p = mv. (5.1) L = r p, (5.2) i j k L = x y z p x p y p z

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "p = mv. (5.1) L = r p, (5.2) i j k L = x y z p x p y p z"

Transkript

1 5 Moment hybnosti Momentem hybnosti n první pohed nepůsobí jko tém, které by byo pro chemik obzváště pčivé. Ve skutečnosti je e z kvntové teorie pro chemik máo co důežitějšího. V této kpitoe se budeme zbývt výhrdně orbitáním moment hybnosti L, spin odsuneme do kpitoy 6. Povídání o momentu hybnosti zčneme jeho definicí z ksické mechniky. Vybveni prátem zákdních kvntově mechnických operátorů poohy hybnosti, odvodíme operátory pro moment hybnosti komutční rece mezi nimi. Ukážeme, že když operátory komutují, znmená to, že mjí spoečné vstní funkce. Toho dáe využijeme při řešení vstního probému operátorů momentu hybnosti. Pro popis rotčního pohybu nejsou příiš vhodné krtézské souřdnice. Zvedeme si proto vhodnější souřdné systémy ukážeme, jké výhody při řešení probémů s momentem hybnosti poskytují. 5.1 Operátor momentu hybnosti Z ksické fyziky víme, že pohybující se částice o hmotnosti m rychostí v nese hybnost Rotce částice je spojen s momentem hybnosti p = mv. 5.1) L = r p, 5.2) kde r je pozice částice vůči zvoenému počátku. Znménko znmená vektorový součin. Vektor momentu hybnosti pk můžeme zpst ve formě i j k L = x y z p x p y p z, 5.3) kde i, j k jsou jednotkové vektory ve směru os x, y z. Při odvození kvntově mechnického operátoru momentu hybnosti, vyjdeme z toho, že moment hybnosti L je vyjádřen pomocí pozice r hybnosti p, pro které známe přísušné operátory viz vzthy 3.29) 3.28) v kpitoe 3) ˆp = i ˆr = r. 5.4) Doszením operátorů 5.4) do definičního vzthu momentu hybnosti 5.2) získáme operátor hybnosti ˆL = i r ). 5.5) Pro jeho sožky pyne z 5.3) ˆL x = ŷˆp z ẑ ˆp y = i ˆL y = ẑ ˆp x ˆxˆp z = i z x x z ˆL z = ˆxˆp y ŷ ˆp x = i x y y x y z z ), 5.6) y ), 5.7) ). 5.8) 43

2 Při odvození komutčních recí mezi sožkmi momentu hybnosti vyjdeme ze zákdní komutční rece mezi pozicí hybností [q,p q ] = i [q,p n ] = ˆ0, q n, 5.9) kde q i n znčí ibovonou sožku krtézského prostoru. S využitím vzthů 5.9) odvodíme komutční rece mezi sožkmi momentu hybnosti [L x,l y ] = i ˆL z, [L y,l z ] = i ˆL x, [L z,l x ] = i ˆL y. 5.10) Protože je moment hybnosti vektor, můžeme definovt, jko u kždého vektoru, jeho veikost. V kvntové mechnice je užitečné prcovt s kvdrátem veikost. Definujme kvdrát operátoru momentu hybnosti ˆL 2 = ˆL 2 x + ˆL 2 y + ˆL 2 z 5.11) odvoďme komutční rece mezi kvdrátem momentu hybnosti sožkmi momentu hybnosti. Protože ptí [Â2, ˆB] = [Â, ˆB]Â+Â[Â, ˆB], 5.12) můžeme npříkd pro z-ovou sožku momentu hybnosti psát [ ˆL 2, ˆL z ] = [ ˆL 2 x + ˆL 2 y + ˆL 2 z, ˆL z ] = [ ˆL 2 x, ˆL z ]+[ ˆL 2 y, ˆL z ]+[ ˆL 2 z, ˆL z ] = b = [ ˆL x, ˆL z ] ˆL x + ˆL x [ ˆL x, ˆL z ]+[ ˆL y, ˆL z ] ˆL y + ˆL y [ ˆL y, ˆL z ]+ˆ0 = c = i ˆL y ˆLx i ˆL x ˆLy +i ˆL x ˆLy +i ˆL y ˆLx = ˆ ) Úprv oznčená jko pyne z toho, že komutátor je ineární v první rgumentu. Úprv b vychází ze vzthu 5.12) dáe z toho, že [ ˆL 2 z, ˆL z ] = ˆ0, protože operátor komutuje sám se sebou vždy. Úprv c je doszením z dříve odvozených komutčních recí 5.10). Anogicky jko pro z-ovou sožku můžeme komutční rece odvodit i pro osttní sožky [ ˆL 2, ˆL x ] = [ ˆL 2, ˆL y ] = [ ˆL 2, ˆL z ] = ˆ ) Vzth 5.14) má zásdní důežitost, určuje mximání možnou informci, kterou můžeme získt při měření momentu hybnosti kvntové částice, tedy součsně můžeme změřit pouze kvdrát veikosti vektoru momentu hybnosti jednu jeho sožku, konvenčně se voí z-ová sožk. 5.2 Vstní čís operátorů momentu hybnosti V kpitoe jsme uvedi jeden z postuátů kvntové mechniky, že měřením dné veičiny získáme vstní čís přísušná operátoru, který zstupuje měřenou veičinu. Proto výsedkem měření momentu hybnosti budou vstní čís operátoru momentu hybnosti. Vzth 5.14) nám říká, že součsně můžeme změřit kvdrát veikosti momentu hybnosti jeho z-ovou sožku. Protože vstní čís operátorů jsou určená rovnicí vstního probému, zpíšeme si přísušné vstí probémy těchto dvou operátorů ˆL 2 Y = cy ˆL z Y = by, kde Y je spoečná vstní funkce operátorů ˆL 2 ˆL z, protože z kpitoy víme, že když dv operátory komutují, mjí spoečný soubor vstních funkcí, b c jsou vstní čís přísušných operátorů. V odvození níže ukážeme, že vstní čís operátoru kvdrátu momentu hybnosti jsou c = 2 +1) kde = 0,1,2, ) 44

