Základy teorie pravděpodobnosti a teorie grafů

Transkript

1 Vysoá šola báňsá Techcá uverzta Ostrava Faulta strojí Zálady teore pravděpodobost a teore grafů Autoř : Doc. Ig. Mluše Vítečová, CSc., Bc. řdal etr, Ig. Koudela Tomáš Ostrava 006

2 Obsah Obsah SEZNAM OUŽITÉHO ZNAČENÍ... ÚVOD... 5 TEORIE RAVDĚODOBNOSTI ZÁKLADNÍ OJMY NEZÁVISLÉ JEVY OAKOVANÉ NEZÁVISLÉ OKUSY.... ODMÍNĚNÁ RAVDĚODOBNOST RAVDĚODOBNOST HYOTÉZ NÁHODNÁ VELIČINA ROZDĚLENÍ NÁHODNÉ VELIČINY Rovoměré rozděleí áhodé velčy Normálí rozděleí áhodé velčy Epoecálí rozděleí áhodé velčy Bomcé rozděleí dsrétí áhodé velčy ossoovo rozděleí dsrétí áhodé velčy... 7 TEORIE GRAFŮ ZÁKLADNÍ OJMY EULEROVSKÉ TAHY.... HAMILTONOVSKÉ CESTY A KRUŽNICE METODA MINIMÁLNÍ CESTY METODA KRITICKÉ CESTY (CM - CRITICAL ATH METHOD) METODA ERT ROUSTNOST DORAVNÍ SÍTĚ SEZNAM LITERATURY... 70

3 Sezam použtého začeí Sezam použtého začeí A, B, C... velým písmey abecedy začíme jevy B... jev opačý jevu B G...graf D G... duálí graf e grafu G E, E( G)... moža hra grafu G f ()... hustota pravděpodobost f ( ) F ()... frevečí fuce áhodé velčy X... dstrbučí fuce áhodé velčy X h... hraa v grafu m... počet pousů přízvých daému jevu, modus (ejpravděpodobější doba trváí čost)... počet všech možých pousů, teré mohou astat p... pravděpodobost, že jev A astae, p (A) *... relatví četost určtého jevu ( A / H )... podmíěá pravděpodobost jevu A v případě, že astal jev H (A)... pravděpodobost jevu A q... pravděpodobost, že jev A eastae, q p ( A) r... hodota áhodé velčy ormovaého rovoměrého rozděleí R... časová rezerva t e... očeávaá doba trváí čost j t e t j p T... očeávaý termí čost vystupující z uzlu a vstupující do uzlu j... doba trváí čost vystupující z uzlu a vstupující do uzlu j... ejpozděj přípustý termí m T... termí realzace úolu T E T... očeávaý termí realzace celého úolu... pláovaý termí realzace celého úolu u... hodota áhodé velčy ormovaého ormálího rozděleí V, V ( G)... moža vrcholů grafu G... hodota áhodé velčy X

4 Sezam použtého začeí X, Y, Z... áhodé velčy (áhodé proměé) σ... rozptyl áhodé velčy, cetrálí momet. řádu σ t e... rozptyl očeávaé doby trváí čost σ T E... rozptyl očeávaého termíu realzace celého úolu µ... středí hodota áhodé velčy X, obecý momet.řádu δ... velost mmálí rezervy

5 Úvod 5 Úvod Katedra ATŘ má dlouhodobou zušeost s hypertetovým učebcem, teré jsou volě přístupé a teretu. Učebce byly vytvořey převážě jao projety studetů pro doplňovou výuu. Eletrocé učebce mají moho výhod oprot psaým učebcím. Výhody lze spatřovat především v možost prohlížet učebce odudolv, de je přpojeí teretu, a dále možost jejch prohlížeí více užvatel ajedou. Byly vytvořey hlavě pro potřeby studetů ombovaé formy výuy. V této eletrocé učebc studet ajdou zálady z teore pravděpodobost a teore grafů v rozsahu vyučovaém v magstersém studu a atedře automatcé techy a řízeí.

6 6 Teore pravděpodobost Teore pravděpodobost. Záladí pojmy ous je aždá realzace určtého předem staoveého ompleu podmíe [Kába, B., 999]. ous musí být reproduovatelý, to zameá: je uto, aby podmíy, za chž pous probíhá, byly stablzováy, estuje alespoň teoretcá možost opaováí pousu, výslede pousu eí předem zám (výslede eí jedozačě urče jeho podmíam), je to vša právě jede z prvů zámé možy výsledů, terou azýváme záladí prostor (možé výsledy áhodého pousu). Jev je aždý fat, o terém, jaožto o výsledu pousu, má smysl prohlást, zda astal ebo eastal. Typy jevů: jev jstý - vždy astae př daém ompleu podmíe, jev emožý - dy eastae př daém ompleu podmíe, jev áhodý - může a emusí astat př daém ompleu podmíe. Další pojmy Opačý jev Jev, terý spočívá v eastoupeí jevu A je jev opačý jevu A, začí se A (A egace). ( A) + ( A) ( A) ( A), ( A) ( A). A A Obr.. Opačý jev

7 Teore grafu 7 rů jevů A I B A B Sjedoceí jevů A U B Obr.. rů jevů A B Relatví četost: : Obr.. Sjedoceí jevů je defováa jao poměr počtu pousů přízvých daému jevu m u počtu všech pousů * m. Statstcá defce pravděpodobost Vychází se z epermetálího zjštěí, že př zvětšováí počtu pousů se relatví četost určtého jevu * blíží určté ostatí hodotě, terou azveme pravděpodobostí jevu A [Kába, B., 999] ( A) lm *.

8 8 Teore grafu Klascá defce pravděpodobost ravděpodobost jevu A je rova počtu m možých výsledů pousů přízvých jevu A počtu všech možých výsledů pousu [Kába, B., 999]: m ( A). Za předpoladu, že všechy výsledy jsou stejě možé a jsou všechy, je oečé číslo. Aomatcá defce pravděpodobost (A. N. Kolmogorov, 9) ( ) a) 0 A, b) pravděpodobost emožého jevu A je rova ule [(A) 0], c) pravděpodobost jstého jevu A je rova jedé [(A) ], d) A, A,, A jsou po dvou eslučtelé jevy, to zameá, dy emohou astat současě dva z těchto jevů, potom platí ( A A,.., A ) ( A U A U.. U A ) ( A ) + ( A ) +.. ( A ). +, Tato aptola je podrobě popsáa v lteratuře [Kába, B., 999].

9 Teore grafu 9. Nezávslé jevy Jsou taové jevy, dy astáí jedoho z ch emá vlv a astáí ebo eastáí druhého jevu [Kába, B., 999], potom: pro dva ezávslé jevy A, B platí: pro tř ezávslé jevy A, B, C platí: řílad. (A B) (A)(B), (A C) (A)(C), (A B) (A)(B), (B C) (B)(C), (A B C) (A)(B)(C). Hodíme bílou a čerou ostou, b začí číslo a bílé ostce, c číslo a čeré ostce. V aždém z ásledujících případů rozhoděte, zda jevy jsou ebo ejsou závslé. a) Jev A je b, jev B je c. Řešeí: (A) (B) ( A I B) 6 6 ( A) ( B) ( A I B) A a B jsou ezávslé jevy (A B) očet všech pousuje 6 6 6, chceme vša je jedu ombac m. b) Jev C je b + c 7, jev D je c. Řešeí: (C) (D) ( C I D) 6 6 ( C) ( D) ( C I D) C a D jsou ezávslé jevy 6 (C) Máme 6 možostí, z toho ám 6 vyhovuje (+6, +5, + a 6+, 5+, +). 6 6 c) Jev C je b + c 7, jev E je c <. Řešeí: (C), (E) 6 6 ( C I E) 6 8 ( C) ( E) ( C I E) C a E jsou ezávslé jevy (E) Máme 6 možostí, z toho ám vyhovují (5+, 6+).

