RNDr. Jiří Dočkal, CSc. MATEMATIKA I. Řešené příklady
|
|
- Jiří Král
- před 9 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 RNDr. Jiří Dočkal, CSc. MATEMATIKA I Řešené příklady Uváděné řešené příklady jsou vybrány a řazeny v návaznosti na orientační učební pomůcku Doc.RNDr.Ing. Josef Nedoma, CSc.: MATEMATIKA I. Tato sbírka řešených příkladů je určena jako orientační pomůcka pro samostatnou přípravu ke konzultacím kombinovaného studia FSI VUT v Brně. BRNO, září 00 autor
2 Řazení příkladů: ) Množiny ) Matematická logika... ) Reálná a komplení čísla... ) Matice a algebraické vektory. 5) Determinanty 6) Soustavy lineárních rovnic 7) Polynomy a jejich podíly. 8) Geometrické vektory 9) Analytická geometrie v prostoru.... 0) Funkce jedné reálné proměnné... ) Limita a spojitost.. ) Derivace funkce.. ) Taylorova věta a aplikace.. ) Primitivní funkce. 5) Riemannův integrál 6) Aplikace Riemannova integrálu Seznam použité literatury:. Eliaš,J.,Horváth,J.,Kajan,J.: Zbierka úloh z vyššej matematiky..časť (.vydanie),bratislava, Alfa,976. Jirásek,F.,Kriegelstein,E,Tichý,Z.: Sbírka řešených příkladů z matematiky. Praha,SNTL-Alfa,987. Mrhačová,H.: Cvičení z lineární algebry, Skriptum, VUT v Brně, ES Brno, 98. Nedoma,J.: Matematika I,Shrnutí a přehled, Orientační metodická pomůcka, rukopis,00 5. Nedoma,J.: Matematika I. Skriptum FSI VUT v Brně, Skála,J.: Matematika I, řešené úlohy pro cvičení, Skriptum, VŠST v Liberci, Tomica,R.: Cvičení z matematiky pro I.ročník, Skriptum, VUT Brno, SNTL Praha, Vosmanská,G.,Rádl,P.: Cvičení z matematické analýzy, Skriptum,(.vydání), VŠZ Brno,99
3 . Množiny.. Určete všechny podmnožiny množiny M{,,5}. Množina M má tyto podmnožiny: Prázdná množina Podmnožiny o jednom prvku {, } {,5 } { } Podmnožiny o dvou prvcích {, },{,5 },{,5} Podmnožiny o třech prvcích {,,5} M Množina M obsahuje 8 podmnožin včetně prázdné množiny a dané množiny... Určete průnik A B množin A, B, kde A je množina všech prvočísel, B množina všech sudých čísel. A{,,5,7,,... }, B{,,6,8,0,... } A B { }.. Jsou dány množiny A{,,5,7}, B{,5,6,7,8}, C{,5,6,7,8,9}. Určete a) A B, B C b) A B C c) A B, B C d) A B C Hledané množiny jsou : a) A B{5,7}, B C {5,6,7,8} b) A B C {5,7} c) A B {,,,5,7,8}, B C {,,5,6,7,8,9} d) A B C {,,,5,6,7,8,9}.. Jsou dány intervaly A (-,), B <-,>, C(,5>. Určete: a) A B c) B C e) A B g) B C b) A C d) A B C f) A C h) A B C Hledané množiny jsou : a) A B (-,) c) B C <-,5> e) A B <-,> b) A C (-,5> d) A B C (-,5> f) A C (,) g) B C (,> h) A B C (,>.. Jsou dány intervaly A(-,), B,, C -,, ). Určete: a) (A B) C b) ( C B) A c) A B C d) A B C Výsledné intervaly jsou: a) (A B) C -,, b) ( C B) A -,) c) A B C { } d) A B C ( -, )
4 . Matematická logika.. Rozhodněte, které z následujících slovních spojení je výrok. Pokud se jedná o výrok, určete jeho pravdivost: a) Číslo je nezáporné. b) Číslo 5 je záporné. c) Každý obdélník je rovnoběžník. d) Trojúhelník ABC je pravoúhlý. e) :0 je 0 Řešení : a) není výrok, protože o nic nevíme b) je výrok a to nepravdivý c) je výrok a to pravdivý d) není výrok, protože o trojúhelníku ABC nic nevíme e) není výrok, protože dělení nulou není definováno.. Utvořte negaci výroků: a) dnes je svátek b) všichni žijící lidé jsou menší než 80 cm c) >, je-li reálné číslo Řešení: a) dnes není svátek b) eistuje žijící člověk, který má 80 cm nebo více c), je-li reálné číslo.. Utvořte disjunkci dvou výroků p, q a určete pravdivost složeného výroku, je-li p číslo je násobkem čísla, q číslo je násobkem čísla 5, Řešení : p q (číslo je násobkem čísla ) (číslo je násobkem čísla 5) číslo je násobkem čísla nebo 5 Složený výrok je pravdivý přesto, že výrok q je nepravdivý... Určete konjunkci dvou výroků p, q, je-li p reálné číslo je menší než, q reálné číslo je větší nebo rovno číslu, Řešení : p q ( ) ( > ) (,
5 5..5 Dosaďte výroky p, q + 7 do uváděné výrokové formule a) p q b) p q c) q p d) q p a) je-li, pak +7 výrok pravdivý Řešení : b) je-li, pak +7 výrok pravdivý c) je-li +7, pak, výrok nepravdivý d) je-li + 7, pak, výrok pravdivý..6 Určete pravdivostní hodnotu složeného výroku ((. 6) (. 6)) ( < ) p (. 6), q (. 6), p q ((. 6) (. 6)), v ((. 6) (. 6)) (< ) Pravdivostní tabulka pak má tvar: p q p q v 0 Z uvedené tabulky plyne, že složený výrok je pravdivý...7 Určete pravdivostní hodnotu složeného výroku ( p q) ( p q) ( p q) ( p q) ( p q) ( p q)
6 6. Reálná a komplení čísla.. Určete supremum, infimum, maimum a minimum množiny M a) M -5,-) b) M 0,, c) M (-, ) a) sup M -, inf M -5, ma M neeistuje (otevřená množina), min M -5 b) sup M, inf M 0, ma M, min M 0 c) sup M neeistuje, inf M -, ma M neeistuje (otevřená množina), min M neeistuje.. Zapište pomocí nerovnic s absolutní hodnotou okolí daného čísla o daném poloměru: a) okolí čísla 6 o poloměru b) okolí čísla o poloměru c) okolí čísla.5 o poloměru 0.5 Řešením jsou nerovnice: a) (6-,6+) (, 8 ) { R ; 6 < } b) (--,-+) (-, - ) { R ; + < } c) (.5-0.5,.5+0.5) (, ) { R ;.5 < 0.5 }.. Pomocí binomické věty řešte ( ) 0 0 ( )..( ) +..( ) +..( ) +..( ) Vypočtěte ( + i) + ( i) ( + i) + ( i) ( + i).( + i) + ( i). +.i+.i+.i + i + 6i+ 6i 9+ i + 0i.. Vypočtěte i 5+ i i i 5 i ( i).(5 i) 0 5i i+ 6i. 5+ i 5+ i 5 i (5+ i).(5 i) 5 + 0i 0i i 0 9i 6 9i 9 i
7 7.. Vypočtěte i i Řešte binomickou rovnici 0 0 ( ):( ) , ± Kořeny jsou Zkouška : , + i, + i ( -).( + i Řešte rovnici. z + 0 ).( i ) ( ).( ) ± Budeme hledat řešení rovnice převedením na problematiku nalezení kořenů kompleního čísla z z + 0 z z číslo z - převedeme na goniometrický tvar cosπ + i sinπ 5 0 pak π + kπ π + kπ cos + i sin pro k 0,,,,. 5 5 Dos taneme tedy pět kořenů : z z z z z 0 0 cos6 isin 6, cos08 isin08, cosπ + i sin π, cos 5 i sin 5, cos i sin.. i 7