3 vstní čís operátoru z-ové sožky momentu hybnosti jsou b = m kde m = 0,±1,±2,...,±. 5.16) Vidíme, že vstní čís, tj. měřitené hodnoty, nemohou být ibovoné, e nbývjí konkrétních diskrétních hodnot. Říkáme, že moment hybnosti je kvntován. Působení operátorů momentu hybnosti n vnovou funkci můžeme zpst jko ˆL 2 = 2 +1) kde = 0,1,2, ) ˆL z = m kde m = 0,±1,±2,...,±. 5.18) Pro zájemce nyní odvodíme rece 5.17) 5.18). Vrťme se zpět k rovnici 5.14) zpišme si vstní probémy přísušných operátorů ˆL 2 Y m = λ Y m O-1) ˆL z Y m = my m, O-2) kde Y m je vstní funkce operátorů ˆL 2 ˆL z. Abychom si při odvození usndnii zápis vzthů, předpokádáme, že prcujeme v tkové soustvě jednotek, kde můžeme poožit = 1. Nším cíem je odvodit výrzy pro vstní čís λ m. Zveďme nový operátor ˆL 2 x + ˆL 2 y = ˆL 2 ˆL 2 z, který vznikne přepsáním operátoru kvdrátu momentu hybnosti 5.11). Pk s využitím vzthů O-1) O-2) dostneme ˆL 2 x + ˆL 2 y)y m = λ m 2 )Y m. O-3) Protože vstní čís hermitovského operátoru jsou reáná viz kpito 3) protože kvdrát reáného čís je číso větší nebo rovno nue, můžeme ze vzthu O-3) vyvodit, že možné hodnoty m jsou shor i zdo omezené, protože m 2 nemůže být větší než λ. Proto existuje minimání mximání hodnot m, které po řdě oznčíme jko m min m mx. Dáe si definujme tzv. posuvné operátory L ˆ + = ˆL x +i ˆL y L ˆ = ˆL x i ˆL y. O-4) Apikcí rovnic 5.10) 5.14) odvodíme přísušné komutční rece pro posuvné operátory ve tvru [ ˆL 2, L± ˆ ] = ˆ0, [ ˆL z, L± ˆ ] = ±L ±. O-5) Necháme-i působit operátor L ˆ ± n stv Y m dostneme ˆL 2 L ˆ ± Y m = L ˆ ± ˆL2 Y m = λ L± ˆ Y m O-6) ˆL z ˆ L± Y m b = L ˆ ± ˆLz ± L ˆ ± )Y m c = m±1) L ˆ ± Y m. O-7) Úprv vypývá přímo z přísušného komutátoru O-5). Úprv b vypývá tké z přísušného komutátoru O-5), e již není tk přímočrá. Komutátor je potřeb si rozepst [ ˆL z, ˆ L± ] = ˆL z ˆ L± ˆ L ± ˆLz = ±L ±. O-8) Šikovným přeuspořádáním komutátoru O-8) dostneme úprvu b. Úprvu c pro přehednost rozepíšeme ˆ L ± ˆLz ± ˆ L ± )Y m = ˆ L ± ˆLz )Y m ± ˆ L ± Y m = m ˆ L ± Y m ± ˆ L ± Y m = m±1) ˆ L ± Y m. 45 O-9)

4 Z výrzu O-6) pyne, že L ˆ ± Y m je vstní funkcí operátoru ˆL 2 s vstním čísem λ. Ze vzthu O-7) obdobně dostneme, že L ˆ ± Y m je vstní funkcí operátoru ˆL z s vstním čísem m ± 1. Schopnost operátorů L ˆ ± měnit hodnotu m o ±1 jim d jejich jméno posuvné. Protože hodnot m je ohrničená mezi m min m mx je ogické, že ˆ L + Y mmx = 0 O-10) Lˆ Y m min = 0, O-11) protože ni v jednom přípdě není možné se posunout n vyšší/nižší hodnotu m než je mximání/minimání hodnot. Z rovnic O-10) O-11) se můžeme vhodnou úprvou, rovnice vždy zev vynásobíme druhým posuvným operátorem využijeme identity L ˆ L± ˆ = ˆL 2 ˆL z ˆL z ±1), dostt k rovnicím Jejich spojením dostneme rovnici λ m mx m mx +1) = 0 λ m min m min 1) = 0. O-12) m 2 mx m 2 min +m mx +m min = 0. O-13) Rovnici řešme jko rovnici pro neznámou m mx. Výsedkem je m mx = { m min ; 1+m min }. Protože m mx m min, je jediným řešením rovnice O-13) m mx = m min. O-14) Z rovnice O-7) víme, že hodnoty m se mění po jedničce. Proto m mx m min musí být ceé kdné číso, což můžeme zpst jko 2. Pk ptí m mx m min = 2 m mx + m min = 0. Spojením těchto podmínek dostneme m mx =, m min =. O-15) Ze vzthů O-15) dáe pyne, že existuje 2+1 možných hodnot m, m =,...,0,...,+, pro kždou hodnotu. Když O-15) dosdíme do rovnice O-12), odvodíme, že λ = +1). Když se vrátíme zpět ke ksické soustvě jednotek, tj. 1, přejde výrz O-16) do tvru λ = +1) 2, O-16) O-17) což je výrz 5.15), který jsme chtěi odvodit. N závěr této kpitoy se zstvme u toho, jk se komutční rece mezi operátory z nich pynoucí součsně měřitené veičiny, projeví u měření momentu hybnosti. Z komutčních recí 5.10) vidíme, že operátor z-ové sožky momentu hybnosti nekomutuje se zbyými dvěm operátory sožek momentu hybnosti. To znmená, že součsně nemůžeme změřit všechny tři sožky vektoru momentu hybnosti. Ae protože operátor z-ové sožky momentu hybnosti komutuje s operátorem kvdrátu momentu hybnosti viz rece 5.14)), můžeme součsně změřit jednu sožku, typicky z-ovou, vektoru momentu hybnosti kvdrát veikosti vektoru momentu hybnosti. Grfická reprezentce výše uvedeného se oznčuje jko vektorový mode momentu hybnosti L. Vektorový mode obrázek 7) je vhodnou reprezentcí prostorového kvntování, tj. fktu, že veikost prostorová orientce vektoru momentu hybnosti nemůže být ibovoná, e nbývá diskrétních hodnot dných vstními čísy operátorů ˆL 2 ˆL z. N průmětu 3D vektorového modeu, npříkd do roviny zy, si můžeme grficky vysvětit význm posuvných operátorů obrázek 8). Operátor L ˆ + posouvá kvntový stv Y m do nového stvu s hodnotou kvntového čísmojedničku větší, tj. stvuy m+1. N druhou strnu operátor Lˆ posouvá kvntový stvy m do nového stvu s hodnotou kvntového čís m o jedničku menší, tj. do stvu Y m 1). 46

5 Obrázek 7: Vektorový mode momentu hybnosti. Protože jednotivé sožky vektoru momentu hybnosti spou nekomutují, nemůžeme součsně změřit více než jednu sožku, konvenčně se voí z-ová sožk. Osttní sožky, x-ová y-ová, jsou tudíž neurčené, což se znázorňuje pomocí rotčního kužee. Veikost L vektoru momentu hybnosti komutuje se všemi sožkmi, proto je součsně měřitená spou s jednou sožkou. To znmená, že o vektoru momentu hybnosti z měření dostneme údje o veikosti průmětu do z-ové osy. Prostorové kvntování momentu hybnosti je pk dáno vstními čísy operátorů ˆL 2 ˆL z. Obrázek 8: Činnost posuvných operátorů si můžeme předstvit tk, že operátor ˆL + mění kvntový stv Y m n kvntový stv Y m+1 operátor ˆL mění kvntový stv Y m n stv Y m Operátor momentu hybnosti v poárních souřdnicích Při popisu dného systému voíme tkový souřdný systém, by by popis co možná nejjednodušší. V přípdě přímočrého pohybu je nejvýhodnější souřdný systém prvoúhých krtézských souřdnic x, y, z). Tento systém už e není vhodný pro popis rotčních pohybů, protože popis křivosti je v něm kompikovný. Proto byy zvedeny křivočré systémy souřdnic, které jednoduše popisují rotční pohyby. Zákdní soustvou křivočrých souřdnic v 3D prostoru je sférická soustv r, θ, φ), kde r je vzdáenost bodu od zvoeného počátku, θ je úhe, který svírá průvodič uvžovného bod s osou z φ je úhe, který svírá průvodič s osou x. Abychom mohi přejít od krtézského souřdného systému do sférické souřdné soustvy, musíme odvodit trnsformční rovnice, které jednoznčně určují trnsformci souřdnic x, y, z) r, θ, φ). Z geometrických úvh odvodíme trnsformční rovnice x = rsinθcosφ, 5.19) y = rsinθsinφ 5.20) 47

