ploch Maturitní práce 2013/2014 Oponenti: RNDr. Alena Rybáková, RNDr. Vladimíra Hájková, Ph.D.

Transkript

1 Parametrické vjádření rotačních a šroubových ploch Michal Šesták Maturitní práce 2013/2014 Smíchovská střední průmslová škola Fakulta architektur ČVUT Vedoucí práce: Mgr. Zbšek Nechanický Oponenti: RNDr. Alena Rbáková, RNDr. Vladimíra Hájková, Ph.D.

2 Obsah 1 Parametrické vjádření kuželoseček 2 2 Rotační ploch Rotační kvadratické ploch Další rotační ploch Příklad na procvičení Šroubové ploch Přímkové šroubové ploch Cklické šroubové ploch Další šroubové ploch Příklad na procvičení Tečné rovin ploch 34 5 Praktické vužití 40 6 Výsledk 48 1

3 1 Parametrické vjádření kuželoseček V této kapitole připomeneme parametrický popis kuželoseček a popis jejich tečen na konkrétních příkladech. Neuvádíme de žádné odvoení, to je obsahem práce studenta Jana Suchomela: Parametrický popis křivek. Příklad č. 1 Je dána kružnice k o středu S[2; 3] a poloměru r = 3. Napište středový tvar obecné rovnice této kružnice. Napište parametrické vjádření této kružnice. Středový tvar obecné rovnice je: ( 2) 2 + ( + 3) 2 = 9. Parametrických popisů kružnice je mnoho. M budeme potřebovat popsat kružnici (jeden oběh) se adaným výchoím bodem a adaným směrem oběhu (kladný nebo áporný směr). Vpočítejme průsečík kružnice s osou ( = 0). ( 2) 2 + ( + 3) 2 = 9 ( + 3) 2 = 5 1,2 = 3 ± 5 Necht je výchoím bodem při jednom oběhu kružnice (t 0; 2π ) bod K[0; 3 + 5] a kružnice je probíhána v kladném směru (tj. v protisměru hodinových ručiček). Parametrický popis pak je: k(t) = [2 2 cos t 5 sin t; cos t 2 sin t]; t 0; 2π. Obráek 1: Kružnice 2

4 Příklad č. 2 Bod V [ 6; 7] je vrcholem parabol, parametr parabol je p = 2, osa parabol o je 1) rovnoběžná s osou, 2) rovnoběžná s osou. Napište vrcholový tvar obecných rovnic všech parabol, které vhovují adání. Napište parametrické vjádření těchto parabol. 1) Zadání vhovují dvě parabol, bud je ohnisko bod E [ 6 + p 2 ; 7] = [ 5; 7] nebo bod F [ 6 p 2 ; 7] = [ 7; 7]. Vrcholový tvar obecné [ rovnice parabol ] s ohniskem E je ( 7) 2 = 4( + 6) a parametrické vjádření je k(t) = t 2 4 6; t + 7 ; t R. Vrcholový tvar obecné rovnice parabol ] s ohniskem F je ( 7) 2 = 4( + 6) a parametrické vjádření je k(t) = [ t2 4 6; t + 7 ; t R. Obráek 2: Parabola s ohniskem E; t 7; 7 Obráek 3: Parabola s ohniskem F ; t 7; 7 3

5 2) Zadání vhovují dvě parabol, bud je ohnisko bod G [ 6; 7 + p 2 H [ 6; 7 p 2] = [ 6; 6]. ] = [ 6; 8] nebo bod Vrcholový tvar obecné rovnice parabol ] s ohniskem G je ( + 6) 2 = 4( 7) a parametrické vjádření je k(t) = [t 6; t ; t R. Vrcholový tvar obecné rovnice parabol ] s ohniskem H je ( + 6) 2 = 4( 7) a parametrické vjádření je k(t) = [t 6; t ; t R. Obráek 4: Parabola s ohniskem G; t 7; 7 Obráek 5: Parabola s ohniskem H; t 7; 7 4

6 Příklad č. 3 Bod S[1; 1] je střed elips, hlavní osa elips je rovnoběžná s osou, velikost hlavní poloos a = 2, velikost vedlejší poloos b = 1. Napište středový tvar obecné rovnice této elips, napište také její parametrické vjádření. Dále napište souřadnice průsečíků elips se souřadnicovými osami a napište obecné rovnice tečen elips v těchto bodech Středový tvar rovnice elips je: ( 1) ( 1)2 1 = 1. Vužijeme vorec cos 2 t + sin 2 t = 1 a dáme do rovností 1 2 = cos t a Odsud ískáme parametrický popis elips: 1 1 = sin t. k(t) = [1 + 2 cos t; 1 + sin t]; t 0; 2π. Pro popis tečen vužijeme parametrický tvar. Nejdříve určíme průsečík elips s osou ( = 0): 1 + sin t = 0 sin t = 1 t = 3π 2 (řešení v intervalu 0; 2π ). Průsečík s osou je bod D = k ( ) 3π 2 = [1; 0] (vedlejší vrchol elips). Vpočítáme průsečík elips s osou ( = 0): cos t = 0 cos t = 1 { 2 2π t 3 ; 4π } 3 Průsečík s osou jsou bod T = k ( ) [ 2π 3 = 0; 1 + ] 3 2 (řešení v 0; 2π ). Vpočítáme tečné vektor elips: k (t) = ( 2 sin t; cos t). Pro průsečík D, T, U ískáme směrové vektor tečen dosaením: D = k ( 3π 2 T = k ( 2π 3 U = k ( 4π 3 Nní již napíšeme obecné rovnice tečen: ) = [1; 0] a k ( ) 3π 2 = (2; 0), ) [ ] = 0; a ) [ ] = 0; a k ( 4π 3 tečna v bodě D je přímka m: = 0 (osa ), tečna v bodě T je přímka p: = 0, tečna v bodě U je přímka q: = 0. a U = k ( ) [ 4π 3 = 0; 1 k ( ) ( 2π 3 = 3; 1 2), ) = ( 3; 1 2). ]

7 Obráek 6: Elipsa s tečnami Příklad č. 4 Bod A[2; 2] a B[2; 10] jsou hlavní vrchol elips, velikost vedlejší poloos je b = 1. Napište středový tvar obecné rovnice elips. Napište parametrické vjádření elips (1 oběh, t 0; 2π ), výchoí bod necht je bod A, elipsa je probíhána v áporném směru. Střed elips je bod S[2; 6], velikost hlavní poloos je a = 4 a středový tvar rovnice je: ( 2) ( 6)2 16 V parametrickém popisu bude v -ové souřadnici funkce sin a v -ové souřadnici funkce cos. Vhodnou volbou namének u těchto funkcí dostaneme požadované parametrické vjádření: Parametrický tvar: = 1. k(t) = [2 sin t; 6 4 cos t]; t 0; 2π. Obráek 7: Elipsa 6

8 Příklad č. 5 Bod S[3; 9] je střed hperbol, os hperbol jsou rovnoběžné se souřadnicovými osami, velikost hlavní poloos je a = 3, velikost vedlejší poloos je b = 2. Napište středový tvar obecných rovnic všech hperbol, které vhovují adání. Napište obecné rovnice asmptot. Napište parametrické vjádření těchto hperbol. 1) Hlavní osa hperbol je rovnoběžná s osou, středový tvar je: Obecné rovnice asmptot ískáme : ( 3) 2 9 ( + 9)2 4 = 1. ( 3) 2 ( + 9)2 = ( 3) 2 9( + 9) 2 = 0 [2( 3) 3( + 9)] [2( 3) + 3( + 9)] = 0, ted a 1 : = 0 a a 2 : = 0. Pro parametrický popis vužijeme vorec (cosh t) 2 (sinh t) 2 = 1 a dáme do rovností = cosh t a 2 = sinh t. Získáme parametrický popis jedné větve: k(t) = [3 + 3 cosh t; sinh t]; t R. Pro obě větve je: k(t) = [3 ± 3 cosh t; sinh t]; t R. Obráek 8: Hperbola pro t 1.8; 1.8 7

