Střední průmyslová škola zeměměřická GEODETICKÉ VÝPOČTY. 2. část. Ing. Danuše Mlčková

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Střední průmyslová škola zeměměřická GEODETICKÉ VÝPOČTY. 2. část. Ing. Danuše Mlčková"

Transkript

1 Středí průmslová škola zeměměřická GEODETICKÉ VÝPOČTY. část Ig. Dauše Mlčková

2 Úvod Tet avazuje a. část, je urče pro studet. až 4. ročíku středích průmslových škol se zaměřeí a geodézii. Jedá se o přepracovaou učebici Geodetické počtářství do elektroické podob s ohledem a deší techické vbaveí a platé předpis. Ozačováí vužívaé v tetu je vsvětleo u jedotlivých kapitol. Teto tet bude dle potřeb průběžě aktualizová.

3 Obsah:. Výpočet výměr Výpočet výměr výpočet rozkladem výpočet ze souřadic Vrováí hraice vrováí hraice bodem vrováí hraice daým směrem Děleí pozemků Trigoometrické určováí výšek Odvozeí zeitové vzdáleosti Určeí výšk předmětu předmět s patou přístupou předmět s patou epřístupou Určeí admořské výšk bodu Vliv zakřiveí Země a refrakce a výškové rozdíl Vrovávací počet Charakteristik měřických chb Charakteristik přesosti měřeí Vlastosti ahodilých chb Základ vrovávacího počtu Vrováí pozorováí přímých stejé váh Vrováí pozorováí přímých estejé váh Měřické dvojice Příklad

4 . Výpočet výměr Pod pojmem výpočet výměr rozumíme určeí ploch mohoúhelíků, které jsou obrazem jedotlivých pozemků. Výpočet lze provádět rozkladem a jedoduché geometrické obrazce, jejichž obsah počítáme podle vzorců. Při zalosti souřadic všech lomových bodů vužíváme výpočet výměr ze souřadic (L` Huillierov vzorce). Na základě zámých ploch provádíme potom apř. vrováí hraice a děleí pozemků... Výpočet výměr... výpočet rozkladem Určovaý obrazec vhodě rozdělíme a trojúhelík, lichoběžík a čtřúhelík; vpočteme ploch jedotlivých obrazců a sečteme. Zpravidla počítáme dvojásobou plochu a teprve výsledý součet dělíme. Přehled vzorců: obsah trojúhelíka: P = a v a = b v b = c v c P = a b si b c si a c si c si si P = si a b c P = ss a s bs c, kde s P = a b (pravoúhlý trojúhelík) obr.- 4

5 obsah lichoběžíka: P = z z v, kde z, z jsou základ; v je výška P = obr.- Pokud jsou bod a opačých straách měřické přímk (tzv. zvrhlý lichoběžík) dosadíme jedu kolmici se zamékem (záporou). Vpočteme rozdíl ploch B' a B', tj. plochu DCB'. obr.-3 obsah čtřúhelíka: P = u v u v u v v (obr.-4) P = ).( ).( 3 (obr.-5) 3 obr.-4 obr.-5 5

6 Rozklad složitějších obrazců provedeme dvojím způsobem:. poecháme rozděleí, které vtvoří kolmice z měřeí obr.-6 Výpočet se skládá z výpočtu ploch trojúhelíka a lichoběžíků.. dělicí čáru vedeme z bodu a obvodu a patu kolmice ásledujícího bodu a opět a ásledující bod a obvodu obr.-7 Výpočet se skládá z výpočtu ploch trojúhelíků a čtřúhelíků. Příklad.: Vpočtěte výměru obrazce ohraičeého lomeou hraicí až 6, měřickou přímkou a kolmicí bodu 6 (obr.-8 a obr.-9). obr.-8. P = 5, ,76 5,86 3,67 4,93 88,49 50,76 33,5 3, 67,70 88,49 3,84 33,5 55,48 9,70 5,33 3, 84 P = 4 330,85m ,7067m 6

7 obr.-9. P = 50,76 4,93 88,49 5,86 3,67 9,70 50,76 33, 5,48 88,49 3,84 55,48 9,70 5, ,7067m P = 4 330,85m Pokud leží bod po obou straách měřické přímk, volíme při výpočtu rozkladem ploch po jedé straě kladé a po druhé záporé (vlevo kladé, vpravo záporé). Příklad.: Vpočtěte plochu mohoúhelíka při měřické přímce -6 (obr.-0). obr.-0. P = 0,54 6,07 54,09 0,54 30,67 6,07 88,54 54,09 30,67 34, 6 9,75 88,54 9,8 34,6 55,45 9,75 9, 8-7,950 m P = -356,48 m. P = 54,09 6,07 88,54 0,54 30,67 9,75 54,09 34, 6 55,45 88,54 9, 8-7,950 m P = -356,48 m 7

8 Příklad.3: Vpočtěte výměru pozemkové parcel č. 3 (obr.-). obr.- U bodů, 4 při výpočtu zvrhlého lichoběžíka je kolmice záporá, protože leží vě uzavřeého obrazce.. P = 37,83 8,9 9,94 0,53 75,56 37,83 6,90 9, 94 04,48 75,56 6,56 6,90 04,48 89,09 7,68 6, 56 89,09 68,6 7,68 5,38 68,6 3,47 5,38 7, 3,47,45 7, 7,8,45 8,9 7,8 0,53 = 8 384,5967 m P = 4 9,30 m obr.-. P = 37,83,45 0,53 75,56 8,9 9,94 04,48 37,83 6, 90 89,09 75,566,56 04,48 68,6 7,68 89,09 3,475, 38 68,6,45 7, 3,47 8,97, 8= 8 384,5967 m P = 4 9,30 m 8

9 ... výpočet ze souřadic Pokud jsou vrchol mohoúhelíka zadá pravoúhlými souřadicemi, lze pro výpočet použít L` Huillierov vzorce. Odvodíme je pomocí ploch lichoběžíků vtvořeých hraicemi mohoúhelíka a souřadicovou osou +X. obr.-3 obr.-4 obr.-5 9

10 P = P ''+ P 33''+P 344'3' P 4'4' P = po vásobeí P = souči se stejými ide se odečtou a ostatí můžeme uspořádat ejprve podle, pak podle podle : P = ; a obecě lze pro -úhelík psát P = ; [.] kde podle : P = ; a obecě lze pro -úhelík psát P = ; [.] kde Z odvozeí vplývá, že ; ; tto rovice použijeme při číselém výpočtu ke kotrole. 0 0 Při číselém výpočtu je třeba dodržovat základí pravidla: ) výpočet provádět s vhodě redukovaými souřadicemi (redukce emá vliv a výsledek) ) obrazec musí být uzavřeý, předepsaý ve směru pohbu hodiových ručiček 3) při předpisu proti pohbu hodiových ručiček vjde obsah záporý 4) je-li obrazec v růzých kvadratech, emá to vliv a zaméko ai velikost obsahu, pokud dodržíme pravidlo ) 5) při předpisu pro číselý výpočet je vhodé po uzavřeí obrazce zopakovat ještě další bod pro výpočet souřadicových rozdílů,,3,4,, 0

11 Příklad.4: Vpočtěte výměru mohoúhelíka (obr.-6). ) zobrazte zadaé bod ve vhodém měřítku, souřadice vhodě redukujte ) předepište obrazec po směru pohbu hodiových ručiček 3) vpočtěte výměru mohoúhelíka Bod Y X , , , 04 43, , , , ,3 Y redukujeme o m, X redukujeme o m a zvolíme vhodé měřítko pro zobrazeí : 5000 Bod Y X 50,76 4,87 345, 43, ,73 89, ,78 36,3 obr.-6 Obrazec předepíšeme po směru pohbu hodiových ručiček, uzavřeme a pro sadější výpočet zopakujeme ještě druhý bod.

12 Bod Y X 50,76 4, ,78 36, ,73 89,33 345, 43,54 50,76 4, ,78 36,3 Bod Y X 50,76 4, ,78 36, ,73 89,33 345, 43,54 50,76 4, ,78 36,3 Vpočteme dvojásobou plochu pomocí L Huillierových vzorců rovice [.], [.] P = P = P = 36,3 475,73 50,76 89,33 345, 64,7843,54 50,76 475, 73 4,87 64,78 345, 5 33,847 m P = 64,78 4,87 89,33 475,73 36,3 43,54 345, 89,33 4, 87 50,76 43,54 36, ,847 m P = 6 67 m Výsledek dvojásobé výměr musí být v obou případech stejý, vpočteme výměru a tu zaokrouhlíme a m. Obsah zvrhlých mohoúhelíků obrazec popíšeme po obvodě, část I ( ) je předepsáa ve směru pohbu ručiček hodiových obsah vjde kladý; část II ( ) je předepsáa proti směru pohbu ručiček hodiových obsah vjde záporý. L Huillierov vzorce dávají hodotu I+II (tj. rozdíl ploch I a II). obr.-7

13 Do měřické přímk vložíme osu +, osu + určíme podle zásad pro orietaci os, předepíšeme obrazec při měřické přímce -8 (obr.-8) a L Huillierovými vzorci vpočteme výměru I+II. obr.-8 Bod Bod 0,00 0,00 0,00 0,00 4,86 5,83 4,86 5,83 3 3,38 5,3 3 3,38 5,3 4,54 73,54 4,54 73,54 5 0,00 89,3 5 0,00 89,3 6-7,96,06 6-7,96,06 7-4,68 33,64 7-4,68 33,64 8 0,00 55,45 8 0,00 55,45 0,00 0,00 0,00 0,00 4,86 5,83 4,86 5,83 P = - 446,8576 m P = - 446,8576 m P = -73,43 m P = -73,43 m Příklad.5: Vpočtěte výměru mohoúhelíka při měřické přímce -7 (obr.-9). obr.-9 3

