Cvičení 1 Elementární funkce
|
|
- Emil Král
- před 9 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = = > =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte inverzní funkci k funkci f =. Definiční obor dané funkce je celá reálná osa R. Daná funkce není na svém definičním oboru prostá. Proto k této funkci inverzní funkce neeistuje. Příklad 4. Nalezněte inverzní funkci k funkci f =, jejíž definiční obor je D f =, +. Funkce f je prostá. Proto inverzní funkce eistuje. Obor hodnot této funkce je množina H f =, +. Pro inverzní funkci y = f platí = y = y = + = y = ± +. Protože definiční obor D f =, + a obor hodnot H f =, +, je inverzní funkce dána předpisem f = +, D f = H f =, + a H f = D f =, +. Příklad 5. Nalezněte inverzní funkci k funkci f =, jejíž definiční je D f =,,. Typeset by AMS-TEX
2 Funkce f je prostá. Proto inverzní funkce eistuje. Obor hodnot této funkce je množina H f =, 3, +. Pro inverzní funkci y = f platí = y = y = + = y = ± +. Protože definiční obor D f =,, a obor hodnot H f =, 3, +, je inverzní funkce dána předpisem { + pro 3, + f = + pro, D f = H f =, 3, + a H f = D f =,,. Příklad 6. Nalezněte definiční obor funkce f = ln ln Definiční obor nalezneme z nerovností ln > >. Z nich plyne ln < 3 > = = < e, 3, + = = e 5 + 4e <, 3, + = 5 + 4e =, e, 3, + = 5 + 4e = D f =, 3, e. Příklad 7. Naleznete definiční obor funkce f = 9 + ln 3. Definiční obor dané funkce najdeme ze vztahů 9 3 > = ±3 + > = =,, 3 3, + = D f =,, 3 3, +. Příklad 8. Nalezněte inverzní funkci k funkci f = e +.
3 Definiční obor této funkce je D f = R a její obor hodnot je H f =, +. Funkce je prostá, a proto k ní inverzní funkce y = f eistuje. Najdeme ji jako řešení rovnice = e y +. Z ní snadno dostaneme vztah y = + ln. Tedy inverzní funkce je f = + ln. Její definiční obor je D f = H f = + a její obor hodnot je H f = D f = R. Příklad 9. Nalezněte definiční obor funkce f = ln cos 3 /3. Definiční obor dané funkce najdeme z podmínky cos 3 /3 ekvivalentní vztahu cos 3. Čili cos 3 Tedy D f = k Z = cos 3 ± = 3 π 4 + kπ k π, k + π., k Z = + k >. To je π, k Z. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = arcsin Definiční obor dané funkce najdeme ze vztahů + + Z nich plyne + = = + > + < = = = D f =,. Příklad. Vyjádřete funkce f = argsinh pomocí logaritmů. Funkce y = argsinh je inverzní funkcí k funkci f = sinh = e e. Tedy je řešením rovnice = ey e y. Z této rovnice dostaneme e y e y = = e y = + = e y = ± +. Protože e y >, musíme v posledním vztahu vzít pouze znaménko +. Pak snadno dostaneme y = argsinh = ln
4 Cvičení Číselné množiny arccos Příklad. Najděte definiční obor funkce f =. + Funkce f je dána předpisem f = ep její definiční obor dán nerovnostmi ln + arccos. Proto je + > + = =,, + = =, = D f =,. Příklad. Najděte supremum a infimum množiny M = { R ; < }. Množina M je dána nerovnostmi nebo = < = < = < =. Tedy množina M je interval M = /, +. Protože množina M není shora omezená, neeistuje v R supremum. inf M =. Příklad 3. Nech Q značí množinu všech racionálních čísel. Najděte supremum a infimum množiny M = { Q ; } : a v množině Q; b v množině R. Množina M obsahuje všechna racionální čísla, pro která je. Protože není racionální číslo, neeistuje v množině Q supremum ani infimum této množiny. Naproti tomu v množině reálných čísel R je sup M = a inf M =. Příklad 4. Dokažte, že pro každé n N platí nerovnost n n < n +. 4
5 Dané tvrzení lze dokázat matematickou indukcí. Nejprve ukážeme, že tvrzení platí pro n =. To znamená, že <, což je pravda. 3 V dalším kroku předpokládáme, že uvedené tvrzení platí pro n N, a za tohoto předpokladu musíme ukázat, že tvrzení platí pro n +. Tedy předpokládáme, že platí n n a musíme ukázat, že z toho plyne vztah Podle předpokladu platí nerovnost < n n n + n n + <. n n n + n n + < n + n + n + = n + n +. Ze vztahu n + n + 3 = 4n + 8n + 3 < 4n + 8n + 4 = n + získáme n + nerovnost n + <. Z toho a předchozí nerovnosti již plyne požadovaná n + 3 nerovnost. Příklad 5. Mezi členy aritmetické posloupnosti platí pro každé n N vztah a n+ = a n + d, kde d je konstanta. Dokažte, že pro součet prvních n členů aritmetické posloupnosti platí vztah n s n = a k = a + a + + a n = n k= a + a n. Tvrzení dokážeme indukcí. Pro n = dostaneme s = a = a + a. Tedy pro n = naše tvrzení platí. Dále předpokládáme, že pro n N platí s n = n a + a n. Z tohoto předpokladu musíme ukázat, že tvrzení platí pro n +. Pro s n+ dostaneme s n+ = a + a + + a n + a n+ = s n + a n+ = n a + a n + an+. Pro n tý člen aritmetické posloupnosti platí a n = a + n d. Toto tvrzení dokážeme opět indukcí. Je zřejmé pro n = tvrzení platí. Předpokládejme, že platí pro n N. Člen a n+ je dán vztahem a n+ = a n + d = a + n d + d = a + nd. Tím je vztah a n = a + n d dokázán pro všechna n N. 5
