1.5 Vereščaginova metoda 2. strana

Transkript

1 OH.. EOIE OIÉHO OHYU. stn. Difeenciální ovnice půhbové čá, (enoulliho ovnice). stn. Defomční enegie ohýbného putu. stn. stigliánov vět. stn.5 eeščginov metod. stn.6 chwedleov vět. stn -Put, působ nlý nmáhání putů modelování putů, působ náonění stnovení vnitřních sil (části. ž.8) -etodi výpočtu nmáhání, npjtosti posuvů řivých putů (P_U - sttic učitý put) -etodi výpočtu nmáhání, npjtosti posuvů řivých putů (P_ - sttic neučitý put) -int přiření áldních U putů při výpočtech putů (.) ž (.9). stn. stn 5. ž 6. stn 7. stn 5. užití smetie u jednou smeticého putu 8. stn 5. užití smetie u jednou smeticého ámu 8. stn 5. užití smetie u dvát smeticého ámu 8. stn 6. Postoový ohb putů 9. stn 6. Defomční enegie 9. stn 6. stigliánov vět vjdřující při postoovém ohbu posuv u o 9. stn 6. stigliánov vět vjdřující při nmáhání putu ombincí ohbu utu posuv u 6.5 tv npjtosti bodu putu nmáhného ombincí ohbu utu vjdřují tři hlvní npětí 9. stn 9. stn 7) U Put disuse upltnění smetie n jednodušení U modelu. stn 8 )ám s dvěm osmi smetie, vliv měn teplot, upltnění smetie n jednodušení modelu. stn 9) put. ž. stn ) U put - půběh o n oblouu s dvěm poli, vliv měn teplot. stn )ám s dvěm osmi smetie upltnění smetie n jednodušení modelu 5. stn )liv obecného směu vb měn teplot n posuv 6. stn ) put výpočet ecí následného posuvu 7. ž 8. stn ) Postoový ám oblsti, souřdnice, definice nmáhání 9. ž. stn

2 .. EOIE OIÉHO OHYU: Předpoládáme element putu v místě dél nmáhný ve svých jních půřeech veliostí shodnými smě opčnými ohbovými moment o, teé jsou n elementu putu v ovnováe. Potože všechn půře elementu jsou shodné jsou de nmáhán ohbem shodně, vvoujeme, že moment ohnou element do oblouu užnice o poloměu, přičemž de předpoládáme oblou velmi míný mlé defomce s velým poloměem. Uvžujeme, že půře elementu se vůči sobě oolo svých neutálních os η nlopí ůstnou ovinné. pojnice neutálních os η půřeů elementu tvoří neutální ovinu, jejíž součástí je os elementu v postoovém obení n souřdnici pocháí neutální ovinou v bodě O jedn neutální půřeová os η n ní olmá půřeová os ν. Předpoládáme, že při těchto mlých defomcích podélná neutální ovin elementu ptic nemění svoji délu. Změn déle podélných vláen elementu jsou dán vájemným úhlem nlopení jních půřeů elementu n příslušné hldině dné v půřeu polohou n ose ν jsou měn déle vláen shodné. Poto le funci podloužení vláen elementu Δ(ν) olmo nd půřeem vjádřit pomocí souřdnice ν přímou úměností Δ(,ν)=c ν, nlogic oložení poměného podloužení vláen elementu má tv (,ν)= Δ(ν)/= c ν toho následně Hooeovým áonem nomálové ohbové npětí působící n půře elementu (,ν)= E(ν)= c ν ( de c, c, c jsou onstnt). o dél os elementu o O O neutální ovin dél ν η dν ν d, ηd Ohbová npětí (ν) tvoří ohbový moment o, teý půře těžuje, le součsně musí v půřeu vtvořit nulovou nomálovou osovou sílu podle vthu ), potože půře elementu nejsou nomálovou silou tížen. Zde stticý moment půřeu je nulový, poto musí neutální os η, od níž souřdnice ν vcháí, pocháet těžištěm půřeu. Předpoládáme dále, že obě půřeové os η,ν jsou těžišťové posunutím bodu O po ose η do těžiště půběhu ohbového npětí (ν) vjádříme do jejich směů slož η, ν těžujícího ohbového momentu o vth ) ). e ptné, že slož momentu ν ve směu olmém n neutální osu η půřeu bude nulová při nulovém devičním momentu D η,ν, tže v tomto přípdě budou těžišťové os η,ν hlvní centální těžující ohbový moment o bude vjádřen poue složou η - nstává ovinný ohb půřeu. Potom dle vthu ) v ávislosti n těžujícím momentu o vdticém momentu půřeu η hlvní centální ose η stnovit onstntu c učující půběh npětí v půřeu v ávislosti n souřdnici ν. Půběh ohbového npětí (ν) v půřeu je v přípdě hlvních centálních os η,ν dán vthem 5), de největší hodnotu npětí m učuje největší vdálenost ν m od neutální os η (de modul půřeu v ohbu hlvní centální ose půřeu η je ončen W o, η ). přípdě, že i duhá slož ν ohbového momentu o je nenulová, jedná se o postoový ohb půřeu, de ohbové npětí le řešit nlogic užít supepoici vthů obou npětí. ) ( ) d c d c d de c, poto d ) ( ) d c d c d c ) ( ) d c d c d c D d ) o c c o o 5) ( ) c m o m o, W o m o,

