Obsah. Kapitola 2. Lebesgueův integrál v R N Lebesgueova míra v R N 14

Matematika 4 - výběrová Přednášející Aeš Nekvinda

Obsah Kapitoa. Hubší studium matic 5. Zákadní definice a vastnosti 5. Vastní čísa a vastní vektory matic 7 3. Symetrické a pozitivně definitní matice 7 Kapitoa. Lebesgueův integrá v R N 3. Lebesgueova míra v R 3. Lebesgueova míra v R N 4 3. Lebesgueův integrá v R N 6 Kapitoa 3. Prostory funkcí 9. Prostory se skaárním součinem a Hibertovy prostory 9. Lebesgueův prostor L (M) 9 3. Sabé derivace funkce 4. Soboevovy prostory 3 Kapitoa 4. Eementy funkcionání anaýzy 5. Lineární a biineární formy na Hibertových prostorech 5. Kvadratické funkcionáy na Hibertových prostorech a existence minima 6 Kapitoa 5. Rovnice nosníku 9 Kapitoa 6. Apikace na obyčejné diferenciání rovnice 3. Úvod 3. Případ λ > 3 3. Případ λ = 33 4. Případ λ < 35 Kapitoa 7. Parciání diferenciání rovnice 39. Úvodní definice 39. Rovnice u + λu = f s nuovou okrajovou podmínkou 4 3. Průhyb desky 44 Kapitoa 8. Nekonečné čísené řady 49. Co je řada a její součet 49. Komutativní zákon pro řady 5 Kapitoa 9. Nekonečné řady funkcí 59. Pojem řady funkcí a obor konvergence 59. Stejnoměrná konvergence 6 3. Derivování a integrování řady funkcí 6 3

4 OBSAH Kapitoa. Mocninné řady 65. Pojem mocninné řady a pooměr konvergence 65. Derivování a integrování mocninných řad 69 Kapitoa. Fourierovy řady 75. Ortonormaita systému cosinů a sinů 75. Formání rozvoj 76 3. Bodová konvergence 76 4. Konvergence v L (, ) 8 Kapitoa. Rovnice vedení tepa 8. Odvození 8. Matematická formuace probému 8 3. Jednoznačnost řešení - princip maxima 8 4. Existence řešení Fourierovou metodou 84 Kapitoa 3. Rovnice struny 87. Odvození 87. Matematická formuace probému konečné struny 9 3. Jednoznačnost řešení 9 4. Existence řešení Fourierovou metodou 9 5. Matematická formuace probému nekonečné struny 93 6. Rovnice vedení tepa s konvektivním čenem na poonekonečném intervau 95 Kapitoa 4. Numerické metody 97. Rietzova metoda pro jednorozměrnou úohu 97 Literatura

KAPITOLA Hubší studium matic. Zákadní definice a vastnosti V této části budeme mimořádně pracovat s kompexními čísy C. Označme pro z = a + bi číso kompexně združené z = a bi, veikost z je dána z = zz = a + b. Označme ještě Re z = a, Im z = b reánou a imaginární část z. Definice.. Buď x = (x, x,..., x n ) C n, y = (y, y,..., y n ) C n. Označme symboem (x, y) = x y + x y + + x n y n = n x i y i skaární součin vektorů x, y a x = x x + x x + + x n x n = n x i x i = n x i veikost (nebo normu) vektoru x. Tvrzení. (Vastnosti skaárního součinu). Buď x, y, z Cn, a C. Pak (i) (x, y) = (y, x); (ii) (x + y, z) = (x, z) + (y, z); (iii) (ax, y) = a(x, y); (iv) (x, x) a (x, x) = jenom pro x =. Důkaz. Snadný. Poznamenejme, že z těchto vastností ihned pyne (x, x) R, (x, ay) = a(x, y) a (x, y + z) = (x, y) + (x, z). Věta.3 (Cauchy-Schwarzova nerovnost). Buď x = (x, x,..., x n ) C n, y = (y, y,..., y n ) C n. Pak (x, y) x y. i= Důkaz. Zvome x, y C n. Díky tvrzení. máme ( (x, y) + (x, y) ) ( (x, y) (x, y) (x, y) = Re (x, y) + Im (x, y) = + ( (x, y) + (x, y) ) ( = (x, y) + (y, x) ). 5 i= i= )

6. HLUBŠÍ STUDIUM MATIC a opět užitím tvrzení. dostaneme pro ibovoné t R (x ty, x ty) = (x, x) t(x, y) t(y, x) + t (y, y) = x t ( (x, y) + (y, x) ) + t y. Tedy diskriminant je nekadný, tj. ( (x, y) + (y, x) ) 4 x y. Díky předchozí identitě je ( (x, y) + (y, x) ) = (x, y) + (y, x) + (x, y)(y, x) = (x, y) + (x, y)(x, y) = 4 (x, y) což dává spou s nekadností diskriminantu 4 (x, y) 4 x y. což je ekvivaentní s požadovanou nerovností. Věta.4. Buď x = (x, x,..., x n ) R n dán a nechť pro každý vektor = (h, h,..., h n ) R n patí Pak x =. (x, h) =. Důkaz. Buď x dán. Za h vome postupně e i = (,,...,,..., ) vektory kanonické báze. Dostaneme a tedy x i = pro všechna i. = (x, e i ) = x i Definice.5. Buď A matice typu n n. Definujme normu matice A = sup{ Ax ; x } Věta.6. Buď A matice typu n n, x = (x, x,..., x n ) R n, y = (y, y,..., y n ) R n. Pak (Ax, y) A x y. Důkaz. Ze Schwarzovy nerovnosti dostaneme (Ax, y) Ax y. Vezmeme x a poožme z = x x. Zřejmě z = a díky definici A Ax = A x x x = A z x sup{ Az ; z } x = A x a tedy (Ax, y) Ax y A x y.

3. SYMETRICKÉ A POZITIVNĚ DEFINITNÍ MATICE 7. Vastní čísa a vastní vektory matic Definice.7. Buď A čtvercová matice kompexních číse řádu n. Řekneme, že λ C je vastní číso matice A, pokud existuje nenuový n-rozměrný kompexní vektor u takový, že (.) Au = λu. Je-i λ vastní číso matice A, pak se každý vektor, kteý spňuje (.), nazývá vastním vektorem. Věta.8. Nechť λ je vastní číso matice A, pak množina všech vastních vektorů přísušných k λ tvoří vektorový podprostor v C n. Věta.9. Buď A matice typu n n. Nechť u o spňuje (.), Pak (A λe)u =, tedy det(a λe) =. ( ) Příkad.. Buď A =. Najděte vastní čísa a k nim přísušné 3 vastní vektory. Řešení. Vezmeme matici ( ) λ A λe =. 3 λ Pak det(a λe) = ( λ)(3 λ) = λ 5λ + 4 = (λ )(λ 4). Tedy vastní čísa jsou λ =, λ = 4. Spočtěme k nim přísušné vastní vektory. ( ) ( ) ( u λ = : = u ) což dává u + u =. Např. vektor (, ) je tedy vastní vektor přísušný k λ =. ( ) ( ) ( u λ = 4 : = u ) což dává u u =. Např. vektor (, ) je tedy vastní vektor přísušný k λ = 4. 3. Symetrické a pozitivně definitní matice Nejprve si definujeme pojem symetrické pozitivně definitní matice. Definice.. Matice typu n n se nazývá symetrická, pokud A T = A. Symetrická matice A se nazývá pozitivně definitní, pokud existuje c > takové, že (Ax, x) c x. Zabývejme se nyní řešením probému Ax = b, kde A je čtvercová matice typu n n reáných číse, b R n je zadaný vektor a x R n je hedaný vektor. Tuto úohu už umíme řešit Gaussovou eiminací. My si zde najdeme trochu jiné metody pro speciání matice A, které bodou fungovat i v teorii parciáních diferenciáních rovnic. Uvažujme nejprve jednodimenzionání případ, tj. rovnici (.) ax = b

