MATEMATICKÁ ANALÝZA STUDIJNÍ OPORA PRO KOMBINOVANÉ

Transkript

1 MATEMATICKÁ ANALÝZA STUDIJNÍ OPORA PRO KOMBINOVANÉ STUDIUM

2 MATEMATICKÁ ANALÝZA RNDr. Vladimíra MÁDROVÁ, CSc., RNDr. Vratislava MOŠOVÁ, CSc., Moravská vysoká škola Olomouc, o.p.s., 8

3 Moravská vysoká škola Olomouc, o. p. s. Autor: RNDr. Vladimíra MÁDROVÁ, CSc., RNDr. Vratislava MOŠOVÁ, CSc., Olomouc 8

4 Obsah Úvod 8. Funkce jedné proměnné 9 Definice funkce Vlastnosti funkcí Elementární funkce 6 Polynomy 6 Funkce racionální lomená 7 Goniometrické funkce Cyklometrické funkce Eponenciální funkce 6 Logaritmické funkce 7 Obecná mocnina 8. Limita a spojitost funkce Definice limity funkce Pravidla pro počítání s limitami 4 Spojitost 7 Druhy nespojitosti 8 Spojitost na intervalu 4. Derivace funkce 4 Derivace funkce v bodě 4

5 Pravidla pro derivování 46 Derivace vyšších řádů 49 Využití diferenciálního počtu 5 L Hospitalovo pravidlo 5 Monotonie a etrémy funkce 5 Vyšetřování průběhu funkce Neurčitý integrál 6 Primitivní funkce a neurčitý integrál 64 Základní integrační metody 66 Metoda per partes 66 Substituční metoda 67 Integrace racionální funkce lomené 68 Integrace goniometrických funkcí 7 5. Určitý integrál 7 Definice Riemannova určitého integrálu 74 Výpočet určitého integrálu Nevlastní integrál 8 Integrál jako funkce meze 8 Nevlastní integrály 8 Nevlastní integrály vlivem meze 84 Výpočet dle Leibniz Newtonovy formule 86 Nevlastní integrály vlivem funkce 88 Výpočet dle Leibniz Newtonovy formule 89 Geometrická interpretace nevlastních integrálů 9 7, Diferenciální počet funkce více proměnných 97 Základní pojmy 98 Pojem funkce dvou proměnných 99 Limita Dvojnásobná limita 4 Výpočet limity 6

6 Spojitost funkce dvou proměnných 8 8. Parciální derivace a totální diferenciál 8 Parciální derivace 9 Geometrický význam parciálních derivací 9 Parciální derivace na množině Výpočet derivací Parciální derivace vyšších řádů Totální diferenciál 4 Užití totálního diferenciálu 6 Tečná rovina a normála 6 9, Etrémy funkce Etrémy funkce dvou proměnných Lokální etrémy Geometrická interpretace lokálních etrémů 7 Postup při určování lokálních etrémů na otevřené množině 8 Globální etrémy 4 Určování globálních etrémů na kompaktní množině 44 Vázané etrémy 44 Funkce tří proměnných 48. Implicitní funkce 5. Dvojný integrál 6 Dvojný integrál 6 Výpočet dvojného integrálu postupnými integracemi dvojnásobný integrál 66 Dvojný integrál přes měřitelné množiny 68 Transformace do polárních souřadnic 7 Geometrické aplikace dvojného integrálu 7. Trojný integrál 74 Definice trojného Riemannova integrálu 75 Výpočet trojného integrálu 75 Aplikace trojného integrálu 8

7 Geometrické aplikace 8 Fyzikální aplikace 8

8 Úvod Cílem předmětu je seznámení studentů s diferenciálním a integrálním počtem funkce jedné a více proměnných a jejich aplikacemi. Student po ukončení semestru správně chápe pojem funkce a uvědomuje si užitečnost funkcí pro popis vztahů mezi jednotlivými veličinami, rozpoznává a charakterizuje základní vlastnosti funkcí. Pro funkce jedné i více proměnných bezpečně určuje definiční obory funkcí, definuje limitu funkce, zná vlastnosti limit a umí počítat limity rozličných funkcí, rozumí pojmu spojitosti funkce. Chápe a umí definovat derivaci funkce, rutinně zvládá výpočet derivací rozmanitých funkcí, chápe geometrický význam derivace. Zvládá aplikaci všech vědomostí diferenciálního počtu. Pro funkci jedné proměnné definuje primitivní funkci a neurčitý integrál, má osvojeny základní integrační metody. Pro funkce jedné a více proměnných rozumí způsobu konstrukce určitého integrálu, ovládá jeho základní vlastnosti a výpočet. Je schopen využít vědomosti integrálního počtu při řešení základních geometrických a fyzikálních úloh

9 Kapitola Funkce jedné proměnné Po prostudování kapitoly budete umět: definovat základní vlastnosti funkcí rozeznat typ a určit vlastnosti dané elementární funkce kreslit grafy elementárních funkcí Klíčová slova: Funkce, definiční obor, obor hodnot, restrikce, graf funkce, funkce sudé, liché, omezené, monotonní, periodické, prosté, inverzní, složené, polynom, obecná mocnina, goniometrické a cyklometrické funkce, funkce racionální lomená, eponenciální, logaritmická

10 MATEMATICKÁ ANALÝZA Definice funkce Definice. Nechť I J R Zobrazení f I R nazveme (reálnou) funkcí jedné (reálné) proměnné. Množina I se nazývá definiční obor a množina J { f ( ) R I} obor hodnot funkce f Příklad Dráha s je funkcí času t Píšeme s s() t Objem krychle V je funkcí délky hrany a Platí V a Poznámka Možností, jak zadat funkci, je několik. Funkce může být dána analyticky (buď eplicitně ve tvaru y f ( ) nebo implicitně F( y) ) graficky nebo tabulkou. Příklad Funkce y je zadaná eplicitně. Funkce y je zadaná implicitně. Poznámka Poznamenejme, že každou funkci zadanou eplicitně lze zapsat v implicitním tvaru. Opak však nemusí platit. Např. ze zápisu proměnné Je totiž y y nemůžeme jednoznačně vyjádřit y jako funkci Poznámka Pro definiční obor budeme také používat označení Df nebo Domf a pro obor hodnot Hf nebo Imf Poznámka Pokud není uvedeno jinak, bereme za definiční obor ten interval, na němž lze příslušné operace provést. Pamatujte, že jmenovatel zlomku musí být nenulový, výraz pod druhou odmocninou musí být nezáporný, argument logaritmické funkce musí být kladný, argument funkce tg musí být různý od lichých násobků, argument funkce cotg musí být různý od sudých násobků. argument funkcí arcsin a arccos musí patřit do intervalu, Příklad Stanovte definiční obor a obor hodnot funkce f( ) 4 Řešení Ve jmenovateli musí být výraz pod odmocninou kladný. Platí 4 když Tzn. definiční obor zadané funkce I ( ) Obor hodnot J ( )

11 FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Definice. Dvě funkce se rovnají, když mají stejné definiční obory a když pro všechna ze společného definičního oboru platí f ( ) g( ) Příklad Rozhodněte, zda se funkce f( ) a g( ) rovnají. Řešení: Definiční obory daných funkcí jsou různé: Df ( ) ( ) Dg ( ) A tak, přestože pro je Definice. Nechť f funkce f a g se nerovnají. I R a I I Funkci gi R takovou, že g( ) f ( ) pro všechna I nazveme restrikcí funkce f na množinu I Píšeme g( ) f ( ) I Příklad Funkce f z předchozího příkladu je restrikcí funkce g na interval ( ) ( ) Definice.4 Grafem funkce f I J nazveme množinu všech bodů v rovině, o souřadnicích ( f ( )) I Příklad Nakreslete graf funkce y sgn ( ) Řešení y sgn

