9. Limita a spojitost funkce

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "9. Limita a spojitost funkce"

Transkript

1 Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/ Limita a spojitost funkce OKOLÍ BODU, VNITŘNÍ A HRANIČNÍ BOD Okolí bodu a je libovolný interval (a r, a r), kde r > 0; značí se O (a, r ), případně jen O (a ) (obr. 9..). Číslo r se nazývá poloměr okolí. O(a, r) 0 a r a a r Obrázek 9. Okolí bodu Uvažujme libovolnou množinu M R. Bod a je vnitřní bod množiny M, jestliže eistuje O (a ) takové, že platí O (a ) M. Bod a je hraniční bod množiny M, jestliže v každém O (a ) eistují body, které patří do M a současně body, které do M nepatří. Je zřejmé, že každý vnitřní bod patří do M, kdežto hraniční bod množiny M může, ale nemusí patřit do M. K význačným množinám na reálné ose patří intervaly. Pokud hraniční bod intervalu patří do intervalu, nazývá se též krajní bod. Polouzavřený interval ( p, q má hraniční body p, q, z nichž p M, q M; každý bod ( p, q) je jeho bodem vnitřním. Bod q můžeme též nazvat bodem krajním. POJEM LIMITY FUNKCE V BODĚ V matematické analýze má pojem limity základní význam. V běžném jazyce se ale slovo "limita" nevyskytuje. Používají se však jemu příbuzná slova (například limit rychlosti, limitující faktor) ve smyslu jisté "hranice" mající kritický význam. S takovou intuitivní představou lze přistupovat k pochopení matematického pojmu limita. 84

2 Motivační úvaha: Ještě než uvedeme definici pojmu limita funkce v bodě je užitečné provést tuto motivační úvahu: Uvažujme funkci f ( ) =, zřejmě D ( f ) = R {}. Jistě vyvstane otázka, co lze očekávat v bodě, ve kterém není funkce definována. Přirozený důvod má myšlenka přiblížit se co nejvíc bodu a z příslušných vypočtených hodnot funkce usuzovat na situaci v bodě. Bodu se lze libovolně přiblížit zleva i zprava například pro 0,9 je f (0,9) =,9, pro, je f (,) =,, dále f (0,99) =,99, f (,0) =,0 atd. Lze vyslovit hypotézu, že při přibližování z obou stran k bodu se hodnoty funkce přibližují k číslu. Tuto hypotézu podporuje i graf funkce f na obrázku 9.. Přesně formulováno, k libovolně zvolenému ε > 0 eistuje δ > 0 tak, že pro ( δ, δ ), platí f () ( ε, ε). V takovém případě se prohlásí číslo za limitu funkce ( ) zda je f v bodě definována či ne. f = v bodě. Důležitý je fakt, že pro tuto úvahu není podstatné, y f () ε ε f ( ) = 0 δ δ Obrázek 9. Graf f ( ) = Definujme nyní limitu funkce v bodě: Předpokládejme, že funkce f je definována na nějakém okolí O (c ) bodu c s případnou výjimkou bodu c. Funkce f má v bodě c limitu a, jestliže ke každému ε > 0 eistuje δ > 0 tak, že pro (c δ, c δ ), c platí f () (a ε, a ε). Zapisuje se f ( ) = a a". lim a čte se "limita funkce f pro jdoucí (blížící se) k c je rovna c Poznámka: Volně řečeno, funkce f má v bodě c limitu a, jestliže pro hodnoty blízké okolí bodu c (ale různé od c) je hodnota f () blízká hodnotě a. Geometricky to znamená, že při libovolném 85

3 ε > 0 leží graf funkce pro c, c δ < < c δ v pásu mezi přímkami y = a ε a y = a ε (obr. 9.). Abychom postihli případy, kdy se funkce chová jinak vlevo od zkoumaného bodu a jinak vpravo, definujeme levé (pravé) okolí bodu a jako interval (a r, a ) ( (a, a r ) ), kde r > 0; značí se O - (a ) ( O (a ) ). Předpokládejme, že funkce f je definována na levém (pravém) okolí O - (c ) (O (c ) ) bodu c. Funkce f má v bodě c limitu a zleva (zprava), jestliže ke každému ε > 0 eistuje δ > 0 tak, že pro (c δ, c ) ( (c, c δ ) ), platí f ( ) (a ε, a ε). Zapisuje se lim f ( ) = a ( lim f ( ) = a c c pro jdoucí (blížící se) k c zleva (zprava) je rovna a". ) a čte se "limita funkce f Obrázek 9. Limita funkce v bodě Závažná je skutečnost, že eistence limity nezávisí na tom, zda je funkce f v bodě definována či ne. To znamená, že je-li f v bodě c definována, její hodnota f (c ) neovlivní hodnotu limity v bodě c. Důležitý případ nastane, jestliže limita eistuje a navíc se rovná funkční hodnotě pak se f prohlásí za spojitou v bodě (viz dále). Na obrázku 9.4 je příklad funkce, která je v bodě c definována, avšak v bodě c limita neeistuje (pro hodnoty blízké c jsou zleva funkční hodnoty rovny číslu, zprava číslu, tedy žádné společné předem pevně zadané hodnotě). Je zřejmé, že definice limity nedává návod, jak ji "vypočítat". Užitím definice lze pouze potvrdit, zda předem zadané číslo limitou skutečně je. Potvrzení je však snadné pouze v jednoduchých případech, jinak vyžaduje obvykle zvláštní postup s vhodně volenými matematickými obraty. 86