6 Z výše odvozené relace pro s n+ dostaneme s n+ = n a + a + n d + a + nd = n + a + = n + a + a + nd = n + a + a n+. nn + d = Tím je uvedené tvrzení dokázáno pro všechna n N. Příklad 6. Mezi členy geometrické posloupnosti platí pro každé n N vztah a n+ = qa n, kde q je konstanta. Dokažte, že když q platí pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti vztah s n = n k= a k = a + a + + a n = a q n q. Důkaz provedeme matematickou indukcí. Pro n = má naše tvrzení tvar s = a = q a, a tedy platí. q Nyní předpokládáme, že tvrzení platí pro n N a z tohoto předpokladu dokážeme jeho platnost pro n +. Protože pro n + ní člen geometrické posloupnosti platí a n+ = a q n, dostáváme q n s n+ = a + a + + a n + a n+ = s n + a n+ = a q + a q n q n+ = a. q Příklad 7. Nechť f = arccotg a M =,. Najděte obraz množiny M při zobrazení f, tj. množinu fm. Funkce f = arccotg je inverzní funkcí k funkci cotg. Protože je funkce cotg klesající, je také funkce f = arccotg klesající. Navíc je funkce arccotg spojitá na celé, R. Proto je obraz intervalu M =, interval. Protože platí arccotg = π a pro velká záporná se hodnota funkce f = arccotg blíží k π, je obraz 4 množiny M roven fm = π/4, π. Příklad 8. Nechť má funkce f tvar f = a + b a platí f = a f3 = 5. Najděte f a f. 6
7 Nejprve určíme konstanty a a b. Z rovností f = b = a f3 = 3a + b = 5 dostaneme a = 7 3 a b =. Tedy f = 7 3. Odtud plyne f = 3 a f = 8 3. Příklad 9. Najděte funkci f tvaru f = a + b c, jestliže je f = 5, f = 3 a f4 = 9. Konstanty a, b a c musí splňovat soustavu rovnic f = a + b = 5, f = a + b c = 3, f4 = a + b c 4 = 9. Z této soustavy rovnic plyne a = 5 b, b c = 5, b c 4 = 75 = c4 c = c + = 5 = = c = 4 = c = ± c = c =, b = 5, a = = f = + 5. Příklad. Nechť má funkce f definiční obor D f =,. Najděte definiční obor funkce g = fln. Definiční obor funkce g určíme z podmínky < ln <. To znamená, že D g =, e. Příklad. Najděte z jako funkci a y, jestliže platí arctg z = arctg + arctg y. Podle definice platí pro každé R rovnost tg arctg =. Pro jednoduchost označme α = arctg a β = arctg y. Pak platí tg α = a tg β = y. Z definiční rovnice dostaneme z = tg arctg z = tgα + β = tg α + tg β tg α tg β = + y y. Příklad. Nechť je ϕ = sgn a ψ =. Najděte funkce ϕ ϕ = ϕ ϕ, ψ ψ = ψ ψ, ϕ ψ = ϕ ψ a ψ ϕ = ψ ϕ. V případě ϕ ϕ dostaneme pro > rovnost sgn sgn = sgn = ; pro = dostáváme sgn sgn = sgn = a pro < rovnost sgn sgn = sgn =. Tedy ϕ ϕ = ϕ. 7
8 V případě ψ ψ dostaneme ψ ψ = =,. / V případě ϕ ψ dostáváme pro > vztah ϕ ψ = sgn / = a pro < vztah ϕ ψ = sgn / =. Tedy ϕ ψ = sgn a definiční obor této funkce je R \ {}. V případě ψ ϕ je pro > ψ ϕ = a pro < je ψ ϕ =. Tedy ψ ϕ = sgn s definičním oborem R \ {}. Příklad 3. Najděte f, jestliže platí f =. + Označme y =. Pak je = y. Po dosazení do daného vztahu dostaneme + y y fy =. Tedy f = y. Příklad 4. Je funkce f = ln sudá nebo lichá? + Platí f = ln + = ln + = f. Funkce je lichá. Příklad 5. Najděte nejmenší periodu funkce f = sin + sin + 3 sin 3. Funkce f je součtem tří periodických funkcí f = sin, f = sin a f 3 = 3 sin 3. Jejich nejmenší periody jsou po řadě L = π, L = π a L 3 = 6π. Nejmenší perioda je nejmenší společný násobek těchto tří period. Tedy nejmenší perioda je L = 6π. Příklad 6. Najděte nejmenší periodu funkce f = cos + sin. Funkce f je součtem dvou periodických funkci f = cos a f = sin. Jejich nejmenší periody jsou L = π a L = π. Protože je iracionální číslo, neeistují přirozená čísla p a q taková, že p = q. Daná funkce není periodická. 8
9 Příklad. Najděte limitu lim n Daný výraz lze upravit na tvar n + 3n + 3n 8 lim n n 3 n + Cvičení 3 Limity posloupností n + 3n + 3n 8 n 3 n. + + /n3 + /n3 8/n = lim n /n + /n 3 = 8. n Příklad. Podle definice ukažte, že lim n n 3 + =. K danému ε > máme najít n N tak, aby pro každé n > n bylo Platí nerovnosti n n 3 + n n 3 = n n. Proto stačí zvolit n < ε. Tedy lze vzít jakékoliv n > ε. n n 3 + < ε. n + 4 n 4 Příklad 3. Najděte lim n n n 3. Daný výraz lze upravit na tvar n + 4 n 4 Tedy lim n n n 3 = 4. n + 4 n 4 n n 3 = 8n3 + 8n n 3 + 6n. Příklad 4. Najděte lim n n +! + n!. n +! n! Daný výraz lze například napsat ve tvaru n +! + n! n +! n! n +! + n! Tedy lim n n +! n! = n! n + n + n! n + n n = 4n + n + 4n. =. 9
10 n n Příklad 5. Určete lim n n+8 3 n+. Po zkrácení 3 n dostaneme lim n n n 3 /3 n + n+8 = lim 3n+ n 8 /3 n 3 = 3. a n Příklad 6. Kolik je lim, kde a >? n + an Pro a > je lim n an = +. Proto je pro a > lim n a n + a n = lim n Pro a = je daný výraz roven konstantě a n =, a tedy lim 3 n Pro < a < je lim n an =. Proto je lim n a n + a n =. a n + =. a n + a n = 3. 5n sin n! Příklad 7. Najděte lim n n +. Posloupnost sin n! je omezená, protože sin n!. Neboť 5n sin n! lim n n + =. lim n 5n n + =, je 5n cos n Příklad 8. Najděte lim n 3n + 7. Tato limita neeistuje. Je jednoduché ukázat, že lim n 3n + 7 = 5. Ale již není tak 3 snadné ukázat, že posloupnost a n = cos n nemá limitu. Přesto kdybyste se moc snažili, ukážete, že množina hromadných bodů této posloupnosti je celý interval,. Ale spíš si to jen pamatujte. 5n Příklad 9. Najděte limitu lim 4 n. n n
