Matematika II: Aplikované úlohy

Transkript

1 Mtemtik II: Aplikovné úlohy Zuzn Morávková Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv

2 Mtemtik II - plikovné úlohy Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit Ostrv R y 8 - Rosettská desk I 9. Zdání Rosettská desk je trdic ní oznc ení c erné žulové stély, n níž je ve 66 zncích zznmenán tet ve tr ech shodných verzích: dvou egyptských v hieroglyfickém démotickém písmu jednom r eckém pr ekldu. Konfrontce r eckého pr ekldu s do té doby nec itelným hieroglyfickým tetem umožnil rozlušte ní hieroglyfu. Rosettská desk byl objeven. c ervence 799 v Egypte u me st Rosett pr i ústí Nilu. f 8 Funkce f je po c ástech kvdrtická funkce urc ená body [, 8], [3, ], [6, ], [7, 8], [8, 6]. Funkce g je po c ástech kvdrtická funkce urc ená body [, ], [3, 3], [6, ], [7, 6], [8, 3]. 6 Njde te pr edpisy funkcí popisující tvr desky. 4 g R ešení Funkce f je po c ástech kvdrtická funkce, tedy má n intervlu h, 6i pr ed- [6, ], [7, 8], [8, 6]. pis kvdrtické funkce urc ené body [, 8], [3, ], [6, ], n inter vlu h6, 8i jiný pr edpis kvdrtické funkce urc ené body [6, ], [7, 8], 36 6 [8, 6] b = 8 Body [, 8], [3, ], [6, ] dosdíme do pr edpisu kvdrtické funkce: 64 8 c 6 y = + b + c R ešení je =, b = 9, c = 46. Stejným zpu sobem spoc ítáme pr edpisy dostneme soustvu lineárních rovnic: funkce g. Výsledné funkce jsou: 8 9 b = h, 6i c 36 6 f = h6, 8i R ešení je =, b =, c = 8. Funkce má pr edpis: 3 + h, 6i f = h, 6i 6 g = h6, 8i Obdobne spoc ítáme pr edpis funkce f n intervlu h6, 8i, která je urc en body

3 Mtemtik II - plikovné úlohy 6. Řy 8 - Rosettská desk II Zdání Rosettská desk je z černého čediče ρ = 9 kg/m 3 její tloušt k je 8 cm. f = + + 8, , 8 Lze desku přenést jeřábem s nosností 8 kg? Do kterého míst umístíme hák? g = 3 +, , 8 Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit Ostrv Nejprve spočítáme plošnou hustotu: σ = 9 kg m 3 8 cm =.9 kg cm 3 8 cm = 8. kg cm Hmotnost desky je rovn součinu plošné hustoty obshu: m =σ =σ σ 8 f g d = =σ = σ = = 7 kg Pro výpočet težiště spočítáme sttické momenty: S =σ =σ σ f g d = =σ = σ d+ d = d+ d = 8 S y =σ =σ 6 + σ 8 f g d = =σ = σ Těžiště je v bodě: T = [ Sy m ; S ] [ σ m σ ; σ 3874 ]. = [38.7;.9] σ f T g 4 8 d+ d =

4 Mtemtik II - plikovné úlohy 6. Řy 8 - Gtewy Arch I Zdání Známý pmátník Gtewy Arch je symbolem Sint Louis stát Missouri, USA. Pmátník nvrhl finsko-merický rchitekt Eero Srinen německo-merický stvební inženýr Hnnskrl Bndel v roce 947. Stvb zčl v roce 963 byl dokončen v roce 96, celkové nákldy byly 3 milionů dolrů. Gtewy Arch má tvr řetězovky, která má stejnou šířku při zemi výšku 63 stop. Jký je předpis křivky popisující pmátník? Nápověd: y = cosh + b Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit Ostrv Osu umístíme n zem os y je totožná s osou symetrie pmátníku. Hlednou křivkou je řetězovk: 6 4 3, 63 3, 4 4 y = cosh + b N křivce leží body [; 63] [3; ], které dosdíme do vzthu dostneme dvě rovnice: 63 = cosh + b 3 = cosh + b Z první rovnice vyjádříme b dosdíme do druhé rovnice: 3 cosh = Rovnici lze vyřešit numericky nebo použitím vhodného mtemtického progrmu. GeoGebr má k dispozici příkz NuloveBody f=-*cosh3/++63 NuloveBody[f,] 4, 4 je =, b = 77.7 řetězovk má předpis: y = cosh kde 3 stop; 3 stop. f = cosh

5 Mtemtik II - plikovné úlohy 6. Řy 83 - Gtewy Arch II Zdání Pmátník Gtewy Arch má tvr řetězovky: kde 3 stop; 3 stop. y = cosh Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit Ostrv Hlemýžd se pohybuje rychlostí metr z hodinu. Dostne se n vrchol pmátníku z týden? Nápověd: stop =.348 m Vypočítáme derivci: y = cosh = = sinh = sinh Délk křivky se spočítá: s = = b y d = cosh = stop 3 + sinh 3 [ d = sinh d = ] 3 3 = Ukážeme i výpočet bez použití hyperbolických funkcí. Hyperbolický kosinus vyjádříme podle definice spočítáme derivci: y = cosh = = e + e y = e e Délk křivky se spočítá: b s = = 3 + y d = 3 3 = = [ e + e e ] 3 e 3 3 e 3 d = + e e d = [ ] e 3 3 = 3 = stop = 4.3 m =.43 km Rychlost je v = m h =. km h. Vypočítáme čs, kdy se hlemýžd dostne n vrchol pmátníku, tj. do poloviny délky: t =. s v =..43. = 7.67 hodin = dní = dní