8 8. Vektory a matice.. Sečtěte vektory a [,, ], b [,, ] a+b.. Odečtěte vektory a [,, ], b [,, ] a-b b-a [,, ] + [,, ] [ +,, + ] [,, 0] Platí tedy: [,, ] [,, ] [, +, ] [, 6, ] [,, ] [,, ] [,, + ] [, 6, ] a-b - (b-a).. Určete vektor v a, je-li a [,-5,,9,-7] v [, 5,,9, 7] [. 0,,8, ].. Určete vektor v -a-0b, je-li a[,,-] b[0,,9] [ ] v -a-0b -[,,-] -0[0,,9] -9,-6,.. Jsou dány čtvercové matice A,B,C 0 A 5 B 6 5 C a) vypočtěte A+B A+B b) vypočtěte B-A 0 6 B - A c) vypočtěte.c C d) vypočtěte A-B+C 8
9 9 0 0 A-B+C e) vypočtěte (A+B)-(B-A)-A (A+B)-(B - A)-A Vypočtěte A+E,je-li A , 0 E A+E Vypočtěte A+B, je-li a c -a b A, B d b c -b a c -a b 0 c+b A+ B d b + c -b d+c 0 9
10 0.. Vypočtěte součin matic A. B a B. A, jestliže A, B ( 5).( ) ( 5). 7.7 A.B ( ).+ 9.( ) +.5 ( ) ( ).( 5) B.A. ( )..( ) ( ).( 5).9 ( ) ( ) 5.( 5) Přesvědčeme se, že platí A. E E. A A je-li E jednotková matice stejného řádu jako matice A, -7 která je tvaru A ( 7) A.E. A ( 7) E.A. A ( 7) Vypočtěte součin matic A. B a B. A, jestliže A B A.B B.A
11 .. Vypočtěte součin matic A. B a B. A, jestliže A [ 5 -] B - A.B [ ] [ ] 0 6 B.A -.[ 5 - ] Vypočtěte součin A, A, je-li A - 6 A A,A A A,A.A.. A.A Vypočtěte součin matic A.B, kde A 0, B AB
12 .. Vypočtěte hodnost h(a) matice A, je-li A /() 0. ř A 7 5 ~ (. ř).( ) ~ /() (. ř).( 5) 0 0 ~ 0 5 ~ 0 5 h(a) 0 5vynech... Vypočtěte hodnost h(a) matice A, je-li - A - -. ř - A.(. ř) ~ ~ (. ř +. ř) 0 0vynech ř 0 0 vynech. h(a).. Rozhodněte, pro které číslo a má matice A hodnost h(a) - 0 A 0 a - 0. ř. ř. ř A. ř ~ 0 a. ř ~ 0 a. ř ~ 0 a 0 a. ř (. ř) 0.(. ř) 0 0 a 9 h(a) jen pro a 0, tedy pro a
13 5. Determinanty 5.. Vypočtěte hodnotu determinantu dta e 5 6 det A ( ).( 6) ().(5) Vypočtěte hodnotu determinantu a det A e c g a c det A ag. ce e g. 5.. Vypočtěte hodnotu determinantu + i + i det A i i + i + i det A ( + i).( i) ( + i).( i) (+ 9) (+ ) i i 5.. Vypočtěte hodnotu determinantu 0 det E det E Vypočtěte hodnotu determinantu sin cos detc cos sin sin cos det C sin.sin cos.( cos ) sin cos cos sin 5.. Vypočtěte hodnotu determinantu pomocí Sarrusova pravidla ( ) ( 7).( 9) ( 9) ( ).( 7)
14 5.. Vypočtěte hodnotu determinantu a b c b c a c a b pomocí Sarrusova pravidla a b c b c a acb bac cba ccc bbb ccc abc c b a c a b.cos sin Vypočtěte hodnotu determinantu det J(r,,z) rsin rcos cos sin 0 det J(r,,z) rsin rcos 0 cos.( rcos ).+ sin ( rsin ) r r r r 0.( cos ).0 cos.0.0 sin.(.sin )..cos sin r.(cos sin ) r. r + T 5.. Přesvědčete se, že determinant matice A a transponované matice A mají stejnou hodnotu, - když matice A Původní matice - A , transponovaná matice T A - 5 0, - det A det A T
15 Vypočtěte hodnotu determinantu.řádu det D pomocí Laplaceovy věty o rozvoji determinantu a to podle.řádku det D.( ). ( 7).( ). + 6.( ).( ) 7.( ) ( ) Přesvědčete se, že různé rozvoje dají stejnou hodnotu determinantu. Rozviňte determinant.řádu podle.řádku a podle.sloupce ( ). 0 +.( ) ( ).( ) ( ) ( ) + ( ) ( ). 0 +.( ).0 +.( ) ( ).( ).( )
16 6 5.. Rozvojem dle řádku samých nul se přesvědčete, že hodnota determinantu A, jehož řádek (sloupec) obsahuje samé nuly má nulovou hodnotu det A det A 0.( ). 0 0.( ). 0 0.( ). + 0.( ) Úpravou na trojúhelníkový tvar vypočtěte hodnotu determinantu det D 0 0. ř. ř det D 0. 0.(. ř). 0.( ). 0. ř 0 0.(. ř) 0 + ( )(. ř ) 0.( ). 0.( ) Zkouška pomocí Sarrusova pravidla : ( ) ( ) + 0 6
17 7 5.. Úpravou na trojúhelníkový tvar vypočtěte hodnotu determinantu ř 7. ř (. ř) 0 0. ř ( 5).(. ř) (. ř) (. ř) (. ř) 7. ř 7. ř 0 0. ř 0 0. ř ř ř (. ř) (. ř) ( ) Přesvědčete se, že hodnota determinantu A a determinantu transponované matice k matici A je stejná. a c det A a.( a) cb. a cb. b a a T det A.( ).. c b a a bc a cb a 5.. Přesvědčete se, že výměna dvou po sobě jdoucích řádků způsobí změnu znaménka. det A 9 0 Výměna prvých dvou řádků: det A
18 8 6. Řešení soustav lineárních rovnic 6.. Řešte soustavu lineárních rovnic A.XB pomocí Gaussovy eliminační metody y+ z 8 + 5y z 0 7 y+ 7z 5 8. ř 8. ř (,5).(. ř) ~ 0 9,5 7. ř ~ 0 9, (,5).(. ř) 0 9,5 ( ). (. ř) Protože matice soustavy má hodnost h(a) a rozšířená matice soustavy má hodnost h(a B), nemá soustava A.XB dle Frobeniovy věty řešení 6.. Řešte soustavu lineárních rovnic A.XB pomocí Gaussovy eliminační metody + y z 5 y+ 5z 6 5. ř 5 ~ ( ).(. ř) Matice soustavy i rozšířená matice soustavy mají hodnost h (A)h (A B), počet proměnných n. Podle věty Frobeniovy je n-h (A) proměnná volitelná. Zvolme tedy z t. Pak ze soustavy plyne zt y (t + 9) ( t+ 6), 0 5 kde t je libovolné reálné číslo. 8
19 9 6.. Řešte soustavu lineárních rovnic A.XB pomocí Gaussovy eliminační metody 5 9y+ 5z y+ z 0 + y+ z ř 0. ř 0. ř ~ (. ř) ~ (. ř) ~.(. ř) 0 7.(. ř) 0. ř 0. ř ~ 0 0. ř ~ 0 0. ř (. ř) (. ř) zpětný chod : z 5 y 0 z + y 5+ 7, když dosadíme vypočtené hodnoty y a z. 6.. Řešte soustavu lineárních rovnic A.X0 pomocí Gaussovy eliminační metody ř. ř. ř 7 5.(. ř) 0 7. ř ~ ~ 0-7.( ) 6 0 (.) ř 0 7.(.) ř ~ ().(. ř) (. ř) 0 7 ( vynech) +. ř 0 7. ř ~ 0 7, 0 0 / ( ) 0 0 h (A)h (A B)n, soustava má triviální řešení 0 9
20 Řešte soustavu lineárních rovnic A.XB pomocí Gaussovy eliminační metody h(a), h(a/ B), n, tedy jednu proměnnou volíme jako parametr t t 0.( t ). t t Pomocí Cramerova pravidla řešte soustavu lineárních rovnic + y+ z 7 y+ z 5 + y+ z det(a) , det(a) 0, tedy soustava má právě jedno řešení 7 det(a ) 8 det(a) 8 7 det(a y ) 0 det(a y ) y 0 det(a) 8 tedy det(a ) det(a ) 6 det(a) 8 tedy y 0 Z det(a z ) z tedy z 0