11 Jak by měl každý vědět, je tato limita rovna lim 4 n = e n n 4. Nedokazujte to, ale taky si příklady podobného typu spíš pamatujte. 3n+ n + 3 Příklad. Kolik je lim? n n Daný výraz lze upravit ne tvar 3n+ n + 3 = + 4 3n+. n n 3n+ n + 3 Tedy byste měli vědět, že lim = e 6. n n Příklad. Najděte lim n ln +. n n Protože víme, že lim + n = e, dostaneme lim n n n ln + =. n n Příklad. Dokažte, že platí následující věta: Nechť lim α n = a lim β n = ±. n n βn Pak je lim + αn = ep lim α nβ n. n n Daný výraz je typu. Proto jej upravíme na tvar βn + αn = e β n ln +α n = ep β n α n ln + α n. α n Pak je ale lim n + αn βn = ep lim n βn α n lim n ln + α n α n. Ale podle předchozího příkladu lze tušit toto tvrzení dokážeme později, že ln + α n =. Proto platí lim n α n lim n βn + αn = ep lim α nβ n. n
12 Příklad 3. Najděte lim + n n +3 n n 3. + Z předcházejícího příkladu plyne, že stačí najít lim lim + n n +3 n n 3 = e. + n n n n =. Tedy + Příklad 4. Určete hromadné body posloupnosti,, 4, 8, 7 8,..., n, n n,.... Tato posloupnost je složena ze dvou podposloupností těchto posloupností jsou lim n posloupnosti a n jsou body a. n = a lim n n a n n. Limity n n =. Tedy hromadné body Příklad 5. Najděte hromadné body posloupnosti a n = cos nπ. 3n Daná posloupnost je součtem dvou posloupností. První posloupnost 3 4 3n má limitu 3. Druhou posloupnost lze napsat ve tvaru cos nπ = n. Tato posloupnost má hromadné body ±. Proto jsou hromadné body dané posloupnosti rovny 5 a Příklad 6. Určete hromadné body posloupnosti, 3, 3, 4, 4, 3 4,..., n, n,..., n n,.... Posloupnost a n obsahuje všechna racionální čísla z intervalu,. Proto je množina hromadných bodů této posloupnosti celý interval,.
13 Příklad. Najděte limitu lim n Daný výraz lze upravit na tvar n + 3n + 3n 8 lim n n 3 n + Cvičení 3 Limity posloupností n + 3n + 3n 8 n 3 n. + + /n3 + /n3 8/n = lim n /n + /n 3 = 8. n Příklad. Podle definice ukažte, že lim n n 3 + =. K danému ε > máme najít n N tak, aby pro každé n > n bylo Platí nerovnosti n n 3 + n n 3 = n n. Proto stačí zvolit n < ε. Tedy lze vzít jakékoliv n > ε. n n 3 + < ε. n + 4 n 4 Příklad 3. Najděte lim n n n 3. Daný výraz lze upravit na tvar n + 4 n 4 Tedy lim n n n 3 = 4. n + 4 n 4 n n 3 = 8n3 + 8n n 3 + 6n. Příklad 4. Najděte lim n n +! + n!. n +! n! Daný výraz lze například napsat ve tvaru n +! + n! n +! n! n +! + n! Tedy lim n n +! n! = n! n + n + n! n + n n = 4n + n + 4n. =. 3
14 n n Příklad 5. Určete lim n n+8 3 n+. Po zkrácení 3 n dostaneme lim n n n 3 /3 n + n+8 = lim 3n+ n 8 /3 n 3 = 3. a n Příklad 6. Kolik je lim, kde a >? n + an Pro a > je lim n an = +. Proto je pro a > lim n a n + a n = lim n Pro a = je daný výraz roven konstantě a n =, a tedy lim 3 n Pro < a < je lim n an =. Proto je lim n a n + a n =. a n + =. a n + a n = 3. 5n sin n! Příklad 7. Najděte lim n n +. Posloupnost sin n! je omezená, protože sin n!. Neboť 5n sin n! lim n n + =. lim n 5n n + =, je 5n cos n Příklad 8. Najděte lim n 3n + 7. Tato limita neeistuje. Je jednoduché ukázat, že lim n 3n + 7 = 5. Ale již není tak 3 snadné ukázat, že posloupnost a n = cos n nemá limitu. Přesto kdybyste se moc snažili, ukážete, že množina hromadných bodů této posloupnosti je celý interval,. Ale spíš si to jen pamatujte. 5n Příklad 9. Najděte limitu lim 4 n. n n 4
15 Jak by měl každý vědět, je tato limita rovna lim 4 n = e n n 4. Nedokazujte to, ale taky si příklady podobného typu spíš pamatujte. 3n+ n + 3 Příklad. Kolik je lim? n n Daný výraz lze upravit ne tvar 3n+ n + 3 = + 4 3n+. n n 3n+ n + 3 Tedy byste měli vědět, že lim = e 6. n n Příklad. Najděte lim n ln +. n n Protože víme, že lim + n = e, dostaneme lim n n n ln + =. n n Příklad. Dokažte, že platí následující věta: Nechť lim α n = a lim β n = ±. n n βn Pak je lim + αn = ep lim α nβ n. n n Daný výraz je typu. Proto jej upravíme na tvar βn + αn = e β n ln +α n = ep β n α n ln + α n. α n Pak je ale lim n + αn βn = ep lim n βn α n lim n ln + α n α n. Ale podle předchozího příkladu lze tušit toto tvrzení dokážeme později, že ln + α n =. Proto platí lim n α n lim n βn + αn = ep lim α nβ n. n 5
16 Příklad 3. Najděte lim + n n +3 n n 3. + Z předcházejícího příkladu plyne, že stačí najít lim lim + n n +3 n n 3 = e. + n n n n =. Tedy + Příklad 4. Určete hromadné body posloupnosti,, 4, 8, 7 8,..., n, n n,.... Tato posloupnost je složena ze dvou podposloupností těchto posloupností jsou lim n posloupnosti a n jsou body a. n = a lim n n a n n. Limity n n =. Tedy hromadné body Příklad 5. Najděte hromadné body posloupnosti a n = cos nπ. 3n Daná posloupnost je součtem dvou posloupností. První posloupnost 3 4 3n má limitu 3. Druhou posloupnost lze napsat ve tvaru cos nπ = n. Tato posloupnost má hromadné body ±. Proto jsou hromadné body dané posloupnosti rovny 5 a Příklad 6. Určete hromadné body posloupnosti, 3, 3, 4, 4, 3 4,..., n, n,..., n n,.... Posloupnost a n obsahuje všechna racionální čísla z intervalu,. Proto je množina hromadných bodů této posloupnosti celý interval,. 6