9 2) Hlavní osa hperbol je rovnoběžná s osou, středový tvar její rovnice je: ( 3)2 ( + 9) = 1 Rovnice asmptot jsou a 1 : = 0 a a 2 : = 0. Parametrický popis obou větví je: k(t) = [3 + 2 sinh t; 9 ± 3 cosh t]; t R. Obráek 9: Hperbola pro t 1.8; 1.8 8

10 2 Rotační ploch Rotační pohb je v prostoru adán osou rotace o. Zadaný bod K, který neleží na ose o, se při rotaci pohbuje po kružnici m. Tato kružnice leží v rovině α, která procháí bodem K a je kolmá k ose o. Onačme M průsečík os o a rovin α, je to střed kružnice m, poloměr kružnice m je roven vdálenosti bodů K a M. Obráek 10: Ilustrační obráek Rotační plocha vnikne rotací křivk k při adaném rotačním pohbu (křivka k neleží v rovině kolmé k ose rotace o). Každý bod křivk k se pohbuje po tv. rovnoběžkové kružnici. Uvažujme libovolnou rovinu ρ, která procháí osou o. Průnik rovin ρ a rotační ploch je křivka vaná poledník (meridián). Je to křivka souměrná podle os o, jedna e souměrných částí se naývá polomeridián. 2.1 Rotační kvadratické ploch Rotační kvadratické ploch vnikají bud rotací přímk kolem adané os rotace nebo rotací kuželosečk (elips, kružnice, parabol, hperbol) kolem některé jejích os. Ploch se naývají kvadratické, protože mohou být popsán pomocí kvadratického polnomu v proměnných, a. Například = r 2 je rovnice jedné rotačních kvadratických ploch, je to kulová plocha o středu O[0; 0; 0] a poloměru r. Nejdříve si popíšeme přímkové rotační kvadratické ploch. Pro jednoduchost a osu rotace bereme vžd souřadnicovou osu. V prvním příkladě si ukážeme podrobně postup, v dalších příkladech bude ápis kratší. 9

11 Příklad č. 1 Rotační pohb je adán osou rotace o = osa. Napište parametrické vjádření rotační ploch, která vnikne rotací přímk k. Přímka k procháí bodem [4; 3; 0] a je rovnoběžná s osou rotace. Začneme parametrickým popisem přímk k: k(t) = [4; 3; t]; t R. Zadaná přímka je polomeridiánem ploch a výsledná plocha je rotační válcová plocha. Každý bod přímk k se pohbuje po rovnoběžkové kružnici. Zvolme si pevně (ale libovolně) bod K přímk k: K = k(t 0 ) = [4; 3; t 0 ]. Nní popíšeme rovnoběžkovou kružnici m bodu K v rovině α : = t 0. Kružnici m můžeme popsat růně: m(s) = [4 cos s + 3 sin s; 3 cos s + 4 sin s; t 0 ]; s 0; 2π (1 oběh). Nebo můžeme určit poloměr r. Střed kružnice m je bod M[0; 0; t 0 ] a r = MK = = 5. Jiná parametriace je: m(u) = [5 cos u; 5 sin u; t 0 ]; u 0; 2π. Parametrický popis ploch ískáme tak, že nní budeme měnit bod K přímk k (uvolníme fiovaný parametr t 0, ted aměníme t a t 0 ): p(t, s) = [4 cos s + 3 sin s; 3 cos s + 4 sin s; t]; t R; s 0; 2π nebo p(t, u) = [5 cos u; 5 sin u; t]; t R; u 0; 2π. Obráek 11: Válcová plocha pro parametr t 0; 10, s 0; 2π 10

12 Příklad č. 2 Rotační pohb je adán osou rotace o = osa. Napište parametrické vjádření rotační ploch, která vnikne rotací přímk k. Přímka k je určena bod [5; 0; 8] a [0; 0; 4]. Parametrický popis přímk k je: k(t) = [5t; 0; 4 + 4t] t R. Je to polomeridián rotační kuželové ploch. Zvolme bod K na přímce k: K = k(t 0 ) = [5t 0 ; 0; 4 + 4t 0 ]. Rovnoběžková kružnice m bodu K v rovině α : = 4 + 4t 0 (poloměr r = 5t 0, střed [0; 0; 4 + 4t 0 ]) má parametrický popis: m(s) = [5t 0 cos s; 5t 0 sin s; 4 + 4t 0 ]; s 0; 2π (1 oběh). Parametrické vjádření rotační kuželové ploch je: p(t, s) = [5t cos s; 5t sin s; 4 + 4t]; t R; s 0; 2π k Obráek 12: Kuželová plocha pro parametr t 5; 5, s 0; 2π Příklad č. 3 Rotační pohb je adán osou rotace o = osa. Napište parametrické vjádření rotační ploch, která vnikne rotací přímk k. Přímka k je určena bod [3 2; 0; 2] a [0; 3 2; 2]. Parametrický popis přímk k je: k(t) = [ t; 3 2t; 2 + 4t]; t R. Tato přímka je s osou rotace mimoběžná. Zvolíme bod K přímk k: K = k(t 0 ) = [ t 0 ; 3 2t 0 ; 2 + 4t 0 ]. 11

13 Abchom nemuseli počítat poloměr, popíšeme kružnici takto: [ m(s) = ( t 0 ) cos s + 3 2t 0 sin s; 3 2t 0 cos s (3 2 3 ] 2t 0 ) sin s; 2 + 4t 0 s 0; 2π (1 oběh). Parametrický popis ploch je: [ p(t, s) = ( t) cos s + 3 2t sin s; 3 2t cos s (3 2 3 ] 2t) sin s; 2 + 4t ; t R; s 0; 2π. k Obráek 13: Plocha pro parametr t 0; 1, s 0; 2π ; eleně je vnačen polomeridián ploch Z obráku vidíme, že plocha je souměrná podle půdorsn (, ). Ted plochu le vtvořit také rotací přímk l, která je souměrná k přímce k podle půdorsn. Přímka l je určena bod [3 2; 0; 2] a [0; 3 2, 2]. Vkoušejte si sami parametrický popis ploch pro adanou přímku l: [ p(t, s) = ( t) cos s + 3 2t sin s; 3 2t cos s (3 2 3 ] 2t) sin s; 2 4t ; t R; s 0; 2π. Na ploše jsou ted 2 sstém přímek, jeden vnikne rotací přímk k a druhý rotací přímk l. To je velmi výhodné ve stavebnictví. Podívejme se na křivku ploch v rovině (, ), odhadujeme, že meridián ploch je hperbola. Je tomu skutečně tak a výsledná plocha je rotační jednodílný hperboloid. Stejnou plochu můžeme ted vtvořit rotací hperbol kolem její vedlejší os. 12

14 l Obráek 14: Plocha (vniklá rotací přímk l) pro parametr t 0; 1, s 0; 2π Příklad č. 4 Rotační pohb je adán osou rotace o = osa. Napište parametrické vjádření rotační ploch, která vnikne rotací hperbol k. Hperbola k leží v rovině (, ) a má rovnici = 1. Parametrický popis adané hperbol je: k(t) = [±3 cosh t; 0; 2 sinh t]; t R. Tato hperbola je meridián ploch. Pro popis ploch můžeme použít celou hperbolu (tj. obě větve) a pak stačí otočit o úhel π. Nebo můžeme rotovat jednu větev a otočit ji o úhel 2π. Vbereme bod K na jedné větvi: K = k(t 0 ) = [+3 cosh t 0 ; 0; 2 sinh t 0 ]. Parametrický popis rovnoběžkové kružnice m bodu K je: k m(s) =[3 cosh t 0 cos s; 3 cosh t 0 sin s; 2 sinh t 0 ]; s 0; 2π. Parametrický popis jednodílného hperboloidu je: Obráek 15: Jednodílný hperboloid pro parametr t 1; 1, s 0; 2π p(t, s) = [3 cosh t cos s; 3 cosh t sin s; 2 sinh t]; t R; s 0; 2π. Hperbolu můžeme také otáčet kolem její hlavní os, vniklá plocha má dva díl a naývá se dvojdílný rotační hperboloid. Příklad č. 5 Rotační pohb je adán osou rotace o = osa. Napište parametrické vjádření ploch, která vnikne rotací hperbol k. Rovnoosá hperbola k leží v rovině (, ) a má rovnici = 1. 13