4 y f (c) 0 c f Obrázek 9.4 Neeistence limity V každém případě je však velmi důležité stanovení hypotézy o eistenci limity, případně její hodnotě, založené na pochopení pojmu limita. To umožní i řešení úloh typu "určete lim f ( ) c ", jak jsou tradičně úlohy o limitách zadávány. Při stanovení hypotézy se postupuje tak, jak je uvedeno v motivační úloze o limitě vyšetříme hodnoty funkce v bodech blízkých zleva i zprava bodu, ve kterém se limita hledá. sin (a) Stanovíme hypotézu o lim. Vychází f (0,) = f ( 0,) = 0,998, f (0,05) = f ( 0,05) = 0,9995, 0 sin f (0,0) = f ( 0,0) = 0,9998. Lze stanovit hypotézu, že lim =. Její pravdivost můžeme potvrdit 0 výpočtem při užití L Hospitalova pravidla (viz další kapitola o derivaci funkce). (b) Stanovíme hypotézu o lim. Platí f (0,) = 0, f ( 0,) = 0, f (0,0) = 00, f ( 0,0) = 00, 0 f (0,00) = 000, f ( 0,00) = 000. Zřejmě limita neeistuje, neboť pro > 0, je blízké 0, jsou hodnoty f () dosti velká kladná čísla, kdežto pro < 0, blízké 0, jsou hodnoty f () dosti malá záporná čísla. Důležité je rovněž umět stanovit hypotézu o limitě z grafu funkce. Na následujícím obrázku 9.5 jsou zachyceny základní alternativy (tečkou je vyznačena definovaná funkční hodnota). Poznámka: Obrázek 9.5 znázorňuje dříve zmíněná fakta: Že limita funkce v bodě c nezávisí na hodnotě funkce v bodě c (viz čtvrtý obrázek), že v něm funkce navíc nemusí být ani definována (viz pátý obrázek), limita také nezávisí na hodnotách funkce v bodech vzdálených bodu c. Limita funkce v bodě je tzv. lokální pojem, záleží jen na hodnotách funkce v nejbližším okolí bodu c. 87

5 Obrázek 9.5 Alternativy (ne)eistence limity DŮLEŽITÉ LIMITY K důležitým základním limitám patří: lim k = k, kde k je konstanta, (plyne z definice) lim = c, sin lim =, 0 cos lim = 0, 0 e lim =. 0 (plyne z definice) (užitím L Hospitalova pravidla) (užitím L Hospitalova pravidla) (užitím L Hospitalova pravidla) VLASTNOSTI LIMIT Limita funkce v bodě může, ale nemusí eistovat. Nemůže se však stát, aby v daném bodě eistovalo více limit: Funkce f má v daném bodě nejvýše jednu limitu. Funkce f má v daném bodě a R limitu c R, jestliže má v tomto bodě limity zprava i zleva a tyto jsou rovny c. Limita respektuje operace sčítání, odčítání, násobení a dělení s funkcí: Nechť lim f ( ) = a, lim g( ) = b c c. Pak platí: 88