8. HLUBŠÍ STUDIUM MATIC v R. Každý ví, že pro a je x = b a. Náš speciání požadavek na a je a >. Utvořme kvadratickou funkci (.3) F (x) = ax bx. Snadno zjistíme, že y R je řešením (.) pokud F (y) je minimem F (x). Skutečně, jeikož F (x) = a >, je ay = b právě tehdy, je-i F (y) = ay by = a y je tedy bodem minima F. Můžeme tedy vysovot tvrzení: Tvrzení.. Nechť a >. Buď b R dáno. Definujme F (x) = ax bx. Pak ay = b F (y) = min{f (x); x R}. ( Vezmeme ) nyní dvou dimenzionání případ. Chceme naožit na matici A = a b takové předpokady, že patí anaogie tvrzení (.). c d ( ) ( ) a b b Nechť je tedy dána matice A =, vektor b = R c d b a hedejme vektor y = R tak, že Ay = b. Utvořme kvadratickou funkci ( ) y dvou y proměnných F (x) = (Ax, x) (b, x), tj. F (x, x ) = ax + (b + c)x x + dx b x b x. Chceme, najít minimum F (x), pokud existuje. Především musíme najít stacionární bod. Tedy F = ax + (b + c)x b =, x F = dx + (b + c)x b =, x což je ekvivaentní se soustavou ( ) ( ) ( ) a b+c x b b+c = d Tato soustava je ekvivaentní se soustavou ( ) ( ) a b x = c d x jedině pro symetrickou matici A. Chceme-i tedy zachovat tvrzení., musíme od začátku předpokádat, ( že A) je symetrická matice. ( ) a b b Nechť tedy A = je symetrická matice. Utvořme pro vektor b = b c b kvadratickou formu x ( b F (x, x ) = (Ax, x) (b, x) = ax + bx x + cx b x b x. Snadno ověříme,že soustava rovnic Ax = b je totéž jako F x = ax + bx b =, b b ) F x = bx + cx b =,

3. SYMETRICKÉ A POZITIVNĚ DEFINITNÍ MATICE 9 Tedy vektor y R jeřešením rovnice Ax = b právě když je stacionárním bodem kvadratické funkce F (x) = (Ax, x) (b, x). Na to, abychom zaručii, že existuje nějaký stacionární bod, stačí vědět např.,že F (x) má minimum (maximum, sedový bod). Za chvíi si ukážeme, že pokud A je pozitivně definitní matice, pak F (x) má pro každé b R jednoznačně určené minimum. Pokud by A bya negativně definitní matice, pak F (x) má pro každé b R jednoznačně určené maximum, ae to je totéž jako pro pozitivně definitní matice, protože matice A je pozitivně definitní, pokud A je negativně definitní. Stačí nám tedy vědět něco o pozitivně definitních maticích. Poznamenejme, že zde zcea pomineme mimochodem vemi zajímavý, případ indefinitní matice. Nyní si zformuujme dvě kíčové věty, ovšem již pro matice typu n n. Věta.3. Byď A symetrická pozitivně definitní matice a b Rn. Poožme F (x) = (Ax, x) (b, x). Pak Ay = b F (y) = min{f (x); x R n }. Důkaz. Dokažme nejprve impikaci Ay = b F (y) = min{f (x); x R n }. Nechť tedy Ay = b. Vome x R n ibovoné. Pak F (x) = (Ax, x) (b, x) = (A(x y), x y) + (Ax, y) + (Ay, x) (Ay, y) (b, x) = symetrie = (A(x y), x y) + (Ay, x) (Ay, y) (b, x) = použijemeay=b = (A(x y), x y) (Ay, y) = (A(x y), x y) + (Ay, y) (Ay, y) = použijemeay=b pozitivní definitnosta = (A(x y), x y) + (Ay, y) (b, y) c x y + (Ay, y) (b, y) = c x y + F (y) F (y). Dokažme opačnou impikaci F (y) = min{f (x); x R n } Ay = b. Předpokádejme, že y je takové, že F (y) F (x) pro každé x R n. Označíme-i h = x y, máme (.4) Pak můžeme psát F (y + h) F (y) pro každé h R n. (A(y + h), y + h) (b, y + h) (Ay, y) (b, y) (A(y + h), y + h) (b, y + h) (Ay, y) + (b, y) (Ay, h) + (Ah, h) (b, h) (Ay, h) (b, h) (Ah, h) (Ay b, h) (Ah, h). Pišme na moment v posední nerovnosti h místo h a dostaneme což dává pro každé h R n (Ay b, h) (A) h), h) (Ay b, h) (Ah, h) (Ah, h) (Ay b, h) (Ah, h). Pišme v posední nerovnosti th místo h a dostaneme pro každé h R n a pro každé t R t (Ah, h) t(ay b, h) t (Ah, h).

. HLUBŠÍ STUDIUM MATIC Z toho pyne, že pro každé h R n a pro každé t R je t(ah, h) (Ay b, h) t(ah, h). Limitním přechodem t získáme pro každé h R n vztah Díky větě.4 máme což jsme chtěi. (Ay b, h) =. Ay b = Věta.4. Buď A symetrická pozitivně definitní matice a b Rn. Poožme F (x) = (Ax, x) (b, x). Pak existuje jednoznačne určené y R n takové, že F (y) = min{f (x); x R n }. Důkaz. Poožme a = inf{f (x); x R n }. Zřejmě patí F (x) = (Ax, x) (b, x) A je pozitivně definitní c x (b, x) ( Cauchyova nerovnost c x b x = c x b ) c c b c b a tedy a R (není ). Počítejme pro x, y ( x + y ) F (x) + F (y) F ( ( x + y ) A, x + y = (Ax, x) + (Ay, y) (A(x + y), x + y) = (Ax, x) + (Ay, y) (b, x + y) ) ( + 4 b, x + y ) = (Ax, x) + (Ay, y) (Ax, x) (Ay, y) (Ax, y) = ( ) (Ax, x) (Ax, y) + (Ay, y) = (A(x y), x y). Nechť posoupnost vektorů sňuje F (x n ) a. Pak c x n x m A je pozitivně definitní (A(x n x m ), x n x m ) ( xn + x ) m = F (x n ) + F (x m ) F F (x n ) + F (x m ) a. Protože F (x n ) a, F (x m ) a, patí F (x n )+F (x m ) a a tedy x n y n. To znamená, že posoupnost x n je Cauchyovská a protože R n je úpný, existuje y = im n x n. Protože F je spojitá funkce n proměnných, máme F (y) = a a tedy F (y) = inf{f (x); x R n } (= min{f (x); x R n } ) neboť minima se nabývá pro y. Nyní ukážeme jednoznačnost y. Nechť z spňuje z = min{f (x); x R n }. Pak F (z) = F (y) a z y ( z + y ) (A(z y), z y) = F (z) + F (y) F a a a tedy z = y.

3. SYMETRICKÉ A POZITIVNĚ DEFINITNÍ MATICE

KAPITOLA Lebesgueův integrá v R N. Lebesgueova míra v R Je cekem přirozené, že déka intervau (a, b) je b a. Asi se shodneme na tom, že déka množiny, která obsahuje jeden bod, je. Ae jaká je déka ibovoné podmnožiny R. A jde to vůbec uděat rozumně? Snaha je připsat déku co nejširší třídě množin tak, aby to byo rozumné. Déku (míru) budeme značit m a tedy m(a) je míra množiny A. Jak jsem již řeki, je m((a, b)) = b a. Nechť množina A = n i= (a i, b i ) (sjednocení konečně mnoha intervaů), kde intervay (a i, b i ) jsou po dvou disjunktní. Potom je jasné, že m(a) = n i= (b i a i ). Ae skutečně podstatná je násedující vastnost. Nechť A = (a i, b i ) i= (sjednocení nekonečně mnoha intervaů), kde intervay (a i, b i ) jsou po dvou disjunktní. Pak definujme m(a) = (b i a i ). i= Definice.. Říkáme, že G R je otevřená, pokud pro každé x G existuje δ > tak, že (x δ, x + δ) G. Věta.. Buď G otevřená množina v R. Pak existuje konečný či nekonečný počet α disjunktních intervaů (a i, b i ), i =,,..., α tak, že α G = (a i, b i ). i= Takže m(g) = α i= (b i a i ) a my umíme změřit déku ibovoné otevřené množiny. Definice.3. Říkáme, že F R je uzavřená, pokud R \ F je otevřená. Umíme tedy změřit déku ibovoné uzavřené omezené množiny. Víme totiž že F ( K, K) pro dostatečně veké K a je cekem přirozené, že m(f ) = m( K, K) m(( K, K) \ F ). Podotkněme, že ( K, K) \ F je oteřená množina a tedy umíme změřit její déku. Naučii jsme se tedy změřit déku otevřené a omezené uzavřené množiny. a Definice.4. Buď A R ibovoná. Definujme m (A) = inf{m(g); A G a G je otevřená} m (A) = sup{m(f ); F A a F je omezená uzavřená}. 3

