8 Limita. Derivace. 8.1 Okolí bodu. 8.2 Limita funkce
|
|
- Mária Bartošová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 8 Limita Derivace 81 Okolí bodu Okolím bodu a nazveme otevřený interval (a r, a + r), kde a, r jsou reálná čísla Číslo r je poloměr okolí, a jeho střed Okolí bodu a lze zapsat a <r Dohodneme se, že okolí a <rnazveme r-okolí bodu a Redukovaným okolím bodu a nazveme množinu (a r, a + r) \{a}, tj okolí bez bodu a Redukované okolí bodu a lze zapsat 0 < a <r Lze deinovat i okolí bodu, resp, jako množinu čísel větších, resp menších, než libovolné dané reálné číslo K lze zapsat >K,resp<K 82 Limita unkce Deinice 1 Nechť je unkce () deinovaná na nějakém redukovaném okolí bodu a Říkáme, že unkce () má v bodě a limitu A R, jestliže ke každému ε-okolí bodu A, eistujeδ-okolí bodu a tak, že pro R platí: Jestliže patří do δ-okolí bodu a, pak() patří do ε-okolí bodu A Zapisujeme lim a () =A Zkráceně ted lim () =A ε>0 δ >0 R: 0< a <δ () A <ε a Říkáme, že unkce () je spojitá v bodě a, jestliže lim a () =(a) Je-li unkce spojitá εψ v každém bodě množin M, říkáme, že unkce () je spojitá na M Ω A + ε A A A ε 0 a 0 δ a 1 ε >0 2 δ >0 3
2 A + ε A + ε A A A ε A ε 0 a δ ()i0 a δ 3 R 0 < a <δ 4 platí () A <ε Obr 1: Graické znázornění limit A R unkce () vboděa R Funkce ()nemusíbýtvboděa vůbec deinována, proto okolí bodu a musíme uvažovat redukované Na rozdíl od toho, okolí bodu A není redukované, protože unkční hodnot () mohou být rovn hodnotě A ε>0 δ>0 znamená, že ε>0 volíme libovolně a k němu hledáme δ, tj δ(ε) Pro unkce jedné reálné proměnné lze deinovat pojem jednostranných limit (Mluví se o limitě zprava či zleva) Říkáme, že unkce () má v bodě a limitu A zprava, resp zleva, jestliže ke každému ε>0, eistuje δ>0, tak, že pro R platí (a, a + δ) () A <ε, resp (a δ, a) () A <ε Zapisujeme lim () =A, resp lim () =A a+ a A + ε () ()» δ () A a B + ε A ε B B () a a a + δ a B ε a) lim () =A b) lim () =B a+ a Obr 2: Graické znázornění vlastních jednostranných limit Věta 1 Limita unkce () v bodě a eistuje, právě kdž eistují limit v tomto bodě zprava i zleva a jsou si rovn Přitom lim () = lim () = lim () a a+ a 4
3 AΞ a Π A B a lim () = lim () = lim () =A lim a+ a a () =A lim () =B a+ a aφ a lim a () =, lim lim () =+, lim lim a A c+ () =+ lim () = 0 + aμ () =+ lim () =A, lim a+ lim () =, lim () = 0 + a lim () =0, lim () =+ νa () =0 + () =+, lim () = a a+ lim () =, lim () =+ + Obr 3: Gra unkce () s rozmanitými tp limit 5
4 83 Derivace unkce v bodě Derivace unkce je jedním ze základních pojmů dierenciálního počtu Pojem derivace unkce vznikl ve druhé polovině 17 století při řešení konkrétních úloh matematik a zik Obecnou metodu řešení těchto úloh nalezli nezávisle na sobě Angličan Isaac Newton ( ) a Němec Gottried Wilhelm Leibniz ( ) K zavedení pojmu derivace unkce v bodě vedl především tto dvě úloh: (1) Úloha o tečně grau unkce (Leibniz), (2) Úloha o okamžité rchlosti přímočarého pohbu hmotného bodu (Newton) 1 Úloha o tečně grau unkce (geometrická motivace) Uvažujme o grau spojité unkce = (), majícím v bodě dotku T =[ 0,( 0 )] tečnu t, která není rovnoběžná s osou Úkolem je určit směrnici tečn t grau G() vbodět t ( 0 ) T ϕ 0 Obr 4: Gra unkce s tečnou t vbodět Tečna t, která není rovnoběžná s osou, je určena pevným bodem T a směrnicí k t =tgα, kdeα 0, π ) ( π,π), je velikost směrového úhlu tečn 2 2 t neboli úhlu, který b musela proběhnout kladná poloosa při svém otáčení kolem počátku v kladném smslu (proti otáčení hodinových ručiček), ab splnula s tečnou t Směrnicik t zatím neznáme Zvolme na grau G() proměnný bod M =[ 0 +, ( 0 + )], závislý na proměnné, zvanédierence (přírůstek) nezávisle proměnné Přímkas = TM je sečnou grau G() a má směrnici k s =tgβ = = ( 0 + ) ( 0 ) Proměnná = ( 0 + ) ( 0 ), se značí také ( 0 )anazývásedierence (přírůstek) unkce v bodě 0 6