10 0 Teore grafu d) Jev F je b + c, jev G je c 5. Řešeí: ( F) 6 8 ( F I G) 6, ( G) 5 6 ( F) ( G) ( F I G) F a G jsou závslé jevy Jev G je opačý jevu G, dy chceme aby padla 5 a jeho pravděpodobost je (G ). 6 Jevy v bodech a), b) a c) ejsou a sobě ezávslé a v bodě d) jsou jevy a sobě závslé. řílad. Čtyř stroje pracují ezávsle a sobě a mají růzou poruchovost. ravděpodobost, že během jedé hody dojde poruše a prvím stroj je (A ) 0,; a druhém stroj (A ) 0,; a třetím stroj (A ) 0,; a čtvrtém stroj (A ) 0,05. Jaá je pravděpodobost, že během jedé hody edojde žádé poruše? Řešeí: ( A I A I A I A ) ( A ) ( A ) ( A ) ( A ) [ ( A )] [ ( A )] [ ( A )] [ ( A )] 0,9 0,8 0,7 0,95 0,79. ravděpodobost, že během jedé hody edojde žádé poruše, je 7,9 %. Nezávslé jevy a jejch sjedoceí a) eslučtelé jevy (dy emohou astat oba jevy ajedou) ( A U B) ( A) ( B) + A B Obr.. Nezávslé jevy A, B eslučtelé

11 Teore grafu b) slučtelé jevy (mohou astat oba jevy ajedou) ( A U B) ( A) + ( B) ( A I B) ( A U B) ( A) + ( B) ( A) (B) A B Obr..5 Nezávslé jevy A, B slučtelé ro sjedoceí jevů slučtelých a ezávslých platí: a) pro dva jevy: ( A U B) ( A) ( B) ( A) b) pro více jevů: U A řílad. [ ][ ( B) ] [ ( A )] racoví má avštívt tř arabsá města postžeá emocí. ravděpodobost aažeí v ěterém městě je: (A) 0,; (B) 0,; (C) 0,5. Jaá je pravděpodobost, že se v ěterém z těchto měst aazí? Řešeí: ( ) ( 0,7 0,6 0,5) 0, 79 ( A U B U C) [ ( A) ] [ ( B) ] [ ( C) ] ravděpodobost, že se pracoví během své cesty aazí, je 79 %. řílad. S jaou pravděpodobostí bude sdružeá telefoí la s 0 účastíy obsazea, je-l pro aždého účastía pravděpodobost hovoru v daém oamžu % a vysytují-l se hovory ezávsle a sobě? Řešeí: 0 U A 0 ( ( A )) ( 0,0) 0. 0,0956 La bude v daém oamžu obsazea s pravděpodobostí 9,5 %..

12 Teore grafu. Opaovaé ezávslé pousy Nechť se pous sládá z ezávslých dílčích pousů, z chž aždý očí buď zdarem s pravděpodobostí p ebo ezdarem s pravděpodobostí q p [Kába, B., 999]. otom pravděpodobost, že právě dílčích pousů bude zdařlých je dáa vztahem....,, 0, de, q p Tato pravděpodobost je rova jedomu sčítac z bomcé věty ( ) p q p pq q q p de je: ( )!!! - bomcý oefcet. latí: 0 Tabula. Opaovaé ezávslé pousy ravděpodobost, že právě pousů je zdařlých: q p ravděpodobost, že alespoň dílčích pousů je zdařlých: q p p q p q p ravděpodobost, že ejvýše dílčích pousů je zdařlých: q p q p pq q latí: 0 q p

13 Teore grafu řílad.5 Máme osudí s deset čerým a dvacet bílým oulem. Táheme áhodě šest oulí, přčemž aždou tažeou oul vrátíme zpět do osudí dříve, ež táheme další. Jaá je pravděpodobost, že mez tažeým oulem budou právě dvě oule bílé? Řešeí: počet pousů 6, pravděpodobost vytažeí bílé oule pravděpodobost vytažeí čeré oule počet tažeých bílých oulí, pa platí: p q 6 0 p, 0 q p, 6!!! 9 8 0,08. ravděpodobost, že mez šest tažeým oulem budou právě dvě bílé, je 8, %. řílad.6 Jaá je pravděpodobost, že roda se čtyřm dětm má: a) alespoň tř chlapce, b) alespoň jedoho chlapce? Řešeí: počet dětí v rodě:, pravděpodobost arozeí chlapce: pravděpodobost arozeí dívy: pa platí: p, q, a) roda má alespoň tř chlapce, tj. má tř ebo čtyř chlapce: 6 () + + 0,5, b) roda má alespoň jedoho chlapce, tj. roda má,, ebo chlapce: () ,975.

14 Teore grafu roblém lze převést a opačý jev: roda emá chlapce ( ) ; 0, Roda se čtyřm dětm má alespoň jedoho chlapce s pravděpodobostí 9,75 % a alespoň tř chlapce s pravděpodobostí,5 %. řílad.7 ísemý test má dvacet otáze, aždá otáza má čtyř růzé odpověd. Jaá je pravděpodobost, že studet vyoá správě test, má-l správě odpovědět alespoň a patáct otáze, přčemž c eví? Řešeí: počet otáze v tetu: 0, pravděpodobost správě zodpovězeé otázy: p, pravděpodobost esprávě zodpovězeé otázy: q. a pravděpodobost, že studet zodpoví 5 a více otáze správě, je: ,8 9!! 0! 8!! 0! 7!! 0! 6!! 0! 5!5! 0! Studet vyoá správě test s pravděpodobostí,8 0 - %.

15 Teore grafu 5. odmíěá pravděpodobost (A/B) je podmíěá pravděpodobost jevu A za podmíy, že astal jev B [Kába, B., 999] a platí: ( ) ( A I B) A / B, ( B) ( B) 0 ( ) ( A I B) B / A, ( A) ( A) 0 ( A B) ( B) ( A / B) ( A) ( B A) I /. ( A / B) ( B A) ( A) ( B / A) ( B) ( B) ( A / B) ( A) /. ro ezávslé jevy A, B platí: pa ( A I B) ( A) ( B), ( A B) ( A), ( B / A) (B / )., B esmí být jev emožý, A esmí být jev emožý, Teto vztah vyjadřuje, že podmíěá pravděpodobost jevu A (za podmíy jevu B) je rova pravděpodobost jevu A, poud A, B jsou ezávslé jevy. řílad.8 Jaá je pravděpodobost, že roda se třem dětm má dva chlapce a jedo děvče za podmíy, že má alespoň jedoho chlapce? Řešeí: Jev A - dva chlapc a jedo děvče. Jev B - alespoň jede chlapec. (Jev B - žádý chlapec, tj. roda má dívy). 0 7 ( B) ( B) ( B), 0 ( A I B) ( A), 8 8 8

16 6 Teore grafu ( A) , 8 ( A/ B) 0,8. ravděpodobost, že roda se třem dětm má dva chlapce a jedo děvče za podmíy, že má alespoň jedoho chlapce, je,8 %. Celová pravděpodobost Bayesův vzorec: ( B) ( A / B) + ( B) ( A / B) ( A), ( B) ( A / B) ( B / A) ( B) ( A / B) + ( B) ( A / B) ( B) ( A / B) ( A) Tato aptola je podrobě popsáa v lteratuře [Kába, B., 999]. řílad.9 Sodovára má dva automaty a plěí a uzavíráí lahví. rví automat zpracuje 000 lahví za hodu, druhý automat zpracuje 500 lahví za hodu. Z tohoto počtu má zpravdla pět lahví z prvího a dvaáct lahví z druhého automatu vadý uzávěr. Máme za úol určt: ) Má-l láhev vadý uzávěr, jaá je pravděpodobost, že pochází z druhého automatu? ) Jaá je pravděpodobost, že áhodě vybraá láhev je vadá? Řešeí: Jev A začí, že láhev má vadý uzávěr. 000 Jev B začí, že láhev je z prvího automatu ( B ) 0, Jev B začí, že láhev je z druhého automatu ( B) ( B) 0, 6 ravděpodobost, že láhev je vadá a je z prvího automatu: ( A / B) 0,005; ravděpodobost, že láhev je vadá a je z druhého automatu: ( A/ B) 0,008; 500.

17 Teore grafu 7 ad ) Má-l láhev vadý uzávěr, pochází z druhého automatu s pravděpodobostí: ( ) ( B ) ( A / B ) B A 0,6 0,008 / 0,706. 0,6 0, , 0,005 ( A) S pravděpodobostí 70,6 % bude vadá láhev pocházet z druhého automatu. ad ) ravděpodobost, že áhodě vybraá láhev je vadá: ( B) ( A / B) + ( B) ( A / ) 0,6.0, ,.0,005 0,0068 ( A) B Vadá láhev je vybráa s pravděpodobostí 0,68 %. řílad.0 Hodíme dvěma ostam, bílou a čerou. Jaá je pravděpodobost, že a bílé padlo číslo meší ež za podmíy že padl součet 7. Řešeí: Jev A součet je 7. Jev B číslo meší ež a bílé ostce. 6 ( A ) (vz přílad. b), ( B ), ( A I B) (prů jevů je jejch souč), 6 ( A I B) / 50 %. ( A) 6 ( B A) Na bílé ostce pade číslo meší ež s celovým součtem 7 s pravděpodobostí 50 %..

