f(x)dx, kde a < b < c

Transkript

1 URČITÝ INTEGRÁL jeho plikce Newton-Leibnizov formule f(x)=f(b) F(), kde F (x)=f(x). Vlstnosti ) ) ) 4) Substituce f(x)+ c f(x)= f(x)= f(x)= b f(g(x))g (x)= f(x)= f(x) c f(x), kde < b < c pro fsudou, = pro flichou. b f(x) t=g(x) dt=g (x) α=g() β= g(b) Per prtes b f(x)g (x)=[f(x)g(x)] b f (x)g(x) Příkld ) ) d) ) ) d) x +x, b) sinx cosx, e) = β α x x 4 +, c) xe x, f) π/4 π/4 x x +, b) sinx (+cosx), c) cos(4x ), e) xln, f) x f(t)dt=f(β) F(α) tgx. /4 / sin 4 xcosx (x ),. (4x+) 4

2 g) ) ) d) x 7, h) xcosx, b) cos x, e) Nevlstní integrál 4) ) e) ) ) e) x+ e x (x +x+8) 4, i) e x + xe x, c) e x cosx, f), b), c) x x x x +, f) x, b) x x x, rccosx, e 4x, d) x (x+)(x+), g) x, c) x f) x e x. x sinx x., d) x Výsledk(zcel bez záruk) ) ), b) 4, c), d) ln, e) 4 (e8 ), f). ) ) 4, b), c) (+ ), d), e) 4 g) 7 ln, h) ( 8 ), i) e+ 4. ln ln, f) 8, x +x+6, x, ) ), b) 4 4e, c), d) π 4, e) (+e ), f) π. 4) ), b) 4, c) 4, d)ln, e), f) ln, g). ) ) 8, b) 8, c) π, d)ln(+ ), e) π 4, f). Řešení vbrných příkldů 4) b)jdeonevlstníintegrálvlivemfunkce.integrovnáfunkcejespojitán(,,le vokolínuljeneomezená.spočítámeprotointegrálvmezích,,kde< posléze přejdemeklimitě +.

3 = x x / = u = x /, u=x / v=, v = x = ln [4x /] = ln 4+4 Zbývá spočítt limitu. lim +( ln 4+4 )= ( ) / = lim 4 + / / = 4. x Problém působí pouze první člen. Zkusíme L Hospitl ( = lim 4 / 4 + = ) = 4,ted 4) d) Jde o nevlstní integrál vlivem meze. Vpočteme [ ] x / ( = lim + x +x+6 limitu pro b. Nejprve rozložíme integrnd n prciální zlomk. x +x+6 = (x+)(x+) = A x+ + B x+ = A(x+)+B(x+) (x+)(x+) ln 4 / x / = }{{ x} x / ) =, b >následně A(x+)+B(x+)=. Porovnámekoeficientustejnýchmocninxdostneme: } A + B = A=, B=. Nebolépe;dorovnicedosdímekořenjmeno- A + B = vtele: x= : A=, x= : B= B=. } Náš integrál je ted ( x+ ) = x+ =[ln x+ ln x+ ] b =ln b+ b+ ln. lim ln b+ b b+ = (Limitvnitřnífunkceje,ln=.)Amámevýsledek,hurá!!! x +x+6 =ln, Většinou se všk při výpočtu nevlstních integrálů limit nepíší, prostě se dosdí ptřičné hodnot. A protože je škod nevužít volného míst, zde je ještě jeden příkld. )c)jdeonevlstníintegrálvlivemfunkce,integrndnenídefinovnýpro x=. x=sint = costdt x =costdt = α=, β= sin t = cost cost dt= dt= π.

