe x l(x), Sponzorem. ročníku soutěže Internetová matematická olympiáda je firma Humusoft - dodavatel systému pro technické výpočty a simulace MATLAB a Simulink. Informace o využití tohoto systému na středních školách najdete na webové stránce Multilicence typu PASS stojí Kč bez DPH/1 rok pro DPH/1 rok pro Slovensko. Českou republiku a 99 EUR bez
Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceFAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK
FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos
VíceCvičné texty ke státní maturitě z matematiky
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Úloha 1 1. a = s : 45 = 9.10180 45 = 9.101+179 45 = 9.10.10179
VíceFUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic
VíceMatematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze
Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
Více(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí
1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální
VíceModelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a
Více9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b
008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly
VíceObecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.
5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených
VíceP ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,
Více(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,
1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo
VíceMatematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )
Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VíceFunkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceJe založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =
0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si
VíceModelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a
VíceMatematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
Vícearcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.
Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál
VíceCvičné texty ke státní maturitě z matematiky
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................
VíceCVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4
VíceMATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti
MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVD2C0T0 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit
VícePříklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar
Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné
VícePavlína Matysová. 5. listopadu 2018
Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 7. prosince 2014 Předmluva
VíceÚlohy krajského kola kategorie A
62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,
VíceTeorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
VíceInternetová matematická olympiáda listopadu 2008
Internetová matematická olympiáda - 5. listopadu 008 ŘEŠENÍ ÚLOH 1. Obrazec na Obrázku 1 je složen z 44 čtverců o straně 6 mm. Bodem A veďte jedinou přímku, která daný obrazec rozdělí na dva obrazce o
VíceNejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.
U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek
VíceObsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti
VíceCVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 41 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán magický čtverec, pro nějž platí,
VíceMaturitní nácvik 2008/09
Maturitní nácvik 008/09 1. Parabola a) Načrtněte graf funkce y + 4 - ² a z grafu vypište všechny její vlastnosti. b) Určete čísla a,b,c tak, aby parabola s rovnicí y a + b + c procházela body K[1,-], L[0,-1],
VícePlanimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie 2. ročník a sexta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Planimetrie II. Konstrukční úlohy Charakterizuje
VíceMaturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
VíceM - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci
M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu ODK VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
VíceHledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
VíceKapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
VíceTeorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
VíceKapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
Více4.3.2 Goniometrické nerovnice
4 Goniometrické nerovnice Předpoklady: 40 Pedagogická poznámka: Nerovnice je stejně jako rovnice možné řešit grafem i jednotkovou kružnicí Oba způsoby mají své výhody i nevýhody a jsou v podstatě rovnocenné
VíceElementární křivky a plochy
Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin
VíceCyklografie. Cyklický průmět bodu
Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme
VíceLimita funkce. FIT ČVUT v Praze. (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39
Limita funkce FIT ČVUT v Praze 3.týden (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39 Definice funkce. Zobrazení (f, D f ), jehož definiční obor D f i obor hodnot H f je podmnožinou množiny reálných čísel, se nazývá
Více55. ročník matematické olympiády
. ročník matematické olympiády! " #%$'&( *$,+ 1. Najděte všechny dvojice celých čísel x a y, pro něž platí x y = 6 10.. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC o obsahu S a jeho vnitřní bod M. Označme po řadě
VíceFunkce - pro třídu 1EB
Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
VíceMatematická analýza I
Matematická analýza I Cvičení 1 (4. 10. 2016) Definice absolutní hodnoty. Řešení nerovnic s absolutními hodnotami. Geometrická interpretace řešení nerovnice x + 1 < 3. Komplexní čísla a operace s nimi,
Více4.3.3 Goniometrické nerovnice
4 Goniometrické nerovnice Předpoklady: 40 Pedagogická poznámka: Nerovnice je stejně jako rovnice možné řešit grafem i jednotkovou kružnicí Oba způsoby mají své výhody i nevýhody a jsou v podstatě rovnocenné
VíceÚlohy krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dán trojúhelník ABC s tupým úhlem při vrcholu C. Osa o 1 úsečky AC protíná stranu AB v bodě K, osa o 2 úsečky BC protíná stranu AB
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.