4. LEBESGUEŮV INTEGRÁL V RN Definice.5. Buď A R ibovoná omezená. Ríkáme, že A je (Lebesgueovsky) měřitená, pokud m (A) = m (A). a definujeme m(a) = m (A). Věta.6. Existuje M (, ) taková, že = m (M) < m (M) =. Důkaz. Toto tedy vynecháme, neboť to není dostupné. Předchozí věta vastně říká, že existuje neměřitená množina. Definice.7. Buď A R ibovoná. Ríkáme, že A je (Lebesgueovsky) měřitená, pokud A I je (Lebesgueovsky) měřitená pro každý omezený interva. Pak definujeme m(a) = m (A). Věta.8. Nechť A, B, A n R jsou měřitené množiny. Pak (i) A n a A n jsou měřitené; (ii) A \ B je měřitená; (iii) je měřitená; (iv) R je měřitená. Pak Věta.9. Nechť A B jsou měřitené množiny, m(b) <. Pak m(b \ A) = m(b) m(a). Věta.. Nechť A n jsou po dvou disjunktní měřitené množiny. Pak ( ) m A n = m(a n ). Věta.. Nechť A A A 3... jsou měřitené množiny, A = m(a) = im n m(a n).. Lebesgueova míra v R N Konstrukce je skoro stejná jako v případě R, jenom míra otevřených množin se musí uděat opatrněji. Definice.. Obdéníkem v R N nazveme každou množinu [a, b ] [a, b ] [a n, b n ]. Dva obdéníky O, O nazveme skoro disjunktními, pokud se dotknou maximáně nějakou stěnou, tj. O, O neobsahuje žádnou otevřenou množinu. Množinu P nazveme poyedrem, pokud existuje konečně mnoho vzájemně po dvou skoro disjunktních obdéníků O, O,..., O n takových, že n P = O j. je j= Je cekem přirozené, že míra M(O) obdéníku O = [a, b ] [a, b ] [a n, b n ] m(o) = (b a )(b a )... (b n a n ). A n.

a míra poyedru P = n j= O j je. LEBESGUEOVA MÍRA V RN 5 m(p ) = n m(o j ). j= Definice.3. Nechť G R N je otevřená. Definujme m(g) = sup{m(p ); P G, P poyedr}. Snaha je opět připsat míru co nejširší třídě množin tak, aby to byo rozumné. Definice.4. Říkáme, že F R N je uzavřená, pokud R \ F je otevřená. Umíme tedy změřit déku ibovoné uzavřené omezené množiny. Víme totiž že F ( K, K) n pro dostatečně veké K a je cekem přirozené, že m(f ) = m ( ( K, K) n) m(( K, K)\F ). Podotkněme, že ( K, K) n \F je oteřená množina a tedy umíme změřit její déku. Naučii jsme se tedy změřit déku otevřené a omezené uzavřené množiny. a Definice.5. Buď A RN ibovoná. Definujme m (A) = inf{m(g); A G a G je otevřená} m (A) = sup{m(f ); F A a F je omezená uzavřená}. Definice.6. Buď A RN ibovoná omezená. Ríkáme, že A je (Lebesgueovsky) měřitená, pokud m (A) = m (A). a definujeme m(a) = m (A). Definice.7. Buď A RN ibovoná. Ríkáme, že A je (Lebesgueovsky) měřitená, pokud A I je (Lebesgueovsky) měřitená pro každý obdéník. Pak definujeme m(a) = m (A). Věta.8. Nechť A, B, A n R N jsou měřitené množiny. Pak (i) A n a A n jsou měřitené; (ii) A \ B je měřitená; (iii) je měřitená; (iv) R N je měřitená. Pak Věta.9. Nechť A B jsou měřitené množiny, m(b) <. Pak m(b \ A) = m(b) m(a). Věta.. Nechť A n jsou po dvou disjunktní měřitené množiny. Pak ( ) m A n = m(a n ). Věta.. Nechť A A A 3... jsou měřitené množiny, A = m(a) = im n m(a n). A n.

6. LEBESGUEŮV INTEGRÁL V RN 3. Lebesgueův integrá v R N Definice.. Buď M RN. Definujme charakteristickou funkci χ M množiny M předpisem { pokud x M χ M (x) = pokud x / M. Definice.3. Buď f : RN [, ]. Říkáme, že f je měřitená funkce, pokud je množina {x R N ; f(x) > a} měřitená pro každé reáné a. Definice.4. Buď f : RN [, ]. Říkáme, že f je jednoduchá funkce, pokud má konečně mnoho hodnot, tj. existuje konečně mnoho množin M, M,..., M n po dvou disjunktních a číse a, a,..., a n tak, že n f(x) = a j χ Mj (x). j= Definice.5. Buď f : RN [, ] jednoduchá, n f(x) = a j χ Mj (x). Pak f je měřitená právě tehdy, pokud M j jsou měřitené pro všechna j. j= Věta.6. Buď f, g : RN [, ] měřitené, pak Pak f ± g, fg, f/g, max(f, g), min(f, g) a f α jsou měřitené. Věta.7. Buď f n : R N [, ] měřitené a f(x) = im n f n (x). Pak f je měřitená. Věta.8. Buď f : RN [, ] měřitená a buď H = {[x, y]; x Rn y f(x)}. Pak H je měřitená množina v R n+. Vybudujeme nyní integrá, nejprve pro nezáporné funkce. Definice.9. Buď f : RN [, ] jednoduchá měřitená, f(x) = n j= a jχ Mj (x). Definujme n f(x)dx = a j m(m j ). R N Definice.3. Buď f : RN [, ] měřitená. Definujme { } f(x)dx = sup g(x)dx; g je jednoduchá nezáporná měřitená. R N R N j= Věta.3. Buď f : RN [, ] měřitená. Pak existuje posoupnost jednoduchých měřitených nezáporných funkcí f n takových, že pro každé x je Navíc, f (x) f (x) f 3 (x)..., im f n(x) = f(x). n f(x)dx = im f n (x)dx R N n R N

3. LEBESGUEŮV INTEGRÁL V RN 7 Definice.3. Buď f : RN [, ] měřitená a M R n měřitená. Definujme f(x)dx = M f(x) M (x)dx. R N Věta.33. Buď f : M RN [, ] měřitená a H = {[x, y]; x R n y f(x)}. Pak f(x)dx = m(h). Navíc M M dx = m(m). Nyní zavedeme Lebesgueův integrá pro funkce, které mohou mít i záporné hodnoty. Nechť f : M R N [, ]. Označme Zřejmě je f +, f a Navíc je f = f + + f. f + (x) = max(f(x), ), f (x) = min(f(x), ). f = f + f. Definice.34. Buď f : M RN [, ] měřitená. Definujme f(x)dx = f + (x)dx f (x)dx M M pokud výraz vpravo má smys, tj. není to neurčitý výraz. Věta.35. Buď f : M RN [, ] omezená a M buď obast po částech hadká. Nechť existuje Riemannův integrá (R) f(x)dx. Pak f je měřitená a existuje Lebesgueův integrá f(x)dx. Navíc M dx = (R) f(x)dx. M M M M

KAPITOLA 3 Prostory funkcí. Prostory se skaárním součinem a Hibertovy prostory Definice 3.. Buď V vektorový prostor a (.,.) : V V R zobrazení. Pak toto zobrazení nazýváme skaárním součinem, pokud spňuje (i) (x, y) = (y, x); (ii) (x + y, z) = (x, z) + (y, z); (iii) (ax, y) = a(x, y); (iv) (x, x) a (x, x) = jenom pro x =. Věta 3.. Buď V vektorový prostor a (.,.) : V V R skaární součin. Poožme Pak (i) x + y x + y ; (ii) ax = a x ; (iii) x, x = x =. Výraz x nazýváme normou x. x = (x, x). Definice 3.3. Buď V vektorový prostor a (.,.) : V V R skaární součin a x = (x, x). Říkáme, že posoupnost x n ja Cauchyovská, pokud ε > n n, m ( n > n m > n = x n x m < ε ). Definice 3.4. Buď V vektorový prostor a (.,.) : V V R skaární součin. Říkáme, V je úpný prostor, pokud každá Cauchyovská posoupnost x n má ve V imitu, tj. existuje x V tak, že im n x n = x. Každý úpný prostor se skaárním součinem nazýváme Hibertovým prostorem.. Lebesgueův prostor L (M) Nechť M R n je měřitená množina. Definujme { } L (M) = f; f (x)dx <. Věta 3.5. Poož (f, g) = M M f(x)g(x)dx. Pak (f, g) je zobrazení z L (M) L (M) R, které spňuje vastnosti (i), (ii), (iii) z definice 3., ae nespňuje (iv). 9