6 ( f ( ) ± g( )) = a ± b lim. (9.) ( f ( ) g( )) = ab lim. (9.) Je-li b 0, pak ( ) a = ( ) b f lim. (9.) g Je-li n 0 celé číslo, pak n n [ f ( )] = a lim. (9.4) (a) Je-li k konstanta a lim f( ) = a, pak kf( ) = ka c lim. c (neboť podle (9.) platí kf( ) = limklimf( ) = ka lim ) c c c (b) n n lim =c c, kde n 0 je celé číslo. (plyne aplikací (9.4) pro f() = ) (c) lim = (protože podle (9.) platí lim( ) = lim lim= = lim ( ) = lim lim = = 0 a s využitím (9.4) také ( ) lim ; a tedy podle (9.) lze psát lim = lim = ( ) 0, přičemž konečně užitím (9.4) dostávámelim = 0 = 9 00 ) Pro praktické výpočty má zásadní význam následující tvrzení, které říká, že limity elementárních funkcí ve vnitřních bodech jejich definičních oborů (intervalů) se určí prostým dosazením: Pro každou elementární funkci f a vnitřní bod c jejího definičního oboru platí ( ) = f ( c) lim f. (9.5) c π sin sin π sin lim = =, neboť π je vnitřní bod definičního oboru funkce. π π 89

7 VÝPOČET LIMIT Nyní uvedeme shrnující fakta k technice výpočtu limit. Jednoduchý je postup, kdy lze limitu určit přímým dosazením (9.5), případně využít znalostí základních limit a aplikace vět o vlastnostech limity (9.) (9.4). Pokud nelze limitu tímto způsobem určit, zbývá (kromě užití L Hospitalova pravidla viz následující kapitola o derivacích) upravit funkci na tvar, který již umožňuje shora uvedený způsob. Nejčastějším je případ limity podílu funkcí kdy lim g() = 0 (někdy i navíc lim f () = 0). Pak nelze použít přímé dosazení, respektive vlastnost (9.); častou hrubou chybou je v případě lim g() = lim f () = 0 učinit závěr, že ( ) ( ) lim f 0 = g 0 =. Umět řešit takové úlohy je do značné míry záležitostí dostatečné početní prae a cviku. V dané chvíli je proto spíše účelné počkat s výpočtem obtížnějších limit až na L Hospitalovo pravidlo s využitím derivací. f g ( ) ( ), Určeme 6 lim. Platí lim ( 6) 0 limity podílu (9.). Úpravou dostaneme = lim lim =, ( ) 0 ( )( ) limity přicházejí v úvahu hodnoty různé od. Pak vychází. Nelze použít přímé dosazení, či vlastnosti ; nyní lze členem ( ) krátit, neboť pro určení lim ( )( ) = lim ( ) = 5. Pokud při výpočtu limit výraz upravujeme, je výhodné před výpočtem, případně až po výpočtu otestovat hypotézu o limitě, abychom vyloučili náhodnou chybu při provádění úprav. NEVLASTNÍ LIMITA V tomto odstavci se budeme zabývat studiem veličin, jejichž chování je charakteristické tím, že jejich hodnoty rostou nade všechny meze. Nejde zdánlivě o umělou abstrakci, vyšetřování takových veličin má své reálné opodstatnění, například, při studiu útlumových dějů, stability fyzikálních procesů apod. K tomu se jeví účelné nejprve rozšířit množinu reálných čísel R o prvky,, pro něž platí < a < pro každé a R; nazývají se nevlastní body. Množina {- } R = R,, jak bylo již stručně uvedeno v kapitole 6 (Posloupnosti a řady), se nazývá rozšířená množina reálných čísel. Pozor, nemají charakter čísel, proto s nimi nelze zacházet (počítat) jako s čísly. Symbol se u někdy vynechává. 90

8 Jestliže nyní definici limity funkce modifikujeme tak, že c, a mohou být nevlastní body (obě, případně jedno z nich) a příslušným způsobem nahradíme podmínku v definici limity analogickými podmínkami pro nevlastní body, dostaneme definici nevlastní limity (souhrnně řečeno) v těchto alternativách:. c =, případně c =, a R limita v nevlastním bodě;. c R, a =, případně a = nevlastní limita v bodě;. a = c =, případně a = c = nevlastní limita v nevlastním bodě. Zápis nevlastní limity se provede analogicky, například pro alternativu. lim f ( ) = a, případně lim f ( ) = a. Modifikaci podmínek v definici pro jednotlivé alternativy není na tomto místě nutné, z hlediska praktického výpočtu nevlastních limit, detailně rozepisovat. K základní orientaci nám budou stačit geometrické interpretace alternativ na obrázcích (9.6) (9.0) (nezahrnují ale všechny varianty alternativ). Obrázek 9.6 Limita v nevlastním bodě lim f ( ) a, lim f ( ) a = = Obrázek 9.7 Nevlastní limita v bodě lim f ( ) = 9