14 Bod Bod 0,00 0,00 0,00 0,00 9,6 9,4 9,6 9,4 3 8,9 54, 3 8,9 54, 4 3,6 6, 4 3,6 6, 5-9,9 94,94 5-9,9 94,94 6 4, 3,33 6 4, 3,33 7 0,00 45,5 7 0,00 45,5 0,00 0,00 0,00 0,00 9,6 9,4 9,6 9,4 P = -655,5406 m P = -655,5406 m P = -87,77 m P = -87,77 m Příklad.6: Vpočtěte výměru parcel 0 (obr.-0). obr.-0 Bod Bod 0,00 0,00 0,00 0,00 -,7 56,4 -,7 56,4 3-7,5, 3-7,5, 5 0,00 38,6 5 0,00 38,6 4 5,6 74,34 4 5,6 74,34 0,00 0,00 0,00 0,00 -,7 56,4 -,7 56,4 P = 4 886,4863 m P = 4 886,4863 m P = 443,4 m P = 443,4 m 4

15 Příklad.7: Vpočtěte výměru parcel 03 ze souřadic v S-JTSK (obr.-). Bod Y X 73 94, , , , , , , , , ,9 Souřadice pro výpočet redukujeme Y 0 = m; X 0 = 0 500m a bod zobrazíme. obr.- Bod Y X Bod Y X 34,6 48,8 34,6 48,8 407,9 74,4 407,9 74,4 3 05,66 33, 3 05,66 33, 4 74,4 6, ,4 6, ,96 39,9 5 39,96 39,9 34,6 48,8 34,6 48,8 407,9 74,4 407,9 74,4 P = 7 044,99 m P = 7 044,99 m P = 35 5,50 m P = 35 5,50 m Výpočet provádíme vžd pro kotrolu podle obou vzorců. 5

16 Pozámka: L Huillierov vzorce lze upravit i jiým způsobem a ejprve pouze souči sečíst a potom odečítat. Výpočet je bez kotrol. P = P = Obě rovice dávají shodý výsledek ukázka a příkladu.4. Výpočet je ted bez kotrol. Bod Y X Bod Y X 50,76 4,87 50,76 4, ,78 36,3 4 64,78 36, ,73 89, ,73 89,33 345, 43,54 345, 43,54 50,76 4,87 50,76 4,87 P = 50,76 43,54 345, 89,33 475,73 36,3 64,78 4, 87 4,87 345,43,54 475,73 89,33 64,78 36,350, 76 = 5 33,847 m P = 6 67 m 6

17 .. Vrováí hraice Je potřeba ahradit lomeou hraici mezi pozemk hraicí přímou tak, ab se výměra pozemků ezměila. Předpokládáme, že hodota směňovaých částí pozemků je stejá. Požadujeme, ab ová hraice procházela zvoleým bodem ebo měla daý směr. Úkolem je vpočítat vtčovací prvk pro vtčeí ové přímé hraice v teréu. Při výpočtu vtčovacích prvků poecháme výměru a celý počet desetiých míst, abchom zajistili požadovaou přesost prvků (prvk desetiá místa plocha 4 desetiá místa).... vrováí hraice bodem Lomeou hraici zaměříme a vhodě zvoleou měřickou přímku, která vchází ze zadaého bodu a prochází přibližě místem ového rozděleí. Postup výpočtu si vsvětlíme a příkladu. Příklad.8: Vpočtěte vtčovací prvk pro vtčeí přímé hraice mezi pozemk a (obr.-). Postup výpočtu: obr.- ) vpočteme L Huillierovými vzorci výměru mohoúhelíka určeého vrchol až 7 ) při kladém výsledku je větší plocha po levé straě měřické přímk, proto ová dělicí hraice bude a přímce 78; při záporém výsledku je větší plocha po pravé straě měřické přímk, proto ová dělicí hraice bude a přímce 79; při ulovém výsledku je měřická přímka ovou dělicí hraicí 3) výměra mohoúhelíka je stejá jako výměra trojúhelíka M7 4) vpočteme vtčovací prvk pro bod M (výšku v, tj. kolmici MM ', staičeí M ', délku 7 M, případě 8 M po původí hraici a délku M ové hraice (pro výpočet vužíváme podobost trojúhelíků) 5) kotrolě vpočteme výměru trojúhelíka M7 6) pokud záme všech lomové bod parcel, vpočteme kotrolě výměr parcel původí i ové 7

18 P M7 = 7 v ; P MM' v ; 7 MM' 78' 7M' ; 88' 78 7M MM' ; 88' M M' MM' pro kotrolu 7M MM' 7M' ; P M7 = 7 MM ' Číselý výpočet: Bod 0,00 0,00 -,48 5,6 3 4, 9,84 4 6,4 4,7 5-3,6 74, 6-5,63 97,79 7 0,00 6,39 0,00 0,00 -,48 5,6 P = 888,688 m P = 944,3 m 888,688 MM' v = 4,94 m 6,39 4,94 6,75 7M' = 7,67 m 3,6 4,94 36,70 7M = 6,8 m pro kotrolu 3,6 7 M 4,94 7,67 = 6,79 m M ' 7 7M ' = 6,39 + 7,67 = 34,06 m M 34,06 4,94 = 34,89 m P M7 = 6,39 4,94 = 888,666 m P M7 = 944,3 m 8

19 ... vrováí hraice daým směrem Lomeou hraici zaměříme a vhodě zvoleou měřickou přímku, která má požadovaý směr ového rozděleí a prochází přibližě místem ového rozděleí. Postup výpočtu si opět vsvětlíme a příkladu. Příklad.9: Vpočtěte vtčovací prvk pro vtčeí přímé hraice mezi pozemk 3 a 3, která má být kolmá k cestě p.č. 4 (obr.-3). Postup výpočtu: obr.-3 ) vpočteme L Huillierovými vzorci výměru mohoúhelíka určeého vrchol až 8 ) při kladém výsledku je větší plocha po levé straě měřické přímk, proto ová dělicí hraice bude a přímce 80; při záporém výsledku je větší plocha po pravé straě měřické přímk, proto ová dělicí hraice bude a přímce 89; při ulovém výsledku je měřická přímka ovou dělicí hraicí 3) výměra mohoúhelíka je stejá, jako výměra lichoběžíka 8PM 4) lichoběžík ahradíme obdélíkem o základě 8 5) vpočteme výšku v', délku hraice MP a z výměr a základe vpočteme výšku v. 6) pokud jsou v' a v rozdílé vpočteme zovu MP a ovou výšku v. 7) pokud se výšk v požadovaé přesosti eliší, vpočteme vtčovací prvk pro bod P ( tj. kolmici v PP', staičeí P ', délku ové hraice MP, délku 8 P, případě 9 P po původí hraici (pro výpočet vužíváme podobost trojúhelíků) 8) stejým způsobem postupujeme i u bodu M, v ašem příkladu je pata kolmice M' totožá s bodem 9) kotrolě vpočteme výměru lichoběžíka 8PM 0) pokud záme všech lomové bod parcel, vpočteme kotrolě výměr parcel původí i ové 9

20 . výpočet: P 8PM = 8 v' ; P MM' PP' v' ; 8 PP' 89' 8P' ; MP 8-8P' ; 99' P 8PM = 8 MP v ; MM' PP' ásleduje. výpočet: P v 8 MP ; PP' 89' 8P' ; 99' PP' 89 8P ; pro kotrolu 99' 8P PP' 8P' ; MP 8-8P' ; P 8PM = 8 MP PP' Číselý výpočet: Bod 0,00 0,00 4,97 0,00 3,83 8,7 4-0,08 4,56 5-5,03 6,06 6 7,03 70, 7 5,06 88,3 8 0,00 96,48 0,00 0,00 4,97 0,00 P = -306,97 m P = -53,486 m. výpočet: 53,486,59 9,54 MM' PP' v',59 m; 8P' 0,49 m; 96,48 3,09 MP 96,48-0,49 95,99 m. výpočet: MM' PP' v 306,97 96,48 95,99,59 m,59 9,54,59 3,50 8P' 0,49 m; 8P,66 m; MP 96,48-0,49 95,99 m; 3,09 3,09 59 P 8PM = 96,48 95,99, = 306,073 m P 8PM = 53,0 m 0

21 Příklad.0: Vpočtěte vtčovací prvk ové přímé hraice mezi pozemk 3 a 3. Hraice bl zaměře ze staoviska 400 polárí metodou s orietací a bod (úhl v míře setié). Lomeou hraici až 7 ahraďte hraicí přímou, která vchází z bodu (obr.-4). obr.-4 Tp úloh Číslo bodu staičeí vzdáleost kolmice vodorový úhel ,3 0,00 45,04 9,04 3 9,3 6, ,73 33, ,8 79, ,08 63, ,49 45, ,74 6, ,97 96, ,7 368,00 73,38 38,55 5,4 7, ,37 80,4 4 70,73 7,48 Poz. Výškový úhel