3. PROSTORY FUNKCÍ Důkaz. Vastnosti (i), (ii), (iii) jsou snadné. Připomeňme, že nuový prvek v L (M) je nuová funkce. Vezmeme nyní např. Derichetovu funkci definovanou { pokud x Q f(x) = pokud x / R \ Q. Protože m(q) =, je R f (x)dx = přestože f není identicky rovna nuové funkci. Definice 3.6. Řekneme, že dvě funkce f, g jsou ekvivaentní, pokud existuje množina M nuové míry taková, že f(x) = g(x) pro x / M. Tato definice nám definovaa rozkad L (M) na jednotivé podmnožiny (třídy ekvivaence) takový, že ibovoné dvě funkce v nějaké podmnožině jsou ekvivaentní. Definice 3.7. Definujme prostor L (M) jakožto množinu všech tříd ekvivaence. Čii prvkem L (M) je třída ekvivaentních funkcí. Z každé třídy ze vybrat reprezentanta f. Označme pak tuto třídu [f]. Je jasné, že pokud f(x) = g(x) s vyjímkou množiny nuové míry, je [f] = [g]. Definice 3.8. Definujme nyní ( ([f], [g]) = f(x)g(x)dx a [f] = M M f (x)dx) /. Tato definice nezávisí na výběru f, g a spňuje vastnosti (i), (ii), (iii) z definice 3.. Navíc nám odpada potíž s vastností (iv) a patí tedy věta: Věta 3.9. L (M) je prostor se skaárním součinem. Násedující věta je huboká, její důkaz se opírá o větu.3. Věta 3.. L (M) je Hibertův prostor (tj. úpný se skaárním součinem). 3. Sabé derivace funkce Definice 3.. Označme symboem C (, ) množinu všech funkcí ϕ(x) definovaných na [, ] s vastnostmi existuje ϕ (x)v každém bodě x (, ); funkce x ϕ (x)je spojitá ; existuje δ > takové, že ϕ(x) = v intervaech [, δ] a [ δ, ]. Věta 3.. Nechť f L (, ) a nechť patí pro každou ϕ C (, ) f(x)ϕ(x)dx =. Pak f(x) = skoro všude (tj. f(x) = s vyjímkou množiny nuové míry).

3. SLABÉ DERIVACE FUNKCE Důkaz. Jen náznak. Předpokádejme, že f je spojitá a fixujme bod x (, ). Buď ε > a zvome ϕ ε(x) takto v intervau (, x ε); ϕ ε (x) = ε + ε (x x ) v intervau (x ε, x ); ε ε (x x ) v intervau (x, x + ε); v intervau (x + ε, ); Funkce ϕ ε (x) je spojitá po částech ineární a ϕ ε(x)dx =. Bohuže nemá spojitou prví derivaci a ϕ ε(x) dekonce není definovaná v bodech x ε, x, x + ε. Ae tak si ji v těchto bodech zhadíme tak, aby integrá by pořád a aby zhazená funkce bya nenuová pouze v intervau (x ε, x + ε). (Takové zhazení se sice ehce namauje, ae ve skutečnosti to je huboká věc! ) Pode předpokadu víme, že f(x)ϕ ε (x)dx = pro každé ε >. Protože f(x) je spojitá, její hodnota se na intervau (x ε, x +ε) příiš nezmění, pokud ε je maé. Lze tedy psát f(x) =. f(x ) v (x ε, x + ε) pro maá ε. Potom je tedy = f(x)ϕ ε (x)dx. = f(x ) ϕ ε (x)dx = f(x ). = f(x ). Tedy f(x ) = v každém bodě x a f je nuová. Nyní by se muse tento postup precizovat i pro měřitené funkce, nejen pro spojité. To je daší netriviání krok a opírá se např. o tzv. Luzinovu větu. Buď nyní f(x) diferencovatená funkce definovaná na intervau (, ). Pak pro každou ϕ C(, ) patí f (x)ϕ(x)dx = [ f(x)ϕ(x) ] f(x)ϕ (x)dx = f(x)ϕ (x)dx. To nám s předchozí větou umožní definovat derivaci pomocí integráu. Předpokádejme že f(x) je daná diferencovatená funkce a g(x) je někjaká funkce (vůbec nepředpokádáme, že je to derivace f), pro kterou patí (3.) g(x)ϕ(x)dx = Užitím per-partes a jednoduché úpravy máme a násedně f(x)ϕ (x)dx pro všechny ϕ C (, ). f(x)ϕ (x)dx = f (x)ϕ(x)dx (g(x) f (x))ϕ(x)dx =. Díky předchozí větě je nutně g(x) f (x) = v (, ) a tedy g je derivace f. Integrání vztah (3.) ae nepotřebuje, aby f měa derivaci. Stačí, aby bya měřitená. To nám umožňuje definovat derivaci funkcí z L (, ).

3. PROSTORY FUNKCÍ Definice 3.3. Nechť f L (, ). Říkáme, že g je sabá derivace f, pokud patí pro všechny ϕ C (, ). g(x)ϕ(x)dx = f(x)ϕ (x)dx Tatop definice má ještě jednu nevýhodu. Jak bychom definovai f? Přísušná integrání identita by měa tvar g(x)ϕ(x)dx = f(x)ϕ (x)dx a patia by pro všechny ϕ C (, ). Oproti předchozí definici požadujeme vyšší hadkost ϕ. Pro f bychom chtěi ϕ C 3 (, ) atd. Abychom tomu dai jednotný rámec, zavedeme jednotný prostor testovacích funkcí. Definice 3.4. Označme symboem C (, ) množinu všech funkcí ϕ(x) definovaných na [, ] s vastnostmi existuje ϕ (k) (x)v každém bodě x (, ) pro každé k N; existuje δ > takové, že ϕ(x) = v intervaech [, δ] a [ δ, ]. Násedně patí, že funkce x ϕ (k) (x) jsou spojité v každém bodě x (, ) a pro každé mutiindex k N. Definice 3.5. Nechť f je měřitená. Říkáme, že g je sabá derivace f (popř. sabá derivace f řádu k), pokud patí pro všechny ϕ C (, ), popř. pro všechny ϕ C (, ). g(x)ϕ(x)dx = f(x)ϕ (x)dx g(x)ϕ(x)dx = ( ) k f(x)ϕ (k) (x)dx Věta 3.6. Nechť f má spojitou derivaci f (k) a nechť g je sabá derivace řádu k, tj. patí g(x)ϕ(x)dx = ( ) k f(x)ϕ (k) (x)dx pro všechny ϕ C (, ). Pak g(x) = f (k) (x) pro skoro všechna x. Důkaz. Jenom upozornění. Tato věta je poněkud obtížnější, neboť máme méně testovacích funkcí a přesto je nutné, aby patia anaogie věty 3. pro ϕ C (, ) (ne tedy jen pro ϕ C(, )). Nyní si zavedeme pojem sabých parciáních derivací. Buď dána otevřená množina R N. Buď M. Uzávěrem M množiny M nazýváme průnik všech uzavřených množin F, M F. Je to tedy nejmenší uzavřená množina obsahující M. Omezenou uzavřenou množinu nazýváme kompaktní. Označme ještě pro ϕ : R suppϕ = {x ; f(x) }

4. SOBOLEVOVY PROSTORY 3 Protože v daším budeme potřebovat parciání derivace vyšších řádů, přijmeme toto značení. Nechť α = (k, k,..., k N ), k, k,..., k N N, je tzv. mutiindex a k = k + k + + k N. Pak D α k ϕ(x) ϕ(x) = x k xk.... xk N N Číso k je řád mutiindexu α a budeme ho značit α. Označme M množinu všech mutiindexů. Definice 3.7. Buď RN otevřená množina. Symboem C () označme množinu funkcí ϕ : R spňující existuje D α ϕ(x) v každém bodě x a pro každý mutiindex α M suppϕ je kompaktní podmnožina v. Násedně patí, že funkce x D α ϕ(x) jsou spojité v každém bodě x a pro každý mutiindex α M. Definice 3.8. Buď RN otevřená množina. Nechť f : R je měřitená. Říkáme, že g : R je sabá derivace f pode mutiindexu α, pokud f(x)d α ϕ(x)dx = ( ) α g(x)ϕ(x)dx pro všechny ϕ C (). Můžeme psát g = D α wf. Věta 3.9. Buď RN otevřená množina. Nechť f : R a nechť f má kasickou derivaci D α f pro nějaké α M. Pak f má sabou derivaci D α wf a patí pro skoro všechna x. D α f(x) = D α wf(x) 4. Soboevovy prostory Dáe budeme psát D α f(x) místo D α wf(x) a všechny derivace budeme chápat sabě. Definice 3.. Definujme Soboevův prostor W, (, ) jako množinu funkcí f L (, ), které mají sabou derivaci f a navíc f L (, ). Skaární součin ve W, (, ) je definován vztahem (f, g) W, (,) = ( f(x)g(x) + f (x)g (x) ) dx. Ze skaárního součinu můžeme definovat normu ( ( f W, (,) = f (x) + f (x) ) dx ) /. Nyní tuto definici zobecníme jednak do R N a jednak pro vyšší derivace. Nejprve pro první derivace. Definice 3.. Buď RN otevřená množina. Definujme Soboevův prostor W, () jako množinu funkcí f L (), které mají sabé parciání derivace f x i,

