9 Kombinatorika, teorie pravděpodobnosti a matematická statistika

Transkript

1 9 Kombatora, teore pravděpodobost a matematcá statsta Te, do argumetue průměrým platem, e s velou pravděpodobostí vysoce adprůměrý vůl s hluboce podprůměrým vzděláím (Mloslav Drucmüller) 9. Kombatora Kombatora e matematcý obor, terý studue vlastost oečých mož a uspořádaých -tc, de. Opírá se o dvě záladí pravdla: Pravdlo součtu: Nechť moža A obsahue prvů, moža A prvů,..., moža A prvů, možy A, A,..., A echť sou po dvou dsutí, t. pro aždé, =,.., e A A =. Pa počet všech prvů možy A A... A = A e = = =. Pravdlo souču: Nechť moža A obsahue prvů, moža A prvů,..., moža A prvů. Pa počet všech uspořádaých -tc [ a; a;...; a ], de a A ; a A;...; a A, e =... = ( poz.: počet prvů možy A začíme většou A ).. Přílad: Určeme počet prvů mož A B ; B A. Řešeí: Možu A lze zapsat ao sedoceí dvou dsutích mož A= ( A B) ( A B) (vz přpoeý Veův dagram), e proto A = A B + A B, odtud A B = A A B. Podobě B = ( B A) ( A B) B = B A + A B B A = B A B.. Přílad: Určeme počet prvů možy A B, e-l A B. Řešeí: Možu A B lze zapsat ao sedoceí tří dsutích mož: (vz opět Veův dagram). Je tedy A B = ( A B) ( A B) ( B A), A B = A B + A B + B A Protože vša A B = A A B ; B A = B A B (vz předchozí přílad), e A B = A A B + A B + B A B, tedy A B = A + B A B. 3. Přílad: Šestáct fotbalových mužstev hrae lgu systémem aždý s aždým dvě utáí (doma a veu). Kol utáí bude celem odehráo? 80

2 Řešeí: Moža všech utáí A e sedoceím po dvou dsutích mož A= A A... A = A, de A e moža všech domácích utáí -tého mužstva. Každá moža A má 5 prvů. Podle pravdla součtu tedy e. A = A = 5 = 5 = Přílad: Z celového počtu 3 studetů. ročíu Faulty stroího žeýrství v Brě udělalo zoušu z matematy 95 studetů, z fyzy 987 studetů, obě zoušy má 874 studetů. a) Kol studetů eudělalo zoušu z matematy? b) Kol studetů eudělalo zoušu z fyzy? c) Kol studetů udělalo zoušu z matematu a eudělalo zoušu z fyzy? d) Kol studetů udělalo zoušu z fyzy a eudělalo zoušu z matematy? e) Kol studetů eudělalo a edu zoušu? Řešeí: Uverzálí možou Ω e v ašem případě moža všech studetů. ročíu FSI, t. Ω= 3. Možu všech studetů, teří udělal zoušu z matematy, ozačme M, e M = 95, možu všech studetů, teří udělal zoušu z fyzy, ozačme F, e F = 987. Dále e M F = 874. Je tedy: a) Ω M = Ω Ω M = Ω M = 3 95 = 374 b) Ω F = Ω Ω F = Ω F = = 339 vz pt... př.. a) vz pt. př.. této pt. c) M F' = M F = M M F = = 78 d) F M ' = F M = F F M = = 3 e) Ω ( M F) = Ω M F = =Ω ( M + F M F ) = =Ω M F + M F = = = Na přpoeém obrázu e celé řešeí rozlíčováo. 5. Přílad: V prvím osudí e červeých míčů, ve druhém 4 zeleých a ve třetím 0 modrých. Jedotlvé míčy v osudích sou rozlšey (apř. očíslováy). Z aždého osudí vybereme ede míče. Kola způsoby lze výběr provést? Řešeí: Jedotlvá osudí představuí možy A ; A ; A 3, výběr pa uspořádaou troc [ a; a; a 3] ; de a A; a A; a3 A3. Podle pravdla souču e těchto troc = 4 0 = 80 V řadě aplací hrae důležtou rol tzv. přhrádový prcp. Přhrádový prcp: Nechť možy A, A,..., A sou po dvou dsutí, t. pro aždé, =,.., e A A =, moža A e ech sedoceím, t. A A A... A A = =. Má-l moža A více ež prvů (t. A eda z mož A, A,..., A má více ež ede prve. > ), pa alespoň 8

3 Moža A zde představue sříňu s zásuvam A, A,..., A. Máme-l do těchto zásuve rozdělt více ež předmětů, pa alespoň do edé zásuvy musíme dát eméě dva předměty.. Přílad: Člově má a hlavě evýše vlasů. Doažte, že alespoň dva obyvatelé Prahy maí steý počet vlasů. Řešeí: Moža A e moža všech obyvatel Prahy, počet eích prvů e přes mlo. Všechy tyto obyvatele rozdělíme do sup - mož A0; A; A;...; A podle počtu vlasů - A 0 úplě plešatí, A s edím vlasem, atd. Protože evyšší možý počet vlasů e , e , maxmálí počet sup e tedy Máme-l do těchto sup rozdělt přes mlo ldí, musí podle přhrádového prcpu alespoň eda supa obsahovat eméě dva ld - t. eméě dva ldé maí steý počet vlasů (do ž obsazeých sup e třeba přdat dooce eméě půl mlou ldí ). Permutace z prvů: e aždá uspořádaá -tce sestaveá z prvů. Jým slovy: Permutace z prvů e lbovolé uspořádáí -prvové možy. 7. Přílad: Je dáa moža A = {; ; 3}. Jeím permutacem sou uspořádaé troce [;;3]; [;3;]; [;;3]; [;3;]; [3;;]; [3;;]. V předchozím příladě sme vypsal všechy permutace tříprvové možy A (těchto permutací e šest). Určeme počet všech permutací obecě prvové možy. Představme s supu studetů, echž uspořádáí e určeo rozesazeím v učebě s místy. Studet postupě přcházeí a usedaí v učebě. Prví příchozí má a výběr míst, druhý ž e míst, třetí míst atd., posledí má pa a výběr posledí místo, teré zbylo. Možu všech možých výběrů prvího studeta ozačme A (ta má prvů); možu všech možých výběrů druhého stdeta A (te vybírá z míst),..., moža všech "výběrů" posledího studeta e pa A. Moža A má zřemě prvů, A prvů,.., A má edý prve (posledí studet ž obsadí místo, teré a ě zbude). Ozačíme-l počet všech možých rozesazeí (permutací) studetů P, ( ) e podle pravdla souču P ( ) = A A A... A A = ( ) ( )... Toto číslo se v aplacích vysytue velm často a azýváme ho fatorál: Fatorál: Fatorálem z přrozeého čísla > 0 rozumíme číslo! = ( ) ( )... Pro zedodušeí moha zápsů e účelé defovat fatorál pro ulu: 0! =. Počet permutací prvové možy e tedy P ( ) =! 8. Přílad: Kol růzých pětcferých čísel můžeme sestavt z cfer ; ;3; 4;5, estlže se žádá cfra emá opaovat? Řešeí: Každé taové číslo představue permutac pět prvů. Těchto permutací e 5! = = 0. 8