12 MATEMATICKÁ ANALÝZA Vlastnosti funkcí Definice.5 Nechť množina I obsahuje alespoň dva body. Řekneme, že funkce f intervalu I I R je na omezená zdola, když eistuje konstanta K R, tak že f ( ) omezená shora, když eistuje konstanta K R, tak že f ( ) K I K I omezená, když eistuje konstanta K >, K R, tak že f ( ) K I Příklad Funkce y je zdola omezená. Její graf je zdola ohraničený přímkou y Definice.6 Nechť I je symetrická množina, tj. I I Řekneme, že funkce f I R je na intervalu I sudá, když pro všechna I platí f ( ) f ( ) lichá, když pro všechna I platí f ( ) f ( ) Příklad Funkce y je sudá. Její graf je souměrný podle osy y

13 FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Příklad Funkce y je lichá. Její graf je souměrný podle počátku. Definice.7 Nechť že funkce f p R a množina I R s každým bodem obsahuje také bod p Řekneme, I R je na intervalu I periodická, když pro všechna I platí f ( p) f ( ) Příklad Funkce y cos je periodická. Její graf se v intervalech délky opakuje. Definice.8 Řekneme, že funkce f I R je na intervalu I (ostře) rostoucí, když pro všechna I platí f ( ) f ( ) (ostře) klesající, když pro všechna I platí f ( ) f ( ) nerostoucí, když pro všechna I platí f ( ) f ( ) neklesající, když pro všechna I platí f ( ) f ( )

14 MATEMATICKÁ ANALÝZA 4 Funkcím (ostře) rostoucím a (ostře) klesajícím říkáme souhrnně (ostře) monotonní funkce. Příklad Funkce y () je klesající e Definice.9 Nechť množina I obsahuje alespoň dva body. Řekneme, že funkce f intervalu I prostá, když pro každé I je f ( ) f ( ) I R je na Poznámka Každá ostře monotonní funkce je i prostá. Příklad Funkce y f ( ) je prostá. Graf této funkce protínají všechny rovnoběžky s osou vždy jen v jediném bodě. Definice. Jsou dány funkce f I J g I J a J I Funkci h I J definovanou vztahem h( ) g( f ( )) pak nazveme složenou funkcí. Funkce g je její vnější a f její vnitřní složka. Poznámka Někdy místo pojmu skládání funkcí používáme termín superpozice a píšeme h g o f

15 5 FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Příklad Z funkcí u f ( ) ln( ) g( u) u sestavte funkci složenou a určete definiční obor a obor hodnot zadaných složek. Řešení f ( ) ln( ) Dom f ( ) Im f ( ) g u g g ( ) u u Dom ( ) ( ) Im ( ) h( ) g( u( )) ln( ) ln(-) -> - > Dom h () ( ) Im h (, ) Definice. Jestliže funkce f I J je prostá, pak funkci jediné J, pro které f ( ) y nazveme inverzní funkcí k zadané funkci f f, která každému y J přiřazuje to Příklad K funkci y utvořte funkci inverzní. Řešení Zadaná funkce je prostá pro všechna tvar y R a můžeme k ní utvořit funkci inverzní, která má Poznámka Role definičního oboru a oboru hodnot se u navzájem inverzních funkcí zaměňují. Pokud v inverzní funkci provedeme symbolickou záměnu proměnných, jsou grafy dané funkce a funkce k ní inverzní symetrické podle osy. a. kvadrantu. Poznámka Inverzní funkce k funkci ostře monotonní je opět ostře monotonní. Poznámka Složením navzájem inverzních funkcí obdržíme identitu: f ( f ( )) f ( f ( y)) y Příklad Funkce f ( ) ln a g( ) e jsou navzájem inverzní. To znamená např. že (5) ln( e ) 5 e ln(( )

16 MATEMATICKÁ ANALÝZA 6 Elementární funkce Polynomy Definice. Nechť a n a R. Funkci tvaru P ( ) a a a a n n n n n nazveme polynomem n -tého stupně. Konstanty a n a jsou tzv. koeficienty polynomu. 5 Příklad P( ) je polynom 5. stupně s koeficienty a5 a4 a a a a Věta. Dva polynomy se rovnají, když se rovnají jejich koeficienty u příslušných mocnin. Definice. Číslo C pro které platí P( ) se nazývá kořenem polynomu P a výraz ( ) kořenovým činitelem uvažovaného polynomu. Poznámka Najít kořen polynomu P který má reálné koeficienty, znamená řešit algebraickou rovnici P ( ) Řešením této rovnice mohou být jak reálná, tak komplení čísla. Příklad Určete kořeny polynomu P( ) Řešení: Polynom na levé straně kubické rovnice rozložíme na součin ( ) ( )( ) ( i)( i)( ) Součin je nulový, když některý z činitelů je nulový. Kořeny zadaného polynomu jsou tedy i a i Věta. (Základní věta algebry.) Algebraická rovnice P ( ) n má nad tělesem kompleních čísel alespoň jeden kořen Poznámka Každý polynom n -tého stupně má (pokud počítáme každý k -násobný kořen za k kořenů a každou dvojici kompleně sdružených kořenů za dva kořeny) právě n kořenů. Definice.4 Nechť polynom P n má r reálných kompleně sdružených l j -násobných kořenů a j ibj( j s) Součin p n k -násobných kořenů p( p r) a s dvojic k P ( ) a ( ) ( ) ( ) r l l l [( a ) b ] [( a ) b ] [( a ) b ] s n n k k r s s

17 7 FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ nazýváme rozkladem polynomu P n na součin kořenových činitelů (v reálném oboru). Příklad Polynomy a) rozložte v reálném oboru na součin kořenových činitelů. Řešení b) a) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) Zadaný polynom má reálné jednoduché kořeny b) ( 8 6) ( 4) ( )[( i)( i)] Zadaný polynom má reálný jednoduchý kořen a dvojici dvojnásobných kompleně sdružených kořenu i Funkce racionální lomená Definice. 5 Nechť P n a Q m jsou polynomy. Podíl R ( ) Pn ( ) Q ( ) (5) m nazýváme racionální funkcí neryze lomenou, když n m a racionální funkcí ryze lomenou když nm Definičním oborem funkce R jsou všechna reálná čísla s výjimkou reálných kořenů polynomu ve jmenovateli. Poznámka V každé neryze lomené funkci lze provést naznačené dělení a rozepsat tuto funkci na součet polynomu a funkce racionální ryze lomené. Příklad Určete definiční obor funkce lomené. 5 a rozložte ji na součet polynomu a funkce racionální ryze

18 MATEMATICKÁ ANALÝZA 8 Řešení Protože když ( ) ( ) ( ) Dále tvoří definiční obor zadané funkce sjednocení intervalů 5 ( ) Věta. Nechť R ( ) je funkce racionální ryze lomená. Jestliže je k -násobný reálný kořen jmenovatele funkce R ( ) pak v rozkladu na parciální zlomky tomuto kořenu přísluší k zlomků tvaru A A A k ( ) ( ) k ( ) Příklad Funkci 4 rozložte na parciální zlomky. Řešení Polynom ve jmenovateli má dva reálné různé kořeny Kořenu přísluší v roz- A kladu jeden zlomek tvaru a kořenu B přísluší jeden zlomek tvaru rozkladu je A B 4 Po vynásobení celé rovnice jmenovatelem 4 dostaneme Proto obecný tvar Odtud A( ) B( ) Rozklad má tvar 4 4( ) 4( ) 4A A 4 4B B 4 Věta.4 Nechť R ( ) je funkce racionální ryze lomená. Jestliže a bi je dvojice kompleně sdružených l -násobných kořenů jmenovatele funkce R ( ) pak v rozkladu na parciální zlomky těmto kořenům přísluší l zlomků tvaru B C B C Bl Cl l ( a) b [( a) b ] [( a) b ]