17 Cvičení 5 Derivace Příklad. Najděte derivaci funkce f = Funkci f lze zapsat ve tvaru f = Podle věty o linearitě derivace a známého vztahu n = n n je f = Příklad. Najděte derivaci funkce f = +. Jestliže napíšeme funkci f ve tvaru f =, snadno dostaneme + f = 4 +. Příklad 3. Najděte derivaci funkce f = + ln. Pomocí věty o derivaci podílu získáme f = + ln = ln. Příklad 4. Najděte derivaci funkce f =. Když napíšeme funkci f ve tvaru f = e ln, získáme pomocí věty o derivaci složené funkce f = e ln ln = + ln. Příklad 5. Najděte derivaci funkce f =. 7
18 Jestliže napíšeme funkci f ve tvaru f = e ln, získáme pomocí věty o derivaci složené funkce f = e ln ln + = ln +. Příklad 6. Najděte derivaci funkce f = ln arctg. Podle věty o derivaci složené funkce a známých vzorců pro derivace je f = arctg +. Příklad 7. Najděte derivaci funkce f = log + +. Podle věty o derivaci složené funkce a známých vzorců pro derivace je f = ln = + ln +. Příklad 8. Najděte derivaci funkce f = ln lnln. Podle věty o derivaci složené funkce a známých vzorců pro derivace je f = lnln ln. Příklad 9. Najděte derivaci funkce f = arcsin. Podle věty o derivaci složené funkce a známých vzorců pro derivace je f = =. Příklad. Najděte derivaci funkce f = arccotg tg. 8
19 Podle věty o derivaci složené funkce a známých vzorců pro derivace je f = + tg cos = cos + sin =. Příklad. Najděte derivaci funkce f = ln. Funkci f přepíšeme do tvaru f = e ln. Podle věty o derivaci složené funkce dostaneme f = e ln ln = +ln ln. Příklad. Najděte derivaci funkce f = ln tg Pomocí vět o derivacích postupně dostaneme f = = tg/ cos / sin3 sin cos sin 4 4 sin/ cos/ sin cos sin 3 = sin + cos sin 3 = sin 3. = cos sin. = sin + sin + cos sin 3 = Příklad 3. Najděte derivaci funkce f = cotg + ln sin. Pomocí vět o derivacích postupně dostaneme f = cotg + sin + cos sin = sin sin = = cos sin = cotg. Příklad 4. Najděte derivaci funkce f = arctg + ln +. 9
20 Pomocí vět o derivacích postupně dostaneme f = arctg = arctg + + = arctg = + + = arctg +. + = Příklad 5. Najděte derivaci f funkce f = + arcsin +. V některých případech když hledáme derivaci funkce f v daném bodě, není třeba hledat derivaci v obecném bodě, ale určit derivaci pomocí definice. Například v tomto případě je f =. Tedy podle definice derivace je f = lim h [ + h + h + h arcsin h + h = + lim h arcsin ] = + h + h = + arcsin = + π 4. Jinak lze výpočet zjednodušit i jiným způsobem. Podle věty o derivaci součtu a součinu je f = + arcsin + + [ arcsin Protože v bodě = je + rovno a derivace funkce v tomto bodě omezená je f = + arcsin [ + arcsin + + ]. [ arcsin ] = = + π 4. + ] je Příklad 6. Nechť je D tzv. Dirichletova funkce, která je definována předpisem { pro iracionální D = pro racionální.
21 Najděte derivaci funkce f = D v bodě =. Protože funkce D není spojitá dokonce v žádném bodě, musíme se pokusit najít derivaci f pomocí definice. Podle ní je f = lim h fh f h = lim h h Dh h = lim h hdh. Protože platí hdh h, je tato limita rovna nule. Tedy f =. Příklad 7. Najděte obě jednostranné derivace funkce f = e v bodě =. Pro je f = e = e. Tedy f + =. Pro je f = e = e. Tedy f =. Příklad 8. Najděte obě jednostranné derivace funkce f = 3 v bodě =. Derivace funkce f = 3 je v obecném bodě různém od nuly dána vztahem f = 3 /3. V bodě = není tato derivace definována. Proto raději určíme jednostranné derivace přímo z definice. Pro platí 3 f + h = lim = lim h /3 = +. h + h h + Pro platí f + = lim h 3 h h = lim h h /3 =. Příklad 9. Najděte derivaci f funkce f = sin pro a f =. Protože je lim f =, je funkce f v bodě = spojitá. Lze se tedy pokusit najít její derivaci. Derivace funkce f v obecném bodě je f = sin cos. Tato funkce ale nemá limitu v bodě =. Přesto je [ f = lim h sin h ] h h = lim h sin =. h h Tedy derivace funkce f = sin v bodě = eistuje a je rovna nule. Uvědomte si, že derivace této spojité funkce není v bodě = spojitá.
22 Cvičení 6 Diferenciály a geometrický význam derivace Příklad. Najděte diferenciál df ; h, kde f = sin + a = π. Diferenciál df ; h funkce f v bodě je definován vztahem df ; h = f h. Protože platí f = sin + = e lnsin +, je Tedy f π/ = a dfπ/; h = h. f = sin lnsin + cos +. sin Příklad. Najděte diferenciál df ; h, kde f = cosh +e a =. Diferenciál df ; h funkce f v bodě je definován vztahem df ; h = cosh f h. Protože platí f = + e = e cosh ln + e, je f = cosh sinh ln + cosh Tedy f = a df; h = h. + e. Příklad 3. Najděte diferenciál df ; h, kde f = =. cosh e + e 3 a Diferenciál df ; h funkce f v bodě je definován vztahem df ; h = cosh f h. Protože platí f = e + e 3 = e cosh lne + e 3, je f = e cosh sinh lne + cosh Tedy f = 3 a df, h = 3h. e 3e 3. Příklad 4. Najděte diferenciál df ; h, kde f = sin + a = π.