3 . Difeenciální ovnice půhbové čá, (enoulliho ovnice) -nvujeme n odvoení vthů po ohb podobných tojúhelníů v obáu elementu výše o ( ) (, ) o ( ) (, ) (, ) ( ) E( ) E( ) ( ) v () o() dv o ( ) E( ) ( ) v( ) ( v( ) ) ( ) ( ) o v E( ) ( ) dv( ) v( ) v( ) ( ), p v( ) v( )... - řivost - půhb v(), úhel ntočení (pootočení) v() / (áponý moment většuje ldný půhb, poto je užito nméno - ). Defomční enegie ohýbného putu, teý uvžujeme nmáhný (poue) jednoosou npjtostí vnijící ovinným ohbem (nedbáváme vliv oložení eventuální nomálové síl nebo posouvjící síl n příslušná npětí v půřeu putu, užijemed=d dále ft, že hodnot momentu o vdticý moment půřeu hlvní centální ose jsou v půřeu onstnt): o( ) o( ) d d o( ) U d ( ) d d E E E E. stigliánov vět vjdřující obecně posuv u v místě ve směu deivujícího silového účinu - deivce defomční enegie U podle silového účinu (osmělé - síl nebo moment). e vjádření je mo() funce vnitřního momentu od tížení putu jednotovým vetoem (jednotovou silou po posuv nebo jednotovým momentem po pootočení neboli obecně posuv u je učen v místě ve směu dného jednotového vetou (součin o()mo() je pincipu užitého deivování slání). o ( ) ( ) ( ) o U o o( ) m( ) u u E E E (=ohův učitý integál).5 eeščginov metod umožňuje vjádřit ohův integál gfico-početně (po poue přímovou oblst putu, de musí E =onstnt mo() jedn přím vše je nutno dodžet) : o() mo()= m d o( ) mo( ) u dosení ovnicemo ( ) E o( ) ploš d o( ) E d stticý moment u E m E m E.6 chwedleov vět - ovnováh elementu putu (nosníu) po dné () souřdnici lev : o () o+do +d ovnováh sil ( ) ( ) ( ) d ( ) d ( ) ( ) ( ) ovnováh momentů d ( ) o( ) o( ) o( ) ( ) nedbáno ( ) d o( ) / o( ) ( ) d o( ) d ( ) dosením ( )