21 7. Polynomy a jejich podíl 7.. Rozložte polynom + + na součin kořenových činitelů ( + ) + ( + ) ( + )( + ) nebo ± 9 8 ± ,,.( ).( ) ( )( ) 7.. Rozložte polynom na součin kořenových činitelů. + ( ) +.( ).( + ) + ( )( + + ) ( ).( + ) 7.. Rozložte polynom + 7+ na součin kořenových činitelů ( + ).( + ) 7.. Rozložte polynom na součin kořenových činitelů ( ) ( )( + + ) 7 ( ) ( )( 7 ) ( )( 5 ) ( )( )( ) 7..5 Rozložte polynom + na součin kořenových činitelů. + + ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( + ) 7.. Užitím Hornerova schematu rozložte na součin kořenových činitelů ( )( ) ( )( )( 6) + + ( )( ) ( )
22 7.. Užitím Hornerova schematu rozložte na součin kořenových činitelů ( )( + )( ) Rozložte racionální lomenou funkci f ( ) ( + )( + ) na parciální zlomky A B + ( + )(+ ) + +.( + )( + ) A(+ ) + B( + ) ( A+ B) + ( A+ B) A+ B, A+ B 0 tedy A, B + ( + )(+ ) Rozložte racionální lomenou funkci f( ) ( ) na parciální zlomky A B C D A B C A B C D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( 6 + 8) + ( + ) + ( ) + D vyřešením soustavy pro ABCD,,, dostaneme A, B 0, C, D ( ) ( ) ( )
23 7.. Rozložte racionální lomenou funkci f( ) na parciální zlomky 8 A B +.( 7)( ) A( ) + B( 7) užijeme dosazovací metodu 6 B( 7) B 7 56 A(7 ) A Rozložte racionální lomenou funkci f( ) na parciální zlomky + A B+ C ( + )( + ) + A ( + ) + ( B+ C)( + ) ( A+ B) + ( A+ B+ C) + ( A+ C).( + ) A+ B 0 A+ B+ C 0 A, B, C A + C Rozložte racionální lomenou funkci f( ) + ( + ) na parciální zlomky + A+ B C+ D +.( + ) ( + ) + ( + ) A B C D + ( + )( + ) + + A B A C B + ( ) + ( ) + ( + ) + ( + D) A B 0 A + C C, D B + D + + ( + ) + ( + )
24 8. Geometrické vektory uur r uur r 8.. V trojúhelníku ABC je AB a, BC b, S je střed strany BC, T těžiště trojúhelníka. r r uur uur uur P omocí vektorů a a b určete vektory AC, AS, AT. uur uur uur r r uur r r uur uur r r A C AB + BC a + b, AS a + b, AT AS a + b r 8.. Určete projekci vektoru a na přímku p, je-li dáno r r π ϕ, a. ap a.cos ϕ, proto ap.cos Jaké musí být číslo, aby dané dva vektory a i + 5 j, b i j r π r byly kolineární. r r Musí platit a k. b 5 j k. j k 5. Tedy je k. ( 5). 5. r r r 8.. Vyšetřete, zda dané tři vektory a k, b i j k, c i j+ k Jestliže ano, nalezněte vztah mezi nimi. jsou komplanární. Pro závislost musí platit , tedy musíme řešit soustavu tří lineárních rovnic : 0. m+. n+. p 0 0. m. n. p 0. m. n+. p 0 Z prvních dvou rovnic plyne p r r r r m a nb pc Dané tři vektory jsou komplanární. n - a, dosazením do třetí rovnice je m. r r 8.. Vynásobte skalárně vektory a (i j), b ( i+ j). r r ab. (i j).( i+ j). + ( ) Vynásobte skalárně vektory r r ab i j k i j k r a i+ j+ k, b i+ j+ k. ( + + ).( + + ).( ) r.
25 5 r r 8.. Určete úhel vektorů a i+ j, b i+ 5j. r r a i+ j, b i+ 5j r r ab..+.5 cosϕ r r a. b π tedy ϕ r 8.. Zjistěte, zda vektory a i 5 j+ k, b i+ j+ k jsou na sebe kolmé. r a i 5 j+ k, b i+ j+ k r r ab.. + ( 5) π cosϕ r r 0 ϕ a. b + ( 5) Tedy vektory jsou na sebe kolmé. r r 8.. Určete vektorový součin vektorů a i j+ k, b i+ j k. r r a b (i j+ k) ( i+ j k) i j k i j+ k k i+ 8j 0i+ 7j+ k r 8.. Vypočtěte a b r a určete geometrický význam vypočtené hodnoty, je-li r r a i+ j, b j+ k r r a b (i+ j ) ( j+ k) i j k 0 6i+ 0+ 6k 0 0 j 6i j+ 6k 0 r r a b ( ) 6 88 Geometrický význam je obsah rovnoběžníka z uvedených vektorů. 5
26 6 r rr 8.5. Vypočtěte hodnotu smíšeného součinu abc, jsou-li vektory dány r r r a i j+ k, b i+ j k, c i+ j+ k rrr r r r r r r abc ( a b) c c.( a b) a a a nebo b b b c c c c c c a a a b b b Zjistěte, zda zadané vektory jsou komplanární r r r a i j+ k, b i+ j k, c 7i+ j k rrr r r r abc ( a b) c Tedy zadané vektrory jsou komplanární Vypočtěte objem rovnoběžnostěnu ABCDEFGH, jsou-li dány vrcholy A[,0,], B[-,-,7], C[0,-,-], E[6,5,]. uuuuruuuuruuuur Objem je dán jako smíšený součin tří vektorů AB AC AE uuuur uuuur uuuur AB (,, ), AC (,, 7), AE (, 5, 0) Vypočtěte objem čtyřstěnu ABCD, jsou-li dány body A[,,], B[-,0,0], C[0,-,0], D[0,0,-]. Objem čtyřstěnu ABCD je dán jako uuuuruuuuruuuur AB AC AD. 6 uuuuruuuuruuuur AB AC AD ( ) uuuuruuuuruuuur AB AC AD 6 6
27 7 9. Analytická geometrie v prostoru 9.. Napište rovnici roviny, která je určena body A[,-,], B[-,5,6], C[7,8,-9]. ) Jeden způsob řešení: Normálový vektor n je kolmý k vektorům AB (r r ) c(-5,7,) a AC (r r ) b(6,0,-), i j k Tedy n b c 6 0 i + j +9 k (,,9). 5 7 Rovnice hledané roviny je (r r ).n0, tedy (-,y+,z-). (,,9)0. Tedy rovnice je tvaru 57+y+6z -50. ) Druhý způsob řešení: V kartézské soustavě souřadnic má rovnice hledané roviny tvar y+ z 5 7 8( ) 50( z ) + 8( y+ ) 6 0 ( z ) 0( ) 60( y+ ) y 9z y+ 6z 5 0 Tedy rovnice je tvaru 57+y+6z Určete rovnici roviny, která prochází body M[,,5 ] a N[-6,7,] a je kolmá k rovině - y +z 50. Vektor n normály hledané roviny je kolmý k vektoru MN (r r )(-9,,-) a k normálovému vektoru n (,-,) dané roviny, a proto je n (r r ) n. Rovnice hledané roviny je pak (r- r ). n 0 respektive (r- r ). n 0. i j k n 9 i + 0 j + k (,0,) (r- r ) (-,y-,z-5), (r- r ) (+6,y-7,z-) pak rovnice je tvaru (-)+0(y-)+(z-5)0, nebo (+6)+0(y-7)+(z-)0. Po úpravách dávají obě rovnice týž výsledek + 0y + 7z Napišme obecnou rovnici roviny, která je určena parametrickými rovnicemi u + v, y + u - v, z u + v. Z daných tří rovnic vyloučíme nejprve parametr u. Dostaneme + y 5 - v, z + y 7 7v. Vyloučením parametru v z těchto dvou rovnic dostaneme -7-0y + z -8, Po úpravě je obecný tvar rovnice roviny 7 + 0y z