5 ( 0 + ) M s ( 0 ) T β Obr 5: Gra unkce a sečn s = TM Směrnice k s je unkcí proměnné Blíží-li se proměnná k číslu 0, bod M se blíží po grau G() kbodut, sečna s přechází v tečnu t asměrnicek s se blíží k směrnici k t Tečna grau G() vbodět je ted limitní polohou sečen grau G() a směrnice k t je limitou směrnice k s pro 0 čili k t =tgϕ = lim tg β = lim 0 0 = lim 0 ( 0 + ) ( 0 ) ( 0 + ) M s 1 s 2 t ( 0 ) T Obr 6: Sečna s přechází v tečnu t 7
6 2 Úloha o okamžité rchlosti přímočarého pohbu hmotného bodu (zikální motivace) Předpokládejme, že souřadnice s poloh (zvaná dráha) hmotného bodu, pohbujícícího se po přímce, na které je zavedena kartézská soustava souřadnic, je unkcí času t, tjs = (t), a že hmotný bod je v časovém okamžiku (stručně čase) t 0 v poloze T =[(t 0 )] a v čase t 0 + t v poloze M =[(t 0 + t)], kde t udává časový rozdíl Absolutní hodnota rozdílu s = (t 0 + t) (t 0 ) udává vzdálenost bodů M a T,apodíl s t = (t 0 + t) (t 0 ) t udává průměrnou rchlost pohbu hmotného bodu v časovém intervalu t 0,t 0 + t (t 0 + t) (t 0 ) s 0 T M ΞObr 7 p Průměrná rchlost v pohbu hmotného bodu v časovém intervalu t 0,t 0 + t závisí na proměnné t Blíží-li se proměnná t k číslu 0, průměrná rchlost v se blíží okamžité rchlosti v 0 pohbu hmotného bodu v čase t 0 Okamžitárchlostv 0 pohbu hmotného bodu v čase t 0 je ted limitou podílu s/ t pohbu hmotného bodu pro t 0 čili s v 0 = lim t 0 t = lim t 0 (t 0 + t) (t 0 ) t Jak při výpočtu směrnice tečn grau unkce, tak při výpočtu okamžité rchlosti přímočarého pohbu hmotného bodu, jsme se setkali s ormálně stejnou limitou, totiž limitou lim 0 S touto limitou se setkáváme při řešení mnoha dalších problémů nejen matematických Pro svůj význam a důležitost dostala tato limita zvláštní název, a to vlastní derivace unkce v bodě Představuje vlastně podíl nekonečně malých přírůstků / t, což se obvkle zapisuje d/dt lim 0 = d d Skutečnost lim 0 lze vjádřit i jinak, např: lim 0 = lim ( + h) () () (a) = lim h 0 h a a 8
7 Deinice 2 Nechť unkce je deinována na jistém okolí bodu 0 a nechť eistuje limita ( 0 + h) ( 0 ) lim ( ) h 0 h Limitu ( ) nazýváme derivace unkce v bodě 0 aznačíme ( 0 ) Eistuje-li derivace unkce vbodě 0 (stručně derivace ( 0 )), říkáme též, že unkce má derivaci v bodě 0 (stručně derivaci ( 0 )) () ( Limitu ( ) lzevjádřittakévetvaru lim 0 ) 0 0 Derivace unkce vbodě 0 je číslo (mluvíme o vlasní derivaci), může to býi i + nebo (mluvíme o nevlastní derivaci) 3 Geometrický význam derivace unkce v bodě Má-li unkce vbodě 0 vlastní derivaci ( 0 ), je to směrnice tečn grau G() vbodě[ 0,( 0 )] Eistence nevlastní derivace unkce vbodě 0 nás inormuje o tom, že směrový úhel tečn grau G() vbodě[ 0,( 0 )] je roven π, tj že tato tečna je rovnoběžná 2 sosou (kolmá na osu ) Funkce nemá v bodě 0 derivaci, právě kdž nelze odpovídajícím bodem grau vést k němu tečnu (např unkce = nemá v bodě = 0 derivaci, k jejímu grau nelze vést bodem [0, 0] tečnu) 4 Fzikální význam vlastní derivace unkce = (t) v bodě Derivace unkce = (t) vbodět 0 udává nejen okamžitou rchlost přímočarého pohbu hmotného bodu v časovém okamžiku t 0, ale též okamžitou rchlost změn jakékoli zikální veličin, závislé na čase t, v časovém okamžiku t 0 Příklad 1 Vpočtěte derivaci unkce () = 3 vbodě1 Řešení: () (1) 3 1 (1) = lim = lim = lim ( 1)( ) = 1 1 = lim( )=3 1 Funkce má vlastní derivaci (1) = 3 v bodě 1 Věta 2 (o vztahu mezi spojitostí a derivací) Má-li unkce vlastní derivaci v bodě 0, pak je v tomto bodě spojitá Věta obrácená neplatí Např unkce () = je spojitá v bodě 0, ale nemá derivaci v bodě 0 Ted unkce spojitá v bodě 0 nemusí mít derivaci v bodě 0 Poznámka 1(Hierarchiepojmů) Funkce má vlastní derivaci v bodě 0 unkce je spojitá v bodě 0 unkce má limitu v bodě 0 rovnou hodnotě unkce vbodě 0 unkce je deinována v bodě 0 9
8 84 Rovnice tečn a normál grau unkce Rovnicí přímk, která není kolmá na osu je předpis = k+ q, kdek, q jsou parametr, k je již zmíněná směrnice Rovnicí přímk, která je kolmá na osu je předpis = c, c je parametr Nechť má unkce = () derivacivbodě 0 1 Pokud je derivace ( 0 ) nevlastní, má tečna rovnici t: = 0 2 Pokud je derivace ( 0 ) vlastní, má tečna rovnici t: = ( 0 ) + q, neboť k =tgϕ = ( 0 ) Parametr q určíme z podmínk, že přímka prochází bodem T =[ 0,( 0 )] Vjde nám t: = ( 0 )( 0 )+( 0 ) Tečna grau G()vboděT =[ 0,( 0 )] neeistuje, kdž unkce není spojitá vbodě 0 nebo neeistuje derivace ( 0 ) 1 Nechť eistuje tečna t grau G() vbodět =[ 0,( 0 )], která není kolmá na některou ze souřadnicových os Máme-li určit rovnici přímk n, která prochází bodem T a je kolmá k tečně t, tjnormál grau G() vbodět, vužijem toho, že odchlka normál je o 90 větší, než odchlka tečn Ted k n =tg(ϕ +90 )= cotg ϕ = 1 tg ϕ = 1 k t Takže n: = 1 + q ( 0 ) n, a parametr q n určíme podobně jako v případě tečn Dostaneme n: = 1 ( ( 0 ) 0)+( 0 ), 2 Pokud je tečna kolmá na některou ze souřadnicových os, pak: n: = 0,je-lit (tj ( 0 )=0)a n: = 0,je-lit (tj ( 0 ) =+ ) n t ( 0 ) T 0 a) ( 0 ) R ( 0 ) 0 10
9 n Φ ( T t 0 ) 0 Ψt T ( n 0 ) 0 b) ( 0 )=0 c) ( 0 )=+ Obr 8: Tečna a normála Poznámka 2 Normála grau G() v bodě T eistuje, právě kdž eistuje tečna grau G() vbodět 85 Derivace unkce na množině Vedle pojmu derivace unkce v bodě zavádíme pojem derivace unkce Deinice 3 Nechť unkce je deinována na množině D() R Označme D( ) D() množinu všech bodů, ve kterých unkce má vlastní derivaci Jeli tato množina neprázdná, potom unkci, kterou je každému bodu množin D( ) přiřazeno číslo (), nazýváme derivací unkce aznačíme (stručně ji nazýváme derivací ); jejím deiničním oborem je množina D( ) Známe-li derivaci unkce, tj unkci, pak derivaci unkce vbodě 0 obdržíme tak, že vpočteme unkční hodnotu ( 0 ) Uvědomte si! Derivace unkce vbodě 0 je číslo ( 0 ) R, kdežto derivace unkce je unkce, deinovaná na množině D( ), Věta 3 Má-li unkce derivaci na množině M, pak je unkce spojitá na množině M Důležitý je případ, kd unkce má derivaci spojitou na množině M Deinice 4 Říkáme, že unkce je hladká na množině M, má-liderivaci spojitou na množině M Má-li unkce derivaci spojitou na množině M, znamená to (geometrick), že v každém bodě M eistuje tečna grau G(), která není rovnoběžná s osou, přičemž směr tečn se spojitě mění s plnulou změnou proměnné ; gra takové unkce je oblý, bez hrotů 11