22 Postup výpočtu: ) zvolíme souřadice staoviska 400 (000,00; 5000,00) ) osu vložíme do směru 400- a vpočteme souřadice bodů až 4 3) vpočteme L Huillierovými vzorci výměru mohoúhelíka až 7 4) plocha je kladá, ová hraice bude a přímce 74 5) z bodu vpočteme polárí prvk (délku, směrík) pro bod 7, 4 6) vpočteme ortogoálí vtčovací prvk pro bod 7, 4 od přímk 7 převodem polárích souřadic a pravoúhlé 7) vpočteme výšku trojúhelíka 7M 8) podobostí trojúhelíků vpočteme vtčovací prvk pro bod M 9) vpočteme souřadice bodu M 0) vpočteme výměr pozemků 3 a 3 původí i ové Číselý výpočet: Bod vzdáleost vod.směr směrík (m) (g) (g) , ,00 76,3 0,00 00, ,3 5000,00 45,04 9,04 9,04 043, ,74 3 9,3 6,045 06,045 09,4 4998,8 4 6,73 33,663 3, ,56 506,35 5 6,8 79, , ,3 5058, ,08 63,56 363,56 958, , ,49 45, ,668 93, , ,74 6,596 36,596 94, , ,97 96, , , , ,7 368,00 68,00 065, 5035,53 73,38 38,55 38,55 060, ,6 5,4 7,340 7,340 0, ,87 3 5,37 80,4 80,4 975,86 499, 4 70,73 7,48 37,48 93,8 508,8 Souřadice redukujeme a vpočteme výměru mohoúhelíka až 7. Bod 76,3 00,00 43,04 86,74 3 9,4 98,8 4 03,56 6, ,3 58, ,79 63,95 7 3,56 58,83 76,3 00,00 43,04 86,74 P = 40,4838 m P = 70,49 m

23 Výpočet ortogoálích vtčovacích prvků pro bod 4 Bod s (m) σ (g) staičeí kolmice 076,3 5000,00 0,00 0, , ,83 55,33 34,78 55,33 0, ,8 508,8 45,7 308,45 40,86-37,3 40,4838 9,4 4,47 MM' v = 9,4 m 7M' = 3,54 m 55,33 37,3 9,4 40,05 7M = 9,8 m pro kotrolu 7M 9,4 3,54 = 9,80 m 37,3 M ' 7 7M ' = 55,33 3,54 = 5,79 m M 5,79 9,4 = 5,06 m Vpočteme souřadice bodu M Bod s (m) σ (g) 7 93, , ,8 508,8 40,0 0,77 M 9,80 0,77 93, ,03 parcela 3 parcela 3 Bod Bod 76,3 00,00 76,3 00,00 60,59 58,6 43,04 86,74,30 53,87 3 9,4 98,8 3 75,86 9, 4 03,56 6,35 4 3,8 8,8 5 80,3 58,95 7 3,56 58, ,79 63, ,79 63,95 7 3,56 58, ,3 58,95 8 4,50 86, ,56 6, ,83 66,84 3 9,4 98,8 0 65, 35,53 43,04 86,74 76,3 00,00 76,3 00,00 43,04 86,74 60,59 58,6 P = 34,867 m P = 0065,647 m P = 6557,43 m P = 503,8 m 3

24 Bod Bod 76,3 00,00 76,3 00,00 60,59 58,6 M 3,38 49,03,30 53,87 7 3,56 58, ,86 9, 8 4,50 86,34 4 3,8 8,8 9 95,83 66,84 M 3,38 49, , 35,53 76,3 00,00 76,3 00,00 60,59 58,6 M 3,38 49,03 P = 35,863 m P = 0064,6008 m P = 6557,93 m P = 503,30 m Rozdíl ve výměře parcel je způsobe zaokrouhleím vtčovacích prvků a cm. 4

25 .3. Děleí pozemků Velmi častou úlohou je při úpravách a majetkových převodech pozemků rozděleí tak, ab děleí vhovovalo předem zadaým podmíkám (oddělovaá část má daou výměru, dělicí hraice má určitou polohu). V teréu je potřeba ejprve celý pozemek zaměřit, vpočítat výměru a tu porovat s výměrou uvedeou v katastru emovitostí. Rozdíl O P = P KN P V esmí překročit mezí odchlku u MP pro dvojí určeí výměr (apř. u MP = 0,5 P ). Mezí odchlka je staovea podle měřítka a tpu mapových podkladů v zájmovém prostoru a způsobu určeí výměr. V současé době jsou v katastru emovitostí uvede výměr s kódem kvalit 0,, (0 grafický způsob, z přímo měřeých měr, ze souřadic). Mapové podklad mohou být aalogové, digitalizovaé ebo digitálí. Podle tpu podkladu porováváme výměru z KN s výměrou vpočteou. Mezí odchlk pro dvojí určeí ploch jsou uvede v příloze 4 vhlášk 6/007 Sb. U oddělovaých částí uvádíme do KN výměru z vpočteých hodot. Vtčovací prvk ové hraice počítáme vžd z výměr vpočteých z měřeí. Příklad.: Rozdělte pozemek 54 a stejé části tak, ab ová dělicí hraice bla kolmá a strau AB. Výměra uvedeá v KN je 4570 m, kvalita 0, aalogová mapa v měřítku :000. obr.-5 Postup výpočtu: ) vpočteme výměru ABC, porováme s výměrou z KN. ) kotrolě vpočteme oměré 3) vpočteme výměru ACC a BCC 4) z podobosti BDD a BCC vpočteme DD ' ; BD '; BD 5) kotrolě vpočteme výměr 54/ a 54/. 5

26 Číselý výpočet: P ABC = AB CC' = 8,03 7,35 = 934,9405 m P = 4567,47 m O P = 4570 m 4567 m = 3 m u MP = 0, = 9 m O P < u MP kotrolě vpočteme oměré AC = BC = 7,6 7,35 = 76,38 m; Os = -0,04 m 00,77 7,35 = 3,48 m; Os = 0,04 m P ABC = AC' CC' = 7,6 7,35 = 945,00 m P = 97,50 m P BCC = C' B CC' = 00,77 7,35= 789,9395 m P = 3594,97 m oddělovaá část = P54 = 83,74 m (54/, 54/) P DD ' 54 = CC' P BCC' ; DD ' = P P 54 BCC' CC' ; DD ' = P P 54 BCC' CC' ; DD ' = 56,87 m P BD ' 54 = BC' P BCC' ; BD ' = P P 54 BCC' P54 BC' ; BD' = BC'; BD ' = 80,3 m P BCC' BD = BC P P 54 BCC' ; BD = P P 54 BCC' BC ; BD = P P 54 BCC' BC ; BC = 98,39 m kotrolě BD = BD' DD' ; BD = 80,3 56,87 = 98,4 m vtčovací prvk, tj. souřadice, v místí soustavě (_přímka AB): D (-56,87;47,7) kotrolí výpočet výměr : 54/ P = P ACC + P CDD C = 97,50 m + 3,05 m = 83,55 m 54/ P = P BDD = 83,90 m 6

27 Do katastru emovitostí zapíšeme výměr a celé m, tj. 84 m, P KN = 4570 m, P (54/+54/) = 4568 m, rozdíl m erozdělujeme, protože ové určeí výměr je přesější ež určeí původí. Příklad.: Rozdělte pozemek 4 a stejé části tak, ab ová dělicí hraice bla rovoběžá se straou BC. Výměra uvedeá v KN je 055 m, kvalita 0, aalogová mapa v měřítku :000. Postup výpočtu: Číselý výpočet: obr.-6 ) vpočteme výměru ABC, porováme s výměrou z KN ) kotrolě vpočteme oměré 3) vpočteme výměru oddělovaé části, tj. P4 4) z podobosti trojúhelíků platí, že poměr ploch je stejý jako poměr čtverců PV AB stra, apř. pv AM 5) vpočteme vzdáleosti AM, AP, MP, PP', AP' ; pro výpočet použijeme měřeé hodot 6) kotrolě vpočteme výměru 4/ P ABC = AB CC' = 74,6 8,48 = 4,948 m P V = 057,464 m O P = 055 m 057 m = - m u MP = 0,5 057 = 0 m O P < u MP kotrolě vpočteme oměré AC = BC = 56,5 8,48 = 6,96 m; Os = -0,04 m 8, 8,48 = 33,75 m; Os = 0,05 m p V = P V = 58,73 m 7

28 AM AB p P V V ; AM = 5,5 m AP AC p P V V ; AP = 44,55 m MP BC p P V V ; MP = 3,83 m PP' CC' p P V V ; PP ' = 0,4 m AP' PP' ; AP ' = 39,7 m AC' CC' P 4/ = 5,5 0,4 = 58,776 m Příklad.3: Rozdělte pozemek 06 a části tak, ab ová dělicí hraice bla kolmá a strau 5 a vcházela z bodu 3. Výměra uvedeá v KN je 70 m, kvalita 0, aalogová mapa v měřítku :000. Lomové bod bl zaměře polárí metodou ze staoviska 40 s orietací a bod, směr v míře setié. Tp úloh Číslo bodu staičeí vzdáleost kolmice vodorový úhel 40 3,6 0,00 38,94 96,4 3 4,38 4,9 4 6,76 86, ,8 6,39 Poz. Výškový úhel obr.-7 8