9 Obrázek 9.8 Nevlastní limita v bodě lim f ( ) = Obrázek 9.9 Nevlastní limita v bodě c neeistuje, ovšem eistují nevlastní limity zleva ( lim f ( ) = ) a zprava ( f ( ) = lim ) Obrázek 9.0 Nevlastní limita v nevlastním bodě lim f ( ) =, lim f ( ) = Důležité nevlastní limity, limity v nevlastních bodech, popřípadě jednostranné limity jsou uvedeny v následujícím přehledu. Jejich znalost nám poslouží při výpočtu složitějších limit. Snadno si je vybavíme, představíme-li si grafy příslušných funkcí. lim =, lim = ; 9

10 lim = 0, lim = 0; lim 0 =, lim = ; 0 lim a =, lim a = 0, a > ; lim a = 0, lim a =, 0 < a < ; π π lim arctg =, lim arctg = ; lim arccotg = 0, lim arccotg = π ; a a lim =, lim = 0 ; pro a > 0 0 a a lim = 0, lim = ; pro a < 0 0 lim ln =, lim ln = ; 0 lim = e,788 (iracionální číslo). Hypotézy o právě uvedených limitách se snadno stanoví užitím kalkulačky, či načrtnutím grafu. Vlastnosti nevlastních limit jsou uvedeny souhrnně v symbolickém tvaru: a =, = 0, ± a =, =, a =, ( ) =, =, ( ) ( ) =. Tímto symbolickým zápisem, například a rozumíme: je-li pro lim, lim g( ) =, pak lim ( f ( ) g( )) = c R f ( ) = a například, pro 0, apod.. Pozor!!! Nelze používat, Platí lim( 5) = dostáváme výsledek., neboť lim = (postupnou aplikací = ), lim 5 = 5. Pak užitím a = Pro zajímavost si uvedeme ještě jiný přístup k definování limity funkce. Jedná se o tzv. Heineho definici limity funkce pomocí posloupností. Platí totiž následující tvrzení: 9

11 Je-li pro c R, a R funkce f definovaná na nějakém okolí O (c ) bodu c s případnou výjimkou bodu c, pak f ( ) = a lim právě tehdy, když pro každou posloupnost ( n ) bodů z O (c ) platí, že když lim = c, pak lim f ( ) = a. n n n n Zdálo by se, že zavedení posloupností celou situaci zkomplikuje. Toto tvrzení je ale velice užitečné při dokazování dalších tvrzení o limitách funkce. V následujícím příkladu rozhodneme na základě Heineho tvrzení o eistenci limity lim sin( ). Eistuje limita funkce lim sin( )? Řešení: Z průběhu této funkce již máme podezření, že daná limita pravděpodobně neeistuje, jelikož tato funkce osciluje mezi hodnotami intervalu ;. Podle předpokladů předchozího tvrzení (promyslete) stačí najít dvě různé posloupnosti reálných čísel konvergující k tak, aby posloupnosti jejich funkčních hodnot konvergovaly pokaždé k jinému číslu. Z jedinečnosti limity pak vyplyne, že lim sin( ) neeistuje (lze volit například posloupnosti (nπ ); (π/ nπ ), lim sin(nπ ) = lim0 = 0 a zároveň lim sin( π / nπ) = lim = ). n n říká, že: n N). Obě konvergují k a jsou zvoleny tak, že n n Dalším užitečným tvrzením pro stanovení limit je tzv. věta o sevření. Věta Máme-li tři funkce f, g, h, pro které na určitém okolí O (c ) bodu c (s případnou výjimkou tohoto bodu) platí f ( ) g ( ) h ( ) a nechť lim f ( ) = lim h( ) = a R, pak eistuje limita lim g( ) a platí, že g( ) = a c, a R lim., kde sin Pomocí věty o sevření lze stanovit často se vyskytující limitu lim =. 0 Řešení: Stačí nalézt svírající funkce f, h, jejichž limita je rovna jedné pro jdoucí k 0. Z obrázku jednotkové kružnice po jednoduchých úvahách dospějeme k nerovnosti: cos < z čehož zase plyne sin < cos sin cos < < cos pro ( 0, π /), pro ( 0, π /). Funkce jsou sudé, tzn. že nerovnosti lze rozšířit na interval ( π /,0) ( ). Platí, že lim = limcos = 0cos 0 94

