VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

Transkript

1 VYSOKÉ UČEÍ TECHICKÉ V BRĚ BRO UIVERSITY OF TECHOLOGY FAKULTA ELEKTROTECHIKY A KOMUIKAČÍCH TECHOLOGIÍ ÚSTAV FYZIKY FACULTY OF ELECTRICAL EGIEERIG AD COMMUICATIO DEPARTMET OF PHYSICS ŠUMOVÁ SPEKTROSKOPIE DETEKTORŮ ZÁŘEÍ A BÁZI CdTe THE OISE SPECTROSCOPY OF RADIATIO DETECTORS BASED O THE CdTe DOKTORSKÁ PRÁCE DOCTORAL THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR Ig. Jiří Zajaček Doc. Ig. LUBOMÍR GRMELA, CSc. BRO 9

2 Rád bych poděkoval svéu školiteli Doc. Ig. Luboíru GRMELOVI, CSc. za podporu, vedeí, odboré rady a připoíky jak při psaí této práce, tak běhe ého celého doktorského studia. Mé hluboké poděkováí chci také vyjádřit Prof. RDr. Ig. Josefu ŠIKULOVI, DrSc. za iořádý vědecký a odborý přístup a rověž vše, kteří i vyšli vstříc praktickýi radai a podětýi pozákai.

3 Klíčová slova Měřeí šuu, sub-pásové kódováí, diskrétí vlková trasforace, spektrálí hustota výkou, ízkofrekvečí šu, šu /f, geeračě rekobiačí šu, CdTe, přechod kov polovodič, VA charakteristiky, depletičí oblast, časová relaxace, stárutí ateriálu. Keywords oise Measureet, Sub-bad Codig, Discrete Wavelet Trasfor, Power Spectral Desity; Low Frequecy oise, /f oise, Geeratio Recobiatio oise, CdTe, Metal Seicoductor Juctio; VA Characteristics, Depleted Regio, Relaxatio Tie, Material Ageig. - -

4 Abstrakt Předěte této práce je šuová spektroskopie detektorů (γ-zářeí a paprsků X) vyrobeých a bázi CdTe. Vychází se ze sledováí hladiy ízkofrekvečího adbytečého šuu při trasportu áboje jak v časové tak ve frekvečí oblasti prostředictví spektrálí hustoty výkou (PSD) s logaritický rozlišeí frekvečí osy. V práci je ově popsaý ávrh ěřící etody PSD, který je odvozeý od diskrétí vlkové trasforace a dává srovatelé výsledky s dříve užívaou aalogovou techikou. a ái vytvořeý odel ookrystalu CdTe je ožo pohlížet jako a atiseriové spojeí dvou Shottkyho diod s rezistore ezi ii. Te pak představuje odpor v objeu vzorku polovodiče, který se ěí v důsledku zěy kocetrace osičů při kostatích podíkách jako je teplota ebo přiložeé apětí či osvětleí. Při zěě teploty se vzorek CdTe zpočátku chová jako kov. V důsledku zěy pohyblivosti osičů (děr ebo elektroů) pak začou převládat vlastosti polovodiče díky jejich tepelé geeraci. Spektrálí hustota výkou ízkofrekvečího šuu závisí a počtu volých osičů ve vzorku. U všech zkouaých vzorků byla hladia šuu /f ohoásobě vyšší ež se dá určit poocí Hoogeho teorie. To je způsobeo ízkou kocetrací osičů ve vyprázděé vrstvě záporě polarizovaého kotaktu. Abstract The ai object of this work is oise spectroscopy of CdTe radiatio detectors (γrays ad X rays) ad CdTe saples. The study of stochastic pheoeo ad tracig redudat low-frequecy oise i seicoductor aterials require log-ter easureets i tie doai ad evaluate suitable power spectral desities (PSD) with logarithic divided frequecy axes. We have used the eas of tie-frequecy aalysis derived fro the discrete wavelet trasfor (DWT) ad we have desiged the effective algorith for PSD estiatio, which is coparable with a origial aalog ethod. CdTe sigle crystal with Au cotacts we ca iagie as a series coectio of two Schottky diodes with a resistor betwee the. The bulk resistace at costat teperature ad other costat paraeters chages due to the carrier cocetratio chagig oly. The p-type CdTe saple shows etal behavior with every teperature chages. Seicoductor properties of the saple begi to doiate just after soe period of tie. This behavior is caused by the hole obility chagig. The voltage oise spectral desity of /f oise depeds o the quatity of free carriers i the saple. All the studied saples have very high value of low frequecy oise, uch higher tha it should have bee accordig to Hooge s forula. The excess value of low frequecy oise is caused by the low carrier cocetratio withi the depleted regio. - -

5 Obsah. Úvod. Forulace probléu. Přehled o současé stavu probleatiky 3.3 Cíle disertačí práce 4. Detektory zářeí a bázi CdTe 6. Struktura krystalu CdTe 6. Kvalitativí paraetry detektorů 9 3. Teorie šuu v polovodičích 3. Tepelý šu 3. Výstřelový šu 3.3 Ipulsí a geeračě rekobiačí šu 3.4 Šu typu /f 3 4. Charakteristiky áhodých procesů 9 4. áhodé procesy 9 4. Rozděleí áhodých procesů Klasifikace áhodých procesů 4.4 Spektrálí aalýza stochastických sigálů 5. uerický výpočet výkoového spektra 5 5. Průchod stacioárího áhodého sigálu lieárí T-ivariatí soustavou 5 5. Diskrétí Fourierova trasforace eparaetrické etody odhadu výkoového spektra Časově-frekvečí aalýza s ásobý rozlišeí Měřeí PSD s využití sub-pásového kódováí Bariéry a rozhraí kotaktů Au-CdTe 6 6. Pásový odel kotaktů 6 6. Depletičí oblast Trasportí charakteristiky CdTe 7 7. Aparatura pro ěřeí trasportích charakteristik 7 7. Přeos osičů áboje přechode kov-polovodič Teroelektrická eise VA charakteristiky detektorů CdTe Kocetrace a pohyblivost děr a poloha Feriho hladiy Procesy časové relaxace v objeu vzorku CdTe Stárutí a degradace vzorku CdTe Závěry vyplývající z ěřeí trasportích charakteristik CdTe 9 8. Šu v polovodičích CdTe 9 8. Měřeí šuových charakteristik CdTe 9 8. Aalýza výsledků ěřeí šuu ve vzorcích CdTe detektorů Shrutí pozatků o výsledcích šuové aalýzy v CdTe 5 9. Závěr 7 Literatura 8

6 . Úvod. Forulace probléu Rychlý rozvoj techologie výroby polovodičů a stále se rozšiřující ožosti jejich využití vedou vědce ke hledáí ových ateriálů pro detekci ioizujícího (hlavě retgeového X a gaa γ) zářeí za účele použití ejčastěji v lékařských a aplikacích a bezpečostí výzkuu. Jedí z ejsledovaějších ateriálů pro detekci fotoů vysokých eergií jsou polovodiče II-VI skupiy vyrobeé a bázi CdTe(Cl). Sloučeiy z prvků II.B a VI.A skupiy (Z, Cd, Hg, Te, Se) cheické soustavy prvků se staly předěte itezivího zkouáí pro svá četá praktická využití již počátke 4. let iulého století. Do té doby široce užívaé ateriály, jako apříklad Si, Ge, GaAs apod., byly při výrobě ěkterých polovodičových součástek (apř. detektorů a dozietrů) postupě ahrazováy polovodiči II-VI zejéa díky jejich uikátí elektrický a optický vlastoste. Avšak díky sadé dostuposti objeových, vysoce kvalitích ookrystalů Si, Ge a posléze též GaAs, získaly tyto ateriály výsadí postaveí a trhu. Probléy přípravy kvalitích a objeových ookrystalů CdTe (CdZTe) požadovaých vlastostí eí dosud vyřeše. Materiál CdTe á příý zakázaý pás E g ~.5 ev (při T = 3 K) a velký absorpčí koeficiet a detektivitu. Tyto uikátí vlastosti jej předurčují pro výrobu solárích čláků s vysokou účiostí (v praxi veli často v podobě tekovrstvových polykrystalických sluečích čláků CdTe/CdSe, kde vrstva p-cdte o tloušťce ěkolika µ plí roli účiého absorbéru zářeí), dále optických detektorů (apř. již des se CdZTe užívá při výrobě elektrooptických odulátorů pro optické kouikace a vlové délce.5 µ), dozietrů ioizujícího zářeí, spektroskopů, optoelektroických součástek a laserů. Teto ateriál lze užít v široké spektru vlových délek, avšak díky vysokéu atoovéu číslu zastoupeých prvků se s výhodou užívá v oblasti γ a X. Detektory vyikají vysokou rozlišovací schopostí již za pokojové teploty. Další široké uplatěí á CdZTe (Cd x Z -x Te) přibližě se 4% ziku, užívaý jako podložka pro epitaxí růst HgCdTe (Hg -x Cd x Te) s % rtuti (etodou MBE Molecular Bea Epitaxy tj. pěstováí vysoce kvalitích tekých vrstev-epitaxí růste z olekulárích svazků v ultravysoké vakuu či etodou MOCVD Metal Orgaic Cheical Vapor Depositio, pěstováí kvalitích tekých vrstev ve vakuu poocí orgaokovových sloučei), jež se používá pro detekci ifračerveého zářeí. Fyzikálí vlastosti pěstovaých ookrystalů CdTe (CdZTe) veli závisí a etodě růstu a a dalších techologických úpravách jako je apříklad žíháí. Klíčovýi paraetry jsou ěrý odpor popř. vodivost, kocetrace volých osičů áboje, jejich pohyblivosti a (středí) doba života volých osičů. apř. ěrý odpor lze ěit v rozezí - Ωc, kocetrace volých osičů (e - popř. h + ) se pohybuje ezi 7 až 6 c -3 a jejich pohyblivost dosahuje hodoty c V - s - pro elektroy a V - s - pro díry.

7 K pléu využití jediečých vlastostí těchto ateriálů je důležité dobré zvládutí techologie kotaktováí vyrobeých součástek. Z uvedeých typických paraetrů ateriálu je však zřejé, že spolehlivé kotaktováí představuje složitý teoretický i techologický problé. Stupeň zvládutí techologie kotaktováí součástek z daého ateriálu vždy určuje jejich praktické využití, dostupost a kvalitu. ejužívaější jsou v současé době plaárí kotakty k-p, kdy a ístě kovu je ejčastěji Au, i či Pt. Rozhraí kov polovodič (CdTe, CdZTe) je v reálé případě veli složité a saotý ateriál CdTe ve své struktuře obsahuje hlubší hladiy lokalizovaých stavů. Doposud apříklad ejsou záy veškeré pricipiálí echaisy určující výšku tzv. Schottkyho bariéry. Stěžejí jsou přito techologické úpravy povrchu před aášeí kotaktu, způsob jeho aášeí a v eposledí řadě také ateriál kotaktu. Skutečost, že CdTe je dvousložkový systé také poukazuje a pricipiálí důležitost cheického složeí povrchu v ístě kotaktu, kdy apříklad výška poteciálové bariéry závisí a výstupí práci kovu podstatě více v případě zachováí stechioetrie povrchu polovodiče. Obecě lze říci, že kotakty ohou být ohické ebo usěrňující, přito ohické kotakty představují složitější techologický problé, eboť rozhraí kov-polovodič eí hoogeí systé a tudíž obecě esplňuje Ohův záko, podle ěhož kotakt dostal svůj ázev. V praxi se pracuje jak s -typový tak s p-typový ateriále. Ohický kotakt a -typové CdTe je relativě sado dosažitelý, kdežto v případě p-cdte se jedá o složitý, dosud edořešeý problé. Detektory ioizujícího zářeí jsou itezívě vyvíjey a Fyzikálí Ústavu Uiversity Karlovy v Praze s který oje školící pracoviště spolupracuje. V oblasti posuzováí kvality velkoobjeových ookrystalů detektorů zářeí vyrobeých a bázi CdTe a obecě i dalších polovodičových ateriálů existuje celá řada postupů, které řeší otázky spolehlivosti elektroických součástek. Oblastí tohoto studia jsou zejéa defekty krystalické struktury ateriálů a doiatích poruchových echaisů a procesů vedoucích k degradaci součástek a k rozvoji diagostických etod pro zjišťováí s studiu poruch a degradace jejich paraetrů. V průběhu posledích let bylo prokázáo, že zejéa elektroické součástky a bázi polovodičů jsou zdroji proudových či apěťových fluktuací. Oblasti přechodu P i hoogeí polovodiče jsou zdroji oha typů šuu, který vziká a ežádoucích defektech ve struktuře ookrystalu ebo techologickou edokoalostí při přípravě přechodu P. Šuové diagostické etody vycházejí ze skutečosti, že trasport osičů áboje, vyzařováí a pohlcováí světla a další procesy, probíhající při vedeí proudu v ateriálech a součástkách jsou stochastické povahy a projevují se fluktuací proudu, apětí a dalších veliči, apř. odporu či kapacity a v případech laserů či luiiscečích diod též jako fluktuace světelého toku. Vyjdee-li ze skutečosti, že poruchy ve struktuře, které jsou zdroje adbytečého šuu vedou k degradaci fyzikálích a techických paraetrů, ůžee podle hodoty šuových charakteristik posuzovat kvalitu a životost sledovaé soustavy a provádět tříděí součástek. Statistické charakteristiky fluktuací přiášejí další ceé iforace o procesech, probíhajících ve sledovaých soustavách a doplňují tak středí hodoty akroskopických veliči. Při vyhodocováí statistických závislosti jsou důležité průběhy korelačí fukce ebo výkoová spektrálí hustota fluktuující veličiy a další charakteristiky, jako je apř. hustota rozděleí sledovaého áhodého procesu, které - -

