1 - Integrální počet, výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): 1 a) c) x. + 4x

Transkript

1 - Itegrálí počet, výpočet oshu plochy, ojemu rotčího těles ) Vypočítejte (itegrce pomocí sustituce): ) 9 d si( l ) ) d c) e d d) e d ) Vypočítejte (itegrce metodou per - prtes): l ) ( ) e d ) d c) ( ) si d ) Vypočtěte osh roviého orzce, omezeého křivkmi o rovicích: f : y g : y d) l d ) Vypočtěte osh útvru U ohričeého prolou, která je grfem fukce g : y, M, 0 osou, osou y rovoěžkou s osou y procházející odem [ ] ) Vypočtěte osh roviého orzce, omezeého křivkmi f, g, h f : y g : y h : y 0 ) Vypočtěte osh útvru ohričeého prolmi, které jsou grfy fukcí f : y g : y 7) Vypočtěte osh roviého orzce, omezeého křivkmi f g f : y 8 g : y 8) Vypočtěte osh útvru U, který je ohričeý prolou y jejími tečmi 0, T, 0 v odech T [ ] [ ] 9) Vypočtěte ojem těles vytvořeého rotcí roviého orzce omezeého črmi f : y 8 g : y ; 0 h : y 0 kolem osy 0) Útvr ohričeý křivkmi y 0 y rotuje kolem osy Určete ojem V vziklého těles ) Odvoďte vzorec pro výpočet ojemu ) rotčího kuželu, ) koule, c) kulové úseče ) Vypočtěte ojem těles vytvořeého rotcí roviého orzce omezeého črmi f : y g : y h : y 0 /

2 - Itegrálí počet, výpočet oshu plochy, ojemu rotčího těles ) Vypočtěte ojem těles vziklého rotcí lichoěžíku PQAB kolem osy 0, 0, 0 0, B, 7 P [ ] Q [ ] A [ ] [ ] ) Vypočtěte ojem těles vziklého rotcí grfu fukce f : y tg X 0, π kolem osy Teoretická část: primitiví fukce, pricip itegrce sustitučí metodou (vysvětlit přípdu složeé fukce, jejíž vitří složkou je lieárí fukce), postup itegrce metodou per prtes (vychází z derivce součiu fukcí), difereciál proměé, určitý itegrál (elemetárí ploch, určitý itegrál jeho geometrický výzm), Leiiz Newtoov vět (otázk: Proč je v předpokldu Leiiz Newtoov věty otevřeý itervl?) oshy roviých orzců ojemy rotčích těles Pozámk: V předpokldu Leiiz Newtoovy věty vyždujeme eisteci primitiví fukce pro (, ) defiice primitiví fukce vychází z defiice derivce fukce v dém odě derivce fukce v dém f ( ) f ( 0 ) odě je defiová jko limit lim f ( ) pojem limit je vystvě okolí odu, 0 ježe krjí ody uzvřeého itervlu 0, emjí okolí itervl musí ýt otevřeý /

3 Difereciálí počet, limit, derivce, užití difereciálího počtu v prktických úlohách ) Určete limitu fukce (rozkldem mohočleu souči) 8 ) lim ) lim c) lim d) lim 0 Pozámk: K rozkldu výrzů souči můžete využít Horerovo schém (vhodým rozšířeím lomeého výrzu) e) lim f) lim g) 7 lim h) lim (použitím vhodých goiometrických vzorců) si cos cos si i) lim j) lim cos tg π cos π cos si k) lim 0 si si tg Pozámk: U příkldu l) si připomeňte, čemu se rová lim lim 0 0 l) si lim 0 tg ) Urči směrici tečy grfu fukce f : y si v odech π π A ) B ;? c) C ;? d) Pozámk: Geometrický výzm derivce fukce v dém odě ) [ 0;?] π D ;? ) Určete rovici tečy grfu fukce v odě dotyku T; T f si cos f : y ; si cos ; 0 y ) Npiš oecou rovici teče grfu fukce f : y v průsečících grfu s osou y ) N grfu fukce f : y urči od T tk, y teč v odě T ) měl směrici k, ) yl rovoěžá s osou, c) yl rovoěžá s přímkou p : y 0 ) Vypočtěte derivci fukce f v odě A Určete, zd fukce v odě A roste eo klesá ) f : y ) f : y A[ ; y ] A f, 0 7) Určete etrémy fukce f, mootóost průěh fukce f : y 9, R 8) Užitím derivce urči itervly mootóosti fukce: ) f : y ) g : y si, 0, π A[ ; y ] A f, 0 9) Určete průěh fukce f : y 0) Číslo 00 rozděl dv sčítce tk, y /

4 Difereciálí počet, limit, derivce, užití difereciálího počtu v prktických úlohách ) jejich souči yl mimálí, ) součet jejich druhých moci yl miimálí ) Urči rozměry válcové ádoy tk, y při ojemu litr měl miimálí povrch ) Do rotčího kužele o rozměrech r cm, v cm vepište válec mimálího ojemu tk, y os válce splývl s osou kužele Určete rozměry válce Teoretická část: okolí odu, prsteové okolí odu, limit fukce, spojitost fukce, vět, vět jejich plikce při výpočtech, věty o limitách součtu, rozdílu, součiu podílu fukci jejich plikce při výpočtech, derivce fukce v odě její geometrický výzm, derivce elemetárích fukcí (vzorce), derivce složeých fukcí vysvětlit kokrétích příkldech, průěh fukce /

5 Alytická geometrie v prostoru ) N přímce p určete ody, které mjí od odu S vzdáleost d t p : y z 8t; t R [ ; ; ] S, d ) Jsou dáy ody A [ ;; ], B [ 0; ; ], [ ; ; 0] určete souřdici z odu M [ ;; z] ) Určete čísl p, q tk, y od C ležel přímce AB 0;; 0 ; ; C p; q; A [ ], B [ ], [ ] C Npište prmetrické rovice roviy α ABC tk, y od M ležel v roviě α ) Určete vzájemou polohu přímek p, q s prmetrickými vyjádřeími ) p : 8 t, y 8t, z t; t R q : s, y s, z 9s; s R c) p : t, y t, z t; t R q : s, y s, z s; s R ) Jsou dáy ody A [ ;; ], B [ ;; ], [ ; 0; ] Pozámk: Užitím determitu ) p : t, y t, z t; t R q : s, y s, z s; s R d) p : t, y t, z t; t R q : s, y s, z 9 s; s R C Npište oecou rovici roviy α ABC ) Určete souřdice odu A, který je souměrý s odem A podle roviy α A ; 0; α : y z 0 [ ] 7) Je dá prvidelý čtyřoký jehl ABCDV, velikost jeho podstvé hry je, výšk jehlu je Zvolte vhodě krtézskou soustvu souřdic vypočtěte resp určete: ) odchylku přímek AV BC ) oecou rovici rovi α BCV c) prmetrické vyjádřeí p AScv d) průsečík přímky p s roviou α 8) Vypočtěte vzdáleost odu C od roviy α α je rovi souměrosti úsečky AB ; 0; 8; ; C 0; 0; 0 A [ ], B [ ], [ ] 9) Určete vzájemou polohu přímky p : t, y t, z ; t R roviy α dé oecou rovicí α : y z 0 0) Určete průik přímky p AB s rovimi α, β A [ ; ; ], B [ ; ; ] ) α : y z 0 ) β : ) Vyšetřete vzájemou polohu přímky AB 0; 0; ; ; M 0;; K [ ], L [ ], [ ] t s; y s; z t; t, s R p, A [ ; 0; ], [ ;; ] B roviy α KLM, ) Určete vzájemou polohu rovi α, β, které jsou dáy oecými rovicemi : y z 0 β : y z 0 /