29 Postup výpočtu: ) zvolíme souřadice staoviska 40 (000,00; 5000,00) ) osu vložíme do směru 40- a vpočteme souřadice bodů až 5 3) vpočteme L Huillierovými vzorci výměru mohoúhelíka až 5 4) z bodu vpočteme polárí prvk (délku, směrík) pro bod 5 5) vpočteme ortogoálí vtčovací prvk pro bod M a přímce 5 s vužitím rovic pro bod a kolmici 6) vpočteme souřadice bodu M 7) vpočteme polárí vtčovací prvk pro bod M ze staoviska 40 8) vpočteme výměr pozemků 06/ a 06/ Číselý výpočet: Bod vzdáleost vod.směr směrík (m) (g) (g) , ,00 3,6 0,00 0,00 000,00 503,6 38,94 96,4 96,4 038,87 500,36 3 4,38 4,9 4,9 04, 4990,6 4 6,76 86,67 86,67 005, ,8 5 34,8 6,39 6,39 97, ,5 Souřadice redukujeme a vpočteme výměru mohoúhelíka až 5. Bod 00,00 3,6 38,87 0,36 3 4, 90,6 4 05,56 73,8 5 7,39 80,5 00,00 3,6 38,87 0,36 P = 4533,78 m P = 66,8609 m Výpočet polárích prvků pro bod 5 Bod s (m) σ (g) 000,00 503,6 5 97, ,5 59,36 3,06 9

30 Výpočet ortogoálích prvků (staičeí, kolmice) pro bod M 3 s M si5 km3 cos5 3 s M cos5 km3 si5 d osadíme a ahradíme si k ; 5 cos 5 k 4, s M k km3 k s M k km3 k 4,00 vřešeím soustav rovic dostáváme s M 6,93 m; k M3-56,36 m Bod M leží a přímce 5, kolmice je 0. Bod s (m) σ (g) staičeí kolmice 000,00 503,6 0,00 0, , ,5 59,36 3,06 59,36 0,00 M 6,93 3,06 6,93 0,00 Vpočteme souřadice bodu M a polárí vtčovací prvk z bodu 40 Bod s (m) σ (g) 000,00 503,6 5 97, ,5 59,36 3,06 M 6,93 3,06 99,84 507,33 Bod s (m) σ (g) ω (g) , ,00 000,00 503,6 3,6 0,0000 0,0000 M 99,84 507,33 9,6 37, ,9846 parcela 06/ parcela 06/ Bod Bod 3 4, 90,6 00,00 3,6 4 05,56 73,8 38,87 0,36 5 7,39 80,5 3 4, 90,6 M 9,84 7,33 M 9,84 7,33 3 4, 90,6 00,00 3,6 4 05,56 73,8 38,87 0,36 P = 375,6405 m P = 358,966 m P = 587,8 m P = 679,0 m kotrola P (06/+06/) = 67 m, rozdíl 0 m 30

31 . Trigoometrické určováí výšek Výškové rozdíl určujeme ivelací ebo trigoometrickým způsobem. Trigoometrický způsob vužijeme, pokud ivelace eí vhodá a postačí ám ižší přesost. Při trigoometrickém způsobu vcházíme z aměřeé vzdáleosti (vodorové ebo šikmé) a svislého úhlu (zeitové vzdáleosti ebo výškového úhlu). Trigoometrické určováí výšek užíváme pro ) určeí výšk předmětu ) určeí admořské výšk bodu.. Odvozeí zeitové vzdáleosti obr.- o,o. měřeá hodota v I. a II. poloze dalekohledu z, z. zeitová vzdáleost v I. a II. poloze dalekohledu i. ideová chba z z o i 4R o i 4R o o z [.] 3

32 Oprava ideové chb z z o i 4R o i i 4R o o i 4R (o o ) 4R - o o i ebo o o i R [.] pro i = 0 platí: o 4R [.3] o o 4R i..odečíst od o o o 4R i..přičíst k o o Příklad.: Vpočtěte ideovou chbu a zeitovou vzdáleost z měřeí v obou polohách dalekohledu. o = 99,960 g o = 97,49 g o = 300,70 g o = 30,854 g o o = 400,0080 g o o = 399,9960 i = -0,0080 g i = +0,0040 g i = -0,0040 g i = +0,000 g z = 99,90 g z = 97,439 g g.. Určeí výšk předmětu Určeí výšk předmětu rozdělujeme a ) předmět s patou přístupou lze přímo měřit vzdáleost a úhel a vrchol i patu předmětu, apř. stožár ) předmět s patou epřístupou elze přímo určit vzdáleost ai úhel k patě předmětu, apř. kostelí věže a podle prostoru potom řešíme ) pomocí trojúhelíka při dostatku místa v okolí ) v přímce při edostatku místa 3

33 ... předmět s patou přístupou obr.- h s0 cot g z h s0 cot g z [.4] s 0 0 H s cot g z cot g z [.5].vodorová vzdáleost od staoviska k předmětu z.zeitová vzdáleost (úhel) a vrchol předmětu z.zeitová vzdáleost (úhel) a patu předmětu Za předpokladu, že měříme šikmou vzdáleost, lze vužít vzorce obr.-3 33

34 s i h s cos z h cos cos cos.šikmá vzdáleost od staoviska k předmětu s z [.6] H s z s z [.7] Vzhledem k tomu, že pod horizotem). z 0;R vzorce platí pro všech případ (bod ad horizotem, říklad.: Vpočtěte výšku předmětu pro vzdáleost s = 00 m a zeitové vzdáleosti a) z = 70,00 g z = 90,00 g b) z = 0,00 g z 30,00 g = c) z = 90,00 g z = 0,00 g P 0 obr.-4 a, b, c Číselý výpočet: g g 0 cot g 70 cot g 90 g b) H 0 cot g0 cot g30 g g H cot g 90 cot g a ) H s = 00 0, ,58384 s g = 00 0, ,50955 s 00 0, ,58384= 3 c) 0 0 = = 35, m = 35, m,68 m Příklad.3: Vpočtěte výšku sigálu s přístupou patou. Zadáí a) b) c) s 0 7,4 m 84,76 m 3,45 m z 74,46 g 8,66 g 0,8 g z 06,73 g 94,548 g,867 g 34

35 obr.-5 Číselý výpočet: podle vzorců [.4] a [.5] H s 0 cot g z cot g z Zadáí a) b) c) h 30,89 m 3,7 m - 3,53 m h - 7,66 m 7,8 m - 5,30 m H= h - h 38,55 m 6,44 m,77 m H 38,54 m 6,45 m,76 m Rozdíl ve výšce jsou způsobe postupem výpočtu (zaokrouhleím mezivýsledků h, h a cm a přímým výpočtem H podle vzorce [.5]. 35

36 ... předmět s patou epřístupou. zvolíme staoviska tak, ab s předmětem tvořil trojúhelík (pokud možo rovostraý ebo rovorameý s úhlem a bodě V v itervalu g ), vzdáleosti spočteme siovými větami z délk pomocé základ b a změřeých vodorových úhlů α, β (obr.-6). obr.-6 s b si si b si s [.8] si Výšku předmětu vpočteme z převýšeí (h, h ) pomocí změřeé zeitové vzdáleosti z a vrchol předmětu, vzdáleosti s a laťového úseku (l, l ) změřeého a lati postaveé u pat předmětu při dalekohledu urovaém do vodorové poloh. obr.-7 h s z cot g cot g h s z [.9] H h l h l [.0] Pokud je rozdíl obou vpočteých hodot meší ež mezí odchlka, použijeme do dalších výpočtů průměrou hodotu. 36

37 . zvolíme vzdáleější staovisko (S ) a druhé staovisko (S ) zařadíme do přímk S V, změříme základu b= S S, zeitové vzdáleosti z,z a laťové úsek l,l. obr.-8 b cot z l H h l g H h l cot g z l [.] b cot g z l cot g z l cot g z cot g z b cot z l l g b cot g z l l cot g z cot g z [.] Po výpočtu vpočteme výšku předmětu dosazeím do rovic [.], které vzikl úpravou rovic [.9], [.0]. h s z cot g cot g h s z H h l h l Příklad.4: Vpočtěte výšku věže od prahu při dostatku místa v okolí. Měřeé hodot: staovisko S S b 0,6 m vod.úhel 6,46 g 74,48 g z 85,494 g 84,599 g l,3 m,4 m 37

38 obr.-9 Číselý výpočet: staovisko S S b 0,6 m vod.úhel 6,46 g 74,48 g s 0,99 m 00,30 m z 85,494 g 84,599 g h 5,74 m 4,75 m l,3 m,4 m H 6,87 m 6,89 m H 6,88 m 38

39 Příklad.5: Vpočtěte výšku věže od prahu při edostatku místa v okolí. Měřeé hodot: staovisko S S b 74,87 m z 8,487 g 64,87 g l,86 m 0,94 m obr.-0 Číselý výpočet: Dosazeím do vzorce [.] vpočteme vzdáleost věže od staoviska S b cot g z l l cot g z cot g z = 73,48 m staovisko S S b 74,87 m 73,48 m s 48,35 m 73,48 m z 8,487 g 64,87 g h 44,40 m 45,3 m l,86 m 0,94 m H 46,6 m 46,6 m H 46,6 m 39

40 .3. Určeí admořské výšk bodu Používáme při výpočtu výšek bodů bodových polí. Při vzdáleostech ad 300m je třeba zavádět opravu ze zakřiveí Země a z refrakce. obr.- V B = V A + v s + h - v c [.3] VAB VB VA VBA VA VB = - VAB h s cot g z ; h s cos z 0 Výškové rozdíl se zpravidla určují tam i zpět, do dalšího výpočtu se používá průměrá hodota (rozdíl T a Z esmí překročit mezí odchlku). obr.- obr.-3 40