8 dávají další ožosti k získáváí iforací o fluktuacích a jejich ávazosti a defiováí kritérií pro tvorbu edestruktivích diagostických testů.. Přehled o současé stavu probleatiky V 6. letech se začaly itezivě používat ke spektroetrickéu ěřeí zářeí X polovodičové detektory a bázi Ge a Si, které oproti jiý detektorů ioizujícího zářeí (scitilačí, plyové, proporcioálí počítače) ají výhodu ve vysoké rozlišovací schoposti, FWHM < kev (full width at half axiu). S postupe času se v ěkterých aplikacích (lékařství, dosietrie) začaly projevovat ěkteré evýhody těchto detektorů. U Si-detektorů to byla ízká účiost pro detekci zářeí o eergii větší 3 ež kev, u Ge-detektorů jejich poěrě velký obje (až c ) a u obou typů detektorů utost jejich chlazeí obvykle kapalý dusíke. Bylo proto uté přistoupit k hledáí ových ateriálů, které by ěly vysokou detekčí účiost při eší objeu a srovatelou rozlišovací schopost za pokojové teploty. Vhodý ateriále se ukázal CdTe, kdy v roce 967 Zaio [3] z Hughes Research Laboratory (USA) připravil prví spektroetrické detektory CdTe. Od roku 97, a základě požadavku Čs. Koise pro atoovou eergii (ČSKAE), bylo započato s výzkue a vývoje spektroetrických detektorů gaa zářeí a bázi CdTe ve Fyzikálí Ústavu UK v Praze. Detektory požadovaé kvality se v té době připravovaly pouze v USA, Fracii a Rusku. Díky dlouhodobé spolupráci ašeho pracoviště s Fyzikálí Ústave UK ůžee pro účely ěřeí využívat zapůjčeé vzorky CdTe od Prof. Moravce. Za účele srováí charakteristik elektroického šuu v detektorech zářeí a bázi CdTe byla provedea řada studií [6]. V toto čláku Asaad a Orsal, avrhuli fyzikálí odel spektrálí hustoty fluktuací proudu založeý a jevu Pool- Frekel. Obecě použití silých elektrických polí působících a polovodič s hlubokýi cetry vede ke stiulaci ioizace ebo zachyceí kvůli procesů vyvolaý jeve Pool Frekel, fooy poáhají tuelováí a příéu tuelováí. Všechy tyto efekty se objeví ve vysoko-ohických vzorcích. yější stav výzkuu v této oblasti eí oc uspokojivý. Studováy byly galvaoagetické vlastosti těchto ateriálů, difúzí délka ioritích osičů v CdZTe byla poprvé publikováa v [38]. Určeí výše zíěých trasportích paraetrů je založeo a ěřeí teplotí závislosti vodivosti, Hallova jevu a difúzí délky ioritích osičů při teplotách v rozsahu 8-3 K. Tato ěřeí vyžadují optializaci přípravy ízkošuových kotaktů. Část těchto ěřeí byla prováděa rověž a UK v Praze a výsledky ukazují ožost přípravy kvalitích ohických kotaktů a bázi AuCl 3. Důvode vziku šuu jsou pak fluktuace pohyblivosti. Závislost světle geerovaých osičů áboje, efektiví pohyblivost a fluktuace pohyblivosti a itezitě osvětleého CdTe krystalu je ukázaá a obr... Geeračě rekobiačí echaisy probíhající v krystalech CdTe při osvětleí ohou být popsáy čtyřúrovňový odele G-R [39]. Teto přístup vychází z předpokladu, že Hoogeho vzorec je vhodý pouze pro jede typ osičů ábojů, odděleě pro volé díry ebo elektroy. icéě při studiu trasportu áboje ve vzorku usíe uvažovat trasport elektroů a děr současě. Za výše zíěých podíek je Hoogeho paraetr α pro šu /f v krystalech CdTe v rozsahu od až a závisí a itezitě zářeí a itezitě elektrického pole

9 Obr... Závislost zářeí geerovaých osičů áboje, efektiví pohyblivost a efektiví šu pohyblivosti a itezitě osvětleého CdTe krystalu. Je zajíavé, že paraetr α je ižší při vyšší elektrické poli a vzorku a při stejé fotoelektrické proudu. Takový způsobe ůžee zvětšit poěr sigál šu u detektorů CdTe použití vyšší itezity elektrického pole. Rozsah yějších zalostí šuových charakteristik ateriálů II-VI je dost vzácý. V těchto ateriálech (ejčastěji CdTe) byly zkouáy zdroje šuu a jejich chováí v závislosti a teplotě [7],[3]. Výzku přispěl i k vytvořeí odelů pro počítačovou siulaci zdrojů šuu /f. Studiu šuu /f v objeu vzorku v závislosti a rozěrech vzorku, šířce zakázaého pásu a svorkové apětí bylo provedeo u diod a bázi HgCdTe [7]. Dále pak u ookrystalů CdZTe byly studováy šuové charakteristiky kotaktů [7], výkoová spektra byla ěřea zpravidla za podíek, kdy vzorek ebyl osvětle a byla aplikováa růzá elektrická pole..3 Cíle disertačí práce Studovaá oblast souvisí s probléy, které jsou řešey v ráci výzkuého záěru MIKROSY, MSM 6353, odborou skupiou 5. "Moderí diagostika ateriálů a součástek" a gratu MŠMT Kotakt ME898, "Kadiu-teluridové sezory pro detekci retgeového a gaa zářeí: optializace poěru sigál/šu". Prvotí poděte pro tuto disertačí práci je digitálí aalýza ultraízkofrekvečího elektroického šuu v ookrystalických vzorcích CdTe a dále v sezorech zářeí vyrobeých a bázi CdTe. Dále pak experietálí studiu trasportích charakteristik a stabilita základích elektrických paraetrů v závislosti a teplotě, osvětleí a elektrické poli. Z časového vývoje ěkterých základích studovaých veliči u fotoodporů vyrobeých a bázi CdTe lze posuzovat stacioaritu stochastických procesů probíhajících v toto ateriálu při ěřeí spektrálí hustoty výkou fluktuujících veliči. V této práci se věuji probleatice experietálího ěřeí trasportích a šuových charakteristik u vzorků CdTe, zjištěé výsledky pak vedou k lokalizaci šuových zdrojů a zíěých vzorcích. V podstaté části práce řeší probléy spojeé s ěřeí spektrálí hustoty výkou apěťových fluktuací, pokud ožo - 4 -

10 s iiálíi ekooickýi áklady. Klíčovou věcí je správá kalibrace aplitudového spektra, dosažeá přesost ěřeí při vyhovující rozlišovací schoposti a šířce pása. Tato část práce se opírá i o teorii digitálího zpracováí sigálu. avržeá ěřící etoda je použita pro veškerá ěřeí spektrálí hustoty výkou apěťových fluktuací v závislosti a frekveci. Využívá paralelí digitálí baku filtrů a cíle je dostupost aěřeých hodot zpravidla bezprostředě běhe ěřeí. Získaé výsledky ěřeí trasportích charakteristik ve vzorcích CdTe v korelaci s šuovýi charakteristikai uožňují lokalizaci zdrojů šuu v kotaktech, případě v objeu ookrystalu CdTe. Provedl jse aalýzu šuu /f s ohlede zda jeho zdroje jsou fluktuace počtu osičů áboje ebo jejich pohyblivosti a experietálě ověřil platost Hoogeho teoréu pro šu typu /f. Z experietálího sledováí jse počet volých osičů áboje staovil podle velikosti přiložeého elektrického pole v teplotí rozsahu 3 45K. Vyhodocováí šuových charakteristik jse přizpůsobil tak, aby se axiálě vyloučil vliv šuového pozadí. Pracoviště je vybaveo ou avržeýi ízkošuovýi předzesilovači, zařízeí pro sběr a digitalizaci získaých dat, software pro jejich aalýzu a autoatizovaé řízeí experietů. Výsledky práce přispívají k iterpretaci šuových zdrojů, k vysvětleí závislosti typu spektrálí hustoty výkou apěťových fluktuací při růzých paraetrických veličiách. Získaé výsledky dávají ožost využití při edestruktivích diagostických testech a ohly by vést až k ávrhu úpravy techologické přípravy sezorů zářeí a bázi CdTe

11 . Detektory zářeí a bázi CdTe. Struktura krystalu CdTe Polovodičové ateriály CdTe a CdZTe krystalizují při atosférické tlaku stejě jako HgCdTe, HgTe či ZTe ve sfaleritové krystalové struktuře viz obr... Tato struktura vzike spojeí dvou plošě cetrovaých kubických říží, které jsou vůči sobě posuuty ve sěru prostorové úhlopříčky o její čtvrtiu. Jeda (pod)řížka obsahuje pouze atoy kadia (Cd) a druhá (pod)řížka pouze atoy teluru (Te). Každý ato á jako ejbližší sousedy 4 atoy Cd uístěé v rozích pravidelého tetraedru (čtyřstěu) a stejě tak každý ato Cd á za sousedy 4 atoy Te. Struktura patří do kubické grupy bez středu iverze. Priitiví cela (čtyřstě) obsahuje atoy, zpravidla se uvažuje tzv. kovečí cela ve tvaru kvádru, ta obsahuje 8 atoů. Cheická vazba ezi atoy je kovaletí a je tvořea Cd 5s a Te 5s 5p 4 elektroytzv. hybridí s-p 3 vazba. a 3 a a Obr... Kovečí (8 atoů) a priitiví (obsahuje atoy) cela sfaleritové krystalové struktury ve tvaru čtyřstěu; a, a, a3 jsou priitiví řížkové vektory. Tavé a světlé kuličky začí atoy Cd,Te. Zěou tlaku dochází ke zěě krystalové struktury a charakteru vazby ezi atoy. CdTe á při atosférické tlaku převahu kovaletí vazby. Při tlaku okolo 3MPa dochází k fázovéu přechodu ze sfaleritové struktury a strukturu soli kaeé, začíá převládat iotová vazba, obje ateriálů se síží přibližě o % a elektrický odpor klese až o 6 řádů. Pro tlaky dosahujících MPa začíá převládat ezi atoy vazba kovová a elektrická vodivost ateriálu dosahuje hodot většiy kovů. Kocetrace defektů je jak teplotě, tak tlakově závislá a je bohužel oproti polovodičů z III-V skupiy poěrě vysoká. Je to způsobeo zvýšeou vyšší poddíle iotové vazby. K odstraňováí těchto poruch se využívá difůze při růzých teplotách. Vodivost typu-p je způsobea příěsei (V Cd ), ikoliv defekty. Typ a pozice cizího atou určuje jeho chováí v krystalu, stae-li se doore ebo akceptore. Akceptorová cetra vzikají áhradou Cd atoů prvky IA. (Li, a, K) a IB. (Ag, Au, Cu) skupiy a áhradou Te prvky VA. (As,, P, Sb) skupiy. Ukazuje se, že jako eješí akceptory se chovají Li, a a. Mezi ejhlubší akceptory patří Au. V případě ělkých akceptorů se experietálě určeé vazebí eergie pohybují v rozezí ev [73]

12 Jako doory se chovají prvky IIIA (Al, Ga, I) a VII A skupiy (Br, Cl, F, I). Bude-li se běhe rostoucí krystal dotovat Cl, kopezačí jev povede ke vziku seiizolačích krystalů. Doorový charakter ají rověž atoy vzácých kovů v itersticiálích polohách. Typické hodoty vazebích eergií ělkých doorů z IIIA a VIIA skupiy leží v rozezí ev. Defekty (příěsi) V ateriálu CdTe se ejčastěji vyskytují ásledující typy krystalových poruch: Vakace (chybějící ato v řížové poloze) Itersticiálí ato (ato acházející se v eziřížkové pozici) Substitučí ato (ahrazeí atou řížky atoe příěsi) Atisite (řížková poloha je obsazea atoe jié složky vlastího krystalu) (v ideálí krystalu, apř. v CdTe to zaeá ato Cd v ístě Te či aopak) Frekelův párový defekt vakace-itersticiál A-cetru (koplex vakace s cizí doore) K dotaci CdTe, pro zkvalitěí krystalu, lze použít také přechodové kovy (Fe, i, V), zvláště vaad poáhá ke zvýšeí kvality. Mechaické vlastosti Mezi základí paraetry ateriálu řadíe jeho tvrdost (odolost vůči echaickéu aáháí), plasticitu a v případě CdTe ještě fotoplasticitu (závislá a osvětleí ateriálu). Tvrdost čistého CdTe dosahuje hodoty asi 5kg/. Tato hodota se zatelě zvyšuje zvětšováí obsahu ziku v ateriálu. Techologický důležitý krystal CdZTe (telurid kadeatý-ziečatý) se 4% Z dosahuje tvrdosti 64kg/. V případě 6% Z pak 55kg/. Plasticita ateriálu se ěí v závislosti a kocetraci osičů proudu a a osvětleí (fotoplasticita). Je experietálě potvrzeo, že vysokoodporový ateriál vykazuje eješí apětí a ezi kluzu, s alou závislostí a osvětleí. U ízkoodporových vzorků docházelo při aplikaci zářeí odpovídající šířce zakázaého pásu ke zvýšeí apětí a ezi kluzu až a 7%. ěkdy byl v závislosti a historii aáháí vzorku pozorová tzv.egativí fotoplastický jev pokles apětí a ezi kluzu při osvětleí. Tab... Vybraé teplotí a echaické vlastosti při teplotě 3K Materiál Specifické teplo [J/kgK] Debyeova teplota [K] Koef.lieárí tepelé expaze α[ -6 K - ] Tepelá vodivost [W/cK] Au 9-4, 37 Ag 35-8,9 49 CdTe 5 4,9 58,5 Ga I 33-3, 86 Si 7 645,49 4 Pt 33-8,

13 Elektrické (trasportí) vlastosti Mezi základí trasportí vlastosti řadíe typ vodivosti a její velikost, kocetraci osičů proudu, jejich pohyblivost, tepelou vodivost a echaisy rozptylu elektroů, poskytující iforace o elektro-fooové iterakci a o odchylkách skutečé krystalové říže od ideálí periodické struktury. Trasport áboje v CdTe je zásadě ovlivě iterakcí elektroů a děr s optickýi a částečě akustickýi fooy. Velkou roli hrají také příěsi. Obecě lze říci, že pohyblivost osičů áboje prudce klesá s teplotou. Závislost pohyblivosti µ a teplotě T v itervalu 5 3K je určea téěř výhradě rozptyle elektroů a ioizovaých příěsích a optických fooech. Při vysokých teplotách (ad 775K) je závislost pohyblivosti odifikováa převažující rozptyle a podélých optických fooech, dále je ovlivňováa silou teplotí závislostí statické dielektrické kostaty ε a ultipásovou vodivostí Γ le L le. Mezi hladiou valečího pásu a vodivostího pásu se kroě Feriho vrstvy achází další hladiy. Tyto hladiy ovlivňují celkovou vodivost vzorku. Jejich počet elze jedozačě určit. Každá z těchto hladi ovlivňuje vodivost polovodiče v určité časové itervalu. E C E F Vořeé hladiy E V Obr... Vořeé hladiy v polovodiči CdTe. Ve valečí pásu E V se acházejí elektroy, které při dostatečé eergii ohou překoat bariéru a přeskočit do pásu vodivostího E C. Tí se stae ateriál vodivý. Tato vlastost je zázorěa a obr.. zeleýi šipkai. Vodivost se zvýší také tehdy, přeskočí-li elektro z jakékoliv vořeé hladiy lokalizovaých stavů do vodivostího pásu. Elektroy ohou však přeskakovat zpět z pásu vodivostího do ěkteré z vořeých hladi, kde jsou zachycey a pastech. Tí se odpor ateriálů zvýší, a tudíž vodivost klese vyobrazeo červeýi šipkai. Elektroy ohou přeskakovat také ezi hladiai vořeýi. Jelikož však edosáhly vodivostího pásu, eprojeví se a celkové vodivosti ateriálů oražové šipky. Hladiy ejsou vždy zaplěy stejýi počty elektroů. Tj. eachází-li se polovodič v elektrické poli, jsou tyto hladiy obsazey zřídka. Elektrické pole vyvolá v polovodiči drifrový proud a to zpříčií pohyb elektroů z valečího pásu do vodivostího a taky zvýší aktivitu elektroů, které se posouvají z ižších vořeých hladi sěre ahoru. Popřípadě přejdou až do vodivostího pásu. Při odpojeí exterího apájeí se elektroy začou pohybovat opačý sěre. Z vodivostího - 8 -