6 Alytická geometrie v roviě ) Stry trojúhelíku ABC leží přímkách : y 0 : y 0 c : y 7 0 Určete souřdice vrcholů A, B, C, velikost úhlu γ rovici výšky stru c ) Npište oecou rovici přímky p, která prochází odem [ ; ] q : y 0 ) Npište prmetrické vyjádřeí přímky p procházející odem [ ; ] q Q, v, kde P [ 0; ], u ( ; 0), Q [ ; ], v ( ; ) ( ) / A je rovoěžá s přímkou A průsečíkem přímek p ( P, u) ) Průsečíkem přímek p : y 0, q : y 0 veďte rovoěžku s přímkou r : y 0 Určete její oecou rovici ) Je dá trojúhelíku ABC ; [ ; ], B[ ; ], C[ ;] A Npište oecé rovice str, prmetrické rovice těžic Vypočtěte velikosti vitřích úhlů ) Npište prmetrické vyjádřeí všech těžic trojúhelíku s vrcholy A [ ; ], B [ ; 0], [ ; ] C Určete jeho těžiště T jko průsečík dvou těžic ověřte, že jím prochází i třetí těžice 7) Zjistěte vzájemou polohu přímek p ( P, u) ( Q v) q, Jsou li to růzoěžky, určete jejich průsečík ) P [ ; ], u ( ; ), Q [ 0; ], v ; ) P [ ; ], u ( ; ), Q [ ;], v ( ;) c) P ;, u ( ; ), Q [ ; ], v ; 8) Npište rovici kružice, která má střed přímce p : y 8 0, poloměr r prochází A ; 9 odem [ ] 9) Určete chrkteristické veličiy křivky K : y 0y 9 0 pište rovici tečy t T ; v odě [ ] 0) Určete souřdice středu, délku poloos ecetricitu křivky dé rovicí K : 8 y 8y 7 0 ) Určete křivku její chrkteristické veličiy Npište rovici tečy v odě T K : y 0 y 0 T[ ;0] T k 0 ) Určete, pro které hodoty prmetru k R má dá přímk s kuželosečkou jede společý od, dv společé ody, žádý společý od K : y 0 p : y k k ) Průměr prolického zrcdl je 0 cm, hlouk tké 0 cm Určete polohu odového zdroje tk, y ze zrcdl vycházel svzek rovoěžých pprsků ) Určete ohisko proly, která prochází ody A, C, jež jsou vrcholy rovostrého trojúhelíku os proly splývá s osou 0, 0 B, 0 A [ ], [ ] ) Určete chrkteristické veličiy křivky K : 9 y 00y 0 pište rovici tečy v odě T[ ; ] T K 0 Teoretická část: zát všechy potřeé vzorce vzdáleost dvou odů, odchylk dvou vektorů, plimetrické defiice kuželoseček jk vzikjí kuželové ploše, oecé středové tvry rovic kuželoseček, chrkteristické veličiy rovice jejich teče,

7 Ojemy povrchy těles ) Vypočítej délky tělesových úhlopříček prvidelého šestiokého hrolu výšky cm s podstvou hrou délky 0 cm ) Vypočtěte V prvidelého pětiokého jehlu, záte-li úhlopříčku podstvy u cm očí hru s 8cm ) Do koule s povrchem V kužele S 00 cm je vepsá rotčí kužel, jehož úhel ϕ při vrcholu je 0 Určete ) Prvidelý čtyřoký hrol má ojem cm, odchylk jeho tělesové úhlopříčky od roviy podstvy je Urči jeho povrch ) Tělesová úhlopříčk kvádru je dlouhá 0 cm, oshy tří stě, které procházejí týmž vrcholem, jsou v poměru :: Určete V S kvádru odchylky tělesové úhlopříčky od rovi stě ) Prvidelý čtyřoký jehl má povrch S 0 cm Stěová výšk u 8cm Vypočtěte odchylku očí hry BV od podstvy ojem jehlu 7) Osovým řezem válce je odélík s úhlopříčkou délky 0 cm Výšk válce je dvkrát větší ež průměr podstvy Vypočítejte ojem válce v litrech 8) Rozměry kvádru jsou v poměru :: Jeho tělesová úhlopříčk mé délku cm Určete ojem povrch kvádru 9) Podstvou kolmého hrolu je trojúhelík ABC, jehož stry jsou 8cm, cm γ 0 Výšk hrolu v AB Vypočtěte ojem povrch 0) Určete ojem prvidelého čtyřstěu, jehož osh jedé stěy je cm ) Nkloíme li o 0 ádou tvru polokoule, která yl zcel plě vodou, vyteče z í, l vody Kolik litrů vody v í zůste? ) Kolik m zemiy je tře přemístit při výkopu přímého, d 70m dlouhého příkopu, jehož průřez má tvr rovormeého lichoěžíku o strách: 0 cm, 90cm, c 80cm ) Do kulové plochy je vepsá rotčí válec ( kulové ploše leží podstvé hry válce) Poloměr podstvy válce je o cm výšk o cm meší ež poloměr koule Urči ojem povrch koule ) Vypočítejte ojem prvidelého pětiokého jehlu, mjí-li podstvé hry délku, cm odchylk rovi očích stě roviy podstvy je ϕ 8 ) Podstvou kolmého čtyřokého hrolu je kosočtverec ABCD, jehož str má délku cm Vypočítejte ojem hrolu, mjí-li tělesové úhlopříčky od podstvé roviy odchylky 0 ) Rozvieme li plášť rotčího kužele, jehož osh pláště je kruhovou výseč se středovým úhlem ϕ 0 Vypočítejte ojem kužele π S pl 8 cm, do rovi, dosteme 7/

8 ) Sestrojte řez krychli roviou α PQR Stereometrie, polohové metrické vzthy ) Sestrojte průsečici q rovi α, β ; α PQR, β KLM Orázek viz semiář ) ODCHYLKA DVOU PŘÍMEK ) Je dá krychle ABCDEFGH Vypočítejte odchylku přímek: ) AC, CH d) AF, CH g) AF, BH ) AC, EC e) AE, BH h) DE, BH c) AG, BH AS, S S i) AC, BH f) EG AB BC ) Je dá krychle ABCDEFGH Určete kostrukčě odchylku dých přímek Velikost odchylky změřte úhloměrem ) BH, DF ) AS BC, CH c) DH, BSGH ) Je dá prvidelý čtyřoký jehl ABCDV, AB cm, v cm Vypočítejte odchylku přímek: ) AV, DV ) AV, CV c) AB, VS AB d) BC, AV e) BD, AV f) AC, BV 8/ g) AC, VSBC AS, CS h) CV AV i) AS CV, BSDV ) Je dá prvidelý čtyřoký jehl ABCDV, AB cm, v cm Určete kostrukčě odchylku dých přímek Určete kostrukčě odchylku dých přímek ) AD, BV ) CD, BS c) BD, CV CV ) Je dá krychle s hrou délky Určete odchylku ) dvou stěových úhlopříček, ) dvou tělesových úhlopříček, c) stěové tělesové úhlopříčky ) Je dá prvidelý čtyřoký jehl ABCDV, jehož stěy jsou rovostré trojúhelíky Bod S je středem jeho podstvy, od P je středem hry AV Určete odchylku přímek ) BC, SV c) AB, CV e) AD, CV ) BV, CP d) SV, BP 7) Je dá prvidelý pětioký hrol ABCDEA B C D E, jehož očí stěy jsou čtverce Určete odchylku přímek ) AB, DD c) AB, C E ) AB, CD d) BC, DE (*)