18 8 Teore grafu.5 ravděpodobost hypotéz H, H,, H jsou vzájemě eslučtelé podmíy Nechť jev A může astat je př astoupeí ěteré ze vzájemě eslučtelých podmíe H, H,, H, teré azýváme hypotézy [Kába, B., 999]. Záme:. (H ),,,,. (A/H ) začí pravděpodobost astoupeí jevu A př astoupeí určté podmíy H (pravděpodobost a pror). Jestlže provedeme pous, ve terém sutečě dojde astoupeí jevu A, můžeme určt pravděpodobost hypotéz za předpoladu, že jev A astal (pravděpodobost a posteror). Určíme: ( H ) ( A / H ), de j j j ( H j ) ( A / H j ) j ( H / A) řílad. ( H ) ( A / H ) ( A). V obchodě jsou žárovy ze tří podů. 0 % z jedoho podu, 0 % z druhého podu a 50 % z třetího podu. Mez m je 5 % zmetů z prvího podu, 7 % zmetů z druhého podu, 0 % zmetů z třetího podu. Naším úolem je určt: ) Koupíme-l žárovu, jaá je pravděpodobost, že je vadá? ) Koupíme-l žárovu a je vadá, jaá je pravděpodobost, že je ze třetího podu? Řešeí: Jev A vadá žárova. Jev H žárovy z prvího podu. Jev H žárovy z druhého podu. Jev H žárovy ze třetího podu. (H ) 0,; (A/ H ) 0,05; (H) 0,; (A/ H) 0,07; (H ) 0,5; (A/ H ) 0,;

19 Teore grafu 9 ad ) ( A) ( H ) ( A / H ) 0,. 0,05 + 0,. 0,07 + 0,05. 0, 0,08 j j Vadou žárovu oupíme s pravděpodobostí 8, %. ad ) ( H / A) ( H ) ( A/ H ) ( A) j 0, 0,5 0,08 0,6. Vadou žárovu z třetího podu oupíme s pravděpodobostí 6 %. řílad. V souboru deset výrobů mohou být jede, dva ebo tř zmety. ravděpodobost jedotlvých alteratv jsou postupě 50 %, 0 %, 0 %. Vybereme l z tohoto souboru áhodě jede výrobe, jaá je pravděpodobost, že je špatý? Řešeí: A výrobe je zmete, H - v souboru je jede zmete ( A / H ) 0, 5 ; H - v souboru jsou dva zmety ( A / H ) 0, ; H - v souboru jsou tř zmety ( A / H ) 0, ( H ) ( H ), 0, 0 0 ( H ), 0. 5 ( A) ( H ) ( A / H ) 0,5 + 0, + 0, 0,05 + 0,0 + 0,09 0,8. j j j 0 Špatý výrobe vytáheme s pravděpodobostí 8 %..6 Náhodá velča Náhodá velča X je proměá, jejíž hodota je jedozačě určea výsledem áhodého pousu. Charaterstcým rysem áhodé velčy je, že př opaováí áhodého pousu dochází vlvem áhodých čtelů mělvost hodot. Nemůžeme před provedeím pousu určt, jaé hodoty velča abude [Šráše, J., Tchý, Z., 990], [Vítečová, M.]..

20 0 Teore grafu Spojtá áhodá velča Nabývá lbovolých hodot z určtého tervalu (apř. odečet z měřcího přístroje) F Tabula.: Děleí áhodé velčy Dsrétí áhodá velča Nabývá oečý počet hodot z tervalu (apř. osta, ruleta) Dstrbučí fuce ( ) ( X ) F( ) ( X ) F( ) 0 F( + ) F ( ) F( ) F( ) 0 F( + ) F ( ) F( ) Dstrbučí fuce je fuce elesající. F( ) 0, F( ) 0, Obr..6 Hladá fuce Hustota pravděpodobost df( ) f ( ) d Obr..7 Schodovtá fuce Frevečí fuce f ( ) F( ) F( ) - F( - ) + F Obr..8 Hustota pravděpodobost ( ) d F( ) f ( X ) f ( ) d F( ) F( ) ( ) f ( s) ds 0 f ( ) X ( ) ( < X < ) ( X < ) ( < X ) f ( ) Obr..9 Frevečí fuce f ( ) F( ) F( ) F( ) F( ) f ( 0 f ( ) )

21 Teore grafu Číselé charatersty áhodých velč Číselé charatersty popsují ěteré záladí rysy áhodých velč, jao apřílad obecé a cetrálí momety [Šráše, J., Tchý, Z., 990]. M Spojtá áhodá velča + s ) Tabula. Charatersty áhodých velč Dsrétí áhodá velča Obecý momet áhodé velčy s-tého řádu s [ X ] f ( d [ ] M s X s f ( ) Obecý momet áhodé velčy prvího řádu (středí hodota) + [ X ] E[ X ] µ f ( d [ ] [ ] M X E X µ M ) m + Cetrálí momet s-tého řádu f ( ) s s s [ X ] ( µ ) f ( ) d s [ X ] ( ) f ( Obecý záps cetrálího mometu: m s [X] E[(X - E[X]) s ] [ X ] 0 m Důaz: (pro dsrétí NV) m µ ) Cetrálí momet prvího řádu X ( µ ) f ( ) f ( ) µ f ( ) µ 0 m µ Cetrálí momet druhého řádu (rozptyl, dsperze, varace) [ X ] σ m [ X ] ( µ ) f ( d D[ X ] σ m[ X ] ( µ ) f ( D ) + m[ X ] E[ ( X E[ X ]) ], Směrodatá odchyla (stadardí, středí vadratcá odchyla) σ X m X [ ] [ ] D Vlastost µ a σ (platí pro spojté dsrétí áhodé velčy) C - ostata X, Y - áhodé velčy (platí pro spojté dsrétí) µ - středí hodota σ - rozptyl áhodé velčy µ ( C ) C σ ( C) 0 µ ( X + Y ) µ ( X ) + µ (Y ) σ ( X Y ) σ ( X ) + σ (Y µ ( X + C) µ ( X ) + C σ ( X + C) σ ( X ) µ ( CX ) Cµ (X ) σ ( CX ) C σ ( X ) µ ( XY ) µ ( X ) µ (Y ) + ) )

22 Teore grafu řílad. ř hodu dvěma hracím ostam současě, echť a prví pade číslo j a a druhé ostce pade číslo. Hodota áhodé velčy je: j +. Najděte frevečí a dstrbučí fuc. f Řešeí: F ( ) f ( ) Tabula.: Tabula hodot frevečí a dstrbučí fuce ( ) 6 F( ) Obr..0 Zázorěí průběhu dstrbučí fuce příladu. Obr.. Zázorěí průběhu frevečí fuce příladu. Vypočteé hodoty frevečí a dstrbučí fuce jsou uvedeé v tabulce.. Obr..0 zázorňuje průběh dstrbučí fuce a Obr.. zázorňuje průběh frevečí fuce.

23 Teore grafu řílad. Náhodá velča X má pravděpodobostí fuc (X). Jaá je pravděpodobost, že abude hodoty a) meší ež ( < ), b) větší ež ( > ), c) větší ež a meší ež ( < < ). Řešeí: F ( X ) 0,7 ; 7 0; ( ) f ( ); pro,, pro ostatí, ; a) ( < ) F( ) f ( ) + + 0, 5 <,... 7, b) ( > ) ( ) > ( 0, + 0, + 0,7 + 0,09) 0, c) ( ) 0,+ 0,7 0,57. < < < < Náhodá velča abývá hodoty meší ež ( < ) s pravděpodobostí 5 %, hodotu větší ež ( > ) s pravděpodobostí % a hodoty větší ež a meší ež ( < < ) s pravděpodobostí 5,7 %..7 Rozděleí áhodé velčy Záoy rozděleí pravděpodobostí jsou užíváy jao pravděpodobostí modely, teré mají adevátím způsobem popsovat děje a procesy závsející a áhodě. oud chceme pracovat pouze s pojmem áhodé velčy a vyhout se mapulac s jevy, je uté, romě vztahu mez elemetárím jevy a hodotou áhodé velčy, defovat taé pravděpodobost všech jevů [Kába, B., 999]. Rozděleí áhodé velčy je pravdlo, teré aždé hodotě ebo aždému tervalu hodot přřazuje pravděpodobost, že áhodá velča abude této hodoty ebo hodoty z tohoto tervalu. Tabula.5 Rozděleí áhodé velčy Rozděleí áhodé velčy Spojtá áhodá velča Dsrétí áhodá velča - Rovoměré - obecé - ormovaé - Normálí - obecé - ormovaé - Epoecálí - Bomcé - ossoovo

24 Teore grafu Spojtá áhodá velča.7. Rovoměré rozděleí áhodé velčy a) Obecé rovoměré rozděleí Rovoměré rozděleí abývají apřílad chyby př zaorouhlováí čísel, chyby př odečítáí údajů z leárích měřcích přístrojů, doby čeáí a usutečěí jevu opaujícího se v pravdelých tervalech. Náhodá velča X má rovoměré rozděleí, jestlže pro všecha α; β má ostatí hustotu pravděpodobost. Iterval α; β vymezuje hodotu áhodé velčy [Kába, B., 999], [Vítečová, M.]. µ + f Tabula.6: Charatersty rovoměrého rozděleí Hustota pravděpodobost:, pro α, β, f ( ) β α 0, pro (, α U β, + ). Dstrbučí fuce: 0, pro ( ; α ), α F( ) d, pro α; β, β α β α α, pro ( β; + ). Číselé charatersty Středí hodota: β + β + α d d σ β α ( ) α Rozptyl: β d ( µ ) f ( ) α Obr.. Hustota pravděpodobost Obr.. Dstrbučí fuce