19 9 FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Příklad Funkci 4 rozložte na parciální zlomky. 4 Řešení Polynom ve jmenovateli ( ) má kořeny i 4 i Obecný tvar rozkladu pro dvojnásobné kompleně sdružené kořeny je Po vynásobení celé rovnice polynomem A B C D 4 ( ) ( ) dostaneme ( A B)( ) C D A( ) B( ) C D Odtud porovnáním koeficientů u příslušných mocnin dostaneme Rozklad má tvar A B A C C D 4 ( ) Poznámka Pokud máme rozložit funkci racionální neryze lomenou, provedeme nejprve naznačené dělení, funkci zapíšeme jako součet polynomu a funkce racionální ryze lomené. Dále pak jmenovatele funkce racionální ryze lomené rozložíme na součin kořenových činitelů a podle věty. a věty.4 stanovíme obecný tvar rozkladu této funkce. Porovnáním koeficientů u příslušných mocnin (tzv. metoda neurčitých koeficientů) určíme hodnotu konstant, které se vyskytují v obecném tvaru rozkladu. Příklad Výraz 8 Řešení Jmenovatel rozložte na parciální zlomky. 8 ( )( 4) ( )(( ) ) má jeden jednoduchý reálný kořen a jednu dvojici kompleně sdružených jednoduchých kořenů. Obecný tvar rozkladu je pak Odtud A B C 8 4 A( 4) ( B C)( ) A( 4) B( ) C( )

20 MATEMATICKÁ ANALÝZA Porovnáním koeficientů u příslušných mocnin obdržíme A B A B C 4A C A B C Po dosazení vypočtených konstant do obecného tvaru rozkladu obdržíme 4 ( ) ( 4) Goniometrické funkce Z grafů goniometrických funkcí můžeme číst jejich vlastnosti. y sin y cos

21 FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ y tg y cotg Z grafů je vidět, že funkce sin je lichá, periodická s periodou cos je sudá, periodická s periodou tg je lichá, periodická s periodou cotg je lichá, periodická s periodou

22 MATEMATICKÁ ANALÝZA V následující tabulce jsou uvedeny hodnoty goniometrických funkcí pro vybrané argumenty : 6 4 sin cos tg cotg Pro výpočet hodnot goniometrických funkcí pro argument využijeme toho, že funkce je lichá nebo sudá a periodicity funkce. Mezi goniometrickými funkcemi platí následující vztahy sin cos sin tg (k ) k Z cos cos cotg k k Z sin tg cotg k k Z sin sin cos cos cos sin sin ( cos ), cos ( cos ) Cyklometrické funkce Cyklometrické funkce jsou funkce inverzní k funkcím goniometrickým. Při jejich odvození se musíme omezit pouze na ten subinterval, na kterém je příslušná goniometrická funkce prostá.

23 FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Definice.6 Inverzní funkcí k funkci y sin definované na intervalu je funkce arcsin Je tedy arcsin to y pro které sin y y sin y arcsin Poznámka Funkce y arcsin je definovaná na intervalu nabývá hodnot z intervalu v celém definičním oboru je rostoucí a lichá. V následující tabulce jsou uvedeny funkční hodnoty pro některé vybrané argumenty. Zbývající hodnoty určíme díky skutečnosti, že funkce arcsin je lichá. arcsin 6 4 Příklad Určete definiční obor funkce f( ) arcsin ( ) a stanovte funkční hodnotu f ( 4) Řešení Zadaná funkce je definovaná, když pro její argument platí tzn když 4 ( ) Dále f ( 4) arcsin( )

24 MATEMATICKÁ ANALÝZA 4 Definice.7 Inverzní funkcí k funkci y cos definované na intervalu je funkce arccos Je tedy arccos to y pro které cos y y arccos Poznámka Funkce v celém definičním oboru klesající. y cos y arccos je definovaná na nabývá hodnot z intervalu V následující tabulce jsou uvedeny funkční hodnoty pro vybrané argumenty. a je - arccos Definice.8 Inverzní funkcí k y tg definované na ( ) je funkce arctg Funkce arctg přiřazuje každému ( ) to y ( ) pro které tg y Poznámka Funkce y arctg je definovaná na intervalu ( ), nabývá hodnot z intervalu ( ) a je v celém definičním oboru rostoucí a lichá.

25 5 FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ y artg Skutečnosti, že funkce arctg je lichá, využijeme k určení dalších funkčních hodnot. arctg 6 4 Definice.9 Inverzní funkcí k funkci y cotg definované na ( ) je funkce arccotg Je tedy arccotg to y ( ) pro které cotg y y arccotg y cotg

26 MATEMATICKÁ ANALÝZA 6 Poznámka Funkce y arccotg je definovaná na intervalu ( ) nabývá hodnot z intervalu ( ) a je v celém definičním oboru klesající. arccotg Eponenciální funkce Definice. Eponenciální funkce je pro ( ) dána vztahem y a a y a a y a a Poznámka Pro a je eponenciální funkce rostoucí a pro a je klesající. Nabývá hodnot z intervalu ( ) Poznámka V aplikacích má největší význam eponenciální funkce Eulerovo číslo e 78 y e která má za základ Poznámka Vztah mezi eponenciální funkcí a goniometrickými funkcemi je dán prostřednictvím tzv. Eulerových vzorců. Platí Odtud máme i e cos isin kde i. e i e i i i i e e sin cos

27 7 FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Logaritmické funkce Definice. Inverzní funkce k eponenciální funkci y log a Logaritmická funkce je tedy to y ( ) pro které y a se nazývá logaritmická a značí se y a Poznámka Definiční obor logaritmické funkce je interval ( ), obor hodnot ( ) y a, a y log a y a, a y log a Poznámka Nejužívanější jsou logaritmické funkce o základu - tzv. dekadický logaritmus, který zapisujeme jako ylog a logaritmus o základu e - tzv. přirozený logaritmus, který budeme nadále značit jako y ln.

28 MATEMATICKÁ ANALÝZA 8 Poznámka Nechť čísla ab Připomeňme si, že pro logaritmické funkce platí následující vztahy log a a loga log log log a a a loga loga loga log a a log log b b a Obecná mocnina Definice. Nechť s je libovolné reálné číslo. Funkci, kterou pro definujeme vztahem budeme nazývat obecnou mocninou a značit e s sln s y. s s s s s Poznámka Definičním oborem jsou všechna ( ) oborem hodnot y ( )

29 9 FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Čísla, pro která polynom nabývá nulovou hodnotu, se nazývají kořeny polynomu. Funkci racionální ryze lomenou je možné rozložit na součet parciálních zlomků. Inverzní funkce k funkcím goniometrickým se nazývají cyklometrické funkce. Inverzní funkce k funkcím eponenciálním se nazývají logaritmické funkce. Eponenciální funkce má tvar y a a Obecná mocnina má tvar s y. Co je definiční obor a co je obor hodnot funkce? Uveďte příklad.. Vyjmenujte, jaké vlastnosti mohou mít funkce. Každou z vlastností definujte a vysvětlete pomocí obrázku.. Jakou vlastnost musí mít funkce, aby k ní eistovala funkce inverzní? 4. Mezi probranými funkcemi najděte ty, jejichž definičním oborem nejsou všechna reálná čísla. 5. Mezi probranými funkcemi najděte ty, které jsou v celém svém definičním oboru ryze monotonní. 6. Nakreslete grafy všech cyklometrických funkcí. 7. Jak bude vypadat čitatel v obecném tvaru rozkladu na parciální zlomky, když jmenovatel má a) reálné, b) komplení kořeny? 8. Stanovte definiční obory funkcí a) y ( ) 4 b) y c) y 65 d) y ln(sin ) [a) ( 4 ) ( ), b) ( ), c) ) ( ), d) k Z ( k(k ) ) ] 9. Nakreslete grafy funkcí a určete jejich vlastnosti. a) y y y 6 5 y y y b) c) y 6 {a) paraboly, b) kubické paraboly, c) hyperboly, d) část hyperboly. Rozložte na parciální zlomky a) 4 b) ( ) ( ), b) ] 4( ) 4( ) ( ) [a) 4 4( ) ( ) y 4 4 nad osou ]

30 MATEMATICKÁ ANALÝZA Základní literatura: [] DĚMIDOVIČ, B. P. Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy,. vyd., Praha: Fragment,, 459 s., ISBN , []MÁDROVÁ, V. Matematická analýza I. UP Olomouc,. 7 stran. ISBN (skripta) [] MÁDROVÁ, V., MAREK, J. Sborník úloh z diferenciálního počtu v R,.vyd. Olomouc, UP Olomouc,. 9 stran.. ISBN [4] MOŠOVÁ, V.: Matematická analýza I.. vyd. UP Olomouc,. 6 stran. ISBN

31 Kapitola Limita a spojitost funkce Po prostudování kapitoly budete umět: definovat limitu počítat limity Klíčová slova: Vlastní limita, nevlastní limita, jednostranné limity.