14 pásu klesají do vořeých hladi. Z horích vořeých hladi se přesouvají do ižších. Čí déle zůstává vzorek v klidu, tí více elektroů se stihe přesuout. Optické vlastosti Z pásové teorie vyplývá, že polovodič s příý zakázaý páse lze v pricipu využít jako luiiscečí zdroj zářeí. Složitá pásová (eergetická) struktura CdTe kroě ezipásových přechodů uožňuje oho dalších způsobů iterakce elektroagetického zářeí s ateriále. Z optických ěřeí (propustosti, odrazivosti, fotoeise, itrapásové absorpce a volých osičích a přechodů závislých a tlaku, lze získat ceé iforace o pásové struktuře, vibračích odelech krystalové říže (fooy). Z jiých optických ěřeí (luiiscece, absorpce, Faradayova jevu a piezodvojlou) lze avíc získat iforace o krystalových defektech, excitoech, polaritoech apod. Absorpce a volých osičích pokrývá oblast vlových délek µ. Dá se pokládat za přío úěrou kocetraci volých elektroů pro středí a vysoké rovovážé kocetrace elektroů. Závislost absorpčího koeficietu doory dotovaého CdTe je a obrázku. Další experietálí etoda užívaá pro idetifikaci vlastích defektů a příěsí je založea a ěřeí tzv.luiiscečího spektra. Tyto ěřeí se často provádějí za veli ízkých teplot s využití Fourierovské spektroskopie.. Kvalitativí paraetry detektorů Velkoobjeové ookrystaly CdTe a CdZTe patří ezi ateriály, které jsou výhodé pro kostrukci detektorů zářeí gaa - a X retgeového zářeí, příklad použití je ukázá a obr..3. Eergie zářeí (řádově ěkolik desítek až stovek kev) při průchodu prostředí tvořeý lehkýi atoy (tj. s ižšíi protoovýi čísly) podléhá typu absorpce, zvaéu Cotoův jev (Coptoův rozptyl, kvatový rozptyl). Při toto typu absorpce arazí foto zářeí gaa ebo retgeového zářeí a elektro, který uvolí z jeho dráhy. Foto přito ztratí pouze určitou část své eergie, zěí sěr pohybu a pokračuje dál jako rozptýleé zářeí o větší vlové délce. Čí víc eergie získal elektro od fotou, tí éě je odchýle od původího sěru pohybu fotou. Foto v toto případě zěí svůj sěr o větší úhel. Při předáí eší části eergie je tou aopak: odchýleí dráhy elektrou (po srážce s fotoe) od původího sěru fotou je větší, odchýleí fotou je eší. kotakt gaa zářeí sigál l r p e' e' e' U fotoelektrická Coptoova absorpce absorpce Obr..3. Pricip fotoelektrického odporu a bázi CdTe pro detekci gaa zářeí

15 Při Coptoově jevu se tedy počet fotoů eěí, fotoy se pouze rozptylují z původího sěru a ztrácejí část své eergie a zvětšují svoji vlovou délku. h λ = (.) e ( cosθ) e je hotost elektrou a h/( e c) je tzv "Coptoova vlová délka". θ je úhel, o který byla vychýley dopadající fotoy. e, hotost elektrou kg. h, eergie fotou, tedy J/s ebo ev/s. c, rychost světla /s. ásledě pak Coptoova vlová délka abývá hodoty Pro porováí kvalit detektorů a pro posuzováí vhodosti jejich aplikace lze defiovat ěkolik veliči, z ichž doiatí jsou Poěř sigálu k šuu S/ Poěr sigál U S k šuu U je bezrozěrá veličia daá podíle středích kvadratických hodot sigálového a šuového apětí a výstupu detektoru U U [-] S S = (.) Ekvivaletí šuový výko (oise equivalet power) EP, ěkdy také prahový zářivý tok je rove takovéu dopadajícíu zářivéu toku, při ěž je a výstupu detektoru užitečý sigál právě rove šuu kde λ U U EP = Eλ A d = [ W] (.3) U R E je středí kvadratická hodota ozářeí detektoru [ ] povrchu detektoru [ c ] a λ R je spektrálí citlivost [ V/W ] Detektivita a orovaá detektivita S λ Wc, A d je plocha pro popis detekčí schoposti detektoru se zavádí tzv. detektivita, což je převráceá hodota prahového zářivého toku. U většiy detektorů se ukazuje, že detektivita je epřío úěrá A a f, kde f je frekvečí šířka pása zařízeí d užitého k ěřeí šuu. Lze tedy zavést ovou veličiu, pro vzájeé porováí detektorů orovaá detektivita. D A EPf * d [ c Hz /W] = (.4) a základě tohoto vztahu bývá velikost orovaé detektivity vyjadřováa jako velikost poěru S, když zářivý tok W dopadá a plochu detektoru c a šu se ěří při šířce pása Hz. - -

16 3. Teorie šuu v polovodičích Statistický charakter iterakce osičů áboje v polovodičích s vější elektrický a agetický pole, se zářeí elektroagetické i částicové povahy, s kity krystalové říže i s osiči áboje vede ke vziku áhodých (stochastických) procesů. Tyto stochastické jevy se akroskopicky projevují jako fluktuace proudu tekoucího vzorke či fluktuace rezistece vzorku. Stochastické procesy způsobující fluktuaci osičů áboje lez rozdělit (a) a procesy způsobující fluktuaci rychlosti osičů (apř. tepelý šu) a (b) a stochastické procesy způsobující fluktuaci kocetrace osičů. V polovodičích ohou vzikat ásledující ejvýzaější typy šuů Tepelý šu (theral oise, Johso oise, yquist oise) Výstřelový šu (shot oise) Ipulsí šu Geeračě - rekobiačí šu Šu typu /f (flicker oise) Lze předpokládat, že techologické závady při výrobě ateriálů a součástek se projevují jako zdroje adbytečých proudů a adbytečých šuů (apř. šu typu /f ). Zdroje fluktuací elektrického proudu či apětí je tepelý pohyb ositelů v objeu vzorku, a jeho povrchu a kotaktech. Dále pak áhodý přechod ositelů ezi valečí a vodivostí páse, přechody ezi pásy a hladiai dovoleých stavů v zakázaé pásu a odulace vodivosti fluktuacei okolí teploty, fluktuacei zářeí a akustickýi šuy. Pro popis áhodého procesu se používá středí hodota, rozptyl, korelačí fukce a spektrálí hustota sledovaého procesu. 3. Tepelý šu V hoogeí vodivé či polovodivé ateriálu ejsou žádé poteciálové bariéry. Přesto je zde geerová šu, dokoce i když eprotéká proud. Je to způsobeo tepelý pohybe volých osičů a říže a jejich vzájeýi áhodýi srážkai. Teto jev bývá ěkdy azývá jako Browův pohyb ábojů způsobeý tepelou eergií. a ositele u tohoto šuu epůsobí žádá vější síla a proto je rychlost v každé sěru ezi srážkai kostatí. Vzhlede k tou, že středí doba ezi srážkai je - s je aplituda do frekvece f ~ Hz kostatí. Spektrálí hustota proudových fluktuací tepelého šuu je hf kt S i ( f ) = 4kTG (3.) exp( hf kt ) - -

17 Kde G je reálá část aditace vodivost. S výjikou veli vysokých frekvecí f ~ je hf << kt a zloek ve vztahu (3.) se blíží jedé. To odpovídá vztahu pro fluktuace apětí ( f ) ktr S u = 4, (3.) kde k je Boltzaova kostata, T je absolutí teplota a R je odpor vzorku. a svorkách rezistoru se objeví šuové apětí, jehož průběh je scheaticky vyese a obr theral-oise.ep.5 U / V / - Obr. 3.. Průběh šuového apětí tepelého šuu v závislosti a diskrétí čase. 3. Výstřelový šu Výstřelový šu (shot oise) je erovovážý jeve způsobeý ezávislýi přechody osičů přes poteciálovou bariéru, kdy je áboj trasportová diskrétě, po kvatech velikosti e a trasport se uskutečňuje áhodě v čase. Spektrálí hustota výstřelového šuu je dáa vztahe S it = ei, (3.3) kde e je eleetárí áboj, I je proud. Výstřelkový šu je doiatí ve frekvečí rozsahu ad 5 Hz. Časový průběh fluktuací výstřelového šuu je podobý jako u tepelého šuu, i když je fyzikálí původ obou šuů růzý. Výskyt ipulsů v čase se řídí Poissoový rozděleí podobě jako u tepelého šuu. Spektrálí výkoová hustota je kostatí do oblasti frekvecí, kde se začíají uplatňovat kvatově echaické jevy hf kt. 3.3 Ipulsí a geeračě rekobiačí šu Ipulzí šu se ůže projevit ve forě dvouhladiových ebo vícehladiových áhodých proudových ipulzů fluktuací proudu. Teto typ ipulzího šuu ůže být způsobe v přechodech P v podstatě dvěa způsoby: - -

18 Bistabilíi fluktuacei poteciálové bariéry defektu v oblasti prostorového áboje P přechodu, která je řízea zachycováí, či eisí jedotlivého osiče a pasti ebo G-R cetru v blízkosti defektu (burst oise eboli RTS oise). Vícehladiový šu ůže vzikout, existuje-li v přechodu více defektů tohoto typu ebo jestliže je poblíž defektů více G-R ceter. Lokálí laviový výboje v alé oblasti přechodu v ístech, kde dislokace protíá P přechod, polarizovaý v závěré sěru. Teto šu se objevuje obvykle při dostatečě velkých závěrých apětích, ale ižších, ež je apětí uté pro laviový výboj celé edefektí oblasti přechodu. Laviový výboj se ůže objevit ve dvou ebo více alých oblastech současě. Poto vziká vícehladiový šu. Geeračě rekobiačí procesy ohou podstatě ovlivit fluktuaci kocetrace ositelů v pásu vodivostí a valečí a tí se podílí převážou írou a fluktuacích proudu. Teto šu se superpouje a tepelý šu a je azývá adbytečý šue. ejjedodušší případe je výěa ositelů ezi páse a eergetickou hladiou defektů pastí. Velikost šuu závisí a kocetraci elektroů v pásu a kocetraci elektroů a děr v pasti. Příklad průběhu ipulsího šuu je uvede a obr a = -. I / µa 4 S u / V s -3 a = - -5 S UT = 4kTR.5..5 t / s -7. f / Hz a) b) Obr. 3.. a) Časový průběh ipulsího šuu, b) a jeho průběh spektrálí hustoty výkou apěťových fluktuací. V oblasti ízkých kitočtů je patrý šu typu /f sěrice a = -, v oblasti středích kitočtů převládá RTS šu s typický průběhe tzv. Lorezia s poklese spektrálí hustoty výkou se sěricí a = - a a ejvyšších kitočtech pak RTS šu plyule avazuje a oblast tepelého šuu. 3.4 Šu typu /f Vedle tepelého a geeračě rekobiačího šuu vziká v polovodičích ještě doposud jedozačě teoreticky evyřešeý šu, jehož spektrálí hustota je epřío úěrá frekveci. Prví rozsáhlé studie tohoto šuu a ekovových odporech provedl Beraot v r alezl, že spektrálí hustota šuu je epřío úěrá frekveci pro ízkofrekvečí oblast spektra. Objasěí šuu v uhlíkových a podobých odporech vychází z experietů Christesoa a Pearsoa z r Uístili zdroj šuu do kostatí oblasti ezi zry ateriálu a zavedli ázev kotaktí šu. Tyto šuy rověž vykazovaly závislost typu /f. Podrobé vyšetřeí šuu a ookrystalech geraia bylo provedeo Motgoery. Pozdější studie ukázaly, že šu typu /f závisí a povrchové úpravě krystalu a že je veli álo závislý a teplotě, a rozdíl od geeračě-rekobiačího šuu. Tato frekvečí závislost spektrálí hustoty platí pro - 3 -

19 růzé ateriály ve frekvečí itervalu 5 Hz, přičež dolí ez experietálě ověřeá sahá až do frekvecí -5 Hz. Odchylky od závisti /f v krystalech geraia byly poprvé ukázáy Herzoge a va der Ziele. Zjistili, že vedle složky šuu typu /f je šu v krystalech geraia způsobe kvatovýi přechody ioritích ositelů áboje. Pozdější studie ukázaly, že šu typu /f závisí a povrchové úpravě krystalu a že je veli álo závislý a teplotě, a rozdíl od geeračě-rekobiačího šuu. Teorie šuu v polovodičích byla rozviuta Mc Whortere a dále propracováa Va der Kiele. V teorii Mc Whortera [78] je šu /f spojová s povrchovýi stavy. Existují dva typy takových stavů, rychlé a poalé. Prví přísluší rekobiaci děr a elektroů s alou dobou života, tyto jsou rozložey ve vrstvě oxidu se stray polovodiče. Jejich hustota je přibližě c -. Poalé stavy jsou rozložey v oxidu a jejich eergie a hustota silě závisí a okolí prostředí. Hustota poalých stavů převyšuje 3 c -. McWhorterův odel předpokládá, že /f šu je způsobe fluktuacei vodivosti fluktuací počtu částic jako superpozice geeračě rekobiačích šuů s široký rozsahe relaxačích dob. Podle této představy spektru šuu typu /f tedy vziká superpozicí lorezovských průběhů spekter fluktuací, obsazeí ezávislých pasťových stavů. Z ateatického hlediska je odel založeý a předpokladu, že šu /f je tvoře superpozicí G-R šuu správý, ovše z hlediska fyzikálího ůže být správý je ve speciálích případech (tj. eplatí obecě). Metodou superpozice spektrálích hustot typu S i, (3.4) + ω τ kde τ je proěá s dolí ezí řádově µs a horí ezí větší ež s. Z odelu vyplývá, že spektrálí hustota fluktuace apětí je přío úěrá čtverci přiložeého apětí V, kocetraci povrchových ceter T a rychlosti povrchové rekobiace. Tyto příé úěrosti jsou prokázáy experietálě. Popiše jedoduchý odel Va der Ziela. Existuje souvislost ezi poalýi povrchovýi stavy a široký itervale relaxačích kostat. Takové rozděleí časových kostat je ožé zdůvodit dvěa způsoby: a) časová kostata se ěí v důsledku tuelového přechodu elektrou poteciálí bariérou s kostatí výškou a proěou tloušťkou. V toto případě je časová kostata, charakterizující přechody elektroů ezi povrchovýi stavy a vodivostí páse popsáa vztahe: τ τ e αx =, (3.5) kde α je paraetr související s výškou bariéry a á hodotu řádově 8 c -, x je tloušťka bariéry. b) časová kostata se ěí v důsledku lokalizovaých povrchových stavů s široký spektre excitačích eergií E t. E t T τ = τ e, (3.6) - 4 -