4 9.Přílad: Kola způsoby e možo rozesadt šedesát studetů a šedesát míst v posluchárě? Řešeí: Těchto permutací e 8 0! = ,3 0 (to e obrovsé číslo. Jede z možých modelů vesmíru tvrdí, že přblžě tol e elemetárích částc v celém vesmíru...) 0. Přílad: Vypočtěme:! 5 4! a) = = 8 5 = 0 4!! 4! b) c) d)! 0 9! 0 9! 0 40 = = = = 0! 9! 0 9! 9! 9! (0 ) 9 9 ( + )! ( + )( + )! = = + + = + +!! ( )( ) 3 ( + 4)! ( + )! ( + 4)( + 3)( + )! ( + )( + )! = = ( + )! ( + )! ( + )! ( + )! = ( + 4)( + 3) ( + ) = + 7+ = Varace -té třídy z prvů: Vraťme se ašemu modelovému příladu s obsazováím učeby. Představme s podobou stuac: studet maí obsazovat učebu s místy, ale e ch méě ež deme tomu, tedy <. T maí postupě a výběr: prví míst; druhý míst; třetí ;...; -tý pa ( ) = + míst. Ozačíme-l V(, ) počet možých rozesazeí - varací -té třídy z prvů, e podle pravdla souču V(, ) = ( ) ( )... ( + ). Teto vztah se většou rozšřue výrazem ( )! : ( ) ( )... ( + ) ( )! V(, ) = ( )! a uvádí se tedy ve tvaru! V(, ) = ( )!. Přílad: Př cvčeích z matematy obsazue studí supa edeadvacet studetů učebu, ve teré e pětadvacet míst. Kola způsoby se mohou posadt? Řešeí: Máme určt počet varací edeadvacáté třídy z pětadvacet prvů. Podle předchozí úvahy e 5! 5! 3 V (,5) = =.4 0 (5 )! 4! Kombace -té třídy z prvů: Řešme obecě úlohu, ola způsoby e možé vyplt sázový tet, terý obsahue čísel, máme-l zašrtout právě čísel ( zde e pochoptelě < ). Na prví pohled e stuace steá, ao př obsazováí učeby řížy postupě obsadíme čísel. Je zde vša podstatý rozdíl. Př obsazeí učeby sme rozlšoval ee 83

5 to, terá místa sou obsazea a terá e, ale taé pořadí studetů a obsazeých ždlích - zda Petr sedí u oa a Pavel u dveří, ebo zda e to aopa. Na vyplěé sázece e edo, zda sme zašrtl eprve dvou a potom dvaáctu, č aopa. Zde erozlšueme pořadí výběru. Výběr prvů z prvové možy bez ohledu a pořadí výběru (t. vlastě lbovolou prvovou podmožu prvové možy) azýváme ombací -té třídy z prvů. Počet těchto ombací ozačueme K. (, ) Poud bychom rozlšoval pořadí zašrtáváí čísel, počet možostí bude dá opět počtem varací -té třídy z prvů. Nechceme-l pořadí rozlšovat, musíme všechy případy, teré se lší e pořadím výběru, prohlást za případ edý. Protože vybíráme prvů, e počet případů, teré se lší e pořadím výběru, rovo počtu permutací z prvů, t.!. Právě tolrát bude méě možostí. Platí tedy: V(, ) K (, ) =! ebol! K (, ) =. ( )!! Toto číslo hrae opět důležtou rol v řadě aplací. Nazývá se ombačí číslo a často se začí! = (čteme ad ). ( )!!. Přílad: Kola způsoby lze vyplt sázeu s devětačtyřcet čísly, máme-l zašrtout šest čísel? Řešeí: Podle předchozí úvahy máme určt počet ombací šesté třídy z devětačtařcet prvů, t. 49! 49! ! K(, 49) = = = = = (49 )!! 43!! ! Něteré vlastost ombačích čísel (předpoládáme, ; < ):!! ( )! = = = = ( )!! ( )! ( )!!!! = = = = 0 ( 0)!0!! 0!!!!! = = = = ( )!! 0!!!!! = = = - ( ( ))!( )!!( )!!!!! + = + = + = + ( )!! ( )!( + )! ( ) ( )!! ( )!( + )!!( + ) +!( ) ( + + )! ( + )! = = = = ( ) ( )! ( + )! ( ) ( )! ( + )! ( )! ( + )! ( + )! + = = [( + ) ( + )]! ( + )! +. 84

6 Shruto: pro aždé, ; < platí + = = = = + = Přílad: Vypočtěme:!!! ( )! +! ( 4+ )! a) + = + = = = ( 3)! ( 3)! ( )! ( )( 3)! ( )( 3)! ( 3) ( )( )! ( 3)( ) = = ( )! b) + = + = = = = = Přílad: Řešme rovc: x x + = 4 x x 4 ( x )! ( x )! + = 4 [( x ) ( x )]!( x )! [( x ) ( x 4)]!( x 4)! ( x )! ( x )! + = 4!( x )!!( x 4)! ( x )( x )! ( x )( x 3)( x 4)! + = 4 ( x )! ( x 4)! ( x )( x 3) x + = 4 x + x 5x+ = 8 x 3x 4= 0 4; x =. = Z alezeých ořeů vyhovue e prví z ch, eboť zadaou rovc lze řešt pouze pro x ; x 4. Neřešeé úlohy: Upravte: x! ) ( )! ) ( + )!! 3) ( + )! ( )!! ( + )! 4) + ( )! ( )! 5)! ( + )! ) ( + )!!! ( )! 85