10 86 Derivování elementárních unkcí Při výpočtu derivací (derivování) unkcí užíváme vzorce pro derivaci základních elementárních unkcí a další vzorce a pravidla, která lze odvodit z deinice derivace a z vět o limitách a spojitosti unkce Věta 4 (o derivaci a algebraických operacích) Nechť unkce a g mají vlastní derivaci v bodě 0 Potom unkce + g, g, g a také unkce g, pokud g( 0 ) 0, mají vlastní derivaci v bodě 0 aplatí: ( + g) ( 0 )= ( 0 )+g ( 0 ), [a 1 ] ( g) ( 0 )= ( 0 ) g ( 0 ), [b 1 ] ( g) ( 0 )= ( 0 ) g( 0 )+( 0 ) g ( 0 ), [c 1 ] ( ) ( 0 )= ( 0 ) g( 0 ) ( 0 ) g ( 0 ) g [g( 0 )] 2 [d 1 ] Nahradíme-li smbol a g tradičními smbol u a v, můžeme psát, že na množině M, platí: (u + v) = u + v, [a 2 ] (u v) = u v, [b 2 ] (u v) = u v + uv, [c 2 ] ( u ) u v uv = [d v v 2 2 ] jsou-li tam derivace deinován a má-li výraz [d 2 ]smsl Je-li unkce konstantní, tj = a, a R, pakje = 0 Z deinice derivace ( 0 + ) ( 0 ) ( 0 ) = lim 0 Z[c 2 ]pakplne (au) = au, a R a a = lim 0 = 0 d =0 12
11 TABULKA VZORCŮ [1] a =0 a R [2] ( n )=n n 1 n N, R ( α )=α α 1 α R, R + [3] (e ) =e R [4] (a ) = a ln a a > 0, a 1, R [5] (ln ) = 1 R + [6] (log a ) = 1 a>0, a 1, R + ln a [7] (sin ) =cos R [8] (cos ) = sin R [9] (tg ) = 1 ( π cos k Z [10] (cotg ) = 1 sin 2 (kπ, (k +1)π) k Z [11] (arcsin ) 1 = ( 1, 1) 1 2 [12] (arccos ) 1 = ( 1, 1) 1 2 [13] (arctg ) = 1 R 1+ 2 [14] (arccotg ) = 1 R 1+ 2 [15] (sinh ) =cosh R [16] (cosh ) =sinh R [17] (tgh ) 1 = cosh 2 R [18] (cotgh ) = 1 sinh 2 R \{0} [19] (argsinh ) 1 = R 2 +1 [20] (argcosh ) = (1, + ) [21] (argtgh ) = ( 1, 1) [22] (argcotgh ) = (, 1) (1, + ) 13
12 Věta 5 (o derivaci složené unkce) Nechť unkce g má vlastní derivaci v bodě 0 a unkce má vlastní derivaci v bodě g( 0 ) Potom složená unkce g má vlastní derivaci v bodě 0 aplatí (g) ( 0 )= (g( 0 )) g ( 0 ) [e 1 ] Je-li M neprázdná množina všech čísel D(g ), pro která je g() D( ), pak složená unkce g má derivaci (g) na množině M aprokaždé M je (g) () = (g()) g () [e 2 ] Jinými slov: dg d = d dg dg d Ukazuje se, že je často třeba říci, jaká proměnná je ve jmenovateli vzorce pro výpočet derivace Mluvíme pak o derivaci podle proměnné Takže derivace složené unkce g je součinem derivace podle g aderivaceg podle Příklad 2 Vpočtěte derivaci unkce F () =( ) 6 Řešení: Pro lepší představu popíšeme složenou unkci F = g schématem g ( ) ( ) 6, kde g() = a (g) =g 6 Podle vzorců z vět o derivaci a algebraických operacích a z tabulk je d dg =6g5 a dg d = Takže F () =g() = d dg dg d =6( ) 5 ( ), R Při výpočtu derivace složené unkce zpravidla píšeme výsledek přímo, bez vpisování jednotlivých složek Poznámka 3 Derivace polnomické unkce je opět polnomická unkce, ale její stupeň je o jeden nižší Platí to obecně pro polnomickou unkci nejméně 1 stupně Příklad 3 Vpočtěme derivaci unkce cos 3 Řešení: (cos 3 ) =3cos 2 ( sin ) = 3cos 2 sin, R 14
13 Věta 6 (o derivaci inverzní unkce) Nechť je dána unkce a 1 je unkce k ní inverzní Nechť unkce má v bodě 0 vlastní derivaci ( 0 ) 0 Potom unkce 1 má derivaci v bodě 0 = ( 0 ) aplatí Jinými slov: Je-ji = (), je = 1 () Takže ( 1 ) (0 )= 1 ( 0 ) [ 1] ( 1 ) () = d d = 1 d d = 1 () Příklad 4 Odvoďme vzorec pro derivaci unkce arcsin Řešení: Funkce arcsin je spojitá a prostá na intervalu 1, 1, který zobrazuje na interval π, π d Položíme-li =arcsin, je =sin a =cos Je ted 2 2 d (arcsin ) = d d = 1 d d = 1 cos Vzhledem k tomu, že cos π =cos( ) π 2 2 = 0, musíme krajní bod obou intervalů z dalších úvah vloučit (zlomek b neměl smsl) Ze vztahu sin 2 +cos 2 = 1 plne, že