Algebraické výrazy-ii Jednou ze základních úprav mnohočlenů je jejich rozklad na součin mnohočlenů nižšího stupně. Ne všechny mnohočleny lze na součin rozložit. Pro provedení rozkladu můžeme použít: 1. Vytýkání před závorku 2. Rozklad pomocí algebraických vzorců a 2 b 2 (a + b) (a b) a 3 b 3 (a b) (a 2 + ab + b 2 ) a 3 + b 3 (a + b) (a 2 ab + b 2 ) 3. Rozklad kvadratického trojčlenu pomocí Vietových vzorců x 2 + px + q (x u) (x v), kde q u v a p (u + v) Další důležitou vlastností mnohočlenů je nalezení jejich nulových bodů, tedy hodnot proměnné, při jejichž dosazení nabývá mnohočlen hodnotu nula.
PS 20-23 1. Rozhodněte, zda jsou následující výroky pravdivé a) Každý algebraický výraz lze v R rozložit na součin b) Každé dva mnohočleny mají společný násobek c) Každé dva mnohočleny mají alespoň jednoho společného dělitele d) Vytýkáme-li z mnohočlenu mínus, stačí změnit znaménko prvního člene e) Nulový bod je takové číslo, po jehož dosazení nabývá mnohočlen hodnotu nula f) Každý mnohočlen má nulový bod 2. Ze kterých mnohočlenů lze vytknout číslo -1 před závorku? a) Jen z mnohočlenu, který má záporné všechny koeficienty b) Jen z mnohočlenu, který má u prvního členu znaménko minus c) Ze žádného mnohočlenu d) Z jakéhokoliv mnohočlenu 3. Pro které z mnohočlenů je číslo 3 nulovým bodem? a) x + 3 b) 3x 9 c) 3a a 2 d) 9a a 3 e) 12b 2b 2 f) 6b + ( 2b 2 ) g) 12b (2b) 2 h) 6b + ( 2b) 2 4. Vyberte mnohočleny, které v R nemají žádný nulový bod a) 10 b) 10x + 2 c)10 x d) x 2 + 10
5. Rozložte mnohočlen na součin vytknutím před závorku a) 8x 2 12y b) 2x 2 y 6yz c) 8ab 2 c + 4ac 2 d) 6bcd + 9cd 3 e) 24x 2 y 15xy 2 3xy f) 20bc 3 + 15b 2 5b 6. Rozložte mnohočlen na součin postupným vytýkáním a) 3x 3 + 6xy + 2x 2 + 4y b) 3a 2 + 9ab + 7a + 21b c) 3b 2 + 6ab 8a 4b d) 4c 2 12cd 5c + 15d e) y 2 + 3xy 2y + 6x f) v 2 + 4v 2uv + 8u 7. Rozložte mnohočlen na součin pomocí rozkladu kvadratického trojčlenu. a) x 2 5x + 6 b) x 2 + 7x + 6 c) x 2 + x 2 d) x 2 2x 3 e) x 2 + 4x 12 f) x 2 7x + 12
8. Rozložte pomocí vzorců: a) x 2 25 b) y 2 9 c) 9b 2 16 d) 16c 2 4 e) 49x 2 4y 2 f) 36a 2 64b 2 g) 125x 3 y 3 h) 8a 3 + 27b 3 9. Zakroužkujte mnohočleny, které nelze v oboru reálných čísel rozložit pomocí vzorců v součin. a) 4x 2 + 9 b) y 2 + 4y + 4 c) 16 8a + a 2 d) 25x 2 16 10. Rozložte na součin mnohočlenů s nejnižšími možnými stupni a) 7a 4 28b 2 b) 9x 2 64 c) 3a + b 3ab b 2 d) 2c c 2 + 4cd 8d e) a 2 + 3a 18 f) 3x 3 + 81 g) 9xy 3 + x 3 y 6x 2 y 2 h) 2s 2 + 35t 5s + 14st
11. Pomocí rozkladu na součin určete nulové body mnohočlenu a) ab 8a b) 4u + uv c) x 2 + 3x d) 3y 2 + 6y e) uv 2 25u f) r 2 s + 9s g) x 2 + 3x 10 h) x 2 7x + 10 Racionální lomený výraz je podíl dvou mnohočlenů zapsaný ve tvaru zlomku. Čitatelem může být libovolný mnohočlen včetně konstanty, jmenovatelem výraz obsahující proměnnou. Pro každý lomený výraz musíme vždy uvést podmínky existence, tedy kdy je jmenovatel nenulový.