VíceA[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
VíceEuklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a
VíceKapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které
Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich
VíceShodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem
Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A
VícePřijímací zkouška na MFF UK v Praze
Přijímací zkouška na MFF UK v Praze pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2016, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VíceMatematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0
Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud
VíceMaturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
Více61. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Hradec Králové, března 2012
61. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie Hradec Králové, 5. 8. března 01 MO 1. Najděte všechna celá čísla n, pro něž je n 4 3n + 9 prvočíslo. (leš Kobza) Řešení. Zadaný výraz lze jednoduchou
VíceCVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku
VíceÚlohy klauzurní části školního kola kategorie A
6. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic y + 3x = 4x 3, x + 3y = 4y 3. 2. V rovině uvažujme lichoběžník ABCD se základnami
VíceAnalytická geometrie kvadratických útvarů v rovině
Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině V následujícím textu se budeme postupně zabývat kružnicí, elipsou, hyperbolou a parabolou, které souhrnně označujeme jako kuželosečky. Současně budeme
VíceFunkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
VíceMaturitní témata profilová část
Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,
VícePOŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY
TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy
VíceCVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23
CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :
VíceCVIČNÝ TEST 49. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 49 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Kolik hodnot proměnné a R existuje takových, že diference aritmetické
VíceMgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na bájný zikkurat tvaru komolého kolmého jehlanu s větší podstavou u země vede
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: graf funkce, derivace funkce a její
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
VíceOpakovací kurs středoškolské matematiky podzim
. Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim František Mráz Ústav technické matematiky, Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz I. Mocniny, odmocniny, algeraické výrazy Upravte (zjednodušte), případně určete číselnou
VíceMANUÁL K ŘEŠENÍ TESTOVÝCH ÚLOH
Krok za krokem k nové maturitě Maturita nanečisto 005 MA4 MANUÁL K ŘEŠENÍ TESTOVÝCH ÚLOH Matematika rozšířená úroveň Vážení vyučující! ředmětoví koordinátoři Centra pro zjišťování výsledků vzdělávání pro
Více2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:
KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku
VíceMgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje
VíceVZOROVÝ TEST PRO 2. ROČNÍK (2. A, 4. C)
VZOROVÝ TEST PRO. ROČNÍK (. A, 4. C) max. body 1 Vypočtěte danou goniometrickou rovnici a výsledek uveďte ve stupních a radiánech. cos x + sin x = 1 4 V záznamovém archu uveďte celý postup řešení. Řešte
VíceTěleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
VíceFunkce dvou a více proměnných
Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:
VíceMatematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32
Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Více6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
Více4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y
Více1. Písemka skupina A...
. Písemka skupina A.... jméno a příjmení Načrtněte grafy funkcí (v grafu označte všechny průsečíky funkce s osami a asymptoty). y y sin 4 y y arccos ) Určete, jestli je funkce y ln prostá? ) Je funkce
VíceX = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 24 Příklad (25 bodů) Spočtěte Studijní program: Studijní obor: Matematika Finanční a pojistná matematika Varianta A M x 2 dxdy, kde M = {(x, y) R 2 ;
VíceFunkce, elementární funkce.
Kapitola 2 Funkce, elementární funkce. V této kapitole si se budeme věnovat studiu základních vlastností funkcí jako je definiční obor, obor hodnot. Připomeneme si pojmy sudá, lichá, rostoucí, klesající.
VícePatří mezi tzv. homotetie, tj. afinní zobrazení, která mají všechny směry samodružné.
11 Stejnolehlost Patří mezi tzv. homotetie, tj. afinní zobrazení, která mají všechny směry samodružné. Definice 26. Budiž dán bod S a reálné číslo κ (různé od 0 a 1). Stejnolehlost H(S; κ) se středem S
VíceMATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel
MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní
VíceUrčete a graficky znázorněte definiční obor funkce
Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceCVIČNÝ TEST 6. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21
CVIČNÝ TEST 6 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Každý z n žáků jedné třídy z gymnázia v Přelouči se
VíceMaturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008
Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE
PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VíceII. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.
Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,
VíceMezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b,
Elementární funkce Mezi elementární komplení funkce se obvykle počítají tyto funkce:. Lineární funkce Lineární funkce je funkce tvaru f(z) az + b, kde a a b jsou konečná komplení čísla. Její derivace je
Více