23 Diferenciál df ; h funkce f v bodě je definován vztahem df ; h = f h. Protože platí f = sin + = e lnsin +, je Tedy f π/ = a dfπ/; h = h. f = sin lnsin + cos +. sin Příklad 5. Pomocí diferenciálu najděte přibližně hodnotu.3. Pomocí diferenciálu lze pro hodnotu diferencovatelné funkce f v bodě přibližně psát f f + df ; = f + f = f + f. V našem případě zvolíme f =, = a = =.3. Potom je f = f = a f = ln. Tedy f = f = ln. Protože ln. =.6935 dostaneme.3 + ln.3. =.4. Příklad 6. Pomocí diferenciálu najděte přibližně hodnotu ln.. Pomocí diferenciálu lze pro hodnotu diferencovatelné funkce f v bodě přibližně psát f f + df ; = f + f = f + f. V našem případě zvolíme f = ln, = a = =.. Potom je f = f = a f =. Tedy f = f =. Tedy ln... Příklad 7. Pomocí diferenciálu najděte přibližně hodnotu 8. Pomocí diferenciálu lze pro hodnotu diferencovatelné funkce f v bodě přibližně psát f f + df ; = f + f = f + f. V našem případě zvolíme f =, = 8 a = =. Potom je f = f8 = 9 a f =. Tedy f = f 8 = 8. Tedy =
24 Příklad 8. Pro měření gravitačního zrychlení pomocí kyvů kyvadla se používá vztah g = 4π l, kde l je délka kyvadla, T je perioda kyvu kyvadla. Jak se odrazí T na hodnotě g relativní chyba δ při měření: a délky l; b periody T? Předpokládejme, že l a T jsou přesné hodnoty délky kyvadla a jeho periody. Pak je přesná hodnota gravitačního zrychlení g = 4π l. Jestliže měřením zjistíme délku kyvadla l = l + l, resp. periodu T = T + T l = l l a T = T T se nazývají absolutní chyba a veličiny δl = l a δt = T jsou relativní chyby, l T najdeme z daného vzorce zrychlení g = 4π l, resp. g = 4π l T T. Absolutní chyba nalezeného gravitačního zrychlení je g = g g = 4π l l, resp. g = g g = T T 4π l T 4π l T. Relativní chybu měření g pak definujeme jako δg = g. pomocí g diferenciálů pak dostaneme v prvním případě g = 4π T l tj. δg = δl. Ve druhém případě je g = 4π l T + T 4π l T 8π l T 3 T, tedy δg = δt. Obecně jestliže je znám vztah mezi dvěmi veličinami y = f a z měření veličiny určujeme pomocí tohoto vztahu veličinu y, dostaneme pro absolutní a relativní chyby vztahy y = f f = f + f f a δy = y y f f. Příklad 9. Najděte rovnice tečny ke grafu funkce f = arccotg ln + ln v bodě M = [ ;? ]. Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě je y y = f, kde y = f. V našem případě je y = f = arccotg = π 4 a protože f = ln + + ln + ln / ln / + ln, 4
25 je f =. Tedy rovnice hledané tečny je y π 4 =, neboli y = + π 4. Příklad. Najděte rovnice tečny ke grafu funkce f = ln v bodě M = [ ;? ]. Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě je y y = f, kde y = f. V našem případě je y = f = a protože f = ln, je f =. Tedy rovnice hledané tečny je y =, neboli y = +. Příklad. Najděte rovnice tečny ke grafu funkce f = sin v bodě M = [ π;? ]. Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě je y y = f, kde y = f. V našem případě je y = fπ = a protože platí f = e sin ln, je f = cos sin ln + sin. Tedy f π = lnπ. Rovnice hledané tečny je y = lnπ π, neboli y = lnπ + π lnπ +. Příklad. Najděte rovnice tečny ke grafu funkce f = cos cosh +3 v bodě M = [ ;? ]. Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě je y y = f, kde y = f. V našem případě je y = f = a protože platí f = e cosh lncos + 3, je f = cos cosh sinh lncos cosh tg + 3. Tedy f = 3. Rovnice hledané tečny je y = 3, neboli y = 3 +. Příklad 3. Najděte rovnice normály ke grafu funkce f = v bodě M = [ ;? ]. cosh + e 5
26 Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě je f y y =, kde y = f. V našem případě je y = f = a protože platí f = e cosh ln + e, je f = cosh sinh ln + cosh + e. Tedy f =. Rovnice hledané normály je y =, neboli y = +. Příklad 4. Najděte rovnice normály ke grafu funkce f = sin + v bodě M = [ π/;? ]. Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě je f y y =, kde y = f. V našem případě je y = fπ/ = + π a protože platí f = 4 e lnsin +, je f = sin lnsin + cos +. sin Tedy f π/ = π. Rovnice hledané normály je π y π = π 4, neboli y = π + π Příklad 5. Najděte rovnice normály ke grafu funkce f = cos cosh + 3 v bodě M = [ ;? ]. Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě je f y y =, kde y = f. V našem případě je y = f = a protože platí f = e cosh lncos + 3, je f = cos cosh sinh lncos cosh tg + 3. Tedy f = 3. Rovnice hledané normály je 3y =, neboli y = 3 +. Příklad 6. Najděte rovnice normály ke grafu funkce f = ln bodě M = [ /;? ]. v 6
27 Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě je f y y =, kde y = f. V našem případě je y = f/ = ln 3. Protože f = +, je f / = 8 3. Tedy rovnice hledané normály je 8 3 y = ln 3. y + ln 3 =, neboli Příklad 7. Najděte rovnice normály ke grafu funkce f = sin + 3 cos v bodě M = [ π/;? ]. Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě je f y y =, kde y = f. V našem případě je y = fπ/ = a protože platí f = e lnsin + 3 cos, je f = sin lnsin + cos 3 sin. sin Tedy f π/ = 3. Rovnice hledané normály je 3y = π, neboli y = 3 + π 6. Příklad 8. Najděte rovnice normály ke grafu funkce f = 4 sin + 3 cos v bodě M = [ ;? ]. Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě je f y y =, kde y = f. V našem případě je y = f = 4 a protože platí f = e sin ln4 + 3 cos, je f = 4 sin cos ln4 4 sin 3 sin. Tedy f = ln 4. Rovnice hledané normály je ln 4 y 4 =, neboli y = ln Příklad 9. Určete rovnici tečny ke grafu funkce y = 3 +, která je rovnoběžná s přímkou y = 4. 7