6 z = rcosθ. 5.21) Obdobně odvodíme trnsformční rovnice pro inverzní trnsformci r,θ,φ) x,y,z) r 2 = x 2 +y 2 +z 2, 5.22) cosθ = z/r 5.23) tnφ = y/x. 5.24) Dáe nás bude zjímt, jký způsobem se změní operátory momentu hybnosti, když od krtézských souřdnic přejdeme k souřdnicím sférickým. Protože ve výrzech 5.6), 5.7) 5.8) pro operátory sožek momentu hybnosti vystupují prciání derivce, nejprve si tyto derivce vyjádříme r x = sinθcosφ, r y = sinθsinφ, r = cosθ, 5.25) z θ x = cosθcosφ, r θ y = cosθsinφ, r φ x = sinφ rsinθ, φ y = cosφ rsinθ, φ z θ z = sinθ r 5.26) = ) Pomocí vzthů 5.25), 5.26) 5.27) prvidu o derivci sožené funkce odvodíme výrzy pro operátory sožek momentu hybnosti ve sférických souřdnicích ˆL x = i sinφ θ +cotθcosφ ), 5.28) φ ˆL y = i cosφ θ +cotθsinφ ) 5.29) φ ˆL z = i φ. 5.30) Z rovnice 5.30) vidíme, proč se konvenčně prcuje se z-ovou sožkou momentu hybnosti, protože její vyjádření ve sférických souřdnicích je nejjednodušší. Když máme vyjádřeny jednotivé operátory sožek momentu hybnosti ve sférických souřdnicích, není probém vyjádřit ve sférických souřdnicích i operátor kvdrátu momentu hybnosti ˆL 2 = 2 [ 1 sinθ 5.4 Pohyb částice po koui θ sinθ θ ) + 1 sin 2 θ 2 φ 2 ]. 5.31) V tento okmžik máme potřebný prát k tomu, bychom mohi vyřešit probém pohybu částice s momentem hybnosti. Nším cíem bude nézt vstní funkce ψr,θ,φ) operátorů ˆL 2 ˆL z. Tento jednoduchý probém nám posouží v kpitoe 8, kde budeme řešit vodíkový tom. Zpišme si nejprve vstní probémy operátorů ˆL 2 ˆL z ˆL 2 ψr,θ,φ) = +1) 2 ψr,θ,φ) 5.32) ˆL z ψr,θ,φ) = m ψr,θ,φ), 5.33) 48

7 kde jsme z vstní čís dosdii ze vzthů 5.15) 5.16). Protože operátor ˆL 2 ni operátor ˆL z nepůsobí n souřdnici r, můžeme provést seprci proměnných ψr,θ,φ) = Rr)Yθ,φ), 5.34) kde Rr) je rdiání část vnové funkce Yθ,φ) je nguární část vnové funkce, kterou oznčujeme jko sférické hrmoniky. Díky seprci proměnných se probém pohybu částice v 3D prostoru rozpd n pohyb částice po kuové sféře, popsný pomocí sférické hrmoniky n vyšetření pohybu částice po dném orbitu ve vzdáenosti r od zvoeného počátku, který je popsný rdiání částí vnové funkce. Seprce proměnných 5.34) umožňuje zvášť vyšetřit pohyb po kuové sféře zvášť rdiání pohyb. V tuto chvíi nás zjímá pouze pohyb po kuové sféře, proto budeme dáe prcovt jen s vnovou funkcí ve tvru sférické hrmoniky Yθ,φ). Operátor ˆL z působí pouze n souřdnici φ viz vzth 5.30)), proto můžeme předpokádt, že i sférické hrmoniky můžeme seprovt Yθ,φ) = Θθ)Φφ). 5.35) Vyřešme nejprve vstní probém 5.33), kde z operátor ˆL z dosdíme ze vzthu 5.30) dáe využijeme seprci proměnných 5.35) i Θ Φ φ = m ΘΦ. 5.36) Rovnici dáe uprvme i dφ Φ = mdφ 5.37) dostneme obyčejnou diferenciání rovnici pro Φφ). Integrcí rovnice 5.37) získáme řešení ve tvru Φ = Ae imφ, 5.38) kde A je integrční konstnt. Tu určíme z normovcí podmínky 2π Úprv pyne z násedujícího 0 Φ Φdφ = A 2 2π 0 dφ = 2A 2 π = 1 A = 1 2π. 5.39) Φ Φ = e imφ e imφ = e 0 = ) Integrční meze ve vzthu 5.39) pynou z toho, že ve sférických souřdnicích ptí φ 0;2π. Sférickou hrmoniku Yθ,φ) tk můžeme zpst jko Yθ,φ) = Θθ)Φφ) = Θθ) 1 2π eimφ. 5.41) Doszením sférické hrmoniky 5.41) do vstního probému 5.32) operátoru ˆL 2 řešením vzniknuvší diferenciání rovnice bychom doši k závěru, že se jedná o typ diferenciání rovnice, která se řeší pomocí ortogonáních poynomů, konkrétně pomocí přidružených Lgendrových poynomů S m cosθ). Pk se ukáže, že ptí Θcosθ) S m cosθ). 5.42) Výsednou sférickou hrmoniku Y m tk můžeme zpst ve tvru Y m θ,φ) = N m S m cosθ)e imφ, 5.43) 49

8 kde N m je normovcí fktor N m = m )!2+1). 5.44) 4π+ m )! Závěr nšeho snžení je násedující. Pohyb částice po kuové sféře můžeme popst pomocí sférických hrmonik, neboi nguární část vnové funkceψr,θ,φ). Sférické hrmonikyy m θ, φ) závisí pouze n úhech θ φ jsou prmetrizovány dvojicí kvntových čísech m. Obecně se jedná o kompexní funkce, n jejichž zobrzení bychom potřebovi 6-ti dimenzionání prostor jedná se o 3D funkce v kompexní rovině). Proto nezobrzujeme přímo sférické hrmoniky, e jejich ineární kombince. 5.5 Energie pohybu po sféře Budeme-i chtít určit energii částice, která se pohybuje po kuové sféře, zpíšeme vstní probém pro energii, tj. Schrödingerovu rovnici s hmitoniánem ve tvru Ĥ = 2 2m 2, 5.45) kde předpokádáme, že částice se nepohybuje v žádném potenciáu, tj. V = 0. Protože hmitonián Ĥ komutuje s operátory ˆL 2 ˆL z, mjí tyto operátory spoečný soubor vstních funkcí, kterými jsou sférické hrmoniky Y m. Budeme postupovt tk, že si operátor 2 vyjádříme ve sférických souřdnicích 2 = 2 r r r + 1, 5.46) r 2Λ2 kde operátor Λ 2 je egendrián, který předstvuje nguární část operátoru 2 Λ 2 = 1 sin 2 θ 2 φ sinθ θ sinθ θ. 5.47) Protože nás zjímá pouze pohyb po kuové sféře, kde se nemění souřdnice r zredukuje se operátor 2 nλ 2. Uvědomíme-i si, že moment setrvčnosti je definován jkoi = mr 2, můžeme Schrödingerovu rovnici pro pohyb n kuové poše zpst jko Dáe je možné ukázt, že ptí Porovnáním rovnic 5.48) 5.49) dostneme pro energii kde kždý energetický stv E m je 2+1 degenerovný. Λ 2 Y m = 2IE 2 Y m. 5.48) Λ 2 Y m = +1)Y m. 5.49) E m = +1) 2 2I, 5.50) 50