32 MATEMATICKÁ ANALÝZA Definice limity funkce Definice. Nechť R a Otevřený interval O( ) ( ) nazýváme delta okolím bodu na přímce. Pravým okolím bodu nazveme interval O + ( ) =, + δ). Levým okolím bodu je interval O ( ) = ( δ,. Interval U( ) ( ) ( ) nazveme ryzím okolím bodu Věta. Okolí bodu na přímce splňují následující aiomy: (A) Pro libovolná dvě okolí téhož bodu platí O ( ) O( ) O( ) (A) Okolí dvou různých bodů na přímce jdou zvolit tak, aby platilo O( ) O( ) (A) Když O( ) pak eistuje okolí O( ) O( ) Definice. Nechť I R. Bod obsahuje nekonečně mnoho bodů množiny I I je hromadným bodem množiny I když každé jeho okolí Příklad Hromadným bodem množiny { R} je například bod Definice. (Heine) Funkce f má v hromadném bodě svého definičního oboru limitu L ( L R ), když pro každou posloupnost bodů { n } n n posloupnost funkčních hodnot { f( n )} n konverguje k číslu L Píšeme pak lim f ( ) L nebo f ( ) L pro Poznámka Funkce nemusí být v bodě, ve kterém počítáme její limitu, definovaná. Poznámka Funkce f má v bodě nevlastní limitu, když pro každou posloupnost { n} Domf n n Píšeme platí, že posloupnost funkčních hodnot { f( n )} n diverguje k (popř. ). lim f ( ) ( popř lim f ( ) )

33 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE Funkce f má v nevlastním bodě limitu L když pro každou posloupnost { n} n Domf n (popř. { f( n )} n n ) platí, že posloupnost funkčních hodnot lim f ( ) L (popř lim f ( ) L) konverguje k L Píšeme pak Poznámka Na obrázku je graficky zachycena definice limity. Pro body,,,..., které se blíží k, jdou hodnoty f ( ), f ( ), f ( ),... k limitě L. f( ) L f( ) Věta. Jestliže eistuje lim f ( ) L pak je jediná. Poznámka Z věty. plyne, že lim sin a lim cos neeistují. Věta. Jestliže funkce f má v bodě konečnou limitu, pak eistuje okolí, v němž je omezená. Definice.4 (Jednostranné limity) Funkce f má v hromadném bodě svého definičního oboru limitu zprava, když pro každou posloupnost { n } takovou, že n n O ( ) n platí f ( n) L Píšeme pak lim f ( ) L popř f ( ) L Funkce f má v hromadném bodě svého definičního oboru limitu zleva, když pro každou posloupnost { n } takovou, že n n O ( ) n platí f ( n) L Píšeme lim f ( ) L popř f ( ) L ()

34 MATEMATICKÁ ANALÝZA 4 Limitu zprava a limitu zleva nazýváme souhrnně jednostranné limity. Příklad Spočítejte limitu funkce pro f( ) pro když Řešení lim f ( ) lim f ( ) Věta.4 Funkce f má v hromadném bodě svého definičního oboru limitu, právě když zde má limitu zprava a limitu zleva a obě se rovnají. Příklad Stanovte limitu funkce y pro Výsledky ověřte na grafu funkce. Řešení lim lim lim Pravidla pro počítání s limitami Věta.5 Nechť eistuje lim f ( ) L lim g ( ) L a čísla L L R pak eistuje limita součtu, rozdílu, součinu eventuelně podílu funkcí f a g Platí lim[ f ( ) g( )] L L () lim[ f ( ) g( )] L L () lim f ( ) g( ) L L (4) f ( ) L (5) lim pokud L g( ) L Výčet neurčitých výrazů:,,,,,,

35 5 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE Příklad Spočítejte lim 4 Řešení Když do daného zlomku dosadíme dostaneme neurčitý výraz typu. Proto před tím, než začneme počítat limitu, zlomek upravíme. Čitatele rozložíme na součin a zkrátíme se jmenovatelem. Pak spočteme limitu. 4 ( )( ) lim lim Věta.6 Nechť lim f( ) a eistuje okolí O ( ) v němž je funkce g ohraničená, pak lim f ( ) g( ) Příklad Dokažte, že lim sin Řešení Protože lim a pro libovolné R je funkce sin omezená, lze aplikovat Větu. 6. obdržíme tak požadovanou rovnost. Věta.7 Nechť v levém okolí bodu je funkce f omezená a ( ) je sgn f ( ) sgn g( ) pak lim ( ). Pokud pro všechna g f( ) lim g ( ) Když ale sgn f ( ) sgn g( ) pro ( ) pak f( ) lim g ( ) Poznámka V pravém okolí bodu platí analogické tvrzení. Příklad Spočítejte lim Řešen: V čitateli zlomku L je kladná konstanta, jmenovatel pro je kladný a jde k, proto lim Pro je jmenovatel záporný a jde k, proto L lim. Protože L L nemá funkce v bodě limitu.

36 MATEMATICKÁ ANALÝZA 6 Věta.8 Když f ( ) h( ) g( ) pak lim f ( ) lim g( ) a funkce f g a h splňují v jistém okolí bodu že lim f ( ) lim h( ) lim g( ) Poznámka Na základě Věty.8 lze dokázat, že sin lim Příklad Spočítejte lim cos Řešení Čitatele i jmenovatele vynásobíme výrazem cos pak cos cos sin lim lim lim ( cos ) cos Věta.9 (Limita složené funkce) Nechť lim f ( ) y lim g( y) L yy a eistuje O ( ) tak, že pro všechna O( ) je také f ( ) y Pak eistuje lim g ( f ( )) a platí lim g( f ( )) L. lim ln Příklad Spočítejte Řešení lim ln y lim ln y y Příklad Spočítejte lim sin( ) Řešení sin( ) sin lim lim lim sin( )

37 7 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE Spojitost V předešlé kapitole jsme se věnovali limitě funkce a právě prostřednictvím limity je definován pojem spojitost funkce. V této kapitole si nejprve uvedeme, co to znamená, že funkce je spojitá v bodě a na intervalu, klasifikujeme různé druhy nespojitosti a nakonec se zmíníme o stejnoměrně spojitých funkcích. Definice.5 Funkce f je spojitá v hromadném bodě D, f právě když lim f ( ) f ( ) Poznámka (Geometrická interpretace spojitosti) Z definice limity a spojitosti (viz definice. a.5) dostaneme, že funkce f je spojitá v bodě když pro jde f ( ) f ( ) f( ) f( ) f( ) y f ( ) Definice.6 Funkce f je v bodě spojitá zprava, když lim f ( ) f ( ) lim f ( ) f ( ) a zleva, když

38 MATEMATICKÁ ANALÝZA 8 Poznámka Vzhledem k definicím limity uvedeným v předchozím odstavci, můžeme spojitost definovat také následujícími ekvivalentními způsoby: Funkce f je spojitá v bodě když pro každou posloupnost { n } takovou, že n n,, platí f ( n) f ( ) Věta. Funkce f je spojitá v bodě právě když zde má obě jednostranné limity, pro které platí f ( ) f ( ) f ( ) Věta. Jestliže funkce f a g jsou spojité v bodě, pak také funkce g ( ) ) jsou spojité v bodě f g f g (když f g Věta. Nechť funkce f je spojitá v bodě, funkce g je spojitá v bodě y f ( ), pak také složená funkce go f je spojitá v bodě Druhy nespojitosti Funkce nemusí být jenom spojité. Například funkce racionální lomená je nespojitá v kořenech svého jmenovatele, funkce cotg je nespojitá v celistvých násobcích Věnujme se proto nyní klasifikaci jednotlivých druhů nespojitosti. Definice.7 Bod v němž funkce není spojitá, se nazývá bodem odstranitelné nespojitosti, když funkce f není v bodě definovaná a platí nebo když f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Bodem nespojitosti. druhu, když obě jednostranné limity jsou konečné a f ( ) f ( ) Bodem nespojitosti. druhu, když alespoň jedna z jednostranných limit je nevlastní.