7 Vypočtěte 7) ) ) ) Řešte rovc x x + = 9 x 3 x 4 ) Deset šachstů hrae tura systémem aždý s aždým edu part. Kol partí bude a tura odehráo? ) Motor počítače pracue v barevém systému RGB všechy barvy sou mícháy z červeé, zeleé a modré složy, přčemž aždá složa má dspozc byte pamět, t. 5 hodot. a) Kol barev e a tomto motoru dspozc? b) Na tomto motoru prohlížíme obraz s rozlšeím pxelů (obrazových bodů). Doažte, že v tomto obraze exstuí alespoň dva pxely obarveé steou barvou! 3) Kol růzých fotografí lze teoretcy pořídt dgtálím fotoaparátem s rozlšeím dva megapxely? (fotoaparát pracue v režmu RGB z předchozího příladu) 4) Uvažume čtyřcferá čísla, echž cfry určueme hodem hrací ostou. Kol taových čísel exstue? 5) Házíme desetrát mcí. Pade-l orel, píšeme edču, pade-l paa, píšeme ulu. Kol růzých čísel můžeme tímto způsobem apsat? ) Sestavte pětcferé číslo, ehož prví cfra e lchá, druhá sudá, třetí děltelá šest, čtvrtá větší ež tř a pátá lbovolá. Kol řešeí má úloha? 7) Kola způsoby e možo rozmíchat balíče dvaatřcet aret? 8) Kol růzých čtyřúhelíů e možé sestrot, vybíráme-l ech vrcholy z edeáct růzých bodů, z chž žádé tř eleží a edé přímce? 9) Kola přímam lze spot deset bodů, estlže právě tř z ch leží a edé přímce? Výsledy ) ( ) ) + 3) + ( ) 4) 3 5) ( + )! ) 7) 75 8) 5 9) 0) 5 ) 45 ) a) 777 b) použte přhrádový prcp - a obarveí pxelů máme barev 3) ) 9 5) 04 ) ) 3!. 0 8) 330 9) 43 8

8 9. Bomcá věta Př umocňováí dvočleu (bomu) a -tou ( ) lze použít bomcou větu: ebol ( a+ b) = a + a b+ a b a b +... ab + b ( a+ b) = a b = Přílad: Umocěme ( a+ b) Řešeí: ( a+ b) = a + a b+ a b + a b + ab + b = 3 4 = a + 5a b+ 0a b + 0a b + 5ab + b Přílad: Umocěme 3 5 (m + 3 ). Řešeí: Dosazeím a = m ; b 3 = 3 do předchozího příladu dostaeme: (m + 3 ) = ( m ) + 5 ( m ) (3 ) + 0 ( m ) (3 ) + 0 ( m ) (3 ) ( m) (3 ) + (3 ) = 3m + 40m + 70m + 080m + 80m Velm často potřebueme z celého bomcého rozvoe e -tý čle: A = a b Přílad: Určete třetí čle rozvoe výrazu 5 3 Řešeí: A3 = ( a ) = 40 a ( ) 5 a. 4. Přílad: Určete x ta, aby sedmý čle rozvoe ( x ) 0 3 byl rove číslu 8,4. 0 0! A7 = x ( ) = x 4!! 4 = 840x 840x = 8,4 x =± 0, Řešeí: Máme ( ) 4 3 tedy, Vzhledem tomu, že x v zadáí e zřemě reálá, vyhovue pouze x = + 0,. Neřešeé úlohy: 0 ) Umocěte a) ( + a) b) ( ) ) Určete desátý čle rozvoe mocy ( x ) 3 x 4 3 3) Určete číslo x, e-l desátý čle rozvoe ( ) 0 rove

9 4) Určete čísla x; y, echž rozdíl e e x y = a pro ěž e osmý čle rozvoe ( x + 7 y ) Výsledy ) a) 4 + 9a+ 40a + 0a + 0a + a + a b) 3 ) 4) x= ; y = Zálady teore pravděpodobost 8 0x 3) 5 70 V přírodích a techcých vědách provádíme expermety, teré př zachováí steých podmíe vedou e steému výsledu. Upustíme-l áme z výšy h= 4,9 m v místě, de e gravtačí zrychleí g = 9,8 ms, dopade vždycy za edu seudu. Shoří-l dva gramy vodíu, dostaeme vždy 8 gramů vody. Ve výzumu běžém žvotě se vša setáváme s pousy, teré př dodržeí staoveých podmíe mohou vést růzým výsledům. Hodíme-l dvarát po sobě hrací ostou, dostáváme většou dva růzé výsledy, dyž sme hodl úplě steě. Prode-l výstupí otrolou sto bezvadých výrobů a sto prví bude vadý, pa další vadý výrobe sotva bude výrobe číslo 0, ale možá 94, ebo 05, ebo taé 79 (ebo možá už vůbec žádý). Tyto evy sou dáy působeím ěola (ědy velm moha) vlvů, echž přesý pops eí pratcy provedtelý. Proto sou výsledy orétích pousů (edoho hodu ostou, vadost č bezvadost orétího výrobu) epředvídatelé. Souhru pratcy epředvídatelých a epopsatelých vlvů říáme áhodé vlvy ebo stručě áhoda. Pous, terý probíhá za steých popsatelých podmíe, ale přesto má estý výslede vlvem áhody, azýváme áhodý pous. I dyž edotlvé výsledy áhodého pousu elze předpovědět, přesto se v ch obevuí sté záotost, teré lze matematcy popsat. Tímto matematcým popsem se zabývá teore pravděpodobost. Především e uto matematcy popsat možu všech možých výsledů áhodého pousu. U hodu hrací ostou to bude moža šestprvová, elépe moža Ω= {,,3,4,5,}. U výstupí otroly moža dvouprvová Ω = { vadý; bezvadý} ; př hodu edou mcí opět dvouprvová Ω = { paa; orel} (v podobých případech e možé vzít samozřemě možu Ω= {0,} ). Př hodu ostou vša mohu očeávat ee orétí číslo, ale taé ý výslede. Jestlže se se mou ědo vsadl, že hodí šestu, a tudíž očeává, že šestu hodí, pa á očeávám, že šestu ehodí, t. ao výslede pousu očeávám, že pade ěteré z čísel,,3,4,5 tedy vlastě podmožu příslušé možy Ω. Lbovolá podmoža možy Ω reprezetue (áhodý) ev tvrzeí o výsledu pousu. Př hodu ostou apř. moža A = {, 4, } reprezetue ev pade sudé číslo, moža B = {0} př výstupí otrole reprezetue ev výrobe e vadý. O tomto tvrzeí lze (po provedeí pousu) rozhodout, zda e pravdvé ev astal aebo epravdvé ev eastal. Jev pade sudé číslo lze popsat pomocí evů edodušších lze říc pade dvoa, čtvera ebo šesta. Jev pade šesta ž tato rozložt ede. Tyto evy (edoprvové podmožy možy Ω ) azýváme elemetárí evy. Specálím evy sou ev stý (ev reprezetovaý celou možou Ω ) a ev emožý (ev reprezetovaý prázdou možou). Reprezetace áhodých evů možam e zvláště ázorá v ásleduícím příladě: 88