28 8 9.. Napište parametrické rovnice roviny určené třemi body A[,-,5], B[-5,7,], C[,,-5]. Platí AB s(-8,,-), AC t(-,8,-0). Tedy parametrické rovnice jsou - 8u - v, y - +u + 8v, z 5 - u -0v. 9.. Určeme vzdálenost bodu T[,6,] od roviny + 0y + 7z Ze vzorce o vzdálenosti plyne v ( Určete úhel rovin + y + z + 0 a - 5y - z + 0. Jde o ostrý úhel, který svírají normály obou rovin. Vypočteme jej pomocí skalárního součinu těchto normálových vektorů n (,,) a n (,-5,-). cos ϕ nn. 5 8 n. n Napište rovnici přímky dané dvěma body M[,9,] a N[5,,]. Směrový vektor přímky MN s(5-,-9,-)s(,-6,8). Parametrické rovnice přímky jsou + t, y 9 6t, z + 8t. nebo 5 + t, y 6t, z + 8t. Vyloučením parametru dostaneme kanonický tvar rovnice přímky y 9 z 5 y z nebo Přímku můžeme také určit jako průsečnici dvou rovin. Rovnice dostaneme vyloučením parametru t z parametrických rovnic, takže daná přímka je dána vždy dvojicí rovnic : +y, y + z 5 nebo +y, 8 z 7 nebo y + z 5, 8 z Napište rovnici přímky, která je rovnoběžná s přímkou p, určenou body A[,,], B[7,,] a prochází bodem C[-,5,9]. Směrový vektor dané přímky je AB s(7-,-,-) s(5,,-). + y 5 z 9 Kanonické rovnice mají tvar, 5 Nebo jako průsečnice dvou rovin 5y + 0 a + 5z 9 0 8
29 Vypočtěte vzdálenost bodu M[,-5,-] od přímky y + z. 7 6 Bodem M proložíme rovinu kolmou k zadané přímce. Obecná rovnice roviny je tvaru 7(-) + 6(y+5) + (z+) 0, úpravou 7 + 6y + z Přímku vyjádříme jako průsečnici dvou rovin ve tvaru 6 7y 7 a 7z -. Řešíme tedy soustavu tří rovnic o třech neznámých 7 + 6y + z y 7 7z -, která má právě jedno řešení 9 9 P[,, ], což je průsečík přímky s rovinou Vzdálenost bodu M od zadané přímky je vzdáleností bodů M a P v MP ( ) ( 5) ( ) Zjistěte vzájemnou polohu přímky p: t +, y t, z t + a roviny ρ : y z 0 Dosazením z rovnice přímky do rovnice roviny dostaneme t + ( t ) (t + ) 0 t 0 t 0 tedy přímka p leží v rovině ρ 9.5. Určete úhel přímky p : t +, y t +, z, který svírá s rovinou ρ : + y + z 0. Normálový vektor roviny je: n r (,,), směrový vektor přímky je : s r (,,0). Tedy úhel ϕ, který svírá přímka s rovinou získáme z rovnice sin ϕ r r ns. r r n. s odkud plyne ϕ π Vypočtěte ostrý úhel dvou rovin ρ : + y + z, τ : y + z Ostrý úhel dvou rovin je ostrý úhel jejich normál, tedy platí co sϕ π ϕ r r nρ.nτ r r n. n ρ τ ( ) + 9
30 0 0. Funkce jedné proměnné 0.. Určete sudost, lichost a periodičnost funkcí : a) f ( ) 6.sin b) f ( ) c) f ( ) ( ) Zadané funkce mají tyto vlastnosti : a) f ( ) 6.sin (-) -6.sin - f ( ) f( + π ) 6.sin (+ π ) 6.sin f ( ) lichá funkce periodická funkce b) f ( ).( ).( ).( ).( ) polynom není periodická funkce - f ( ) lichá funkce ( ) ( + ) c) f ( ) - f ( ) ( ) ( + ) f ( ) f ( ) eponenciální funkce není periodická funkce není lichá funkce není ani sudá funkce 0.. Určete definiční obor funkce f ( ) ln( ) Zadaná funkce je posunutý přirozený logaritmus o jedničku doprava. Pro argument této funkce platí nerovnice ( ) > 0 > (, ) Tedy D( f) { ; > } 0
31 0.. Určete definiční obor funkce f ( ) arcsin Složená cyklometrická funkce má za argument polynom.stupně. Tento argument je tedy určen nerovnicí 6 6,6 Definiční obor D( f) { ; 6} 0.. Určete definiční obor funkce f ( ).ln f( ).ln je součin dvou funkcí f, která má D(f ) < 0. ), a f ln, která má D(f ) (0, ). D(f)D(f ) D(f ), tedy D(f) < 0. ) (0, ) (0, )
32 . Limita a spojitost n + an n n+ n li m an lim lim + lim lim+ lim + 0 n n n n n n n n n n.. Vypočtěte limitu posloupnosti { a n }, jestliže.. Vypočtěte limitu posloupnosti { a n }, jestliže a n n n+ n + n n+ lim an lim ( v čitateli je polynom n n n + nižšího stupně než ve jmenovateli, proto limita)0.. Vypočtěte limitu lim( + ) lim( ) lim lim lim (lim ) lim lim n ebo přímo dosazenim do polynomu + + π.. Vypočtěte limitu lim( ).(sin ) lim( ).(sin π ) lim( ).lim(sin π ) ( ).sin π.. Vypočtěte limitu lim ( )( + ) ( + ) lim lim lim + ( )( ) ( ) ( )( + ) ( + ) lim lim ( )( + ) ( + )
33 .. Vypočtěte limitu cos sin lim cos π cos + sin (cos sin ) (cos sin ) lim lim lim π cos π cos sin π (cos sin )(cos + sin ) lim π (cos + sin ) +..5 Pomocí vztahu sin lim vypočtěte limitu 0 sin 5 lim 0 sin 5 sin 5 sin 5 li m 5.lim protože lim Vypočtěte jednostrannou limitu pomocí substituce a-t (resp.a+t) Výpočet: a) lim b) lim + a) ( t) t t lim lim lim lim lim t 0 ( t) t 0 t t 0 t t 0 b) ( + t) t t lim lim lim lim lim + t 0 ( + t) t 0 t t 0 t t 0.. Vypočtěte jednostrannou limitu lim ( 5) lim( 5) lim(( t) 5) lim( t) lim t 0 t 0 t 0.. Vypočtěte nevlastní limitu lim ln( ) ( t) t lim lim lim ln( ) ln(( t) ) ln( t) t 0 t 0 ( + t) + t lim lim lim + ln( ) ln(( + t) ) ln( + t) + t 0 t 0
34 .. Vypočtěte nevlastní limitu lim 9 ( t) 5 t lim lim lim ( t) 6t t t 0 t 0 ( + t) 5+ t 5+ t lim lim lim lim 9 9 ( + t) 6t t 6t+ t + t 0 t 0 t 0 lim +.5. Vypočtěte limitu funkce v nevlastním bodě + lim lim t lim t lim + + t + t + t t + t 0 t 0 t 0.5. Vypočtěte limitu v nevlastním bodě lim + lim + lim + + lim + : 0 lim :.0.5. Vypočtěte pomocí vztahů lim( + ) e resp. lim( + ) 0 e limitu v nevlastním bodě lim( + ) X X z z lim( + ) lim( + ) ( lim( + ) ) e z z z z.5. Vypočtěte pomocí vztahů e lim resp. lim ln 0 0 a e a limitu lim 0 e li m z e e lim. lim. z 0 0 z 0
35 5.6. Zjistěte, kde je nespojitá funkce f ( ) ( ) f( ) j ( ) e racionální funkce, která není definovaná v nulovém bodě jmenovatele 0, ale je definovaná v levém i pravém okolí tohoto bodu. Tedy funkce v bodě není spojitá..6. Zjistěte, kde je spojitá funkce f ( ) sin( + π ) f( ) sin( +π ) π je goniometrická funkce sin posunutá o se základní periodou π. Je definována pro všechna reálná čísla. Jde tedy o funkci spojitou v R. 5