20 kde E t je excitačí eergie povrchových pastí. Poto ale vychází doba τ závislá a teplotě, což je v rozporu s experiety. Budee proto dále uvažovat prvý příklad. Uvažuje polovodič typu, délky L, průřezu A. Předpokládeje, že jede elektro je zachyce eleete povrchu vzorku S. To vede ke zěě protékajícího proudu ve vzorku o hodotu qv I = µ FE, (3.7) L kde V je apětí a vzorku, µ FE je pohyblivost při efektu pole. Teto zachyceý elektro oduluje geeraci párů elektro-díra rychlýi stavy. Jestliže se po dobu jeho zachyceí geeruje M párů elektro-díra objeví se vzorku zvýšeí o hodotu qv I = ( µ + µ p )M. (3.8) L Tedy dojde k celkové zěě proudu o hodotu [( µ + µ ) M µ ] qv p FE. (3.9) L počet zachyceých ositelů fluktuuje a tak vziká šu. echť počet pastí v alé eleetu povrchu S. = S je T počet elektroů zachyceých v S, kocetrace elektroů v objeu, x vzdáleost ezi pastí a hraicí polovodič oxid. Poto exp(-αx) je pravděpodobost tuelového průchodu elektrou. Pro geeraci elektroů poalýi stavy platí a pro zachyceí a poalých stavech r g ( ) = C ( ) exp( αx) t T t (3.) ( ) = C exp( E kt ) exp( αx) t t t, (3.) kde g( T ) a r( T ) jsou rychlosti geerace a rekobiace elektroů, C a C jsou kostaty. Rychlosti geerace a rekobiace určují dobu života τ ositelů áboje. Podle Burgesse je τ dáo vztahe kde r a g jsou derivace podle T. ( r ( ) g ( )) τ, (3.) = t t po dosazeí z předchozích vztahů (3.) a (3.) za rychlost geerace a rekobiace dostáváe ( x) f t exp α τ = (3.3) C f t je pravděpodobost obsazeí povrchového stavu elektrou a platí pro i f t C =. (3.4) C + C exp E kt t T T - 5 -

21 Středí hodota počtu elektroů zachyceých a ploše S je rova součiu počtu povrchových stavů a pravděpodobosti obsazeí kde T je počet pastí a rozptyl = f, (3.5) t t = f T t t T ( f ) t (3.6) je úěrý pravděpodobosti, že povrchový stav je obsaze elektroe, ásobeé pravděpodobosti, že je obsaze dírou. Začý vliv ají je pasti z eergetických hladi blízko Feriho úrově. Pro ě je f t =.5 a poto a rozptyl je popsá vztahe Fourierův obraz rozptylu je ( C ) τ = exp α, (3.7) X =. 5 S (3.8) T T =. 5 S (3.9) T T T = T S 4 (3.) τ F T ( ω) = 4 T (3.) + ω τ Takto bycho dostali eergetické spektru pro zachyceí a eisi elektrou a povrchových stavech a ploše S. Eergetické spektru odpovídající stochastický jevů v celé povrchové vrstvě obdržíe itegrací po celé povrchu polovodiče. Předpokládeje, že T je kostatí pro <x<x a ulová io teto iterval. Současě se zěou vzdáleosti se ěí i doba života τ. Dosadíe-li do vztahu (3.) dostaee F T Doba života v ístě x je podle (3.) a tedy τ dx ω (3.) ω τ x x ( ) = T Sx + + τ = τ ( α ) exp x ( τ ) l τ Dosazeí (3.4) a (3.) a provedeí itegrace áe F T ( ω) (3.3) dx dτ τ = (3.4) x Sx = (3.5) ω l T [ arctg( ωτ ) arctg( ωτ )] ( τ τ ) - 6 -

22 V oblasti ωτ < je F kostatí. Při ωτ T < < ωτ popisuje spektru /f a při ωτ > se ěí podle /f. Vztah (3.5) popisuje eergetické spektru fluktuací počtu elektroů a povrchových stavech. S přihlédutí ke vztahu (3.9) ůžee zapsat eergetické spektru ve tvaru F i ( ω) = ( qv L ) [( µ + µ ) M µ ] p FE Sx ω l T [ arctg( ωτ ) arctg( ωτ )] ( τ τ ) (3.6) Eergetické spektru je tedy úěré čtverci přiložeého apětí, kocetraci povrchových ceter a ploše vzorku a epřío úěré čtvrté ociě délky. Otázkou vziku šuu typu /f se zcela obecě zabýval Boč-Brujevič a ukázal, že tyto stochastické procesy ejsou čistě arkovovské, protože uvažovaá soustava eí dostatečě ierciálí. Odvodil spektru typu /f za předpokladu, že lokalizovaé stavy jsou v objeu polovodiče rozděley áhodě a že ji odpovídá spojité eergetické spektru hladi v zakázaé pásu. V dosavadích teoriích šuu /f se předpokládalo, že se jedá o fluktuaci kocetrace ositelů. Ve své práci ukázal Holte, že šu /f lze vyložit za předpokladu, že se jedá o fluktuaci pohyblivosti. V těchto pracích je šu /f vázá a kvatové přechody či trasport abitých částic. K zajíavéu závěru dospěl Musha, který ukázal, že fluktuace typu /f byly pozorováy i v jiých případech a že ejsou vázáy a abité částice. Ukazuje, že fluktuace relativistického eutroového toku v agetosféře, fluktuace kitočtu krystalového oscilátoru a koečě i fluktuace teploty v ovzduší jsou popsáy áhodý procese se spektre typu /f. V této práci se předpokládá, že fluktuace typu /f jsou obecou statistickou charakteristickou soustavou s velký počte částic. Šu typu /f vziká jak v ookrystalech tak polykrystalech a tekých vrstvách a vyvolává fluktuace ustáleého proudu součástkou. Závislost spektrálí hustoty a proudu je dáa vztahe β I S i ( f ) ~, (3.7) α f U expoetu β se ejčastěji pozoruje hodota β. Tato hodota se však ůže pohybovat v itervalu od do 4. Expoet α je α. Ve skutečosti se hodoty α pohybují od.9 do.4. Zdroje šuu /f jsou přechody ositelů ezi páse dovoleých eergií a lokalizovaýi stavy a povrchu. Šu /f lze teoreticky odelovat (a) ateaticko-stochastickýi odely, (b) fyzikálíi odely ebo (c) experietálíi charakteristikai a epirickýi vztahy pro spektrálí hustotu. Hoogeho odel předpokládá, že zdroje šuu /f je rozptyl volých osičů a tepelých kitech atoové říže, který způsobuje fluktuace pohyblivosti. Hooge defioval epirický vztah popisující fluktuaci odporu sledovaého hoogeího vzorku kovu ebo polovodiče ( R) α f =, (3.8) R f - 7 -

23 kde R je odchylka hodoty odporu od středí hodoty, α je Hoogova kostata, je počet volých osičů áboje ve vzorku. Z Hoogeova epirického vztahu byla pro hoogeí vzorky polovodičů a kovů odvozea spektrálí hustota fluktuace proudu, apětí ebo odporu Si Su SR α = = =, (3.9) I U R f kde α je bezrozěrý paraetr, epirická kostata závislá a rozptylu eergie osičů áboje. Hadlův kvatový odel Hadlův kvatový odel [77] vychází z kvatové teorie šuu /f, z představy, že šu /f je geerová fluktuací pohyblivostí elektroů a děr. Předpokládá, že při srážkách osičů dochází ke vziku brzdého apětí a zdroje šuu je kvatově echaický proces. Srážkový echaisus je slabě závislý a teplotě

24 4. Charakteristiky áhodých procesů 4. áhodé procesy áhodý proces { ξ ( t) } je ozačeí pro soustavu áhodých veliči ξ ( t) (realizací) ejčastěji uspořádaých v čase t (pravděpodobostí přístup), kdy áhodá ξ t odeluje dyaicky se ěící průběh áhodého sigálu x(t) (statistický veličia k ( ) přístup). áhodý proces { ( t) } ξ je poto fukce, jejíž hodota je při daé hodotě arguetu t áhodou veličiou. Výsledek určitého pozorováí áhodého procesu pak představuje pouze jede z velkého počtu ožých výsledků. k 4. Rozděleí áhodých procesů áhodé procesy se dělí a stacioárí a estacioárí. Stacioárí ohou být ergodické ebo eergodické. Schéa děleí áhodých procesů je a obr. 4.. áhodé procesy Stacioárí estacioárí Ergodické eergodické Zvláští případy estacioárích procesů Obr. 4.. Schéa děleí áhodých procesů. Stacioárí áhodé procesy Uvažuje áhodý proces { ξ ( t) }, jehož odpovídající realizace jsou ξ ( t) středí hodota áhodého procesu v čase t je dáa vztahe k= k. Poto µ ξ ( t ) = { ξ ( t )} li ξk ( t ) (4.) Sčítáí se provádí přes všechy realizace. Další veličiou, která charakterizuje áhodý proces je autokorelačí fukce, jejíž hodota v čase t je R ξ + k k + k= ( t, t τ ) = li ξ ( t ) ξ ( t τ ). (4.) - 9 -

25 áhodý proces je slabě stacioárí, jestliže µ ( ) a ( ) ξ t R ξ t,t +τ ezávisí a volbě t. Středí hodota stacioárích procesů je kostatí a jejich autokorelačí fukce závisí pouze a časové posuutí τ, tz. R ξ ( t, t + τ ) = Rξ ( τ ). Středí hodota a autokorelačí fukce jsou prví a druhý oet áhodého procesu. Splňují-li také vyšší oety aalogické podíky, lze hovořit o silě stacioárí procesu. Ergodické procesy V předešlé odstavci byly zavedey středí hodota a autokorelačí fukce v daé časové okažiku t jako součty přes ožiu všech realizací. V oha případech však lze vystačit pouze s jediou, takže středí hodota a autokorelačí fukce budou T µ ξ ( k) = li ξk ( t) dt (4.3) T T T Rξ ( τ, k) = li ξk ( t) ξk ( t + τ ) dt (4.4) T T Je-li áhodý proces stacioárí a jestliže středí hodoty podle (4.) a (4.3) jakož i hodoty autokorelačí fukce podle (4.) a (4.4) jsou idetické pak áhodý proces { ξ ( t) } je ergodický. Ukazuje se, že v oha případech lze oprávěě předpokládat, že áhodý proces je stacioárí a ergodický. Další úvahy se tedy budou týkat pouze stacioárích a ergodických procesů. 4.3 Klasifikace áhodých procesů K popisu základích vlastostí áhodých procesů se používají zpravidla tyto statistické fukce a) středí hodota (4.) b) autokorelačí fukce (4.) c) středí kvadratická hodota d) disperze σ ξ Ψ ξ e) hustota pravděpodobosti p ( ξ ) Prví dvě fukce byly již defiováy. Středí kvadratická hodota defiovaá vztahe Ψ ξ je T = li T T ( t) ásledující vztah defiuje disperziσ áhodého procesu Ψξ ξ dt (4.5) ξ T T T [ ξ ( t) ] σ ξ = li µ ξ dt (4.6) - -

26 Sado se ukáže, že středí kvadratická hodota a disperze spolu souvisí vztahe σ ξ Ψξ µ ξ = (4.7) a obr.4. je azačea realizace áhodého procesu. V itervalech t ξ, ξ + ξ. ůže realizace ( t) ξ abývat hodot ( ) a t ξ(t) t t t 3 t4 t / s τ Ozače ξ Obr. 4.. Realizace áhodého procesu ξ(t). T jako celkovou dobu, po kterou fukčí hodota ( t) ξ ležela v uvedeé itervalu, tzv. aplitudové okruhu. Pak pravděpodobost ξ < ξ t ξ + ξ ξ t leží v daé okruhu je P [ ( ) ] toho, že fukce ( ) Tξ P [ ξ < ξ ( t) ξ + ξ ] = li (4.8) T T Hustota pravděpodobosti P ( ξ ) pak splňuje ásledující rovici [ ξ < ξ ( t) ξ + ξ ] p( ξ ) P (4.9) Je-li záa hustota pravděpodobosti áhodého procesu p ( ξ ) středí hodotu a středí kvadratickou hodotu podle vztahů 4.) ásledující vztah defiuje disperziσ áhodého procesu ξ T T T [ ξ ( t) ], pak lze vypočítat σ ξ = li µ ξ dt (4.) Šuové sigály patří do skupiy áhodých procesů a ohou být reprezetováy fluktuacei apětí u k (t) ebo proudu (t). a obr. 4.3 je vidět časový průběh apěťových fluktuací a fukce rozložeí hustoty pravděpodobosti. i k ejpravděpodobější hodota šuu je ula, což je současě průěrá středí hodota šuu (4.3). Hodoty šuu hodě vzdáleé od uly jsou álo pravděpodobé. Rozložeí této pravděpodobosti je popsáo tzv. hustotou pravděpodobosti (4.9) ve tvaru Gaussovy křivky. Štíhlost křivky je řízea její paraetre σ, což je tzv. sěrodatá odchylka šuu. Její kvadrát pak určuje disperzi áhodého procesu (4.). sěrodatá odchylka ůže být chápáa jako efektiví hodota šuu a disperze pak představuje čiý výko šuu do jedotkového odporu. - -