39 9 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE Příklad Určete body nespojitosti funkcí a) 44 y b) Heavisideovy funkce y H( ) a c) funkce y Řešení Pro funkci 44 y je bodem odstranitelné nespojitosti, protože 4 4 lim lim( ) pro Heavisideovu funkci definujeme vztahem H( ) pro Pro funkci y H( ) je bodem nespojitosti. druhu, protože lim H( ) lim H( ) Pro y je bodem nespojitosti. druhu, protože lim lim Poznámka Jestliže v bodě limita funkce neeistuje, je funkce v tomto bodě nespojitá. Je-li funkce definovaná v izolovaném bodě, pak ji zde považujeme za spojitou. Příklad Funkce f( ) sin je nespojitá v bodě protože zde nemá limitu. pro racionální Dirichletova funkce f() = { pro racionální oboru. je nespojitá ve všech bodech svého definičního

40 MATEMATICKÁ ANALÝZA 4 Spojitost na intervalu Definice.8 Funkce f je spojitá na intervalu I když je spojitá v každém jeho vnitřním bodě a pokud levý (pravý) koncový bod patří do intervalu I je v něm spojitá zprava (zleva). Definice.9 Funkce f je na intervalu I po částech spojitá, když zde má pouze konečný počet bodů nespojitosti, a to prvního druhu. Příklad Funkce y sgn() je po částech spojitá. Věta. (Weierstrass) Spojitá funkce na uzavřeném intervalu je omezená a nabývá zde své nejmenší a největší hodnoty, a to buď uvnitř, nebo v krajních bodech intervalu. V tomto odstavci bylo uvedeno, že limita funkce f pro se rovná L když pro každou posloupnost bodů n konverguje posloupnost funkčních hodnot f ( n) f ( ) Funkce může mít nejvýš jednu limitu. Při výpočtu limit využíváme skutečnosti, že limita součtu funkcí je rovna součtu limit, limita součinu funkcí je rovna součinu limit, limita složené funkce je rovna limitě z jejích složek. Funkce je v bodě spojitá, právě když lim f() = f( ). O vlastnostech funkce spojité na uzavřeném intervalu pojednává Weierstrassova věta.. Nakreslete graf takové funkce f pro kterou lim f( ) 5 a lim f( ). Nakreslete graf funkce pro f( ) pro Má tato funkce v bodě limitu?. Musí být funkce v bodě, ve kterém je spojitá, také definovaná? 4. Čemu se musí rovnat limita funkce f v bodě aby funkce byla v tomto bodě spojitá? 5. Jak je to se spojitostí funkce racionální lomené a cyklometrických funkcí? 6. Spočítejte limitu a) b) 9 lim když lim cotg když c) lim d) lim arctg [a), b) 6, c) d) ]

41 4 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 7. Určete body nespojitosti funkce a) b) c) f( ) f( ) f ( ) [ ] [a) bod odstranitelné nespojitosti, bod nespojitosti. Druhu; b) bod nespojitosti. Druhu; c) Druhu.] nn N body nespojitosti. Základní literatura: [] DĚMIDOVIČ, B. P. Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy,. vyd., Praha: Fragment,, 459 s., ISBN , []MÁDROVÁ, V. Matematická analýza I. UP Olomouc,. 7 stran. ISBN (skripta) [] MÁDROVÁ, V., MAREK, J. Sborník úloh z diferenciálního počtu v R,.vyd. Olomouc, UP Olomouc,. 9 stran.. ISBN [4] MOŠOVÁ, V.: Matematická analýza I.. vyd. UP Olomouc,. 6 stran. ISBN

42 Kapitola Derivace funkce Po prostudování kapitoly budete umět: definovat derivaci funkce spočítat libovolnou derivaci aplikovat poznatky diferenciálního počtu Klíčová slova: Derivace funkce v bodě, derivace funkce na intervalu, derivace vyšších řádů, logaritmická derivace, L Hospitalovo pravidlo, stacionární body, lokální etrémy, globální (absolutní) etrémy, funkce konvení a konkávní, asymptoty bez směrnice a se směrnicí

43 4 DERIVACE FUNKCE Derivace funkce v bodě Při zavedení pojmu derivace vycházíme z limity. Derivaci zavedeme jako limitu relativní změny funkce. Tento způsob definování dělá z derivace nástroj k podchycení dynamiky dění. V tomto odstavci kromě definice derivace si uvedeme ještě pravidla pro její výpočet. Definice. Nechť funkce f je definována v okolí bodu a eistuje konečná limita f f ( ) f ( ) ( ) lim pak tuto limitu nazýváme derivací funkce f v bodě Pokud uvedená limita neeistuje nebo je nevlastní, funkce v bodě derivaci nemá. Poznámka Kromě označení f ( ) se pro derivaci funkce v bodě používá i zápisu f Poznámka Derivaci funkce f v bodě je možné také definovat vztahem f f ( h) f ( ) h ( ) lim h kde h je diference argumentu v bodě Diferenci argumentu můžeme také značit Pokud f ( ) f ( ) f ( ) označíme diferenci funkce f v bodě dostáváme další možnost zápisu pro derivaci funkce f f( ) ( ) lim f ( ) f ( ) Poznámka (Geometrický význam derivace) Podíl představuje z geometrického hlediska směrnici sečny ke křivce y f ( ), která prochází body ( f ( )) a ( f ( )) Jestliže se s bodem začneme blížit k bude sečna přecházet v tečnu. To znamená, že derivaci f( ) lim můžeme geometricky interpretovat jako směrnici tečny ke křivce f ( ) f ( ) y f ( ) v bodě ( f ( ))

44 MATEMATICKÁ ANALÝZA 44 Příklad Spočítejte derivaci funkce v bodě z definice derivace, když a) f ( ) b) f ( ) e c) f ( ) sin( ) Řešení a) b) ( h ) hh ( h ) h h h h h h h lim lim lim h h ( ) h e e e e e lim h lim h e lim h e h h h h h sin( h) sin cos sin h h sin lim cos h h h h c) lim lim h h cos Poznámka (Rovnice tečny a normály) Vzhledem ke geometrickému významu derivace dostáváme, že tečna ke grafu funkce y f ( ) je přímka, která prochází bodem ( f ( )) a má směrnici f( ) Rovnice tečny má proto tvar f ( ) f ( ) f ( )( ) Normála ke grafu funkce y f ( ) v bodě ( f ( )) je přímka kolmá na tečnu. Směrnice této normály je rovna f ( ) a rovnice normály má tvar f ( ) f ( ) ( ) f ( )

45 45 DERIVACE FUNKCE Příklad Napište rovnici tečny a normály ke grafu funkce y a to v bodě T ( ) Řešení Pro druhou souřadnici bodu dotyku máme y Podle předchozího příkladu a) máme Rovnice tečny má tvar a rovnice normály je y() y ( ) y y = + Poznámka (Fyzikální interpretace) Derivace funkce v bodě představuje okamžitou lokální ( ) ( ) změnu. Tak například, když s s() t je dráha, pak ( ) lim s t s t s t je okamžitá rychlost. Definice. Nechť funkce f je definována v okolí bodu a eistuje konečná limita tt tt f ( ) f ( ) lim f ( ) pak tuto limitu nazýváme derivací funkce f v bodě zprava. Pokud eistuje konečná limita f ( ) f ( ) lim f ( ) pak ji nazýváme derivací funkce f v bodě zleva. Poznámka Derivaci funkce v bodě zprava je možné také značit f ( ) a derivaci funkce v bodě ( ) zleva lze značit f Věta. Funkce f má v bodě derivaci, právě když zde má derivaci zprava a derivaci zleva, které se navzájem rovnají. Věta. (Derivace a spojitost) Jestliže funkce f má v bodě konečnou derivaci, pak je v tomto bodě spojitá. Poznámka Obrácená věta neplatí. Funkce, která je spojitá v bodě, nemusí mít v tomto bodě derivaci. Funkce y je sice v bodě spojitá, ale nemá zde derivaci, protože y( ) y( )