41 V AB T V BA Z T - Z V AB VAB - VBA VAB [.4] Výsledý výškový rozdíl je průměrem absolutích hodot T a Z, zachová se zaméko převýšeí T. Při výpočtu výšek v polgoovém pořadu se vpočteý výškový rozdíl počátečího a kocového porovává s výškovým rozdílem daým a odchlka O v se rozdělí úměrě délkám OV stra ( Vi si ). [s ] i Příklad.6: Vpočtěte admořské výšk bodů,. staovisko výška stroje m záměra a bod zeitová vzdáleost g výška cíle m vzdáleost m A,46 9,85,50 48,36,50 A 08,7,50 48,36 03,73,50 96,94,64 96,374,50 96,94 B 06,59,50 6,7 B,38 93,46,50 6,7 měřeí tam Obr.-4a 4

42 měřeí zpět obr.-4b Číselý výpočet: Vpočteme výškové rozdíl V, odchlku O v a výsledé výšk bodů,. Odchlku O v rozdělíme úměrě délkám stra. sta. záměra a bod vzdáleost m h (m) v s - v c (m) V(m) V(m) V (m) A 48,36 0,44-0,04 0, ,74 A -0,43 0-0,43 0,4 567,7 96,94-5,66 0-5,66 + 5,53 0,4 5,67-5,67 56,5 B 6,7-6,69 0,4-6,55 + B 6,7-0, 6,59-6,57 544,96 [ ] 407,47 -,8 -,78 O v = -,78 - (-,8) = 0,04 m 4

43 .4. Vliv zakřiveí Země a refrakce a výškové rozdíl Výškový rozdíl bodů A, B je vzdáleost od skutečého horizotu bodu A ke skutečému horizotu bodu B měřeá po svislici. Výšk určujeme ale od zdálivého horizotu a je ted třeba zjistit rozdíl skutečého a zdálivého horizotu q (obr.-5). Vlivem změ hustot vzduchu v růzých výškách dochází k refrakci světelého paprsku, který probíhá přibližě po kruhovém oblouku a m měříme úhel k tečě tohoto oblouku. Bod B se ám jeví zdálivě v B a výškový rozdíl musíme opravit o q (obr.-6). Oprava ze zakřiveí a refrakce se zavádí společě a je v ašich podmíkách vžd kladá (q je přibližě 7 větší ež q ). s. vzdáleost bodů A,B r. poloměr Země R.poloměr refrakčího oblouku k.refrakčí koeficiet = poměr obou poloměrů, je závislý a admořské výšce, zeměpisé poloze, deí době, teplotě vzduchu, vegetačím porostu a dalších čiitelích; používáme průměrou hodotu k = 0,306 O oprava ze zakřiveí a refrakce (q.oprava ze zakřiveí, q.oprava z refrakce) a. vliv zakřiveí Země obr.-5 s arc ; q s arc r s r [.5] 43

44 b. vliv refrakce obr.-6 ρ = z - z ; s arc ; arc R s R r arc R r R arc k s r s q s arc k [.6] r k. refrakčí koeficiet, eí stálý, závisí a admořské výšce, deí době, teplotě vzduchu, vegetačím porostu a dalších čiitelích; používáme k = 0,306 c. výsledá oprava ze zakřiveí a refrakce s s s k k k s o s [.7] r r r r O = q q k o =, je pro daé území a refrakčí koeficiet kostatí, pro r = 6380 km a k = 0,306 r 0,306 se vpočte o 5 6,8 0 km 6380 Pokud dosadíme do rovice [.7] r v km, s v m, vjde oprava O v mm. 44

45 Příklad.7: Vpočtěte admořskou výšku bodu 48 z bodů 0, 06 a 4. Zeitové vzdáleosti bl měře a daých bodech i bodě určovaém. Výsledou výšku určete ze všech hodot obecým (vážeým) aritmetickým průměrem a zjistěte jeho středí chbu, váha pi, kde s i je délka v km. s i obr.-7 výpis ze zápisíků a staoviskách 0, 06, 4 staovisko výška stroje m výška cíle m výška bodu m záměra a bod zeitová vzdáleost g výška cíle m vzdáleost m 0,60,00 97, 48 0,7939 4,94 89,9 06,4,9 84, ,900 4,94 96,8 4,48 4,36, ,5504 4,94 674,4 měřeí tam měřeí zpět obr.-8a obr.-8b 45

46 () Nomeklatura: 40 Staovisko: cetrické Měřil: Číslo a ázev bodu: Měřeo de: od U Krbu M.N. do Zápisík měřeých výškových úhlů () (3) (4) (5) (6) (7) (8) Skupia součet Kotrola Výškový úhel Číslo a ázev Pozámka: cíle U každého cíle se mě průměr ( I + II ) Zeitová vzdáleost v pol. II. hed po pol. g c cc c cc g c cc g c cc 0 V Zálesí 4 Hůrka 06 Lada Cílová začka (ákres) v c =,00 v c =,9 v c = 4,36 Poloha dalekohledu I II II 97 4 I II 30 I II 96 I i = -90 i = i = Theodolitem Theo 00 č. Theodolit postave a stativu I II I Stav povětrosti: zatažeo, mírý vítr Výšk ad měřickou začkou 4,94 II I II I II 0.00,56 0,00 I II I II Vpočteme zápisík.9 - měřeých výškových úhlů. Pro další výpočet lze použít zápisík 4.3 výpočet výšek polgoového pořadu, případě si vhotovit vlastí tabulku. 46

47 Pořad č Bod pořadu VÝPOČET VÝŠEK V POLYGONOVÉM POŘADU teodolitu cíle oprava z vr. **) (5)+(6) T - Z -(7)+(8) str.:... zpět Z () () (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (0) () () g c cc 0 48 Zeitová vzdáleost z z měřeí tam T *) cotg z Stra s 89,9 s.cotg z -39,8,60 4,90 Výšk ad kameem,56,00 O 4,94 0,05-4,47 0,05 4,5-4,49 Nadm. výšk 97, 54,7 O (oprava ze zakř. a refr.) ,8-6,7 9,95,4,56 4,94 0, -9,68,9 0, 9,70-9,69 84,40 54, ,4 36,57-30,35,48,56 4,94 4,36 0,03 0,03 33,4-33, 33,3,54 54,67 *) smsl T odpovídá pořadí ze sl. **) rozdělí se úměrě délkám stra [ ] Geodézie 4-3 O - k r s Ml 008 Výsledou výšku vpočteme obecým aritmetickým průměrem. i sta. o s p δ pδ v pv pvv m km cm cm cm 0 54,7 0,89,6 5, ,786, ,7,30 0,59 6,5 - -,84, ,67 0,67,8 7 5,596 4,456 8,9 [ ] 0 = 54,60 4,08 37,5 0,638 0 [ p ] 54,60 m + [ p] 37,5 4,08 cm = 54,69 m středí chba obecého aritmetického průměru m [ pvv] [ p] m,638 =,7 cm 4,08 47

48 Příklad.8: Vpočtěte souřadice a výšk bodů 5 a 5 zaměřeých vetkutým polgoovým pořadem. Dáo: Bod Y X Z , ,0 34, , ,8 36,7 obr.-9 Zápisík měřeých úhlů a vzdáleostí Číslo Výsledá Kotrola Vodorová Pozámka Vodorové úhl vzdáleost Svislé úhl I+II vzdáleost O průměr Zeitová s edukovaý průmě s průměr vzdáleost s g c cc g c cc m cm g c cc g c cc cm m cm cm () () (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) () () (3) (4) 0 I v s = 5,50,6 II staoviska 5 cílového bodu 0 Řada I II Redukce Str.: výška cíle,50 půleí v s =,58 5 I II , I II ,00 v s =,66 3 v s =,63 I II I II Geodézie č O = O + O + O 3 + O 4 O O O 3 O 4 z porováí z teplot redukce a ulovou hladiu ze zkresleí,50,50 48

49 VÝPOČET SOUŘADNIC BODŮ POLYGONOVÝCH POŘADŮ Číslo pořadu () s(+ si + cos ) Úhl a úhlové Směrík Stra si vrováí s + si + cos Číslo bodu g c cc g c cc cos () (3) (4) (5) (6) Souřadice a souřadicové vrováí Y X (7) (8) , , ,4 49,6 6, ,96 98,30 6, ,5 [ ']= 47,9 [ ']= 40,39 σ'=,4776 g s' = 47,78 m σ=,54 g s = 47,69 m σ P = 378,6478 g Os = -0,09 m s = 0,3 m Os <Δs , , ,4-48,85 40, , , ,4 5, 36, , , ,96 5,9 5, , ,8 Y = 7,56 Y = 47,6 444,5 [ ']= 7,56 [ ']= 47,70 O = 0 O = -0,08 Op = 0,08 p = 0,3 m Op <Δp Geodézie č Pro výpočet výšek spočteme vzdáleosti ze souřadic. Výšk vpočteme v zápisíku

50 VÝPOČET VÝŠEK V POLYGONOVÉM POŘADU str.:... Pořad č Bod pořadu teodolitu cíle oprava z vr. **) (5)+(6) T - Z -(7)+(8) () () (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (0) () () Zeitová vzdáleost z z měřeí tam T *) zpět Z g c cc cotg z Stra s s.cotg z Výšk ad kameem 34, ,4,6,50 3,36-48, ,44,58,50-3,36 3,36 356, ,6,58,00 3,84-36, ,50,66,00-3,84 3,84 380, ,98,66,50-8,8-59, ,69,63,50 8,8-8,8 36,7 O Nadm. výšk O O (oprava ze zakřiveí a refrakce) - k s r *) smsl T odpovídá pořadí ze sl. **) rozdělí se úměrě délkám stra Geodézie 4-3 8,38 8,35 Ov = -0,03 Ml 008 Sezam souřadic a výšek Bod Y X Z , ,3 356, , ,34 380,00 50