4 3. PROSTORY FUNKCÍ i =,,..., N a navíc f x i L (, ). Skaární součin ve W, () je definován vztahem [ N f(x) g(x) ] (f, g) W, () = f(x)g(x) + dx. x i x i Ze skaárního součinu můžeme definovat normu ( [ N ( f(x) ) ] /. f W, () = f (x) + dx) x i Nyní v pné obecnosti. Definice 3.. Buď RN otevřená množina. Definujme Soboevův prostor W k, () jako množinu funkcí f L (), které mají sabé parciání derivace D α f, α k a navíc D α f L (, ). Skaární součin ve W k, () je definován vztahem (f, g) W k, () = (f(x)g(x) + ) D α f(x)d α g(x) dx. i= i= α k Ze skaárního součinu můžeme definovat normu ( f W k, () = [f (x) + (D α f(x)) ] /. dx) α k Věta 3.3. Prostor W k, () je Hibertův prostor. Poznamenejme, že v předchozí větě je nejzajímavější vastnost úpnost. Ta souvisí s úpností prostoru L () a proto uvažujeme všechny integráy Lebesgueovy a všechny derivace sabé. Definujme si ještě Soboevovy prostory s nuou na hranici, ae jen pro první derivaci. Definice 3.4. Buď RN otevřená množina. Definujme Soboevův prostor W, () jako uzávěr množiny C () v prostoru W, (). Předchozí definici chápeme takto: Pokud f W, (), pak f W, () a navíc f(x) = pro x. Musíme si ovšem uvědomit, že pojem f(x) = je značně nepřesný, protože např. pro kruh = {x R ; x } je = {x R ; x = } (tj. kružnice) míry nua a tudíž pokud funkci f W, () změníme právě na, jedná se vastně o stejnou funkci, protože jsme ji změnii na nuové množině. A přesto chceme vědět, co jsou funkce s nuovou hodnotou právě na.

KAPITOLA 4 Eementy funkcionání anaýzy. Lineární a biineární formy na Hibertových prostorech Definice 4.. Nechť H je Hibertův prostor a b : H R zobrazení. Říkáme, že b patří do duáu H, značíme b H, pokud (i) b(x + y) = b(x) + b(y) pro každé x, y H; (ii) b(αx) = αb(x) pro každé α R a x H; (iii) existuje konstanta B > tak, že b(x) B x pro všechna x H. Definice 4.. Zobrazení A(.,.) : H H R se nazývá symetrická biineární forma, pokud (i) (Ax, y) = (Ay, x) pro každé x, y H; (ii) (A(x + y), z) = (Ax, z) + (Ay, z) pro každé x, y, z H; (iii) (Aαx, y) = α(ax, y) pro každé α R a x, y H; (iv) existuje konstanta C > tak, že (Ax, y) C x y pro všechna x, y H. Lemma 4.3. Buď A(.,.) : H H R symetrická biineární forma a b H. Poožme F (x) = (Ax, x) b(x). Pak F : H H je spojitá, tj. x n x v H, pak F (x n ) F (x) v H. Důkaz. Nechť x n x. Pak x n x a víme. že konvergentní posoupnost reáných číse je omezená. Existuje tedy D > takové, že x n x D pro všechna n. Z toho máme (4.) x n = x n x + x x n x + x D + x := L. Dokažme spojitost A. Snadno máme (Ax n, x n ) (Ax, x) = (A(x n x), x n ) + (Ax, x n ) (Ax, x) = (A(x n x), x n ) + (A(x, x n x) (A(x n x), x n ) + (A(x, x n x) K x n x x n + K x x n x (KL + K x ) x n x. Jeikož x n x, nutně (Ax n, x n ) (Ax, x). Protože b H, je zobrazení x (b, x) spojité a tedy F (x) je spojité jakožto rozdí dvou spojitých zobrazení. Definice 4.4. Symetrická biineární forma A(.,.) : H H R se nazývá pozitivně definitní (či eiptický), pokud (v) existuje konstanta c > tak, že (Ax, x) C x pro všechna x H (pozitivní definitnost). 5

6 4. ELEMENTY FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY. Kvadratické funkcionáy na Hibertových prostorech a existence minima Věta 4.5. Buď A(.,.) : H H R symetrická pozitivně definitní biineární forma a b H. Poožme F (x) = (Ax, x) b(x). Pak násedující podmínky jsou ekvivaentní: (i) (Ay, x) = b(x) pro každé x H; (ii) F (y) = min{f (x); x H}. Důkaz. Dokažme nejprve impikaci (Ay, x) = b(x) pro každé x H F (y) = min{f (x); x H}. Nechť tedy (Ay, x) = b(x) pro každé x H. Vome x H ibovoné. Pak F (x) = (Ax, x) b(x) = (A(x y), x y) + (Ax, y) + (Ay, x) (Ay, y) b(x) = symetrie použijeme (Ax,y)=(x,Ay) = (A(x y), x y) + (Ay, x) (Ay, y) b(x) = = (A(x y), x y) (Ay, y) = (A(x y), x y) + (Ay, y) (Ay, y) = použijeme (Ax,y)=(x,Ay) pozitivní definitnosta = (A(x y), x y) + (Ay, y) (b, y) c x y + (Ay, y) (b, y) = c x y + F (y) F (y). Dokažme opačnou impikaci F (y) = min{f (x); x H} (Ax, y) = (x, Ay) pro každé x H. Předpokádejme, že y je takové, že F (y) F (x) pro každé x H. Označíme-i h = x y, máme (4.) Pak můžeme psát F (y + h) F (y) pro každé h H. (A(y + h), y + h) b(y + h) (Ay, y) b(y) (A(y + h), y + h) b(y + h) (Ay, y) + b(y) (Ay, h) + (Ah, h) b(h) (Ay, h) b(h) (Ah, h) (Ay, h) b(h) (Ah, h). Pišme na moment v posední nerovnosti h místo h a dostaneme což dává pro každé h H (Ay, h) b( h) ( Ah, h) (Ay, h) b(h) (Ah, h) (Ah, h) (Ay, h) b(h) (Ah, h). Pišme v posední nerovnosti tx místo h a dostaneme pro každé x H a pro každé t R t (Ax, x) t ( (Ay, x) b(x) ) t (Ax, x). Z toho pyne, že pro každé h H a pro každé t R je t(ax, x) (Ay, x) b(x) t(ax, x).

. KVADRATICKÉ FUNKCIONÁLY NA HILBERTOVÝCH PROSTORECH A EXISTENCE MINIMA 7 Limitním přechodem t získáme pro každé x H vztah což jsme chtěi. (Ay, x) b(x) =, Věta 4.6. Buď A(.,.) : H H R symetrická pozitivně definitní biineární forma a b H. Poožme F (x) = (Ax, x) b(x). Pak existuje jednoznačně určené y H takové, že F (y) = min{f (x); x H}. Důkaz. Poožme a = inf{f (x); x H}. Zřejmě patí F (x) = (Ax, x) b(x) A je pozitivně definitní c x b(x) ( Cauchyova nerovnost c x b x = c x b ) c c b c b a tedy a R (není ). Počítejme pro x, y ( x + y ) F (x) + F (y) F ( ( x + y ) A, x + y = (Ax, x) + (Ay, y) (A(x + y), x + y) = (Ax, x) + (Ay, y) b(x + y) ) ( x + y ) + 4b = (Ax, x) + (Ay, y) (Ax, x) (Ay, y) (Ax, y) = ( ) (Ax, x) (Ax, y) + (Ay, y) = (A(x y), x y). Nechť posoupnost vektorů sňuje F (x n ) a. Pak c x n y n A je pozitivně definitní (A(x n x m ), x n x m ) ( xn + x ) m = F (x n ) + F (x m ) F F (x n ) + F (x m ) a. Protože F (x n ) a, F (x m ) a, patí F (x n )+F (x m ) a a tedy x n y n. To znamená, že posoupnost x n je Cauchyovská aprotože H je úpný, existuje y = im n x n. Protože F je pode emmatu 4.3 spojitá funkce na H, máme F (y) = a a tedy F (y) = inf{f (x); x H} (= min{f (x); x H} ) neboť minima se nabývá pro y. Nyní ukážeme jednoznačnost y. Nechť z spňuje z = min{f (x); x H}. Pak F (z) = F (y) a c z y ( z + y ) (A(z y), z y) = F (z) + F (y) F a a a tedy z = y.