25 Teore grafu 5 řílad.5 ř měřeí s přesostí ± 0,5 mm je hustota pravděpodobost v celém tervalu ostatí. Určete: a) ol je f(), Řešeí: b) jaá je pravděpodobost, že chyba bude omezea tervalem (-0,; +0,), c) dstrbučí fuc F(). a) 0,5; + 0,5 α 0,5; β 0,5; f β α ( ) ; + 0, + 0, b) ( 0, < X < + 0,) f ( ) d d 0,. c) F( ) 0, 0, α + 0,5 + β α 0,5 + 0,5, 0,, pro pro ( ; ) pro 0,5; 0,5 ; + 0,5 ; ( + 0,5; + ). Určl jsme hustotu pravděpodobost, chyba bude omezea tervalem (-0, < < 0,) s pravděpodobostí 0,. Dstrbučí fuce F() abývá hodot vypočteých výše. b) Normovaé rovoměré rozděleí ř ormovaém ormálím rozděleí abývá spojtá áhodá velča hodot z tervalu 0,, α 0, β, z toho vyplývají hodoty číselých charaterst: středí hodota rozptyl β + α µ r, ( β α ) σ r. Hustota pravděpodobost: f ( ) 0 pro 0; pro ( ;0) U ( ; + ).

26 6 Teore grafu Obr.. Hustota pravděpodobost ormovaého rovoměrého rozděleí Dstrbučí fuce: F ( ) 0 pro pro pro ( ; 0) 0; ( ; + ). Obr..5 Dstrbučí fuce ormovaého rovoměrého rozděleí Trasformace ormovaého rovoměrého rozděleí a obecé rovoměré rozděleí: de jsou: ( r ) µ + σ 0,5 obecé r 0,5 + ( µ ) ormovaé σ r - hodoty ormovaého rovoměrého rozděleí, - hodoty obecého rovoměrého rozděleí se středí hodotou µ, a směrodatou odchylou. σ

27 Teore grafu 7.7. Normálí rozděleí áhodé velčy a) Ozačováo též obecé ormálí rozděleí [Kába, B., 999], [Šráše, J., Tchý, Z., 990], [Vítečová, M.]. Je velm důležté, protože: ravdlo σ se ejčastěj vysytuje, moho jých rozděleí se mu blíží, řada jých rozděleí se jím dá ahradt. Hodoty áhodé velčy jsou z tervalu Hodoty áhodé velčy jsou z tervalu Hodoty áhodé velčy jsou z tervalu µ σ ; µ + σ s pravděpodobostí 0,68. µ σ ; µ + σ s pravděpodobostí 0,955. µ σ ; µ + σ s pravděpodobostí 0,997. Dstrbučí fuc ormálího rozděleí áhodé velčy určíme podle vztahu: F ( ) ( t µ ) σ e dt. σ π Hustotu pravděpodobost ormálího rozděleí áhodé velčy určíme podle vztahu: f ( ) e π ( µ ) σ σ. Obr..6 Hustota pravděpodobost obecého ormálího rozděleí

28 8 Teore grafu b) Normovaé ormálí rozděleí Jedá se o specálí případ obecého ormálího rozložeí, dy µ 0, u σ. u de je: u - ozačeí áhodé velčy s ormovaým ormálím rozděleím. Obr..7 Hustota pravděpodobost ormovaého ormálího rozděleí Obr..8 Dstrbučí fuce ormovaého ormálího rozděleí σ σ, µ 0. u u u Dstrbučí fuc ormovaého ormálího rozděleí áhodé velčy určíme podle vztahu F u t ( u) e dt π, a hustotu pravděpodobost ormovaého ormálího rozděleí áhodé velčy určíme podle vztahu f u ( u) e π. Hodoty dstrbučí fuce ormovaého ormálího rozděleí jsou uvedey v tabulce.7.

29 Teore grafu 9 Tabula.7 Hodoty dstrbučí fuce ormovaého ormálího rozděleí u F(u) u F(u) 0 0,5 0 0,5 0, 0,598-0, 0,607 0, 0,5796-0, 0,07 0, 0,679-0, 0,809 0, 0,655-0, 0,58 0,5 0,696-0,5 0,085 0,6 0,7575-0,6 0,75 0,7 0,7580-0,7 0,96 0,8 0,788-0,8 0,86 0,9 0,859-0,9 0,806,0 0,8 -,0 0,5866, 0,86 -, 0,567, 0,889 -, 0,507, 0,900 -, 0,09680, 0,99 -, 0,08076,5 0,99 -,5 0,0668,6 0,950 -,6 0,0580,7 0,955 -,7 0,057,8 0,9607 -,8 0,059,9 0,978 -,9 0,087,0 0,9775 -,0 0,075, 0,98 -, 0,0786, 0,9860 -, 0,090, 0,9898 -, 0,007, 0,9980 -, 0,0080,5 0,9979 -,5 0,006,6 0,995 -,6 0,0066,7 0,9965 -,7 0,007,8 0,997 -,8 0,0056,9 0,998 -,9 0,0087,0 0, ,0 0,005, 0,9990 -, 0,00097, 0,999 -, 0,00069, 0,9995 -, 0,0008, 0, , 0,000,5 0, ,5 0,000,6 0,9998 -,6 0,0006,7 0, ,7 0,000,8 0,9999 -,8 0,00007,9 0, ,9 0,00005,0 0, ,0 0,0000, 0, , 0,0000, 0, , 0,0000

30 0 Teore grafu ro záporé hodoty platí vztah: F( u) F(u ) Trasformace ormovaého ormálího rozděleí a obecé ormálí rozděleí de je: ro trasformac platí vztah: µ + σ u, u - hodota áhodé velčy ormovaého ormálího rozděleí, - vypočítaé hodoty obecého ormálího rozděleí, µ a σ - středí hodota a směrodatá odchyla obecého ormálího rozděleí. Opačá trasformace se provádí podle vztahu: u µ. σ řílad.6 Ze zušeost je zámo, že hmotost určtých výrobů má ormálí rozděleí se směrodatou odchylou, g. Jaá je průměrá hmotost těchto výrobů, jestlže pouze % výrobů váží méě ež 8 g? Řešeí: Hmotost výrobů je áhodou velčou X s rozděleím N ( µ,, ) vyplývá, že (X < 8) 0,0. omocí vzorce: dostaeme: b µ a µ σ σ ( a < < b) F F 8 µ, ( a < 8 ) F 0,0. Z tabuly hodot ormálí dstrbučí fuce (tabula.7) zjstíme, že F(-,88) 0,0; 8 µ,88 µ 50,068., Hledaá průměrá hmotost výrobu je µ 50,068 g.. Ze zadáí úlohy

31 Teore grafu Trasformace rovoměrého rozděleí a ormálí rozděleí Tato trasformace vychází z cetrálí lmtí věty Lberga a Lévyho [Kába, B., 999]. Věta: Sečteme-l dostatečý počet hodot áhodé velčy de,,,, jež jsou vzájemě ezávslé a mají totéž rozděleí s toutéž středí hodotou µ a s tímtéž rozptylem, pa proměá z vytvořeá podle rovce σ z σ µ, s rostoucím overguje ormovaému ormálímu rozděleí ( z u, 0, σ ) µ. u u ro trasformac ormovaého rovoměrého rozděleí a ormovaé ormálí rozděleí je výhodé, aby, protože pa de je: σ r, µ r 0,5 ; u 6, r r - hodota áhodé velčy ormovaého rovoměrého rozděleí, u - hodota áhodé velčy ormovaého ormálího rozděleí.