51 3. Vrovávací počet Při měřeí všech veliči se objevují měřické chb. Jsou způsobe edokoalostí pomůcek a epozorostí měřiče. Většia chb se odstraí opakovaým měřeím, měřickým postupem a pečlivou prací. Vrovávat lze pouze výsledk, které obsahují zbtkové chb sstematické a chb ahodilé. Opakovaým měřeím téže veliči za praktick stejých podmíek vziká základí (stejorodý) soubor výsledků, které jsou zatíže měřickými chbami. Protože ale ve většiě případů ezáme absolutě správou hodotu určovaé veliči, zjistíme z výsledků měřeí pouze ejpravděpodobější hodotu a její spolehlivost (přesost měřeí a výsledku). 3.. Charakteristik měřických chb Měřické chb rozdělujeme a 3) oml jsou rozpozatelé a prví pohled, apř. zapomeutý klad pásma, záměa číslic; měřeí elze použít 4) chb hrubé přesahují mezí odchlku metod měřeí, odstraí se opakovaým měřeím; z dalšího zpracováí je musíme vloučit 5) chb evhutelé vsktují se v měřeí vžd, dělí se a - sstematické - kostatí - promělivé - periodické - ahodilé Chb sstematické se odstraňují početě ebo měřickým postupem. Vrovávat lze pouze hodot obsahující chb ahodilé a zbtkové chb sstematické. Skutečá chba (ε) Skutečou chbu (ε) defiujeme jako rozdíl absolutě správé hodot měřeé veliči (skutečé) X a aměřeé hodot o i : ε i = X o i (i =,. je počet opakovaých měřeí) [3.] Skutečou hodotu X záme je výjimečě, proto i skutečou chbu ε můžeme určit je zřídka ( skutečou chbou je apříklad uzávěr úhlů v trojúhelíku součet má být 80 ). Nejpravděpodobější chba (v) Pro vrováí pozorováí přímých stejé váh je ejpravděpodobější hodotou aritmetický průměr o o... o = o [3.] Nejpravděpodobější chba je ted defiováa jako rozdíl ejpravděpodobější hodot a aměřeé hodot o i : v i = - o i (i =,. je počet opakovaých měřeí) [3.3] Nejpravděpodobější chb v i jsou podle rovice [3.3] odchlk od aritmetického průměru a zároveň jsou to oprav aměřeých hodot. 5

52 3.. Charakteristik přesosti měřeí Výsledk měřeí lze posuzovat podle růzých kriterií. Pro měřeí a výpočt mají výzam tto chb. a) průměrá (lieárí) chba s je aritmetický průměr absolutích hodot všech chb ε s [3.4] b) základí středí (kvadratická) chba m je defiováa jako kvadratický průměr všech chb ε m [3.5] ebo při výpočtu z oprav v : vv m [3.6] Vzhledem k tomu, že m je citlivější a větší chb ež s, používá se v geodézii téměř vžd základí středí (kvadratické) chb jako charakteristik přesosti. Základí středí (kvadratické) chba m je dáa metodou a podmíkami při měřeí (stroj, ostatí pomůck, zkušeosti měřiče). Teoretick je to středí hodota všech chb v základím souboru, kd počet měřeí. Její hodota je pro daou metodu měřeí kostatí ( m =kost.). V prai ji ahrazujeme hodotou určeou z velkého počtu měřeí, provedeých za stejých podmíek a říkáme jí středí chba metod měřeí (apř. středí chba uvedeá u měřických přístrojů). Při meším počtu měřeí jsou výsledk a jejich chb je áhodým výběrem ze základího souboru. Středí chbu v tomto případě počítáme pro koečé ( je počet měřeí). m počet měřeí [3.7] vv m [3.8] a říkáme jí výběrová středí chba ebo odhad základí středí chb (středí chba jedoho měřeí). c) pravděpodobá chba r pravděpodobost P(r) = [3.9] přibližou hodotu r můžeme určit tak, že uspořádáme chb podle jejich velikosti a ajdeme hodotu uprostřed (tzv. mediá). Chba může být se stejou pravděpodobostí větší ebo meší ež základí pravděpodobá chba. 5

53 Vztah mezi velikostí chb lze vjádřit poměrem m : s : r : 0,80 : 0, Vlastosti ahodilých chb Jedotlivá chba se eřídí žádým zákoem, edokážeme předvídat její velikost, ai zaméko. V dostatečě velkém souboru ahodilých chb lze ale zjistit určité vlastosti těchto chb. Vlastosti ahodilých chb si vsvětlíme a příkladu 7 uzávěrů trojúhelíků českosloveské trigoometrické sítě. Chb seskupíme do itervalů po 0,33 a sestrojíme sloupcový graf (histogram). Chb dosahují hodot do ±,0. Hodota,0 je zahruta v itervalu,66",,00". POČET UZÁVĚRŮ INTERVAL (ČETNOST) + - součet 0,00 0, ,33 0, ,66, ,00, ,33, ,66, Celkem ČETNOST CHYB četost ,00" -,66" -,33" -,00" -0,66" -0,33" 0,00" 0,33" 0,66",00",33",66",00" skutečé chb obr.3-53

54 obr.3- Z dostatečě velkého souboru vplývá, že ahodilé chb podléhají určitým zákoitostem jak ukazuje Gaussova křivka: ) kladé a záporé chb stejé velikosti jsou stejě četé ) čím je chba meší, tím je četější 3) ejvětší četost má chba ulová 4) v prai epřekročí chb určitou mez Mezí chb ejvětší přípusté chb. Staoví se směricemi a předpis. Mezí chba se vpočítá ze součiu středí chb metod měřeí m a tzv. koeficietu spolehlivosti t. u t m [3.0] t se volí ejčastěji - 3 dle áročosti prováděého měřeí a podmíek při měřeí. S velikostí itervalu spolehlivosti souvisí pravděpodobost, že ahodilá chba bude ležet a tomto itervalu. INTERVAL KOEFICIENT pravděpodobost % t m; m 68 m; m 95 3m; 3m 3 99,7 Mezí (dopusté) odchlk u jsou vhodým kriteriem pro epřípusté skutečé chb (apř. uzávěr trojúhelíků). Pro rozdíl dvojího měřeí (délk, úhlu, převýšeí, ploch) se určují ejvětší dovoleé odchlk, tzv. mezí rozdíl. u mez u [3.] 54

55 obr Základ vrovávacího počtu Ve vrovávacím počtu předpokládáme, že z měřeých hodot jsme vloučili oml, hrubé chb a většiu chb sstematických a sažíme se ajít hodotu, která se co ejvíce blíží hodotě skutečé (X).Vlivem ahodilých měřických chb dostáváme pro měřeou veličiu číselé hodot, které se v určitých mezích liší. Výsledek hledáme vrováím z aměřeých hodot. Vrováí lze rozdělit a a) pozorováí přímá stejé váh měříme přímo hledaou veličiu jedou pomůckou (měřeí délk pásmem) b) pozorováí přímá estejé váh - měříme přímo hledaou veličiu růzě přesými pomůckami (měřeí délk pásmem, itkovým dálkoměrem, elektrooptickým dálkoměrem) c) pozorováí zprostředkující měříme veličiu, z které ezámou určíme výpočtem (apř. při protíáí vpřed vrováváme souřadice, měříme vodorové směr) d) pozorováí podmíková vrovaé hodot musí vhovovat určité podmíce (součet úhlů v -úhelíku) V tomto učebím tetu se budeme věovat pouze pozorováím přímým stejých a růzých vah. Gauss a základě pravděpodobosti dokázal (Gaussův záko chb), že vrovaá hodota se ejvíce přiblíží skutečé (absolutí) hodotě X je-li splěa podmíka miima. 55

56 Vrovaou veličiu budeme ted hledat tak, ab vhovovala podmíce vv miimum, pro pozorováí přímá stejé váh [3.] pvv miimum, pro pozorováí přímá estejé váh [3.3] Vrovaá veličia musí vhovovat Gaussově podmíce miima. Váha pozorováí. Pokud pro ás mají výsledk pozorováí stejou přesost, říkáme, že mají stejou váhu. Nemají-li stejou přesost, mluvíme o estejé váze a každému pozorováí přiřadíme číslo p tzv. váhu, která vjadřuje přesost jedotlivých pozorováí a závisí a středí chbě. Čím je váha větší, tím je větší přesost tohoto pozorováí. Platí, že váha je epřímo úměrá čtverci středí chb. k k k k p : p : p3 :... : p : : :... : [3.4] m m m3 m k pi [3.5] mi pro pozorováí s váhou p 0 vjadřuje k jedotkovou středí chbu k m0 čtverec jedotkové středí chb [3.6] Vrováí pozorováí přímých stejé váh o,... vrovaá hodota v, v,... v oprav v o,, o o výsledk jedotlivých pozorováí v o,.. v o Gaussova podmíka miima vv o o o = mi. [3.5]... Výraz má ejmeší hodotu pro takové, pro které je prví derivace výrazu rova 0. o o... o 0 [3.6] o o... o o.aritmetický průměr [3.7] v 0.kotrola [3.8] 56