46 MATEMATICKÁ ANALÝZA 46 y Pravidla pro derivování Pro praktické počítání je důležité vědět, jak se derivuje součet, součin a podíl funkcí, jak je to s derivováním složené funkce a jak vypadají derivace elementárních funkcí. Věta. Ve všech bodech, kde jsou uvedené funkce definovány, platí n n ( ) n, c ( a) a ln a, ( e ) e (log a), (ln ) ln a (sin ) cos, (cos ) sin (tg ), (cotg ) cos sin (arcsin ), (arccos ) (arctg ), (arccotg )

47 47 DERIVACE FUNKCE Věta.4 Nechť funkce f a g mají derivaci v bodě svého společného definičního oboru a c je libovolná konstanta, pak eistují derivace pro které platí f( ) ( cf ( ) ) ( f ( ) g( ) ) ( ( ) ( )) f g g ( ) ( cf ( ) cf ( ) ) ) ( f ( ) g( ) f ( ) g ( ) ( f ( ) g( ) ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) ( f() f(y) ) = f ( )g( ) f( )g ( ) g. ( ) Příklad Spočítejte derivaci funkce f ( ) e v bodě Řešení Funkci budeme derivovat jako součin podle věty.4. Při derivování jednotlivých činitelů využijeme výsledků z příkladu, který jsme spočítali již dříve. ) ( e ( e e ) ( ( ) ) e Věta.5 Nechť funkce f má v bodě a jeho okolí derivaci a funkce g má derivaci v bodě y f ( ) pak složená funkce go f má derivaci v bodě a platí ( g( f ( )) g( y ) f ( ) ) Poznámka Větu.5 lze použít i k výpočtu derivace vícenásobně složené funkce, která se pak rovná součinu derivací jednotlivých složek. Příklad Spočítejte derivaci funkce f ( ) sin v bodě Řešení Funkci budeme derivovat jako složenou funkci podle věty.5. Její vnitřní složka je u a vnější složka je y sin u Při derivování jednotlivých složek využijeme výsledků z dříve uvedeného příkladu. Protože dostaneme (sin u) cosu a ( ) (sin ) ( cos ) cos.

48 MATEMATICKÁ ANALÝZA 48 Věta.6 Nechť funkce f má v bodě derivaci různou od nuly, pak inverzní funkce eistuje) má v bodě y f ( ) derivaci, pro kterou platí f (pokud ( f ( y)) y y f( ) Příklad Spočítejte derivaci funkce f ( ) ln v bodě Řešení Funkce je inverzní funkcí k funkci f ( ) e Podle dříve uvedeného příkladu je ( e ) e Z věty.6 a vzhledem ke skutečnosti, že pro y platí ln y máme ln y (ln( y)) y y e e e y Definice. Funkce f má derivaci na intervalu I, když má derivaci v každém jeho vnitřním bodě a pokud levý (pravý) krajní bod patří do intervalu, má v něm derivaci zprava (zleva). Pomocí definice derivace a výše uvedených vět lze odvodit následující vzorce pro derivování elementárních funkcí: Příklad Derivujte funkce sin cos a) y cos b) y ln c) y tg Řešení a) Funkci derivujeme jako podíl (viz Věta.) d sin cos (cos sin ) cos (sin cos )( sin ) d cos cos b) Funkci derivujeme jako funkci složenou podle Věty.4 cos d ln (ln ) ( ) d c) Funkce je vícenásobně složená (viz poznámka výše), a tedy d 4sin tg tg d cos cos

49 49 DERIVACE FUNKCE Poznámka (Logaritmická derivace) Když chceme derivovat funkci ( ) ( )ln ( ) tvar f ( ) g e g f a pak derivujeme. Obdržíme ( ) f( ) g upravíme ji nejprve na g( ) f( ) y f ( ) g( )ln f ( ) g( ) f ( ) Příklad Derivujte funkci y Řešení ln ln ( ) ( e ) e (ln ) ( ln ) ( ln ) Derivace vyšších řádů V matematické analýze se pracuje i s derivacemi vyšších řádů. Obdržíme je postupným derivováním z derivací řádů nižších. Definice.4 Nechť funkce f má derivaci v O ( ) a funkce f má derivaci v bodě pak říkáme, že funkce f má druhou derivaci v bodě a píšeme f f ( ) ( ( )) Příklad Spočtěte. derivaci funkce yln Řešen: y y Příklad Zjistěte, zda funkce je řešením diferenciální rovnice y y y y e e Řešení: Spočteme. derivaci zadané funkce: strany diferenciální rovnice dostaneme y e e y e e 4 Po dosazení do levé 4e e 6e e e e Protože v poslední rovnici se levá strana rovná pravé, je funkce y e e řešením rovnice y y y

50 MATEMATICKÁ ANALÝZA 5 Poznámka Definici.4 můžeme zobecnit a definovat derivaci n -tého řádu ( n) ( n) f ( ) ( f ( )) Vztah platí pro všechna ta pro která má funkce f ( n) derivaci. Derivace vyšších řádů značíme (4) (5) f f f f Příklad Spočtěte n -tou derivaci funkce y ln Řešení: y y = ( ), (4) 6 y y 4 n ( n) ( ) ( n) y n n Využití diferenciálního počtu Diferenciální počet je účinným nástrojem při zkoumání vlastností funkcí. Pomocí derivací můžeme stanovit limity neurčitých výrazů. Můžeme také pomocí toho, zda derivace určitého řádu je kladná či záporná, určít intervaly, ve kterých je funkce rostoucí popř. klesající a ve kterých je konvení popř. konkávní. Pomocí limity zase rozhodneme, jestli graf funkce má nějaké asymptoty. L Hospitalovo pravidlo L Hospitalovo pravidlo slouží k výpočtu limity funkce. Věta.7 (l Hospitalovo pravidlo) Nechť pro funkce f a g platí ( lim f ( ) lim g( ) Pokud f g ( ) i jsou diferencovatelné v okolí bodu a eistuje lim f ( ) pak eistuje také lim f pro kterou platí g( ) g( ) f ( ) f ( ) lim lim g( ) g( ) Věta.8 Nechť pro funkce f a g platí lim f ( ) lim g( ) Pokud f i g jsou k -krát diferen- ( ) f ( ) ( ) covatelné v okolí bodu a eistuje lim pak eistuje také lim f a platí k ( k ) g ( ) g( )

51 5 DERIVACE FUNKCE ( k ) f ( ) f ( ) lim lim ( k ) g( ) g ( ) Poznámka Věty.7 a.8 platí i v případě, když předpokládáme, že lim f ( ) lim g( ) že lim f ( ) lim g( ) popř. když místo bereme nebo nebo Poznámka L Hospitalovo pravidlo se užívá k určování limit výrazů typu " " nebo " ". L Hospitalovo pravidlo můžeme také použít při určování limit výrazů typu " ", " ", " ", " " nebo " " ovšem až po úpravě, která výraz převede na typ " " nebo " ": u " " upravíme takto uv na typ " ", v u " " upravíme takto u v na typ " ", v " ", " ", " " pomocí úpravy v vlnu u e převedeme na typ " e ". u v uv Příklad Spočítejte lim e sin Řešení e e lim " " lim sin cos Příklad Spočítejte lim ln( ) Řešení ln( ) lim ln( )" " lim " " lim Příklad Spočítejte lim(sin ) Řešení lnsin lim(sin ) " " lim e lime lnsin lim lnsin " " lim " " lim lim " " cos sin tg lim cos