36 6. Derivace funkce.. Vypočtěte.derivaci funkce f ( ) 6.sin f ( ) 6.cos.. Vypočtěte.derivaci funkce f ( ) e.ln f ( ) e.. Vypočtěte.derivaci funkce f ( ) f ( ) ( ) (5 ) ( ) + (8 ) (7 ) (6) Vypočtěte.derivaci funkce f ( ).( + ) 7 f ( ) (.( + )) (.. + ) ( + ) Vypočtěte.derivaci funkce f ( ) 0 5log f ( ) (0 5log ) (0 ) 5.(log ) 0.ln0 5.. ln.. Vypočtěte.derivaci funkce f ( ) ( ) ( ).( + + ) ( ) ( ).( ) ( ).( ) ( ).( ) f ( ).( ) ( ).( ) Vypočtěte.derivaci funkce f ( ) sin.cos f ( ) (sin.cos ) (sin ).cos + sin.(cos ) cos.cos + sin.( sin ) cos sin cos 6
37 7.. Vypočtěte.derivaci funkce f ( ). + arcsin f ( ) (. arcsin ) (. ) (arcsin ) ( ). +.( ) + (arcsin ) ( ) + +.( ).. Vypočtěte.derivaci funkce f ( ) ( ).( ) ( ).( ) f ( ) ( ) + ( ) ( ).( ).( ) ( ) e... Vypočtěte.derivaci funkce f ( ) sin e ( e ).sin e.(sin ) e.sin e cos f ( ) sin (sin ) sin e.(sin cos ) sin.. Vypočtěte.derivaci funkce f ( ) ln + ln ( ).(+ ln ) ( ln ).( ) ln ( ln ).( + ln ) ( ln ).(+ ln ) f ( ) + ln ( + ln ) ( + ln ) ( ).((+ ln ) + ( ln )) (+ ln ) (+ ln ).(+ ln ).. Vypočtěte.derivaci složené funkce f ( ) sin f ( ) (sin ) cos.( ) cos.( ) cos 7
38 8 5.. Vypočtěte.derivaci složené funkce f ( ) arccos 5 5 f ( ) arccos ( 5) 9 ( 5).. Vypočtěte.derivaci složené funkce f ( ) e + f ( ) ( e + ) ( e + ).( + ) e Vypočtěte.derivaci složené funkce f ( ) arctan(5 ) (5 ) 5 5 f ( ) (arctan(5 )) (5 ) Vypočtěte.derivaci složené funkce f ( ). ln.n l f ( ) ( ) ( e ) ( e ).(( ).ln+ (ln ) ) ( ).(ln +. ) ( ).(ln + ).( ).(ln + ).5. Vypočtěte.derivaci složené funkce f ( ) sin f ( ) (sin ) cos f ( ) ( co s ) sin.5. Vypočtěte.derivaci složené funkce f ( ) e e e f ( ) e e + e e + e e e f ( ) 8
39 9.5. Vypočtěte derivaci složené funkce f( ) f( ).( ).( ) ( + + ) f ( ) ( ) ( ) ( ).5. Vypočtěte. derivaci složené funkce f ( ) 5 f ( ) 5 f ( ) 5 f ( ) 0 f ( ) 0.6. Vypočtěte.a. derivaci funkce zadané svými parametrickými rovnicemi ( t + ), y. t t + & t && ( ),, y. t, y& 6 t, && y t y& 6t y y t & t y& y.. y t.t.6t t y ( )& && & && & y & & ( t) 8t t.6. Vypočtěte.a. derivaci funkce zadané svými parametrickými rovnicemi cos t, y sin t cos t, & sin t, && cost y sin t, y& cos t, & y sin t y& cost y y cot t & sin t y& && y. & &&. y& y ( )& ( sin t).( sin t) ( cos t).(cos t) y & & ( sin t) sin t cos + t sin t sin t 9
40 0. Taylorova věta a aplikace.. Vypočtěte diferenciál df ( ) funkce f( ) ( ) df ( ) ( ) ( ( ) ( ) f ( ). d d.ln) d π.. Vypočtěte diferenciál df ( ) funkce f( ) cos v bodě 0 π df ( 0 ) f ( 0).( 0) (cos ) ( 0 ).( ) π π π. ( sin( π π )).( π) 0.( π) 0.. Vypočtěte druhý diferenciál d f( ) funkce f ( ) tan. cos d f( ) f ( ).( d) (tan ).( d) ( ).( d) ( d) sin sin.. Vypočtěte Taylorův rozvoj.stupně funkce f( ) v bodě 0 f( ) ( ) f() f ( ) ( ).( ).( ) f () ( ) ( ) f ( ) ( ).( ).( ) f () ( ) ( ) f ( ).( ).( ).( ) f () ( ) ( ) 6 8 f () f () f () f () + ( ) + ( ) + ( )!!! 8 + ( ) + ( ) + ( ) 6 + ( ) ( ) + ( ) 8 6 0
41 .. Vypočtěte Maclaurinův rozvoj funkce f ( ) cos f( ) cos f(0) f ( ) sin f (0) 0 f ( ) cos f (0) f ( ) sin f (0) 0 f ( ) cos f (0) f (0) f (0) f (0) f (0) cos f(0) !!!! Zjistěte, kde funkce f ( ) je rostoucí, klesající, a kde nabývá svého lokálního minima a maima. ( ) f ( ) 0 f stacionární body.( ) 0.( ).( + ) 0, f( ) 9 > 0 f(0) < 0 f() 9 > 0 V intervalu (-,-) funkce roste, v intervalu (-,) funkce klesá, v intervalu (, ) funkce roste. Bod - je bodem lokálního maima, bod bodem lokálního minima... Zjistěte, kde funkce f ( ) e je rostoucí, klesající, a kde nabývá svého lokálního minima a maima. f( ) e f ( ) e > 0 f ( ) > 0.derivace je stále kladná funkce je rostoucí na celém definičním oboru D(f) R, nemá žádné etrémy.. Zjistěte, kde funkce f( ) + je rostoucí, klesající, a kde nabývá svého lokálního minima a maima. f( ) f ( ) < 0 + ( + ) Funkce je tedy po částech rostoucí na intervalech (-,-), (-, ) s vyjímkou bodu -, kde f() není definovaná
42 .. Zjistěte inflení body, konvenost a konkávnost funkce f( ) ( ).. f f f ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) 6( ) f ( ) 0 6( ) 0 f (0) 6 < 0, f () 6 > 0, tedy je inflení bod na intervalu (-,) je funkce konkávní (pod tečnou) na intervalu (, ) je funkce konvení (nad tečnou).. Zjistěte inflení body, konvenost a konkávnost funkce f( ) ln( ). f( ) ln( ) f ( ) f ( ) ( ) Na D(f)(, ) je funkce konkávní, inflei nemá. < 0.5. Nalezněte tečnu a normálu k funkci 8 f( ) v bodě T(,?) f( ), f ( ) + + Rovnice tečny Rovnice normály ( ) 8 f(), f () + ( + ) 6... y-f( ) f ( ).( ) y-f( ).( ) 0 0 f ( 0 ) t: y ( ) + y 0 n: y.( ) y 0 0
43 .5. Nalezněte tečnu a normálu k funkci zadané parametrickými rovnicemi at at, y v bodě t. + t + t at at 6a a a a, y () y() + t + t 9 9 a.( + t ) at.t 6 at.( + t ) at.t &, y& ( + t ) ( + t ) 6 at.( + t ) at.t y& ( + t ) 6at at at.( t ) t. ( t ) y &.( a + t ) at.t a 6at.( a t ) ( t ) ( + t ) y () 5 t : 5y+ a 0 n: 5+ y 6a 0.6. Pomocí L Hospitalova pravidla vypočtěte limitu cos sin lim. 0 cos sin cos sin cos sin sin lim lim lim lim Pomocí L Hospitalova pravidla vypočtěte limitu e e lim 0 sin e e e + e e + e e e li m lim lim lim 0 sin 0 cos 0 sin 0 cos.7. Vyšetřete průběh funkce f( ) + +
44 , tedy D(f)(-,) (, ) ( ) f ( ),, kořeny, ( ) lokální minimum + na intervalech (-, + ),(,), (, ) je klesající na intervalu (, ) je rostoucí ( ) + f ( )., kořeny, inflení bod ( ) konvení na intervalech (-, + ), (, ), (, ) konkávní na intervalu (,) + Asymptota bez směrnice :, lim f( ), lim f( ) +.7. Vyšetřete průběh funkce f ( ) + Funkce je lichá funkce, definovaná v R. Nulové body má 0, ±. Lokální minimum je y- v bodě -, lokální maimum je y v bodě. Je klesající na intervalech (-,) a (,+ ),rostoucí na intervalu (-,). Inflení bod je 0, na (-,0) je konvení, na (0, ) je konkávní. lim lim f( ) +, f ( ), +
