Vyučující: Jan Chleboun, místnost B-305, linka 3866 Konzultace: úterý 14:00-15:40 nebo dle dohody

Transkript

1 Předmět: MA4 Vyučující: Jan Chleboun, místnost B-35, linka 3866 Konzultace: úterý 14:-15:4 nebo dle dohody Sledovat informace na webových stránkách vyučujícího (o zkoušce, studijní materiály aj.): web FSv ČVUT kat. matematiky Chleboun MA4 nebo Hlavní literatura zdroje na webové stránce přednášejícího skripta O. Zindulka: MA 3 skripta K. Rektorys: MA 43 (knihovna)

2 Volitelný předmět: Seminář k Matematice 4 (11XSM4) Více informací na webu. Kdy a kde: středa 16: 17:4, B-255

3 Magisterské studium náročnější úroveň než bakalářské studium Bakalář zná kuchařskou knihu. (Jak?) Inženýr píše kuchařskou knihu. (Proč a jak?) Prototyp inženýra Cyrus Smith (J. Verne, Tajuplný ostrov) Matematika řešení příkladů Trocha matematické teorie stojící za řešením úloh, s nimiž se setkáte i v jiných předmětech (NAK). Připomenutí matematických souvislostí. Částečné opakování. Procvičení mozku; abstraktní myšlení. Větší rozhled lepší pozice na trhu práce. Příprava na spolupráci s odborníky, kteří hovoří náročnějším matematickým jazykem (absolventi FJFI ČVUT, MFF UK aj.).

4 Pokus: Počítejte hodnoty I i dle rekurentních vztahů I = 1 1 e, ( I 1 = 1 I = 1 ), e I 2 = 1 2I 1, I 3 = 1 3I 2,... I n = 1 ni n 1 tak dlouho, až pro nějaké i poprvé nastane I i <. Poznamenejte si i a I i.

5 Je předmět MA4 obtížný? Asi ano, ale méně, než se povídá, neboť vektory, matice, determinanty jsou zopakovány na cvičení na stránce k MA4 jsou odkazy na materiály k lineární algebře, derivaci a integrálu vhodné pro opakování MA4 předpokládá jen velmi málo znalostí z MA1, MA2, MA3 (ne techniky, ale ponětí o pojmech) na stránce k MA4 jsou/budou prezentace přednášek většina témat je stručně pokryta Příručkou pro přežití

6 Časté námitky

7 Časté námitky Matematiku jsme měli naposled před třemi lety!

8 Časté námitky Matematiku jsme měli naposled před třemi lety! V odborných předmětech nebyla zapotřebí? To je zopakování si základů takový probém (viz připravené materiály)?

9 Časté námitky Matematiku jsme měli naposled před třemi lety! V odborných předmětech nebyla zapotřebí? To je zopakování si základů takový probém (viz připravené materiály)? Tohle nikdy nebudu potřebovat, vidím to ve firmě, kde pracuji!

10 Časté námitky Matematiku jsme měli naposled před třemi lety! V odborných předmětech nebyla zapotřebí? To je zopakování si základů takový probém (viz připravené materiály)? Tohle nikdy nebudu potřebovat, vidím to ve firmě, kde pracuji! a) Možná přímo ne stejně jako 92% informací, které Vámi protekly během celé školní docházky (6-85% z pobytu na FSv). Je však osobnost a její schopnost řešit problémy utvářena jen školením zaměřeným na konkrétní úkol?

11 Časté námitky Matematiku jsme měli naposled před třemi lety! V odborných předmětech nebyla zapotřebí? To je zopakování si základů takový probém (viz připravené materiály)? Tohle nikdy nebudu potřebovat, vidím to ve firmě, kde pracuji! a) Možná přímo ne stejně jako 92% informací, které Vámi protekly během celé školní docházky (6-85% z pobytu na FSv). Je však osobnost a její schopnost řešit problémy utvářena jen školením zaměřeným na konkrétní úkol? b) Pohled školy je jiný. Diplom má být pro absolventa i jeho zaměstnavatele potvrzením toho, že absolvent v určitém rozsahu zvládá určité spektrum disciplín, že je jakýmsi vícebojařem. Pokud toho v životě nevyužije, je to jeho věc. Pak se také naskýtá otázka, zda takový certifikát vůbec potřebuje.