12 tedy podle předchozího tvrzení eistuje hledaná limita a platí lim 0sin =. ( ) sin lim =. Rovněž platí (promyslete) 0 Další tvrzení nám říká, že: Máme-li funkce f, g, přičemž funkce g je na určitém okolí O (c ) bodu c (s případnou výjimkou tohoto bodu) ohraničená a platí lim f ( ) = 0 lim f ( ) g( ) a platí, že lim f ( ) g( ) = 0 c., kdec R, pak eistuje limita Podle tohoto tvrzení lze ukázat, že limsin = 0. 0 Řešení: limsin sice neeistuje, sin je ale funkce ohraničená, čili dle předchozího tvrzení platí, že limsin = POJEM SPOJITOSTI FUNKCE Pojem spojitosti slouží k popisu toho, co se v běžném životě nazývá, například, nepřetržitostí. Je-li takový děj vyjádřen funkcí, pak je její graf "souvislá čára"; v grafu nejsou žádné "skoky", "mezery" apod. Nabízí se tedy definovat spojitost prostřednictvím limity. V případě spojitosti by totiž měla funkční hodnota souhlasit s limitou. Spojitost funkce v bodě definujeme následovně: Funkce f je spojitá v bodě c, jestliže platí lim f ( ) = f ( c ). Jinak řečeno, f je spojitá v bodě c, je-li f v bodě c definována a její limita v bodě c je rovna funkční hodnotě v bodě c. Obdobně jako jednostrannou limitu lze definovat i spojitost funkce v daném bodě zprava (zleva): Řekneme, že f je spojitá v bodě c zprava (zleva), jestliže platí lim f ( ) = f ( c ) ( f ( ) = f ( c ) lim ). Funkce f, jejíž graf je na obrázku 9.., je z vyznačených bodů spojitá pouze v bodě g, v ostatních nikoliv (v a, c není definována, v m, d, h, b neeistuje limita, v e není limita rovna funkční hodnotě). 95

13 y f 0 a m c d e h g b Obrázek 9. Vyšetření spojitosti funkce f v bodech a, m, c, d, e, h, g, b Rozebereme-li podrobněji graf na obr. 9., vidíme, že nastávají následující situace:. Funkce f je v bodě g spojitá, limita je rovna funkční hodnotě.. Funkce f není v daném bodě spojitá, rozlišíme několik případů: a) Limita funkce f v bodě e eistuje, ale není rovna funkční hodnotě (e). b) Limita funkce f v bodě c eistuje, ale funkce není v tomto bodě definovaná (c). V obou těchto případech se jedná o tzv. odstranitelnou nespojitost, stačí funkci vhodně předefinovat, respektive dodefinovat v daném bodě a bude z ní spojitá funkce. c) Limita neeistuje, ale eistují obě jednostranné limity, jsou vlastní, ale nerovnají se (případ bodu m). V tomto případě tento bod nazveme bodem nespojitosti prvního druhu (funkce f má zde jakýsi skok ). d) Jestliže některá jednostranná limita neeistuje, nebo je nevlastní (případ h), mluvíme o bodu nespojitosti druhého druhu. Z pohledu jednostranné spojitosti platí, že v bodech d, h, b je f spojitá zleva, v bodě m zprava. Určete body, v nichž nejsou následující funkce spojité.. ( ) f =. ( )( 9) Jde o elementární funkci, přičemž D ( f) =R { ; ; } oboru, body nespojitosti jsou body { ; ; }. Funkce je spojitá ve všech bodech definičního, v nichž není funkce definována.. f () = sgn () = - pro > 0 = 0 pro = 0 = pro < 0. Zde je bodem nespojitosti bod = 0, vlastní jednostranné limity eistují, nerovnají se, jedná se o bod nespojitosti. druhu. Definujme dále spojitost funkce na intervalu. Platí: Funkce f je spojitá na intervalu (a, b ), je-li spojitá v každém jeho vnitřním bodě. Funkce spojitá na celém svém definičním oboru se nazývá spojitá funkce. 96

14 Definujme rovněž případ po částech spojité funkce. Platí: Funkce definovaná na intervalu a, b se nazývá po částech spojitá, je-li na a, b spojitá nejvýše s výjimkou konečného počtu bodů nespojitosti prvního druhu. VLASTNOSTI SPOJITÝCH FUNKCÍ Spojité funkce mají řadu významných vlastností. Nejdůležitější jsou obsaženy v následujících tvrzeních (větách): Součet, rozdíl, součin a podíl (pokud je definován) funkcí spojitých v bodě jsou funkce spojité v tomtéž bodě. Složením spojitých funkcí vznikne opět spojitá funkce. Víme již, že limita spojité funkce v bodě se počítá snadno, protože je rovna funkční hodnotě. Je pro nás proto velice užitečné znát co nejvíce příkladů spojitých funkcí, viz následující tvrzení: Všechny elementární funkce jsou spojité ve všech vnitřních bodech svých definičních oborů. Je-li funkce f spojitá na nějakém otevřeném intervalu I a mají-li pro a, b I, a < b funkční hodnoty f (a ), f (b ) opačná znaménka, pak eistuje c (a, b ) tak, že platí f (c ) = 0. Lze tedy volně formulovat spojitá funkce nemůže měnit znaménko, aniž přejde přes reálnou osu. Tato věta má zásadní důležitost při hledání nulových bodů spojitých funkcí (neboli kořenů rovnice f ( ) = 0). Zaručuje, že najdeme-li hodnoty a, b tak, že f (a ), f (b ) jsou opačných znamének, pak v (a, b ) eistuje alespoň jeden nulový bod funkce f. Na obrázku 9. má funkce f tři nulové body c, c, c patřící do (a, b ). Z této vlastnosti rovněž vyplývá, že je-li f spojitá na (a, b ) a f ( ) 0 pro všechna (a, b ), pak je f na (a, b ) buď stále kladná, nebo stále záporná. Obrázek 9. Nulové body c, c a c funkce f 97