9 Stereometrie, polohové metrické vzthy 8) Je dá prvidelý šestioký hrol ABCDEFA B C D E F ; AB, cm, AA cm Určete početě i kostrukčě odchylku přímek ) DE, BD ) BC, CF ODCHYLKA PŘÍMKY A ROVINY ) Je dá kvádr ABCDEFGH ; AB, cm, BC cm, AE c, 8 cm od S je střed horí podstvy Určete kostrukčě i početě odchylku přímky BS rovi ABF, BCG ) Je dá prvidelý šestioký jehl ABCDEFV se středem podstvy S, AB, cm, VS v cm Určete odchylku přímky CM (od M je střed hry AV) roviy podstvy Řešte kostrukčě i grficky ) Je dá prvidelý čtyřstě ABCD Určete odchylku přímky, která oshuje hru čtyřstěu, roviy stěy čtyřstěu, která tuto hru eoshuje ) Je dá krychle ABCDEFGH Vypočítejte odchylku přímky od roviy: ) BH, ABC d) AS EG, BDH g) CE, CDH ) BH, BCF e) AS EG, CDH h) EC, AGH c) AG, BCG f) AS EG, BCF i) AC, EGSCD VZDÁLENOSTI BODU OD PŘÍMKY A ROVINY ) Je dá prvidelý čtyřoký hrol ABCDA B C D ; AB cm, AA v, cm Bod M je střed hry AD Vypočtěte vzdáleost odu B od přímky AD, AC, C D, A C, AC, CM ) Určete vzdáleost odu A prvidelého čtyřokého jehlu ABCDV od přímky CV, je li AB cm, AV cm Řešte početě ) Je dá krychle ABCDEFGH s hrou délky cm Určete vzdáleost odu E od roviy AFH Řešte početě ) V prvidelém čtyřokém jehlu ABCDV je délk podstvé hry, výšk jehlu je v Určete vzdáleost odu B od roviy ) ACV ) CDV ) Podstvou kolmého čtyřokého hrolu jehlu ABCDV je kosočtverec ABCD, AB cm, < BAD 0 Délk očí hry BV jehlu je BV 0cm Vypočtěte vzdáleost jeho vrcholu V od roviy podstvy (jeho výšku) ) Je dá krychle ABCDEFGH s hrou délky cm ; od M je středem hry AB od N je dlší ody hry AB, pro který pltí AN : BN : Určete vzdáleost odu G od přímky ) HM ) DN (*) 7) Je dá krychle ABCDEFGH, cm Vypočítejte vzdáleost: ) odu F od roviy BEH d) odu E od roviy S EH SEF S AB ) odu F od roviy BEG e) odu S EF od roviy ABG c) odu F od roviy BCS AE f) odu S EF od roviy ABS CG 8) Je dá prvidelý čtyřoký jehl ABCDV, AB cm, roviy: ) S AV, ABC c) A, S AV S BV SCV ) S AV, BCV d) S, BCS VB AV v cm Vypočítejte vzdáleost odu od 9/

10 7 Shodá podoá zorzeí ) Je dá kružice k, od A přímk p (viz or) Sestrojte rovostrý trojúhelík tk, y B k C p Proveďte rozor kostrukci ) E L E M E N T Á R N Í K O N S T R U K C E PŘÍČEK Jsou dáy možiy K,L Sestrojte všechy jejich příčky XY, které: ) Procházejí dým odem O jsou jím půley ) Jsou kolmé dou přímku o jsou jí půley ) Jsou rovoěžé shodé s dou úsečkou UV ) Mjí od dého odu S stejou vzdáleost pltí: < XSY α 7 ) Procházejí dým odem O jsou jím děley v poměru : Z možiy K,L volte ke kždému příkldu: K přímk, L přímk K přímk, L kružice K kružice L kružice K L čtverec K L kružice ) Sestrojte všechy trojúhelíky ABC, je-li dáo: Těžice AS, ) Je dá kružice k, přímk p od O Sestrojte rovoěžík ABCD s průsečíkem úhlopříček O tk, y AB p C k D k Proveďte rozor kostrukci Rozmístěí ojektů volte jko orázku ) Je dá úsečk OP OP cm přímku, Sestrojte kružici k( O, cm) 0/ 0 AS 8cm, γ 0, c 0cm ; p, p OP P p Dále sestrojte jede od M, pro který pltí OM cm < POM 0 Sestrojte všechy čtverce ABCD tk, y pltilo A k C p BD PM ) Je dá čtverec KLMN, KL cm Vě čtverce sestrojte od A tk, y pltilo AM cm, AL cm Sestrojte všechy rovostré trojúhelíky ABC tk, y vrcholy KLMN 7) Jsou dáy kružice k l Jejich společým odem A veďte společou tětivu XY tk, y yl odem A půle Proveďte rozor kostrukci Rozmístěí ojektů volte jko orázku 8) Bodem M, který leží uvitř koveího úhlu AVB, veďte přímku p protíjící jeho rme v odech P, Q tk, že od M je středem úsečky PQ Pozámk pro vychytrlé: Bod M volte tk, y eáležel ose úhlu AVB Proveďte rozor, postup kostrukce, kostrukci diskusi 9) Kružice k ( O cm), k ( O cm) B, C ležely ovodu čtverce ; ;,, O O cm se protíjí ve dvou odech Ozčte T jede z těchto průsečíků Sestrojte rovostré trojúhelíky ABC tk, y pltilo A k, B k od T yl těžištěm trojúhelíku ABC Proveďte rozor, postup kostrukce, kostrukci diskusi 0) Je dá rovormeý trojúhelík ABC ; c cm, v c 0cm Vepište do ěj čtverec MNOP tk, y MN AB vypočtěte jeho osh

11 ) Je dá čtverec ABCD ( ) 7 Shodá podoá zorzeí cm Uvitř čtverce sestrojte od S tk, y pltilo BS mm, CS, cm Nrýsujte orz čtverce ABCD ve stejolehlosti se středem S koeficietem ) Ze dvou podoých trojúhelíků má jede ovod 0 cm, druhý má stry o ; 7 9cm větší ež prví trojúhelík Vypočtěte délky str oou trojúhelíků ) Určete stejolehlosti, ve kterých jsou čárkové útvry orzy ečárkových ) Je dá čtverec ABCD ( AB cm) Uvitř čtverce zvolte od M, pro který pltí: CM cm; BM, cm Sestrojte všechy úsečky XY tk, y ody X, Y ovodu čtverce y dále pltilo: MX : MY : ) Z jké výše d zemským povrchem vidí letec povrch Země o rozloze km? ) Bodem M uvitř dého úhlu AVB veďte přímku p tk, y rme úhlu vyťl přímce p úsečku XY, která je odem M děle v poměru : Teoretická část: defiice vlstosti všech shodých zorzeí (osová souměrost, středová souměrost, otočeí, posuutí), stejolehlost podoost (defiice vlstosti) /