52 MATEMATICKÁ ANALÝZA 5 Monotonie a etrémy funkce Definice.5 Řekneme, že funkce f je v bodě (ostře) rostoucí, když eistuje vlastní okolí bodu tak, že f ( ) f ( ) pro ( ) a f ( ) f ( ) pro ( ) Pokud f() > f( ) pro ( δ, ) a f( ) > f() pro (, + δ), pak funkce f je v bodě (ostře) klesající. Poznámka Funkce je rostoucí na intervalu I právě když je rostoucí v každém bodě tohoto intervalu. Funkce je klesající na intervalu I právě když je klesající v každém bodě tohoto intervalu. Věta.9 (Postačující podmínka monotonie) Když funkce f má v bodě první derivaci a f( ) pak f je v (ostře) rostoucí. Když funkce f má v bodě první derivaci a f( ) pak f je (ostře) klesající. Příklad Určete intervaly, na kterých je funkce y ostře rostoucí a na kterých je ostře klesající. Řešení Zadanou funkci můžeme psát ve tvaru pro f ( ) pro. pro O monotonii funkce rozhodneme na základě první derivace pro f ( ) pro pro Odtud obdržíme, že funkce y je pro ostře rostoucí a pro ostře klesající. Poznámka, I když je funkce v nějakém bodě rostoucí, nemusí ještě mít v tomto bodě kladnou první derivaci. Například funkce y je v bodě rostoucí, ale y () není kladná. (Namalujte si obrázek.) Poznámka Když pro všechna I je f( ) pak je funkce f (ostře) rostoucí na intervalu I Pokud f( ) pro všechna I je funkce f (ostře) klesající na intervalu I V případě, že pro všechna I platí neostrá nerovnost f( ) (popř. f( ) ) pro všechna I hovoříme o tom, že funkce je na intervalu I nerostoucí (popř. neklesající). Definice.6 Bod, ve kterém má funkce nulovou první derivaci, se nazývá stacionární bod.

53 5 DERIVACE FUNKCE Definice.7 Funkce f I H nabývá v bodě svého lokálního maima, když eistuje okolí O ( ) tak, že pro všechna O( ) je f ( ) f ( ) lokálního minima, když eistuje okolí O ( ) tak, že pro všechna O( ) je f ( ) f ( ) Pokud f ( ) f ( ) (popř. f ( ) f ( ) ) pro všechna O( ) I je bodem ostrého lokálního maima (popř. minima). Body lokálního maima a minima nazýváme souhrnně body lokálních etrémů. Poznámka Funkce může mít tedy etrém buď ve stacionárních bodech nebo v bodech, v nichž derivace neeistuje. Například funkce y y má ve stacionárním bodě v bodě nemá sice derivaci, ale má zde lokální etrém. lokální etrém. Funkce Na druhé straně stacionární bod nemusí být ještě bodem lokálního etrému, jak je tomu třeba u funkce y Věta. Nechť funkce f je spojitá v bodě I Když pro všechna O( ) platí má funkce f v bodě ostré lokální maimum. f ( ) pokud a f ( ) pokud Pokud pro všechna O( ) platí f ( ) pokud a f ( ) pokud pak má funkce f v bodě ostré lokální minimum. Věta. Nechť je stacionárním bodem funkce f a eistuje f( ) Jestliže f( ) pak funkce f má v bodě lokální maimum. Když f( ) má funkce f v bodě lokální minimum. Příklad Vyšetřete lokální etrémy funkce y 6 Řešení Nejprve určíme stacionární body: y = 6 = =. Podle věty. rozhodneme o druhu etrému. Protože pro libovolné je y( ) má zadaná funkce v bodě = lokální minimum.

54 MATEMATICKÁ ANALÝZA 54 Příklad Určete rozměry rotačního válce, který má při daném objemu nejmenší povrch. Řešení Označme: r poloměr válce, v výšku válce, V objem válce, S povrch válce. Pro objem pak platí V V v r r v Odtud dostaneme, že Pro povrch S válce máme S(r) = πr + πrv = πr + v Najdeme stacionární body funkce S S() r r V 4 r V V ( ) 4 S r r r r r O druhu etrému rozhodneme pomocí druhé derivace. 4V 4 r 4V S( r) 4 r r V V S ( ) r je bodem minima Válec bude mít při daném objemu nejmenší povrch, když jeho poloměr r V Poznámka Úlohy najít lokální nebo absolutní etrém funkce bývají označovány jako úlohy optimalizační. Definice.8 Řekneme, že funkce f nabývá v bodě všechna I platí, že f ( ) f ( ) Funkce f nabývá v bodě f ( ) f ( ) I svého absolutního maima, když pro I svého absolutního minima, když pro všechna I je Souhrnně absolutní maimum a absolutní minimum nazýváme absolutními etrémy. Věta. Každá funkce spojitá na uzavřeném intervalu ab buď v některém bodě lokálního etrému nebo v krajních bodech intervalu. nabývá svého absolutního etrému

55 55 DERIVACE FUNKCE Příklad Najděte absolutní etrémy funkce f ( ) 6 8 na intervalu Řešení Zadaná funkce je spojitá na uzavřeném intervalu Derivace ( ) 6 6 když f Bod nepatří do uvažovaného intervalu. Protože f ( ) a f () má funkce v bodě lokální minimum. Porovnáním funkčních hodnot v bodě lokálního etrému, kde f () 4 a v krajních bodech intervalu, kde platí f () 8 f() = 44 zjistíme, že bod je bodem absolutního maima a bod je bodem absolutního minima. Vyšetřování průběhu funkce Graf funkce, zejména když je přesný, umožňuje vytvořit si také přesnou představu o vlastnostech funkce. K jeho sestrojení můžeme využít své poznatky z diferenciálního počtu. Definice.9 Nechť eistuje f( ) Řekneme, že funkce f je v bodě konvení, právě když eistuje O ( ) že pro všechna O( ) je f ( ) f ( ) f ( )( ) (58) konkávní, právě když eistuje O ( ) že pro všechna O( ) je f ( ) f ( ) f ( )( ) (59) Poznámka Graf funkce, která je v bodě konvení, se nachází nad tečnou a že graf funkce, která je v bodě konkávní, se nachází pod tečnou. Věta. Když funkce f má v bodě druhou derivaci a f( ) pak f je v konvení. Pokud f ( ) je funkce f v konkávní. Poznámka Funkce f je konvení (konkávní) na intervalu I pokud je konvení (konkávní) pro všechna I Definice.9 Nechť f je spojitá v bodě a má zde vlastní nebo nevlastní derivaci. Řekneme, že je inflení bod, když se v něm funkce mění z konvení na konkávní nebo naopak.

56 MATEMATICKÁ ANALÝZA 56 Věta.4 Pokud eistuje f ( ) a je inflení bod, pak f( ) Poznámka Inflením bodem funkce může být jen ten bod v němž f ( ) neeistuje nebo kde f( ) Poznámka Obecně platí: Když f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) a ( n) ( n) n je sudé, n je sudé, n je liché, n je liché, ( n) f ( ) pak f má v bodě ( n) f ( ) pak f má v bodě ( n) f ( ) pak f je rostoucí v bodě ( n) f ( ) pak f je klesající v bodě ostré lokální minimum, ostré lokální maimum, Když f ( ) f ( ) f ( ) a ( n) ( n) n je sudé, n je sudé, ( n) f ( ) pak f je konvení v bodě ( n) f ( ) pak f je v bodě n je liché, pak f má v bodě inflei. konkávní, Definice. V rovině je dána funkce f a přímka p Řekneme, že p je asymptotou ke grafu funkce y f ( ) právě když vzdálenost bodů grafu funkce y f ( ) od přímky p se pro blíží nule. Poznámka Asymptoty jsou přímky, ke kterým se blíží graf funkce, když v případě, že je bod, ve kterém funkce není definovaná. popř. Věta.5 Přímka je asymptotou bez směrnice ke grafu funkce y f ( ) právě když lim f( ) Věta.6 Přímka y a b je asymptotou se směrnicí ke grafu funkce y f ( ) právě, když a = lim f(), b = lim (f() a). ± Poznámka Při vyšetřování průběhu funkce postupujeme následovně (a) Stanovíme nulové body funkce a body, v nichž funkce není definována. Ty nám rozdělí definiční obor na subintervaly, ve kterých funkce nabývá buď jen kladných nebo jen záporných hodnot.