15 Cílové znalosti. Formulace pojmu limity funkce v bodě.. Stanovení hypotézy o limitě z grafu nebo numericky.. Výpočet jednoduchých limit užitím základních vět o limitách a znalosti důležitých limit. 4. Vysvětlení modifikace pojmu limity ve variantě nevlastní. 5. Výpočet jednoduchých nevlastních limit. 6. Rozhodnout v jednoduchých případech o spojitosti funkce podle jejího grafu. 7. Vlastnosti spojitých funkcí. 98

9. Limita a spojitost

9. Limita a spojitost OKOLÍ BODU, VNITŘNÍ A HRANIČNÍ BOD Okolí bodu a je libovolný interval (a r, a + r), kde r > 0; značí se O(a, r), případně jen O(a) (obr. 9..). Číslo r se nazývá poloměr okolí. O(a, r) 0 a r a a + r Obrázek

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou

Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou 4 Cíle Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou funkce, jejichž ita v bodě 0 je rovna funkční hodnotě v tomto bodě Seznámíme se s vlastnostmi takových funkcí

Více

Limita a spojitost LDF MENDELU

Limita a spojitost LDF MENDELU Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

Přednáška 3: Limita a spojitost

Přednáška 3: Limita a spojitost 3 / 1 / 17, 1:38 Přednáška 3: Limita a spojitost Limita funkce Nejdříve je potřeba upřesnit pojmy, které přesněji popisují (topologickou) strukturu množiny reálných čísel, a to zejména pojem okolí 31 Definice

Více

Označení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x).

Označení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x). 9 Využití derivace 9.1 Derivace vyšších řádů Definice 1. Nechť funkce má derivaci v nějakém okolí bodu c D(f). Nechť funkce ϕ() =f () máderivacivboděc. Pak hodnotu ϕ (c) nazýváme derivací 2. řádu (2. derivací)

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném

Více

f( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů

f( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů 3 Výklad Definice 3 Jestliže nastane alespoň jeden z případů lim =, lim =, + + lim =, lim =, kde ( D ), pak říkáme, že přímka = je asymptotou funkce f() v bodě f Jestliže lim ( k q) =, resp lim ( k q)

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE

LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Limita a spojitost funkce Lineární funkce Lineární funkce je jedna z nejjednodušších a možná i nejpoužívanějších funkcí. f(x) = kx + q D(f)

Více

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Matematika (KMI/PMATE) Přednáška druhá aneb Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) 1 / 30 Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam

Více

2. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE

2. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE . LIMITA A SPOJITOST FUNKCE Průvodce studiem Funkce y = je definována pro ( ) (>. Z grafu funkce (obr. 3) a z tabulky (a) je vidět že čím více se hodnoty blíží k -3 tím více se funkční hodnoty blíží ke

Více

Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε.

Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε. LIMITA FUNKCE Pojem ity unkce charakterizuje chování unkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých unkce není deinovaná Zápis ( ) L Přesněji to vyjadřuje deinice: znamená, že pro

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace

Více

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy , základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1] KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je

2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)

Více

Základy matematické analýzy

Základy matematické analýzy Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

7B. Výpočet limit L Hospitalovo pravidlo

7B. Výpočet limit L Hospitalovo pravidlo 7B. Výpočet it L Hospitalovo pravidlo V prai často potřebujeme určit itu výrazů, které vzniknou operacemi nebo složením několika spojitých funkcí. Většinou pomohou pravidla typu ita součtu násobku, součinu,

Více

5. Limita a spojitost

5. Limita a spojitost 5. Limita a spojitost 5. Limita posloupnosti 5. Limita a spojitost Verze 16. prosince 2016 Diferenciální počet a integrální počet tvoří klasický základ Matematické analýzy. Diferenciální počet zkoumá lokální