12 ) Je dá kružice ( B cm) 8 Možiy odů dých vlstostí ; Nlezěte možiu středů všech kružic o poloměru cm, které mjí s kružicí vitří dotyk ) Nrýsujte úsečku KL délky 7cm Sestrojte možiu vrcholů M všech tkových trojúhelíků KLM, jejichž osh je cm ; zvolte í od L Sestrojte možiu středů všech tětiv kružice l, jejichž jedím krjím odem je od L ) Njdi možiu všech odů, které jsou středy tětiv dé kružice k kolmých k dé přímce p ) Nrýsujte kružici l( S cm) ; Zvolte této kružici od L Sestrojte možiu středů všech kružic, jež se mjí s kružicí k vitří dotyk v odě L ) Jsou dáy dvě soustředé kružice k (O;,cm), k (O;,cm) přímk p, která má od odu O vzdáleost mm Sestrojte kružici h, která se dotýká přímky p má s kružicemi k, k vitří dotyk 7) Jsou dáy dvě rovoěžky p, q vzdáleé cm přímk r, která je protíá Sestrojte kružici k, která se dotýká všech tří přímek p, q, r ) Je dá kružice k( M cm) 8) Je dá kružice k (O; cm) od X tk, že OX, cm Sestrojte kružici h o poloměru cm, která prochází odem X má s kružici k vitří dotyk 9) Sestrojte všechy trojúhelíky ABC, je li dá str AB ; AB 8cm ; úhel γ 0 ; v c cm 0) Je dá těžice AS v trojúhelíku ABC ; AS 8 cm Sestrojte všechy trojúhelíky ABC, záte- o li dále úhel χ 0 c 8 cm ) Sestrojte trojúhelík ABC, je li dáo 7 cm, t cm, t, cm ) V trojúhelíku ABC je dáo:, v, r, kde r je poloměr kružice vepséproveďte rozor úlohy ) Je dá úsečk AB, AB cm Sestrojte všechy trojúhelíky ABC, pro které je úsečk AB strou c pro které pltí: diskusi ) V lichoěžíku ABCD ( CD), r cm Proveďte rozor, postup kostrukce, kostrukci v c cm AB je dáo:, v, e, f Proveďte rozor úlohy ) Sestrojte rovoěžík ABCD, je li dáo: cm, e 8 cm,, ω 70 Teoretická část: elemetárí možiy odů dých vlstostí (ekvidistt přímky, ekvidistt kružice, os úsečky, Thletov kružice, td), polohové, epolohové kostrukčí úlohy jejich počet řešeí, zákldí kostrukce (os úsečky, os úhlu, přeeseí úhlu polopřímku, grficky součet rozdíl úhlů, teč ke kružici), kostrukce trojúhelíků podle zámých vět (sss, usu, sus, ssu) /

13 A R I T M E T I C K Á P O S L O U P N O S T 9 Aritmetická geometrická posloupost ) Rozhoděte, která z čísel 7, 00 jsou čley ritmetické poslouposti ( ) d, ) Vypište prvích osm čleů ritmetické poslouposti ( ) ), d, ) c) 7, 9, ve které pltí: ) V ritmetické poslouposti pltí: 0, 8 Určete d,,, s ) Dokžte, že v liovolé ritmetické poslouposti je k k, kde k N k <, v íž je 0 ) Aritmetická posloupost má osm čleů Součet prostředích je, souči krjích je Určete tuto posloupost ) V ritmetické poslouposti je d Kolik čleů této poslouposti musíme sečíst, y součet yl větší ež 0? 7) V rostoucí ritmetické poslouposti pltí:, 0 Určete difereci d, s 0 8) Stry prvoúhlého trojúhelíku tvoří tři po soě jdoucí čley ritmetické poslouposti Osh trojúhelíku je m Určete stry tohoto trojúhelíku 9) Rozměry kvádru tvoří ritmetickou posloupost Povrch kvádru je cm součet všech hr kvádru je 9 cm Určete rozměry kvádru 0) Kolik čleů poslouposti ( ) je lespoň tře vzít, y jejich součet yl větší ež 0? ) Njděte ritmetickou posloupost, pro kterou pltí: Pro kždé N je součet jejích prvích čleů rove trojásoku druhé mociy čísl ) Ocelové roury se skládjí do vrstev tk, že kždé horí vrstvy zpdjí do mezer dolí vrstvy Do kolik vrstev se složí 90 rour, jsou li v ejvyšší vrstvě dvě roury? Kolik rour je v ejižší vrstvě? ) Tři čísl, která tvoří tři ásledující čley ritmetické poslouposti, mjí součet 0 souči 700 Určete tto čísl, Určete součet prvího st soě rových čleů ) Které čley ritmetické poslouposti ( ) ( ), jsou si rovy? ) Buduje se hlediště letího ki přiližě pro 00 diváků Do prví řdy je pláováo 0 seddel, do kždé ásledující řdy o seddl více Kolik řd seddel ude mít hlediště? ) Mezi kořey kvdrtické rovice 0 0 vložte čtyři čísl tk, y spolu s vypočteými kořey vziklo šest ásledujících čleů ritmetické poslouposti s prvím čleem posledím čleem Určete všechy osttí čley, má li jejich součet ýt čtyřikrát větší ež součet dvou ejvětších z ich 7) Je dá koečá posloupost ( ) k k 8) Určete reálé číslo tk, y čísl,, tvořil tři ásledující čley ritmetické poslouposti /

14 G E O M E T R I C K Á P O S L O U P N O S T 9 Aritmetická geometrická posloupost 9) Kvádr, jehož hry tvoří geometrickou posloupost, má povrch jedím vrcholem, je cm Vypočtěte ojem kvádru S 78 cm Součet hr, které jdou 0) Zjistěte, která z čísel 8,,, 0, -8 jsou čley geometrické poslouposti ( ) 7, q, v íž je ) Dokžte, že čísl,, jsou prvími třemi čley jisté geometrické poslouposti ) Dokžte, že poslouposti ) ( ) jsou geometrické Vypočtěte jejich kvociety prvích pět čleů ) ( ) ) Určete prví dv čley geometrické poslouposti ( ) ) V geometrické poslouposti ( ), v íž je, 0 pltí:, 0 Určete q ) Nejděte součet prvích deseti čleů geometrické poslouposti ( ), v íž je, ) Přičteme li k číslům, 7, 0 stejé číslo, dosteme prví tři čley geometrické poslouposti Určete s 7) Mezi kořey rovice vložte tři čísl tk, y se získými kořey vziklo pět čleů geometrické posloupost 8) Určete kvociet geometrické poslouposti dé vzorcem pro -tý čle ( ) 9) Tvoří li kldá reálá čísl,, tři ásledující čley geometrické poslouposti, potom jejich dekdické logritmy tři ásledující čley ritmetické poslouposti Dokžte 0) Určete, zd číslo 8 je čleem geometrické poslouposti ( ) :,, 8, ) Určete všechy geometrické poslouposti, u ichž součet prvího čtvrtého čleu je 8, součet druhého třetího čleu je ) Mezi čísl 8 vložte čísl tk, y s dými čísly tvořil GP pltí: ) V geometrické poslouposti ( ) 9 Určete hledou posloupost vzthem pro tý čle ) Určete čísl, která jsou po soě jdoucími čley geometrické poslouposti jejichž dekdické logritmy jsou po soě jdoucími čley ritmetické poslouposti s diferecí d součtem ) Určete velikost ejmešího vitřího úhlu prvoúhlého trojúhelík, víte li, že velikosti jeho str tvoří tři po soě jdoucí čley geometrické poslouposti ) Mezi kořey kvdrtické rovice 0 0 vložte čtyři čísl tk, y spolu s vypočteými kořey vziklo šest ásledujících čleů geometrické poslouposti /

15 9 Aritmetická geometrická posloupost 7) Určete čtyři čísl tk, y prví tři tvořil tři ásledující čley ritmetické poslouposti s diferecí d posledí tři tvořil tři ásledující čley geometrické poslouposti s kvocietem q 8) Součet tří po soě jdoucích čleů geometrické poslouposti je 9 Prví číslo echáme, druhé zvětšíme o třetí číslo zmešíme o tři Dosteme tk tři po soě jdoucí čley ritmetické poslouposti Určete původí trojici čísel proveďte zkoušku 9) Tři čísl tvoří po soě ásledující čley ritmetické poslouposti součet jejich druhých moci je Jestliže prví číslo zmešíme třikrát, druhé číslo echáme třetí číslo zvětšíme čtyřikrát, dosteme tři po soě jdoucí čley geometrické poslouposti Určete tuto trojici proveďte zkoušku 0) Železé roury se skládjí do vrstev tk, že roury kždé horí vrstvy zpdjí do mezery dolí vrstvy Do kolik vrstev se složí 0 roury, má-li ejhořejší vrstv roury? Kolik rour má vrstv ejspodější? ) Řešte v R log log ) ) log log 7 Teoretická část: Defiice ritmetické geometrické poslouposti všech souvisejících pojmů /