KAPITOLA 5 Rovnice nosníku Maé prohnutí vodorovného nosníku zatíženého siou f(x) a stačeného siou F je dán rovnicí EIy = F y + x (x t)f(t)dt, kde E je Youngův modu pružnosti materiáu a I moment setrvačnosti průřezu. Dvojnásobným derivováním máme EIy = F y + f(x). 9

KAPITOLA 6 Apikace na obyčejné diferenciání rovnice. Úvod Z teorie rovnice nosníku máme rovnici (6.) u + λu = g(x) s okrajovými podmínkami (6.) u() = u() =. řešení budeme chápat ve sabém smysu.. Případ λ > Definice 6.. Nechť g L (, ). Funkci u W, (, ) nazveme sabým řešením probému (6.) a (6.), pokud pro každou funkci v W, (, ) patí ( (6.3) u (x)v (x) + λu(x)v(x) ) dx = g(x)v(x)dx. Věta 6.. Nechť λ >. Potom zobrazení A(u, v) : W, (, ) W, (, ) R definované předpisem A(u, v) = ( u (x)v (x) + λu(x)v(x) ) dx je symetrická pozitivně definitní biineární forma. Důkaz. Ověříme postupně patnost (i), (ii), (iii) a (iv) z definice (4.) a potom (v) z definice (4.4). Vastnost (i). Vastnost (ii). (Au, v) = = (A(u + v), w) = = = ( u (x)v (x) + λu(x)v(x) ) dx ( v (x)u (x) + λv(x)u(x) ) dx = (Av, u) ( (u (x) + v (x))w (x) + λ(u(x) + v(x))w(x) ) dx ( u (x)w (x) + v (x)w (x) + λu(x)w(x) + λv(x)w(x) ) dx ( u (x)w (x) + λu(x)w(x) ) ( dx + v (x)w (x) + λv(x)w(x) ) dx = (Au, w) + (Av, w) 3

3 6. APLIKACE NA OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Vastnost (iii). (Aαu, v) = = α ( αu (x)v (x) + λαu(x)v(x) ) dx ( u (x)v (x) + λu(x)v(x) ) dx = α(au, v) Vastnost (iv). ( (Au, v) = u (x)v (x) + λu(x)v(x) ) dx u (x)v (x) dx + λ Schwarzova nerovnost u(x)v(x) dx ( ) / ( ) / ( ) / ( u (x)dx v (x)dx + λ u (x)dx ( ) / ( u (x) + u (x) dx v (x) + v (x) dx ( ) / ( + λ u (x) + u (x) dx ) / ) / v (x) + v (x) dx ( ) / ( ( + λ) u (x) + u (x) dx v (x) + v (x) dx = ( + λ) u W, (,) v W, (,). Vastnost (v) z definice (4.4). (Au, u) = min(, λ) Tím je důkaz hotov. u (x) + λu (x) dx ) / u (x) + u (x) dx = min(, λ) u W, (,). ) / v (x)dx Věta 6.3. Nechť g L (, ). Potom zobrazení b(v) : W, (, ) R definované předpisem b(v) = g(x)v(x)dx. Potom A(.,.) : W, (, ) W, (, ) R je prvek (W, (, )). Důkaz. Vastnost (i) z definice (4.): b(u + v) = g(x)u(x)dx + Vastnost (ii) z definice (4.): b(αv) = g(x)(u(x) + v(x))dx = g(x)(αu(x))dx = α g(x)v(x)dx = b(u) + b(v). g(x)u(x)dx = αb(u).

3. PŘÍPAD λ = 33 Vastnost (iii) z definice (4.): b(v) = g(x)u(x)dx ( ) / ( g (x)dx Schwarzova nerovnost ) / u (x)dx ( ) / ( /. g (x)dx u (x) + u (x)dx) Protože g L (, ), je C := g (x)dx <. Navíc u (x) + u (x)dx = u a tedy b(v) C u W, (,) W, (,), což dokazuje (iii). Věta 6.4. Buď g L (, ) a λ >. Potom existuje jednoznačné sabé řešení probému (6.) a (6.). Důkaz. Sabé řešení definované (6.3) probému (6.) a (6.) ze přepsat takto: hedáme u W, (, ) tak, že (Au, v) = (g, v), v W, (, ). protože de věty 6. je (Au, v) symetrická pozitivně definitní biineární forma a de věty 6.3 je (g, v) prvkem ( W, (, ) ), existuje de vět 4.6 a 4.5 jedoznačné sabé řešení. 3. Případ λ = V případě λ = se nedá použít přímo věta 4.6, protože věta 6. nám nezaručuje, že biineární forma (Au, v) = u v je positivně definitní na W, (, ). Ae pokud se nám to podaří dokázat nějak jinak, pak máme opět existenci a jednoznačnost sabého řešení. Věta 6.6 ukazuje, že tomu tak skutečně je. Nejprve si ae dokážeme emma. a tedy Lemma 6.5. Pro všechna u W, (, ) patí Důkaz. Protože u() =, patí u(x) u() = ( x u (x) = ( x )( x dt u (x)dx u (x)dx. x ( ) = u (t)dt. u (t)dt u(x) = x ) u (t)dt Schwarzova nerovnost ) u (t)dt ( )( dt u (t)dt ) u (t)dt

34 6. APLIKACE NA OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Integrací máme u (x)dx ( u (t)dt )dx = u (t)dt = u (x)dx. Věta 6.6. Zobrazení A(u, v) : W, (, ) W, (, ) R definované předpisem A(u, v) = u (x)v (x)dx je symetrická pozitivně definitní biineární forma. Důkaz. Ověříme postupně patnost (i), (ii), (iii) a (iv) z definice (4.) a potom (v) z definice (4.4). Vastnosti (i), (ii) a (iii) se ověří anaogicky jako ve větě 6.. Vastnost (iv). (Au, v) = u (x)v (x)dx ( ) / ( u (x)dx v (x)dx ( ) / ( u (x) + u (x) dx u (x)v Schwarzova nerovnost (x) dx ) / ) / v (x) + v (x) dx = u W, (,) v W, (,). Vastnost (v) z definice (4.4). Díky emmatu 6.5 máme u (x)dx u (x)dx u (x)dx u (x)dx. Přičteme nyní u (x)dx a děíme +. Dostaneme ( ) + u (x)dx + u (x)dx u (x)dx a tedy (Au, u) = u (x) ( ) + u (x)dx + u (x)dx = + u W, Tím je důkaz hotov. (,). Věta 6.7. Buď g L (, ) a λ =. Potom existuje jednoznačné sabé řešení probému (6.) a (6.). Důkaz. Sabé řešení definované (6.3) probému (6.) a (6.) ze přepsat takto: hedáme u W, (, ) tak, že (Au, v) = (g, v), v W, (, ). protože de věty 6.6 je (Au, v) symetrická pozitivně definitní biineární forma a de věty 6.3 je (g, v) prvkem ( W, (, ) ), existuje de vět 4.6 a 4.5 jedoznačné sabé řešení.

4. PŘÍPAD λ < 35 4. Případ λ < V tomto případě naprosto ztrácíme pozitivní definitnost formy (Au, v) a předchozích vět neze použít. Zkoumejme tedy probém (6.) a (6.) kasickým přístupem. Nechť λ = ω < a řešme nejprve (6.4) u ω u =, u() = u() =. Charakteristická rovnice je λ ω = a tedy λ, = ±iω. Fundamentání sytém je cos ωx, sin ωx a obecné řešení je u(x) = c cos ωx + c sin ωx. počítejme nyní c a c z okrajových podmínek. Dosaďme x = a máme = c. Tedy u(x) = c sin ωx. Dosaďme x = a dostaneme Nechť sin ω = = u() = c sin ω. Je-i sin ω =, je ω = kπ pro nějaké přirozené k. Tedy ( kπ ). λ = ω = V takovém případě je ovšem řešením ibovoná funkce u(x) = c sin kπx, c R. Daný probém (6.4) má tedy nekonečně mnoho řešení. Nechť sin ω Je-i sin ω, je ω / {kπ, k N}. Tedy ( kπ ). λ ω = V takovém případě je ovšem řešením jediná funkce u(x) =. Daný probém (6.4) má tedy jediné řešení. Definice 6.8. Čísa λ k = ( ) kπ se nazývají vastní čísa probému (6.4) a funkce u k (x) = sin kπx se nazývají vastní funkce probému (6.4). Patí násedující věta. Věta 6.9. Nechť λ / { ( ) kπ, k N}. Pak existuje právě jedno řešení probému (6.4) a to je nuová funkce. Nechť λ = ( ) kπ pro nějaké k N. Pak existuje nekonečně mnoho řešení probému (6.4), množina P všech řešení tvoří vektorový prostor ve W, (, ) a P = {c sin kπx, c R}.