4 -Put, působ nlý nmáhání putů modelování putů, působ náonění stnovení vnitřních sil elsticé nlýe soustřeďujeme vlstnosti putu (oměové, mteiálové silové) n střednici putu, teá je spojnicí těžišť půřeů putu. /-Put ob. měříme poloměem oblouu délou přímé části. Ztížený je silou momentem, teé vvolávjí ece ve vetnutí. /-Řeem v ob. v místě souřdnice, teou měříme bodu, odělíme put n dvě části i, j. oi o ob. 5 ob. j i i j o ob. 6 oj= oi o ob. i i o ob. o i ob. o= o moment oi ovnováh putu: oi- = oi= moment oj nčtením do + směu: oj= i ob. 7 + o() /-Část putu i n ob. pevně vetnutou v půřeu míst tížíme obecným šesti-složovým silovým vetoem působícím části j n část i. ilový veto je volen sstemtic v pvotočivých souřdnicích - thová síl, outící moment směřují ven putu olmo n půře, ve směu hlvních centálních os půřeu uvžujeme posouvjící síl,, ohbové moment o, o. /-Zjednodušená fom uvolnění půřeu dle ob. nedbává síl,,, teé u tených putů mohou mít vůči momentům mlý ž nedbtelný vliv n npjtost posuv. přípdě, že ovinný put je tížen silmi ležícími v ovině tohoto putu (npříld v ovině,) moment ovnoběžnými se směem, olmými n tuto ovinu putu, přičemž jedn hlvní centální os půřeů tohoto putu leží v ovině, putu, ve směu os duhá hlvní centální os půřeů putu je n ovinu putu olmá, má smě os v půřeech putu poto tvoří neutální osu půběhů ohbového npětí ovinného ohbu. /5-P dostčuje stnovit hodnotu ohbového momentu o() o o, teý je de ovnoběžný s hlvní centální osou půřeu olmou n ovinu putu dle ob.. Umožňuje to dále jednodušit náonění tvu ovinného putu do ovin náesn poue čáou - střednicí putu podle ob. 5, de vnitřní ohbový moment o() má poue implicitně dán inde hlvní centální os (de ) olmé n ovinu putu náoňujeme jej slopením do ovin náesn, obvle olmo n střednici putu. /6-Znčení ohbového momentu (o() olmého n ovinu putu) při uvolnění metodou řeu povádíme obvle oblouem se směovou šipou ončující volbu ldného směu, dle ob. 6. Ke stnovení funce vnitřního ohbového momentu o() vužíváme ovnováhu odřínuté části i nebo j, což předstvuje čtři logicé opece veslení odřínuté části, připojení tížení voleného momentu do řeu, sestvení stticé ovnice ovnováh odřínuté části následně vjádření funce momentu o() e stticé ovnice ovnováh. /7-uci vnitřního ohbového momentu le stnovit metodou nčítání do ldného směu, teá je ložen n spojení pincipu ovnováh pincipu ce ece. Z ob. 6 je ptné, že moment oj le povžovt eci n moment oi, je ted opčný stejné veliosti. é výpočtové ovnice ob. 6 je řejmé, že stnovení momentu oi v řeu je shodné s nčtením momentů od tížení členu i do ldného směu momentu oj. Poto le podle ob. 7 volit výpočtovou msu ldného momentu. Oblouem se šipou volíme ldný smě ohbového momentu působícího n člen j putu onec oblouu be šip ončíme bodem počátu výpočtového putu i. /8-P postčuje v dném místě onstuce putu nnčit ře, definovt jej jeho souřdnicí be veslování putu, be opětovného nčení tížení, be volb ldného momentu be sestvování ovnováh neboli přímo nčteme funci momentu o() podle momentové ms, de o()=. Podobně funce ohbového momentu tuto metodou n oblouu putu v poláních souřdnicích má tv: o()=(+sin())-.