cos 2 =1 sin 2, odkud cos = 1 sin 2 Protože ( π 2, π 2 ),jecos>0atedcos = 1 2 Dosazením dostaneme (arcsin ) = 1, ( 1, 1) Logaritmická derivace unkce Při výpočtu derivace unkce () =, R +, se při našich dosavadních znalostech dostáváme do obtíží Nemůžeme použít ani vzorec pro derivaci mocninné unkce α, protože mocnitel není konstantní, ani vzorec pro derivaci eponenciální unkce a, protože základ není konstantní Můžeme však použít rovnost a vzorec pro derivaci složené unkce: ( ) = ( e ln ) =e ln =e ln ( ln + 1 ) = (ln +1) 15
14 Můžeme také vjít od derivace logaritmu unkce a postupovat takto: (ln ) = 1 ( ), takže ( ) = (ln ) = ( ln ) = (ln +1) Tento postup se nazývá logaritmická derivace unkce Oba postup užíváme při výpočtu derivace unkcí tvaru () g(), { R; () > 0} Podle prvního postupu ( ) () g() ( ) = e g()ln() = ( =e g()ln() g ()ln()+g() () () = () g() ( g ()ln()+g() () () ) = Podle druhého postupu ( ) ln () g() 1 ( ) = () g(), () g() odkud ( ) () g() ( = () g() ln () g()) = () g() (g()ln()) = ( = () g() g ()ln()+g() ) () () Oba postup vedou ke vzorci ( ) ( () g() = () g() g ()ln()+g() ) () () Příklad 5 Vpočtěme derivaci unkce () = ( ) 2, R Řešení: ) ( ) () = (e 2 ln ln 1 +1 =e ln = 2 +1 ( ) 2 [ ( 1 1 = 2ln (2 +1) 2 )] = ( 2 +1) 2 ( ) 2 ( ) 1 1 =2 ln , R 2 +1 ) 16
Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace
Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace
VíceManagement rekreace a sportu. 10. Derivace
Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VícePředmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ VĚRA JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: DERIVACE ZÁKLADNÍ A SLOŽENÉ FUNKCE
Předmět: Ročník: Vtvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ VĚRA JÜTTNEROVÁ.. Název zpracovaného celku: DERIVACE ZÁKLADNÍ A SLOŽENÉ FUNKCE DIFERENCIÁLNÍ POČET Deinice: Okolí O bodu nazývané poloměr okolí O. LIMITA
Více2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je
Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)
VíceDERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceMatematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16
Matematika 1 3. přednáška 1 Derivace 2 Vlastnosti a použití 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 1 / 16 1. zápočtový test již během 2 týdnů. Je nutné se něj registrovat přes webové rozhraní na https://amos.fsv.cvut.cz.
Více1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH
1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU
VíceFUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic
VíceDiferenciální počet funkce jedné proměnné 1
Diferenciální počet funkce jedné proměnné Limita funkce Pojem limita můžeme česk vjádřit jako mez, případně hranice Zavedení pojmu limita si objasníme na příkladu Příklad : Funkce f ( ) Obr 6: Graf funkce
Vícef( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů
3 Výklad Definice 3 Jestliže nastane alespoň jeden z případů lim =, lim =, + + lim =, lim =, kde ( D ), pak říkáme, že přímka = je asymptotou funkce f() v bodě f Jestliže lim ( k q) =, resp lim ( k q)
Víceh = 0, obr. 7. Definice Funkce f je ohraničená shora, jestliže x Df Funkce f je ohraničená zdola, jestliže x Df d R
.4. Cíle V této kapitole jsou deinován nejdůležitější pojm týkající se vlastností unkcí. Při dalším studiu budou tto vlastnosti často používán. Je proto nutné si jejich deinice dobře zapamatovat. Deinice.4..