16 0 -Trigoometrie o o ) V trojúhelíku ABC je dáo: v, cm ; γ 8 ; β 7 Určete velikosti str úhlů Určete osh trojúhelíku ABC ) V kosočtverci je dá velikost stry 7 cm velikost úhlu α Urči velikost jeho úhlopříček jeho osh ) Jkou šířku má příkop, jehož řezem je rovormeý lichoěžík? Stěy příkopu mjí sklo 0, šířk d je metry hlouk příkopu je metry ) V trojúhelíku ABC je dáo: c 8 cm ; v c cm ; β o 0 Určete velikosti str, úhlů, osh trojúhelík ABC ) Ze stoviště metrů d hldiou vody vidíme vrchol hory ve výškovém úhlu 8 0 orz jejího vrcholu ve vodě v hloukovém úhlu 0 Urči výšku hory ) V trojúhelíku ABC je dáo:, cm ; c 7, cm ; v c, 8 cm Určete velikosti str, úhlů, osh trojúhelík ABC 7) Z vrcholu A skály ve výšce 0m je vidět vrchol V stožáru pod hloukovým úhlem α ptu P stožáru pod hloukovým úhlem β Vypočítejte výšku stožáru Proveďte áčrtek celé situce výsledek zokrouhlete dvě desetiá míst 8) N vrcholu hory stojí věž vysoká 0 metrů Křižovtku silic v údolí vidíme z vrcholu věže v hloukovém úhlu od její pty v hloukovém úhlu 0 Jk vysoko je vrchol hory d křižovtkou? 9) Urči délky všech str velikosti všech vitřích úhlů trojúhelíku ABC, je-li dáo: ), cm, c, cm, γ ) 0 cm, c cm, β 0 c), cm, c 9, cm, β d) mm, 0 mm, γ e) S 0 m, m, m f) cm, β, r 9 cm 0) Ze dvou míst A, B, od see vzdáleých 00 m, ylo pozorováo letdlo d spojicí AB ve výškových úhlech α 78 o 0, β o 0 Jk vysoko ylo letdlo? ) Vypočítej vzdáleost dvou odů A, B jedom řehu řeky, jestliže druhém řehu řeky yl změře délk CD km teodolitem yly změřey velikosti úhlů < BDC, < BCD 8, < ADC 87, < ACD ) Ze stice vyjedou součsě dv vlky po přímých trsách, které svírjí úhel α 0, rychlostmi m v s m v, Jk dleko jsou od see po čse mi s t,? Teoretická část: Trigoometrie prvoúhlého trojúhelíku (Pythgorov vět, Euklidovy věty, goiometrické fukce ostrého úhlu, ovod osh trojúhelíku) Trigoometrie oecého trojúhelíku (siová kosiová vět), Dlší trigoometrické vzorce (Heroův vzorec, ) Je-li trojúhelík urče podle věty sss, lze použít Heroův vzorec: S s( s ) ( s ) ( s c), kde s ( c) (polovičí ovod) Dále pltí: c S, kde r je poloměr kružice opsé, S s ρ, kde ρ je poloměr kružice vepsé r /

17 - Goiometrické fukce, rovice vzthy ) Velikost úhlu v míře stupňové vyjádři v míře oloukové: ) 9 ) 0 c) 7 0 d) 0 ) Velikost úhlu v míře oloukové vyjádři v máře stupňové: ) π ) π c) π / d) π ) Je dá jed z velikostí orietového úhlu Urči jeho zákldí velikost pk zpiš všechy jeho velikosti: 7 ) ) c) π d) π ) Vypočítej ez použití klkulčky: ) π π π π cos si cos si ) cos90 si80 si 70 c) tg 0 cot g0 si0 tg0 d) π π cot g tg π tgπ cot g ) Je dáo si cos tg, π, π Bez výpočtu hodoty urči cos si ) Zjedodušte výrz udejte podmíky tgα tgα si cos ) ) tgα tgα cos si 7) Zjedodušte výrz udejte podmíky 8) Vypočtěte ( y) cos( y) c) tg cot g tg siα si α cosα cosα si, je-li cos (900, 990 ); π 9) Vypočítejte si, cos, cot g je-li tg ; ; π 0) Řešte v R rovici ) cos ) ) Řešte v R rovici si si si cot g π c) d) si si cos cos : cos cos si si si y y ( 0, 0 ) cos π ) Řešte v R rovici ) cos si cos ) tg tg 0 c) si si ) Řešte v R rovici cos si ) Řešte v 0, π si cos 7si cos Teoretická část: Orietový úhel velikost úhlu ve stupňové i oloukové míře, Defiice goiometrických fukcí, jejich vlstosti, hodoty grfy, Vzthy mezi goiometrickými fukcemi (vzorce), Goiometrické rovice

18 - Epoeciálí logritmické fukce rovice ) Rozhodi, která čísl jsou ) větší, ) meší ež číslo : ) ) ) Npiš podmíku pro prmetr, je-li: c) 7 ) < ) > c) > d) ) Je dá fukce ) Nčrti grf fukce: f : y Urči, pro které hodoty prmetru je fukce f rostoucí ) f : y ) ) Vypočítej: log 7 log log log 7 ) Logritmuj výrzy při zákldu : ) c ) 7) Urči defiičí oory fukcí: ) y l ) log 8/ f : y y c) z cd c y c) y log ( ) 8) Je dá fukce f : y log Urči, pro které hodoty prmetru je fukce f klesjící 9) Nčrti grf fukce: ) : y log f ) f : y log ( ) 8 0) Řešte v R ) Řešte v R ( ) ) Řešte v R 9 8 ) Řešte v R 9 ) Řešte v R 9 9 ) Řešte v R, 0 ) Řešte v R 7 7) Řešte v R 9 80 ( log ) ( log ) 9 8) Řešte v R 00 log log 9) Řešte v R log log 0) Řešte v R log log log log ) Řešte v R log log log ) Řešte v R ( ) 8 log log 7 log ) Řešte v R log log 0 Teoretická část: Epoeciálí logritmické fukce zákldí vlstosti, průěhy, grfy, defiičí oory Defiice logritmu, věty o logritmoví Epoeciálí logritmické rovice

19 ) Určete koeficiet k pro fukci ) Nčrtěte grf fukce meší ež ) Je dá fukce h : Rcioálí (lieárí lomeá fukce k f y :, jestliže její grf prochází odem [ ; ] g : y Stovte itervly pro D( f ), ve kterých jsou fukčí hodoty y, ; 8 Rozhoděte, zd eistuje D( f ), pro ěž pltí: ) h ( ) 0 ) h ( ) 0 c) h ( ) d) h ( ) 8 ) V závodě vyroili z dy epřetržitého provozu (tj po hodi) 8 strojích 80 výroků Z kolik dí vyroí při prcovích hodiách (při stejém výkou) strojích 70 výroků? ) Silice stejoměrě klesá Určete početě i grficky výšku odu ve vzdáleosti km, má-li od kilometru výšku 0 m od 9 kilometru m Určete klesáí silice v (Vzdáleosti měříme z mpy vodorově) ) Ozueé kolo o průměru d mm vykoá otáček z miutu zpdá do jiého ozueého kol o průměru 00 mm, které se otočí z miutu desetkrát lezěte fukci, jež udává závislost d 7) Určete D ( f ), H ( f ) f : y ) črtěte grf 8) Uprvte fukčí předpis dé fukce f : y tvr, z ěhož určíte: ) D ( f ), H ( f ), ) souřdice středu hyperoly, c) koeficiet epřímé úměrosti, d) průsečíky hyperoly s oěm osmi, e) rovice symptot f : y ) f : y c) 9) Sestrojte grfy fukcí do téže krtézské soustvy souřdic rozlište je růzými rvmi:,,,, ) f : y ) g : y 0) Je dá fukce : y črti grf fukce f Urči D ( f ), H ( f ), mootóost, ohričeost, pritu (sudost, lichost) ) Pro velikosti hr kvádru pltí: : : c : : 9 Určete fukci, která vyjdřuje závislost ojemu kvádru velikosti hry črtěte její grf Určete ojem, je-li ejkrtší hr dlouhá cm Určete délku ejvětší hry je-li ojem kvádru cm ) Mostí olouk má tvr proly Výšk vrcholu d vozovkou je 8 m d hldiou řeky m Délk vozovky uvitř olouku je 0m Jké rozpětí ude mít olouk hldiě řeky Teoretická část: Nepřímá úměrost defiice, zákldí vlstosti, průěh fukce, grf, defiičí oor Sloví úlohy ( epřímou úměrost, trojčlek) Lieárí lomeá fukce - defiice, zákldí vlstosti, průěh fukce, grf, defiičí oor 9/