36 6. APLIKACE NA OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Zkoumejme nyní nehomogenní probém, tj. pro danou funkci f L (, ) naézt sabé řešení okrajového probému (6.5) u λu = f(x), u() = u() =. Patí násedující kíčová věta. Věta 6.. Buď f L (, ). (i) Nechť λ / { ( ) kπ, k N}. Pak existuje právě jedno řešení probému (6.5). (ii) Nechť λ = ( ) kπ pro nějaké k N. Pak. Pokud f(x) sin kπx dx, neexistuje žádné řešení.. Pokud f(x) sin kπx dx =, existuje nekonečně mnoho řešení probému (6.5), množina P všech řešení tvoří afinní (posunutý vektorový) prostor ve W, (, ) a P = {u (x) + c sin kπx, c R}, kde u (x) je ibovoné řešení probému (6.5). Důkaz. Jen náznak. Nechť existuje sabé řešení u(x) probému (6.5) s vastním čísem λ k = ( ) kπ. Předpokádejme, že toto řešení má dokonce spojité druhé derivace (to nastane, pokud f(x) je spojitá). Pak je toto řešení kasické a patí u (x) λ k u(x) = f(x), u() = u() = v každém bodě x (, ). Násobíme tuto rovnost vastní funkcí u k (x) = sin kπx, integrujeme od do a dostaneme ( u (x) λ k u(x))u k (x)dx = f(x)u k (x)dx. Užitím per partes (a vastností u() = u() =, u k () = u k () = ) máme = = u (x)u k (x)dx = [u (x)u k (x)] a dosazením máme = u (x)u k(x)dx = [u(x)u k(x)] + u(x)u k(x)dx ( u (x) λ k u(x))u k (x)dx = u(x)u k(x)dx λ k u(x)u k (x)dx = u (x)u k(x)dx u(x)u k(x)dx u (x)u k (x)dx λ k u(x)u k (x)dx u(x)( u k(x)dx λ k u k (x))dx,

4. PŘÍPAD λ < 37 tedy u(x)( u k(x)dx λ k u k (x))dx = f(x)u k (x)dx. Nyní využijeme té vastnosti, že vastní funkce u k (x) řeší probém (6.4) pro λ = λ k a tedy je u k(x)dx λ k u k (x) = což dává f(x)u k (x)dx =. Pokud má tedy úoha (6.5) řešení, je f(x)u k(x)dx =. A patí to i naopak. Ae to už nebudeme dokazovat.

KAPITOLA 7 Parciání diferenciání rovnice. Úvodní definice Definice 7.. Nechť M R ibovoná. Říkáme, že funkce f : M R spňuje Lipschitzovu podmínku, pokud existuje L taková, že pro ibovoné x, y M. f(x) f(y) L x y Věta 7.. Nechť f : (a, b) R je ipschitzovská. Pak existuje N (a, b) Lebesgueovy míry nua taková, že f (x) existuje pro všechna x (a, b) \ N. Důkaz. Toto je poměrně huboké tvrzení z teorie míry a důkaz vyžaduje znaost jistých pokrývacích vět. Proto ho nebudeme provádět. Definice 7.3. Nechť R otevřená množina. Říkáme, že je obast s Lipschitzovskou hranicí (píšeme C, ), pokud jsou spněny násedijící podmínky: (i) existuje konečný počet m kartézských systémů (x r, y r ), r =,,..., m, a stejný počet funkcí a r (.) definovných na intervaech r = [x r δ r ; x r + δ r ] tak, že pro ibovoný bod z existuje r m, které spňuje z = [x r, y r ], x r r, y r = a r (x r ), (ii) funkce a r jsou ipschitzovské na r, (iii) existuje β > takové, že pro všechna r můžeme množina spňuje B r = {[x r, y r ]; x r r, a r (x r ) β < y r < a r (x r ) + β} V r = B r = {[x r, y r ]; x r r, a r (x r ) β < y r < a r (x r )}, Γ r = B r = {[x r, y r ]; x r r, a r (x r ) = y r }, B r \ = {[x r, y r ]; x r r, a r (x r ) < y r < a r (x r ) + β}. Poznamenejme, že čtverec, obdéník, trojúheník, obecný n-úheník (jehož hrany se nepritínají uvnitř) jsou všechno obasti s ipschitzovskou hranicí. Násedující věta uvádí speciání část tzv. Greenovy věty. Je to vastně perpartes pro vícerozměrný integrá. 39

4 7. PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Věta 7.4 (Greenova věta). Buď C,. Nechť f, g jsou hadké funkce definované v obasti, f =, g = na hranici. Pak (7.) (7.) (7.3) f(x, y) g (x, y)dxdy = x f(x, y) g (x, y)dxdy = y f(x, y) g(x, y)dxdy = ( = ( f x (x, y) g x f (x, y)g(x, y)dxdy x f (x, y)g(x, y)dxdy y f(x, y) g(x, y)dxdy f g ) (x, y) + (x, y) y y (x, y) dxdy Samozřejmě by byo možné formuovat obecnější větu bez předpokadu f =, g = na hranici, ae pak tam vyskakuje (jako v jedné dimenzi) nějaký hraniční čen (něco jako... ) a my bychom ho musei definovat, což sice není nijak obtížné, ae dá to dost technické práce. ).. Rovnice u + λu = f s nuovou okrajovou podmínkou Je dána obast v rovině a reáné číso λ. Hedáme funkci, která spňuje (7.4) (7.5) u(x, y) + λu(x, y) := u(x, y) x u(x, y) y + λu(x, y) = f(x, y) u(x, y) =, (x, y). Sabá formuace probému. Vynásobíme (7.4) testovací funkcí v(x, y) takovou že v(x, y) = na a integrujeme přes. Užitím (7.3) dostaneme násedující sabou formuaci (7.4). Hedáme u W, () takovou, že (7.6) ( u(x, y) v(x, y) + λ u(x, y)v(x, y))dxdy = f(x, y)v(x, y)dxdy pro každou funkci v W, (). Označme v daším Případ λ >. H = W, (), (Au, v) = u v + λuv, (f, v) = fv. Věta 7.5. Biineární forma (Au, v) je symetrická pozitivně definitní na H.

. ROVNICE u + λu = f S NULOVOU OKRAJOVOU PODMÍNKOU 4 Důkaz. Symetrie je jasná. Dokažme omezenost. (Au, v) = u v + λuv u v + λ uv ( u ) /( v ) / ( + λ u ) /( v ) / ( u + u ) /( v + v ) / ( + λ u + u ) /( v + v ) / ( ( + λ) u + u ) /( v + v ) / = ( + λ) u H v H. Pozitivní definitnost. (Au, u) = u + λ u min(, λ) u + u = min(, λ) u H. Věta 7.6. Nechť f L (). Pak ineární zobrazení (f, v) je prvek H. Důkaz. Linearita je jasná. Dokažme omezenost. ( fv f ) /( v ) / ( f ) /( v + v ) / f L () u H. Násedující věta je snadný důsedek vět (7.5), (7.6), (4.6) a (4.5). Věta 7.7. Nechť f L () a λ >. Pak existuje právě jedno sabé řešení probému (7.7). Případ λ = - rovnice membrány. Je dána obast v rovině a membrána je připevněná k hranici. Na tuto membránu působí nějaká komá sía f(x, y). Jaký tvar zaujme membrána? Matematická formuace probému je násedující: membrána zaujímá tvar funkce u(x, y), která spňuje (7.7) u(x, y) := u(x, y) x + u(x, y) y = f(x, y), u(x, y) =, (x, y) což je úoha (7.5) a (7.4) pro λ =. Sabá formuace probému. Z (7.6) dostaneme násedující sabou formuaci (7.7). Hedáme u W, () takovou, že (7.8) u(x, y) v(x, y)dxdy = f(x, y)v(x, y)dxdy pro každou funkci v W, (). Nyní ae forma (Au, v) není tak evidentně pozitivně symetrická. To se musí ukázat pomoc í násedující věty.

4 7. PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Věta 7.8. Existuje c > takové, že u c pro každou funkci u W, (). u Důkaz. Buď u W, (). Pak u = na. Rozšiřme u nuou mimo a označme toto rozšíření ũ. Protože C,, je omezená a tedy existuje T > takové, že ( T, T ) := T. Zřejmě je ũ W, (T ) a u W, () = ũ W, (T ). Buď (x, y) T. Pak Násedně máme u(x, y) u(x, y) = u(x, y) u( T, y) = x T x T u (t, y)dt. x u dt x (t, y) Schwarz ( x T u ) x (t, y) / dt. Tedy T u(x, y) T u T x (t, y) dt. Integrací od T do T pode y dostaneme T T T u(x, y) dy T u T T T x (t, y) dtdy = T u T u + u. x x y Integrací posední nerovnosti pode od T do T pode x dostaneme T T u = u(x, y) dxdy (T ) u + u = (T ) x y T T Označme v daším H = W, (), (Au, v) = u v a (f, v) = fv. T u. Věta 7.9. Biineární forma (Au, v) je symetrická pozitivně definitní na H. Důkaz. Symetrie je jasná. Dokažme omezenost. ( (Au, v) = u v u ) /( v ) / ( u + u ) /( v + v ) / = u H v H. Pozitivní definitnost. u u c což dává To nám okamžitě impikuje (Au, u) = u + c u H. u + c u H.