9 Příkd 9 Zdání: Déky vzeb jsou určovány ze spektroskopických měření, která jsou veice přesná. Z rotčního spektr HC jsme odvodii, že B = 10,59342 cm 1. Hmotnosti 1 H 35 C jsou 1, , u. Odvoďte déku vzby v moekue HC. Řešení: Pro rotční konstntu B ptí B = h 8π 2 µcr0 2, kde µ je redukovná hmotnost. Pk h r 0 = 8π 2 µcb = 1, m. 51

4.4.2 Kosinová věta. Předpoklady: 4401

4.4.2 Kosinová věta. Předpoklady: 4401 44 Kosinová vět Předpokldy 44 Př Rozhodni zd dokážeme spočítt zývjíí strny úhly u všeh trojúhelníků zdnýh pomoí trojie prvků (délek strn velikostí úhlů) V sinové větě vystupují dvě dvojie strn-protější

Více

Kvadratické rovnice pro učební obory

Kvadratické rovnice pro učební obory Variace 1 Kvadratické rovnice pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jkaékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratické

Více

13. Soustava lineárních rovnic a matice

13. Soustava lineárních rovnic a matice @9. Soustv lineárních rovnic mtice Definice: Mtice je tbulk reálných čísel. U mtice rozlišujeme řádky (i=,..n), sloupce (j=,..m) říkáme, že mtice je typu (n x m). Oznčíme-li mtici písmenem A, její prvky

Více

2.4.11 Nerovnice s absolutní hodnotou

2.4.11 Nerovnice s absolutní hodnotou .. Nerovnice s absolutní hodnotou Předpoklady: 06, 09, 0 Pedagogická poznámka: Hlavním záměrem hodiny je, aby si studenti uvědomili, že se neučí nic nového. Pouze používají věci, které dávno znají, na

Více

Sada 2 - MS Office, Excel

Sada 2 - MS Office, Excel S třední škol stvební Jihlv Sd 2 - MS Office, Excel 11. Excel 2007. Mtice, determinnty, soustvy lineárních rovnic Digitální učební mteriál projektu: SŠS Jihlv šblony registrční číslo projektu:cz.1.09/1.5.00/34.0284

Více

2.3. POLARIZACE VLN, POLARIZAČNÍ KOEFICIENTY A POMĚR E/B

2.3. POLARIZACE VLN, POLARIZAČNÍ KOEFICIENTY A POMĚR E/B .3. POLARIZACE VLN, POLARIZAČNÍ KOEFICIENTY A POMĚR E/B V řadě případů je užitečné znát polarizaci vlny a poměry mezi jednotlivými složkami vektoru elektrické intenzity E takzvané polarizační koeficienty,

Více

( ) 2.5.7 Neúplné kvadratické rovnice. Předpoklady: 020501

( ) 2.5.7 Neúplné kvadratické rovnice. Předpoklady: 020501 ..7 Neúplné kvadratické rovnice Předpoklady: Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vzácné výjimky, kdy naprostá většina studentů skončí více než pět minut před zvoněním. Nechávám je dělat něco jiného

Více

PŘÍKLADY PRŮBĚHŮ VNITŘNÍCH SIL N,T,M NA NOSNÍCÍCH 1. Prostý nosník zatížený osamělými silami (břemeny) Vykreslete průběhy vnitřních sil N, T a M.

PŘÍKLADY PRŮBĚHŮ VNITŘNÍCH SIL N,T,M NA NOSNÍCÍCH 1. Prostý nosník zatížený osamělými silami (břemeny) Vykreslete průběhy vnitřních sil N, T a M. PŘÍKLDY PRŮBĚHŮ VNIŘNÍCH SIL N,, N NOSNÍCÍCH. Prostý nosník ztížený osměými simi (řemeny) Vykresete průěhy vnitřních si N,.,) N v ceém úseku, ) N v ceém úseku F F,) N v ceém úseku F F F F ,) použit výpočet

Více

2 i i. = m r, (1) J = r m = r V. m V

2 i i. = m r, (1) J = r m = r V. m V Měření momentu setrvčnosti 1 Měření momentu setrvčnosti Úko č. 1: Změřte moment setrvčnosti obdéníkové desky přímou metodou. Pomůcky Fyzické kyvdo (kovová obdéníková desk s třemi otvory), kovové těísko

Více

2002 Katedra obecné elektrotechniky FEI VŠB-TU Ostrava Ing.Stanislav Kocman

2002 Katedra obecné elektrotechniky FEI VŠB-TU Ostrava Ing.Stanislav Kocman STEJNOSĚRNÉ STROJE 1. Princip činnosti stejnosměrného stroje 2. Rekce kotvy komutce stejnosměrných strojů 3. Rozdělení stejnosměrných strojů 4. Stejnosměrné generátory 5. Stejnosměrné motory 2002 Ktedr

Více

2.8.5 Lineární nerovnice s parametrem

2.8.5 Lineární nerovnice s parametrem 2.8.5 Lineární nerovnice s prmetrem Předpokldy: 2208, 2802 Pedgogická poznámk: Pokud v tom necháte studenty vykoupt (což je, zdá se, jediné rozumné řešení) zere tto látk tk jednu půl vyučovcí hodiny (první

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ FUNKCE

EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ FUNKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol EXPONENCIÁLNÍ

Více

STEREOMETRIE. Vzdálenost bodu od přímky. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0113

STEREOMETRIE. Vzdálenost bodu od přímky. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0113 STEREOMETRIE Vzdálenost bodu od přímky Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M3r0113 VZDÁLENOST BODU OD PŘÍMKY V PROSTORU Při hledání vzdálenosti bodu od geometrického útvaru v prostoru je nutné si vždy úlohu

Více

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA LOKÁLNÍ EXTRÉMY

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA LOKÁLNÍ EXTRÉMY INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA LOKÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH Robert Mařík 2. října 2009 Obsah z = x 4 +y 4 4xy + 30..................... 3 z = x 2 y 2 x 2 y 2........................ 18 z = y ln(x 2 +y)..........................

Více

(a) = (a) = 0. x (a) > 0 a 2 ( pak funkce má v bodě a ostré lokální maximum, resp. ostré lokální minimum. Pokud je. x 2 (a) 2 y (a) f.