10 . Přílad: Měme Veův dagram pro dvě možy, terý e používá ao terč pro vrháí špe. Jev A pa zameá zasáhu možu A (zde e třeba přepoládat, že terč e dostatečě velý a aždým hodem zasáhu alespoň možu Ω ). Lze-l evy výše uvedeým způsobem reprezetovat možam, pa a edotlvých evech lze zavést zámé možové vztahy operace: Sedoceí evů A, B e ev A B, terý astae právě tehdy, dyž astae ev A ebo ev B. (Hrací osta: ev pade číslo meší ež šest e sedoceím evů pade lché číslo a evu pade dvoa ebo čtvera. Zásahy terče: zasáhu obraz možy A B, t. šrafovaou oblast). Prů evů A, B e ev A B, terý astae právě tehdy, dyž astaou současě evy A, B (ev pade dvoa e průem evů pade sudé číslo a pade číslo meší ež čtyř. Zásahy terče: zasáhu obraz možy A B, t. dvotě šrafovaou oblast). Opačý ev evu A e ev A ', pro terý platí A' =Ω A (Hrací osta: opačý ev evu pade lché číslo e ev pade sudé číslo. Zásahy terče: opačý ev evu zasáhu obraz možy A e zasáhu obraz možy A ' doplňu možy A ; ev opačý evu A B e zasáhu ešrafovaou oblast ). Jev A e podevem evu B ( A B) právě tehdy, dyž ev B astae vždy, dyž astae ev A (Hrací osta: ev pade dvoa e podevem evu pade sudé číslo. Zásahy terče: Jev zasáhu A e podevem evu zasáhu B ). Neslučtelé evy: Jev A e eslučtelý s evem B právě tehdy, dyž A B = (Hrací osta: ev pade sudé číslo e eslučtelý s evem pade lché číslo. Zásahy terče: ev zasáhu A e eslučtelý s evem zasáhu B ) Pravděpodobost: Něteré áhodé evy astávaí častě ež é, říáme, že sou pravděpodoběší. Pravděpodobost e ohodoceí evu reálým číslem, teré e tím větší, čím větší adě a úspěch ev má. Očeávám-l př hodu ostou šestu, mám meší adě a úspěch ež dyž očeávám lbovolé sudé číslo. Házím-l do terče a posledím obrázu, mám větší adě, že trefím možu A, ež dybych měl treft možu B. V matematce azýváme pravděpodobostí aždé ohodoceí áhodého evu, teré má ásleduící vlastost:. Ohodoceí (pravděpodobost) aždého evu e ezáporé (t. větší ebo rovo ule).. Ohodoceí (pravděpodobost) stého evu e rovo edé. 3. Ohodoceí (pravděpodobost) sedoceí dvou eslučtelých evů e rovo součtu ohodoceí (pravděpodobostí) těchto dvou evů. 89

11 Korétí zavedeí pravděpodobost závsí a tom, zda moža elemetárích evů e oečá ebo eoečá. Házíme-l hrací ostou, e moža elemetárích evů šestprvová (tedy oečá). Házíme-l špou do terče, e moža elemetárích evů eoečá. Elemetárím evem e totž zásah edoho orétího bodu a těchto bodů e a terč eoečě moho. Házím-l hrací ostou a ešvdlu (apř. ta, že ostu pouštím z malé výšy stále a tutéž stěu), maí všecha čísla steou adě a úspěch (musí mít steou pravděpodobost). Jedá se o šest eslučtelých evů pravděpodobost ech sedoceí e součtem šest steě velých pravděpodobostí (bod 3). Sedoceím těchto evů e ev stý, terý musí mít pravděpodobost rovu edé. Součet šest steých čísel má být edča, pravděpodobost elemetárího evu e tedy eda šesta, Pravděpodobost sedoceí čtyř elemetárích evů (apř. pade číslo meší ež pět) evu sou čtyř šesty atd. Podobou úvahu bychom mohl zopaovat u řady dalších případů. V ch můžeme defc pravděpodobost vyslovt poěud orétě: Je-l moža všech výsledů áhodého pousu oečá a elemetárí evy sou steě možé, pa pravděpodobost evu A e číslo A PA= ( ), Ω de Ω e počet prvů možy Ω (t. počet všech elemetárích evů) a A e počet prvů možy A, t. počet elemetárích evů, teré ev A realzuí (sou mu přízvé)..přílad: Jaá e pravděpodobost, že př hodu hrací ostou pade lché číslo a přtom epade edča? Řešeí: Počet elemetárích evů (možých výsledů) e šest, přízvé evy sou dva (áš ev realzue padutí troy a pěty). Je tedy A PA= ( ) = =. Ω 3 V případě áhodého zasahováí terče e pravděpodobost zásahu přímo úměrá obsahu útvaru, terý máme zasáhout. Je možo defovat ao poměr plošého obsahu zasahovaého útvaru a plošého obsahu celého terče. V příladech se budeme věovat e případům, dy moža výsledů pousů e oečá. Přílad s terčem ám posloužl pro svo ázorost př obasňováí možových operací s evy. Ještě se vša o ěm zmííme př obasňováí ěterých vlastostí pravděpodobost, teré se poěud vymyaí běžé zušeost..přílad: Jaá e pravděpodobost, že př hodu dvěma ostam pade a obou ostách sudé číslo? Řešeí: Počet všech možých výsledů určíme podle ombatorcého pravdla souču: Ozačíme Ω možu všech výsledů prví osty, Ω možu všech výsledů druhé osty, pa moža ašch výsledů bude moža všech uspořádaých dvoc [ ab, ; ] de a Ω ; b Ω. Podle pravdla souču e těchto dvoc Ω =Ω Ω = = 3. Možu všech přízvých výsledů můžeme v tomto případě určt podobým způsobem: Moža A všech přízvých výsledů a prví ostce e tříprvová, rověž moža A přízvá a druhé ostce má tř prvy. Počet prvů možy A všech přízvých výsledů e tedy v tomto případě A = A A = 33 = 9a hledaá pravděpodobost e A 9 PA= ( ) = =. Ω