32 Teore grafu řílad.7 Hmotost výrobu je vyhovující, poud je v mezích 68 g až 69 g. Stadardí hmotost má obecé ormálí rozděleí se středí hodotou µ 68, g a směrodatou odchylou σ 0, g. Jaá je pravděpodobost, že hmotost bude v mezích 68 g až 69 g? Řešeí: Trasformace a hodoty ormovaého ormálího rozděleí: u u µ 68 68,,5; σ 0, µ 69 68,,5; σ 0, rotože hodoty dstrbučí fuce jsou obvyle uváděy je pro ladé hodoty u, využje se vztahu: F(,5) + F(-,5) F(-,5) - F(,5) 0,0668. (68 < < 69) (-,5 < <,5) F(,5) - F(-,5) 0,9. Hmotost bude ve staoveých mezích 68 g až 69 g s pravděpodobostí 9, %. Byly použty hodoty dstrbučí fuce ormovaého ormálího rozděleí z tabuly.7. řílad.8 Náhodá velča představující chybu měřeí má ormálí rozděleí se středí hodotou µ 0, a rozptylem 0,6. Je třeba určt pravděpodobost, že absolutí hodota bude σ meší ež jeda ( < ). Řešeí: N(0,; 0,6), µ 0,, σ 0,6. ( < ) ( < < ) Trasformace a ormálí rovoměré rozděleí: u µ 0, ; u,5; u σ 0,8 0, 0,8 Z tabuly.7 jsou odečtey hodoty dstrbučí fuce hodot NV ormovaého ormálího rozděleí. ( < < ) (,5 < u < ) F( ) F(,5 ) F( ) + F(,5 ) 0, 77 Absolutí hodota bude meší ež jeda s pravděpodobostí 77, %. ;

33 Teore grafu.7. Epoecálí rozděleí áhodé velčy Náhodou velčou je obvyle čas, v ěmž astae sledovaý jev. ravděpodobost, že jev astae v časovém oamžu. oužívá se pro určováí pravděpodobost, žvotost zařízeí, pro řešeí problémů teore hromadé obsluhy a pro řešeí teore grafů [Kába, B., 999]. Charatersty epoecálího rozděleí Hustotu pravděpodobost epoecálího rozděleí áhodé velčy (Obr..9) určíme podle vztahu f ( ) λe 0 λ pro 0, pro < 0. Obr..9 Hustota pravděpodobost epoecálího rozděleí Dstrbučí fuc epoecálího rozděleí áhodé velčy (Obr..0) určíme podle vztahu: F ( ) e 0 λ pro 0 pro < 0. Obr..0 Dstrbučí fuce epoecálího rozděleí

34 Teore grafu Číselé charatersty epoecálího rozložeí: středí hodota rozptyl µ, λ σ. λ oud sledovaý jev může astat až v čase a, de a > 0, pa je hustota pravděpodobost: f λ ( a) ( ) λ e dstrbučí fuce: F λ ( a) ( ) e,pro a,pro a. Grafy jsou posuuty. Rozptyl se eměí, středí hodota je posuuta o hodotu a (vz obr..). σ ; µ a +. λ λ řílad.9 Obr.. Grafy hustoty pravděpodobost a dstrbučí fuce epoecálího rozděleí posuutého o hodotu a Středí doba čeáí záazía a obsluhu v prodejě je 50 seud. Doba čeáí se řídí epoecálím rozděleím (pravděpodobost, že záazí ebude obslouže s rostoucím časem lesá epoecálě). Jaá je pravděpodobost, že áhodý záazí bude obslouže dříve ež za 0 seud? Řešeí: µ 50s, F µ λ λ ( 0 < < 0) F( 0), ( 0) e 0,5. 0,0; Záazí bude obslouže dříve ež za 0 seud s pravděpodobostí 5, %.

35 Teore grafu 5 Dsrétí áhodá velča.7. Bomcé rozděleí dsrétí áhodé velčy ředpoládejme, že určtý pous opaujeme -rát za stejých podmíe. V aždém pousu může astat áhodý jev A (úspěch pousu) se stejou pravděpodobostí p a evysytout se (eúspěch pousu) s pravděpodobostí q p [Kába, B., 999]. očet realzací áhodého jevu A (úspěchů) ezávslých pousů je zřejmě dsrétí áhodou velčou, jež může abývat hodot 0,,,. Vzhledem ezávslost pousů pro její frevečí fuc platí: de je: f, ( ) ( ) p ( p) 0,,,. Charatersty bomcého rozděleí Frevečí fuc (pravděpodobost, že pousů očí zdarem) bomcého rozděleí dsrétí áhodé velčy určíme podle vztahu f ( ) p q 0, p ( p), pro,,,..., pro,,,..., a dstrbučí fuc bomcého rozděleí dsrétí áhodé velčy určíme podle vztahu de je F 0, j, ( ) ( X ) f ( j) - počet ezávslých dílčích pousů,, pro < 0 pro,. pro,,..., - počet pousů očících zdarem s pravděpodobostí p, (-) - počet pousů očících ezdarem s pravděpodobostí q p.,

36 6 Teore grafu Číselé charatersty bomcého rozděleí dsrétí áhodé velčy středí hodota rozptyl µ p, ( p) σ pq p. řílad.0 Výrobí družstvo dodává výroby, u terých ebyla provedea otrola jaost, baleé po deset usech. Družstvo předpoládá, že aždý balí, v ěmž je alespoň jede výrobe vadý, bude relamová a zaručlo se, že př relamac vrátí peíze. Je zámo, že pravděpodobost vyrobeí valtího výrobu je 0,95 a že álady a jede balí jsou dvě oruy. Jaou by mělo družstvo staovt ceu jedoho balíču, aby mohlo očeávat zs 5 %? Řešeí: 0; p 0,95; 0; q 0,05; cea (c)?; f f ( 0) ( 0) c 0,5 0 p 0 q,5 c 0,5987 0, Jede balíče by měl stát cca,50 Kč.,50 Kč.

37 Teore grafu ossoovo rozděleí dsrétí áhodé velčy Je vhodé pro velm velý počet opaovaých ezávslých pousů (počet opaovaých pousů je větší ež třcet). Napřílad počet vadých výrobů velé sére, dy pravděpodobost vyrobeí vadého výrobu je malá (počet těžých úrazů v jedom městě), pravděpodobost zdaru je malá. ossoovo rozděleí je charaterstcé tím, že jeho středí hodota µ a rozptyl se sobě rovají [Kába, B., 999]. σ Charatersty ossoova rozděleí de je Frevečí fuc ossoova rozděleí dsrétí áhodé velčy určíme podle vztahu f ( ) λ e! 0, λ λ > 0, λ p., pro 0,,,..., pro 0,,,... Dstrbučí fuc ossoova rozděleí dsrétí áhodé velčy určíme podle vztahu ( ) ( X < ) f ( j) F. j Číselé charatersty ossoova rozděleí dsrétí áhodé velčy středí hodota rozptyl µ λ, σ λ. řílad. Telefoí ústředa zapojí během hody průměrě patáct hovorů. Jaá je pravděpodobost, že během čtyř mut zapojí: ) právě jede hovor, ) alespoň jede hovor, ) alespoň dva a ejvíce pět hovorů [Hebá,., Kalouová, J., 978]. Řešeí: Středí hodota pro muty: λ λe ad) f ()! ad ),,..., f ad ),,, 5 f λ 0,7; ( ) + f ( ) f ( ) F( ) f ( 0) f ( ) 0,6; ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( 5) 0,8 + 0,06 + 0,05 + 0,00 0,6.

38 8 Teore grafu Ústředa během čtyř mut zapojí právě jede hovor s pravděpodobostí 7 %, alespoň jede hovor s pravděpodobostí 6 %, alespoň dva a ejvíce pět hovorů s pravděpodobostí 6 %. řílad. Zázorěme grafy frevečí fuce ossoova rozložeí pro λ, λ 5, λ 6, λ 0. Tabula.8 Hodoty frevečí fuce λ 0,5 0,7 0,7 0,80 0,090 0,06 0,0 0,00 0,00 0,000 0,000 λ 0,007 0,0 0,08 0,0 0,75 0,75 0,6 0,0 0,065 0,06 0,08 λ 0,00 0,05 0,05 0,089 0, 0,6 0,6 0,8 0,0 0,069 0,0 λ 0,000 0,000 0,00 0,008 0,09 0,08 0,06 0,090 0, 0,5 0, λ 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 λ 0,008 0,00 0,00 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 λ 0,0 0,0 0,005 0,00 0,00 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 λ 0, 0,095 0,07 0,05 0,05 0,0 0,0 0,007 0,00 0,00 frevečí fuce 0,0 f() 0,5 0,0 0,5 0,0 0,05 λ λ λ λ 0, Obr.. ossoovo rozděleí přílad. rotože je oefcet šmost větší ež ula, jsou příslušé řvy asymetrcé zprava.