15 Parametrický popis adané hperbol je: k(t) = [0; 5 sinh t; ±5 cosh t]; t R. Hperbolu stačí otočit o úhel π. Zvolme bod K = k(t 0 ) = [0; 5 sinh t 0 ; 5 cosh t 0 ] (resp. [0; 5 sinh t 0 ; 5 cosh t 0 ] na druhé větvi). Parametrické vjádření rovnoběžkové kružnice m v rovině α : = 5 cosh t 0 (resp. = 5 cosh t 0 ) je: m(s) = [5 sinh t 0 cos s; 5 sinh t 0 sin s; ±5 cosh t 0 ]; s 0; π. Parametrické vjádření ploch je: p(t, s) = [5 sinh t cos s; 5 sinh t sin s; ±5 cosh t]; t R; s 0; π. Obráek 16: Dvojdílný hperboloid pro parametr t 2; 2, s 0; 2π V souboru rotačních kvadratických ploch samořejmě nemůže chbět kulová plocha. Vnikne rotací kružnice, jejíž střed leží na ose rotace. Příklad č. 6 Rotační pohb je adán osou rotace o = osa. Napište parametrické vjádření ploch, která vnikne rotací kružnice k. Kružnice k leží v rovině (, ), bod O[0; 0; 0] je její střed, poloměr je r = 6. Parametrický popis kružnice k je: k(t) = [6 cos t; 0; 6 sin t]; t 0; 2π. Můžeme otočit polovinu kružnice ( t π 2 ; 3π ) 2 o úhel 2π nebo celou kružnici k o úhel π. Zvolíme bod K = k(t 0 ) = [6 cos t 0 ; 0; 6 sin t 0 ]. Parametrické vjádření rovnoběžkové kružnice je: m(s) = [6 cos t 0 cos s; 6 cos t 0 sin s; 6 sin t 0 ]; s 0; 2π (pro s 0; π se jedná o půlkružnici). Parametrický popis kulové ploch je: p(t, s) = [6 cos t cos s; 6 cos t sin s; 6 sin t] ( t 0; 2π ; s 0; π nebo t π 2 ; 3π ) 2 a s 0; 2π. Pokud je křivka k elipsa, můžeme ji otáčet bud kolem její hlavní os nebo kolem její vedlejší os. Tto rotační kvadratické ploch se naývají elipsoid. 14

16 Obráek 17: Kulová plocha pro parametr t π 2 ; 3π 2, s 0; 2π Příklad č. 7 Rotační pohb je adán osou rotace o = osa. Napište parametrické vjádření ploch, která vnikne rotací elips k. Elipsa leží v rovině (, ) a má rovnici: ( 4)2 16 = 1. Parametrický popis elips k je: k(t) = [2 cos t; 0; sin t]; t 0; 2π. Osa rotace je hlavní osa elips, elipsu otočíme o úhel π. Zvolíme bod K = k(t 0 ) = [2 cos t 0 ; 0; sin t 0 ]. Parametrické vjádření rovnoběžkové kružnice: m(s) = [2 cos t 0 cos s; 2 cos t 0 sin s; sin t 0 ]; s 0; 2π. Parametrický popis ploch je: p(t, s) = [2 cos t cos s; 2 cos t sin s; sin t]; t 0; 2π ; s 0; π Z obráku je řejmé, proč se tento elipsoid naývá protáhlý. Příklad č. 8 Rotační pohb je adán osou rotace o = osa. Napište parametrické vjádření ploch, která vnikne rotací elips k. Elipsa leží v rovině (, ) a má rovnici: ( 2)2 4 = 1. Parametrický popis elips k je: k(t) = [0; 4 cos t; sin t]; t 0; 2π. Osa rotace je vedlejší osa elips, elipsu otočíme o úhel π. Zvolíme bod K = k(t 0 ) = [0; 4 cos t 0 ; sin t 0 ]. Parametrické vjádření rovnoběžkové kružnice m v rovině α : = sin t 0 je: m(s) = [4 cos t 0 cos s; 4 cos t 0 sin s; sin t 0 ]; s 0; 2π. Obráek 18: Protáhlý elipsoid pro t 0; 2π, s 0; π Parametrický popis ploch je: p(t, s) = [4 cos t cos s; 4 cos t sin s; sin t]; Tento elipsoid se naývá ploštělý. t 0; 2π ; s 0; π. 15

17 k Obráek 19: Zploštělý elipsoid pro t 0; 2π, s 0; π Příklad č. 9 Rotační pohb je adán osou rotace o = osa. Napište parametrické vjádření ploch, která vnikne rotací parabol k. Parabola k leží v rovině (, ) a má rovnici 2 = 6. Parametrický popis parabol k je: k(t) = [ ] t; 0; t2 ; t R 6 ] Osa rotace je osou parabol, parabolu otočíme o úhel π. Zvolíme bod K = k(t 0 ) = [t 0 ; 0; t Parametrické vjádření rovnoběžkové kružnice: m(s) = ] [t 0 cos s; t 0 sin s; t2 0 6 ; s 0; 2π. Parametrický popis ploch je: p(t, s) = [ ] t cos s; t sin s; t2 ; t R; s 0; π. 6 k Obráek 20: Paraboloid pro t 5; 5, s 0; π Tímto je senam rotačních kvadratických ploch úplný. 16

18 2.2 Další rotační ploch Nní můžeme vtvářet sami nejrůnější rotační ploch. Mei námé rotační ploch patří anuloid. Příklad č. 10 Rotační pohb je adán osou rotace o = osa. Napište parametrické vjádření ploch, která vnikne rotací kružnice k. Kružnice k leží v rovině (, ), bod S[6; 0; 0] je její střed, poloměr je r = 3. Parametrický popis kružnice k je: k(t) = [6 + 3 cos t; 0; 3 sin t]; t 0; 2π. Zadaná kružnice neprotíná osu rotace. Zvolíme bod K = k(t 0 ) = [6 + 3 cos t 0 ; 0; 3 sin t 0 ]. Parametrické vjádření rovnoběžkové kružnice m bodu K v rovině α : = 3 sin t 0 je: m(s) = [(6 + 3 cos t 0 ) cos s; (6 + 3 cos t 0 ) sin s; 3 sin t 0 ]; s 0; 2π. Parametrický popis ploch je: p(t, s) = [(6 + 3 cos t) cos s; (6 + 3 cos t) sin s; 3 sin t]; t 0; 2π ; s 0; 2π. k Obráek 21: Anuloid pro t 0; 2π, s 0; 2π Při pohledu na obráek se nám určitě vbaví duše automobilového kola. V příkladě č. 6 jsme rotovali kružnici, jejíž střed ležel na ose rotace, v příkladě č. 9 jsme rotovali kružnici, která nemá společné bod s osou rotace. Nní nás ajímají další případ. Příklad č. 11 Rotační pohb je adán osou rotace o = osa. Napište parametrické vjádření ploch, která vnikne rotací kružnice k. Kružnice k leží v rovině (, ), bod S[0; 4; 0] je její střed, poloměr je r = 4. Parametrický popis kružnice k je: k(t) = [0; cos t; 4 sin t]; t 0; 2π. 17