PS 24 35 1. Určete, zda se jedná o racionální lomený výraz a) 2 (a+5) a b) 2 (a+5) 5 c) 2 (a+ 5) a d) a+5 3 a 3 2. Vypište mnohočleny z čitatele a jmenovatele a jejich stupeň a) 1 x 1 b) x 2 x 9 (x 9) (x 4 +1) 3. Zapište podmínky platnosti racionálního lomeného výrazu a) 4b 2 b (b+3) b) 6y+3 (y 7) 2y c) 3y y 2 4 d) x 1 x 2
4. Rozhodněte, zda jsou následující tvrzení pravdivá a) Proměnná ve jmenovateli libovolného lomeného výrazu se nesmí rovnat nule. b) Jmenovatel lomeného výrazu se nesmí rovnat nule. c) Definiční obor výrazu je množina všech čísel kromě nuly. d) Nulový bod lomeného výrazu je taková hodnota proměnné, pro kterou nabývá lomený výraz hodnoty nula. 5. Určete nulové body racionálních lomených výrazů. a) x 4 x+2 b) b+1 b 5 c) a2 +10a+25 2a 6 d) x2 6x+9 3x+12 6. Určete, pro jaké hodnoty proměnné není racionální lomený výraz definován a) x 3 x b) x 1 2x+6 c) x2 1 x 2 +9 d) x 3 x 2 1
7. K danému lomenému výrazu zapište převrácený výraz. a) a 1 2a+2 ; a 1 b) 8 7c 5 ; c 5 7 c) 1 ; y 1 y+1 d) 0 ; x 1 3x+1 3 8. Určete hodnotu racionálního lomeného výrazu 2x+0,4y x 2 y2 pro x 4, y 2 9. Určete definiční obor racionálního lomeného výrazu a zapište ho pomocí množinového zápisu a 4 a) 5a+10 b) c) d) e) f) b+3 4b 3 +8b b (b 5) 2b (b 2 +4b+4) 1 x 2 +4x+4 v 2 3v v 2 +6v+5 u 2 +4u u 2 u 2
10. Stanovte nulové body racionálního lomeného výrazu a) a 2 b+8 b) x+6 x 3 c) (b+1,2) (b 5) a (2b 1) d) a (2a+1) (a+ 3) (a 8,2) e) x 3 1 x 2 +x+1 f) y 2 1 y 2 8y+16 g) 2a+10 a 2 25 h) c2 cd+2c 2d d (4c+8)
PS 27-32 1. Rozhodněte, zda jsou následující tvrzení pravdivá. a) Rozšířit lomený výraz znamená vynásobit čitatele výrazem různým od nuly b) Rozšířit lomený výraz znamená vynásobit čitatele i jmenovatele stejným výrazem různým od nuly c) Krátit lomený výraz znamená dělit čitatele výrazem různým od nuly d) Krátit lomený výraz znamená dělit čitatele i jmenovatele stejným výrazem různým od nuly 2. Rozhodněte, zda je možné daný lomený výraz krátit, a zapište podmínky, za kterých má daný lomený výraz smysl. xy (y+1) a) b) c) d) 2x 2ab 14cd x+1 x 1 (a+5) (a 5) a 5 3. Uveďte podmínky, které musí být splněny, aby rovnosti mezi uvedenými výrazy platily. Následně zapište definiční obor, který musí platit pro výrazy na obou stranách rovnice a) x 1 x (x 2) x 2 b) y (y+9) y2 9y (y+9) (y 9)
4. Napište, zda uvedené lomené výrazy můžete sečíst / odečíst, aniž byste museli některé z nich rozšiřovat. a) a 3 a ; 1 a b) b ; b b 1 b+1 c) c ; c+2 c+2 c d) d+5 2d ; d 5 2d e) 3e 2e 1 ; e 2e 1 f) f 1 ; f 11 3f+1 f+3 5. Kraťte lomené výrazy. Nezapomeňte uvést podmínky. a) x+3 x+3 b) 2x 5 6 2x c) 36a3 b 4 c 45ab 6 c 3 d) 21x 2 y 5 z 49x 3 y 4 z 2