28 Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě je dána rovnicí y y = f, kde y = f. Protože f je směrnice hledané tečny, která má být rovnoběžná s danou přímkou, jejíž směrnice je k = 4, budeme hledat na grafu funkce y = 3 + body [ ; y ], ve kterém je f = 3 + = 4. Z této rovnice najdeme = ±. Proto jsou body dotyku [; ] nebo [ ; 4]. Rovnice hledané tečny tedy jsou y = 4 nebo y + 4 = 4 +. Hledaná rovnice tečny je y = 4, která se grafu funkce dotýká ve dvou bodech [; ] a [ ; 4]. Příklad. Určete rovnici tečny ke grafu funkce y = , která je kolmá na přímku 6y + =. Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě je dána rovnicí y y = f, kde y = f. Protože f je směrnice hledané tečny, která má být kolmá na danou přímkou, jejíž směrnice je k =, budeme hledat na grafu funkce 3 y = body [ ] ; y, ve kterém je f = = 3. Z této rovnice najdeme =. Proto je bod dotyku [ ; 3]. Rovnice hledané tečny tedy je y + 3 = 3 +, neboli y = 3 6. Příklad. Určete rovnici tečny ke grafu funkce y = ln, která je kolmá na přímku y =. Směrnice dané přímky je k p =. Protože hledáme tečnu kolmou na tuto přímku, musí být její směrnice rovna k t =. Protože směrnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě je k t = f, musí pro platit rovnice f = =. Tedy bod dotyku je [; ln ]. Rovnice hledané tečny je tedy y ln =, neboli y = + ln. Příklad. Určete rovnici normály ke grafu funkce y = 4 + 5, která je rovnoběžná s přímkou + 4y =. Daná přímka má směrnici k p = 4. Normála ke grafu funkce y = f v bodě má směrnici k n = f. Protože hledáme rovnici normály rovnoběžné s danou přímkou, musí pro bod platit f = 4 = 4. Z toho plyne = 4 a y = f = 5. Rovnice hledané normály je tedy y 5 = 4, neboli 4 y =
29 Příklad 3. Určete rovnici normály ke grafu funkce y = +, která je kolmá na přímkou y = + 4. Daná přímka má směrnici k p =. Přímka kolmá na tuto přímku má směrnici k =. Normála ke grafu funkce y = f v bodě má směrnici k n = f. Protože hledáme rovnici normály kolmé danou přímkou, musí pro bod platit f = =. Z toho plyne = a y = f =. Rovnice hledané normály je tedy y =, neboli y =. Příklad 4. Ke grafu funkce y = + 9 veďte tečny, které procházejí bodem [; ]. + 5 Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě je y y = f, kde y = f. Naším úkolem je na grafu funkce y = f najít bod [ ] ; y tak, aby přímka y y = f procházela bodem [; ], tj. bod, pro který platí y = f. Protože je y = a f 4 =, budeme hledat + 5 řešení rovnice = 4 + 5, čili =. Její řešení jsou = 3 nebo = 5. Hledané body dotyku proto jsou [ 3; 3] nebo [ 5; 3/5]. Protože je f 3 = a f 5 =, dostáváme dvě tečny y 3 = + 3, neboli 5 y =, a y =, neboli y = 5 5. Příklad 5. Ke grafu funkce y = veďte tečny, které procházejí bodem [ ; ]. Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě je y y = f, kde y = f. Naším úkolem je na grafu funkce y = f najít bod [ ; y ] tak, aby přímka y y = f procházela bodem [ ; ], tj. bod, pro který platí y = f. Protože je f =, musí splňovat rovnici =, čili =. Její řešení jsou = ±. Tedy hledané body dotyku jsou [ + ; ] a [ ; ]. Protože je f + = 3 + a f = 3, jsou rovnice hledaných tečen 9
30 y + = 3 +, neboli y = 3 + +, a y + + = 3 +, neboli y = 3. Příklad 6. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7 y = 4, které jsou kolmé na přímku + 4y 3 =. Směrnice dané přímky je k p =. Proto musí být směrnice tečny rovna k t =. Budeme tedy na hyperbole hledat body [ ; y ] takové, aby y = f =. Předpokládejme, že jsme našli řešení y = y rovnice 7 y = 4. Jestliže derivujeme tuto rovnice, dostaneme v bodě vztah 4 4y y =. Hledané body dotyku [ ; y ] tedy musí proto splňovat vztahy 4 8y = a 7 y = 4. Řešení této soustavy rovnice nám dá dva body dotyku [4; 7] a [ 4; 7]. Eistují tedy dvě tečny s danými vlastnostmi: y 7 = 4, neboli y =, a y + 7 = + 4, čili y = +. 3
31 Cvičení 7 L Hospitalovo pravidlo, derivace vyšších řádů Příklad. Dokažte nerovnost sin sin y y. Uvažujme funkci f = sin. Protože je f = a f = cos, eistuje podle Lagrangeovy věty o střední hodnotě číslo ξ,, pro které platí rovnost f f = sin = cos ξ. Protože je cos ξ dostaneme pro > nerovnost sin. Tedy pro platí nerovnost sin. Pomocí vztahu sin sin y = cos + y sin y dostaneme sin sin y = cos + y protože cos + y a sin y sin y y. sin y y, cosh cos Příklad. Najděte lim. Jde o limitu výrazu typu. Protože čitatel i jmenovatel jsou diferencovatelné funkce, lze použít l Hospitalovo pravidlo. Pomocí něj dostaneme cosh cos lim sinh + sin = lim. Limita je opět typu. Proto použijeme l Hospitalovo pravidlo ještě jednou a dostaneme cosh cos lim = lim sinh + sin = lim cosh + cos =. tg Příklad 3. Najděte lim sin. Jde o limitu typu. Všechny předpoklady pro použití l Hospitalova pravidla jsou splněny. Pomocí něj dostaneme lim tg sin = lim cos cos = lim cos cos lim cos = lim +cos =. 3
32 Příklad 4. Najděte lim cotg. Nejprve najdeme limitu lim cotg. Ta je typu. Ale lze psát lim cotg = lim cos sin = lim cos lim sin =. Proto je daná limita typu. Všechny předpoklady pro použití l Hospitalova pravidla jsou splněny. Proto je cotg lim cotg = lim sin sin cos = lim sin sin cos = lim 3 lim sin = lim = lim sin 6 = 3. = cos sin 6 = Příklad 5. Najděte lim cos sin. Jde o limitu typu. Protože jsou splněny všechny předpoklady pro použití l Hospitalova pravidla, je jej pro výpočet této limity možné použít. Ale při podrobnějším zkoumání daného výrazu, zjistíme, že se v něm proměnná vyskytuje pouze ve tvaru. Proto je možné zavést pomocnou proměnnou t = a zkoumat limitu cos t lim, pro kterou je použití l Hospitalova pravidla jednodušší. Dostaneme t + t sin t cos lim sin = lim cos t t + t lim t + t sin t = lim sin t t + t =. Příklad 6. Najděte lim arcsin arcsin 3. Jde o limitu typu. Všechny předpoklady l Hospitalova pravidla jsou splněny. 3
Cvičení 1 Elementární funkce
Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceMonotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak
Vícec ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007
20. srpna 2007 1. f = 3 12 2. f = 2 e 3. f = ln Příklad 1. Nakreslete graf funkce f() = 3 12 Příklad 1. f = 3 12 Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován. Příklad 1. f = 3 12 f =
VíceDefinice derivace v bodě
Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +
VíceNMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 16. ledna 2009
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 3 5 Celkem bodů Bodů 8
Více{ } Ox ( 0) 4.2. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Definice Obr. 52. Poznámka. nad tečnou
Konvenost, konkávnost, inflee 4.. Konvenost, konkávnost, inflee Definice 4... Nechť eistuje f ( ), D f. Řekneme, že funkce f ( ) je v bodě konkávní, jestliže eistuje { } O ( ) tak, že platí D : O( )\ f(
Více. 1 x. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7x 2 2y 2 = 14, které jsou kolmé k přímce 2x+4y 3 = 0. 2x y 1 = 0 nebo 2x y + 1 = 0.