19 Zadaná kružnice se dotýká os rotace. Plocha se naývá aoid. Zvolíme bod K = k(t 0 ) = = [0; cos t 0 ; 4 sin t 0 ]. Parametrické vjádření rovnoběžkové kružnice m bodu K v rovině α : = 4 sin t 0 je: m(s) = [(4 + 4 cos t 0 ) cos s; (4 + 4 cos t 0 ) sin s; 4 sin t 0 ]; s 0; 2π. Parametrický popis ploch je: p(t, s) = [(4 + 4 cos t) cos s; (4 + 4 cos t) sin s; 4 sin t]; t 0; 2π ; s 0; 2π. Obráek 22: Aoid pro t 0; 2π, s π 2 ; 2π k Příklad č. 12 Rotační pohb je adán osou rotace o = osa. Napište parametrické vjádření ploch, která vnikne rotací kružnice k. Kružnice k leží v rovině (, ), bod S[2; 0; 0] je její střed, poloměr je r = 4. Parametrický popis kružnice k je: k(t) = [2 + 4 cos t; 0; 4 sin t]; t 0; 2π. Zadaná kružnice protíná osu rotace ve dvou růných bodech. Plocha se naývá melanoid. Zvolíme bod K = k(t 0 ) = [2 + 4 cos t 0 ; 0; 4 sin t 0 ]. Parametrické vjádření rovnoběžkové kružnice m bodu K v rovině α : = 4 sin t 0 je: m(s) = [(2 + 4 cos t 0 ) cos s; (2 + 4 cos t 0 ) sin s; 4 sin t 0 ]; s 0; 2π. Parametrický popis ploch je: p(t, s) = [(2 + 4 cos t) cos s; (2 + 4 cos t) sin s; 4 sin t]; t 0; 2π ; s 0; 2π. 18

20 k Obráek 23: Melanoid pro t 0; 2π, s π 2 ; 4π 3 19

21 2.3 Příklad na procvičení 1 Rotační pohb je adán osou rotace o = osa. Napište parametrické vjádření ploch, která vnikne rotací parabol k. Parabola k leží v rovině (, ), bod V [2; 0; 3] je její vrchol, bod F [3; 0; 3] je její ohnisko. 2 Rotační pohb je adán osou rotace o = osa. Napište parametrické vjádření ploch, která vnikne rotací jedné větve hperbol k. Hperbola k leží v rovině (, ) a má rovnici: ( 5) 2 4 Vberte tu větev hperbol, která protíná osu. ( 3)2 9 = 1. 3 Rotační pohb je adán osou rotace o = osa. Napište parametrické vjádření ploch, která vnikne rotací křivk k. Parametrický popis křivk k je: k(t) = [t; 0; 3 sin t]; t 0; 2π. 4 Rotační pohb je adán osou rotace o = osa. Napište parametrické vjádření ploch, která vnikne rotací křivk k. Parametrický popis křivk k je: k(t) = [0; 2 sin t + 3; t]; t 0; 2π. 5 Rotační pohb je adán osou rotace o = osa. Napište parametrické vjádření ploch, která vnikne rotací asteroid k. Parametrický popis křivk k je: k(t) = [5 cos 3 t; 0; 5 sin 3 t]; t 0; 2π. 20

22 3 Šroubové ploch Šroubový pohb je v prostoru adán osou o šroubového pohbu, smslem (pravotočivý či levotočivý), výškou ávitu v nebo redukovanou výškou ávitu v 0. Zadaný bod K, který neleží na ose o, se při šroubování pohbuje po šroubovici l. Tato šroubovice leží na rotační válcové ploše, jejíž osou je adaná osa o. Řídící kružnice m válcové ploch leží v rovině α, která procháí bodem K a je kolmá k ose o. Onačme M průsečík os o a rovin α, je to střed kružnice m, poloměr kružnice je roven vdálenosti bodů K a M. Více o šroubovici nalenete v práci studenta Jana Suchomela. k Obráek 24: Ilustrační obráek Šroubová plocha vnikne šroubovým pohbem křivk k při adaném šroubovém pohbu. (Křivka k neleží na jedné rotační válcové ploše s osou rotace o šroubového pohbu.) Každý bod křivk k se pohbuje po šroubovici. Pro šroubovou plochu je rohodující 1 ávit (odpovídá otočení o úhel 2π a posunutí o výšku v), ten se stále opakuje. 3.1 Přímkové šroubové ploch Tto ploch vnikají šroubovým pohbem přímk k, která není rovnoběžná s osou o šroubového pohbu. Pokud přímka k protíná osu o, ploch se naývají uavřené a osa o leží na ploše. Pokud přímka k neprotíná osu o, ploch se naývají otevřené. Je-li přímka k kolmá k ose o, šroubová plocha se naývá přímá, v opačném případě vývrtková (kosá). Pro jednoduchost a osu o šroubového pohbu bereme vžd souřadnicovou osu a popisujeme vžd 1 ávit ploch. V prvním příkladě se ukážeme podrobně postup, v dalších příkladech bude ápis kratší. 21

23 Příklad č. 1 Osa o šroubového pohbu je souřadnicová osa. Šroubový pohb je a) pravotočivý, b) levotočivý. Výška ávitu v = 16. Napište parametrické vjádření šroubové ploch, která vnikne šroubovým pohbem přímk k. Přímka k je souřadnicová osa. Parametrický popis přímk k je: k(t) = [t; 0; 0]; t R. Přímka k protíná osu o a je k ní kolmá, šroubová plocha je přímá a uavřená. Na přímce k volíme bod: K = k(t 0 ) = [t 0 ; 0; 0]. Nní popíšeme šroubovici l bodu K. Při popisu šroubovice ačínáme popisem kružnice m v rovině α : = 0. U rotačním ploch jsme mohli tuto kružnici parametriovat libovolně. Zde ale na parametrickém popisu áleží, její výchoí bod musí být bod K a kružnice je probíhána proti směru hodinových ručiček u pravotočivého šroubového pohbu nebo ve směru hodinových ručiček u levotočivého pohbu (pohled na kružnici m je e směru kladné poloos os ). Parametrický popis kružnice m je m(s) = [t 0 cos s; t 0 sin s; 0]; s 0; 2π (1 oběh) pro pohb proti směru hodinových ručiček, nebo pro pohb ve směru hodinových ručiček. m(s) = [t 0 cos s; t 0 sin s; 0]; s 0; 2π Nní potřebujeme nát redukovanou výšku ávitu v 0 = v 2π = 16 2π = 8 π. Do předpisu kružnice m doplníme posunutí v -ové souřadnici a máme parametrický popis jednoho ávitu šroubovice: a) pravotočivá: l(s) = [ t 0 cos s; t 0 sin s; 8 π s] ; s 0; 2π b) levotočivá: l(s) = [ t 0 cos s; t 0 sin s; 8 π s] ; s 0; 2π Nní budeme měnit bod K na přímce k (uvolníme parametr t 0 ). p(t, s) = [t cos s; t sin s; 8π ] s ; t R; s 0; 2π je popis jednoho ávitu pravotočivé šroubové ploch a q(t, s) = [t cos s; t sin s; 8π ] s ; t R; s 0; 2π je popis jednoho ávitu levotočivé šroubové ploch. 22

24 (a) Plocha p pro t 2; 2, s 0; 2π (b) Plocha q pro t 2; 2, s 0; 2π Obráek 25: K příkladu č. 1 23

25 Příklad č. 2 Osa o šroubového pohbu je souřadnicová osa. Šroubový pohb je pravotočivý, redukovaná výška ávitu v 0 = 7 2. Napište parametrické vjádření jednoho ávitu ploch, která vnikne šroubovým pohbem přímk k. Přímka k je určena bod [4; 0; 0], [0; 4; 0]. Parametrický popis přímk k je: k(t) = [4 4t; 4t; 0]; t R. Přímka k neprotíná osu o, je k ní kolmá, plocha je přímá a otevřená. Zvolíme bod K = k(t 0 ) = [4 4t 0 ; 4t 0 ; 0]. Popíšeme kružnici m v rovině α : = 0, výchoí bod je K, kružnice je probíhána proti směru hodinových ručiček: m(s) = [(4 4t 0 ) cos s 4t 0 sin s; 4t 0 cos s + (4 4t 0 ) sin s; 0]; s 0; 2π (1 oběh). Parametrický popis jednoho ávitu šroubovice bodu K je: l(s) = [(4 4t 0 ) cos s 4t 0 sin s; 4t 0 cos s + (4 4t 0 ) sin s; 72 ] s ; s 0; 2π. Parametrické vjádření jednoho ávitu ploch je: p(t, s) = [(4 4t) cos s 4t sin s; 4t cos s + (4 4t) sin s; 72 ] s ; t R; s 0; 2π. Na otevřené šroubové ploše je jedna speciální šroubovice, tv. hrdlová šroubovice. Je to šroubovice bodu H přímk k, který je ose o nejblíže. V našem příkladě je to šroubovice bodu H[2; 2; 0]. Obráek 26: Plocha pro t 0; 1, s 0; 2π 24