(a) = (a) = 0. x (a) > 0 a 2 ( pak funkce má v bodě a ostré lokální maximum, resp. ostré lokální minimum. Pokud je. x 2 (a) 2 y (a) f. I. Funkce dvou a více reálných proměnných 5. Lokální extrémy. Budeme uvažovat funkci f = f(x 1, x 2,..., x n ), která je definovaná v otevřené množině G R n. Řekneme, že funkce f = f(x 1, x 2,..., x n

Více

Studium termoelektronové emise:

Studium termoelektronové emise: Truhlář Michl 2. 9. 26 Lbortorní práce č.11 Úloh č. II Studium termoelektronové emise: Úkol: 1) Změřte výstupní práci w wolfrmu pomocí Richrdsonovy-Dushmnovy přímky. 2) Vypočítejte pro použitou diodu intenzitu

Více

a + 1 a = φ 1 + φ 2 ; a je konvenční zraková vzdálenost. Po dosazení zobrazovací rovnice bez brýlí do zobrazovací rovnice s brýlemi platí:

a + 1 a = φ 1 + φ 2 ; a je konvenční zraková vzdálenost. Po dosazení zobrazovací rovnice bez brýlí do zobrazovací rovnice s brýlemi platí: OKO ) Člověk vidí nejlépe, když předměty pozoruje ze vzdálenosti 2,5 cm. Jkého druhu je vd jeho ok jké čočky do brýlí mu doporučíte? Odpověď zdůvodněte výpočtem. = 2,5 cm = 0,25 m φ =? (D) Normální oko

Více

Kvadratické rovnice pro studijní obory

Kvadratické rovnice pro studijní obory Variace 1 Kvadratické rovnice pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratické

Více

3.4.6 Konstrukce trojúhelníků II

3.4.6 Konstrukce trojúhelníků II 346 Konstrue trojúheníů II Předpody: 345 Př : Je dán úseč, = 5m Nrýsuj všehny trojúheníy, pro teré je úseč těžnií t pro teré ptí v = 4,5m = 5,5 m v t Úoh je poohová, zčínáme úsečou Proém: Všehny tři známé

Více

Úlohy 22. ročníku Mezinárodní fyzikální olympiády - Havana, Cuba

Úlohy 22. ročníku Mezinárodní fyzikální olympiády - Havana, Cuba Úlohy 22. ročníku Mezinárodní fyzikální olympiády - Havana, Cuba Petr Pošta Text pro soutěžící FO a ostatní zájemce o fyziku 2 1. úloha Obrázek 1.1 ukazuje pevný, homogenní míč poloměru R. Před pádem na

Více

Seriál XXVII.III Aplikační

Seriál XXVII.III Aplikační Seriál XXVII.III Aplikční Seriál: Aplikční Tento díl seriálu bude tk trochu plikční. Minule jsme si pověděli úvod k vričním metodám ve fyzice, nyní bychom rádi nbyté znlosti plikovli n tři speciální přípdy.

Více

M - Logaritmy a věty pro počítání s nimi

M - Logaritmy a věty pro počítání s nimi M - Logritmy věty pro počítání s nimi Určeno jko učení text pro studenty dálkového studi shrnující text pro studenty denního studi. VARIACE 1 Tento dokument yl kompletně vytvořen, sestven vytištěn v progrmu

Více

( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2.7.16 Rovnice s neznámou pod odmocninou II. Předpoklady: 2715

( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2.7.16 Rovnice s neznámou pod odmocninou II. Předpoklady: 2715 .7.6 Rovnice s neznámou pod odmocninou II Předpoklady: 75 Př. : Vyřeš rovnici y + + y = 4 y + + y = 4 / ( y + + y ) = ( 4) y + + 4 y + y + 4 y = 6 5y + 4 y + y = 8 5y + 4 y + y = 8 - v tomto stavu nemůžeme

Více

Řešení: a) Označme f hustotu a F distribuční funkci náhodné veličiny X. Obdobně označme g hustotu a G distribuční funkci náhodné veličiny Y.

Řešení: a) Označme f hustotu a F distribuční funkci náhodné veličiny X. Obdobně označme g hustotu a G distribuční funkci náhodné veličiny Y. VII. Transformace náhodné veličiny. Náhodná veličina X má exponenciální rozdělení Ex(; ) a náhodná veličina Y = X. a) Určete hustotu a distribuční funkci náhodné veličiny Y. b) Vypočtěte E(Y ) a D(Y ).

Více

2.7.2 Mocninné funkce se záporným celým mocnitelem

2.7.2 Mocninné funkce se záporným celým mocnitelem .7. Mocninné funkce se záporným celým mocnitelem Předpoklady: 70 Mocninné funkce se záporným celým mocnitelem: znamená? 3 y = = = = 3 y y y 3 = ; = ; = ;.... Co to Pedagogická poznámka: Nechávám studenty,

Více

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE. Úloha 2: Měření modulu pružnosti v tahu a ve smyku. Abstrakt

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE. Úloha 2: Měření modulu pružnosti v tahu a ve smyku. Abstrakt FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Úoha : Měření moduu pružnosti v tahu a ve smyku Datum měření: 9. 10. 009 Jméno: Jiří Sabý Pracovní skupina: 1 Ročník a kroužek:. ročník, 1. kroužek, pátek 13:30 Spoupracovaa:

Více

Modelování kmitavých soustav s jedním stupněm volnosti

Modelování kmitavých soustav s jedním stupněm volnosti Modeování kmitavých soustav s jedním stupněm vonosti Zpracova Doc. RNDr. Zdeněk Haváč, CSc 1. Zákadní mode Zákadním modeem kmitavé soustavy s jedním stupněm vonosti je tzv. diskrétní podéně kmitající mode,

Více

4 Mřížka tvořená body, mřížková funkce a její Fourierova transformace, reciproká mřížka

4 Mřížka tvořená body, mřížková funkce a její Fourierova transformace, reciproká mřížka 4 Mříž tvořená body, mřížová funce její Fourierov trnsformce, reciproá mříž Reciproé vetory bázi reciproých vetorů používl již olem r 880 J W Gibbs ve svých přednášách o vetorové nlýze [], str 0, 83 Do

Více

Dualita v úlohách LP Ekonomická interpretace duální úlohy. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

Dualita v úlohách LP Ekonomická interpretace duální úlohy. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno Přednáška č. 6 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Uvažujme obecnou úlohu lineárního programování, tj. úlohu nalezení takového řešení vlastních omezujících podmínek a 11 x 1 + a 1 x +... + a 1n x n = b 1 a

Více

NEKONEČNÉ GEOMETRICKÉ ŘADY

NEKONEČNÉ GEOMETRICKÉ ŘADY Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrční číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovce zkvlitnění výuky směřující k rozvoji mtemtické grmotnosti žáků středních škol NEKONEČNÉ GEOMETRICKÉ

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

1.3.1 Kruhový pohyb. Předpoklady: 1105

1.3.1 Kruhový pohyb. Předpoklady: 1105 .. Kruhový pohyb Předpoklady: 05 Předměty kolem nás se pohybují různými způsoby. Nejde pouze o přímočaré nebo křivočaré posuvné pohyby. Velmi často se předměty otáčí (a některé se přitom pohybují zároveň

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled řijímcí řízení k. r. / Kompletní znění testových otázek - mtemtický přehled Koš Znění otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správná odpověď. Které číslo doplníte místo otzníku? 8?. Které číslo

Více

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ MATEMATIKA 1

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ MATEMATIKA 1 FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ MATEMATIKA 1 Grnt předmětu: Prof. RNDr. Josef DIBLÍK, DrSc. (do 31.8.00) Prof. RNDr. Jn CHVALINA, DrSc. (od 1.9.00) Autoři

Více

(k 1)x k + 1. pro k 1 a x = 0 pro k = 1.