12 Zpět k pokusu: V posloupnosti je I n = 1 1 e x n e x dx. Ukažme to integrací po částech I n = 1 e 1 x n e x dx = 1 [ x n e x] 1 e 1 1 e n x n 1 e x dx = 1 e (e ) ni n 1 = 1 ni n 1.

13 Zpět k pokusu: V posloupnosti je I n = 1 1 e x n e x dx. Ukažme to integrací po částech I n = 1 e 1 x n e x dx = 1 [ x n e x] 1 e 1 1 e n x n 1 e x dx = 1 e (e ) ni n 1 = 1 ni n 1. Platí I = 1 e 1 1e x dx = 1 e [ex ] 1 = e 1 e = 1 1 e.

14 Zpět k pokusu: V posloupnosti je I n = 1 1 e x n e x dx. Ukažme to integrací po částech I n = 1 e 1 x n e x dx = 1 [ x n e x] 1 e 1 1 e n x n 1 e x dx = 1 e (e ) ni n 1 = 1 ni n 1. Platí I = 1 e 1 1e x dx = 1 e [ex ] 1 = e 1 e Vždy je I n >, navíc lim n + =, neboť = 1 1 e. < 1 x n e x dx e 1 x n dx = e [x n+1] 1 n+1 = e n +. n+1 M. Křížek: Můžeme věřit numerickým výpočtům? PMFA, 211, číslo 4 (podle I. Babuška, M. Práger, E. Vitásek: Numerical processes in differential equations, 1966)

15 Matematika 4 začíná Základy značení R, C... množina reálných, komplexních čísel ; a R... je prvkem; a je reálné číslo ; ;!... (pro) každý; existuje; existuje právě jeden = ;... z toho plyne; právě tehdy, když C([a, b]), C k ([a, b])... množina (ale!, viz dále) všech reálných funcí spojitých na uzavřeném intervalu [a, b], spojitých na uzavřeném intervalu [a, b] do k-té derivace včetně Ukázka definice množiny M = { v C 1 ([a, b]) v(a) = & v (b) = }

16 Vektorový (též lineární) prostor V : prvky lze sčítat a násobit skalárem, přičemž platí (1)-(9) u, v V u + v = v + u, (1) u, v, z V u +(v + z) = (u + v)+z, (2)! V u V u + = u, (3) v V! v V v +( v) =, (4) α C (nebo R) v V αv V, (5) v V 1v = v, (6) α,β C (nebo R) v V α(βv) = (αβ)v, (7) α C (nebo R) u, v Vα(u + v) = αu +αv, (8) α,β C (nebo R) v V (α+β)v = αv +βv. (9) Ale nejdůležitější jsou dvě vlastnosti: u, v V = u + v V u V, a R = au V Ekvivalentně: u, v V a, b R = au + bv V Znáte v. p. R n, C k ([a, b]), M = { v C 1 ([a, b]) v(a) = & v (b) = }.

17 Vlastní čísla a vlastní vektory matic Nechť A je čtvercová matice. Nenulový sloupcový vektor x se nazývá vlastní vektor matice A, platí-li Ax = λx pro nějaké číslo λ C. Toto λ se nazývá vlastní číslo matice A odpovídající vlastnímu vektoru x. λ je vlastní číslo matice A (právě tehdy, když) λ je kořenem charakteristického polynomu matice A, tj. det(a λi) =. Návod pro výpočet vl. čísel malé matice! Kořeny mohou být násobné i komplexní (čísla). Vl. vektor(y) odpovídající vl. č. λ získáme vyřešením soustavy lin. alg. rovnic (A λi)x =. Počet lineárně nezávislých vlastních vektorů může být menší než počet vlastních čísel (braných s násobností). Využití: vlastnosti metod NLA, řešení soustav LODR Ẋ = AX + b, hlavní směry napětí a hlavní napětí, vlastní frekvence a vlastní tvary kmitání, Google...