Diferenciální počet příklad s výsledky ( Najděte definiční obor funkce f() = ln arcsin + ) D f = (, 0 Najděte rovnici tečny ke grafu funkce f() = 3 +, která je rovnoběžná s přímkou y = 4 4 y 4 = 0 nebo
VíceMATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech
MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 008 0 doplněné o další úlohy. část DIFERENCIÁLNÍ POČET funkcí jedné proměnné Další část ( integrální počet) bude vydána na konci listopadu 9. 9. 0 Případné
VíceKatedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava.
SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY JIŘÍ BOUCHALA Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 3 Předmluva Cílem této sbírky je poskytnout studentům vhodné
VícePříklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6
Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly
VíceLimita a spojitost funkce
Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném
VícePRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ
Dierenciální počet unkcí jedné reálné proměnné - 5 - PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Cílem vyšetřování průběhu unkce je umět nakreslit její gra Obvykle postupujeme tak že nalezneme její maimální deiniční
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
VíceF (x) = f(x). Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak existuje k funkci f primitivní funkce na intervalu I.
KAPITOLA 7: 7. Úvod Primitivní funkce [MA-6:P7.] Definice: Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže pro každé I eistuje F a platí F f. Poznámky: Obsahuje-li I některý z krajních
Více2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je
Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)
Vícef(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0
KAPITOLA 5: Spojitost a derivace na intervalu [MA-8:P5] 5 Funkce spojité na intervalu Věta 5 o nulách spojité funkce: Je-li f spojitá na uzavřeném intervalu a, b a fa fb < 0, pak eistuje c a, b tak, že
VíceMATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel
MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní
VíceNMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 4. února 2009
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 4 Celkem bodů Bodů 4 4
Více+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)
Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené
Vícearcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.
Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál
VícePro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)
Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor
VíceNMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 17. února ( sin (π 2 arctann) lim + 3. n 2. π 2arctan n. = lim + 3.
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 3 Celkem bodů Bodů 5 7 0
VíceObsah. Derivace funkce. Petr Hasil. L Hospitalovo pravidlo. Konvexnost, konkávnost a inflexní body Asymptoty
Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) / 46 Obsah Základní vlastnosti derivace Geometrický význam derivace Věty o střední hodnotě L Hospitalovo pravidlo 2 Etrémy Konvenost,
VíceSeminární práce z matematiky
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Seminární práce z matematiky Vyšetřování průběhu funkcí Autor: Vyučující: Ondřej Vejpustek RNDr Eva Davidová Ostrava, 0 Taylorův polynom pro
VíceDiferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy
Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)
VíceOznačení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x).
9 Využití derivace 9.1 Derivace vyšších řádů Definice 1. Nechť funkce má derivaci v nějakém okolí bodu c D(f). Nechť funkce ϕ() =f () máderivacivboděc. Pak hodnotu ϕ (c) nazýváme derivací 2. řádu (2. derivací)
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/4.080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
VíceOtázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
VíceDiferenciální počet funkce jedné proměnné 1
Diferenciální počet funkce jedné proměnné Limita funkce Pojem limita můžeme česk vjádřit jako mez, případně hranice Zavedení pojmu limita si objasníme na příkladu Příklad : Funkce f ( ) Obr 6: Graf funkce
VíceText může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.
VíceMatematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16
Matematika 1 3. přednáška 1 Derivace 2 Vlastnosti a použití 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 1 / 16 1. zápočtový test již během 2 týdnů. Je nutné se něj registrovat přes webové rozhraní na https://amos.fsv.cvut.cz.
VíceLOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce
Více7.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P7.1a]
KAPITOLA 7: 7. Úvod Primitivní funkce [MA-8:P7.a] Definice: Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže pro každé I eistuje F a platí F f. Poznámky: Obsahuje-li I některý z krajních
VíceMATEMATICKÁ ANALÝZA STUDIJNÍ OPORA PRO KOMBINOVANÉ
MATEMATICKÁ ANALÝZA STUDIJNÍ OPORA PRO KOMBINOVANÉ STUDIUM MATEMATICKÁ ANALÝZA RNDr. Vladimíra MÁDROVÁ, CSc., RNDr. Vratislava MOŠOVÁ, CSc., Moravská vysoká škola Olomouc, o.p.s., 8 Moravská vysoká škola
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická akulta DRUHÁ SEMINÁRNÍ PRÁCE Z DIFERENCIÁLNÍHO POČTU PRŮBĚH FUNKCE 000/001 Cirik, M-ZT Zadání: Vyšetřete průběh unkce ( ) : y Vypracování: ( ) : y Předně určíme deiniční
VíceFunkce. Vlastnosti funkcí
FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční
VíceObsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
VíceMatematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )
Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)
VíceDerivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace
Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace
VíceFunkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z ÚVODU DO MATEMATICKÉ ANLÝZY FUNKCE 999/000 CIFRIK Funkce F a) Zadání: Vyšetřete bez užití limit a derivací funkci : y = { x } f Definice:
VíceAplikace derivace ( )
Aplikace derivace Mezi aplikace počítáme:. LHospitalovo pravidlo. Etrémy funkce (růst a pokles funkce) 3. Inflee (konávnost a konvenost). Asymptoty funkce (se i bez směrnice) 5. Průběh funkce 6. Ekonomické
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceWikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017
Matematika I - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 7 Obsah Limity a spojitost. l Hôpitalovo pravidlo zakázáno............................ 4. l Hôpitalovo pravidlo povoleno............................