27 pravděpodobost kladé výchylky větší ež,5 σ je,6 % hustota pravděpodobosti 3σ σ σ U / V σ σ 5σ t / s,6 Max Max 3σ pravděpodobost záporé výchylky větší ež,5 σ je,6 % Obr Časový průběh apěťových fluktuací a rozděleí hustoty pravděpodobosti. Křivka hustoty pravděpodobosti ohraičuje plochu, která udává pravděpodobost výskytu šuu v daé rozezí hodot: Plocha pod celou křivkou je jedotková, čeuž odpovídá stoprocetí pravděpodobost, že ezivrcholová hodota šuu se bude acházet ěkde v itervalu,. šuových apětí ( ) Pravděpodobost, že šuový sigál překročí hladiy ±,5σ, eboli že jeho ezivrcholová hodota ebude větší ež 5σ, je je asi,%. Pro 6σ je pravděpodobost je,7% a pro σ vychází %. 4.4 Spektrálí aalýza stochastických sigálů Popis sigálu ve frekvečí doéě patří z hlediska aalýzy k ejdůležitější charakteristiká áhodých procesů. Jde o zjištěí společých rysů všech dostupých realizací určitého áhodého procesu. Můžee pak s určitou pravděpodobostí očekávat, že další dosud ezáé realizace budou ít rysy podobé. Idetifikací zjištěé údaje plě popisují áhodý proces a lze je pak použít k aalýze vitřích echaisů, které jsou v pozadí vziku áhodých sigálů. Je to tzv. sigature aalysis aalýza, sěřující obecě k edestruktiví diagostice systéů (apř. elektroických součástek, ale také strojích zařízeí ebo biologických systéů) a základě jii produkovaých sigálů v podobě apř. adbytečého šuu elektroických součástek ebo akustických sigálů echaických zařízeí, atd. Spektrálí vlastosti áhodého procesu se ejčastěji vyjadřují tzv. spektrálí ξ t áhodého procesu uvažuje hustotou výkou. V libovolé části realizace k ( ) časový iterval ( T /, T / ), pro který staovíe Fourierův obraz F T ω jωt k e dt. (4.) T ( ) = ξ ( t) V obrazové oblasti Fourierovy trasforace ( ω) F ztrácíe iforaci o čase, a proto á tato aalýza sysl pouze pro procesy stacioárí popřípadě i ergodické. Důvode, - -

28 že výpočet provádíe pouze v úseku koečé délky je skutečost, že áhodý proces je chápá jako sigál s ekoečou eergií, který esplňuje podíku absolutí itegrovatelosti ( t) dt < ξ a tedy pro ěj elze ajít přío Fourierův obraz k v otevřeé itervalu (, ). Spojitou spektrálí fukci S ( ω) přechode F ( ω) pro T., pak lze ajít liití F( ω) S( ω) = li. (4.) T T Současě předpokládáe, že uvažovaý áhodý proces byl zbave lieárího tredu, tj. že jeho středí hodota je rova ule. Vztah (4.) představuje oboustraou spektrálí hustotu výkou reálého áhodého sigálu. Častěji však pracujee pouze s jedostraou spektrálí hustotou G ( ω), defiovaou pro úhlové kitočty ω >. Vzájeý vztah obou výkoových spektrálích hustot je dá výraze G(ω) = S( ω) pro ω pro ω <. (4.3) Pokud bude áhodý sigále šuové apětí u k ( t) ěřeé a součástce pak výkoová spektrálí hustota S ( ω) charakterizuje rozděleí výkou sigálu v závislosti a kitočtu. Přibližě lze říci, že představuje výko sigálu a odporu Ω v kitočtové pásu o šířce Hz. Ukázka typické křivky šuového výkou polovodičového prvku (vodorová i svislá osa jsou logaritické). S u [ V /Hz] f P = S( f ) df f P = S( f ) f S u f f f 3 f4 f [Hz] Obr Typický průběh jedostraé spektrálí hustoty šuu a polovodičové prvku. Autokorelačí fukce a spektrálí hustota takového áhodého procesu jsou spjaty Wieer-Khichiovýi vztahy S π ( ω) R ( t) jωt = ξ e dt f. (4.4) - 3 -

29 R ξ ( t) S( ω) j = ω t e dω. (4.5) Pro spektrálí hustotu eergie stochastického procesu koečé délky pak platí F( ω) L( ω) =. (4.6) πt Pokud by áhodý proces ebyl ergodický, pak by se vypočítaly spektrálí fukce jedotlivých realizací S k (ω), k =,,...,, a jejich průěrováí bycho získali spektrálí hustotu středího výkou S (ω). Výko připadající a páso kitočtů f = f, f se určí poocí itegrálu f f ( f ) df + S( f ) df = S( f ) f P = S df. (4.7) f Výše byly zavedey spojitě se ěící statistické veličiy, které poslouží jako ateatický ástroj k popisu fyzikálích jevů sledovaých v elektroických součástkách. Saoté pořizováí experietálě aěřeých hodot fluktuujících veliči apětí a proudů a ěřeých vzorcích se des však výhradě provádí v diskrétích časových okažicích s podporou techiky a ových algoritů pro digitálí zpracováí sigálu. Vypočteé hodoty odhadů statistických charakteristik jsou však rověž áhodýi veličiai s vlastíi pravděpodobostíi paraetry, zejéa středí hodotou a rozptyle. Proto je sahou, aby středí hodoty odhadovaých veliči (výkoových spekter) byly rovy skutečý paraetrů stochastického procesu. f f - 4 -

30 5. uerický výpočet výkoového spektra 5. Průchod stacioárího áhodého sigálu lieárí T-ivariatí soustavou Uvažuje spojitou soustavu, jejíž dyaické účiky jsou aproxiováy H z. diskrétí odele viz. obr. 5. poocí Ζ -přeosu ( ) h( ) x( ) y( ) H( z) X( z) f Y( z) s Obr. 5.. Diskrétí odel přeosové soustavy. Zvoleá perioda vzorkováí je T = f s s. Podle defiice Ζ -trasforace platí kde je H h = = { } z H ( z) h( ) z, kde h( ) = pro <, h( ) = H = = =, (5.) h diskrétí ipulsí charakteristika dyaického systéu, operátor Ζ -trasforace, je zesíleí soustavy. Diskrétí hodota výstupu a obecý vstupí sigál je dáa kovolučí součte v aticové zápisu pak y ( ) = h( ) x( ) = h( i) x( i) y i= [ x x L x ] T kde operátor začí operaci diskrétí kovoluce a dále y y diskrétí hodota výstupu, ( ) ( ), (5.) T = h, (5.3) h h diskrétí hodota váhové fukce, x x diskrétí hodota vstupí veličiy. ( ) Uvažuje, že budící sigále diskrétího odelu dle obr.5. je stacioárí šu η η je rova η( ). Středí hodota ( ) - 5 -

31 Středí hodota výstupího sigálu y ( ) y AVG = E ηavg = E{ η( ) } = li η( ). (5.4) + = { y( ) } = E h( i) x( i) = h( i) E{ x( i) } = x h( i) i= Podle defiice je autokovariačí fukce vstupího sigálu ( ) c xx i= AVG i= x x rova + τ τ τ + τ AVG τ + + τ = + τ =. (5.5) E.(5.6) ( ) = { x x } = li x x = li ( x x )( x x ) Autokovariačí fukce výstupu á tvar c yy ( ) = { y y+ τ } = li τ τ = AVG E x xτ +. (5.7) + Ζ -obraz výkoové spektrálí hustoty vstupího sigálu je defiová vztahe ( z) = c ( ) S xx xx z. (5.8) = Ve skutečosti je tato veličia zpravidla eěřitelá. Měřeí se jí ůžee akorát přiblížit v určité frekvečí pásu po trasforaci lieárí časově ivariatí systée. Pro Ζ -obraz výkoové spektrálí hustoty a výstupu časově ivariatího systéu pak platí S yy = yy = * ( z) c ( ) z = H ( z) S ( z) H ( z) = H ( z) S ( z) xx xx. (5.9) Substitucí z e jωts obdržíe vyjádřeí fukce (5.9) ve frekvečí oblasti. 5. Diskrétí Fourierova trasforace Diskrétí Fourierova trasforace (DFT) je diskrétí obdobou ejpoužívaější trasforace k přepočtu sigál spektru, vyjadřující obraz sigálu poocí ortogoálích bázových fukcí sius a kosius. To uožňuje získat popis sigálu jako závislost aplitudy a fáze a frekveci. Trasforace ezi sigále a spektre poocí DFT je zázorěa a obr. 5.. Zavedeí operátoru DFT zde uvádí jako ateatický ástroj k odvozováí pozdějších vztahů. Popis vlastosti této trasforace lze alézt v literatuře [74], [5]. Forálě se jedá o trasforaci koečé poslouposti { x ( ) =,,..., } délky vzorků a obrazovou posloupost shodé délky, { X ( k) k =,,..., } X [ ] { X ( k) } = DFT { x( ) } = k= π = jk ( k) = x( ) e, k =,,...,. (5.) - 6 -

32 x(t) X (ω) FT ω s Ts x ( Ts ) X ( kω) t Ω ω DFT T s kω Obr. 5.. Přepočet ezi sigále a spektre poocí DFT. Je-li výchozí posloupost tvořea ekvidistatíi vzorky sigálu x ( T s ), tvoří obrazová posloupost X ( kω) ekvidistatí spektrálí čáry s kroke úhlových kitočtů Ω = π Ts = ωs / a pro orálí kitočty platí f = ( Ts ) = fs /, což představuje defiovaou šířku pása. X jkωts ( k ) = x( T ) e, k =,,..., Ω = * Pro reálé x ( T s ) platí X ( kω) = X ( Ω kω) - DFT (zpětá DFT) je defiováa jako Obdobě také platí x x s { x( ) } = DFT { X ( k) } = k= π. [ ] k= jk ( ) = X ( k) e, =,,..., jkωts ( T ) X ( kω) e, =,,..., s = k=, (5.). (5.). (5.3) Jelikož je DFT defiováa pro periodické sigály, je potřeba počet bodů volit jako celistvý ásobek periody sigálu. Podíku periodičosti a časové eoezeosti však obecě techické sigály v zásadě esplňují. uté oezeí sigálu v časové oblasti zaeá kovoluci spektra espojité pravoúhlé fukce a spektra aalyzovaého sigálu v oblasti kitočtové. To vede k tzv. rozazáí spektra a tedy k prosakováí (leakage) eergie ve spektru do sousedích frekvečích čar a jié kitočty, ež obsahoval aalogový sigál. Teto problé úzce souvisí s Gibsový jeve, který astává u koečého součtu Fourierovy řady. Pak ohou vzikat ve spektru postraí laloky. Pro oezeí rozazáí spektra je třeba aalyzovaý sigál dodatečě ásobit okékovou váhovací fukcí s takový průběhe spektra, které zírí epřízivý vliv pravoúhlé fukce. Poáhá také zvýšeí vzorkovacího kitočtu. Paraetry sigálu tak ejsou zkouáy v celku, ale po částech. ejčastěji se využívají růzé druhy - 7 -

33 váhovacích oke, jejichž časový průběh se a obou kocích blíží ule, které ají za úkol potlačit vliv krajích vzorků v časové oblasti. Mezi ejpoužívaější patří oka Haigovo, Haigovo, Blackaovo, Bartlettovo (trojúhelíkové) a ohá další jak je vidět a obr w() TUKEYWI TRIAG RECTWI PARZEWI UTTALLWI KAISER HAIG HAMMIG GAUSSWI CHEBWI BOHMAWI BLACKMAHARRIS BLACKMA BARTHAWI BARTLETT Obr Ukázka růzých typů váhovacích oke. 5.3 eparaetrické etody odhadu výkoového spektra eparaetrické etody odhadu výkoových (i vzájeých) spekter áhodých procesů se vyzačují tí, že se celá aalýza opírá pouze o zěřeá data. eí tedy potřeba zalost odelu vziku áhodého sigálu (paraetrické etody). eparaetrické etody lze rozdělit a klasické, kde základe odhadu je výpočet diskrétí Fourierovy trasforace (DFT). Hlavíi zástupci této skupiy jsou dvě etody. Historicky starší etoda periodograu byla statistiky zavedea pro zkouáí časových řad jako prví etoda statistické aalýzy. Po zavedeí poju korelačí fukce ve dvacátých letech iulého století a zejéa po objeveí Wieer- Kchichiova vztahu a delší dobu převládala etoda korelograu [74] založeá a výpočtu autokorelačí fukce a ásledé aplikaci DFT. Po objeveí algoritu rychlé Fourierovy trasforace (FFT) se však etoda periodograu v oha svých variatách stala ejčastěji používaý postupe pro výpočet odhadu výkoového spektra, a proto jí v této práci budu věovat pozorost. Hlavíi výhodai těchto etod je a jedé straě rychlost a sadost výpočtu a a druhé straě je to zejéa sadá aalyzovatelost výsledků. Pokud jde o hodoceí získaých odhadů, poskytují tyto etody poěrě ízkou frekvečí rozlišovací schopost při daé kvalitě odhadu vyjádřeé rozptyle a popř. vychýleí. Méě tradičí etody odhadu spektra zpravidla evyužívají příého výpočtu DFT(FFT), jejich základe je paralelí struktura baky filtrů (BF). apř. jede z oderích přístupů je etoda iiálího rozptylu [74]. Schéa rozděleí eparaetrických etod odhadu výkoového spektra je uvede a obr

34 eparaetrické etody odhadu PSD Klasické etody Základ - DFT etradičí etody evyužívají DFT Základ Periodogra Periodogra Modifikovaý periodogra Bartlettova etoda Welchova etoda Odhad Autokorelačí fukce Blacka-Tukey Základ Baka filtrů Pásová filtrace Metoda iiálího rozptylu Obr Rozděleí eparaetrických etod odhadu výkoového spektra. V dostupé literatuře [74], [66] jsou klasické eparaetrické etody i jejich algority rozebráy poěrě podrobě. Co se však týká vyjádřeí správého ěřítka aplitudových hodot spektrálí hustoty výkou (PSD Power Spectral Desity) tedy vychýleí PSD eí jedozačě prokázáo. Dále pak odhad PSD etradičíi etodai, které jsou založey a představě baky filtrů bývají v literaturách uváděy povětšiou je v pricipu, a proto se abízí ožost detailějšího rozboru. Výhodou těchto etod je zejéa ožost aproxiovat výkoové spektru s logaritickou stupicí frekvece, což vede ke ze zlepšeí frekvečí rozlišovací schoposti. Pricip paralelí práce pak uožňuje dostupost výsledků v reálé čase, takže lze uvažovat o ožosti použití pro časově frekvečí aalýzu. Efektiví postupe odhadu PSD by tedy bylo ajít takovou etodu, která by ohla využívat výhod klasických i etradičích eparaetrických etod. Ve saze dodržet relativí jedoduchost výpočtu spolu se sadou iterpretací výsledů a při současé zlepšeí frekvečí rozlišovací schoposti s logaritický děleí kitočtové osy a výsledky dostupýi pokud ožo v reálé čase, bych se v ásledujících kapitolách pokusil poukázat a jedo z ožých výpočetích schéat a přito zajistit evychýleé hodoty aplitudy spektra. Jako výpočetí ástroj ke zpracováí dat využijee osobí PC s podporou výkoého softwarového prostředku MATLAB pro siulaci a laděí veškerých algoritů, které pak budou ipleetováy v jazyce C/C++ pro všestraé použití Metoda korelograu (Blacka - Tukey) Při uerické výpočtu fukce S( ω ) S ( kω) xx, tedy oboustraé spektrálí hustoty výkou PSD vyjdee z Wieer-Kchichiova teoréu [74] aplikovaého a diskrétí sigály R xx τ C = * ( τ ) x( ) x ( + τ ), S ( kω) = DFT{ R ( τ )} = Výkoové spektru S xx ( kω) Fourierový obraze autokorelačí poslouposti R ( τ ) sigálu x ( ) xx xx. (5.4) C /idexe C je ozačea etoda korelograu / je xx. Každá kokrétí hodota autokorelačí fukce v hodotě τ se vypočte ezi dvěa stejýi sigály - 9 -