18 Nechť A je čtvercová matice (reálná nebo komplexní). Matice A je singulární (tj. neexistuje A 1, regulární: existuje A 1 ) právě tehdy, když má vlastní číslo. (λ, x) vlastní pár matice A = (λ 2, x) vlastní pár matice A 2. Existuje-li A 1, je (λ, x) vlastním párem matice A právě tehdy, když (1/λ, x) je vlastním párem matice A 1 (tj. A i A 1 mají stejné vlastní vektory). n i=1 λ i = tr A, kde tr A = n i=1 a n ii, i=1 λ i = det A Je-li (λ, x) vlastní pár reálné matice A, pak také ( λ, x) je vlastním párem matice A. Reálná nesymetrická matice může mít komplexní vl. čísla a vektory! A i A T mají stejná vl. čísla, vl. vektory mohou být různé. Je-li A reálná a symetrická, pak všechna její vlastní čísla jsou reálná a vlastní vektory odpovídající různým vlastním číslům jsou navzájem kolmé.

19 Dokažme poslední tvrzení. Definujme skal. součin pro vektory s komplexními složkami: (u, v) C = Platí: (u, v) C = (v, u) C, n u i v i, u, v C n i=1 (u,λv) C = λ(u, v) C λ C Příklad: u = (1+i, 2 3i, 4+2i), v = (5 i, 2i, 4 3i) (u, v) C = 24+2i, (v, u) C = 24 2i (u, u) C = 35, (v, v) C = 55 Důkaz: Nechť Au = λu a Av = ωv, kde λ ω. Pak λ(u, u) C = (Au, u) C = (u, A T u) C = (u, Au) C = (u,λu) C = λ(u, u) C (u,u) C > = λ = λ; λ(u, v) C = (Au, v) C = (u, Av) C = ω(u, v) C λ ω = (u, v) C =.

20 Násobnost vlastního čísla λ matice A typu n n algebraická: násobnost kořene charakteristického polynomu p(λ) = det(a λi), tj. násobnost řešení char. rovnice det(a λi) = geometrická: dimenze (pod)prostoru N(A λi) = {v C n : (A λi)v = }, tj. maximální počet lin. nezávislých vlastních vektorů příslušných vl. číslu λ. Ukázka: 4 1 A = 4, p(λ) = (4 λ) 3, báze (vl. v.):, 1,. 4 1 Násobnost algebraická = 3, geometrická = 3.

21 4 1 A = 4, p(λ) = (4 λ) 3, báze (vl. v.): 4 1,. 1 Násobnost algebraická = 3, geometrická = A = 4 1, p(λ) = (4 λ) 3, báze (vl. v.): 4 1. Násobnost algebraická = 3, geometrická = 1. Další vlastnosti: 1 geom. násobnost algebraická násobnost n Vlastní čísla horní (dolní) trojúhelníkové matice leží na její hlavní diagonále

22 Definice Množina všech vlastních čísel matice se nazývá spektrum matice. Spektrum matice A budeme označovat σ(a). Definice Reálnému číslu (A) = max{ λ : λ σ(a)} říkáme spektrální poloměr matice A.

23 Vl. páry pro větší a velké matice numerickými metodami Mocninná metoda s Hotellingovou redukcí (nejjednodušší verze) Předpoklady: A symetrická typu n n, vlastní čísla jen jednonásobná, existuje n lineárně nezávislých vl. vektorů. 1. m :=, zvolme vektor v, např. v := (1, 1,..., 1) T. 2. v := Av m ; c m+1 := ta složka vektoru v, jejíž absol. hodnota je největší; v m+1 := v/c m+1 ; m := m c m má konvergovat k vl. č. s největší absol. hodnotou, v m má konvergovat k přísl. vl. vektoru; nejsme-li s konvergencí spokojeni, vrátíme se na 2, jinak pokračujeme na 4 4. Chceme-li vypočítat vl. č. s druhou největší absol. hodnotou matice A, použijeme Hotellingovu redukci: q := c m /(v m v m ); A := A qv m v T m, nová matice A má místo původního vl. č. s největší absol. hodnotou vl. číslo, ostatní vl. č. jsou zachována; vrátíme se na 1. Nechceme-li počítat další vl. čísla, ukončíme výpočet. (Ukázka Matlab.) V praxi spíše jiné metody Lanczos, Householder, Givens,...

24 Geršgorinova věta Nechť A = (a ij ) je komplexní nebo reálná čtvercová matice n-tého řádu, tj. typu (n, n). Potom všechna vlastní čísla matice A leží v komplexní rovině ve sjednocení n i=1 K i kruhů K i o středu a ii a poloměru n j=1, j i a ij : n K i = z C : a ii z a ij, i = 1, 2,...,n. j=1, j i V každé komponentě tohoto sjednocení leží právě tolik vlastních čísel matice A, z kolika kruhů tato komponenta vznikla. Speciálně v izolovaném kruhu leží právě jedno vlastní číslo.