12 Všměme s: Pravděpodobost, že sudé číslo pade a prví ostce, e PA ( ) = 0,5, pravděpodobost, že totéž astae a druhé ostce, e PA ( ) = 0,5. Pravděpodobost, že sudé číslo pade a obou ostách současě, e PA= ( ) 0,5. V tomto případě tedy e PA ( ) = PA ( ) PA ( ). V případě hodu dvěma ostam e možo ev A formulovat tato a prví ostce pade sudé, a druhé lbovolé. Podobě A : a druhé ostce pade sudé, a prví lbovolé. V tom případě e ovšem A= A A a lze tedy psát PA ( A) = PA ( ) PA ( ). Teto vztah platí ovšem pouze v případě, že výsledy pousů a sobě esou závslé. Kosty o sobě avzáem evědí. Taové evy azýváme evy ezávslé. Jým evy se v tomto textu zabývat ebudeme. 3.Přílad: Jaá e pravděpodobost, že a) př hodu dvěma ostam pade součet pět; b) př hodu třem ostam součet edeáct; c) př hodu třem ostam součet dvaáct. Řešeí: Časté chybé řešeí: a) Počet všech možých výsledů e Ω = 3. Součet pět dostaeme, pade-l edča a čtvera ebo dvoa a troa. Je tedy A = ; A PA= ( ) = =. Ω 3 8 b) Počet všech možých výsledů e Ω= =, součtu edeáct e přízvých šest výsledů: A = {4; 4;3} ; A = {4;5; } ; A 3 = {4;;} ; A 4 = {5;5;} ; A 5 = {5;3;3} ; A A = {;3; }. Je tedy A = ; PA= ( ) = =. Ω 3 c) I zde e Ω= =, součet dvaáct opět realzue šest troc: A = {4;4;4}; A = {4;5;3}; A 3 = {4;; } ; A 4 = {5;5; } ; A 5 = {5; ;} ; A = {;3;3}. Je tedy opět A = ; A PA= ( ) = =. Ω 3 Hledaé pravděpodobost sou ve sutečost vyšší. Chyba spočívá v tom, že a výsledy pousů e pohlížeo chybě pouze ao a dvoce a olv správě ao a uspořádaé dvoce. Správé řešeí: V případě a) součet pět erealzuí dva, ale čtyř evy, A = {[4;];[3;];[;3];[;4]}. Je totž třeba rozlšt apř. dvoce [4;] - čtvera a prví ostce (terá může být apř. červeá) a [; 4] - čtvera a druhé ostce (terá může být apř. modrá). Máme tedy A = 4 a A 4 PA= ( ) = =. Ω 3 9 b) Podobě zde: součet edeáct erealzue e eda troce 4;4;3, ale tř uspořádaé troce [4;4;3];[4;3;4];[3;4;4], uspořádaých troc s prvy 4;5; e dooce šest. Na ev padly dvě čtvery a eda troa (bez ohledu a pořadí) e tedy třeba pohlížet buď ao a 9

13 sedoceí tří elemetárích evů, z chž aždý má pravděpodobost ebo prostě ao 3 a edu možost, terá má ovšem pravděpodobost. Hledaá pravděpodobost e pa PA ( ) = PA ( ) = = =. 8 c) Zcela aalogcy e zde PA ( ) = PA ( ) = =. Vlastost pravděpodobost: a) Pro pravděpodobost lbovolého evu A e 0 PA ( ). Protože evy A, A ' sou eslučtelé, e podle 3) PA ( A') = PA ( ) + PA ( '). Protože vša A A' =Ω, e PA ( ) + PA ( ') = P( Ω ). Podle ) e vša P( Ω ) =, tedy PA ( ) + PA ( ') =. Z toho plye b) PA ( ') = PA ( ). Protože ev emožý ( ) e opačý ev evu stému ( Ω ), e podle b) P( ) = P( Ω ), tedy c) P( ) = 0. Pozor! Tvrzeí o pravděpodobost stého a emožého evu sou tvrzeí tvaru mplace: Jestlže A e ev emožý, pa PA= ( ) 0 Jestlže A e ev stý, pa PA= ( ). Nemožost resp. stota evu sou postačuící podmíou ulové resp. edotové pravděpodobost. Nesou vša podmíou utou, t. obráceé věty: Jestlže PA= ( ) 0, pa A e ev emožý. Jestlže PA= ( ), pa A e ev stý. eplatí. Proč tato tvrzeí eplatí, obasíme a ašem příladu s terčem. Zde sme pravděpodobost zásahu oblast defoval ao poměr obsahu oblast, terou máme zasáhout obsahu celého terče. Náhodý pous bude spočívat v zasažeí bodu. Protože plošý obsah bodu e ulový, e pravděpodobost zasažeí předem daého bodu ulová. Přesto eí zásah bodu emožý (ěaý bod dooce zasahueme aždým pousem). Opačý ev - totž že předem daý bod ezasáheme, má pravděpodobost rovu edé, a přesto to eí ev stý. Pro oečé možy sme v pt. 9. uázal, že A B = A + B A B. Pro áhodé evy s oečým počtem výsledů musí tedy platt A B A + B A B A B A B PA ( B) = = = + = PA ( ) + PB ( ) PB ( B). Ω Ω Ω Ω Ω 9