(k 1)x k + 1. pro k 1 a x = 0 pro k = 1. . Funkce dvou a více proměnných. Úvod. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R vzhledem k a rozhodněte zda je množina uzavřená či otevřená. Určete a načrtněte vrstevnice grafu funkce

Více

Funkce více proměnných

Funkce více proměnných Funkce více proměnných Funkce více proměnných Euklidův prostor Body, souřadnice, vzdálenost bodů Množina bodů, které mají od bodu A stejnou vzdálenost Uzavřený interval, otevřený interval Okolí bodu

Více

Weylovy prostoročasy s nenulovou kosmologickou konstantou

Weylovy prostoročasy s nenulovou kosmologickou konstantou Univerzit Krlov v Prze Mtemticko-fyzikální fkult BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Pvel Čížek Weylovy prostoročsy s nenulovou kosmologickou konstntou Ústv teoretické fyziky MFF UK Vedoucí bklářské práce: doc. RNDr. Oldřich

Více

65. ročník matematické olympiády Řešení úloh klauzurní části školního kola kategorie B

65. ročník matematické olympiády Řešení úloh klauzurní části školního kola kategorie B 65. ročník matematické olympiády Řešení úloh klauzurní části školního kola kategorie B 1. Nejprve zjistíme, jak lze zapsat číslo 14 jako součet čtyř z daných čísel. Protože 4 + 3 3 < 14 < 4 4, musí takový

Více

Tvorba trendové funkce a extrapolace pro roční časové řady

Tvorba trendové funkce a extrapolace pro roční časové řady Tvorba trendové funkce a extrapolace pro roční časové řady Příklad: Základem pro analýzu je časová řada živě narozených mezi lety 1970 a 2005. Prvním úkolem je vybrat vhodnou trendovou funkci pro vystižení

Více

Lokální a globální extrémy funkcí jedné reálné proměnné

Lokální a globální extrémy funkcí jedné reálné proměnné Lokální etrémy Globální etrémy Použití Lokální a globální etrémy funkcí jedné reálné proměnné Nezbytnou teorii naleznete Breviáři vyšší matematiky (odstavec 1.). Postup při hledání lokálních etrémů: Lokální

Více

{ } 9.1.9 Kombinace II. Předpoklady: 9108. =. Vypiš všechny dvoučlenné kombinace sestavené z těchto pěti prvků. Urči počet kombinací pomocí vzorce.

{ } 9.1.9 Kombinace II. Předpoklady: 9108. =. Vypiš všechny dvoučlenné kombinace sestavené z těchto pěti prvků. Urči počet kombinací pomocí vzorce. 9.1.9 Kombinace II Předpoklady: 9108 Př. 1: Je dána pěti prvková množina: M { a; b; c; d; e} =. Vypiš všechny dvoučlenné kombinace sestavené z těchto pěti prvků. Urči počet kombinací pomocí vzorce. Vypisujeme

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

ROVNICE A NEROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU

ROVNICE A NEROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrční číslo projektu: CZ..07/..00/.098 IV- Inovce zkvlitnění výuky směřující k rozvoji mtemtické grmotnosti žáků středních škol ROVNICE A NEROVNICE

Více

Inovace předmětů studijních programů strojního inženýrství v oblasti teplotního namáhání

Inovace předmětů studijních programů strojního inženýrství v oblasti teplotního namáhání Grantový projekt FRVŠ MŠMT č.97/7/f/a Inovace předmětů studijních programů strojního inženýrství v obasti tepotního namáhání Některé apikace a ukázky konkrétních řešení tepeného namáhání těes. Autorky:

Více

Ohýbaný nosník - napětí

Ohýbaný nosník - napětí Pružnost pevnost BD0 Ohýbný nosník - npětí Teorie Prostý ohb, rovinný ohb Při prostém ohbu je průřez nmáhán ohbovým momentem otáčejícím kolem jedné z hlvních os setrvčnosti průřezu, obvkle os. oment se

Více

Řešení 3. série. typ čtverce o kolik se zvýší počet 1 x 1 2k + 1 2 x 2 2k 1 3 x 3 2k 3. . k x k 3 (k + 1) x (k + 1) 1

Řešení 3. série. typ čtverce o kolik se zvýší počet 1 x 1 2k + 1 2 x 2 2k 1 3 x 3 2k 3. . k x k 3 (k + 1) x (k + 1) 1 Řešení 3 série Řešení S-I-3-1 Než se pustíme o řešení úlohy s n x n čtvercovými poli, zkusme ohalit princip na šachovnici s konkrétním počtem polí Na šachovnici 1 x 1 je pouze 1 čtverec Na šachovnici 2

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Mechanika tuhého tělesa. Dynamika + statika

Mechanika tuhého tělesa. Dynamika + statika Mechanika tuhého tělesa Dynamika + statika Moment hybnosti U tuhého tělesa není hybnost vhodnou veličinou pro posouzení dynamického stavu rotujícího tělesa Definujeme veličinu analogickou hybnosti, která

Více

5.2.3 Kolmost přímek a rovin I

5.2.3 Kolmost přímek a rovin I 5.2.3 Kolmost římek rovin I ředokldy: 5202 vě římky jsou k soě kolmé rávě tehdy, když jejich odchylk je 90. Nvzájem kolmé mohou ýt i mimoěžky. vě úsečky jsou kolmé, rávě když leží n kolmých římkách. íšeme:

Více

PFRUIT, COLORS. Mezipředmětové vztahy: Anglický jazyk, Prvouka. Časová dotace: 45minut. Ročník: 2. Cíle: Cílová slovní zásoba a fráze:

PFRUIT, COLORS. Mezipředmětové vztahy: Anglický jazyk, Prvouka. Časová dotace: 45minut. Ročník: 2. Cíle: Cílová slovní zásoba a fráze: Autor: Mgr. Mrtin Kuncová Škol: ZŠ A MŠ Herálec, Herálec 440 PFRUIT, COLORS Mezipředmětové vzthy: Anglický jzyk, Prvouk Čsová dotce: 45minut Ročník: 2 Cíle: Příprv pokrmů: Žáci se seznámí se zákldními

Více

Relativiatická fyzika a astrofyzika I. Geometrie

Relativiatická fyzika a astrofyzika I. Geometrie Reltivitická fyzik strofyzik I Geometrie Definice: Nechť g je metrický tenzor jeho komponenty vůči souřdnicové zi jsou g.dále nechť je g -1 inverzní mtice k g její komponenty k příslušné zi jsou g. zvedání

Více

M - Rovnice - lineární a s absolutní hodnotou

M - Rovnice - lineární a s absolutní hodnotou Rovnice a jejich ekvivalentní úpravy Co je rovnice Rovnice je matematický zápis rovnosti dvou výrazů. př.: x + 5 = 7x - M - Rovnice - lineární a s absolutní hodnotou Písmeno zapsané v rovnici nazýváme

Více

1.1.1 Kvadratické rovnice (dosazení do vzorce) I

1.1.1 Kvadratické rovnice (dosazení do vzorce) I .. Kvadratické rovnice (dosazení do vzorce) I Předpoklady: základní početní operace Rovnicí se nazývá vztah rovnosti mezi dvěma výrazy obsahujícími jednu nebo více neznámých. V této kapitole se budeme

Více

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34.