57 Vrovaá hodota se u pozorováí přímých stejé váh určí aritmetickým průměrem z aměřeých veliči a součet oprav v je rove 0 (kotrola výpočtu). Vrovaá veličia se eshoduje s teoretick správou hodotou X a je v í určitá chba ε, tj.skutečá chba aritmetického průměru, která udává přesost měřeí. Zpravidla ji ezáme, a její velikost usuzujeme ze středí chb aritmetického průměru m. X.skutečá chba aritmetického průměru (ezáme ji) [3.9] X o X o.. X o o X [ o] [ ] X, ze vzorce [3.7, 3.9] vplývá [ ] X [3.0] Podle Gaussova zákoa ahodilých chb mají chb ε růzá zaméka, proto se lieárí výraz po umocěí budou rovat přibližě m lieárí výraz zaedbáme, rovají se přibližě 0 a po aplikaci zákoa hromaděí středích chb dostáváme m m ] m... m [ mi m m pro koečé bude použito m, m m m [3.] m m pro [3.] m [3.3] m 57

58 m m [3.4] U pozorováí přímých stejé váh klesá chba výsledé hodot (aritmetického průměru) s odmociou z počtu pozorováí. Středí chb ale počítáme z oprav a je ted třeba odvodit vzájemý vztah mezi chbou ε a opravou v. X X o o v X X o o podle vzorců [3.9]; [3.]; [3.3] v chb m v v v v v v v, ahradíme podle zákoa hromaděí skutečých vv m v vv Z předchozího odvozováí vplývá: a) v 0 [3.8] z Gaussov podmík miima b) m m [3.3] m m m c) po úpravě vzorce [3.7] a rovice bude po úpravě: m m [ vv] [ ] m m [ vv], tj. výběrová středí chba jedoho pozorováí [3.5] dosazeím do [3.3] m = m [ vv] bude m m [ vv], tj. výběrová středí chba aritmetického průměru [3.6] Odchlku s jakou je vrovaá hodota určea udává základí středí (kvadratická) chba m. V prai se uvažuje iterval spolehlivosti, 5m, ve kterém s praktickou jistotou leží skutečá hodota X. 58

59 Výsledek měřeí m tvoří pár sdružeých čísel, které při dalším počítáí musí být eodlučitelě spolu. Nejistota výsledku se přeáší a součet, rozdíl ebo libovolou fukci měřeých veliči. Záko přeášeí (hromaděí) ahodilých a středích chb v praktickém měřeí ovlivňuje výběr metod měřeí, přístrojové techik a výpočetího postupu Vrováí pozorováí přímých estejé váh o, o,... o výsledk jedotlivých pozorováí p, p,... p váh jedotlivých pozorováí (váha p pro měřeí ) vrovaá hodota v, v,... v oprav v o, v o,.. v o o p o Gaussova podmíka miima pv p o p o p o... = mi. [3.7] Výraz má ejmeší hodotu pro takové, pro které je prví derivace výrazu rova 0. o p o... p o 0 p po po... po p p... p po p. obecý (vážeý) aritmetický průměr [3.8] pv 0.kotrola [3.9] Vrovaá hodota se u pozorováí přímých estejé váh určí vážeým aritmetickým průměrem (obecým) z aměřeých veliči a příslušých vah, součet součiu vah p a oprav v je rove 0 (kotrola výpočtu). Vrovaá hodota se opět liší od teoretické hodot X, takže obsahuje středí chbu m a bude mít váhu p. Stejě jako pro pozorováí přímá stejé váh lze odvodit středí chb pro: a) jedotlivé pozorováí o váze p i.. m i [ pvv] mi [3.30] p b) pozorováí o váze p 0.. m 0 středí chba jedotková i [ pvv] m 0 [3.3] 59

60 c) aritmetický průměr.. m ] [ ] [ p pvv m [3.3] d) váhu aritmetického průměru p [ p] p [3.33] Měřické dvojice Velmi častým případem vrováí jsou měřické dvojice (dvojí měřeí délk, úhlu). Při odvozeí vcházíme z pozorováí přímých stejé váh.,o o výsledk jedotlivých pozorováí vrovaá hodota,v v oprav o v, o v d diferece o o d o o [3.34] d o o o o o o o o o v [3.35] d o o o o o o o o o v [3.36] 4 4 ] [ d d d vv = mi. [3.37] a) středí chba jedotlivého pozorováí ] [ d d vv m [3.38] b) středí chba aritmetického průměru 4 ] [ d d d vv m m [3.39] 60

61 3.4.4 Příklad Příklad 3.: Teodolit má udáváu přesost měřeého směru v jedé skupiě m = 0,0004 g. V kolika skupiách musíme měřit, ab směr měl přesost m a) 0,000 g b) 0,000 g c) 0,00005 g Řešeí : podle vzorce [3.3] m m m m a) 4skupi b) 6 skupi c) 64skupi 0,5 Příklad 3.: Úhel bl zaměře v 6 skupiách. Vpočtěte vrovaou hodotu, středí chbu jedoho měřeí m a středí chbu aritmetického průměru m. Řešeí : zvolíme základí hodotu [3.7] i o δ v vv [ ] = a výpočet provedeme podle upraveého vzorce [ ] = [ vv] 34 m = 5,6 m [ vv] m = =, = ±, m Příklad 3.3: Teodolit má udáváu přesost měřeého směru v jedé skupiě m = 0,0004 g. Teodolit má udáváu přesost měřeého směru v jedé skupiě m = 0,004 g. V kolika skupiách musíme měřit teodolitem, ab směr měl rovoceou přesost s teodolitem? Řešeí : podle vzorce [3.4] k k p : p : p m p m k m m 4 p 4 p k 6

62 pokud zvolíme k = 4 = 96 p 6 p 96 = p Teodolitem je potřeba měřit směr ve skupiách, ab měřeí blo rovoceé s měřeím teodolitem v jedé skupiě. Pozámka: Výrobci uvádějí v prospektech přesost daou středí chbou měřeí ve směru. Středí chba v úhlu se vpočte pomocí zákoa hromaděí středích chb. Pokud jsou směr měře se stejou středí chbou ( m m m ) l p P L m m l m p m g g m 0, 0004 m 0,0004 = 0,0006 g Příklad 3.4: Vpočtěte výšku bodu P, která bla určea čtřmi ivelačími pořad (váha měřeí pi ), vrovaou hodotu, středí chbu jedotlivého měřeí m i, s Řešeí: i středí chbu jedotkovou m a středí chbu aritmetického průměru m. 0 i o s p δ pδ v pv pvv m km mm mm,76 0,5,000 6, ,000,75,6 0,65 3 0, ,65 80,65 3,74, 0,833 7, ,998 9,988 4,738,0, , ,000 [ ] 0 =,70 4, , ,63 zvolíme základí hodotu [3.8] [ p ] 0,70 m + [ p] =,70 m a výpočet provedeme podle upraveého vzorce 0 67,493 4,458 mm =,735 m podle vzorce [3.30] m i [ pvv] p i 6

63 m 46,63 = 8,4 mm;,000 3 m 46,63 = 5, mm; 0,653 m 3 46,63 = 3, mm; 0,8333 m 4 46,63 =,9 mm,000 3 podle vzorce [3.3] m 0 [ pvv] m 0 46,63 =,9 mm 3 podle vzorce [3.3] m [ pvv] [ p] m 46,63 4,458 3 = 5,6 mm m =,735 m ± 5,6 mm Příklad 3.5: Vzdáleost bla změřea krát. Vpočtěte vrovaou hodotu, středí chbu jedoho měřeí m a středí chbu aritmetického průměru m. Řešeí : i o δ d v vv m mm mm mm 46, , [ ] 0 = 46, zvolíme základí hodotu 0 = 46,730 m a výpočet provedeme podle upraveého vzorce [3.34] 0 = 46,730 m + 0,04m = 46,77 m podle vzorce [3.38] m [ vv] d d 78 m = 55, mm podle vzorce [3.39] m m [ vv] d 4 d d 78 m = 39 mm 63

64 Literatura: BURŠÍK, A., PROCHÁZKA, F. Geodetické počtářství.. přepracovaé vdáí. Praha : Kartografie, 979. spszememericka,

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

OVMT Přesnost měření a teorie chyb

OVMT Přesnost měření a teorie chyb Přesost měřeí a teorie chyb Základí pojmy Naměřeé údaje ejsou ikdy absolutě přesé, protože skutečé podmíky pro měřeí se odlišují od ideálích. Při každém měřeí vzikají odchylky od správých hodot chyby.

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13). 37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,

Více

Zhodnocení přesnosti měření

Zhodnocení přesnosti měření Zhodoceí přesosti měřeí 1. Chyby měřeí Měřeím emůžeme ikdy zjistit skutečou (pravou) hodotu s měřeé veličiy. To je způsobeo edokoalostí metod měřeí, měřicích přístrojů, lidských smyslů i proměých podmíek

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

7. Analytická geometrie

7. Analytická geometrie 7. Aaltická geoetrie Studijí tet 7. Aaltická geoetrie A. Příka v roviě ϕ s A s ϕ s 2 s 1 B p s ϕ = (s1, s 2 ) sěrový vektor přík p orálový vektor přík p sěrový úhel přík p k = tgϕ = s 2 s 1 sěrice příkp

Více

S k l á d á n í s i l

S k l á d á n í s i l S l á d á í s i l Ú o l : Všetřovat rovováhu tří sil, působících a tuhé těleso v jedom bodě. P o t ř e b : Viz sezam v desách u úloh a pracovím stole. Obecá část: Při sládáí soustav ěolia sil působících

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.