14 Lze uázat, že steé tvrzeí platí v případě, že moža všech výsledů eí oečá. Platí tedy obecě: d) PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) PA ( B). 3) Přílad: Jaá e pravděpodobost, že př hodu šest mcem padou právě tř hlavy? Řešeí: Každý hod mcí představue ezávslý áhodý ev se dvěma možým výsledy. Př hodu šest mcem e tedy možých Ω = = 4 výsledů. Přízvý výslede - právě tř! hlavy ze šest - e ombace třetí třídy ze šest prvů. Je tedy A = K(3, ) = = = 0 3 3! 3! A 0 5 a PA= ( ) = =. Ω 4 4. Přílad: Jaá e pravděpodobost, že př hodu třem ostam epade součet edeáct? Řešeí: V příladu 3b) sme spočítal pravděpodobost evu A : př hodu třem ostam součet edeáct pade: PA= ( ). Zde uvažueme ev opačý, eho pravděpodobost tedy e 8 7 PA ( ') = PA ( ) = = Přílad: Jaá e pravděpodobost výhry prví (třetí) cey ve sportce? Řešeí: V příladu pt. 9.. sme spočítal, že všech možostí, a sázeu vyplt, e Chceme-l prví ceu, e přízvý ev ede edý, pravděpodobost e tedy -8 PA= ( ) : V případě třetí cey (máme uhodout čtyř čísla ze šest)! zstíme počet přízvých evů ao počet ombací, tedy A = = = 5 a tedy 4! 4! -7 PA= ( ) 5: ,58 0 Neřešeé úlohy: ) Jaá e pravděpodobost, že př vrhu třem mcem pade a) právě ede líc b) právě a dvou mcích líc ) V sáču e dvaáct ulče červeých a osm modrých. Jaá e pravděpodobost, že př vytažeí pět ulče sou a) tř červeé, dvě modré? b) dvě červeé, tř modré? c) všechy červeé? d) všechy modré? 3) Ze hry 3 aret bylo vytažeo pět aret. Jaá e pravděpodobost. Jaá e pravděpodobost, že mez m sou a) čtyř esa? b) tř esa? c) dvě esa? d) edo eso? e) žádé eso? 4) Jaá e pravděpodobost, že př vrhu dvěma ostam pade součet pět ebo šest? 5) Jaá e pravděpodobost, že př vrhu třem ostam epade součet deset a edeáct? ) V tombole e sto losů a deset výher. Jaá e pravděpodobost, že alespoň a ede los vyhraeme, máme-l a) dva losy? b) tř losy? c) deset losů? 93

15 7) Jaá e pravděpodobost, že áhodě zvoleé dvocferé číslo a) e děltelé třáct? b) má cferý součet větší ež patáct? 8) Př zoušce se ze třcet otáze áhodě vyberou tř. Studet se přpravl a 70% otáze. Jaá e pravděpodobost, že studet zodpoví právě dvě otázy? 9) Ve vyrobeé sér padesát součáste e šest zmetů. Náhodě bylo vybráo deset součáste. Jaá e pravděpodobost, že mez m sou právě dva zmety? Výsledy: ) a) 3 b) ) a) ,397 b) 0, c) 0,05 d) 0,004 3) a) 8 0, b) 0,008 c) 0,098 d) 4 0, ) 3 ) a) 0,9 b) 0,73 c) 0,70 7) a) b) 7 8) 9) 0, ) 4 94

16 9.4. Úvod do statsty Statsta studue tzv. hromadé evy, t. růzé evy přírodí, společesé a é, ol vša edotlvě, ale ve velém počtu případů. Tyto evy lze růzým způsobem vatfovat, a e ta možé studovat tzv. statstcá data. Jedá se apř. o počet obyvatel státu, obem výroby podu, pohyb velého počtu moleul v plyu atd. Statstou se běžě rozumí zísáváí, zpracováváí a hodoceí těchto dat. Statsta ao matematcá dscpla e pa vědou o metodách tohoto zísáváí, zpracováváí a hodoceí. Statstcým souborem azýváme možu všech obetů statstcého zoumáí, aždý eí prve statstcou edotou ebo rátce edotou.. Počet prvů této možy azýváme rozsah souboru a začíme většou. Statstcý soubor, terý obsahue všechy prvy přcházeící v daé stuac v úvahu, azýváme záladím souborem. Teto soubor vša většou eí možé zpracovávat pro velý rozsah. Statstcá zšťováí se ta většou prováděí e a eho sté podmožě - výběrovém souboru. Záladím statstcým souborem ta může být apř. moža všech obyvatel aší republy, výběrovým souborem pa vhodě vybraý vzore o rozsahu apř. deset tsíc. Statstcý za e vlastost prvů statstcého souboru, terá e předmětem statstcého zoumáí (apř. rychlost moleuly v plyu). Zpravdla se začí x, orétí hodoty tohoto zau pa x; x;...; x.. Přílad: Uvažume možu šest ldí s tělesým výšam (v cm):4; 8; 70; 73; 79; 80. Statstcým zaem x e zde výša člověa, hodoty tohoto zau pa sou x = 4 ; x = 8 ; x 3 = 70 ; x 4 = 73 ; x 5 = 79 ; x = 80. Četost hodoty zau: V pratcých šetřeích se málody stává, že aždá edota má ou hodotu zau. Rozsah statstcého souboru se většou pohybue ve stovách ebo v tsících. Zoumáme-l apř. výšu dospělého člověa, pohybuí se hodoty zau v rozmezí řeěme 50 0 cm, t. př měřeí a celé cetmetry as šedesát hodot. Podle přhrádového prcpu ta musí ěol ldí (často velm moho) mít steou výšu. Počet hodot zau (ozačme ) e ta meší (ebo aevýš rove) rozsahu statstcého souboru, t.. Počet statstcých edote, mž přísluší steá hodota zau x pro =,,...,, se azývá (absolutí) četost hodoty zau x. Podíl absolutí četost a rozsahu souboru budeme začt v a azývá se relatví četost hodoty zau x. Platí tedy v = (v prax se tato hodota často vyadřue v procetech - pa e třeba ásobt sty procety). Součet všech četostí e zřemě rozsah souboru, t = =, součet všech relatvích četostí e rove edé: v+ v v = v =. 95

17 . Přílad: Po dvou stech hodech hrací ostou byla sestavea tato tabula: x v v v % V tabulce číslue hodoty statstcého zau, touto hodotou x e počet bodů v edotlvých hodech, četost začí olrát daý počet bodů padl, relatví četost v pa podíl a celovém počtu výsledů, posledí sloupec tuto hodotu vyadřue v procetech. 3. Přílad: Bylo provedeo dvě stě hodů devít mcem a v edotlvých hodech počítáo, a ola mcích padl rub x v v v % V tabulce e hodotou x e počet rubů v edotlvých hodech, četost začí, olrát v daém pousu rub opravdu padl. Supové rozděleí četostí: často se stává, že rozsah statstcého souboru e velý a taé počet zštěých hodot zau e začý. Proto se blízé hodoty statstcého zau sdružuí do sup - tříd tvořeých obvyle tervaly. Nečastě se volí tervaly steé dély. Zísáváme ta supové (tervalové) rozděleí četostí. 4. Přílad: Byly změřey výšy dvou set osob a rozděley do tříd podle ásleduící tabuly: Itervaly střed četost výšy Rozsah souboru 00 Grafcá zázorěí rozděleí četostí: Na záladě tabule četostí lze rozděleí četostí zázort grafcy. Na vodorovou osu přtom aášíme hodoty statstcého zau resp. tervaly tříd a a svslou osu četost, resp. relatví četost. Nečastě používaá grafcá zázorěí sou polygo a hstogram. Na uvedeých obrázcích vlevo sou zázorěa rozděleí četostí z předchozích tří příladů použtím hstogramu (sloupcového dagramu). 9