45 5.5. Vyšetřete průběh funkce f( ) + Všude definovaná, nezáporná, sudá funkce. Nulové hodnoty nabývá v bodě 0. Lokální minimum v bodě 0, na (-,0) je klesající, na intervalu (0, ) rostoucí. - Inflení body jsou [, [, ], ]. - - V intervalech (-, ) a (,+ ) je konvení, v intervale (, ) konkávní. lim f( ) lim f( ), asymptota se směrnicí je tedy y..5.5 Vyšetřete průběh funkce ln f( ) D(f)(0,+ ), nulový bod. Lokální maimum y v bodě e, na (0,e ) je rostoucí, na (e, + ) klesající. e e Inflení bod [ e, ],na intervalu (0, e ) je konvení, na intervalu ( e,+ ). lim Asymptoty : bez směrnice - f( ), tedy 0, 0+ lim se směrnicí - f( ) 0, tedy y
46 6.7. Vyšetřete průběh funkce f ( ) arctan Funkce je všude definovaná, nezáporná a sudá. Nulové hodnoty nabývá v bodě 0, minima nabývá v bodě 0, na intervalu (-,0) je klesající, na intervalu (0, ) je rostoucí, funkce nemá inflení body a je stále konvení. π Asymptoty bez směrnice nejsou, asymptoty se směrnicí jsou y- pro -, π y pro..5.6 Vyšetřete průběh funkce cos f( ) arccos D(f)(-,0> <, ), nulový bod 0. Platí y - (0) y + ( ). Lokální minimum y0 v bodě 0, lokální maimum y π v bodě, na intervalech (-,0) a (, ) je klesající. Na intervalu (-,0) je funkce konkávní a na intervalu (, ) je konvení. π Asymptota se směrnicí y pro + i pro -. 6
47 7.5.7 Vyšetřete průběh funkce f ( ) X D(f)(0, ), funkce je kladná, nulový bod nemá. e Lokální minimum y( ) v bodě e e Na intervalu (0, ) je klesající, na intervalu (, ) je rostoucí. e e Na celém definičním intervalu je konvení. lim 0+ lim f ( ), f( ) Vyšetřete průběh funkce f ( ) e sin D(f)(-, ), spojitá, ani sudá ani lichá. π Nulové body jsou k, kde k je celé číslo. - V bodech, kde tan( ), má lokální etrémy, inflení body v, pro něž tan( ). 5 7
48 8. Primitivní funkce.. Užitím základních vzorců integrujte: 5 5 ( ) d d + d d + d + d C C Užitím základních vzorců integrujte: cos (sin ) d sin d cos d cos sin C Užitím základních vzorců integrujte: d arctan + C Užitím základních vzorců integrujte: cos d ln sin + C sin.. Integrujte pomocí úpravy integrandu: d vydělíme ( + ) d + arctan C Integrujte pomocí úpravy integrandu: d gon. vzorce d d t an + C + cos + cos sin cos.. Integrujte pomocí úpravy integrandu: + cos cos d gon. vzorce d d + cos d + sin + C.. Pomocí substituce integrujte: d sub. t dt t C ( ) d dt ( ) C t + + 8
49 9.. Pomocí substituce integrujte: sub. t d dt e d e dt e C d dt t +... Pomocí substituce integrujte: cos sub. dt cot d d ln t C sin t cos d dt t +... Pomocí substituce integrujte: sub. 5 + t sin(5+ ) d sin tdt cost C cos(5 ) C 5d dt Pomocí substituce integrujte: sin sin cos d sin d sin d + cos + cos + cos sub. cos t t t + dt dt sin d dt t + t + ( t )( t+ ) ( t + ) dt dt + t + t cos t+ ln t+ + C cos + ln cos + + C.. Pomocí per partes integrujte: pp.. u e u e e d e e d e e +C v v.. Pomocí per partes integrujte: pp.. v v ln d. ln d ln d ln + C u ln u 9
50 50.. Pomocí opakované per partes integrujte: pp.. v v sin d cos + cos u sin u cos d pp.. v v cos + ( sin sin d) u cos u sin cos sin cos C.. Pomocí per partes a převedením na rovnici integrujte: e pp.. u e u e cos d e cos + e sin d v cos v sin pp.. u e u e e cos + e sin v sin v cos e cos d e cos + e sin e ( cos cos d e + e sin ) e cos d.5. Integrujte racionální funkci: sub.+ t 5 d dt 5 dt 5 5t 5 d t dt + 6 C ( ) 5 t + t 5d dt 5 + C 6( + ).5. Integrujte racionální funkci: + (+ ) d d d d ( ) d I I ln arctan C Integrál I řešíme podle vzorce I f ( ) d ln f ( ) + c f( ) d ln 0 C 50
51 5 Integrál I řešíme úpravou a substitucí I d d d ( + + ) + 9 ( + ) + 9 t ( + ) dt arctan( ) + C arctan + C (9 + t ) sub. + t d dt.5. Pomocí rozkladu na parciální zlomky integrujte racionální funkci: d d d d I ( ) 6 ( )( + ) ( )(+ ) 9 Rozklad na parciální zlomky: A B C A, B, C ( )(+ ) d d 9 d I ln ln ln C Pomocí rozkladu na parciální zlomky integrujte racionální funkci: I + d ( + + ) + ( + ) d Rozklad na parciální zlomky: + A B C + + { A, B, C 6} ( + ) + ( + ) ( + ) d d d I 6 ln ln + 6 C + + ( + ) + 6 ln ln C + 5
52 5.5.5 Pomocí rozkladu na parciální zlomky integrujte racionální funkci: I d d + ( ) + ) + ( Rozklad na parciální zlomky: A M+ N + + A, M, N ( )( ) ( ) ( ) I d d d d d d d d d d + ln + ln ( + ) + 6 ( ) C ( ) ln arctan Integrujte složenou racionální funkci z goniometrických funkcí: sin sin cos d sin d sin d + cos + cos + cos.cos t t + ( t )( t+ ) dt dt t + t + t + ( ) d d dt + ( t ) dt + t+ t+ t cos t+ ln t+ + C cos + ln cos + + C sub t sin d dt.6. Integrujte složenou racionální funkci z goniometrických funkcí: d sin sin d d ( + cos )sin ( + cos ) sin ( + cos )( cos ) sub. cos t dt sin d dt ( + t)( t ) {...}...pomocí rozkladu na parciální zlomky... dt dt dt ln ln ln + + t + t t+ + t 6t + C t+ 6 (cos+ ) (cos ) ln + C 6 (cos + ) 5
53 5.6. Univerzální metodou integrujte složenou racionální funkci z goniometrických funkcí: sub. tan t, arctan t, d dt + t t sin, cos t + t + t t sin sin( ) sin cos t + t + t + t t cos cos( ) cos sin t + t + + t d dt dt dt sin cos t t + t 6 t + t t + t + t + t dt {...pomocí rozkladu na parciální zlomky... } (t )( t+ ) tan dt dt ln t ln t C ln t 5 C t tan +.7. Integrujte iracionální funkci: t + sub. + t t t d tdt dt t t d dt d t dt dt + dt dt + {...rozklad na parciální zlomky... } ( t )( t+ ) dt dt + + dt + t + ln t + ln t + C + + ln + C t+ t + 5