57 57 DERIVACE FUNKCE (b) Spočteme první derivaci a určíme body, v nichž je. derivace nulová nebo v nichž neeistuje. Číselnou osu tak rozdělíme na subintervaly, ve kterých je funkce buď jen rostoucí nebo jen klesající. (c) Spočteme druhou derivaci a určíme body, v nichž je druhá derivace nulová nebo v nichž není definována. Tyto body rozdělí číselnou osu na subintervaly, v nichž je funkce buď jen konvení nebo jen konkávní. (d) Zjistíme, zda funkce má nějaké asymptoty bez směrnice nebo se směrnicí. (e) Spočteme některé funkční hodnoty ve významných bodech (např. v bodech etémů nebo v infleních bodech) a nakreslíme graf. Příklad Vyšetřete průběh funkce y 6 8 Řešení (a) Definiční obor: ( ) (b) Derivace y ma min - Funkce je rostoucí, když 6( )( ) tj. ( ) Funkce je klesající, když 6( )( ) tj. Funkční hodnoty v bodech etrémů: f ( ), f () 4. (b) Druhá derivace y

58 MATEMATICKÁ ANALÝZA 58 infl.bod Funkční hodnota v inflením bodě: f ( ) 8. Funkce je konvení, když tj. ( ) Funkce je konkávní, když tj. ( (d) Asymptoty bez směrnice funkce nemá, protože je všude definovaná. Protože a = lim 6+8 = +, nemá funkce ani asymptoty se směrnicí. ± Graf funkce y 6 8 : Příklad Vyšetřete průběh funkce y Řešení (a) Dom f ( ) ( ) y y (b) y ( )( )

59 59 DERIVACE FUNKCE Funkce je klesající, když y ) ( Funkce je rostoucí, když y ( ) Etémy: yma( ) ymin () (c) y Funkce je konvení, když y Funkce je konkávní, když y (d) Protože lim( ) je asymptotou bez směrnice. Dále a lim ( ) lim ( ) b lim ( ) Je tedy y asymptotou se směrnicí. Graf funkce y a asymptot y : ( ) Derivace funkce v bodě je definována vztahem Číslo f ( ) je směrnice tečny ke grafu funkce y f ( ) v bodě f f ( ) f ( ) ( ) lim Derivaci vyššího řádu obdržíme derivováním derivace řádu o jedničku nižšího. Když funkce má v bodě etrému derivaci, pak je tato derivace rovna nule.

60 MATEMATICKÁ ANALÝZA 6 Výpočet limit typu " " nebo " " můžeme provést pomocí l Hospitalova pravidla. Z. derivace funkce určíme stacionární body a intervaly, ve kterých je funkce rostoucí nebo klesající. Z. derivace funkce určíme intervaly, ve kterých je funkce konvení nebo konkávní. Pomocí limit určujememe asymptoty ke grafu funkce.. Napište vztah, kterým je definována první derivace funkce v bodě.. Jestliže funkce má v bodě derivaci, musí být v tomto bodě spojitá?. Jaký je geometrický význam. derivace v bodě? 4. Zopakujte si základní vzorce pro derivování funkcí. 5. Které typy limit se dají počítat pomocí l Hospitalova pravidla přímo? 6. Jaká musí být hodnota první derivace funkce f v bodě etrému? Proč? 7. Uveďte nutné podmínky pro to, aby dost hladká funkce (tzn. funkce, která má potřebné derivace) byla na intervalu I klesající a konkávní. 8. Jak je definován stacionární a jak inflení bod hladké funkce? 9. Musí mít funkce ve svém stacionárním bodě etrém?. Za jakých podmínek má funkce asymptotu bez směrnice a asymptotu se směrnicí?. Spočtěte derivace a rozhodněte, kdy je derivace definovaná. 7 a) ( ln ) b) (tg cos ) c) ( e ) d) ( e (cos sin )) e) y f) y ln 6 [a) 4 7 ln, b) cos, c) e ( ), d) e (cos sin cos ), e) y ( ), f) 4 y R { } ] ( ) 4. Spočítejte derivace funkce f v daném bodě 5 a) f ( ) sin b) 4 ( ) ln f c) f ( ) ln(arctg ) t d) f ( t) e t t 5 [a) f ( ) cos f ( 4 ),b) f ( ) f (),c) f ( ) ( ) f 4, d) f ( t) f () ] t e ( t) e t 4 ( )arctg

61 6 DERIVACE FUNKCE. Spočítejte derivaci funkce (logaritmická derivace) a) y cos c) y sin cos [a) y cos (ln ), b) (sin ) ( sin ln(sin ) y sin ) ] 4. Napište rovnici tečny a normály ke grafu funkce y f ( ) v bodě T když a) [a) T ( ) t y n [a) y T ( ) b) y arcsin T ( ),b), t : 4 6y, y 4 ( ) 5. Spočítejte. derivaci funkce a) y ln T n 6y ] b) y e (cos sin ), b) y e (sin cos ) ] 4 [a), b), c) ] f, 6 6. Pomocí l Hospitalova pravidla spočítejte limitu sin a) lim b) lim c) lim : 7. Určete absolutní etrémy funkce f na intervalu ( 4 () f ( 4) 4 ] [ ma min 8. Vyšetřete průběh funkce a) f( ) b) e f( ) ( ) e [a) Df ( ) ( ) f( ) pro ( ) ( klesá, pro ) roste, ( ) e f( ) konkávní pro ( ) konvení pro ( ) Asymptota: Pro je y asymptotou. b) Df ( ) ( ) 6 4 arcsin e 5 tg pro f ( ) ( ) ( ) roste, pro f( ) konkávní pro ( ) ( ) Asymptoty: y ] ( ) klesá.

62 MATEMATICKÁ ANALÝZA 6 Základní literatura: [] DĚMIDOVIČ, B. P. Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy,. vyd., Praha: Fragment,, 459 s., ISBN , []MÁDROVÁ, V. Matematická analýza I. UP Olomouc,. 7 stran. ISBN (skripta) [] MÁDROVÁ, V., MAREK, J. Sborník úloh z diferenciálního počtu v R,.vyd. Olomouc, UP Olomouc,. 9 stran.. ISBN [4] MOŠOVÁ, V.: Matematická analýza I.. vyd. UP Olomouc,. 6 stran. ISBN

63 Kapitola 4 Neurčitý integrál Po prostudování kapitoly budete umět: znát primitivní funkce k funkcím stanovit primitivní funkce na základě vlastností neurčitého integrálu použít metodu per partes použít substituční metodu Klíčová slova: Primitivní funkce, neurčitý integrál, metoda per partes, substituční metoda

64 MATEMATICKÁ ANALÝZA 64 Primitivní funkce a neurčitý integrál Definice 4. Nechť f a F jsou funkce definované na otevřeném intervalu I Když funkce F má na intervalu I derivaci takovou, že pro všechna I platí F( ) f ( ) () pak říkáme, že funkce F je primitivní k funkci f na intervalu I Příklad Ukažte, že F( ) ( ) ln( ) je primitivní funkcí k f ( ) ln( ) na intervalu ( ) Řešení Obě funkce F i f jsou na intervalu ( ) definovány. Současně pro všechna z tohoto intervalu platí F( ) ln( ) ln( ) f ( ) To znamená, že F je primitivní funkcí k f Obecně ke každé funkci f nemusí na daném intervalu eistovat funkce primitivní. Platí však následující tvrzení. Věta 4. Ke každé funkci f spojité na intervalu I eistuje na intervalu I funkce primitivní. Z definice primitivní funkce je zřejmé, že když F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I pak také všechny funkce které se od F liší o konstantu, jsou primitivní k f na I Definice 4. Množinu všech primitivních funkcí příslušných na intervalu I k funkci f nazveme neurčitý integrál. Píšeme pak f ( ) d F( ) c Zde f( ) je integrovaná funkce (integrand), d je diferenciál nezávisle proměnné, c je integrační konstanta. Poznámka Integrování a derivace jsou na intervalu, na kterém je lze realizovat, navzájem inverzní operace: [ f ( ) d] [ F( )] f ( ) F( ) d f ( ) d F( )