35 ( ) x, které jsou vůči sobě posuuty o τ vzorků. Tato posloupost délky je vždy sudá, výkoové spektru je poto vždy reálé. Dále ůžee psát R ( ) = x( ) x( ) DFT S ( kω) = X ( kω) X ( kω) xx τ P S xx P * ( kω) = X ( kω) X ( kω) = X ( kω) xx, (5.5) kde operátor ozačuje operaci diskrétí kovoluce. Diskrétí áhodý sigál, který je stacioárí (či ergodický) je z hlediska autokorelačí poslouposti jedozačě charakterizová svou autokorelací i výkoový spektre P S xx ( kω) /idexe P je ozačea etoda periodograu /. Avšak jak autokorelačí poslouposti, tak i výkoová spektra lze pouze odhadovat, a to obvykle z více koečých úseků áhodého sigálu. Souvislost ezi autokorelačí fukcí áhodého procesu xx( τ ) výkoový spektre ( kω) C S xx Autokorelačí fukce ( τ ) C lze vyjádřit vztahe S xx ( kω) = DFT{ R ( ) } = R ( τ ) xx R s jeho jkωτ Ts xx τ xx e. (5.6) τ = + R je fukce deteriistická a syetrická kole středu. Fourierova trasforace této fukce, tedy výkoové spektru je také fukce deteriistická a avíc díky sudé syetrii i fukce reálá. aproti tou fázové spektru je áhodé, a proto eá sysl jej uvažovat Metoda periodograu (Welchova etoda) Welchova etoda průěrovaých (averaged) a váhovaých (weighted) periodograů patří ezi ejpoužívaější etody eparaetrické spektrálí aalýzy. Výkoové spektru PSD se pak touto etodou spočítá jako souborová středí hodota kvadrátů váhovaých spekter jedotlivých realizací či z jedotlivých úseků ergodického áhodého procesu. Teto postup je zázorě a obr A ( ) i DFT x over w x A B i= over DFT i= f s T eas B ( ) i= i= DFT = i+ i over It ( over DFT ) over K Σ i X w ( k ) + X w ( k ) + i X w ( k ) i X w ( k ) / DFT / DFT / DFT / DFT Obr Postup odhadu výkoového spektra Welchovou etodou, průěrováí a váhováí periodograů K - 3 -

36 Uvažuje zěřeý sigál = { x } = x o délce = f s Teas, kde T eas je doba ěřeí. Sigál je rozděle a K úseků délky, pro i, K, které se ohou vzájeě překrývat o over vzorků (přesah bývá typicky až 5 %), tedy platí B DFT K = it DFT ( ) A( i) B i ( i) = ( i + ) i, A( i) = ( ) i DFT over over over, DFT = DFT over +,. (5.7) Aby po rozděleí sigálu stále platila podíka stacioarity a ergodicity, je vždy uté áhodou posloupost vycetrovat, tedy zbavit přítoosti tzv. tredu. Te způsobuje, že pro dílčí segety, odvozeé z původí poslouposti eplatí vztah ávazosti. Tred se obvykle aalyzuje zpravidla etodai regresí aalýzy, dostačují i jedoduché odely - lieárí, polyoický. stupě a pod. Cetrováí pak provedee odečteí příslušých hodot získaých z odelu tredu od hodot vzorků v segetu. Lepších výsledků lze ale dosáhout kitočtovou filtrací sigálu s iiálí zěou aplitudy v propusté pásu. Dále se jedotlivé úseky v celé délce ásobí DFT váhovací fukcí w = { }, prozatí uvažuje pouze její obdélíkový tvar a z w = ( i) každého takového segetu { w } A ( i ) spektru P S xx ( k, i) i X w ( k) DFT B x je pak podle (5.5) vypočteo výkoové = DFT DFT = k =,,..., B( i) { x w} A ( i ) DFT. e π jk DFT, (5.8) Rozptyl odhadu PSD vypočteé v jedo segetu podle (5.8) je pro dostatečě dlouhé přibližě rove DFT ( k) P S xx σ [ P S xx ( k) ]. (5.9) K Se zvětšující se délkou realizace však rozptyl eklesá. Stabilitu odhadu pak ůžee určit ásledově Průěrováí výkoových spekter [ P S xx ( k) ] [ S ( k) ] σ PS xx =. (5.) E P xx A S xx klesá rozptyl odhadu * ( k) = E X ( k) X ( k) = E X ( k) i DFT A S xx w i K w K i= DFT ( k) X ( k) K i i= DFT w i w K i= (5.) - 3 -

37 ( [ ( k) ]) = li σ (5.) A S xx a zlepšuje se statistická stabilita odhadu ( k) A S xx. Títo postupe ovše ztrácíe kitočtovou rozlišovací schopost f. Tu lze zlepšit zvětšeí délky segetu DFT, číž klesá chyba vychýleí, ale roste rozptyl odhadu. Vychýleí á za ásledek rozazáí spektra, kdežto rozptyl určuje statistickou stabilitu odhadu, tedy chybu odhadu spektrálí čáry. Pokud je odhad evyhlazeý, je každá frekvečí čára odhaduta s chybou %. Při volbě počtu a délky segetů je třeba hledat koprois ezi frekvečí rozlišeí a stabilitou odhadu. yí uvažuje ásledující odel, a obr. 5.6 a) je zázorě jede seget či jeda realizace diskrétího áhodého procesu x. Zaeá to tedy, že sigál x je oeze váhovací oke w koečé délky a obdélíkového tvaru. x w rectagular x. haig w w a) b) Obr Ukázka jedé realizace diskrétího áhodého sigálu ásobeého a) obdélíkovou, b) haigovou, váhovací fukcí. Připusťe, že středí hodota E { x } eusí být utě ulová. ásobeí oke w v časové oblasti se projeví kovolucí spekter v obrazové oblasti, přičež platí x w DFT{ x } DFT{ w }. (5.3) Pro středí hodotu váhovacího oka wavg platí { } w = = w = E. (5.4) AVG w Pro pravoúhlé váhovací oko je w. ásledující vztah uvádí středí výko AVG = číslicového sigálu, v toto případě je pro w w = W =. (5.5) ef Uvažuje jiý tvar oka ež obdélíkového typu apř. ejpoužívaější Haigovo oko - 3 -

38 w = ( cos( π )),. (5.6) Jeho středí hodota w. a obr. 5.6 b) je poto ukázáo působeí Haigova oka a posloupost x. AVG < w w AVG Obr Zázorěí středí hodoty váhovací fukce w. Při výpočtu výkoového spektra PSD sigálu x w je uto zajistit, aby se při použití růzých typů váhovacích oke viz. obr. 5.3 eěily aplitudy PSD v důsledku růzých středích hodot w AVG. orováí hodot váhovacího oka w daou středí hodotou w AVG se upraví poěry tak, aby se eliioval vliv růzých tvarů váhováí. w = = w w E w = w { w } Π =, (5.7) kde Π = w vyjadřuje ohutost oka (v ěkteré literatuře se uvádí pod ázve = koheretí zisk coherece gai), tedy plochu která vyezuje průběh w po dobu jeho trváí. K výpočtu PSD (5.8) budu tedy používat orovaou váhovací fukci w. Podle defiice (5.7) pak platí P S xx ( k, i) P DFT S xx DFT B( i) ( k, i) { x w} A ( i ) = DFT B( i ) { x w} A ( i ) DFT DFT = DFT = e w π jk DFT e = π jk DFT DFT DFT DFT DFT [ ] B( i) { x w} A ( i ) = DFT w. (5.8)

39 Získáe tak orovaé hodoty oboustraé výkoové spektrálí hustoty, kde ezávisí a tvaru použitého oka. Přibližé hodoty PSD pak dostaee vyděleí (5.8) vzorkovací frekvecí f s S ( k, i) [ ] B( i) { x w} A ( i ) P xx DFT P S xx( k f, i) =. (5.9) f DFT s f s w DFT = DFT DFT V původí literatuře [66], [74] se však pro výpočet PSD etodou váhovaého periodograu uvádí odlišý vztah, který zde v upraveé podobě uvedu pro porováí P DFT [ ] DFT B( i) DFT { x w} A ( i ) DFT S xx( k f, i). (5.3) DFT fs w Zde autoři použili jako orovací faktor středí hodotu výkou W ef podle vztahu (5.5), zatíco v této práci budu používat orováí kvadráte středí hodoty oka = AVG = w w. (5.3) = Blokové schéa odhadu výkoového spektra Welchovou etodou je ukázáo a obr.5.8. x () AS xx ( k) buffer w FFT DFT + K. w AVG z - Obr Blokové schéa pro odhad výkoového spektra Welchovou etodou Výsledý vztah pro výpočet výkoového spektra Welchovou etodou, který lze použít k ipleetaci a číslicové techické prostředku počítači je uvede v ásledující forě K - DFT DFT DFT i= A S xx = f DFT s K w = B (i ) w x A ( i ). (5.3) Vypočteé spektru bude zrcadleo vzhlede k poloviě vzorkovacího kitočtu, a proto budee lieárě děleou frekvečí stupici uvažovat do yquistova kitočtu u t fs f = k f = k, k =,,... DFT (5.33) DFT Uvažuje, že áe k dispozici aalogový sigál haroického průběhu apětí = U cos( ω t), který je spojitou fukcí času t s frekveci f = Hz /úhlové

40 kitočtuω = πf / a aplitudě U = V pořízeý experietálí ěřeí a jeho ekvivalet, tedy sigál číslicový s diskrétí čase t T = f (viz obr. 5.9) popsaý vztahe U ( ) u cos f = ω s, který byl vytvoře z aalogového sigálu obvody aalogově-digitálí koverze ADC (vzorkováí, kvatováí, kódováí). Kitočet vzorkováí je f = 8 s Hz.. s s.5 u / V t / s Obr Ukázka realizace haroického průběhů u = U cos(π f/f s ), f = Hz, f s = 8 Hz. Teto úyslě deteriistický testovací sigál podrobíe odhadu jedostraé f [ ] spektrálí hustoty výkou ( f ) S ( k f ) = S ( k f ) s S u A uu A uu k f = a porováe ěřítka aplitud PSD vypočteých podle (5.9) a (5.3). Výpočet provedee a úseku sigálu = DFT 64 bodů. a obr. 5. a) je vidět výsledek, kde bylo použito pravoúhlé oko, spektru tvoří jeda čára ad hladiou kvatizačího šuu, který je urče použitý bitový rozlišeí hardwaru. V případě obr. 5. b) bylo aplikováo Haigovo oko, které u haroického průběhu způsobuje Gibsův jev. S u / V Hz S u =.5 V Hz - f = 4 Hz f s = 8 Hz DFT = 64 boxcar( DFT ) overlap = f = Hz S u / V Hz S u =.5 V Hz - f = Hz f s = 8 Hz DFT = 64 haig( DFT ) overlap = f f / Hz - f = Hz 5 5 f / Hz a) b) Obr. 5.. Zobrazeí výkoových spekter vypočteých Welchovou etodou průěrováí periodograů z realizace haroického průběhu a obr. 5.9 s váhováí a) obdélíkový oke, b) Haigový oke, pro DFT = 64 bodů, bez použití přesahu

41 V obou případech spekter a obr. 5. je k tá spektrálí čára odpovídající prví haroické rova k = f f = DFT f fs. Vyšrafovaé části ve spektrech vyezují plochu, která podle (4.7) vyjadřuje středí výko sigálu v kitočtové pásu f. Protože středí výko P je rove kvadrátu efektiví hodoty U ef ůžee psát P = U f + f U ef = = f f S u f + f ( f ) df = S ( f ) f f u df (5.34) a odtud pro teto případ vyplývá U ef S = U ef u = f + f ( f ) f S ( f ) S u f f = f s ( f ) = S ( f ) DFT u f = S u u ( f ) f s DFT f s DFT. (5.35) Ze zalosti hodoty jedostraé či oboustraé spektrálí hustoty výkou odečteé a středí kitočtu - f k f = Hz, S ( f ) S ( k f ) =.5 V Hz a šířky pása u A uu k f = Hz f = f Hz ůžee tedy sado vypočítat efektiví hodotu sigálu s / DFT = ( k f ) f = U uu, (5.36) ef = A S s DFT = která přesě odpovídá ái uvažovaéu odelu deteriistického sigálu. Poz. aplitudy zpětě vypočteé z výkoového spektra esějí záviset a délce aalyzovaého sigálu. Ilustračí příklad dále použijee pro porováí vztahu (5.9) pro výpočet PSD, kde je vliv váhovacího oka w orová kvadráte jeho středí hodoty w AVG, dále jej budu ozačovat (PSD I.) versus vztah (5.3), který ozačí (PSD II.), který se výhradě používá v literatuře, a kde jeho autoři používají orováí středí výkoe váhovacího oka W ef. Porováe yí poěry efektivích hodot, ozače je υ ef vypočteých pro růzá váhovací oka z výkoového spektra podle (PSD I.) a dále pak (PSD II.) ku skutečé efektiví hodotě vygeerovaého sigálu ( k f ) dále pak vypočítáe relativí chybu u obou vztahů A S f υ ef = uu, (5.37) U r ef ( ) % δ = υ. (5.38) ef V tab. 5. a v ásledující sloupcové grafu a obr. 5. jsou pak porováy výsledky pro růzá váhovací oka vygeerovaá v prograu MATLAB. Jejich ázvy se drží kovece používaé v toto prograovací jazyce