20 ) V ooru R řeš soustvu rovic: y y y ( y ), ( ) ( ) ) Npište oecou rovici roviy α, která prochází ody A, B, C (ez použití determitu) A [ ; 0; ], B [ 0; ; ], C ; ; 0 [ ] ) Řeš soustvu rovic: y z y z 7 y z ) V ooru R řeš soustvu rovic: y y 8 ) Určete vzájemou polohu přímky p kuželosečky k p : y 0 k : y y 0 ) Řešte soustvu v R: y y 0 7) Řešte soustvu v R: 9 y z y z 9 y z 8) Otec je o 8 let strší, ež je trojásoek stáří sy Z dvcet let ude otec dvkrát tk strý, ež jeho sy Jk strý je otec jk strý je jeho sy? 9) Určete průik přímek p, q p : - t q : y - t z t t R s y -s Soustvy rovic erovic z 9 s s R 0) Součet dvou přirozeých čísel je 0, rozdíl jejich ritmetického geometrického průměru je 8 Určete tto dvě čísl ) J je třikrát strší ež Mrti Z pět let všk ude je dvkrát strší Kolik let je yí oěm dětem? ) Petr Pvel skládli uhlí Petr y sám uhlí složil z hodiy, Pvel y sám prcovl hodiy Chlpci ejprve prcují společě 0 mi, potom Pvel odejde Jk dlouho ještě ude muset Petr prcovt, y zytek hromdy uhlí sklidil? ) Ovod odélíku měří 0 m Rozdíl čtverců sestrojeých d dvěm sousedími strmi je 00 m Určete délky str odélíku ) Řešte grficky soustvu erovic: y y ) Z 0 dotázých studetů hovoří glicky eo ěmecky 8 studetů 0 studetů ovládá ejvýše jede z těchto jzyků Aglicky mluví o studetů výše ež ěmecky Kolik studetů mluví ) jeom glicky, ) glicky i ěmecky K řešeí využijte Veových digrmů ) Žáci E vštěvují kroužky volejlu florlu Z celkového počtu 8 žáků vštěvuje právě 8 žáků lespoň jede z těchto kroužků Žáků vštěvující o kroužky je o méě ež žáků, kteří vštěvují pouze kroužek volejlu o více ež žáků, kteří vštěvují pouze florl Kolik žáků vštěvuje: ) Kroužek volejlu, ) kroužek florlu, c) o kroužky? K řešeí využijte Veových digrmů 0/

21 ) Řešte v R < 8 ) Řešte v R Fukce, rovice erovice s solutí hodotou ) Řešte v R 8 ) Řešte v R ) Řešte v R ) Řešte v R < 7) Řešte v R 8) Řešte v R 9) Řešte v R 0) Řešte grficky tyto rovice (erovice) s ezámou R ) ) ) Sestrojte grf fukce f f y ( ) : 0; ) Nčrtěte grfy ásledujících fukcí; z grfů pk popište, ve kterých itervlech jsou fukce rostoucí resp klesjící ) f : y ) f : y ) Sestrojte grf fukce f f y ( ) : 0; ) Sestrojte grf fukce f f : y R Teoretická část: Defiice solutí hodoty, její geometrický výzm, vlstosti Řešeí rovic erovic s solutími hodotmi Průěhy fukcí s solutími hodotmi /

22 7 Rovice erovice s ezámou ve jmeovteli odmocěci / ) V ásledujících úlohách výrzy zjedodušte udejte podmíky, z kterých mjí smysl: ( ) ( ) ( ) ( ) : y y y y 9 c c c 7 8 ( ) [ ] ( ) zy y z : : ) Uprvte zjedodušte : c c c c c V ) Využijte vlstosti fukce N y ; k porováí čísel ; čísel ; d c čísel ( ) 0 0 0, ; l k ) Uprvte zjedodušte : V ) Uprvte zjedodušte V ) Uprvte výrz: 7) Uprvte číselý výrz: ( ) 0 7 0, 8) Uprvte: ) : d c d c ) ( ) ( ) ( ) Teoretická část: Prvidl pro počítáí s mocimi odmocimi

23 7 Rovice erovice s ezámou ve jmeovteli odmocěci / ) Řešte v R ) ) 0 < c) d) v v v ) Řešte v R ( ) ( ) 0 ) Řešte v R rovice e) f) g) 8 h) i) 0 j) ( ) k) l)

24 ) V ooru reálých čísel řeš rovici: ) 9 8 Lieárí kvdrtická rovice erovice ) ( )( ) ( )( ) ) N dráze 0 m vykolo předí kolo vozu o 0 otáček více ež kolo zdí Ovod zdího kol je o jede metr větší ež ovod předího Určete velikost ovodu oou kol ) Tyč má ýt rozřízut čtyři části tk, že délk prví části má ýt rov / 7 délky celé tyče, délk druhé části třetiě délky celé tyče dlší dvě části mjí mít stejou délku cm Urči délku celé tyče (Šířku řezů zedej) ) Jirk vyjel chtu o miut později ež jeho otec Jirk jede průměrou rychlostí km/h, jeho otec průměrou rychlostí 8 km/h Jk je vzdáleá cht, dojedou-li o součsě? ) Určete, pro které m R má kvdrtická rovice dv růzé reálé kořey, ( m ) ( 7m ) m 0 ) Řešte v R: ( ) ( ) 0 7) V ooru reálých čísel řeš rovici: 8) Určete ( f ) D oor fukce f : f y log( ) : 7 9) Zpište lespoň jedu kvdrtickou rovici, jejíž kořey jsou čtyřikrát větší ež kořey rovice 9 0 iž ji řešíte 0) Zpište lespoň jedu kvdrtickou rovici, jejíž kořey jsou čísl převráceá ke kořeům rovice 7 0 iž ji řešíte ) Je dá kvdrtická rovice Aiž yste tuto kvdrtickou rovici řešili, sestvte kvdrtickou rovici, jejíž kořey jsou druhými mocimi kořeů dé rovice Dou i sestveou rovici vyřešte ) V rovici 8 určete tk, y jedím kořeem ylo číslo, iž rovici řešíte ) V rovici 8 c 0 určete c tk, y pro kořey, dé rovice pltilo: ) Ozčme přirozeé číslo Sečteme-li druhou mociu čísl, druhou mociu čísl o jed většího ež druhou mociu čísl o dvě mešího ež, dosteme 0 Urči číslo ) V prvoúhlém trojúhelíku je jed odvěs o m krtší ež přepo, druhá odvěs je o m krtší ež přepo Určete délky všech str trojúhelíku Teoretická část: Lieárí rovice defiice, vlstosti, grf Řešeí lieárích rovic Ekvivletí důsledkové úprvy Kvdrtická rovice - defiice, vlstosti, grf Typy kvdrtických rovic Řešeí kvdrtických rovic Kvdrtická rovice v ormovém tvru Vietovy vzthy /