4 APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU Obsh rovinné ploch f(x) f(x) S S g(x) b x obr. b x obr. S= f(x) S= (f(x) g(x)), Objem rotčního těles, vzniklého rotcí všrfovné ploch(obr. ) kolem os x. V= π Délk křivk l= l= β α f (x) +(f (x)) prokřivku = f(x), x, b. (ẋ(t)) +(ẏ(t)) dt prokřivku x=x(t), = (t), t α, β. Obsh rotční ploch vzniklé rotcí rovinné křivk l kolem os x. S=π S=π β α f(x) +(f (x)) rotujekřivk = f(x), x, b. (t) (ẋ(t)) +(ẏ(t)) dt rotujekřivk x=x(t), = (t), t α, β. Těžiště plošného útvru(obr. ) o konstntní plošné hustotě σ. x T = S M, kdesttickýmoment S = T = S x M, kdesttickýmoment S x= σxf(x)hmotnost M= σf (x) σf(x) 4

5 Příkld ) Určete obsh rovinného oboru, ohrničeného )křivkmi = x, = +x, b)souřdnicovýmiosmikřivkou x=t, =cost, t,, c)souřdnicovýmiosmikřivkou x=cos t, =sin t, t,. ) Určete délku křivk ) = 8x, x., b) x=cos t, =sin t, t,, c) kružnice o poloměru r, d) x=(t sint), = ( cost), t,π (jedenobloukckloid). ) Určete objem ) koule, b)kuželespodstvouopoloměru rvýškou v, c) rotčního prboloidu s podstvou o poloměru r výškou v, d) těles, které vznikne rotcí rovinného oboru ohrničeného osou x prmetrickzdnoukřivkou x=rctgt, = t. Výsledk )) /, b) π, c)π/8. )) 7 (9 9 ), b), c)πr, d)8. )) 4 πr, b) πr v, c) ( πr v, d)π π 8 ). Řešení vbrných příkldů ) d) Nejprve určíme průsečík křivk s osou x(tj. meze příslušného integrálu). = t = t=±.objemspočítámezevzthu V= π integrovná (t)ẋ(t)dt= =π ( t ) funkce je sudá +t dt=π =π t 4 t + +t dt= ( t + 4 ) [ ] t ( ) ( +t dt=π t+4rctgt =π +π =π π 8 ). Akohozjímá,jkážeploch vlstně rotuje, zde je obrázek. π/4 f(x)= tg x x

6 Fzikální plikce ) Těžiště trojúhelníku, neb okénko do nltické geometrie. Určete těžiště homogenního trojúhelníku ABC,kde A[,], B[7,], C[,4]. Řešení: rovnicepřímkdnédvěmbod A[x A, A ] B[x B, B ]je: A = B A x B x A (x x A ). Pro zdné bod vchází: AC: = 4 x, BC: 4= 4(x ),cožuprvenodává = x+4. 7 A můžeme směle použít vzorce ze strn 4. Protože je trojúhelník homogenní, je jeho plošná hustotkonstntnínemusímesnípočítt,cožučiníme.tj.můžemepoložit σ=. M= A S = 4 x+ S 7 T x 4 7 x+ ( x+4)= C Tkže těžiště má souřdnice B x [ 4 x( x+4)= x ] ] 7 + [ x +4x =4 Nebojsmesimohlinmlovtobrázekuvědomitsi,že hmotnost trojúhelníku je při jednotkové plošné hustotě číselněrovnjehoobshutenjezákldnkrátvýšk lomenodvěm,ted7 4/=4. S x = 6 7 x + ( x+4) = = [ ] ] 7 8 x 4 + [ ( x+4) = 6 [ ] ] 7 4 x + [ x +4x =6. x T = S M =4, T= S x M =4. Je-li trojúhelník homogenní, splývá fzikální těžiště(hmotný střed) s geometrickým. Sndno se o tom přesvědčíme, ť už budeme počítt těžiště jko průsečík těžnic, nebo třeb tkto: T= S+ SC=[.,]+ (.,4)=[4,4/]. ) Určete souřdnice těžiště rovinného oboru ohrničeného první větví ckloid osou x. Ckloidmáprmetrickérovnice: x=(t sint), = ( cost), t,π. ) Určete souřdnice těžiště první větve ckloid(cob křivk). 4) Určete souřdnice těžiště rovinného oboru v prvním kvdrntu, ohrničeného částí steroid x=cos t, = sin t, t, osmi x. Výsledk ) T=[π,/6] ) T=[π,4/] 4) T=[6/π,6/π]. 6