42 Tab. 5.. Tabulka závislosti růzých typů váhovacích oke a výpočet spektrálí hustoty výkou sigálu z příkladu. Typ oka (PSD I.) (PSD II.) (PSD I.) (PSD II.) υ [ ] υ [ ] δ [%] δ [%] ef BARTLETT BARTHAWI BLACKMA BLACKMAHARRIS BOHMAWI CHEBWI (- db) GAUSSWI HAMMIG HA KAISER ( β =. 5 ) UTTALLWI PARZEWI RECTWI.. 4 TRIAG TUKEYWI ( r =. 5 ) Porováe-li tedy relativí chyby δ r při obou výpočtech, je zde patré, že použití stávajícího používaého vztahu uváděého v literatuře je zatížeo podstatou chybou, pro ejpoužívaější Haigovo oko čií až %. ef r r δ δ ( υ ) % r = ef w = ( υ ) % r = ef 3 w = a) ( ) BARTLETT ( ) BARTHAWI ( 3 ) BLACKMA ( 4 ) BLACKMAHARRIS ( 5 ) BOHMAWI ( 6 ) CHEBWI (- db) ( 7 ) GAUSSWI ( 8 ) HAMMIG ( 9 ) HA () KAISER ( β =.5 ) () UTTALLWI () PARZEWI (3) RECTWI (4) TRIAG (5) TUKEYWI ( r =. 5 ) b) Typ oka w Obr. 5.. Grafické zázorěí vlivu růzých typů váhovacích fukcí a výpočet PSD poocí a) vztahu (5.9), b) vztahu (5.3) převzatého z [66], [74]

43 5.3.3 Metoda pásové filtrace Klasické eparaetrické etody odhadu PSD založeé a výpočtu DFT se vyzačují jak pozitivíi tak i egativíi vlastosti této trasforace. Jedou z podstatých evýhod je kostatí frekvečí rozlišovací schopost a lieárě děleá kitočtová osa. Algoritus DFT vypočte pro čleů poslouposti vzorků v origiálí (časové) oblasti obecě koplexích čleů koeficietů spektra. Zatíco počet vzorků v origiálí oblasti se ůže jevit v kokrétí případě jako dostatečý, ve spektrálí oblasti ůže dojít k edostatečě hustéu pokrytí spektra. Výpočet DFT avíc předpokládá, že sigál, který aalyzujee se v průběhu aalýzy z hlediska frekvečího obsahu eěí. Tedy, že při výpočtech spekter vždy uvažujee celý sigál (v itegrálí defiici spojité FT jsou eze od do + ). Ve skutečosti se však převážě setkáváe s případy, kdy je délka sigálu eúěrě dlouhá či v pricipu ekoečá ebo jde o sigál s paraetry proěýi v čase (estacioárí sigál). Takový příklade ohou být právě digitalizovaé sigály elektroického šuu v polovodičových součástek pořízeé dlouhodobý ěřeí v časové oblasti a uložeé apř. a pevé disku PC ebo a osiči CD. Takové sigály jsou veli dlouhé a to, aby byl provede výpočet DFT (FFT) z celého zázau. K odhadu širokopásového spektra je ožo využít etodu lieárí pásové filtrace [4]. Tato kocepce viz obr. 5. á původ u techiky ěřeí výkoového spektra aalogovýi přístroji. Díky paralelíu způsobu zpracováí je ožo dosáhout výsledků odhadu PSD zpravidla v reálé čase. HP x () y( ) ( ) y( ) S yy ( ω ) BP y( ) ( ) y( ) S yy ( ω ) BP y() ( ) y () S yy ( ω) S ^ yy ( ω ) BP M - M y( ) ( ) M y( ) S yy ( ω M - ) LP M M y() ( ) y () M S yy ( ω M ) Obr. 5.. Pricip odhadu výkoového spektra poocí baky filtrů. Aalyzovaý sigál x je přivede paralelě a řadu, M pásových propustí BP, které lieárě pokrývají celé frekvečí páso sigálu a spolehlivě přito odstraí lieárí tred. Veškerý výko sigálu je soustavou zpracová. Jedou z ožých iterpretací odhadu PSD etodou periodograu je rověž představa paralelí baky FIR (Fiite Ipulse Respose) filtrů. Uvažuje ipulsí charakteristiku

44 h, = e jω, < jiak. (5.39) Frekvečí odezva takové filtru ve syslu Fourierovy trasforace s diskrétí čase (DTFT) je H H ( ω) = DTFT{ h, } = h ( ) = j( ω ω )( ) / si ( ) [ ( ) ] ω ω ω = e si[ ( ω ω ) ] Pro odezvu takového filtru v časové oblasti ůžee psát y e jω j( i) ( ) = x( ) h ( ) = x( i) h ( i) = x( i) e i= + i= +. (5.4) ω. (5.4) Výstup každého jedotlivého filtru je uocě a získaý sigál ( ) představuje okažitý výko v = tedy platí y pak té pásu. Pro hodotu zvoleou apř. y j( ) ω j( ) ω ( ) = x( ) e = e x( ) y = j ω ( ) = x( ) e = S ( ω ) = 443 = P yy = e j ω, (5.4) což představuje hodotu spektrálí hustoty výkou P S yy a úhlové kitočtu ω. Časový průěrováí (itegrací) lze poto získat odhad středího výkou v daé S ω pásu ( ) yy. S(ω) ( ω) H, +,... PSD ω Obr Pricip odhadu výkoového spektra poocí baky filtrů. Techické provedeí BF se stovkai páse je áročé. Výhodější postupe se zdá být rozklad sigálu a eší počet páse s šířkou ω = ω+ ω, ve kterých se dodatečě provede výpočet spektra Welchovou etodou s krátkýi segety apř. = 8 DFT. Blokové schéa odhadu PSD poocí systéu BF je zobrazeo a obr.5.. V prví stupi se provede sup-pásové kódováí poocí BF vypočte se odhad spektra a v koečé fázi se prahováí odstraí irelevatí vzorky ve spektru ω

45 v epropustých pásech sub-pásové spektrálí aalýzy. Při průěrováí dílčích periodograů dlouhého sigálu podstatě sížíe rozptyl odhadu a dostaee kvalitě vyhlazeé spektru. Teto postup je uvede v [6], [6]. Podle vztahů (5.3) a (5.43) tedy platí S ( ω ) H ( ω ) S xx ( ω) ω = ω+ ω yy S yy ( ω ) PSD{ y },,. (5.43) ω + (5.44) f kde operátore PSD ozačíe výpočet výkoového spektra poocí Welchova etody podle vztahu (5.3). Spojeí výkoových spekter (obr. 5.3) a výstupech pásových S ω S k f filtrů ( ) áhodého procesu x ( ) H ω lze přibližě aproxiovat celkové výkoové spektru ( ) ( ) frekvece f s / F xx F, které zjišťujee ve syslu (4.) s oezeí do yquistovy M yy + DFT ( k f ) S ( kf kf ), pro k =,,... S yy. (5.45) = Pro aproxiaci spektra logariticky děleou stupicí frekvece lze vybudovat BF s expoeciálě arůstající šířkou pása, což je doéou časově-frekvečích trasforací, které uožňují víceásobé rozlišeí. yy 5.4 Časově-frekvečí aalýza s ásobý rozlišeí V další popisu se zaěří a využití prostředků časově-frekvečí aalýzy pro výpočet výkoového spektra aproxiovaého logariticky děleou stupicí frekvece. Pro uvedeí do probleatiky uvedu ěkteré pricipy waveletové trasforace (WT), o které se tato etoda opírá. V případě bližšího záju o WT, lze alézt dostatečé iforace v [74], [76]. Jako elegatí a perspektiví prostředek časově-frekvečí aalýzy se v současé době prosazuje ový typ diskrétí trasforace, tzv. vlková (waveletová) trasforace, která již v defiici své dyadické variaty užívá pricipu ásobého rozlišeí. avíc odstraňuje další evýhodu všech etod časově-frekvečí aalýzy založeých a Fourierově trasforaci apř. STFT (Short Tie Fourier Trasfor), které používají haroických časově eoezeých bázových fukcí. V případě FT je potřeba velkého počtu haroických složek pro vyjádřeí strých přechodů v čase. aproti tou, bázovýi fukcei vlkové trasforace jsou časově oezeé průběhy, tzv. vlky, geerovaé časovou dilatací z jediého vzorku, takže současě s prodlužováí jejich délky klesá frekvece vitřích oscilací. Vyjádřeí krátkodobých složek sigálu časově oezeýi bázovýi fukcei je sazší a vede a eší počet aktivích složek ve spektru ež v případě haroických bázových fukcí. Při časově-frekvečí lokalizaci sigálu platí Heisebergův pricip eurčitosti (te byl zforulová v roce 97 jako základí pricip kvatové echaiky). Přeeseě do probleatiky časově-frekvečí aalýzy vyjadřuje, že elze přesě vědět jaká frekvece existuje v daé časové okažiku, ýbrž jaké frekvečí složky se vyskytují v daé časové itervalu. Čí přesěji určíe jedu z veliči, tí éě toho víe o druhé. Jak již bylo uvedeo, hlaví evýhodou STFT je její kostatí - 4 -

46 absolutí frekvečí rozlišovací schopost. Délka oka tudíž usí být určea potřebou frekvečí rozlišovací schopostí a straě ízkých kitočtů a oezuje tak časové rozlišeí. WT a rozdíl od STFT uožňuje proělivé rozkládáí v čase, poěvadž vyšší frekvece se lépe aalyzují v čase a ižší frekvece se lépe aalyzují ve frekvečí oblasti. To zaeá, že rozlišitelý frekvečí iterval závisí a výchozí frekveci. a straě vysokých kitočtů pak postačuje kratší oko a časové rozlišeí je tak vyšší. Složky vyšších kitočtů pak lze zachytit a idetifikovat v kratší době. V oblasti ízkých frekvecí se použije plá délka oka a pro vyšší frekvece oka s délkou, 4, 8 atd. WT tedy poskytuje kostatí relativí frekvečí rozlišovací schopost. U rozlišovacího probléu se tedy řeší otázka vhodé volby časového itervalu, který se ovliví frekvečí rozlišeí sigálu. ázorěji tuto vlastost ůžee zobrazit a obr. 5.4, kde je patrá šíře oka pro určité frekvečí spektru. Aplitude H ( ω) S(ω) +,..., PSD frequecy ω = π f ω t tie Obr Pricip odhadu výkoového spektra užití časově-frekvečí trasforace. V důsledku Heisebergova pricipu eurčitosti však ve výsledku alezee kostatí velikost plochy obdélíka při jeho růzých rozěrech. V kvadratu aplitud a frekvecí se tedy stále pohybujee v oblasti spektra ve syslu FT, ale využíváe přito ásobého rozlišeí ve frekveci, což v důsledku povede a aproxiaci výkoového spektra s logariticky děleou stupicí frekvece. Průěrováí v čase tedy opět ztrácíe poje o výskytu frekvečích složek v které itervalu, ale poěvadž jse schopi obdržet redudatí iforace ve sledovaých frekvečích lokalitách, pak časový průěrováí avíc dosáhee ešího rozptylu celkového odhadu spektra podle (5.9) Vlkové trasforace spojitého sigálu Vlková trasforace se spojitý čase (WT - Wavelet Trasfor) sigálu x ( t) je defiováa [76] jako y * t b, = ψ dt. (5.46) a a ( a b) x( t) - 4 -

47 Jedá se o časově-frekvečí rozklad, který ůžee iterpretovat jako korelaci x t s vlkovýi bázovýi fukcei odvozeýi z obecě koplexí ψ. Přito platí, že E { ψ ( t) } =. Sybol * začí koplexě a b ψ t, je sigálu ( ) ateřské vlky ( t) sdružeou fukci. Výsledá fukce ( ) y,, stejě jako jedotlivé vlky ( ) popsáa dvěa (spojitě proěýi) paraetry: časový posuutí b a dilatací a, která určuje frekvečí spektru příslušé vlky. Kostata a oralizuje eergii jedotlivých vlek. Zvláští případe trasforace sigálu se spojitý čase je diskrétí vlková trasforace (DWT). ejpoužívaější je její dyadická variata s paraetry q q a = D, D = a b = D T. q >. Koeficiety dyadické DWT jsou y s ( q ) x( t) * q ( t T ), = ψ dt q s. (5.47) Idex q reprezetuje kitočtové ěřítko, idex časové ěřítko. Kostata T s (která závisí a šířce pása f ateřské vlky, když Ts = ( f ) určuje hustotu vzorkováí koeficietů a časové ose pro jedotlivé kitočtové úrově daé idexe q. Odvozeí Fourierova obrazu ateřské vlky bylo provedeo v [74,76]. Dyadická DWT je charakterizováa oktávovou podobou spekter soustavy vlek. Korelace sigálu x t s jedotlivýi vlkai ( ) q q * q ( t T ) = ψ ( t T ) * ψ q s s (5.48) ůže být realizováa kovolucí s fukcei časově reverzíi, y * q q ( q ) x( t) ( T t) = x( t) h ( T t) Dyadická DWT pak ůže být vyjádřea jako y q, ψ. (5.49) = s q s q q ( q ) x( t) hq ( Ts l) dt = hq ( t) x( Ts t), = dt (5.5) a lze ji realizovat rozklade sigálu bakou lieárích spojitých oktávových filtrů h q t. s ipulsíi charakteristikai ( ) Má-li být ožá přesá rekostrukce sigálu x ( t) DWT [ y( q, ) ] jedotlivé koeficiety ( q ) ortogoálí systé. =, usí být y, vzájeě ezávislé, což je splěo, tvoří-li vlky 5.4. Odhad PSD poocí sub-pásového kódováí a bázi DTWT Reálá dyadická vlková trasforace s diskrétí čase (DTWT) y q ( ) diskrétího sigálu x ( ) je defiováa aalogicky k (5.5) diskrétí kovolucí y q q q ( ) = x( i) hq ( i) = hq ( i) x( i) i=, (5.5) i= a,b - 4 -