26 Příklad č. 3 Osa o šroubového pohbu je souřadnicová osa. Šroubový pohb je levotočivý, výška ávitu v = 12. Napište parametrické vjádření jednoho ávitu ploch, která vnikne šroubovým pohbem přímk k. Přímka k je určena bod [4; 0; 0], [0; 0; 5]. Parametrický popis přímk k je: k(t) = [4 4t; 0; 5t]; t R. Přímka k protíná osu o a není kolmá k ose, plocha je uavřená a vývrtková. Zvolíme bod K = k(t 0 ) = [4 4t 0 ; 0; 5t 0 ]. Parametrický popis kružnice m v rovině α : = 5t 0, výchoí bod je K, kružnice je probíhána ve směru hodinových ručiček: m(s) = [(4 4t 0 ) cos s; (4 4t 0 ) sin s; 5t 0 ]; s 0; 2π. Parametrický popis jednoho ávitu šroubovice bodu K je: l(s) = [(4 4t 0 ) cos s; (4 4t 0 ) sin s; 5t 0 + 6π ] s ; s 0; 2π. Parametrické vjádření jednoho ávitu ploch je: p(t, s) = [(4 4t) cos s; (4 4t) sin s; 5t + 6π ] s ; t R; s 0; 2π. k Obráek 27: Plocha pro t 0; 1, s 0; 2π 25

27 Příklad č. 4 Osa o šroubového pohbu je souřadnicová osa. Šroubový pohb je pravotočivý, redukovaná výška ávitu v 0 = 3. Napište parametrické vjádření jednoho ávitu ploch, která vnikne šroubovým pohbem přímk k. Přímka k je určena bod [4; 0; 0], [0; 4; 2]. Parametrický popis přímk k je: k(t) = [4 4t; 4t; 2t]; t R. Přímka k neprotíná osu o a není k ose kolmá, plocha je otevřená a vývrtková. Zvolíme bod K = k(t 0 ) = [4 4t 0 ; 4t 0 ; 2t 0 ]. Parametrický popis kružnice m v rovině α : = 2t 0, výchoí bod je K, kružnice je probíhána proti směru hodinových ručiček, je m(s) = [(4 4t 0 ) cos s 4t 0 sin s; 4t 0 cos s + (4 4t 0 ) sin s; 2t 0 ]; s 0; 2π. Parametrický popis jednoho ávitu šroubovice bodu K je: l(s) = [(4 4t 0 ) cos s 4t 0 sin s; 4t 0 cos s + (4 4t 0 ) sin s; 2t 0 + 3s] ; s 0; 2π. Parametrické vjádření jednoho ávitu ploch je: p(t, s) = [(4 4t) cos s 4t sin s; 4t cos s + (4 4t) sin s; 2t + 3s] ; t R; s 0; 2π. Hrdlová šroubovice h této ploch je šroubovice bodu H [2; 2; 1] přímk k. Kdb adaná přímka bla ároveň tečnou šroubovice h v bodě H, jednalo b se o tv. plochu tečen šroubovice. V tomto příkladě ale tomu tak není. k Obráek 28: Plocha pro t 0; 1, s 0; 2π 26

28 Příklad č. 5 Osa o šroubového pohbu je souřadnicová osa, šroubový pohb je pravotočivý, výška ávitu v = 16. Napište parametrické vjádření jednoho ávitu ploch tečen šroubovice bodu A[3; 0; 0]. Parametrický popis jednoho ávitu šroubovice bodu A je l(t) = [3 cos t; 3 sin t; 8π ] t ; t 0; 2π. Zvolíme libovolný bod K na šroubovici K = l(t 0 ) = [3 cos t 0 ; 3 sin t 0 ; 8 π t 0]. Popíšeme tečnu šroubovice v tomto bodě. Tečné vektor šroubovice jsou: l (t) = ( 3 sin t; 3 cos t; 8 π ), tečný vektor v bodě K je: l (t 0 ) = ( 3 sin t 0 ; 3 cos t 0 ; 8 π ). Parametrický popis tečn šroubovice v bodě K je: q(s) = l(t 0 ) + s l (t 0 ); s R q(s) = [3 cos t 0 3s sin t 0 ; 3 sin t 0 + 3s cos t 0 ; 8π t 0 + 8π ] s ; s R. Parametrický popis jednoho ávitu ploch tečen šroubovice je: p(t, s) = [3 cos t 3s sin t; 3 sin t + 3s cos t; 8π t + 8π ] s ; t 0; 2π ; s R. l Obráek 29: Plocha pro t 0; 2π, s 0; 2 27

29 3.2 Cklické šroubové ploch Tto ploch vnikají šroubovým pohbem kružnice k (kružnice k nesmí ležet v rovině kolmé k ose o a ároveň mít střed na ose o). Pokud kružnice k protíná osu o, ploch se naývají uavřené a osa o leží na ploše. V opačném případě se naývají otevřené. Příklad č. 6 Osa o šroubového pohbu je osa, šroubový pohb je pravotočivý, výška ávitu v = 18. Napište parametrické vjádření jednoho ávitu ploch, která vnikne šroubovým pohbem kružnice k. Kružnice k leží v rovině (, ), bod S[4; 0; 0] je její střed, poloměr je r = 2. Parametrický popis kružnice k je: k(t) = [4 + 2 cos t; 0; 2 sin t]; t 0; 2π. Kružnice k neprotíná osu o, plocha je otevřená. Tato plocha se naývá plocha sv. Jiljí. Část ploch (část, která vnikne šroubovým pohbem horní půlkružnice) bla použita k aklenutí šroubového schodiště v kostele svatého Jiljí ve Francii. Zvolíme bod K = k(t 0 ) = [4 + 2 cos t 0 ; 0; 2 sin t 0 ]. Parametrický popis kružnice m v rovině α : = 2 sin t 0, výchoí bod K, kružnice je probíhána proti směru hodinových ručiček: m(s) = [(4 + 2 cos t 0 ) cos s; (4 + 2 cos t 0 ) sin s; 2 sin t 0 ]; s 0; 2π Parametrický popis jednoho ávitu šroubovice bodu K je: l(s) = [(4 + 2 cos t 0 ) cos s; (4 + 2 cos t 0 ) sin s; 2 sin t 0 + 9π ] s s 0; 2π. Parametrické vjádření jednoho ávitu ploch je: p(t, s) = [(4 + 2 cos t) cos s; (4 + 2 cos t) sin s; 2 sin t + 9π ] s k Obráek 30: Plocha sv. Jiljí pro t 0; 2π, s 0; 2π t 0; 2π ; s 0; 2π 28

30 Příklad č. 7 Osa o šroubového pohbu je osa, šroubový pohb je levotočivý, výška ávitu v = 20. Napište parametrické vjádření jednoho ávitu ploch, která vnikne šroubovým pohbem kružnice k. Kružnice k leží v rovině (, ), bod S[2; 0; 0] je její střed, poloměr je r = 2. Parametrický popis kružnice k je: k(t) = [2 + 2 cos t; 0; 2 sin t]; t 0; 2π. Kružnice k se dotýká os o, plocha je uavřená a osa o na ploše leží. Zvolíme bod K = k(t 0 ) = [2 + 2 cos t 0 ; 0; 2 sin t 0 ]. Parametrický popis kružnice m v rovině α : = 2 sin t 0, výchoí bod K, kružnice je probíhána ve směru hodinových ručiček: m(s) = [(2 + 2 cos t 0 ) cos s; (2 + 2 cos t 0 ) sin s; 2 sin t 0 ]; s 0; 2π Parametrický popis jednoho ávitu šroubovice bodu K je: [ l(s) = (2 + 2 cos t 0 ) cos s; (2 + 2 cos t 0 ) sin s; 2 sin t ] π s ; s 0; 2π. Parametrické vjádření jednoho ávitu ploch je: [ p(t, s) = (2 + 2 cos t) cos s; (2 + 2 cos t) sin s; 2 sin t + 10 ] π s ; t 0; 2π ; s 0; 2π k Obráek 31: Plocha pro t 0; 2π, s 0; 2π 29