25 Příklad Je dána matice 1 5 A = Pomocí Geršgorinovy věty zjistěte, a) zda je zaručeno, že matice A je regulární; b) zda by číslo 4+2i mohlo být vlastním číslem matice A; c) zda by číslo 4+2i mohlo být vlastním číslem matice A. Odhadněte spektrální poloměr. Vypočtěte vlastní čísla, spektrální poloměr, případně vlastní vektory. Existuje-li A 1, vypočtěte vl. čísla.

26 Řešení: Spočteme vlastní čísla a porovnáme s odhady danými Geršgorinovými kruhy. 1 λ 5 det(a λi) = det 2 λ 2 3 λ Kořeny, tj. vlastní čísla = (1 λ)(2 λ)(3 λ)+1(2 λ) = (2 λ)(3 4λ+λ 2 + 1) = (2 λ)(λ 2 4λ+13) det(a λi) = λ 1 = 2+3i, λ 2 = 2 3i, λ 3 = 2 Vl. čísla nenulová = existuje A 1. Příslušná vl. č.: ˆλ 1 = 1/λ 1 = 1 2+3i = 2 3i 13, ˆλ2 = 2+3i 13, ˆλ3 = 1/2.

27 G. kruznice, vl. císla λ, spektr. polomer, jeho h. odhad 6 4 Imaginární osa 2 2 λ 1 S 1 S 2 S 3 λ 3 4 λ Reálná osa a) G. věta regulárnost nezaručí, neboť počátek (tj. nula) leží v největším modrém kruhu, není vyloučeno, že je vl. č. b) Ne; stačí G. věta, 4+2i leží mimo G. kruhy. c) G. věta připouští, že mohlo, neboť 4+2i leží v G. kruhu. Spektrální poloměr přesný (A) = 2+3i = 2 3i = 13, odhadnutý dle G. věty Geršgorin (A) = 6 (poloměr nejmenšího kruhu pokrývajícího všechny modré kružnice).

28 Vlastní vektory: řešíme (A λi)v = (,, ) T λ 1 = 2+3i 1 3i i 3i 3i 2 1 3i i 2 1 3i 3i v 1 = 1 3i r, r C\{} 2 Zkouška: levá strana Av 1, pravá strana λ 1 v 1 ; levá str.? = pravá str. Av 1 = i = 11 3i, λ 1 v 1 = (2+3i) 1 3i = 11 3i ; i 2 4+6i levá strana = pravá strana, tj. (λ 1, v 1 ) je vlastní pár.

29 1+3i i λ 2 = 2 3i 3i 3i 2 1+3i i 2 1 3i 3i 1+3i v 2 = 2 q, q C\{} Zk λ 3 = 2 v 3 = 1 p, p C\{} Zk

30 Příklad Je dána matice 1+3i 1+i 2/(1+i) A = 1/2 3 2i (1+i)/i. 2i (1+i)/2 3i Pomocí Geršgorinovy věty zjistěte, a) zda je zaručeno, že matice A je regulární; b) zda by číslo 2+3i mohlo být vlastním číslem matice A; c) zda by číslo 3 2i mohlo být vlastním číslem matice A; d) zda by číslo 2/5 i/5 mohlo být vlastním číslem matice A 1. Odhadněte spektrální poloměr. Geršgorinovy kruhy Kruh K 1 : S 1 = [1, 3], r 1 = 2 2 < 3 Kruh K 2 : S 2 = [3, 2], r 2 = < 2 Kruh K 3 : S 3 = [, 3], r 3 = < 3

31 G. kruznice, vl. cisla λ, spektr. polomer, jeho h. odhad 6 4 λ 1 S 1 Imaginární osa 2 2 S 3 S 2 λ 3 4 λ Reálná osa a) ano, nula (počátek) je mimo G. kruhy; b) ano, leží v G. kruhu c) ne, protože nejbližší kruh je K 3, ale vzdálenost bodu od středu S 3 je 3 2i ( 3i) = 3+i = 1 > 3 1 d) ne, neboť = 2+i leží mimo G. kruhy, tedy nemůže 2/5 i/5 být vl. č. matice A, tudíž 2/5 i/5 nemůže být vl. č. matice A 1.