48 tj. rozklade sigálu bakou diskrétích oktávových filtrů s ipulsíi charakteristikai h q. A to v případě reálé trasforace s filtry s reálýi ipulsíi charakteristikai. Vzorkovací frekvece sigálu ( ) krát ižší ež vzorkovací frekvece s y q a výstupu q tého filtru je f vstupího sigálu x ( ) FIR filtrů s ipulsíi charakteristikai ( ),,... stupi rozkladu Q, kdy kde ( ) y Q q. Při použití kauzálích h, a při přede zvoleé q = q q, Q, = q, ůžee psát y y q Q+ q q ( ) = hq ( i) x( i) i= q Q ( ) = hq + ( i) x( i) i=, (5.5) + jsou koeficiety korespodující s ejižší frekvečí páse po Q - stupňové rozkladu. Dekopozici sigálů lze pak provádět filtrací dvojicí kvadraturích FIR filtrů, z ichž jede je typu dolí propust, druhý horí propust. Tyto filtry ají kopleetárí propustá pása. Výstupy obou filtrů jsou podvzorkováy a poloviu vstupích vzorků. To lze učiit proto, že filtrovaý sigál obsahuje vždy poloviu frekvečího spektra origiálu. edojde tedy k aliasigu. Horí propust poskytuje koeficiety tzv. detailů DWT, dolí propust koeficiety tzv. aproxiace. Díky deciaci je celkový počet koeficietů po jedo kroku stejý jako počet vstupích vzorků. Koeficiety aproxiace lze dále aalyzovat shodýi rozkladovýi filtry a obdržet tak další soubor koeficietů aproxiace a detailů. Tak lze postupovat až do vyčerpáí vstupí poslouposti vzorků tedy po dobu ěřeí. Postup filtrace poocí tzv. pyraidové struktury je zázorě a obr x H h (z) D y f s /D f s H d (z) D H h (z) D y f s /D H d (z) D H h (z) D q y Q f s /D H d (z) D Qy f s /D Q Obr Ukázka třístupňové rychlé dyadické DTWT se zrcadlovýi dolíi propusti H a horíi propusti H. d Realizace BF s oktávově děleýi frekvečíi pásy přío poocí vlkové trasforace (5.5) přiáší ěkterá oezeí. Rozkladové filtry vlkové trasforace jsou avržey s ohlede a dosažeí perfektí rekostrukci sigálu ásledou sytetizující bakou filtrů (Iverzí DWT). Frekvečí charakteristiky takových filtrů, které jsou avržey z ateřských vlek obvykle edosahují v propusté pásu dostatečě hladký h

49 průběh, což by podle (5.44) vedlo ke zkresleí aplitudového spektra ěřeé výkoové spektrálí hustoty. Podvzorkováí výstupů dolích i horích propustí dojde vždy v každé pásu q koeficietů DTWT ke sížeí vzorkovací frekvece a poloviu fs. ásledý výpočte jedostraé výkoové spektrálí hustoty v daé frekvečí pásu počítaé do yqistova kitočtu bycho tedy ztratili iforace o spektru a ejvyšších kitočtech. Maxiálí dosažitelá frekvece by tedy byla f s 4. Můžee tedy aalyzující BF upravit viz obr Uvažuje dvojici digitálích filtrů s koečou ipulsí odezvou FIR. Jejich esporou předostí oproti filtrů s ekoečou ipulsí odezvou IIR je absolutí stabilita díky jediéu pólu přeosové fukce uístěé v počátku, dále pak lieárí fázové charakteristiky a eší citlivosti vlivu kvatováí koeficietů h, h ] a tvar přeosové fukce díky abseci zpětých vazeb. [ d h Horí propust HP LP HP Zrcadlová dolí propust LP LP f s f s Dolí propust s deciací D f s Horí propust HP HP f s D f s D f s D LP Pásová propust LP x HP D LP HP f s f s D HP LP H LP H HP LP x HP.5 f s ' s f f f = D f s f f f f s f s ' f s ' f s ' f s Obr Postup sub-pásového děleí frekvečího pása poocí lieárí filtrace s užití koverze vzorkovacího kitočtu. Rozkladová dolí propust ezí kitočte h s délkou ipulsí charakteristiky vzorků a d f r f S =, (5.53) D kde < r <, shora oezuje kitočtové spektru aalyzovaého sigálu, tudíž sižuje jeho kitočtovou šířku pása určeou yquistový kitočte f s viz obr d

50 eí proto uté zachovávat celou délku filtrovaého sigálu, ale stačí poechat pouze každý jeho D-tý vzorek. Původí vzorkovací kitočtu f je síže deciací a ový vzorkovací kitočet ' f f / D. Modulová kitočtová charakteristika původí dolí s = s ' propusti se pak zrcadlí vzhlede k poloviě ového vzorkovacího kitočtu f, čeuž odpovídá D-ásobé zešeí vzdáleostí ezi dílčíi přeosovýi charakteristikai. Uvažuje dále horí propust h h s délkou vektoru ipulsí odezvy a vzorkovací kitočtu s h pracující f. Její přeosová charakteristika odpovídá stlačeé ' s odulové kitočtové charakteristice horí propusti pracující a vzorkovací kitočtu f. Jedá se tedy o jedoduchou kitočtovou trasforaci z z. Ipulsí s charakteristiky filtrů jsou po této trasforaci zředěy D ulovýi vzorky, při výpočtu ipulsí odezvy se euplatí, takže je v každé D -té taktu ůže odstrait předřazeý deciátor. Vyásobeí přeosové charakteristiky dolí propusti s deciací a D -krát stlačeé přeosové charakteristiky horí propusti vzike pásová propust pracující a vzorkovací kitočtu f. ásobeí přeosových charakteristik dílčích systéů ' s představuje v časové oblasti jejich kaskádí spojeí, tedy zařazeí dolí propusti s deciací a ásledé horí propusti viz obr s Dolí propust s deciací LP D f s f s D LP Dolí propust LP x LP D LP LP f s f s D f s D f s LP Dolí propust LP x LP LP f s D D D f s D Horí propust HP HP Pásová propust D f s D f s LP LP f s D LP x LP x HP D f s D HP f s D LP H LP x LP f ' s = f D s LP x LP H f D s = HP LP x LP x HP ' ' f s f f f f ' f s ' f s " f f s " f s " f s Obr Druhý stupeň pásového rozkladu frekvečího pása s užití koverze vzorkovacího kitočtu. a další obr. 5.7 je ukázá příklad druhého stupě sub-pásového rozkladu sigálu. Uvažuje dolí propust s podvzorkovaý výstupe a vzorkovací kitočet

51 ' f s. Dolí propustí s D -krát stlačeou přeosovou charakteristikou se oezí vysokofrekvečí složky spektra, aby po ásledé deciaci vyhovoval vzorkovací teoré. ásledá filtrace horí propustí pak ve výsledku zajistí průchod pouze pásově eoezeých složek. Čleěí sigálu do sub-páse a sižováí vzorkovacího kitočtu f s je ožo provést obecě v M + úrovích tzv. pyraidový rozklade viz. obr = f s T eas x H h (z) y f s /D f s H d (z) D x H h (z) y f s /D ζ = x H d (z) D x H h (z) y f s M - /D H d (z) M - y f s / D M - Obr Upraveé schéa rozkladové digitálí baky filtrů z obr. 5.5, deciace vzorků se provádí pouze ke sížeí vzorkovacího kitočtu u dolích propustí. Sloupci je pak zázorěa délka sekvece výstupích vzorků, součet výstupích posloupostí dává dvojásobou délku vstupího sigálu x jde tedy o redudatí BF. Za horíi propusti jsou oproti DWT vyecháy bloky deciace. Po filtraci horí propustí v ejvyšší pásu zůstává vzorkovací frekvece ezěěa. Tí se dostaee a ožé axiu f s frekvečího rozsahu při výpočtu jedostraé spektrálí hustoty výkou. Celkový počet koeficietů M = y = ve všech pásech, M je pak dvojásobý oproti původíu počtu vzorků = f s Teas vstupujících do systéu BF. Tí získáe redudatí počet vzorků a tedy i hladší průběh spektra po jeho průěrováí. adbytečý počet vzorků je však oproti příé DWT (5.5) vykoupe větší šířkou pása rozkladových koeficietů y a klesá účiá šířka pása, ve které získáe odhad výkoového spektra. Protože v epropustých pásech je zbytečé počítat Fourierovské výkoové spektru podle (5.3). Upraveí ezí součtu DFT ve vzorci (5.) od dolího ezího kitočtu do horího ezího kitočtu propustého pása, v přepočtu a idexy od k d do k h teto problé částečě odstraíe. Z hlediska výpočetího výkou budee při ávrhu FIR filtrů dolí a horí propusti požadovat co ejkratší délky, d h vektorů jejich ipulsích odezev, ale takové, aby zkresleí aliasige zůstalo co eješí. Tato probleatika je popsáa v [74]. Pro dosažeí co ejširšího pása, ejkratších délek d a h a ejhladší ávazosti dílčích páse se připouští ožost jejich vzájeého překrytí, což příá DWT euožňuje. f f = r D), f f = r (D), (5.54) d s d ( h s h

52 Experietálě avržeé rozkladové filtry s ásledujícíi paraetry použijee pro systé BF, přičež = 37, r =.8 a r. 4 při váhováí Haigový d h = d h = oke. FIR filtry ůžee avrhout klasickou etodou vzorkováí frekvečí charakteristiky [74]. Ipulsí charakteristiky aalyzujících filtrů dle ávrhu jsou zobrazey a obr Rozložeí ulových bodů a pólů je patré a obr. 5. a obr.5... Dolí propust Horí propust h().6. Haig = 37 [ - ] r d =.8 r h = / [ - ] Obr Ipulsí charakteristiky ateřských vlek rozkladových FIR filtrů dolí a horí propusti avržeé vzorkováí frekvečí charakteristiky s váhováí Haigový oke. orovaý ezí kitočet DP je f d /f s =.8/(D), orovaý ezí kitočet HP f h /f s =.4 / (D)..5.5 Iagiary Part Iagiary Part Real Part Real Part Obr. 5.. Rozložeí ulových bodů a pólů ateřské dolí propusti z obr.5.9. Obr. 5.. Rozložeí ulových bodů a pólů ateřské horí propusti z obr.5.9. Jako iořádě efektiví způsob realizace zvolíe trasverzálí strukturu FIR ve druhé kaoické forě, jejíž graf sigálových toků je zobraze a obr.5.. Ještě před hardwarovýi ásobičkai jsou uístěy deciátory, s ožostí volby stupě deciace. Při volbě D = se jedá o klasickou filtraci beze zěy vzorkovacího kitočtu. Pro každou vyšší hodotu deciace (ejpoužívaější je D = ) dojde k podvzorkováí. Výhodou je, že ásobičky ariteticko-logické jedotky ALU procesoru ohou pracovat se sížeý vzorkovací kitočte, což přiáší rezervu

53 výpočetího výkou. Obsazeí paěti vzorky ipulsí charakteristiky však zůstává bez odlehčeí, ve srováí se zhruba desetiásobě eší počte koeficietů u filtrů typu IIR pro dosažeí srovatelé strosti odulové kitočtové charakteristiky. a obr.5.3 je pro ázorost ukázka efektiví ipleetace struktury FIR filtru s podvzorkováí z obr.5. v jazyce C/C++. Kovolučí suace jsou zde prováděy ve dvou cyklech za použití kruhového zásobíku. x ν - f s D z z z z D D D D D h( ) h( ) h( 3) h() h() f s D x void fir_dec (usiged short Dec, double iput, double *accu, it taps, double *h, double *z, it *p_state ) { double *p_z; p_z = z + *p_state; *p_z = iput; if (*p_state % Dec == ) { /* iicializace vystupu */ *accu = ; /* vypocet kocove casti kovoluce */ for (it i = ; i < taps - *p_state; i++) *accu += *h++ * *p_z++; /* vypocet pocateci casti kovoluce */ p_z = z; for (it i = ; i < *p_state; i++) *accu += *h++ * *p_z++; } /* dekreetace stavu, astavei kruhoveho zasobiku */ if (--*p_state < ) *p_state += taps; } Obr. 5.. Graf sigálových toků. kaoické fory číslicového filtru typu FIR s podvzorkováí. Obr Ukázka praktické ipleetace číslicového filtru typu FIR podle druhé kaoické fory s podvzorkováí viz obr. 5. v jazyce C/C++. Vstupí a výstupí paraetry včetě ozačeí korespodujících se sybolikou používaou v této práci jsou uvedey v tab.5.. Tab. 5.. Výza vstupě výstupích paraetrů ipleetačí fukce z obr. 5.3 číslicového filtru typu FIR podle druhé kaoické fory s podvzorkováí viz obr. 5.. Paraetry fukce i out Ozač. Popis Dec D Deciačí faktor iput x( ) 3 *accu x( ) Vstupí vzorek Ukazatel a výstupí vzorek 4 taps d, h Délka vektoru ipulsí odezvy 5 *h h, h ] Ukazatel a pole ipulsí odezvy [ d h 6 *z z 7 *p_state ( ) Vektor zpožďovacích čleů ν Ukazatel a vektor zpožděí Protože se a výstupech jedotlivých dolích propustí s deciací v systéu BF vybírají pouze D té vzorky x( ) ůžee z kovolučí rovice (5.) počítat = l D pouze hodoty pro = l D. Odezvy v jedotlivých pásech baky filtrů lze ateaticky popsat vztahy (5.54)

54 , f T ζ = x, s eas d x = hd, k ζ D k k= h y = h ζ h, k k k = ζ = x d My = h d, k ζ k k= rekurze, M (5.54) Mateatický předpis pro rekurziví algoritus BF je srovatelý s výpočte příé = δ aalyzující BF jedotkový ipuls defiovaý DWT. Přivedee li a vstup ( ) x δ ( ) = pro =, ( ) = pro δ, (5.55) obdržíe soustavu časově dilatovaých vlek. Ukázka pro odelový příklad osi stupňového pása frekvečího rozkladu, tedy M = 7 avržeého podle výše uvedeého postupu, tedy pro = 37 a r =.8 a r. 4 je a obr.5.4. d h = d h = li.75 HP*D BP*D BP*D BP3*D 3 BP4*D 4 BP5*D 5 BP6*D 6.5 h().5 LP7*D Deciatio factor D = / [-] log Obr Průběhy ipulsích charakteristik BF pro M = 7, rozkladové filtry DP a HP jsou řádu 37, avržeé vzorkováí frekvečí charakteristiky s váhováí Haigový oke. orovaý ezí kitočet dolí propusti je f d / f s =.8 / (D), orovaý ezí kitočet horí propusti f h /f s =.4/(D). Podle věty o zěě ěřítka platé pro Fourierovu trasforaci lze pro stlačeou odulovou kitočtovou charakteristiku aalyzujícího filtru psát h DTFT jωts ( T D ) H ( e ) s h DTFT jωts ( T ) H ( e ) s = D H e ω j T D s + H e ω j π T s D, (5.56) kde ( ) T s h představuje vlkovou fukci filtru, tedy jeho koečou odezvu a jedotkový ipuls (5.55). Druhý čle a pravé straě v (5.56) reprezetuje vliv