31 Příklad č. 8 Osa o šroubového pohbu je osa, šroubový pohb je pravotočivý, výška ávitu v = 20. Napište parametrické vjádření jednoho ávitu ploch, která vnikne šroubovým pohbem kružnice k. Kružnice k leží v rovině (, ), bod S[2; 0; 4] je střed, poloměr je r = 4. Parametrický popis kružnice k je: k(t) = [2 + 4 cos t; 0; sin t]; t 0; 2π. Kružnice k protíná osu o, plocha je uavřená. Zvolíme bod K = k(t 0 ) = [2 + 4 cos t 0 ; 0; sin t 0 ]. Parametrický popis kružnice m v rovině α : = sin t 0, výchoí bod K, kružnice je probíhána proti směru hodinových ručiček: m(s) = [(2 + 4 cos t 0 ) cos s; (2 + 4 cos t 0 ) sin s; sin t 0 ]; s 0; 2π Parametrický popis jednoho ávitu šroubovice bodu K je: [ l(s) = (2 + 4 cos t 0 ) cos s; (2 + 4 cos t 0 ) sin s; sin t ] π s ; s 0; 2π. Parametrické vjádření jednoho ávitu ploch je: [ p(t, s) = (2 + 4 cos t) cos s; (2 + 4 cos t) sin s; sin t + 10 ] π s ; t 0; 2π ; s 0; 2π k Obráek 32: Plocha pro t 0; 2π, s 0; 2π 30

32 Příklad č. 9 Osa o šroubového pohbu je osa, šroubový pohb je pravotočivý, výška ávitu v = 20. Napište parametrické vjádření jednoho ávitu ploch, která vnikne šroubovým pohbem kružnice k. Kružnice k leží v rovině (, ), bod S[6; 0; 0] je její střed, poloměr je r = 3. Parametrický popis kružnice k je: k(t) = [6 + 3 cos t; 3 sin t; 0]; t 0; 2π. Kružnice k nemá společný bod s osou o, plocha je otevřená. Tato plocha se naývá plocha vinutého sloupku. Zvolíme bod K = k(t 0 ) = [6 + 3 cos t 0 ; 3 sin t 0 ; 0]. Parametrický popis kružnice m v rovině α : = 0, výchoí bod K, kružnice je probíhána proti směru hodinových ručiček: m(s) = [(6 + 3 cos t 0 ) cos s 3 sin t 0 sin s; 3 sin t 0 cos s + (6 + 3 cos t 0 ) sin s; 0]; s 0; 2π Parametrický popis jednoho ávitu šroubovice bodu K je: [ l(s) = (6 + 3 cos t 0 ) cos s 3 sin t 0 sin s; 3 sin t 0 cos s + (6 + 3 cos t 0 ) sin s; 10 ] π s ; s 0; 2π. Parametrické vjádření jednoho ávitu ploch je: [ p(t, s) = (6 + 3 cos t) cos s 3 sin t sin s; 3 sin t cos s + (6 + 3 cos t) sin s; 10 ] π s ; t 0; 2π ; s 0; 2π k Obráek 33: Vinutý sloupek pro t 0; 2π, s 0; 2π 31

33 3.3 Další šroubové ploch Nní můžeme vtvářet sami nejrůnější šroubové ploch. Můžeme například šroubovat část parabol. Příklad č. 10 Osa o šroubového pohbu je osa, šroubový pohb je pravotočivý, výška ávitu v = 16. Napište parametrické vjádření jednoho ávitu ploch, která vnikne šroubovým pohbem parabol k. Parabola k leží v rovině (, ) a má rovnici ( 4) 2 = 2. Uvažujte část parabol, pro -ové souřadnice bodů této části platí 0 8. Parametrický popis části parabol je: [ ] k(t) = t + 4; 0; t2 ; t 4; 4. 2 Zvolíme bod K = k(t 0 ) = [t 0 + 4; 0; t2 0 2 ]. Parametrický popis kružnice m v rovině α : = t2 0 2, výchoí bod K, kružnice je probíhána proti směru hodinových ručiček: [ ] m(s) = (t 0 + 4) cos s; (t 0 + 4) sin s; t2 0 ; s 0; 2π 2 Parametrický popis jednoho ávitu šroubovice bodu K je: [ l(s) = (t 0 + 4) cos s; (t 0 + 4) sin s; t ] π s ; s 0; 2π. k Obráek 34: Plocha pro t 4; 4, s 0; 2π Parametrické vjádření jednoho ávitu ploch je: p(t, s) = [(t + 4) cos s; (t + 4) sin s; t22 + 8π ] s ; t 4; 4 ; s 0; 2π 32

34 3.4 Příklad na procvičení 1 Osa o šroubového pohbu je osa, šroubový pohb je levotočivý, redukovaná výška ávitu v 0 = 3. Napište parametrické vjádření jednoho ávitu ploch, která vnikne šroubovým pohbem elips k. Elipsa k leží v rovině (, ) a má rovnici ( 2)2 4 + ( 3)2 9 = 1. 2 Je dána kružnice k v rovině (, ),bod S[0; 0; 4] je její střed, poloměr je r = 4. Osa o šroubového pohbu je osa, šroubový pohb je pravotočivý, výška ávitu v = 4 r = 16. Napište parametrické vjádření jednoho ávitu tv. ploch kadeře, která vnikne šroubovým pohbem adané kružnice k. 3 Osa o šroubového pohbu je osa, šroubový pohb je levotočivý, výška ávitu v = 18. Napište parametrické vjádření jednoho ávitu ploch, která vnikne šroubovým pohbem části parabol k. Parabola k v rovině (, ) má rovnici ( 4) 2 = 4. Uvažujte část parabol, pro -ové souřadnice bodů této části platí Osa o šroubového pohbu je osa, šroubový pohb je pravotočivý, redukovaná výška ávitu v 0 = 2. Napište parametrické vjádření jednoho ávitu ploch, která vnikne šroubovým pohbem kružnice k. Kružnice k leží v rovině (, ), bod S[2; 0; 0] je její střed, poloměr je r = 4. 5 Osa o šroubového pohbu je osa, šroubový pohb je pravotočivý, výška ávitu v = 12. Napište parametrické vjádření jednoho ávitu ploch, která vnikne šroubovým pohbem asteroid k. Parametrický popis křivk k je: k(t) = [5 cos 3 t; 5 sin 3 t; 0]; t 0; 2π 33