5 -etodi výpočtu nmáhání, npjtosti posuvů řivých putů: P_U (sttic učitý) put =6 mm Dáno:,, ØD, E U: U řivého putu vpočtěte ece, mimální ohbový moment v jeho půřeu ohbové npětí dále učete svislý posuv míst, de působí moment ohovým integálem. ) uvolnění (volb ecí), výpočet ohbového momentu dle volb + ØD= mm, E= P = m posuvná podpě síl olmá n vedení pevná podpě obecný smě síl gf o vjdeme bodu + ldný moment ( členu i n člen j) ()=-(-) ()= - ()= b) vedení, uvolnění od, výpočet ohbového momentu dle volb + +v P m()=-(-) m()= P smě ecí mohou být volen i jin, umožňuje-li to vb je to vš vžd výhodné? p m()= - s (u) (v) )Dáno D D 6 E )ece - stticé ovnice ovnováh putu řešení Given )ece - stticé ovnice ovnováh putu řešení od jednotového vetou 6 ásd řešení P W D P ásd řešení ind( P) P )ýpočet posuvu v (mm) ohovým integálem Given ind( ) v E [ ( ) ] [ ( ) ] E ( ) ( ) E v 7. 5)ýpočet mimálního ohbového npětí (P) Wo W 5.9

6 5 P_metodi dimenování (sttic neučitého) putu: Dáno:, D, E, =? U: U řivého putu vpočtěte ece mimální ohbový moment. Pmet učete pevnostní podmín, vpočtěte φ. D = mm (/mm)=? ) uvolnění (volb ecí), výpočet ohbového momentu dle volb + + =6 mm d dq b) uvolnění n áldní soustvu, defomční = podmín u=, de je pmet sin (-)...olmice dq = dq=d...v místě poměnné ()=- sin - dq sin (-)...integál ( ž φ) c)jednotové tížení áldní soustv: m()=- sin b m c d) pootočení φ, m(φ)= )Půběh momentů ( ), m() : sin sin d sin cos sin cos m )Defomč ní podmín u: v: sin m E d E E

7 6 )omentová ovnice bodu putu: sin d )ece, - momentové defomční ovnice putu: Given E E ind( ) Dáno: D sin cos ( ) D W D 6 6 D E m (.567) sin m( ) 6 8 cot )Pevnostní ohbová podmín - po místo om, výpočet mimálního spojitého tížení : m W W D W 6.88 Řešení oshu spojitého tížení : )ýpočet pootočení v bodě putu - n áldní soustvě : m m E d

8 -int přiření áldních U putů při výpočtech putů: 7.-dání.-tpicé uvolnění H U otčních veb ovinného putu předpoládáme eci obecného směu, teou obvle oládáme do dvou olmých slože. lož bývá výhodné směovt ve směu nebo olmo n osu putu, potože se p jednodušeji těchto slože fomulují vnitřní síl v půřeu putu. e důležité si uvědomit, že vbu putu netvoří poue její ece, le od pouhého silového tížení se vb liší tím, že nvíc definuje ve svém místě posuv putu. Poto je nepřesné tvení: vbu nhdíme ecí. o nestčí. Záldní put (áldní soustv) musí být pávě U defomčně i silově evivlentní původnímu putu (.), (.5), (.8). ýhodné p je tvořit půběh deivce vnitřních sil tížením áldního putu jednotovým účinem (silou = nebo momentem=) (.), (.6), (.9). Obecně le učitému tp uvolnění putu přiřdit jouoli jeho áldní soustvu, npříld e (.) le přiřdit (.9), je-li to nějého důvodu výhodné. dné oblsti putu je třeb po půběh vnitřní účinů od tížení jejich deivce dodžet jednotnou oientci (volbu nmén). H.-áldní U put u =.5-áldní U put v = H H s p.-numeicá deivce c.6-numeicá deivce b =- Y Q Y Q e= w.7-ltentivní uvolnění.8-áldní U put w = f=.9-numeicá deivce