39 Teore grafu 9 Teore grafů Teore grafů patří mez relatvě mladé matematcé dscplíy. Jedá se o obor matematy, pomocí ěhož lze formulovat a řešt moho problémů z růzých oblastí, ejčastěj celočíselé a ombatorcé povahy [Demel, J., 988], [Sedláče, J., 98].. Záladí pojmy Graf je určtý útvar (systém), terý je možo zázort obrázem v rově pomocí bodů (uzly grafu) a spojc mez body (hray grafu). Oretovaý graf je trojce G (V, E, ε) tvořeá oečou možou prvů V, jejíž prvy azýváme uzly, oečou možou E, jejíž prvy azýváme oretovaým hraam a zobrazeím ε : E V, teré azýváme vztahem cdece, a teré přřazuje aždé hraě e E uspořádaou dvojc uzlů. Neoretovaý graf je trojce G (V, E, ε) tvořeá oečou možou V, jejíž prvy azýváme uzly, oečou možou E, jejíž prvy azýváme eoretovaým hraam a zobrazeím ε (vztah cdece), teré přřazuje aždé hraě e jedo ebo dvouprvovou možu uzlů. Cesta v grafu je posloupost oretovaých hra, př teré vždy ásledující hray začíají v uzlu, v ěmž očí předcházející hraa. Cylus (ružce u eoretovaého grafu) je taová cesta, terá začíá a očí v témže uzlu. Řetěz je cesta bez ohledu a oretac grafu. Souvslý graf je graf, u terého mez všem dvojcem uzlů estuje alespoň jeda cesta. Nesouvslý graf je graf, u terého eestuje alespoň jeda cesta mez všem dvojcem uzlů. Strom je taový graf, terý eobsahuje žádý cylus. odgraf původího grafu je graf, terý vze tím, že vyecháme z grafu ěteré uzly a příslušé hray těchto uzlů. Acylcý graf je graf, terý eobsahuje žádý cylus. Ohodoceý graf (oretovaý, eoretovaý) je graf, ve terém reálá fuce defovaá a možě hra přřazuje aždé hraě ějaou hodotu (apřílad vzdáleost, doba, eerge ). Síť je graf, terý je oečý, souvslý, oretovaý, acylcý a ohodoceý, v ěmž estuje jede oečý a jede počátečí uzel. Koečý graf má oečý počet uzlů a hra. Řezem sítě se azývá moža všech hra, teré spojují uzly možy U s uzly možy U, dy U je moža uzlů, terá obsahuje počátečí uzel a všechy uzly dosažtelé z počátečího uzlu po easyceé cestě. Moža uzlů U je taová moža, terá obsahuje ocový uzel a všechy zbývající uzly. Kapacta řezu je číslo, teré je tvořeo součtem apact (ohodoceí) všech hra řezu. Mmálí řez je řez, terý má ejmeší apactu. Multgraf je graf, v ěmž mez ěterou dvojcí uzlů estuje v jedom směru větší počet hra ež jeda.

40 0 Teore grafu Druhy hra: Smyčy Tabula. Druhy hra Hraa, terá cduje s jedím uzlem Rovoběžé hray Icdují se stejým uzly. Oretovaé hray Je azače směr oretace Neoretovaé hray Násobé hray Jsou rovoběžé hray, teré jsou buď eoretovaé ebo všechy souhlasě oretovaé. Tabula. Rozděleí hra a smyče ROVNOBĚŽNÉ HRANY SMYČKY Násobé Neásobé

41 Teore grafu Klasface grafů: a) odle hra: jedoduchý graf (oretovaý, eoretovaý) je graf, terý obsahuje prosté hray bez smyče. prostý graf (oretovaý, eoretovaý) je graf, v ěmž ásobost aždé hray je ejvýše rova jedé (eobsahují ásobé hray), multgraf (oretovaý, eoretovaý) je graf, v ěmž ásobost alespoň jedé hray je větší ež jeda (obsahují ásobé hray), Tabula. Typ grafu podle hra TY GRAFU NEORIENTOVANÝ ORIENTOVANÝ Jedoduchý graf rostý graf Multgraf

42 Teore grafu b) odle počtů hra a uzlů: oečý graf (oečý počet hra a uzlů), eoečý graf (eoečý počet hra a uzlů), prázdý graf (prázdá moža uzlů a hra). Úplý graf je graf, mez jehož aždým dvěma růzým uzly estuje právě jeda hraa, pa platí de je: - počet hra - počet uzlů Obr.. řílad úplého grafu odgraf graf G je podgrafem grafu G, jestlže V V, E E a ε je zúžeím zobrazeí ε pro graf G, de grafy G (V, E, ε ), G (V, E, ε ), jsou buď oba oretovaé ebo oba eoretovaé. Obr.. odgraf úplého grafu z obrázu.. Fator grafu graf G je fatorem grafu G, jestlže graf G je podgrafem grafu G, terý má stejou možu uzlů (V V) a jeho moža hra E je podmožou možy hra E ( E E).

43 Teore grafu Obr.. Fatory úplého grafu z obrázu. Stupeň uzlu je počet hra cdujících s daým uzlem (smyča se počítá dvarát). řesuy z jedoho uzlu do druhého uzlu Sled je uspořádaá posloupost uzlů a hra (uzly a hray se mohou opaovat). S (, a,, b,, d,, e, ) S (, a,, c,, e, ) Déla sledu: l(s ) a + b + d + e l(s ) a + c + e Obr.. řesuy uzlů počátečí uzel ocový uzel uzavřeý sled počátečí uzel ocový uzel otevřeý sled Násobost hray počet výsytů téže hray v určtém sledu. Tah je sled, v ěmž se žádá hraa evysytuje více ež jedou. Cesta je taový tah, v ěmž se aždý uzel vysytuje je jedou. Kružce je uzavřeá cesta (vz obr..5). Obr..5 Kružce uzavřeá cesta

44 Teore grafu. Eulerovsé tahy Eulerovsý tah je taový tah, terý obsahuje všechy hray právě jedou. Oretovaé grafy obsahují oretovaé tahy a eoretovaé grafy obsahují eoretovaé tahy [Demel, J., 98], [lesí, J., 98]. Uzavřeé Eulerovsé tahy jsou taové tahy, u terých je počátečí a ocový uzel totožý. Neuzavřeé Eulerovsé tahy jsou taové tahy, teré emají totožý počátečí a ocový uzel. Jedotažy jsou všechy hray aresley jedím tahem. Obr..6 Neuzavřeá jedotaža Obr..7 Uzavřeá jedotaža Typy úloh. Rozhodout, zda v daém grafu estuje otevřeý ebo uzavřeý Eulerovsý tah.. V daém grafu sestrojt otevřeý ebo uzavřeý Eulerovsý tah.. V daém grafu ajít ejmeší počet tahů, ol Eulerovsých, teré porývají všechy hray grafu.. V daém souvslém grafu (mez aždým dvěma uzly estuje hraa), jehož hray jsou ohodocey ladým čísly, máme za úol ajít ejratší uzavřeý sled, terý obsahuje aždou hrau alespoň jedou. Obecě azýváa Úloha čísého pošťáa. Věta : Nechť graf G je eoretovaý, pa v grafu estuje eoretovaý uzavřeý Eulerovsý tah právě tehdy, dyž aždý uzel grafu je sudého stupě. Věta : Nechť graf G je oretovaý, pa v grafu G estuje oretovaý uzavřeý Eulerovsý tah právě tehdy, dyž pro aždý uzel grafu platí, že počet hra vstupujících do uzlu je rove počtu hra z uzlu vystupujících. řílad. Máme město, teré se rozládá a dvou ostrovech a dvou březích, teré jsou spojey sedm mosty. Naším úolem je určt, zda je možo projít přes aždý ze sedm mostů přesě jedou, až bychom přeplaval řeu (vz obr..8)?

45 Teore grafu 5 Obr..8 Sedm mostů a dva břehy daého města a odpovídající graf Neí možo projít přes aždý most bez přeplaváí řey právě jedou, protože všechy uzly mají lchý stupeň. Algortmus pro hledáí uzavřeého Eulerovsého tahu Musí být zajštěa platost věty ebo. V algortmu se pa střídavě prodlužují dvě fáze: Estující tah prodlužujeme, doud se estae uzavřeým. Uzavřeý tah otrolujeme, zda je Eulerovsý. ř otrole procházíme podél tahu a v aždém uzlu testujeme, zda v oolí uzlu estuje hraa, terá dosud eleží v tahu. Jestlže ao, pa přerušíme otrolu, tah v uzlu rozpojíme a začeme jej prodlužovat. rodlužováí sočí v uzlu. o rozpojeí ového a starého tahu poračujeme v otrole počíaje uzlem a postupujeme podél ové část tahu. Tato je zajštěo, že ja př prodlužováí, ta př otrole postupujeme podél aždé hray pouze jedou. Celý postup je tedy velm rychlý. řílad. Sestrojme uzavřeý oretovaý Eulerovsý tah (vz obr..9) pomocí výše uvedeého postupu. Obr..9 Graf příladu. odle algortmu pro hledáí uzavřeého Eulerovsého tahu je pro graf a obr..9 sled hra uzavřeého tahu: 8 7. ř otrole zjstíme, že v uzlu, ve terém očí hraa 8 vychází hraa 6 a vstupuje hraa 5, taže Eulerovsý tah upravíme