35 4 Tečné rovin ploch Je dána plocha p a na ní bod T. Tečná rovina ploch obsahuje tečn všech křivek ploch, které procháejí bodem T. Abchom ískali tečnou rovinu ploch v bodě T, vbereme na ploše dvě růné křivk k a l, které procháejí bodem T. Pokud tečn křivek k a l v bodě T jsou růné, určují tto tečn tečnou rovinu τ ploch v bodě T. Postup se ukážeme na konkrétním příkladě. Příklad č. 1 Je dána kulová plocha p o středu O[0; 0; 0] a poloměru r = 4. Napište parametrické vjádření ploch. Dále napište obecnou rovnici tečné rovin ploch v jejím bodě T [4; 0; 0]. Kulovou plochu ískáme rotací kružnice k(t) = [4 cos t; 0; 4 sin t]; t 0; 2π kolem os. Parametrický popis ploch je: p(t, s) = [4 cos t cos s; 4 cos t sin s; 4 sin t]; t 0; 2π ; s 0; π. Zjistíme pro jaké hodnot parametrů t a s budeme v bodě T [4; 0; 0] (T = p(?,?)). rovnic: Řešíme soustavu 4 cos t cos s = 4 4 cos t sin s = 0 4 sin t = 0 Z poslední rovnice je t {0; π; 2π}. Po dosaení t {0; π; 2π} do druhé rovnice máme sin s = 0 a ted s {0; π}. Vememe-li v úvahu i první rovnici, vhovují tto kombinace: T = p(0, 0) = p(π, π) = (2π, 0). Vberme si T = p(2π, 0) = [4; 0; 0]. Nní potřebujeme ískat 2 křivk procháející bodem T. T ískáme parametrického vjádření ploch tak, že jeden parametr necháme proměnný a druhý budeme fiovat (bud t = 2π nebo s = 0). Máme: k(t) = p(t, 0) = [4 cos t cos 0; 4 cos t sin 0; 4 sin t] = [4 cos t; 0; 4 sin t]; t 0; 2π, l(s) = p(2π, s) = [4 cos(2π) cos s; 4 cos(2π) sin s; 4 sin(2π)] = [4 cos s; 4 sin s; 0]; Křivka k je kružnice, křivka l půlkružnice, vpočítáme tečné vektor: s 0; π. k (t) = ( 4 sin t; 0; 4 cos t) l (s) = ( 4 sin s; 4 cos s; 0). Tečné vektor v bodě T dostaneme dosaením hodnot parametrů: k (2π) = (0; 0; 4) a l (0) = (0; 4; 0). 34

36 Pro obecnou rovnici rovin potřebujeme nát normálový vektor. Ten ískáme vektorovým součinem tečných vektorů v bodě T : Obecná rovnice tečné rovin τ je: (0; 0; 4) (0; 4; 0) = ( 16; 0; 0) (1; 0; 0) d = 0. Dosadíme souřadnice bodu T [4; 0; 0]: 4 + d = 0 a máme d = 4. Hledaná rovnice tečné rovin τ je: 4 = 0. Pokud použijeme bývající dvě kombinace (T = p(π, π) a T = p(0; 0)) dostaneme stejnou rovinu. Obráek 35: Kulová plocha s tečnou rovinou τ Tečná rovina kulové ploch má s plochou společný jeden jediný bod (bod dotku). U obecnějších ploch tomu tak nemusí být, tečná rovina může plochu řínout v křivce. Příklad č. 2 Je dána rotační plocha (anuloid) p(t, s) = [(6 + 3 cos t) cos s; (6 + 3 cos t) sin s; 3 sin t]; s 0; 2π. Napište obecnou rovnici tečné rovin ploch v bodě T = p(π, 0). t 0; 2π ; Bod T má souřadnice T = p(π, 0) = [(6 + 3 ( 1)) 1; (6 3) 0; 0] = [3; 0; 0]. Křivk ploch procháející bodem T jsou: k(t) = p(t, 0) = [6 + 3 cos t; 0; 3 sin t] a l(s) = p(π, s) = [3 cos s; 3 sin s; 0], 35

37 obě křivk jsou kružnice. Tečné vektor křivek ískáme derivováním: Tečné vektor křivek v bodě T jsou: k (t) = ( 3 sin t; 0; 3 cos t), l (s) = ( 3 sin s; 3 cos s; 0). k (π) = (0; 0; 3) (0; 0; 1), l (0) = (0; 3; 0) (0; 1; 0). Vektorový součin je: (0; 0; 1) (0; 1; 0) = ( 1; 0; 0) (1; 0; 0). Obecná rovnice tečné rovin τ je: +d = 0. Po dosaení souřadnic bodu T dostaneme hodnotu d = 3 a rovnice tečné rovin τ je: τ : 3 = 0. Obráek 36: Anuloid s tečnou rovinou τ Tečná rovina τ řeže anuloid v křivce, která se naývá Bernoulliova lemniskáta. Obráek 37: Bernoulliova lemniskáta 36

38 Příklad č. 3 Je dána část přímkové šroubové ploch p(t, s) = [(4 4t) cos s; (4 4t) sin s; 5t + 3s]; t 0; 1 ; s 2π; 2π. Napište obecnou rovnici tečné rovin ploch v bodě T = p(0, 0). Bod T má souřadnice T = p(0, 0) = [4; 0; 0]. Křivk ploch procháející bodem T jsou: k(t) = p(t, 0) = [4 4t; 0; 5t] a l(s) = p(0, s) = [4 cos s; 4 sin s; 3s], křivka k je přímka, křivka l je šroubovice. Tečné vektor křivek ískáme derivováním: k (t) = ( 4; 0; 5), l (s) = ( 4 sin s; 4 cos s; 3). Tečné vektor křivek v bodě T jsou: k (0) = ( 4; 0; 5) a l (0) = (0; 4; 3). Vektorový součin je: ( 4; 0; 5) (0; 4; 3) = ( 20; 12; 16) (5; 3; 4). Obecná rovnice tečné rovin τ je: d = 0. Po dosaení souřadnic bodu T máme: τ : = 0. I v tomto příkladě tečná rovina proniká plochou, má s ní společnou přímku a ještě rovinnou křivku. U některých ploch eistují bod, ve kterých tečná rovina neeistuje, tto bod naýváme singulárními bod. Například vrchol kuželové ploch je singulární bod ploch. Obráek 38: Přímková vývrtková plocha s tečnou rovinou τ Příklad č. 4 Je dána plocha p(t, s) = [t sin s; t cos s; 4 cos t cos s]; t 0; 2π ; s 0; 2π. Napište obecnou rovnici tečné rovin ploch v bodě T = p(0, 0). Bod T má souřadnice T = p(0, 0) = [0; 0; 4]. Křivk ploch procháející bodem T jsou: Tečné vektor křivek ískáme derivováním: k(t) = p(t, 0) = [0; t; 4 cos t] a l(s) = p(0, s) = [0; 0; 4 cos s]. k (t) = (0; 1; 4 sin t), l (s) = (0; 0; 4 sin s). Tečné vektor křivek v bodě T jsou: k (0) = (0; 1; 0) a l (0) = (0; 0; 0) (bod T je singulárním bodem křivk l). Vektorový součin je: (0; 1; 0) (0; 0; 0) = (0; 0; 0) 37

39 Tečná rovina v bodě T neeistuje, je to singulární bod. Obráek 39: Na ploše je vnačena plocha se singulárním bodem T Viděli jsme v příkladě 2 a 3, že můžeme vtvářet rovinné křivk jako průnik ploch a rovin. Tato rovina nemusí být nutně tečná rovina. Budeme-li například řeat anuloid v příkladě 2 rovinami rovnoběžnými s tečnou rovinou τ, ískáme tv. Cassiniho křivk. Z ploch můžeme ískávat i nové prostorové křivk a to jako průnik dvou ploch. V posledním příkladě si ukážeme průnik kulové ploch a válcové ploch, výsledná křivka se naývá Vivianiho okénko. Příklad č. 5 Je dána kulová plocha o středu O[0; 0; 0] a poloměru r = 2. Dále je dána rotační válcová plocha, jejíž řídící kružnice m leží v rovině (, ), její střed je bod S[0; 1; 0] a poloměr je 1. Parametrický popis kulové ploch je: p(t, s) = [2 cos t sin s; 2 cos t cos s; 2 sin t]; t 0; 2π ; s 0; π. Parametrický popis rotační válcové ploch ačneme popisem kružnice m: m(t) = [cos t; 1 + sin t; 0]; t 0; 2π. Vbereme bod K = k(t 0 ) = [cos t 0 ; 1 + sin t 0 ; 0]. Parametrický popis povrchové přímk (rovnoběžné s osou ) procháející bodem K je: Popis válcové ploch je: l(s) = [cos t 0 ; 1 + sin t 0 ; s]; s R. q(t, s) = [cos t; 1 + sin t; s]; t 0; 2π ; s R. Na obráku vidíme průnikovou křivku adaných ploch, tv. Vivianiho okénko. Křivka je navána po italském matematikovi Vincenu Vivianim. 38