54 5.7. Integrujte iracionální funkci: + 5 sub. t t t d tdt dt d t dt + t t + t t t dt dt t dt dt t ln t C + + t + t + ln + + C.7. Integrujte iracionální funkci: d d 5 5 ( + + ) + 9 ( + ) sub. + t t dt arcsin + C d dt 9 t + arcsin + C d.8. Integrujte pomocí goniometrických funkcí iracionální funkci: sub. cost 9 d 9 9cos t ( )sintdt 9 sin t sintdt d sintdt cost sint sin tdt 9 dt 9( t ) + C arccos + sin( arccos ) + C arccos + sin arccos arccos cos + C arccos + (cos arccos ) + C 9 arccos C 5
55 55.8. Integrujte pomocí goniometrických funkcí iracionální funkci: + d d d ( + + ) ( + ) sub. + cost sin t sin t cost sin t d dt dt dt dt cos t cos t cos cos t cos t t t arccos cos t + cost cost dt dt cos t sin t ln( ) sub. sint u du {... rozklad na parc. zlomky... } costdt du u du du + sint + ln + u ln u + C ln + C + u u sint + sin arccos + ( ) ln + + C ln + + C {... úpravou... } sin arccos ( ) C 55
56 56 5. Riemannův určitý integrál 5.. Metodou per partes vypočtěte hodnotu určitého integrálu: 0 pp.. u u ln( + ) d [ ln( + ) ] d 0 v ln( + ) v [ ln 0ln] d ln [ ] + [ ln( + ) ] ln Metodou substituční vypočtěte hodnotu určitého integrálu: (pomocí transformací mezí) e e sub. ln t + ln t 9 d d dt ( t) dt t e e t 5.. Metodou substituční vypočtěte hodnotu určitého integrálu: (pomocí dosazení do primitivní funkce) d d ln (ln 5 ln 5) ln Výpočet primitivní funkce: sub. t dt d ln t + C ln C t + ( ) d dt 56
57 57 6. Aplikace Riemannova integrálu 6.. Vypočtěte obsah obrazce omezeného křivkou y, osou a přímkami, 5 b 5 5 P f( ) d d ln ln 5 ln ln 5 a + y 6.. Vypočtěte obsah obrazce omezeného křivkou a osou Průsečíky s osou jsou : + ( + )( ) 0, 0, v intervalu,0 je funkce nezáporná v intervalu 0, je funkce záporná 57
58 58 0 P ( + ) d+ ( + ) d Vypočtěte obsah obrazce omezeného křivkami, y y + Vypočteme souřadnice průsečíků grafů: sub z z + z. 0 ( z+ )( z ) 0 z, z ±,, Integrujeme v intervalu -,, kde +. Proto b ( f( ) g( ) ) d ( ) arctan d 6 + a P π π π arctan arctan( )
59 Vypočtěte obsah obrazce omezeného křivkami + ( y ), y 0 Záměnou závislosti proměnných při průsečících y0 a y obdržíme: 0 y y + ydy ) ( y ) dy y y P 6 6 ( y Vypočtěte obsah P kruhu o poloměru r Kruh je obrazec symetrický dle osy, proto vezmeme dvakrát obsah horní poloviny + y r y + r, y r sub. r cost r 0 π P r d d rsin tdt r r cos t ( rsin t) dt r sin t dt r π 0 r r t π 0 π π cost π sin π r dt r t t r 0 0 r 6..6 Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami, které jsou dány parametrickými rovnicemi t t y t t t ϕ() t t t d & ϕ() t dt ( ) t dt P ψ () t & ϕ() t dt y t t t t t ψ () 0, 5 ( t t )( t) dt ( t t + t ) dt t t + t
60 Vypočtěte délku oblouku rovinné křivky, který má křivka o rovnici ( y ) pod osou rovnice dolní půlkružnice je tvaru y- průsečíky s osou jsou - y, + b ) d + L + ( y ( ) + d d a d sub. cost d sintdt ( 5π π t 6 6 5π π π 6 6 π 5π 5π π sint sin t 6 ) dt ( ) dt dt [ t] π 5π cos t π sin t π Vypočtěte délku oblouku rovinné křivky, který má křivka o parametrických rovnicích t y + t pro t 0, t ϕ() t t & ϕ() t L & ϕ ( t) + ψ& () tdt t 0, y ψ() t + t ψ& () t t 0 0 [ ] + dt 5 dt 5 5( 0)
61 6 6.. Vypočtěte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací obrazce P kolem osy. Obrazec P je omezen křivkami y p,. b V π f ( d ) π pd π p π p( 9 0) 9π p a Vypočtěte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací obrazce P kolem osy. Obrazec P je omezen křivkami y,,. V b f ( ) d π d 6 d 6 6 ( ) π a π π π π 6.. Vypočtěte obsah rotační plochy (plášť rotačního tělesa) vzniklého rotací rovinného obrazce P omezeného přímkami,, osou y 0 a grafem funkce y 9 S b y f( ) 9 π f( ) + ( f( ) ) d, a y f ( ) π 9 d 9 π d 6π d 6 [ ] 6 ( ) 6 π π π 9 6
62 6 6
ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup
VícePro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)
Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o
VíceMatematika I pracovní listy
Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny
VíceSeminární práce z matematiky
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Seminární práce z matematiky Vyšetřování průběhu funkcí Autor: Vyučující: Ondřej Vejpustek RNDr Eva Davidová Ostrava, 0 Taylorův polynom pro
VíceMonotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak
VíceMATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie
MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika BA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 005 () Určete rovnici kručnice o poloměru
VíceMATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro 1. ročník, skupina A 2017/18
MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro 1. ročník, skupina A 2017/18 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,
VícePožadavky ke zkoušce. Ukázková písemka
Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní
VíceMatematika I: Pracovní listy do cvičení
Matematika I: Pracovní listy do cvičení Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Pro FAST upravil Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika AA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika AA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2005 () Jsou dány matice A = AB BA. [ AB BA
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceMATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech
MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 008 0 doplněné o další úlohy. část DIFERENCIÁLNÍ POČET funkcí jedné proměnné Další část ( integrální počet) bude vydána na konci listopadu 9. 9. 0 Případné
VíceFunkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li
VíceMgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
VíceKatedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava.
SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY JIŘÍ BOUCHALA Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 3 Předmluva Cílem této sbírky je poskytnout studentům vhodné
VíceVIDEOSBÍRKA DERIVACE
VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos 3x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y
VícePříklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6
Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly
VíceVIDEOSBÍRKA DERIVACE
VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x. Zderivuj funkci y = e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2
Vícef(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =
Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu
VíceMATEMATIKA I. Marcela Rabasová
MATEMATIKA I Marcela Rabasová Obsah: 1. Úvod 1.1. Osnovy předmětu 1.2. Literatura 1.3. Podmínky absolvování předmětu 1.4. Použité označení a symbolika 2. Funkce jedné reálné proměnné 2.1. Definice 2.2.
VícePRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
VíceFUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální
VíceMaturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
VíceTematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová
Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.
VíceOznačení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x).
9 Využití derivace 9.1 Derivace vyšších řádů Definice 1. Nechť funkce má derivaci v nějakém okolí bodu c D(f). Nechť funkce ϕ() =f () máderivacivboděc. Pak hodnotu ϕ (c) nazýváme derivací 2. řádu (2. derivací)
Více{ } Ox ( 0) 4.2. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Definice Obr. 52. Poznámka. nad tečnou
Konvenost, konkávnost, inflee 4.. Konvenost, konkávnost, inflee Definice 4... Nechť eistuje f ( ), D f. Řekneme, že funkce f ( ) je v bodě konkávní, jestliže eistuje { } O ( ) tak, že platí D : O( )\ f(
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická akulta DRUHÁ SEMINÁRNÍ PRÁCE Z DIFERENCIÁLNÍHO POČTU PRŮBĚH FUNKCE 000/001 Cirik, M-ZT Zadání: Vyšetřete průběh unkce ( ) : y Vypracování: ( ) : y Předně určíme deiniční
VíceNMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 17. února ( sin (π 2 arctann) lim + 3. n 2. π 2arctan n. = lim + 3.
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 3 Celkem bodů Bodů 5 7 0
VíceWikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017
Matematika I - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 7 Obsah Limity a spojitost. l Hôpitalovo pravidlo zakázáno............................ 4. l Hôpitalovo pravidlo povoleno............................
VíceVZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava
VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,
VíceNMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 4. února 2009
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 4 Celkem bodů Bodů 4 4
VíceMATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel
MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní
VíceMaturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008
Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory
VíceMaturitní témata profilová část
Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,
VíceSoubor příkladů z Matematické analýzy 1 (M1100) 1
Soubor příkladů z Matematické analýzy (M00). Opakování. Upravte následující výrazy: 3 3 +3 3 3 6+ (+) 3 [ a+b a b ] ( b ) (a a b a+b b a b a b ) (a b) 3 [(a b) 4 (a+b) 5 ] 6 3 a 4 a 3 a 3 aa 3 (f) 3 +
VíceDERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a
DERIVACE 1. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ) 4. Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2 x
Více2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost
.7. Průběh unkce Všetřit průběh unkce znamená určit ne nutně v tomto pořadí: deiniční obor; sudost, lichost; periodičnost, interval spojitosti a bod nespojitosti, průsečík grau unkce s osami, interval,
Více1 Analytická geometrie
1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice
VíceB) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.
4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti
VíceSystematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.
VíceFUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
VíceMatematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )
Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)
Vícec ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007
20. srpna 2007 1. f = 3 12 2. f = 2 e 3. f = ln Příklad 1. Nakreslete graf funkce f() = 3 12 Příklad 1. f = 3 12 Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován. Příklad 1. f = 3 12 f =
VíceDefinice derivace v bodě
Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +
VíceCVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VícePRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ
Dierenciální počet unkcí jedné reálné proměnné - 5 - PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Cílem vyšetřování průběhu unkce je umět nakreslit její gra Obvykle postupujeme tak že nalezneme její maimální deiniční
VíceMETODICKÝ NÁVOD MODULU
Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH
VíceII. 3. Speciální integrační metody
48 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné II.. Speciální integrační metody Integrály typu f ( x, r x, r x,..., r k x ), tj. integrály obsahující proměnnou x pod odmocninou, kde k N a r,..., r k jsou
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium Studijní program Fyzika obor Učitelství fyziky matematiky pro střední školy
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 013 Studijní program Fyzika obor Učitelství fyziky matematiky pro střední školy Studijní program Učitelství pro základní školy - obor Učitelství fyziky
VíceMaturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy
VíceDiferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy
Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/4.080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím
Více13. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET
. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET Dovednosti: Chápat pojem limita funkce v bodě a ovládat výpočet jednoduchých limit.. Na základě daného grafu funkce umět odhadnout limity v nevlastních bodech a nevlastní
VíceAplikace derivace ( )
Aplikace derivace Mezi aplikace počítáme:. LHospitalovo pravidlo. Etrémy funkce (růst a pokles funkce) 3. Inflee (konávnost a konvenost). Asymptoty funkce (se i bez směrnice) 5. Průběh funkce 6. Ekonomické
VíceVypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Průběh funkce Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Průběhem funkce rozumíme určení vlastností funkce
VíceGymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021
Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:
VíceMgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
VíceNezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky.
Maturitní témata Matematika Školní rok 2016/17 Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Příprava ke zkoušce trvá 15 minut, ústní zkouška
VíceII. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.
Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,
VíceÚvod, základní pojmy, funkce
Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 69 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,
VíceMATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA
MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné
VíceMATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011
MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);
VíceFunkce. Vlastnosti funkcí
FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceDiferenciální počet funkcí jedné proměnné
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceMatematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze
Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii
MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou
VícePraha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
VíceUčební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky
Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace
VíceLOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce
VíceCvičné texty ke státní maturitě z matematiky
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................
VíceMaturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Více2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:
KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 7. prosince 2014 Předmluva
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
VíceZlín, 23. října 2011
(. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,
VíceVýznam a výpočet derivace funkce a její užití
OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat
VíceMATEMATICKÁ ANALÝZA STUDIJNÍ OPORA PRO KOMBINOVANÉ
MATEMATICKÁ ANALÝZA STUDIJNÍ OPORA PRO KOMBINOVANÉ STUDIUM MATEMATICKÁ ANALÝZA RNDr. Vladimíra MÁDROVÁ, CSc., RNDr. Vratislava MOŠOVÁ, CSc., Moravská vysoká škola Olomouc, o.p.s., 8 Moravská vysoká škola
VíceMatematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19
Matematika 1 Jiří Fišer 19. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 19. září 2016 1 / 19 Zimní semestr KMA MAT1 1 Úprava algebraických výrazů. Číselné obory. 2 Kombinatorika, základy teorie
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z ÚVODU DO MATEMATICKÉ ANLÝZY FUNKCE 999/000 CIFRIK Funkce F a) Zadání: Vyšetřete bez užití limit a derivací funkci : y = { x } f Definice:
VíceŘešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,
Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()
VíceCZ 1.07/1.1.32/02.0006
PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI
VíceMATEMATIKA A Metodický list č. 1
Metodický list č. 1 Název tématického celku: Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii
Více