18 Jde o možu obdélíů, echž eda straa odpovídá délce tervalu tříd (ta leží a vodorové ose) a druhá pa četost (leží a svslé ose). Statstcé rozděleí četostí e pro řadu zoumaých evů charaterstcé. Př opaovaých hodech ostou padaí všechy možé výsledy zhruba steě často, sloupce hstogramu sou 97

19 proto zhruba steě vysoé. Taové rozděleí azýváme rozděleí rovoměré. Nevyšší a ežší možá hodota, t. x max ; x m určuí tzv. varačí rozpětí, t. rozdíl x max x m. Př hodu ěola mcem vdíme výrazý vrchol uprostřed a postupé sžováí sloupců e raím hodotám. Lze uázat, že četost edotlvých zaů odpovídaí bomcým oefcetům (vz pt. 9.3.). Proto e taové rozděleí azýváo rozděleím bomcým. Taé rozděleí výše postav př správě provedeém statstcém výběru má toto rozděleí. Poud bychom měl dspozc eoečý statstcý soubor s eoečě moha hodotam statstcého zau, mohl bychom zázort eho rozděleí plyulou (spotou) řvou. U rovoměrého rozděleí by to byla vodorová úseča, bomcé rozděleí by přešlo v rozděleí ormálí, teré e charaterzováo Gaussovou řvou (vz předchozí obráze). Statstcé charatersty: sou čísla, terá podávaí stručou souhrou formac o statstcém souboru. Artmetcý průměr: x hodot x; x;...; x e podíl součtu těchto hodot a ech počtu: x x + x x = = x. = 5. Přílad: Studet dostal za pololetí z matematy tyto zámy:,,,4,,4,3,,5. Určeme eho průměrou zámu. Řešeí: zde e = 9 ; x = ; x = ; x 3 = ; x 4 = 4 ; x 5 = ; x = 4 ; x 7 = 3 ; x 8 = ; x 9 = 5. Je tedy: 4 x= x = ( ) =,7. = 9 9 Poud by tedy učtel použl tuto charaterstu celovému hodoceí, zasloužl by studet z matematy trou. Dobrý učtel vša ví, že taové hodoceí e mohdy ošdé.. Přílad: Studet má z matematy zámy,,,, a z fyzy 3,3. Určeme eho průměrou zámu z těchto předmětů. Řešeí: Protože = 7 ; x = ; x = ; x 3 = ; x 4 = ; x 5 = ; x = 3 ; x 7 = 3, e: x= x = ( ) =, = Pozáma: Všměte s, že sme teto přílad řešl úplě steě ao předešlý - e úplě edo, zda tu č ou zámu dostal studet z matematy č fyzy. Pozor a lascé chybé řešeí: Průměr záme z matematy e,, průměr záme z fyzy 3. Průměrá záma e, + 3 =,. Teto průměr z průměrů e rove artmetcému průměru pouze v případě, že z obou předmětů dostal studet steý počet záme. Vážeý artmetcý průměr: x hodot x ; x ;...; x, terým sou přřazea postupě čísla v ; v ;...; v > 0 (váhy hodot) e podíl 98

20 vx + vx vx x = = v + v v vx v. 7. Přílad: Vraťme se příladu 5 a spočíteme průměrou zámu za předpoladu, že z uděleých záme e eda dvoa a eda edča ze čtvrtletích písemých prací, teré učtel poládá za čtyřrát závažěší, ež ostatí zámy (ty sou apřílad z destmutových testů). Řešeí: Opět e = 9 ; x = ; x = ; x 3 = ; x 4 = 4 ; x 5 = ; x = 4 ; x 7 = 3 ; x 8 = ; x 9 = 5 ; yí musíme ovšem přřadt váhy: desetmutovám apř. edču, čtvrtletím pracem pa čtveru, t.: v = v = v3 = v4 = ; v 5 = 4; v = v7 = ; v 8 = 4 ; v 9 = a počítat vážeý průměr: x vx + vx vx = = = = v+ v v a studet s aedou zaslouží dvou. 8. Přílad: Vraťme se příladu. V pozámce za ím sme ostatoval, že průměr záme z matematy e., průměr záme z fyzy e 3. Zároveň sme uázal, že prostý průměr z těchto průměrů eí artmetcým průměrem záme z matematy a fyzy. Přesto lze tyto průměry výpočtu použít - musíme vša pracovat s ech průměrem vážeým: víme, že průměr. e průměrem z pět záme, průměr 3 vzl ze dvou záme. Považume průměry za hodoty zau, t. x =. ; x = 3, těmto hodotám přřaďme váhy v = 5 ; v = a vypočtěme vážeý průměr: vx + vx x = = =, 7 v+ v 5+ 7 Teto průměr souhlasí s průměrem zštěým v př.. 9. Přílad: Vraťme se příladu 5. I teto přílad lze řešt vážeým průměrem. Hodotam zau sou edotlvé zámy: x = ; x = ; x 3 = 3; x 4 = 4; x 5 = 5 ; váham pa ech četost: = ; = 3 ; 3 = ; 4 = ; 5 =. Je tedy x x+ x + x ++ x ++ x = = = ,,7. Modus Mod( x ) hodot x; x;...; x e hodota x zau x, terá má evyšší četost. Medá Med( x ) hodot x; x;...; x, de x x... x, e a) hodota x + pro lché, x + x + b) hodota pro sudé. Medáem souboru hodot uspořádaých podle velost e tedy pro lchý počet hodot hodota prostředí, pro sudý počet hodot pa artmetcý průměr dvou prostředích hodot. 9. Přílad: Určeme artmetcý průměr, modus a medá souborů z příladů, 3, 4. 99