46 6 Teore grafu Věta : Nechť G je eoretovaý souvslý graf, terý obsahuje uzlů lchého stupě, pa ejmeší počet eoretovaých tahů porývajících všechy hray grafu je /. očet uzlů lchého stupě v grafu (obr..0): tahy. Věta : Obr..0 Graf potvrzující větu V souvslém oretovaém grafu je právě jede Eulerovsý tah euzavřeý právě tehdy, dyž graf je souvslý a estují-l v ěm dva uzly u, u, pro teré platí (vz obr..): d d + + ( u ) d ( u ), ( u ) d ( u ) +, de je: d + ( u ) - počet hra vstupujících do uzlu u, d - ( u ) - počet hra vystupujících z uzlu u. a uzel u je počátečí uzel a uzel u je ocový uzel euzavřeého Eulerovsého tahu. ro ostatí uzly platí d + (u) d - (u). u u Obr.. Graf potvrzující větu

47 Teore grafu 7 Algortmus čísého pošťáa ošťá musí př rozášce pošty alespoň jederát projít aždou ulcí svého rajóu. Ja má postupovat, aby ušel co ejméě lometrů, to zameá, aby ratší cesty procházel vícerát [Demel, J., 98]?. Zjstt, zda jsou všechy uzly sudého stupě.. Neí-l tomu ta, musíme přdat hray, abychom tuto podmíu spll a to provedeme ta, že spojíme uzly s lchým stupěm ejratší cestou.. rovedeme otrolu, zda cesta pošťáa je opravdu ejratší. řílad. Řešme úlohu čísého pošťáa pro graf a obr... Řešeí: Hray tvořící ejlevější perfetí párováí jsou ozačey tučě (vz obr..). Stupě všech jeho uzlů jsou sudé, ečí tedy potíže alézt v tomto grafu uzavřeý Eulerovsý tah. Obr.. Graf úloze čísého pošťáa přílad. Obr.. Hray tvořící ejlevější perfetí párováí tučé hray

48 8 Teore grafu. Hamltoovsé cesty a ružce Hamltoovsá cesta v grafu G je cesta, terá obsahuje aždý uzel grafu G právě jedou. Hamltoovsá ružce (cylus) v grafu G je ružce (cylus), terá prochází aždým uzlem grafu, u teré je počátečí a ocový uzel totožý [Demel, J., 98]. Typy úloh:. Najít Hamltoovsou ružc (cylus) - (úloha obchodího cestujícího).. Najít Hamltoovsou cestu (mez lbovolým dvěma uzly).. Najít Hamltoovsou cestu, jejíž rají uzel je fová.. Najít Hamltoovsou cestu, jejíž oba rají uzly jsou fováy. ro řešeí těchto typů úloh eestuje žádý efetví algortmus. řílad. Máme za úol ajít Hamltoovu ružc a ejratší cestu (vz obr..). Obr.. Graf příladu. Déla Hamltoovsé ružce: A B C D A jedote. Nejratší déla cesty A D C B C A 0 jedote. Rozhodovací strom oužívá se pro jedoduché úlohy. V aždém uzlu rozhodujeme, am jít dál, ale esmíme se vrátt do uzlu, ve terém jsme byl.

49 Teore grafu 9 řílad.5 Máme za úol ajít Hamltoovu ružc pomocí rozhodovacího stromu (vz obr..5). Řešeí: Tam, de elze dále poračovat, je zača X. Obr..5 Síťový graf příladu.5 B C D G F G E F A E F X D X E G D X B X A F C D G G E X D X E X E G C X D C B A B X F C D G X E G C D G B X F X C B X F X Obr..6 Rozhodovací strom - přílad.5 ro graf a obr..6 estují dvě Hamltoovsé ružce, teré se lší je pořadím uzlů. Hamltoovsé ružce: rví: A F E G D C B A. Druhá: A B C D G E F A.

50 50 Teore grafu. Metoda mmálí cesty a) Oretovaý graf: ro určeí mmálí cesty v oretovaém ohodoceém grafu se využívá Bellmaův prcp optmalty [Demel, J., 988]. je-l cesta z A do C optmálí, pa a této cestě musí ležet cesta z B do C Obr..7 odmía Bellmaova prcpu optmalty odmíy pro graf, aby mohl být použít Bellmaův prcp optmalty: všechy hray grafu jsou ohodocey t j, v grafu esmí být cyly < j (hraa musí vystupovat z uzlu s číslem meším a vstupovat do uzlu j s číslem větším), Obr..8 odmía užtí Bellmaova prcpu optmalty esmí být rovoběžé hray odstraíme pomocí ftvích hra s ulovým ohodoceím. Obr..9 Tvorba ftvího prvu Hraa spojující uzly, je ftví hraa s ulovým ohodoceím. ostup určováí cesty v oretovaém grafu: ř hledáí mmálí (mamálí) cesty v ohodoceém oretovaém grafu postupujeme od ocového uzlu počátečímu uzlu.

51 Teore grafu 5 Ohodoceí v ocovém uzlu (T 0) položíme rovo ule. a postupujeme prot směru oretace hra počátečímu uzlu a u aždého uzlu s pamatujeme mmálí (mamálí) hodotu součtu ohodoceí hra předchozí část cesty a směr, odud jsme do daého uzlu došl. Hodota v počátečím uzlu dává celovou ejratší (ejdelší) cestu v grafu. Tabula. Staoveí déle cesty Nejratší cesta T m ( T j + t j ) T 0 Nejdelší cesta T ma ( T j + t j ) T 0 Nejratší cesta: Obr..0 řílad oretovaého grafu ejratší cesta Nejratší cesta vede uzly: 6, Déla cesty: jedote. Nejdelší cesta: Obr.. řílad oretovaého grafu ejdelší cesta Nejdelší cesta vede uzly: 5 6, Déla cesty: jedote.

52 5 Teore grafu b) Neoretovaý graf Obr.. řílad eoretovaého grafu ostup hledáí mmálí cesty v eoretovaém grafu: Graf musí být ohodoceý, eoretovaý, bez číslováí uzlů. de je:. Ozačíme počátečí uzel číslem ula.. V aždém dalším rou budeme ohodocovat eohodoceé uzly, teré jsou spojey hraam s jž ohodoceým uzly a to ta, že je hodotíme podle vztahu ( t ) [ U ( t ) t ] U m +. j j U( t ) - hodota ohodoceého uzlu, t j - hodota hray mez ohodoceým [ ( )] U a eohodoceým [ ( t )]. Hodota ocového uzlu ám dává hodotu mmálí cesty. Hray, teré leží a mmálí cestě určíme podle vztahu t j [ U ( t ) U ( t )], j směrem od posledího uzlu prvímu. latí, že rozdíl hodot sousedících uzlů musí být hodota hray. a) b) c) d) 5 t 5 U uzlem. j Obr.. ostup ohodocováí uzlů

53 Teore grafu 5.5 Metoda rtcé cesty (CM - Crtcal ath Method) ro řešeí metodou rtcé cesty využíváme tzv. síťový graf, terý se sládá z uzlů a oretovaých hra. Hray odpovídají jedotlvým dílčím čostem úolu. Daou čost jedozačě určují počátečí a ocový uzel, terým je aždá čost ohračea. Čost ozačujeme uspořádaou dvojc čísel (, j), přčemž musí platt < j, tj. v grafu se evysytují cyly a rovoběžé hray [Víteče, A., Wawrzczová, M., 988], [Vítečová, M.]). Na realzac čost je třeba určté doby, tzv. doby trváí čost t j, a vyaložeí určtých áladů. Něteré čost musí být vyoáy v určtém časovém pořadí, proto je třeba do síťového grafu zavést ještě ftví čost (obr.. b) s ulovou dobou trváí, teré vyjadřují vazby a závslost mez čostm. Síťovým grafem G rozumíme tedy dvojc mož: možu uzlů V a možu čostí E (možu hra). Síťový graf zapsujeme ve tvaru G (V, E). a) b) Obr.. Zázorěí čost: a) sutečé, b) ftví řílad.6 Síťový graf G a obr..5 popíšeme možou uzlů V a možou hra E. Obr..5 Síťový graf příladu.6 Řešeí: ro síťový graf podle obr..5 platí G (V, E), de je: V [,,, ], E [(; ), (; ), (; ), (; ), (; )].