6 Mtemtik II - plikovné úlohy 63. Řy 84 - Chldící věž Ledvice I Zdání Chldící věže jsou nezbytnou součástí elektráren. Slouží ke chlzení vody, která se používá při výrobním procesu elektrické energie ve strojovně. Nová věž s přirozeným them pro elektrárnu Ledvice je po chldících věžích n jderné elektrárně Temelín druhá nejvyšší v ČR. Je přesně 44.8 m vysoká její průměr n ptě bude.9 m v koruně 7.3 m. Nejužší místo věže je ve výšce. m. Chldící věž má tvr rotčního hyperboloidu. Jký je předpis křivky, popisující tvr věže? Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit Ostrv Osu umístíme do nejužšího míst věže os y je totožná s osou symetrie věže. Hlednou křivkou je hyperbol se středem v počátku souřdnic: , 33.3 y b =. N hyperbole leží body [3.6; 33.3] [.4;.], které dosdíme do rovnice dostneme: b =.4. b = 44.8 : = 33.66, b = Výsledná křivk je dán předpisem:.4, y =,.9 kde y.; 33.3.

7 Mtemtik II - plikovné úlohy 64. Řy 8 - Chldící věž Ledvice II Zdání Chldící věž má tvr rotčního hyperboloidu. Hyperbol je dán: Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit Ostrv y =. kde y. m; 33.3 m. Jký je objem povrch věže? Nápověd: k + = k + + k ln + k + k Hyperboloid vznikne rotcí části hyperboly kolem osy y proto eplicitně vyjádříme : = y Objem rotčního těles se spočítá: b 33.3 V =π dy = π y dy = =π [y] [ y 3 ] = 3. =π = m 3 Vypočítáme derivci: = y y = y y Povrch rotčního těles se spočítá: b P =π + dy = b =π y y dy = y =π y dy = =π k k + y dy kde k = = P = m

8 Mtemtik II - plikovné úlohy 6. Řy 86 - Teplot v pokoji I Zdání V místnosti o rozměrech m m je v jihovýchodním rohu v polovině jižní stěny teplot 9 C, v jihozápdním rohu 4 C, v polovině zápdní stěny 8. C, v severozápdním rohu 3 C v severovýchodním rohu je 8 C. Njděte kvdrtickou plochu popisující teplotu. Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit Ostrv Kvdrtická funkce má předpis: f, y = + y + 3 y y + 6 Funkce je určen body f, = 9, f, = 9, f, = 4, f, = 8., f, = 3, f, = 8. y 3 C 8 C soustvy je =., =., 3 =, 4 =., =.4, 6 = 9 funkce má předpis: f, y =..y y + 9,, y, 8 8. C f,y C 9 C 4 C Dosdíme body do předpisu funkce f, y dostneme soustvu lineárních rovnic: = y 4 6 8

9 Mtemtik II - plikovné úlohy 66. Řy 87 - Teplot v pokoji II Zdání V místnosti o rozměrech m m je teplot popsán funkcí: Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit Ostrv V kterém místě bude nejtepleji? Bude tm tepleji než C? f, y =..y y + 9,, y, Pro nlezení lokálního etrému je potřeb njít stcionární body: f =. +. f =.y +.4 y Stcionární bod je A = [.; ]. Spočítáme druhé prciální derivce: f =., Určíme hodnoty Hessiánu: D = f A f y A f y =., D = f A =. < f y = f y A =.4 > V bodě A = [.; ] je ostré lokální mimum f., =. C. f,y A y

10 Mtemtik II - plikovné úlohy 67. Řy 88 - Teplot v pokoji III Zdání V místnosti o rozměrech m m je teplot popsán funkcí: Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit Ostrv f, y =..y y + 9,, y, Půjdeme z jihovýchodního do severozápdního rohu. V kterém místě této cesty bude nejtepleji? Jká je průměrná teplot n této cestě? Hledáme vázný etrém funkce f, y vzhledem k podmínce y =. y = Průměrná hodnot funkce je dán: f prům = b = b f d = [ ] d = = 6.83 Průměrná teplot n cestě je 6.83 C. Podmínku dosdíme do předpisu funkce f : f = = Njdeme lokální mimum funkce f : f =.4 +. = =. f =.4 < =. je mimum Dopočítáme druhou souřdnici y =. = 4.7. V bodě [.; 4.7] je největší teplot f., 4.7 = 8. C.., 8. y = 6.83 f =

11 Mtemtik II - plikovné úlohy 68. Řy 89 - Teplot v pokoji IV Zdání V místnosti o rozměrech m m je teplot popsán funkcí: Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit Ostrv f, y =..y y + 9,, y, Projdeme se pokojem po největší možné kružnici. V kterém místě této cesty bude nejtepleji? Bude tm tepleji než C? Hledáme vázný etrém funkce f, y vzhledem k podmínce + y =. Sestvíme Lgrngeovu funkci:, r = Φ, y, λ = f, y + λg, y =..y y λ + y Njdeme stcionární body funkce Φ: Φ = λ = Φ = y.y λy = Φ λ = + y = Z první rovnice vyjádříme λ = dosdíme do druhé vyjádříme y = 6, dosdíme do poslední rovnice získáme kvdrtickou rovnici: = Máme dv stcionání body: A : =.799, y =.89, λ =.9 A : = 8.9, y = 8.84, λ =.78 Určíme druhé prciální derivce: Φ =. + λ, Φ y =. + λ, Φ y = V obou bodech A, A bude etrém, nebot D =. + λ >, určíme o jký etrém se jedná: D A =. +.9 =.6 < D A =. +.9 =.6 > Tedy v bodě [.799,.89] je největší teplot 9.9 C. v A je mimum v A je minimum