21 Řešeí: Artmetcý průměr zstíme ve všech případech vážeím: př..: x x = = = = 3, x př.3.: x = = = = 4, př.4.: 0 0 x x = = = = = = 75,05 00 Modus e hodota zau s evyšší četostí, t.: př..: Mod( x ) = ; př. 3.: Mod( x ) = 4; př. 5.: Mod( x ) = 75. Medá: Rozsah všech souborů e 00 všechy máme uspořádáy podle hodoty zau. x00 + x0 Medáem e tedy ve všech případech hodota. př..: Součet prvích dvou četostí e + = 8; prvích tří = 0. Hodoty x00; x 0 leží tedy ve třetím tervalu, obě sou rovy třem, ech artmetcý průměr e tedy rove třem. To zameá, že Med( x ) = 3. př. 3.: Aalogcy máme: = 8; =. Hodoty x00; x 0 leží tedy v tervalu č. 5, obě sou rovy čtyřem, ech artmetcý průměr e tedy rove čtyřem. To zameá, že Med( x ) = 4. př. 4.: Za hodoty budeme brát středy tervalů. Dále e = 77 ; = 4. Hodoty x 00 ; x 0 leží tedy v tervalu č. 5, obě sou rovy číslu 75, ech artmetcý průměr e tedy rove 75. To zameá, že Med( x ) = 75. Shrňme výsledy předchozího příladu: Hody ostou maí přblžě rovoměré rozděleí, x = 3, 48 ; Mod( x ) = ; Med( x ) = 3. U tohoto rozděleí e modus evhodou charaterstou evyšší četost může mít áhodě teráolv hodota. Artmetcý průměr e vhodý pohybue se v blízost středu varačího rozpětí, rověž ta medá. Hody ěola mcem maí přblžě bomcé rozděleí, u hodů osm mcem e x = 4, ; Mod( x ) = 4 ; Med( x ) = 4. Všechy tyto charatersty sou vhodé ee pro toto rozděleí, ale pro aždé rozděleí, teré e přblžě symetrcé a má výrazěší maxmum. Tyto charatersty se pa acházeí poměrě blízo tohoto maxma. V tomto případě sgalzuí, že př hodu osm mcem e epravděpodoběší výslede čtyřrát rub a 00

22 čtyřrát líc (a těchto charaterstách e dooce založea tzv. statstcá defce pravděpodobost). Rozděleí tělesých výše člověa - steě ao dalších zaů souvseících s tělesým dspozcem (váha, měřtelé sportoví výoy apod.) e opět přblžě bomcé a platí tudíž totéž, co v předchozím odstavc. V ašem orétím případě hodoty x = 75,05; Mod( x ) = 75 ; Med( x ) = 75 opět sgalzuí, že vybereme-l z ašeho vzoru áhodě edoho člověa, pa evětší pravděpodobost má výša 75 cm. 0. Přílad: Platy dvou set učtelů a patáct šolách sou dáy ásleduící tabulou: střed t četost Staovme artmetcý průměr, modus a medá. Řešeí: Soubor o rozsahu dvě stě e rozděle do osm tříd s eulovým četostm, e tedy 8 x x = = = = = = Modus e rove hodotě epočetěší třídy, t. Mod( x ) = 000, medá e opět rove artmetcému průměru platů stého a stého prvího učtele, t. Med( x ) = Přílad: V předchozím příladě se výrazě lší platy pětadvacet učtelů. Předpoládeme, že čtyř učtelé z evyšší platové třídy byl pověře mmořádě složtým úoly, řeěme v souvslost s ací teret do šol a že ech plat vzrostl a Kč. Zopaume předchozí výpočet. Řešeí: Čtyřem učtelům byl zvýše plat o = 4 000, celová vyplaceá suma tedy vzrostla o 4 ( ) = = Je tedy x = = Modus a medá se ezměly, t. Mod( x ) = 000 ; Med( x ) = 000. Vdíme, že změa platu u čtyř učtelů (a to a začě velá) eměla vlv a modus a medá. Statstcé charatersty ás maí formovat globálě o celém souboru. Modus a medá sutečě ealetěly a tr s přdáím čtyřem edcům. Artmetcý průměr vša vyrostl téměř o tsícovu a evypovídá vůbec o čem. Proč? Modus ž ze své defce formue o tom, aý plat e v aší supě epravděpodoběší, medá zase vybírá prostředího učtele. Změa ěola málo hodot specálě medá emůže dy výrazě ovlvt. 0

23 Modus e taé většou málo ctlvý a osmetcé změy. Výmu tvoří apř. přblžě rovoměré rozděleí (vz př., de stačí dva další hody, př chž áhodou pade šesta). V předchozích příladech sme ostatoval, že artmetcý průměr e použtelý a rozděleí, teré e alespoň přblžě symetrcé s výrazěším maxmem (teré musí být tudíž zhruba uprostřed rozpětí). Na přpoeém obrázu vdíme hstogram rozděleí platů z př.. Toto rozděleí e aopa extrémě esymetrcé s výrazým maxmem u spodí hrace platů. V příladu 0 se v blízost průměru pohyboval ze dvou set učtelů ede edý. Přdáím čtyřem učtelům ze dvou set v příladu stoupl celový průměr téměř o tsíc oru a teto fatasmagorcý plat epobírá už vůbec do. Až a ěol šťastých edců se všch se svým přímy acházeí podstatě íž. V pratcých případech sce eí většou stuace ta extrémí ao v ašch modelových příladech, specálě u mezd e vša toto rozděleí dost typcé. Ve všeobecém povědomí e zaořeě ázor, že artmetcý průměr e hodota, terou má větša prvů statstcého souboru - apř. průměrý plat e plat, terý má větša pracovíů. Předchozí přílady vša uázaly, že teto ázor e hluboce mylý. Může být dooce zeužt mapulac s veřeým míěím. Úředí zodpovědý za platy ve šoství může prohlást, že plat vzrostl průměrě o 90,-- Kč. Méě formovaý obča s tuto formac dooce ochotě a téměř automatcy přeloží ve větu všch učtelé dostal přdáo 90,-- Kč. Přtom částa 90,-- Kč e e áhodé sesupeí číslc a poem přdáí e zde steě absurdí ao průměr sám. Neřešeé úlohy: ) U šest steých stroích součástí byly změřemy hmotost v g:,5;,;,4;,;,8;,9. Určete a) artmetcý průměr b) medá. ) Steé stroí součásty byly rozděley podle své dély do osm tříd: Střed tervalu (cm) 7,345 7,445 7,545 7,45 7,745 7,845 7,945 8,045 četost Určete a) artmetcý průměr b) medá c) modus. 3) Přímy sté supy obyvatel sou dáy tabulou: střed tervalu četost Určete a) artmetcý průměr b) medá c) modus. Výsledy: ) a) 0 b) 0.5 ) a) b) c) ) a) b) c)