Více

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.). STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

3. Hodnocení přesnosti měření a vytyčování. Odchylky a tolerance ve výstavbě.

3. Hodnocení přesnosti měření a vytyčování. Odchylky a tolerance ve výstavbě. 3. Hodoceí přesost měřeí a vytyčováí. Odchylky a tolerace ve výstavbě. 3.1 Úvod o měřeí obecě 3.2 Chyby měřeí a jejch děleí 3.2.1 Omyly a hrubé chyby 3.2.2 Systematcké chyby 3.2.3 Náhodé chyby 3.3 Výpočet

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Elementární zpracování statistického souboru

Elementární zpracování statistického souboru Elemetárí zpracováí statistického souboru Obsah kapitoly 4. Elemetárí statistické zpracováí - parametrizace vhodými empirickými parametry Studijí cíle Naučit se výsledky měřeí parametrizovat vhodými empirickými

Více

[ jednotky ] Chyby měření

[ jednotky ] Chyby měření Chyby měřeí Provedeme-l určté měřeí za stejých podmíek vícekrát, jedotlvá měřeí se mohou odlšovat (z důvodu koečé rozlšovací schopost měř. přístrojů, áhodých vlvů apod.). Chyba měřeí: e = x x x...přesá

Více

STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6

STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Středoškolská techika 00 Setkáí a prezetace prací středoškolských studetů a ČVUT STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Pavel Husa Gymázium Jiřího z Poděbrad Studetská 66/II

Více

Chyby měření: 1. hrubé chyby - nepozornost, omyl, únava pozorovatele... - významně převyšuje rozptyl náhodné chyby 2. systematické chyby - chybné

Chyby měření: 1. hrubé chyby - nepozornost, omyl, únava pozorovatele... - významně převyšuje rozptyl náhodné chyby 2. systematické chyby - chybné CHYBY MĚŘENÍ Opakovaé měřeí téže fyzkáí večy evede vždy k přesě stejým výsedkům. Této skutečost bychom se evyhu, kdybychom měřeí provádě s ejvětší důkadostí a precsostí aopak, čím ctvější a přesější jsou

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

jsou reálná a m, n jsou čísla přirozená.

jsou reálná a m, n jsou čísla přirozená. .7.5 Racioálí a polomické fukce Předpoklad: 704 Pedagogická pozámka: Při opisováí defiic racioálí a polomické fukce si ěkteří studeti stěžovali, že je to příliš těžké. Ve skutečosti je sstém, kterým jsou

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Je vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým epotřebujeme zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základy měřeí eelektrických veliči.. Měřicí řetězec Měřicí řetězec (měřicí soustava) je soubor měřicích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, aby bylo ožě split požadovaý úkol měřeí, tj. získat iformaci

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

3. cvičení - LS 2017

3. cvičení - LS 2017 3. cvičeí - LS 07 Michal Outrata Defiičí obor, průsečíky os, kladost/záporost fukce a) fx) x 5x+4 4 x b) fx) x x +4x+ c) fx) 3x 9x+ x +6x 0 d) fx) x 7x+0 4 x. Řešeí a) Nulové body čitatele a jmeovatele

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji

Více

Pružnost a pevnost. 9. přednáška, 11. prosince 2018

Pružnost a pevnost. 9. přednáška, 11. prosince 2018 Pružost a pevost 9. předáška, 11. prosice 2018 1) Krouceí prutu s kruhovým průřezem 2) Volé krouceí prutu s průřezem a) masivím b) otevřeým tekostěým c) uzavřeým tekostěým 3) Ohybové (vázaé) krouceí Rovoměré

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

3. cvičení - LS 2017

3. cvičení - LS 2017 3. cvičeí - LS 07 Michal Outrata Defiičí obor, průsečíky os, kladost/záporost fukce a fx x 5x+4 4 x b fx x x +4x+ c fx 3x 9x+ x +6x 0. Řešeí a Nulové body čitatele a jmeovatele jsou { 4}. Aby vše bylo

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

Pravděpodobnostní modely

Pravděpodobnostní modely Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k

Více

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha 74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: 00703 Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základ měřeí eelektrckých velč.. Měřcí řetězec Měřcí řetězec (měřcí soustava) je soubor měřcích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, ab blo ožě splt požadovaý úkol měřeí, tj. získat formac o velkost

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost

Více

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

Prorážka DOC. ING. PAVEL HÁNEK, CSC. Uvedené materiály jsou doplňkem přednášek předmětu 154GP10

Prorážka DOC. ING. PAVEL HÁNEK, CSC. Uvedené materiály jsou doplňkem přednášek předmětu 154GP10 Prorážka DOC. ING. PAVEL HÁNEK, CSC. Uvedeé materiály jsou doplňkem předášek předmětu 154GP10 014 HLAVNÍ PROJEKČNÍ PRVKY Směr pokud možo volit přímý tuel. U siličích t. miimálí poloměr 300 m, u železičích

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Měření objemu tuhých těles přímou metodou

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Měření objemu tuhých těles přímou metodou ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATEDRA FYZIKY LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY Jméo: Petr Česák Datum měřeí:.3.000 Studjí rok: 999-000, Ročík: Datum odevzdáí: 6.3.000 Studjí skupa: 5 Laboratorí skupa:

Více

23. Mechanické vlnění

23. Mechanické vlnění 3. Mechaické vlěí Mechaické vlěí je děj, při kterém částice pružého prostředí kmitají kolem svých rovovážých poloh a teto kmitavý pohyb se přeáší (postupuje) od jedé částice k druhé vlěí může vzikout pouze

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

Analýza a zpracování signálů. 4. Diskrétní systémy,výpočet impulsní odezvy, konvoluce, korelace

Analýza a zpracování signálů. 4. Diskrétní systémy,výpočet impulsní odezvy, konvoluce, korelace Aalýza a zpracováí sigálů 4. Diskrétí systémy,výpočet impulsí odezvy, kovoluce, korelace Diskrétí systémy Diskrétí sytém - zpracovává časově diskrétí vstupí sigál ] a produkuje časově diskrétí výstupí

Více

VY_52_INOVACE_J 05 01

VY_52_INOVACE_J 05 01 Název a adresa školy: Středí škola průmyslová a umělecká, Opava, příspěvková orgazace, Praskova 399/8, Opava, 74601 Název operačího programu: OP Vzděláváí pro kokureceschopost, oblast podpory 1.5 Regstračí

Více

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

Chyby přímých měření. Úvod

Chyby přímých měření. Úvod Chyby přímých měřeí Úvod Př zjšťováí velkost sledovaé velčy dochází k růzým chybám, které ovlvňují celkový výsledek. V pra eestuje žádá metoda měřeí a měřcí zařízeí, které by bylo absolutě přesé, což zameá,

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

Lineární regrese ( ) 2

Lineární regrese ( ) 2 Leárí regrese Častým úolem je staoveí vzájemé závslost dvou (č více) fzálích velč a její matematcé vjádřeí. K tomuto účelu se používají růzé regresí metod, pomocí chž hledáme vhodou fuc f (), apromující

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

Užití binomické věty

Užití binomické věty 9..9 Užití biomické věty Předpoklady: 98 Často ám z biomického rozvoje stačí pouze jede kokrétí čle. Př. : x Urči šestý čle biomického rozvoje xy + 4y. Získaý výraz uprav. Biomický rozvoj začíá: ( a +

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Úloha III.S... limitní

Úloha III.S... limitní Úloha III.S... limití 10 bodů; průměr 7,81; řešilo 6 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat postup kostrukce itervalových odhadů středí hodoty v případě obecého rozděleí měřeých dat (postačí vlastími

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Závislost slovních znaků

Závislost slovních znaků Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Matematka IV PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Lbor Žák Matematka IV Lbor Žák Regresí aalýza Regresí aalýza zkoumá závslost mez ezávslým proměým X ( X,, X k a závsle proměou Y. Tato závslost se vjadřuje ve tvaru

Více

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme

Více

1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti

1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti Základy Z-trasformace pro aplikace v oblasti číslicového zpracováí sigálů Petr Pollák 9. říja 29 Základy Z-trasformace Teto stručý text slouží k připomeutí základích vlastostí Z-trasformace s jejími aplikacemi

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy. 11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

1. Měření ve fyzice, soustava jednotek SI

1. Měření ve fyzice, soustava jednotek SI 1. Měřeí ve fyzice, soustava jedotek SI Fyzika je vědí obor, který zkoumá zákoitosti přírodích jevů. Pozámka: Získáváí pozatků ve fyzice: 1. pozorováí - sledováí určitého jevu v jeho přirozeých podmíkách,

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

Ing. Pavel Hánek, Ph.D. Náčrt

Ing. Pavel Hánek, Ph.D. Náčrt Ig. Pavel Háek, Ph.D. haek00@zf.jcu.cz jedoduché metody pro měřeí polohopisu ortogoálí metoda měří se staičeí a kolmice, pravý úhel se realizuje s využitím petagou, délky se měří pásmem kostrukčí oměré

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Základy práce s tabulkou Výukový modul III. Iovace a zkvalitěí výuky prostředictvím ICT Téma III..3, pracoví list 3 Techická měřeí v MS Ecel Průměry a četosti, odchylky změřeých hodot. Ig. Jiří Chobot

Více

Intervalové odhady parametrů

Intervalové odhady parametrů Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf

Více