9 8 5. užití smetie u jednou smeticého putu (smeticý put dle tvu součsně i dle smeticého tížení) smetie obecně snižuje počet defomčních ovnic nutných řešení putu součsně poto té menšuje délu integční cest těchto defomčních ovnic. dužené bod dle os smetie se posunou smetic do opět sdužených míst, poto se tečn putu pocháející osou smetie nentočí, jen se posune. Uvolnění bodu n ose smetie učuje sílu, silová ovnice putu ve směu p učuje sílu. Put je možno té řešit počováním Záldní soustvou vcháející ) be vužití smetie. ) sdužené bod se smetic posunou tečn b) =, p splní áon smetie+ ce ece c) výpočtový put os u= vůči ose, stticá: = 5. užití smetie u jednou smeticého ámu. metod řeu v ose smetie -, vhovují oběm áonům = u= vůči ose, je ovnice po ) sdužené bod se smetic posunou os, // tečn uc=, = - jsou ob n ose, stticá: = b) =, p splní áon smetie+ ce ece / půlení vnější síl / metod řeu v ose smetie -, vhovují oběm áonům c) výpočtový put uc=, = po, =/ 5. užití smetie u dvát smeticého ámu ) sdužené bod se smetic posunou b) =, p splní áon smetie+ ce ece u=, v=, tečn se nentočí === smeticý segment půře d) příč v ose smetie - vetnutá 5 půře =, +=.. e smetie = postčuje učení P P/ 5 P/ P= P metod řeu v jedné os smetie e) P, P nejsou smeticé =, u(ámu)= u(příč) - ovnice po P, P= půře c) výpočtový put = =/ f) výpočtový put P/ =/ 5 P

10 6.Postoový ohb putů (nedbáváme v půřeu vliv posouvjící síl i nomálové síl). Uvžujeme put s chteistimi půřeem s centálními hlvními vdticými moment půřeu, nmáhný v půřeech postoovým ohbovým momentem s nenulovými složmi do směu hlvních centálních os,. 6. Defomční enegie postoově ohýbného putu vi supepoice npětí v obáu ombince, níže: E D E d E d d E d d U ) ( 6. stigliánov vět vjdřující při postoovém ohbu posuv u o: Zde D =, potože os, jsou hlvní centální. th defomční enegie le poto jednodušit výpočet posuvu při postoovém ohbu vede n součet ohových integálů momentových slože, postoového ohbu. 6. stigliánov vět vjdřující při nmáhání putu ombincí ohbu utu posuv u: pětí, včetně poměných defomcí, od ohbu utu jsou n sobě olmé ted neávislé - vi ob., poto defomční enegii tvoří obecně ohb dle 5. v součtu vlášť ut (de d* =, polání vdticý moment půřeu): Posuv u od ohbu 5. je v přípdě ombince s utem doplněn n ohbu neávislým ohovým integálem po ut, teý tvoří část u celového posuvu u: G m G G U u 6.5 tv npjtosti bodu putu nmáhného ombincí ohbu utu vjdřují tři hlvní npětí:, / σ(,)= σ+ σ= =/ - / ε() () OO E m E m E E u E E E E U u ( ) d U d d d G G d G G G σ= σ+ σ= =/ - / () OOK 9

11 7) U Put disuse upltnění smetie n jednodušení U modelu 7/)D:, E,,, Δt, α u U: v, P= =/ =/ 7/)uvolnění, ece, vliv smetie 7/) mu()=sin() +m + =/ 7/)evivlence-výpočtový put ()=/(-cos()) mv()=(- P= =/ =/ 7/)uvolnění, ece, vliv smetie

12 8)ám s dvěm osmi smetie, vliv měn teplot, upltnění smetie n jednodušení modelu 8/)D:,d, E,, Δt, α U: (s), 5 O n d d smeticý segment 8/)uvolnění, 5 += = P= = = 8/)nlý v ose 5 = += =-/ = / +m / -/ + 8)evivlence-výpočtový put ()=, ()= -/+ /, ()=/=-/+(/)=!!! 5 8/5)deivce m=+, mu()=-, mu()=- / 8/6)půběh momentu +