25 ) Vypočítejte 0 z, je-li 9 Kompleí čísl i z Užijte Moivrovu větu i ) Umocěte výsledek převeďte do lgerického tvru ( i) 8 i i ( ) Dokžte, že pltí: )( ) i ) Zpište v goiometrickém tvru kompleí číslo z 7 i 8 i i z i i i ) Užitím Moivrovy věty umocěte výsledek převeďte do lgerického tvru: ) z ( i) 7 ) ) Vypočítejte z i i i i π π z cos isi 8 8 7) Řešte v C z iy z z 8) Řešte v C: ) ( i ) 8 i 0 ) ( i) i 8 0 c) ( z ) i d) ( z i) i f) ( ) i e) i 9 0 9) Je dá kvdrtická rovice i 0 Užitím vzthů mezi kořey koeficiety kvdrtické rovice vypočítejte ) součet převráceých hodot kořeů, ) součet druhých moci kořeů c) Vypočítejte dé rovice ověřte správost výsledků ), ) 0) Řešte v C Výsledek zpište ejprve v goiometrickém tvru, pk v lgerickém tvru Kořey zázorěte v Gussově roviě ) i 0 ) 0 Teoretická část: Defiice kompleího čísl, lgerický tvr kompleího čísl Operce s kompleími čísly (součet, rozdíl, ásoeí, podíl, umocňováí, rovost, opčá kompleí čísl,kompleě sdružeá čísl) Geometrický model kompleích čísel (Gussov rovi, solutí hodot kompleího čísl) Goiometrický tvr kompleího čísl Souči podíl kompleích čísel v goiometrickém tvru, Moivrov vět odmoci z kompleího čísl, Biomická rovice Řešeí kvdrtické rovice v ooru kompleích čísel /

26 0 Algerické výrzy / ) Uprvte zjedodušte Určete podmíky z kterých je výrz defiová: ) : y y y ) ( ) : c) d) : e) 0 f) ( ) g) ) Rozložte souči: ) 8 ) m c) 9 d) y y 7 7 e) ( ) y y f) ( ) y s y g) 9 q pq p h) 9 m m m i) gh gh h g h g 0 j) ( ) ( ) ( )( ) k) l) y y y

27 Výroková logik teorie moži ) K dé implikci pište oměěou implikci, oráceou implikci egci této implikce V jedotlivých přípdech rozhoděte o jejich prvdivosti dá implikce: Je li 0 sudé číslo, pk tké oměěá: oráceá: egce: 0 je sudé číslo dá implikce: Je li číslo dělitelé 8 9, pk je dělitelé 7 oměěá: oráceá: egce: ) Pro dé výroky A: Přijede otec, B: Přijede mtk, vyjádřete výrokovými formulemi složeé výroky ) Přijede otec eo mtk ) Nepřijede li otec, opk přijede mtk c) Přijede právě jede z rodičů ) Rozhoděte, při kterých prvdivostích hodotách výroků A, B je uvedeá výroková formule prvdivá A B A B ( ) ( ) A B ) Npište egce ásledujících výroků Určete prvdivostí hodotu u těch, u kterých to lze výrok: PH jeho egce: PH Číslo 9 má ejvýše pět dělitelů N : Nejsem žízivý i hldový 9 > 0 Číslo 0 eí dělitelé eo eí dělitelé Je li posledí dvojčíslí čísl dělitelé čtyřmi, pk je i číslo smoté dělitelé čtyřmi Odřej přijde právě tehdy, když přijde Drj 7/

28 Výroková logik teorie moži ) K ičce mjí přijet prázdiy dvě vučky, Ale Blk Zpište složeými výroky ásledující tvrzeí: A: Přijede Ale, B: Přijede Blk ) Ale přijede Blk epřijede ) Nepřijede Ale eo epřijede Blk c) Jestliže epřijede Ale, pk přijede Blk d) Přijedou oě vučky e) Přijede ejvýše jed vučk f) Přijede právě jed vučk ) Určete (tulkou prvdivostích hodot), které z ásledujících výroků jsou tutologie ) ( A B) ( A B), ) ( A B) ( A B), B A B A c) ( ) ( ) d) (( A B) C) ( A C) B), e) A ( B C) ( A B) ( A C) f) ( A B) C A C B, ( ) ( ) ) 7) Ve výství síi yl odcize orz Vyšetřováím se okruh podezřelých zúžil osoy A, B, C Z výslechů podezřelých lze fkt shrout do tří závěrů: ) Ve výství síi v té doě eyl C eo eí prvd, že tm yl lespoň jede z dvojice A, C ) Jestliže eí prvd, že tm yl A součsě s B, pk tm eyl i C c) Podezřelý C tm yl právě tehdy, když tm eyl žádý z dvojice A, B Lze z těchto údjů jedozčě určit pchtele? Vyplývá ze třetího závěru, že pokud yl pchtelem pouze jede z podezřelých, pk to yl C? 8) Určete doplěk možiy B v možiě A, jestliže: ) A { ; 0,;0;; }, B { 0,;0; } ) A Z, B { Z; 0} Z; > B Z; 7 c) A { }, { } A, B { N; > } A, B { Z; > } d) N e) Z 9) Určete průik sjedoceí moži A, B, jestliže: ) A {,0,,7}, B {,,0,,7,9 } Z; < B Z; ) A { }, { } A, B { Z; < } c) N A, B { Z; < } d) N 0) Jsou dáy možiy: { R; 0 < } A, { R; < 0} { R; 8 0} B, C ) ( A C) B ) B C Určete: ) Z 0 dotázých studetů hovoří glicky eo ěmecky 8 studetů 0 studetů ovládá ejvýše jede z těchto jzyků Aglicky mluví o studetů výše ež ěmecky Kolik studetů mluví ) jeom glicky, ) glicky i ěmecky ) Žáci E vštěvují kroužky volejlu florlu Z celkového počtu 8 žáků vštěvuje právě 8 žáků lespoň jede z těchto kroužků Žáků vštěvující o kroužky je o méě ež žáků, kteří vštěvují pouze kroužek volejlu o více ež žáků, kteří vštěvují pouze florl Kolik žáků vštěvuje: ) Kroužek volejlu, ) kroužek florlu, c) o kroužky? d) K řešeí využijte Veových digrmů 8/

29 Reálá čísl,; ; ; ; 0; ;,; 7 ) Urči, která z ásledujících čísel ( ) ) přirozeá, ) celá, c) rcioálí, d) ircioálí ) Pomocí co ejmešího počtu odmoci vyjádřete: ; ) ( ) : ( 08 7) ) [( ) ( ) ] : ( ) ) Usměrěte: ) 9 9 ) Proveďte: ) ) Vypočítejte: ) 7 : ) ) 9, 0, ) ( ) c) ( ) ( ) d) log 8 8 log e) log log 0, log f) : 8 0 c) c) 7 0 ) Zpište jko itervl zázorěte číselé ose všech reálá čísl, pro ěž pltí: ) 7 ) c) d) > e) < f) π > 0 Teoretická část: Číselé oory druhy čísel Reálá čísl zázorěí číselé ose Druhá odmoci z R čísl Asolutí hodot R čísl její geometrický výzm Defiice logritmu 9/