54 5 Teore grafu osloupost hra v síťovém grafu, u teré ocový uzel aždé hray (mmo posledí) se shoduje s počátečím uzlem ásledující hray, se azývá cesta. Součet dob trváí všech čostí tvořící cestu je doba trváí cesty. Mamálí doba trváí cesty z uzlu do uzlu j se azývá: ejdříve možý termí uzlu j, m ozačuje se symbolem a určí se ze vztahu: T j m m ( T + t ), T 0 m T ma. j j Je to ejdříve možý termí zahájeí všech čostí vystupujících z uzlu j. Termí realzace úolu m T je ejdříve možý termí uzlu. Je to mmálí doba utá e splěí všech čostí a tím celého úolu. Této době odpovídá mamálí doba trváí cesty z uzlu do uzlu. Symbolem p T se ozačuje ejpozděj přípustý termí uzlu. Je rove rozdílu mez p p m termíem T T t. ředpoládá se, že ejdříve možý termí ocového uzlu je j j zároveň rove jeho ejpozděj přípustému termíu vypočteme ze vztahu p p m ( T t ), T T. p T m Uzly, pro teré platí: T m j j p T, V, p T. Nejpozděj přípustý termí azýváme rtcé uzly a čost, teré spojují tyto rtcé uzly azýváme rtcé čost a vytvářejí rtcou cestu v grafu. Dojde-l jaémuol zpožděí v prováděí rtcých čostí, utě dojde e zpožděí splěí celého úolu. V síťovém grafu může estovat ěol rtcých cest. Zalost rtcých cest, a tedy rtcých čostí, je pro řízeí realzace celého úolu velm důležtá. Časové rezervy U aždé operace rozezáváme ěol druhů časových rezerv (obr..6): Celová časová rezerva čost - představuje časový terval, ve terém lze posuout celou dílčí ac, až by se tím ovlvl výsledý pláovaý termí. očítáme j podle vztahu: R c j T T t. p j m j Volá časová rezerva je taový časový terval, o terý lze prodloužt ebo posuout čost, až by byla ovlvěa čost a avazující. Tuto rezervu počítáme podle vztahu: R v j T T t. m j m j Nezávslá časová rezerv, je to možství času, o terý může být čost prodloužea, až by se tím ovlvla teráolv já čost síťového grafu. Výpočet se provede dle vztahu: R j m p ( 0 T T t ) ma,. j j T p T

55 Teore grafu 55 Mez jedotlvým časovým rezervam platí vztah: R c j R R. v j j c Krtcé čost mají ulové celové časové rezervy ( 0 ). R j Obr..6 Vzájemé vztahy mez časovým rezervam c Subrtcé čost jsou čost s malou celovou časovou rezervou δ, de je: δ - předem zvoleá mmálí rezerva (závsí a povaze realzovaého úolu). R j Síťový graf má tyto záladí vlastost: Každý síťový graf musí mít vždy jede počáte, ze terého hray pouze vystupují, a jede oec, do terého hray pouze vstupují. Tuto podmíu lze splt vždy pomocí ftvích čostí (vz obr..7 a). Každá čost může být zahájea je tehdy, dyž jsou doočey všechy předcházející čost. Souběžé (paralelí) čost z důvodu jedozačé detface musí být odděley ftví čostí (vz obr..7 b). Dély hra eodpovídají dobám trváí čostí. Uzly lze očíslovat ta, aby platla erovost < j. V tomto případě v síťovém grafu evystupují cyly (vz obr..7 c).

56 56 Teore grafu ř sestavováí síťových grafů je třeba provést rozbor čostí a uvědomt s, teré čost bezprostředě předcházejí aždé čost, teré čost za daou čostí bezprostředě ásledují, teré čost probíhají souběžě a teré čost a sobě ezávsejí. Všechy údaje o čostech zapsujeme do tabuly, a jejíž záladě pa sestavíme vlastí síťový graf. Obr..7 Záladí vlastost síťových grafů pro použtí metody CM ro očíslováí uzlů v síťovém grafu můžeme použít ásledující algortmus: Očíslováí uzlů síťového grafu: rví ro - počáte ozačt číslem. Druhý ro - ásledujícím číslem ozačt lbovolý eočíslovaý uzel, u terého jsou všechy předcházející uzly očíslováy (taový uzel vždy estuje, protože síťový graf eobsahuje cyly). Kro je třeba opaovat ta dlouho, až budou všechy uzly očíslováy. Koec bude mít vždy ejvětší číslo rové počtu uzlů.

57 Teore grafu 57 o očíslováí uzlů můžeme rtcou cestu a časové rezervy určt algortmem: Určeí ejdříve možých termíů (postup vpřed): m rví ro - položt T 0. Druhý ro - pro j,,, vypočítat: m j m ( T t ) T ma +. j Určeí ejpozděj přípustých termíů uzlů (postup vzad): p Třetí ro - položt T T T T. p m m, musí platt: Čtvrtý ro - pro,,, vypočítat: T p p ( T t ) m. Určeí časových rezerv čostí: de je: átý ro - pro R R R c j v j j m T j p T j t j T T p j m j j T T m m j (, j) E t j t j,, m p ( 0 T T t ) j vypočítat: ma,, - ejdříve možý termí uzlu j, - ejpozděj přípustý termí uzlu j, - doba trváí čost. Určeí rtcé cesty Šestý ro - vyzačt čost (, j), pro teré rtcou cestu. j c R j 0. Tyto čost jsou rtcé a určují U jedoduchých síťových grafů určeí rtcé cesty provádíme přímo v síťovém grafu [Víteče, A., Wawrzczová, M., 988]. o očíslováí uzlů postupujeme ejdříve od počátu e oc (postup vpřed) a počítáme všechy ejdříve možé termíy a zapsujeme je vlevo (vz obr..9). a postupujeme od oce počátu (postup vzad) a počítáme ejpozděj přípusté termíy a zapsujeme je ad příslušým uzly vpravo. Krtcou cestu vyzačují uzly, u terých ejdříve možé termíy jsou shodé s ejpozděj přípustým termíy m p T T. Celové časové rezervy zapsujeme u jedotlvých čostí do závore (vz obr..8). U rtcých čostí všechy časové rezervy jsou ulové.

58 58 Teore grafu řílad.7 Máme za úol sestrojt zařízeí, teré se sládá ze tří částí. odle tabuly.5 sestrojte síťový graf a určete rtcou cestu a časové rezervy. Čost jsou ozačey písmey velé abecedy. Napřílad symbol A < B, C ozačuje, že čost A předchází čostem B a C a ta dále. Doby trváí čostí jsou uvedey ve zvoleých časových jedotách (č.j.). Řešeí: Tabula.5 Vypočteé hodoty příladu.7 čost j t j podmíy vstupí ávrh A A < B, C ftví čost B 0 projet C 5 C < E, F, G rozbor D D < E, F, G objedáva E 5 E < H objedáva F 6 F < I objedáva G 7 G < J dodáva součásty H 5 8 H < K dodáva součásty I 6 8 I < K dodáva součásty J 7 9 J < L dílčí motáž K 8 9 K < L oečá motáž L Nejdříve sestrojíme síťový graf s uvažováím omezeí a časové čost, vz obr..8. řečíslováí uzlů emusíme provádět, protože vyhovuje podmíce < j. Obr..8 Síťový graf příladu.7

59 Teore grafu 59 V uzlech jsou hodoty m p T j T číslo uzlu Obr..9 Ozačeí uzlů a obr..8 Výpočet ejdříve možých a ejpozděj přípustých termíů provedeme přímo v síťovém grafu. Napřílad ejdříve možý a ejpozděj přípustý termí uzlu je : m m ( T + t ) T p p ( T t ) T 9 7 m T ma t p T ma 6 t6 pro jé uzly je postup stejý. j j časových jedote (, ), časových jedote (j 5, 6, 7), Krtcá cesta vede přes uzly: (zesíleou čarou). T 0 T 0 m p Doba realzace celého úolu: č. j. Časové rezervy př výpočtu je vhodé sestavt do tabuly (vz tabula.6), protože ftví čost (,) slouží pouze jedozačé detfac čost (, ), dostaeme, že čost (,) má ezávslou časovou rezervu č.j. Čost (,5) a (5,8) mají celovou časovou rezervu č. j. a čost (,7) a (7,9) mají celovou časovou rezervu č.j. Zvolíme-l δ č. j., dostaeme, že čost (,5) a (5,8) lze považovat za subrtcé čost, de je: δ - předem zvoleá mmálí rezerva. Tabula.6 Časové rezervy příladu.7 j t j c R j v R j R j A B C D E F G H I J K L

60 60 Teore grafu Agregace a desagregace síťových grafů Každý síťový graf svojí struturou odpovídá úrov řízeí, pro terou je urče. ro vyšší úrově je méě podrobý je agregová. Agregace se týá eje čostí, ale dob jejch trváí. ř agregac síťového grafu je třeba vyzačt důležté tzv. líčové uzly, teré v agregovaém síťovém grafu mají zůstat. Dobu trváí agregovaé čost určuje ejvětší doba trváí cesty z jejího počátečího do jejího ocového uzlu. Mez dvěma líčovým uzly uvažujeme čost tehdy, estuje-l mez těmto uzly cesta ve výchozím síťovém grafu, respetve tvoří-l tato čost cestu s ejdelší dobou trváí mez těmto uzly. Obr..0 Zázorěí agregace a desagregace síťových grafů Agregace a desagregace síťového grafu umožňuje použtí metody rtcé cesty s výhodou v herarchcé strutuře řízeí. Je to taé jede z hlavích důvodů jejího využíváí př pláováí a řízeí realzace složtých úolů, především rozsáhlých projetů s počtem čostí až do ěola desettsíců. Metoda rtcé cesty je vša s úspěchem používáa pro evelé projety, ve terých vystupuje pouze ěol desíte čostí.