40 Vivianiho okénko (a) Průnikem rotační válcové a kulové ploch je křivka Vivianiho okénko (b) Křivka Vivianiho okénko Obráek 40: K příkladu č. 5 39

41 5 Praktické vužití Pokud se kolem sebe rohlédnete, určitě nějakou plochu objevíte. Povrch občejné tužk bývá část válcové ploch, na trchtýři je část kuželové ploch, na vývrtce můžete najít části šroubových ploch (obr. 50a). Šroubové ploch jsou na všech možných šroubech a ávitech (obr. 50c). Některé těstovin jsou tvaru části šroubové ploch (před uvařením) (obr. 50b). Pokud vám někd spadla počítačová mš a robila se, určitě vás aujala kulička uvnitř, která svým pohbem udává pohb kuroru na obraovce (obr. 41a). Kulové ploch jsou také povrchem kuliček v ložisku (obr. 41b). Některé lustr jsou tvořen částmi kulových ploch. Pokud jste někd píchli kolo, museli jste bud slepovat nebo vměnit duši kola (obr. 42c), ta má tvar anuloidu. Anuloid je také součástí Teslova transformátoru pro ískávání vsokých napětí (obr. 42b). Povrch parabolických rcadel je část rotačního paraboloidu (obr. 45b), podobně je tomu u parabolických antén. Zajímavé je akustické rcadlo pocháející 1. světové válk, jehož povrch je také část paraboloidu (obr. 45a). Rotační a šroubové ploch jsou často vužíván ve stavebnictví a architektuře. Třeba takový okap je složen částí válcových ploch (obr. 46a). Také jednoduché klenb jsou části válcových ploch (obr. 46b). Jiné vužití válcových ploch vidíme na Centre Pompidou (Paříž, Francie) (obr. 46c). Opera v Sdne (Austrálie), navržená v roce 1956 dánským architektem Jørnem Utonem, je astřešena skořepinami kulových ploch (obr. 41c). Kupole budov německého parlamentu (Berlín, Německo) je část protáhlého elipsoidu (obr. 43a). Chladící věže jaderných elektráren mají tvar jednodílného rotačního hperboloidu (obr. 44b). Tvar jednodílného hperboloidu má i rohledna Borůvka u obce Hluboká (Pardubický kraj, Česká republika) (obr. 44a). Mueum současného umění v Nitéroi - autor architekt Oskar Niemeer vužil rotační kuželovou plochu (obr. 47). Mueum je v Braílii nedaleko Rio de Janeira. Obecnější rotační ploch jsou často vužíván jako střech. Na obráku vidíme astřešení kostela Nejsvětějšího srdce Ježíšova, Sacré-Coeur (Paříž, Francie) (obr. 48). Části šroubových ploch můžeme vidět u točivých schodišt. Delší hran schodů leží na přímkách přímých šroubových ploch (obr. 49). Na schodišti v mueu Louvre (Paříž, Francie) je vidět část vývrtkové šroubové ploch (obr. 50d). Na kostele Pann Marie Sedmibolestné v Bratislavě (Slovenská republika) je střecha tvořena více než polovinou ávitu ploch tečen šroubovice (obr. 52). Nejrůnější odobné tordované sloupk období baroka jsou cklické šroubové ploch. U vchodu do chrámu Pann Marie Sněžné v Olomouci (Česká republika) vidíme levotočivý i pravotočivý šroubový sloup (obr. 51). 40

42 Kulová plocha (a) Kuličková mš (b) Kuličková ložiska (c) Opera v Sdne Obráek 41 41

43 Anuloid (a) Cívka Teslova transformátoru (b) Teslův transformátor (c) Duše kola Obráek 42 42

44 Protáhlý elipsoid (a) Kupole německého parlamentu (b) Německý parlament Obráek 43 Jednodílný hperboloid (a) Rohledna Borůvka (b) Chladící věže jaderných elektráren Obráek 44 43

45 Paraboloid (a) Akustická rcadla (b) Parabolická rcadla Obráek 45 Válcová plocha (a) Okap (b) Klenb (c) Centre Pompidou (Paříž, Francie) Obráek 46 44

46 Kuželová plocha Obráek 47: Mueum současného umění v Nitéroi Zastřešení budov rotačními plochami Obráek 48: Sacré-Coeur (Kostel Nejsvětějšího srdce Ježíšova) - Paříž, Francie 45

47 Přímá přímková šroubová plocha Obráek 49: Točité schodiště Vývrtková přímková šroubová plocha (a) Vývrtka (b) Těstovin (c) Závit (d) Mueum Louvre v Paříži, Francie Obráek 50 46

48 Vinutý sloupec Obráek 51: Chrám Pann Marie Sněžné v Olomouci Plocha tečen šroubovice Obráek 52: Kostel Pann Marie Sedmibolestné 47

49 6 Výsledk Rotační ploch 1 Parametrický popis ploch: p(t, s) = [( ) ( ) ] t cos s; t sin s; t + 3 ; t R; s 0; 2π. k Obráek 53: Plocha pro t 5; 5, s 0; 2π 2 Parametrický popis ploch: p(t, s) = [(5 2 cosh t) cos s; (5 2 cosh t) sin s; sinh t] ; t R; s 0; 2π. k Obráek 54: Plocha pro t 2; 2, s 0; 2π 48

50 3 Parametrický popis ploch: p(t, s) = [t cos s; t sin s; 3 sin t] ; t 0; 2π ; s 0; 2π. k Obráek 55: Plocha pro t 0; 2π, s 0; 2π 4 Parametrický popis ploch: p(t, s) = [(2 sin t + 3) cos s; (2 sin t + 3) sin s; t] ; s 0; 2π. t 0; 2π ; k Obráek 56: Plocha pro t 0; 2π, s 0; 2π 49

51 5 Parametrický popis ploch: p(t, s) = [ 5 cos 3 t cos s; 5 cos 3 t sin s; 5 sin 3 t ] ; t 0; 2π ; s 0; π. k Obráek 57: Plocha pro t 0; 2π, s 0; 2π Šroubové ploch 1 Parametrický popis ploch: p(t, s) = [(2 + 2 cos t) sin s; (2 + 2 cos t) cos s; sin t + 3s]; s 0; 2π. t 0; 2π ; k Obráek 58: Plocha pro t 0; 2π, s 0; 2π 50

52 2 Parametrický popis ploch kadeře: p(t, s) = [ 4 cos t cos s; 4 cos t sin s; sin t + 8 π s] ; t 0; 2π ; s 0; 2π. k Obráek 59: Plocha kadeře pro t 0; 2π, s 0; 2π 3 Parametrický popis ploch: p(t, s) = [ t 2 4 sin s; t2 4 cos s; t π s ] ; t 4; 4 ; s 0; 2π. k Obráek 60: Plocha pro t 4; 4, s 0; 2π 51

53 4 Parametrický popis ploch: p(t, s) = [(2 + 4 cos t) cos s 4 sin t sin s; 4 sin t cos s + (2 + 4 cos t) sin s; 2s] ; t 0; 2π ; s 0; 2π. k Obráek 61: Plocha pro t 0; 2π, s 0; 2π 5 Parametrický popis ploch: p(t, s) = [ 5 cos 3 t cos s 5 sin 3 t sin s; 5 sin 3 t cos s + 5 cos 3 t sin s; 6 π s] ; t 0; 2π ; s 0; 2π. k Obráek 62: Plocha pro t 0; 2π, s 0; 2π 52

54 Použité droje [1] Ústav nosných konstrukcí, FA ČVUT. URL < [2] Benešová, L.: Ploch ve světě kolem nás. Diplomová práce, Fakulta aplikovaných věd, Západočeská univerita v Plni, URL < [3] Satrapa, P.: L A TEX pro pragmatik. Technická univerita v Liberci a sdružení CESNET, 2011, 87 s. URL < [4] Surnková, P.: Ploch stavební prae. Diplomová práce, Katedra didaktik matematik, MFF UK, URL < 53