Více

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

Management rekreace a sportu. 10. Derivace Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu

Více

Limita posloupnosti a funkce

Limita posloupnosti a funkce Limita posloupnosti a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 1 / 90 Obsah 1 Posloupnosti reálných čísel Úvod Limita posloupnosti

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20

Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Okolí bodu 2/20 Značení: a R, ε > 0 O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a)

Více

Posloupnosti a jejich limity

Posloupnosti a jejich limity KMA/MAT Přednáška č. 7, Posloupnosti a jejich ity 5. listopadu 203 Motivační příklady Prozkoumejme, zatím laicky, následující posloupnosti: Posloupnost, 4, 9,..., n 2,... : Hodnoty rostou nade všechny

Více

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 16. ledna 2009

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 16. ledna 2009 Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 3 5 Celkem bodů Bodů 8

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Limita funkce

Matematická analýza pro informatiky I. Limita funkce Matematická analýza pro informatiky I. 5. přednáška Limita funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 18. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou

Více

V této kapitole si zobecníme dříve probraný pojem limita posloupnosti pro libovolné funkce.

V této kapitole si zobecníme dříve probraný pojem limita posloupnosti pro libovolné funkce. Kapitola 7 Limita funkce V této kapitole budeme studovat pojem ita funkce, který lze zařadit mezi základní pojmy matematiky, speciálně pak matematické analýzy Využití ity funkce je široké Pomocí ity lze

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost .7. Průběh unkce Všetřit průběh unkce znamená určit ne nutně v tomto pořadí: deiniční obor; sudost, lichost; periodičnost, interval spojitosti a bod nespojitosti, průsečík grau unkce s osami, interval,

Více

Asymptoty funkce. 5,8 5,98 5,998 5,9998 nelze 6,0002 6,002 6,02 6, nelze

Asymptoty funkce. 5,8 5,98 5,998 5,9998 nelze 6,0002 6,002 6,02 6, nelze Asymptoty funkce 1 Asymptota bez směrnice 6 Máme dvě funkce f 1 : y a 3 f : y 3 Člověk nemusí být matematický génius, aby pochopil, že do předpisu obou funkcí lze dosadit za libovolné reálné číslo kromě

Více

Definice derivace v bodě

Definice derivace v bodě Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +

Více

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)

Více

Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62

Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62 Nekonečné řady Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 0. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 62 Obsah Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů 2 Kritéria

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I)

Matematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I) Matematická analýza pro informatiky I. 3. přednáška Limita posloupnosti (I) Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 25. února 2011 tomecek@inf.upol.cz

Více

( + ) ( ) f x x f x. x bude zmenšovat nekonečně přesný. = derivace funkce f v bodě x. nazýváme ji derivací funkce f v bodě x. - náš základní zápis

( + ) ( ) f x x f x. x bude zmenšovat nekonečně přesný. = derivace funkce f v bodě x. nazýváme ji derivací funkce f v bodě x. - náš základní zápis 1.. Derivace elementárních funkcí I Předpoklad: 1 Shrnutí z minulé hodin: Chceme znát jakým způsobem se mění hodnot funkce f ( f ( + f ( přibližná hodnota změn = přesnost výpočtu se bude zvětšovat, kdž

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Spojitost funkce. Kapitola 8. ale kromě toho zajímá, jestli daný experiment probíhal kontinuálně, nebo nastaly. Intuitivní představy o pojmu spojitost

Spojitost funkce. Kapitola 8. ale kromě toho zajímá, jestli daný experiment probíhal kontinuálně, nebo nastaly. Intuitivní představy o pojmu spojitost Kapitola 8 Spojitost funkce V následující kapitole se budeme zabývat tzv. spojitostí funkce a to, jak spojitostí v bodě, tak spojitostí na množině. S pojmem spojitosti se dále váží pojmy jako je okolí

Více

Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018

Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018 Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a

Více

Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16

Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16 Matematika 1 3. přednáška 1 Derivace 2 Vlastnosti a použití 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 1 / 16 1. zápočtový test již během 2 týdnů. Je nutné se něj registrovat přes webové rozhraní na https://amos.fsv.cvut.cz.