30 Prvděpodoost sttistik ) V edě je 0 součástek, z ich jsou vdé Vyereme áhodě kusy Jká je prvděpodoost, že mezi imi udou spoň vdé součástky? ) Jká je prvděpodoost, že áhodě zvoleé trojciferé přirozeé číslo je dělitelé pěti eo šesti (jev A)? ) Jká je prvděpodoost, že při hodu dvěm kostkmi pde součet 7 (jev A) eo 8 (jev B)? ) Tři střelci střílejí (kždý jedou) do stejého terče Cíl zsáhou s prvděpodoostí: střelec: p 0, 7 střelec: p 0, 8 střelec: p 0, 9 Jká je prvděpodoost, že terč zsáhou spoň dvkrát? ) V přístroji jsou dvě pojistky A, B Prvděpodoost, že pojistky A je vdá je %, v přípdě pojistky B jsou to % Vdou pojistkou eprotéká proud Určete prvděpodoost toho, že ovodem přístroje protéká proud, jsou - li pojistky zpojey ) sériově ) prlelě ) V zásilce 0 trzistoru je ekvlitích Když 0 z ich áhodě vyere pošle do prodeje, jká je prvděpodoost, že jsou mezi imi ejvýš dv ekvlití (jev A)? 7) V urě je koulí ílých 8 čerých Je prvděpodoější, že při thu koulí udou všechy ílé (jev A), eo při thu koulí udou všechy čeré (jev B)? 8) Hodíme dvkrát dvěm kostkmi Jká je prvděpodoost, že v jedom vrhu pdou oě čísl stejá v druhém ikoli? 9) Jká je prvděpodoost jevu A, že při thu sportky ude tžeo lespoň jedo jedociferé číslo? 0/

31 Komitorik iomická vět ) Kolik šesticiferých čísel je možé sestvit z číslic,,,,,, jestliže mjí zčít číslicí eo? ) Kolik přímkmi můžeme spojit 0 odů, jestliže tři z ich leží jedé přímce? ) Šesticiferé heslo trezoru je složeo z týchž cifer jko číslo 009 Kolik je možostí? ) Zvětší-li se počet prvků o, zvětší se počet čleých komicí (eoli komicí třetí třídy) ez opkováí o Určete původí počet prvků ) Kolik čísel lze vyroit z cifer 0,,,, mjí-li ýt meší ež 000? Kolik je jich sudých? ) Určete počet všech čtyřciferých čísel, v ichž se vyskytují pouze cifry,,,, Kolik z ich je dělitelých čtyřmi? (Návod: y vziklé číslo ylo dělitelé čtyřmi, musí ýt dělitelé čtyřmi posledí dvojčíslí) 7) Určete, kolik způsoy lze přemístit písme slov BEROUNKA tk, y ějká skupi po soě jdoucích písme utvořil ) slovo BERAN, ) slov NERO, KUBA v liovolém pořdí, c) slov BUK, NORA v liovolém pořdí 8) V smoosluze mjí čtyři druhy kávy, kždý po pdesáti grmech Určete, kolik způsoy lze koupit 0 grmů kávy, jestliže ) líčků kždého druhu mjí dosttečý počet; ) od dvou druhů mjí deset líčků od zývjících dvou pouze po čtyřech líčcích 9) Určete, kolik způsoy lze všechy figurky šchové hry (tj od kždé rvy krále, dámu, věže, koě, střelce 8 pěšáku) rozmístit políček šchovice [Návod: Myslete si, že polí rozmisťujete kromě figurek ještě stejých předmětů ] 0) V sdě kret je kždá z ásledujících kret čtyřikrát: sedmičk, osmičk, devítk, desítk, spodek, svršek, král, eso; krty téže hodoty jsou přitom rozlišey těmito "rvmi": červeá, zeleá, žludy, kule Určete, kolik způsoy je možo vyrt čtyři krty, jestliže se ) rozlišují pouze "rvy" jedotlivých kret; ) rozlišují pouze hodoty jedotlivých kret ) Určete, kolik způsoy je možo ze dvceti oso vyrt deset, poždujeme li, y mezi vyrými ) yl p A ) yli zároveň páové A, B ) Kleotík vyírá do prsteu tři drhokmy; k dispozici má tři ruíy, dv smrgdy pět sfírů Kolik způsoy může teto výěr provést, povžujeme - li kmey téhož druhu z stejé? ) Určete, kolik čtyřciferých čísel lze sestvit z číslic čísl 8 8 ) Určete počet všech pěticiferých čísel, v jejichž dekdickém zápisu je kždá z číslic 0,,,, 7 Kolik z těchto čísel je dělitelých šesti? ) O telefoím čísle svého spolužák si Všek zpmtovl je to, že je šestimísté, zčíá sedmičkou, eoshuje žádé dvě stejé číslice je dělitelé pětdvceti Určete, kolik telefoích čísel přichází v úvhu ) Vypočtěte podle iomické věty: ) ( ) ) ( ) c) ( i ) 7) Určete čle iomického rozvoje ( y ) 8) Pro které se pátý čle rozvoje výrzu / 0 rová číslu 0?

32 Komitorik iomická vět 9) V iomickém rozvoji určete, který čle oshuje 0) Užitím iomické věty dokžte, že výrz ( 0 8 ) Teoretická část: skupiy ez opkoví (vrice, permutce, komice) defiice, počet; skupiy s opkováím (vrice, permutce, komice) - defiice, počet; vlstosti komičích čísel; Psclův trojúhelík, Biomická vět vypočtěte jeho koeficiet je pro kždé dělitelý číslem 8 /

33 Vektorová lger ) Jsou dáy ody A, B Vypočítejte souřdice středu S úsečky AB ) A [ ; ; ], B [ 0; ;] ) A [ ; ; ], B [ ; ;] A, B [ ; ; ] c) [ ; ; π ] ) Určete velikost vitřího úhlu β ABC ) [ ;; ] A, B [ ; 0; ], [ ;; ] C ) Zjistěte, je-li vektor u lieárí komicí vektorů, Pokud o, ověřte determitem ) u ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ;) ) Jsou dáy ody A, B, C (viz příkld) Určete vektor u S S c Ověřte, že teto vektor je závislý s vektorem v BC ) V roviě je dá čtverec ABCD Ozčme K, L, M, N postupě středy str Určete vektory A K, B K, C K, D K, L K, M K, N K pomocí jiých odů z možiy odů A, B, C, D, K, L, M, N { } 7) Zjistěte, zd vektor w je lieárí komicí vektorů u v ) w ( ; ; ), u ( ; ; ), v ( ; ;), ) w ( ;; ), u ( ; 0;), v ( ; ; ) 8) Určete orz odu M ve středové souměrosti se středem S je-li dáo: M [ ; ; ], S[ ;0; ] 9) Vypočítejte vektorový souči vektorů u ( ;; ), v ( ; ; ) 0) Vypočítejte osh trojúhelíku zdého ody A, B, C užitím vektorového součiu ;; ; ; C ; ; ) A [ ], B [ ], [ ] ) Body A [ ;], B [ ; ], [ ; ] ) užitím trigoometrických zlosti (v E ), ) užitím vektorového součiu (v E ) ) C tvoří vrcholy trojúhelíku Spočítejte jeho osh ) Vypočítejte osh rovoěžíku KLMN, jestliže záte souřdice K [ ; 0;], L [ ; ; ], [ ; ;] Vypočítejte tké souřdice odu N / M ) N ose y určete od Y tk, y osh trojúhelíku XYZ yl 0 Souřdice odu X, Z jsou X [ ; ; 0] Z [ ; ; ] ) V rovoěžostěu ABCDA BC D záme souřdice vrcholů A [ ; 0; ], B [ ; ; ], D [ ; ; ], A [ ; ; ] ) vypočítejte souřdice vrcholů C, B, C, D ) vypočítejte ojem rovoěžostěu ABCDA BC D ) Vypočítejte ojem čtyřokého jehlu ABCDV, záte li souřdice odu A [ ; ; ], [ ; ; ] D [ 0; ; ], V [ ; ;] ) N ose z určete od Z tk, y ojem čtyřstěu ABCZ, kde A [ ; ;], B [ ; 0; ], C [ ; ; ] orietová úsečk, defiice vektoru, střed úsečky, vzdáleost dvou odů; lieárí komice vektorů, závislost vektorů; sklárí souči, odchylk vektorů; vektorový souči jeho geometrický výzm; smíšeý souči jeho geometrický výzm; B,, yl