VíceMatematika 1 pro PEF PaE
Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace
VíceDerivace úvod. Jak zjistit míru změny?
Derivace úvod P ČEZ Jak zjistit míru změny? Derivace nám dá odpověď jestli je funkce: rostoucí/klesající konkávní/konvení jak moc je strmá jak moc roste kde má maimum/minimum 1000 700 P ČEZ P ČEZ 3% 4%
VícePojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε.
LIMITA FUNKCE Pojem ity unkce charakterizuje chování unkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých unkce není deinovaná Zápis ( ) L Přesněji to vyjadřuje deinice: znamená, že pro
VíceV této chvíli je obtížné exponenciální funkci přesně definovat. Můžeme však říci, že
.5. Cíle Uvedeme nní několik unkcí, z nichž většinu studenti znají již ze střední škol. Nazveme je základní elementární unkce. Konečným počtem sčítání, odčítání, násobení, dělení, skládání a případně invertování
VíceLimita a spojitost funkce
Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu
Více1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.
1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 8. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 14 Derivace funkce U lineárních funkcí ve tvaru
VíceObsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
Více8. Elementární funkce. I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k k!.
8. Elementární funkce I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k = k!. Vlastnosti exponenciální funkce: a) řada ( ) konverguje absolutně
VíceText může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.
VíceDerivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010
Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy
Více5. Limita funkce a spojitost strana 1/5 2018/KMA/MA1/přednášky. Definice 5.1. Mějme funkci f : D R a bod x 0 R.
5. Limita funkce a spojitost strana 1/5 2018/KMA/MA1/přednášky Definice 5.1. Mějme funkci f : D R a bod 0 R. a) Číslo c R je částečná ita funkce f v bodě 0, pokud eistuje posloupnost ( n ) taková, že platí
VíceP ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,
VícePřednáška 1: Reálná funkce jedné reálné proměnné
Přednáška : Reálná unkce jedné reálné proměnné Pojem unkce Deinice Reálnou unkcí jedné reálné proměnné rozumíme předpis y ( ) na jehož základě je každému prvku množiny D (zvané deiniční obor) přiřazen
VícePřednáška 4: Derivace
4 / / 7, :5 Přednáška 4: Derivace Pojem derivace ormuloval v 7. století Isaac Newton při výpočtec poybu planet sluneční soustavy. Potřeboval spočítat úlovou ryclost planet. Její směr je dán tečnou ke dráze
VíceAnalytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
VíceFunkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li
VíceOznačení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x).
9 Využití derivace 9.1 Derivace vyšších řádů Definice 1. Nechť funkce má derivaci v nějakém okolí bodu c D(f). Nechť funkce ϕ() =f () máderivacivboděc. Pak hodnotu ϕ (c) nazýváme derivací 2. řádu (2. derivací)
Více2. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE
. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE Průvodce studiem Funkce y = je definována pro ( ) (>. Z grafu funkce (obr. 3) a z tabulky (a) je vidět že čím více se hodnoty blíží k -3 tím více se funkční hodnoty blíží ke
VíceFunkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceMatematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze
Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............
VíceJe založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =
0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného
Více(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí
1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální
VíceLIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin
VíceNejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.
U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného
Více{ } Ox ( 0) 4.2. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Definice Obr. 52. Poznámka. nad tečnou
Konvenost, konkávnost, inflee 4.. Konvenost, konkávnost, inflee Definice 4... Nechť eistuje f ( ), D f. Řekneme, že funkce f ( ) je v bodě konkávní, jestliže eistuje { } O ( ) tak, že platí D : O( )\ f(
Více2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost
.7. Průběh unkce Všetřit průběh unkce znamená určit ne nutně v tomto pořadí: deiniční obor; sudost, lichost; periodičnost, interval spojitosti a bod nespojitosti, průsečík grau unkce s osami, interval,
VíceZavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
VíceFunkce dvou a více proměnných
Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:
Více30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: s1a64/cd/index.htm.