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34. I. Určete integrály proved te zkoušku. Určete intervl(y), kde integrál eistuje... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0... 3. 4. 5. 6. 7. e d substituce t = ln ln(ln ) d substituce t = ln(ln ), dt = ln 3 e 4 d substituce

Více

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia - - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin

Více

= 2888,9 cm -1. Relativní atomové hmotnosti. leží stejný přechod pro molekulu H 37 Cl? Výsledek vyjádřete jako

= 2888,9 cm -1. Relativní atomové hmotnosti. leží stejný přechod pro molekulu H 37 Cl? Výsledek vyjádřete jako Přijímcí zkoušk n nvzující mgisterské studium - 018 Studijní progrm Fyzik - všechny obory kromě Učitelství fyziky-mtemtiky pro střední školy, Vrint A Příkld 1 Určete periodu periodického pohybu těles,

Více

Praktikum II Elektřina a magnetismus

Praktikum II Elektřina a magnetismus Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK Praktikum II Elektřina a magnetismus Úloha č. VII Název: Měření indukčnosti a kapacity metodou přímou Pracoval: Matyáš Řehák stud.sk.:

Více

2.8.9 Parametrické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou

2.8.9 Parametrické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou .8.9 Parametrické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou Předpoklady: 0,, 806 Pedagogická poznámka: Opět si napíšeme na začátku hodiny na tabuli jednotlivé kroky postupu při řešení rovnic (nerovnic)

Více

M - Příprava na 2. zápočtový test pro třídu 2D

M - Příprava na 2. zápočtový test pro třídu 2D M - Příprava na 2. zápočtový test pro třídu 2D Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

Hyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná

Hyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná Hyperol Hyperol je množin odů, které mjí tu vlstnost, že solutní hodnot rozdílu jejich vzdáleností od dvou dných různých odů E, F je rovn kldné konstntě. Zkráceně: Hyperol = {X ; EX FX = }; kde symolem

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

9.2.5 Sčítání pravděpodobností I

9.2.5 Sčítání pravděpodobností I 9.2.5 Sčítání pravděpodobností I Předpoklady: 9203 Pedagogická poznámka: Následující problém sice zadávám jako příklad, ale minimálně na začátku s žáky počítám na tabuli. I kvůli tomu, aby jejich úprava

Více

2.1 - ( ) ( ) (020201) [ ] [ ]

2.1 - ( ) ( ) (020201) [ ] [ ] - FUNKCE A ROVNICE Následující zákldní znlosti je nezbytně nutné umět od okmžiku probrání ž do konce studi mtemtiky n gymnáziu. Vyždováno bude porozumění schopnost plikovt ne pouze mechnicky zopkovt. Některé

Více

je jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5.

je jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5. 10. Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Je-li f : (, b) C, pk lze funkci f povžovt z dvojici (u, v), kde u = Re f v = Im f. Rozdíl proti vektorovému poli je v tom, že jsou pro komplexní čísl definovány

Více

3.1.7 Kyvadlo. Předpoklady: 3106

3.1.7 Kyvadlo. Předpoklady: 3106 37 Kyvado ředpokady: 306 edaoická poznámka: Ceý obsah hodiny není možné stihnout za 45 minut Je třeba se ozhodnout, co je podstatné: testování vzoce paktickým sestojováním kyvade, povídání o kyvadových

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Posouvající síla V. R a. R b. osa nosníku. Kladné směry kolmé složky vnitřních sil. Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

Posouvající síla V. R a. R b. osa nosníku. Kladné směry kolmé složky vnitřních sil. Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz) Posouvjící sí Posouvjící síu v zdném průřezu c ze vypočítt jko gerický součet všech svisých si po jedné strně průřezu. Postupujei se z evé strny, do součtu se zhrnou kdně síy půsoící zdo nhoru, záporně

Více

Vztah mezi dvěma čísly, které se rovnají, se nazývá rovnost, jako například : ( 2) 3 = 8 4 = 2 ; 16 = 4 ; 1 = 1 a podobně. 2

Vztah mezi dvěma čísly, které se rovnají, se nazývá rovnost, jako například : ( 2) 3 = 8 4 = 2 ; 16 = 4 ; 1 = 1 a podobně. 2 Lineární rovnice o jedné neznámé O rovnicích obecně Vztah mezi dvěma čísly, které se rovnají, se nazývá rovnost, jako například : ( ) 8 ; 6 ; a podobně. ; Na rozdíl od rovností obsahuje rovnice kromě čísel

Více

Předpokládané znalosti ze středoškolské matematiky. Pokuste se rozhodnout o pravdivosti následujících výroků a formulujte jejich negace.

Předpokládané znalosti ze středoškolské matematiky. Pokuste se rozhodnout o pravdivosti následujících výroků a formulujte jejich negace. Předpokládané znalosti ze středoškolské matematiky 1. Matematická logika Výroky, složené výroky: konjunkce (, a zároveň ), disjukce (, nebo), negace výroků ( před nebo čárka nad označením výroku), implikace

Více

Základy počítačové grafiky

Základy počítačové grafiky Základy počítačové grafiky Prezentace přednášek Ústav počítačové grafiky a multimédií Téma přednášky Textury 3D objektů Motto Objekty v reálném světě nejsou plastikové koule plující v prostoru kolem nás!

Více

Obsah rovinného obrazce

Obsah rovinného obrazce Aplikce určitého integrálu V celé této kpitole uvžujme pouze spojité funkce, které mjí přípdně spojité derivce. Užití určitého integrálu v geometrii bsh rovinného obrzce Z definice Riemnnov určitého integrálu

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic Příklad: Uvažujme jednoduchý příklad soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých x, y: x + 2y = 5 4x + y = 6 Ze střední školy známe několik metod, jak takové soustavy

Více

Měření napjatosti na povrchu tělesa Tenkostěnná trubka zatížená krutem a vnitřním přetlakem

Měření napjatosti na povrchu tělesa Tenkostěnná trubka zatížená krutem a vnitřním přetlakem 4. lekce Měření npjosi n povrcu ěles Tenkosěnná rubk zížená kruem vniřním přelkem Obs: 4.1 Úvod 4. Kru enkosěnné válcové rubk 4.3 Tenkosěnná lková válcová nádob 3 4.4 Dvouosá npjos Morov kružnice 4 4.5

Více

Řešení: ( x = (1 + 2t, 2 5t, 2 + 3t, t); X = [1, 2, 2, 0] + t(2, 5, 3, 1), přímka v E 4 ; (1, 2, 2, 0), 0, 9 )

Řešení: ( x = (1 + 2t, 2 5t, 2 + 3t, t); X = [1, 2, 2, 0] + t(2, 5, 3, 1), přímka v E 4 ; (1, 2, 2, 0), 0, 9 ) . Vyjádřete koeficienty vektoru (, 8, 9) vzhledem k následující bázi vektorového prostoru V : (,, 5), (,, ), (5,, ). [,, ].. Určete všechny hodnoty parametru u, pro které vektor a patří do vektorového

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

Matematika II: Testy

Matematika II: Testy Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem délky křivky.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem délky křivky. .. Délk olouku křivky.. Délk olouku křivky Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem délky křivky. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál

Více

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Petr Schreierová, Ph.D. Ostrv Ing. Petr Schreierová, Ph.D. Vsoká škol áňská Technická univerzit

Více

Matematické metody v kartografii

Matematické metody v kartografii Mtemtické metody v krtogrfii. Přednášk Referenční elipsoid zákldní vzthy. Poloměry křivosti. Délky poledníkového rovnoběžkového oblouku. 1. Zákldní vzthy n rotčním elipoidu Rotční elipsoid dán následujícími