6. Kraťte lomené výrazy. Nezapomeňte uvést podmínky. a) 2 (y+1) (1 y) (1+y) 8 b) 4 (2 a) (2+a) 10 (a+2) c) 8x5 (x y) 2 8x 5 8x 3 y 2 d) 9c (c2 d 2 ) 18dc 3 (c+d) 2 e) 9a 2 1 9a (3a+1) 2 f) 1 4c 2 8c (2c 1) 2 g) 12u 2 3u 3u (16u 2 8u+1) h) v (100v2 +40v+4) 20v 2 +4v
7. Stanovte definiční obor původního a rozšířeného racionálního lomeného výrazu. a) 2x 1 (x+1) 2 4x 2 1 (x+1) 2 (2x+1) b) 2y+5 (y 1) 2 4y 2 25 (y 1) 2 (2y 5) 8. Doplňte tak, aby se výrazy rovnaly a) 2a bc 6abc b) x 3 (x 1) 6 (x 2 1) c) 4 5 (a+2) 25 (a 2 4) d) b2 2b+1 b 2 1 b 1
9. Rozšiřte vhodným výrazem a zapište. Nezapomeňte uvést podmínky. a) 4 1 y jako lomený výraz se jmenovatelem y 1 4 1 y b) 1 10y 6 jako lomený výraz se jmenovatelem 5y 3 1 10y 6 c) 1 x+5 jako lomený výraz se jmenovatelem 25 x2 1 x + 5 d) 2x 2 x jako lomený výraz se jmenovatelem x2 4 2x 2 x
10. Pro přípustné hodnoty proměnných sečtěte / odečtěte lomené výrazy a) 1 + 2 b 5b b) 1 a 1 b c) 10 7x 2 y + y x d) 2 a a 5+a e) 5 + a 2a 1 1 2a f) 4 a 1 a a 2 1 g) x x+3 + x 2 x 3 h) 2 ab 3 ac 4 bc i) x 2 +1 x 1 x 2 +2x+1 2 (x+1) j) m m+n ( n m n + 1)
11. Sečtěte / odečtěte a upravte na tvar, v jehož čitateli se neobjevuje mínus a) 1 + 4 x 3 6 2x b) 2a a 3 8a 2 (3 a) c) 3y + 3 y 2 4 y+2 d) 5 a 5a 3a a 2 12. Sečtěte / odečtěte mnohočlen a lomený výraz. Nezapomeňte uvést podmínky. a) (x + 1) + x2 2 x b) 1 y+2 y c) (3y + 1) 6y2 3 2y d) (4x + 1) + 2 10x2 3x
13. Pro přípustné hodnoty násobte výrazy. Nejdříve ověřte, zda lze krátit. a) x 2 25 b) y (3 y) 5 5+x 4x 2 2 (3 y) y+1 c) y y 2 3 (2 y) y 2 d) 12x2 x 5 5 x 8x 2 e) a2 +a 2a+2 2 a b+2 f) 4b 2b+4 3 g) 4 x2 x+2 2 x 2 2 y2 h) 2 2+y y 2 14. Vynásobte lomený výraz mnohočlenem, zjednodušte. a) 2 (b + 2) b 1 b) x x+2 (x2 4) c) 2 y 2 1 (y + 1)
d) 5 2a (a3 a) e) b 2b+4 (b2 4) f) x 1 x 2 +5x+6 (x + 2) 15. Vydělte lomené výrazy a) 2 3+x : 3 x b) x 2 x+2 : 1 x 2 c) x2 5+x : x 2x+10 d) y 1 : 2y 2 3 9
e) y+1 3y : 4 (y+1) y 2 f) a2 +4a+4 2a : a+2 a g) 5x2 x 2 1 : 10x x 1 h) 16abc2 : 2ab2 c 21 14 16. Zjednodušte a zapište smysl a) x 8 x 2x+5 6x b) 2y+1 5y y y+6
Příklady k domácí přípravě 1. Lomené výrazy upravte a napište podmínky 35a 5 14a 3 2a 2 +4a 4a+8 3n 6 n 2 4 x 2 +2x+1 5x+5 2. Sečtěte a odečtěte lomené výrazy, zapište smysl výrazů 3 + x 12 3 + 4 x 3 a 2 4 a 2 2+a 2 + 3 y+1 y 1 x x+2 2 x 3. Vypočtěte součin a podíl lomených výrazů a zapište definiční obor. z 2z+8 z+4 2z 2 x 2 +4x+4 : 3x+6 x 2 2x+1 2x 2 a 1 x a 2 1 x 2