Více1 L Hospitalovo pravidlo
L Hospitalovo pravidlo Věta.. Bud R R R {± }). Necht je splněna jedna z podmínek i) ii) f) g), g). Eistuje-li vlastní nebo nevlastní) f ) g ) Obdobné tvrzení platí i pro jednostranné ity., pak eistuje
VíceVypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Průběh funkce Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Průběhem funkce rozumíme určení vlastností funkce
VíceII.7.* Derivace složené funkce. Necht jsou dány diferencovatelné funkce z = f(x,y), x = x(u,v), y = y(u,v). Pak. z u = f. x x. u + f. y y. u, z.
II.7.* Derivace složené funkce Necht jsou dán diferencovatelné funkce z = f(,), = (u,v), = (u,v). Pak u = u + u, v = v + v. Vpočítejte derivace daných diferencovatelných funkcí. Příklad 0. Jsou dán diferencovatelné
VícePavlína Matysová. 5. listopadu 2018
Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby
Vícef(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech f(x) = (sin x) x2 + 3 cos x
Příkad Nalezněte definiční obor funkce f(x) = ln arcsin + x x Určete definiční obor funkce f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech [;?] a Určete definiční obor
VíceDerivace úvod. Jak zjistit míru změny?
Derivace úvod P ČEZ Jak zjistit míru změny? Derivace nám dá odpověď jestli je funkce: rostoucí/klesající konkávní/konvení jak moc je strmá jak moc roste kde má maimum/minimum 1000 700 P ČEZ P ČEZ 3% 4%
VíceMatematická analýza I
Matematická analýza I Cvičení 1 (4. 10. 2016) Definice absolutní hodnoty. Řešení nerovnic s absolutními hodnotami. Geometrická interpretace řešení nerovnice x + 1 < 3. Komplexní čísla a operace s nimi,
VíceDerivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace
Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako
Vícedx se nazývá diferenciál funkce f ( x )
6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí
Více2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost
.7. Průběh unkce Všetřit průběh unkce znamená určit ne nutně v tomto pořadí: deiniční obor; sudost, lichost; periodičnost, interval spojitosti a bod nespojitosti, průsečík grau unkce s osami, interval,
VíceFUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic
Vícef( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů
3 Výklad Definice 3 Jestliže nastane alespoň jeden z případů lim =, lim =, + + lim =, lim =, kde ( D ), pak říkáme, že přímka = je asymptotou funkce f() v bodě f Jestliže lim ( k q) =, resp lim ( k q)
VíceDiferencovatelné funkce
Přednáška 5 Diferencovatelné funkce Jak jsme se zmínili v minulé přednášce, je lavní myšlenkou diferenciálnío počtu naradit danou funkci y = f) v okolí bodu a polynomem V této přednášce se budeme podrobně
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
VícePRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
VíceAplikace derivace a průběh funkce
Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
VíceObčas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:
PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se
VíceDerivace funkce Otázky
funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
VíceDiferenciální počet funkcí jedné proměnné
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =
Vícef(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =
Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu
VícePoznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.
2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii
MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Derivace funkce
Matematická analýza pro informatiky I. 7. přednáška Derivace funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 31. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
VícePOSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VíceFUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
VíceManagement rekreace a sportu. 10. Derivace
Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu
Více. (x + 1) 2 rostoucí v intervalech (, 1) a. ) a ( 2, + ) ; rostoucí v intervalu ( 7, 2) ; rostoucí v intervalu,
Příklad Najděte intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = +. ( + ) ( rostoucí v intervalech (, ) a 7, + ) klesající v intervalu ( ), 7 5 5 v bodě = 7 5 je lokální minimum 4. Najděte intervaly monotonie
VícePříklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3
Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceLimita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]
KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu
VícePOSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VíceDERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceIX. Vyšetřování průběhu funkce
IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde
VíceLimita a spojitost funkce
Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu
VíceMatematika 1 pro PEF PaE
Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace
VíceCVIČENÍ Z MATEMATIKY I
Slezská univerzita v Opavě Filozoficko-přírodovědecká fakulta Ústav fyziky CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Sbírka příkladů Andrea Kotrlová Opava Obsah Příklady k opakování středoškolské látky. Úprava algebraických
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
VíceP ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,
VícePříklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) =
Příklad 1 Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3 c) (, ) = d) (, ) = e) (, ) = ln f) (, ) = 1 +1 g) (, ) = arcsin( + ) Poznámka V těchto úlohách máme nalézt největší
VíceStručný přehled učiva
Stručný přehled učiva TU1M2 Matematika 2 pro LP17, LP18 4. Aplikace diferenciálního počtu 4.1 Rovnice tečny a normály Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je to směrnice tečny grafu funkce v tečném
VíceSoubor příkladů z Matematické analýzy 1 (M1100) 1
Soubor příkladů z Matematické analýzy (M00). Opakování. Upravte následující výrazy: 3 3 +3 3 3 6+ (+) 3 [ a+b a b ] ( b ) (a a b a+b b a b a b ) (a b) 3 [(a b) 4 (a+b) 5 ] 6 3 a 4 a 3 a 3 aa 3 (f) 3 +
VíceDerivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010
Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy
VíceDerivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
VíceZáklady matematické analýzy (BI-ZMA)
Příklady ke cvičení z předmětu Základy matematické analýzy (BI-ZMA) Matěj Tušek Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze BI-ZMA ZS 009/00 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do
VíceMatematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze
Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............
VíceMatematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
VíceMATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M06, GA01 M05 DERIVACE FUNKCE
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL BA0 M06, GA0 M05 DIFERENCIÁLNÍ POČET I DERIVACE FUNKCE STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 0 Typeset by L
VíceFUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
Více5. Limita a spojitost
5. Limita a spojitost 5. Limita posloupnosti 5. Limita a spojitost Verze 16. prosince 2016 Diferenciální počet a integrální počet tvoří klasický základ Matematické analýzy. Diferenciální počet zkoumá lokální
VícePříklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, )
Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na intervalu (, ). Inflexní bod c =. 3 1 1 y = x 3 9x
Více1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH
1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU
Více