Více

Goniometrické funkce obecného úhlu

Goniometrické funkce obecného úhlu 0 Goniometrické funkce oecného úhlu V prvoúhlém trojúhelníku ABC jsou definovány funkce,, tg, cotg liovolného úhlu tkto: α α tg α cotg α Význmné hodnoty gon. funkcí 0 0 60 90 α 0 α 0 tg α 0 nedef. cotg

Více

2.3. DETERMINANTY MATIC

2.3. DETERMINANTY MATIC 2.3. DETERMINANTY MATIC V této kpitole se dozvíte: definici determinntu čtvercové mtice; co je to subdeterminnt nebo-li minor; zákldní vlstnosti determinntů, používné v mnoh prktických úlohách; výpočetní

Více

Středová rovnice hyperboly

Středová rovnice hyperboly 757 Středová rovnice hperol Předpokld: 7508, 75, 756 Př : Nkresli orázek, vpočti souřdnice vrcholů, ecentricitu urči rovnice smptot hperol se středem v počátku soustv souřdnic, pokud je její hlvní os totožná

Více

IMPORT A EXPORT MODULŮ V PROSTŘEDÍ MOODLE

IMPORT A EXPORT MODULŮ V PROSTŘEDÍ MOODLE Nové formy výuky s podporou ICT ve školách Libereckého kraje IMPORT A EXPORT MODULŮ V PROSTŘEDÍ MOODLE Podrobný návod Autor: Mgr. Michal Stehlík IMPORT A EXPORT MODULŮ V PROSTŘEDÍ MOODLE 1 Úvodem Tento

Více

( ) 2.4.4 Kreslení grafů funkcí metodou dělení definičního oboru I. Předpoklady: 2401, 2208

( ) 2.4.4 Kreslení grafů funkcí metodou dělení definičního oboru I. Předpoklady: 2401, 2208 .. Kreslení grafů funkcí metodou dělení definičního oboru I Předpoklady: 01, 08 Opakování: Pokud jsme při řešení nerovnic potřebovali vynásobit nerovnici výrazem, nemohli jsme postupovat pro všechna čísla

Více

Obsah. x y = 1 + x 2... 3 y = 3x + 1... 49. y = 2(x2 x + 1) (x 1) 2 101. x 3. y = x2 + 1 x 2 1... 191. y =... 149

Obsah. x y = 1 + x 2... 3 y = 3x + 1... 49. y = 2(x2 x + 1) (x 1) 2 101. x 3. y = x2 + 1 x 2 1... 191. y =... 149 Průběh funkce Robert Mařík 26. září 28 Obsah y = 1 2............................. y = 1............................. 49 y = 2(2 1).......................... ( 1) 2 11 y =............................. 149

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

Pomůcka pro demonstraci momentu setrvačnosti

Pomůcka pro demonstraci momentu setrvačnosti Pomůcka pro demonstraci momentu setrvačnosti Cílem pomůcky je pochopit význam geometrických charakteristik pro pohybové chování těles na něž působí vnější síly. Princip pomůcky je velmi jednoduchý, jde

Více

Laboratorní práce č.8 Úloha č. 7. Měření parametrů zobrazovacích soustav:

Laboratorní práce č.8 Úloha č. 7. Měření parametrů zobrazovacích soustav: Truhlář Michl 7.. 005 Lbortorní práce č.8 Úloh č. 7 Měření prmetrů zobrzovcích soustv: T = ϕ = p = 3, C 7% 99,5kP Úkol: - Změřte ohniskovou vzdálenost tenké spojky přímou Besselovou metodou. - Změřte ohniskovou

Více

2.7.1 Mocninné funkce s přirozeným mocnitelem

2.7.1 Mocninné funkce s přirozeným mocnitelem .7. Mocninné funkce s přirozeným mocnitelem Předpoklad: 0 Pedagogická poznámka: K následujícím třem hodinám je možné přistoupit dvěma způsob. Já osobně doporučuji postupovat podle učebnice. V takovém případě

Více

Orientovaná úseka. Vektory. Souadnice vektor

Orientovaná úseka. Vektory. Souadnice vektor Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úseka Mjme dvojici bod A, B (na pímce, v rovin nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úseka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od A k B nebo od B k

Více

Pluto již není planetou, z astronomie však nemizí

Pluto již není planetou, z astronomie však nemizí uto již není plnetou, z stronomie všk nemizí Vldimír Štefl, Brno Cílem příspěvku je vysvětlit čtenářům - žákům i učitelům, proč bylo uto při svém objevu v roce 1930 oznčeno z plnetu nopk jké byly důvody,

Více

Křivkový integrál prvního druhu verze 1.0

Křivkový integrál prvního druhu verze 1.0 Křivkový integrál prvního druhu verze. Úvod Následující text popisuje výpočet křivkového integrálu prvního druhu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT k příprvě n zkoušku. Mohou se v něm

Více

KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE (včetně řešení v C)

KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE (včetně řešení v C) Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol KVADRATICKÉ

Více

26. listopadu a 10.prosince 2016

26. listopadu a 10.prosince 2016 Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální

Více

= musíme dát pozor na: jmenovatel 2a, zda je a = 0 výraz pod odmocninou, zda je > 0, < 0, = 0 (pak je jediný kořen)

= musíme dát pozor na: jmenovatel 2a, zda je a = 0 výraz pod odmocninou, zda je > 0, < 0, = 0 (pak je jediný kořen) .8.7 Kvadratické rovnice s parametrem Předpoklady: 507, 803 Pedagogická poznámka: Na první pohled asi každého zarazí, že takřka celá hodina je psána jako příklady a studenti by ji měli vypracovat samostatně.

Více

6. Střídavý proud. 6. 1. Sinusových průběh

6. Střídavý proud. 6. 1. Sinusových průběh 6. Střídavý proud - je takový proud, který mění v čase svoji velikost a smysl. Nejsnáze řešitelný střídavý proud matematicky i graficky je sinusový střídavý proud, který vyplývá z konstrukce sinusovky.

Více

PRAVIDELNÉ MNOHOSTĚNY

PRAVIDELNÉ MNOHOSTĚNY PRVIDELNÉ MNOHOĚNY Vlst Chmelíková, Luboš Morvec MFF UK 007 1 Úvod ento text byl vytvořen s cílem inspirovt učitele středních škol k zčlenění témtu prvidelné mnohostěny do hodin mtemtiky, neboť při výuce

Více

Př. 3: Dláždíme čtverec 12 x 12. a) dlaždice 2 x 3 12 je dělitelné 2 i 3 čtverec 12 x 12 můžeme vydláždit dlaždicemi 2 x 3.

Př. 3: Dláždíme čtverec 12 x 12. a) dlaždice 2 x 3 12 je dělitelné 2 i 3 čtverec 12 x 12 můžeme vydláždit dlaždicemi 2 x 3. 1..20 Dláždění III Předpoklady: 01019 Př. 1: Najdi n ( 84,96), ( 84,96) D. 84 = 4 21 = 2 2 7 96 = 2 = 4 8 = 2 2 2 2 2 D 84,96 = 2 2 = 12 (společné části rozkladů) ( ) n ( 84,96) = 2 2 2 2 2 7 = 672 (nejmenší

Více