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základ matematik pro FEK 7. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 06/07 Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK zimní semestr 06/07 / 5 Jednostranné limit Definice: Vlastní limita ve vlastním

Více

LIMITA A SPOJITOST FUNKCE

LIMITA A SPOJITOST FUNKCE PŘEDNÁŠKA 5 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 5.1 Spojitost funkce 2 Řekneme, že funkce f(x) je spojitá v bodě a D f, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x (a δ, a + δ) D f platí nerovnost:

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.7/1.5./4.8 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

1 Topologie roviny a prostoru

1 Topologie roviny a prostoru 1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se

Více

{ } Ox ( 0) 4.2. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Definice Obr. 52. Poznámka. nad tečnou

{ } Ox ( 0) 4.2. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Definice Obr. 52. Poznámka. nad tečnou Konvenost, konkávnost, inflee 4.. Konvenost, konkávnost, inflee Definice 4... Nechť eistuje f ( ), D f. Řekneme, že funkce f ( ) je v bodě konkávní, jestliže eistuje { } O ( ) tak, že platí D : O( )\ f(

Více

30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: s1a64/cd/index.htm.

30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné:   s1a64/cd/index.htm. KMA/MAT1 Přednáška a cvičení č. 11 30. listopadu 2017 [KS] Jaromír Kuben Petra Šarmanová: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: http://homel.vsb.cz/ s1a64/cd/inde.htm. 1

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 7. prosince 2014 Předmluva

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. f = 3 12 2. f = 2 e 3. f = ln Příklad 1. Nakreslete graf funkce f() = 3 12 Příklad 1. f = 3 12 Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován. Příklad 1. f = 3 12 f =

Více

Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.

Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ NEURČITÝ INTEGRÁL NEURČITÝ INTEGRÁL Průvodce studiem V kapitole Diferenciální počet funkcí jedné proměnné jste se seznámili s derivováním funkcí Jestliže znáte derivace

Více

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x )

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x ) 6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí

Více

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení. 2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny

Více

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu 22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3 Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme

Více

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/..00/07.0018 7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy V této chvíli jsme již ve výkladu přikročili ke kapitole, kterou můžeme považovat za

Více

Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce

Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva

Více

7.1 Extrémy a monotonie

7.1 Extrémy a monotonie KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x

Více

f(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0

f(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0 KAPITOLA 5: Spojitost a derivace na intervalu [MA-8:P5] 5 Funkce spojité na intervalu Věta 5 o nulách spojité funkce: Je-li f spojitá na uzavřeném intervalu a, b a fa fb < 0, pak eistuje c a, b tak, že

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Spojitost funkce

Matematická analýza pro informatiky I. Spojitost funkce Matematická analýza pro informatiky I. 6. přednáška Spojitost funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 18. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce MATA P1 Užití derivací Funkce rostoucí a klesající: Deinice rostoucí a klesající unkce Funkce je rostoucí v intervalu (a,b), právě když platí: ( ) ( ) ( ), a, b : 1 1 1 Funkce je klesající v intervalu

Více

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Přednáška 9, 28. listopadu 2014 Část 4: limita funkce v bodě a spojitost funkce

Přednáška 9, 28. listopadu 2014 Část 4: limita funkce v bodě a spojitost funkce Přednáška 9, 28. listopadu 2014 Část 4: limita funkce v bodě a spojitost funkce Zápisem f : M R rozumíme, že je dána funkce definovaná na neprázdné množině M R reálných čísel, což je množina dvojic f =

Více

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních

Více

Numerické řešení nelineárních rovnic

Numerické řešení nelineárních rovnic Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html

Více

Algebraické rovnice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Ohraničenost kořenů a jejich. Aproximace kořenů metodou půlení intervalu.

Algebraické rovnice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Ohraničenost kořenů a jejich. Aproximace kořenů metodou půlení intervalu. Algebraické rovnice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Základní pojm 2 Metod řešení algebraických rovnic Algebraické řešení Grafické řešení Numerické řešení 3 Numerické řešení Ohraničenost

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018

Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018 Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH 1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/4.080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Derivace funkce Otázky

Derivace funkce Otázky funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu

Více

3. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE

3. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 3. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE Okolí reálného čísla a 3.1. Deinice Okolím reálného čísla a nazýváme otevřený interval a, a, kde je libovolné kladné číslo. Je to tedy množina reálných čísel x, která vyhovují

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff Derivace funkce Derivace je základním pojmem v diferenciálním počtu. Má uplatnění tam, kde se zkoumá povaha funkčních závislostí určitých proměnných (veličin). V matematice, ekonomii, fyzice ale i v jiných

Více

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M05, GA01 M04 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M05, GA01 M04 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL BA0 M05, GA0 M04 DIFERENCIÁLNÍ POČET I LIMITA A SPOJITOST FUNKCE STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 0 Typeset

Více

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

Přednáška 6, 6. listopadu 2013

Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více