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení č. 11 30. listopadu 2017 [KS] Jaromír Kuben Petra Šarmanová: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: http://homel.vsb.cz/ s1a64/cd/inde.htm. 1
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická akulta DRUHÁ SEMINÁRNÍ PRÁCE Z DIFERENCIÁLNÍHO POČTU PRŮBĚH FUNKCE 000/001 Cirik, M-ZT Zadání: Vyšetřete průběh unkce ( ) : y Vypracování: ( ) : y Předně určíme deiniční
VíceIntegrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody)
Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 6. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 23 Obsah
VíceLimita a spojitost funkce
Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném
VíceOtázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
VíceElementární funkce. Polynomy
Elementární funkce 1 Elementární funkce Elementární funkce jsou níže uvedené funkce a jejich složenin : 1. Polnom.. Racionální funkce. 3. Mocninné funkce. 4. Eponenciální funkce. 5. Logaritmické funkce.
VíceDiferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011
Diferenciál funkce Derivace vyšších řádů L Hospitalovo pravidlo Jiří Fišer 22. a 23. března 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 6 22. a 23. března 2011 1 / 18 y ω(h) dy O x Obrázek:
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
VíceMATEMATIKA I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
Evropský polytechnický institut, s.r.o.. soukromá vysoká škola na Moravě Kunovice MATEMATIKA I. Dierenciální počet unkcí jedné proměnné RNDr. Jitka Jablonická Doc. RNDr. Daniela Hricišáková, CSc. Evropský
VíceX = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
Více( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce
MATA P1 Užití derivací Funkce rostoucí a klesající: Deinice rostoucí a klesající unkce Funkce je rostoucí v intervalu (a,b), právě když platí: ( ) ( ) ( ), a, b : 1 1 1 Funkce je klesající v intervalu
VíceVII. Limita a spojitost funkce
VII. Limita a spojitost funkce VII.1. Limita funkce Úvodní poznámky: Limita funkce f v bodě c R hodnota a R, k níž se přibližují hodnoty f(x), jestliže x se blíží k hodnotě c; funkce f nemusí být definovaná
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
Více. 1 x. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7x 2 2y 2 = 14, které jsou kolmé k přímce 2x+4y 3 = 0. 2x y 1 = 0 nebo 2x y + 1 = 0.
Diferenciální počet příklad s výsledky ( Najděte definiční obor funkce f() = ln arcsin + ) D f = (, 0 Najděte rovnici tečny ke grafu funkce f() = 3 +, která je rovnoběžná s přímkou y = 4 4 y 4 = 0 nebo
Vícearcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.
Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál
VíceKapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20
Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Okolí bodu 2/20 Značení: a R, ε > 0 O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a)
VíceCvičení 1 Elementární funkce
Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte
Více1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu
22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte
VíceNejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou
4 Cíle Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou funkce, jejichž ita v bodě 0 je rovna funkční hodnotě v tomto bodě Seznámíme se s vlastnostmi takových funkcí
VíceLimita a spojitost LDF MENDELU
Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceZákladní elementární funkce
Základní elementární funkce Základní elementární funkce Za základní elementární funkce považujeme funkce: a) eponenciální a logaritmické; b) obecné mocninné; c) goniometrické a cklometrické; d) hperbolické
Více6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH
Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle
VíceDefinice derivace v bodě
Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +
VíceText m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze na tabuli a nejsou zde obsaºeny.
Více14. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce
. Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce Studijní text. Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce A. Rostoucí a klesající funkce Pojm rostoucí, klesající a konstantní
VíceAsymptoty funkce. 5,8 5,98 5,998 5,9998 nelze 6,0002 6,002 6,02 6, nelze
Asymptoty funkce 1 Asymptota bez směrnice 6 Máme dvě funkce f 1 : y a 3 f : y 3 Člověk nemusí být matematický génius, aby pochopil, že do předpisu obou funkcí lze dosadit za libovolné reálné číslo kromě
VíceF (x) = f(x). Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak existuje k funkci f primitivní funkce na intervalu I.
KAPITOLA 7: 7. Úvod Primitivní funkce [MA-6:P7.] Definice: Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže pro každé I eistuje F a platí F f. Poznámky: Obsahuje-li I některý z krajních
Více( ) ( ) ( ) x Užití derivace. Předpoklady: 10202, 10209
.. Užití derivace Předpoklad:, 9 Pedagogická poznámka: Hodinu dělíme na dvě polovin jednu na tečn a normál, druhou na L Hospitalova pravidla. Už při zavádění derivace, jsme si ukázali, že hodnota derivace
Víceanalytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.