13 9) put 9/)D:,d E,, Δt, α U: (s) + Q= αδt + H 9/)uvolnění, stticé ovnice Q-H-=, -=, +-Q= + H 9/)áldní put, souřdnice, defomční ovnice, u=uδt+u =, v=vδt+v =, ()=, ()= -, ()= (-)- + ( )/ + + =om 9/)vliv teplot, souřdnice +u, +v, v Δt =, u Δt = αδt, gf momentu (), (), () +v +u m= v= h= 9/5)deivce po u : m()= -, m()= -, m()= -(-) m= v= h= 9/6)deivce po v : m()=, m()= -, m()= -

14 Podobněji numeicý výpočet se stnovením momentů n onci polí u putu 9): Obecné řešení ecí:

15 ) U put - půběh o n oblouu s dvěm poli, vliv měn teplot /)D:, E,,, Δt, α U: /)ece, souřdnice -== P= O O == + /)deivce m po posuv -==/ p= O s= +m O Z O (+αδt) /)vliv měn teplot αδt n pootočení : Δt= -= c cos(/[(+αδt)])-π/

16 )ám s dvěm osmi smetie nlý upltnění smetie n jednodušení modelu t h smeticý segment 5 5 = 5 = = 5 = 5 = /)D: =mm, E=6P, h=6mm,t=,5mm, =, U: o,m,v /) posuv = = =, tečn ámu v osách smetie, - smeticé segment + 5 /) defomční ovnice, souřdnice ámu=, vnitřní ohbový moment: integál úhlu : / +m +v /5) deivce n segmentu ámu m()=+, mv()=+(-cos()) 5 /) nlý ámu v ose smetie, +=, poto =-/, ámu=, v =v defomční ovnice: posuv v: integál posuvu v: ýpočet momentu podmín =:

17 )liv obecného směu vb měn teplot n posuv /)D:, E, d,, Δt, α, U: v /)uvolnění, os, půběh momentu e- (-tg()) e=[/cos()+(-tg())sin()] P 6 /)deivce m po v s p (-tg()) e=[/cos()+(-tg())sin()] e-==/e /)posuv v,δt úhel sinovou větou ()=cos() ()=[ cos()+ sin()] + m()=cos()=cos()/e m()=[ cos()+ sin()]-= =[ cos()+ sin()]/e- +m (-tg()) v,δt π/-- Δt

18 ) put výpočet ecí následného posuvu Dáno: E,,,, α, Δt Δt,α Δt,α Δt,α 7 h= P P u=u t+u = u t = c α t b= sin() (-)cos() + ()=P m()= -sin()= + ()=P- m()= -(-)cos() = + ()= m()=

19 8 ) Dáno: E,,,, α, Δt, ece P, minulého řešení U: pootočení ϕ Δt,α liv měn teplot n posuv Z Δt,α Δt,α u t = c α t P g=/c u t=c α Δt ϕ t= u=u t+u = cos()+sin() cos() b=/c + ()=P m()= -(/c)cos()= + ()=P- m()= -(/c)(cos()+sin()) = + ()= m()=

20 )Postoový ám oblsti, souřdnice, definice nmáhání /)D: E, G,, d, U: v, =(-cos ) b=sin /) souřdnice, nmáhání oblouu moment /) nmáhání části moment 9 +o= += - +o= b +o= b += += -b /) nmáhání části moment /5)deivce m po posuv v /6) deivce m po pootočení, += +m= +m= +o=- +o= +mo=- +mo= +o=+ +mo= +mo= +mo=+ +m= - +m= +mo=+ +mo=+ +mo= b +o= b +m=+ +m= -b +m=-sin +m=+cos /7) old momentu n oblouu +m +m o b +m = -sin +m = +cos

21