4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami
Více( + ) ( ) f x x f x. x bude zmenšovat nekonečně přesný. = derivace funkce f v bodě x. nazýváme ji derivací funkce f v bodě x. - náš základní zápis
1.. Derivace elementárních funkcí I Předpoklad: 1 Shrnutí z minulé hodin: Chceme znát jakým způsobem se mění hodnot funkce f ( f ( + f ( přibližná hodnota změn = přesnost výpočtu se bude zvětšovat, kdž
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základ matematik pro FEK 7. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 06/07 Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK zimní semestr 06/07 / 5 Jednostranné limit Definice: Vlastní limita ve vlastním
VícePro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)
Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor
VíceSeznámíte se s principem integrace metodou per partes a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat.
.. Integrace metodou per partes.. Integrace metodou per partes Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme poznali, že integrování součtu funkcí lze provést jednoduše, známe-li integrály jednotlivých
VíceFUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
VíceRolleova věta. Mějme funkci f, která má tyto vlastnosti : má derivaci c) f (a) = f (b). a) je spojitá v a, b b) v každém bodě a,b
Průběh unkce Rolleova věta Mějme unkci, která má tto vlastnosti : a) je spojitá v a, b b) v každém bodě a,b má derivaci c) (a) = (b). b Potom eistuje v a, alespoň jeden bod c, v němž ( c) : 1, 3 0 1 1
Vícex (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f.
1. Funkce Deinice 1.1. Zobrazení nazýváme reálná unkce, jestliže H() R. Další speciikaci můžeme provést podle deiničního oboru zobrazení. Deinice 1.2. Reálná unkce se nazývá (1) unkce jedné reálné proměnné,
VíceMatematika (KMI/PMATE)
Matematika (KMI/PMATE) Přednáška druhá aneb Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) 1 / 30 Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam
VíceMonotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak
Více3. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE
3. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE Okolí reálného čísla a 3.1. Deinice Okolím reálného čísla a nazýváme otevřený interval a, a, kde je libovolné kladné číslo. Je to tedy množina reálných čísel x, která vyhovují
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
Více10. Derivace, průběh funkce
Moderní technologie ve studiu aplikované yziky CZ..07/..00/07.008 0. Derivace, průběh unkce Před mnoha lety se matematici snažili o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici
VíceCvičné texty ke státní maturitě z matematiky
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Úloha 1 1. a = s : 45 = 9.10180 45 = 9.101+179 45 = 9.10.10179
VícePřednáška 3: Limita a spojitost
3 / 1 / 17, 1:38 Přednáška 3: Limita a spojitost Limita funkce Nejdříve je potřeba upřesnit pojmy, které přesněji popisují (topologickou) strukturu množiny reálných čísel, a to zejména pojem okolí 31 Definice
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Derivace funkce
Matematická analýza pro informatiky I. 7. přednáška Derivace funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 31. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
VíceObsah. Derivace funkce. Petr Hasil. L Hospitalovo pravidlo. Konvexnost, konkávnost a inflexní body Asymptoty
Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) / 46 Obsah Základní vlastnosti derivace Geometrický význam derivace Věty o střední hodnotě L Hospitalovo pravidlo 2 Etrémy Konvenost,
VíceMATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel
MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
Více3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim
3 a b s = (a + b) 2 f(s) 3,46 4,680 3,93-2,9422 3,93 4,680 4,2962-2,034 4,2962 4,680 4,4886-0,0954 4,4886 4,680 4,5848 3,2095 4,4886 4,5848 4,5367,0963 4,4886 4,5367 4,526 0,427 4,4886 4,526 4,5006 0,508
Více9. Limita a spojitost
OKOLÍ BODU, VNITŘNÍ A HRANIČNÍ BOD Okolí bodu a je libovolný interval (a r, a + r), kde r > 0; značí se O(a, r), případně jen O(a) (obr. 9..). Číslo r se nazývá poloměr okolí. O(a, r) 0 a r a a + r Obrázek
VíceFUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
Více6. Derivace 6A. Pojem derivace funkce. 6. Derivace. 6A. Pojem derivace funkce
6 Derivace 6A Pojem derivace funkce 6 Derivace Verze 6 března 07 Po limitě a spojitosti je derivace dalším základním pojmem diferenciálnío počtu Derivace funkce f() v bodě 0 je číslo označované f ( 0 ),
Vícedx se nazývá diferenciál funkce f ( x )
6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. /8 3. Elementární funkce. 3. Elementární funkce. Matematická analýza ve Vesmíru.
VícePetr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57
Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost
Více