. ROVNICE u + λu = f S NULOVOU OKRAJOVOU PODMÍNKOU 43 Věta 7.. Nechť f L (). Pak ineární zobrazení (f, v) je prvek H. Důkaz. Linearita je jasná. Dokažme omezenost. ( fv f ) /( v ) / ( f ) /( v + v ) / f L () u H. Násedující věta je snadný důsedek vět (7.9), (7.), (4.6) a (4.5). Věta 7.. Nechť f L (). Pak existuje právě jedno sabé řešení probému (7.7). Případ λ < - probém vastních číse. V tomto případě naprosto ztrácíme pozitivní definitnost formy (Au, v) a předchozích vět neze použít. Zkoumejme tedy probém (7.5), (7.4) či jeho sabou formuaci (7.6). Zabývejme se nejprve případem f =. Pak hedáme u W, () takovou, že (7.9) ( u(x, y) v(x, y) + λ u(x, y)v(x, y))dxdy = pro každou funkci v W, (). Definice 7.. Číso λ se nazývá vastním čísem probému (7.9), pokud existuje nenuová funkce u(x, y) W, () taková, že (7.9) je spněna pro každou funkci v W, (). Funkce u(x, y) se nazývá vastní funkce přísušná k vastnímu čísu λ. Anaogicky jako v jedné dimenzi patí násedující věty. Věta 7.3. Existuje rostoucí posoupnost vastních číse < λ < λ < λ 3... a ke každému vastnímu čísu existuje konečné dimensionání podprostor H k tvořený vastními funkcemi. Věta 7.4. Nechť λ není vastní číso. Pak existuje právě jedno řešení u(x, y) = probému (7.9). Nechť λ = λ k pro nějaké k N. Pak existuje nekonečně mnoho řešení probému (7.9), množina P všech řešení tvoří vektorový prostor ve W, (, ) a P = H k. Zkoumejme nyní nehomogenní probém, tj. pro danou funkci f L () naézt sabé řešení okrajového probému (7.6). Patí násedující kíčová věta. Věta 7.5. Buď f L (). (i) Nechť λ není vastní číso probému (7.9). probému (7.6). (ii) Nechť λ = λ k pro nějaké k N. Pak Pak existuje právě jedno řešení

44 7. PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. Pokud f(x, y)u(x, y)dx, pro nějakou vastní funkci přísušnou λ k (tj. f není ortogonání k prostoru H k ), neexistuje žádné řešení.. Pokud f(x, y)u(x, y)dx =, pro každou vastní funkci (tj. f je ortogonání k prostoru H k ), existuje nekonečně mnoho řešení probému (7.6), množina P všech řešení tvoří afinní (posunutý vektorový) prostor ve W, (, ) a P = {u (x) + H k }, kde u (x) je ibovoné řešení probému (7.6). Případ = (, ) (, ). Pro tento speciání tvar ze vastní čísa a vastní funkce spočítat. Vastní čísa jsou λ = π ( + ) λ = π ( 4 + ) ) ) λ 3 = π ( + 4 λ 4 = π ( 9 + Je-i nyní = =, dostaneme λ = λ 3 = 5π a k tomuto vastnímu čísu existují dvě nezávisé vastní funkce sin πx sin πy, což je rozdí oproti jedné dimenzi. πx sin sin πy 3. Průhyb desky V teorii rovinné pružnosti se řeší násedující probém: Je dána obast R mimo ní vystavíme betonovou stěnu. Matematicky je ta stěna množina C = {(x, y, z) R 3 ; (x, y) /, h z h}. ve výšce vetkneme do stěny nosnou desku a zatížíme ji komou siou f(x, y). Jak se prohne deska? Nejprve si definujeme vnější normáu k. Definice 7.6. Buď C, obast v rovině a nechť (x, y). Potom vektor ν := ν(x, y) je vektor vnější normáy, pokud je komý k hranici v bodě (x, y) (to má pro C smys), je jednotkový (tj. ν = ) a směřuje ven z obasti. Definice 7.7. Buď C, obast v a nechť g(x, y) C (). derivaci g pode vnější normáy ν = (ν, ν ) v bodě (x, y) vztahem g(x, y) ν g(x + tν, y + tν ) g(x, y) = im. t t Definujme

3. PRŮHYB DESKY 45 Matematická formuace probému je násedující: Je dána funkce f(x, y) v obasti. Hedáme funkci u(x, y) definovanou v takovou, že u(x, y) := 4 u(x, y) x 4 + 4 u(x, y) x y + 4 u(x, y) (7.) y 4 = f(x, y) v, (7.) u(x, y) = v, (7.) u(x, y) ν = v. Věta 7.8 (Varianta Greenovy věty). Buď C,. Nechť f, g jsou hadké funkce definované v obasti, f =, f g ν =, g =, ν = na hranici. Pak 4 f x 4 g = f (7.3) g x x, 4 f y 4 g = f (7.4) g y y, 4 f x y g = f (7.5) g x y x y. Sabá formuace probému. Vynásobíme nyní (7.) testovací funkcí v(x, y) a integrujeme přes. Užitím (7.5), (7.4) a (7.3) máme ( u(x, y) v(x, y) x x + u(x, y) v(x, y) (7.6) x y x y + u(x, y) v(x, y) ) y y dxdy = f(x, y)v(x, y). Sabá formuce probému je tedy tato: Je dána f(x, y) L (). Hedáme funkci u(x, y) W, () takovou, že rovnost (7.6) je spněna pro všechny funkce v(x, y) W, (). Označme v daším H = W, (), (f, v) = fv, u v (Au, v) = x x + u v x y x y + u v y y. Připomeňme si ještě normu v H: ( u H = u(x, y) u(x, y) + x + u(x, y) x y y u(x, y) + u(x, y) + /. + u(x, y) dxdy) x x Věta 7.9. Existuje konstanta K > taková, že nerovnost u + u + u K u u + x x x + u. x y y Důkaz. Nejprve si připomeneme triviání nerovnost (a + b) (a + b ).

46 7. PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Uvědomme si, že pokud je u W, (), je u x i W, () pro všechna i, u W, (), což dává de věty 7.8 u ( u ) dxdy C dxdy = C u x x x + u dxdy x y = C u u + x dxdy. x y Anaogicky patí a tedy u dxdy 4C u dxdy C y u u + y dxdy x y u(x, y) u(x, y) + x x y + u(x, y). y Navíc, protože u W, (), dostaneme u dxdy K u dxdy 4CK u(x, y) u(x, y) + x + u(x, y) x y y což v kombinaci s předchozí nerovností dokazuje větu. Věta 7.. Biineární forma (Au, v) je symetrická pozitivně definitní na H. Důkaz. Symetrie je jasná. Dokažme omezenost. Ze Schwarzovy nerovnosti máme u v (Au, v) = x x + u v x y x y + u v y y u v u + x x v + u v x y x y y y ( u ) /( x v ) / ( + x u ) / ( v ) / x y x y ( + u ) /( y v ) / 4 u H y v H. Nyní positivní definitnost. Pode věty 7.9 je u + u + u K u u + x x x + u, x y y což dává u H = u u + x + u u + x y y + u + u x x (K + ) u u + x + u x y y

3. PRŮHYB DESKY 47 a tedy (Au, u) = ( u ) ( u + x x y ( u x ) + ( u x y což dokazuje positivní definitnost. ) ( u ) + y ) ( u ) + y K + u H, Věta 7.. Nechť f L (). Pak ineární zobrazení (f, v) je prvek H. Důkaz. Linearita je jasná. Dokažme omezenost. ( fv f ) /( v ) / ( f ) /( u u + x + u x y y + u + u + u ) / f L x x () u H. Násedující věta je snadný důsedek vět (7.), (7.), (4.6) a (4.5). Věta 7.. Nechť f L (). Pak existuje právě jedno sabé řešení probému (7.), (7.) a (7.).

KAPITOLA 8 Nekonečné čísené řady. Co je řada a její součet Definice 8.. Buď dána posoupnost číse a, a, a 3,.... Symboem a + a + a 3 + = rozumíme nekonečnou čísenou řadu. Definice 8.. Buď dána řada a n. Utvořme posoupnost částečných součtů N s N = a n. Součtem řady rozumíme reáé číso s := im s N, N pokud tato imita existuje. Pokud ano, říkáme, že řada a n konverguje, pokud nenexistuj nebo je nevastní (± ), říkáme, že řada a n diverguje. Symboem (8.) a + a + a 3 + = rozumíme nekonečnou čísenou řadu. Definice 8.3. Dána čísa a a q. Potom (8.) a + aq + aq + aq 3 + = se vazývá geometrická řada. a n a n aq n Lemma 8.4. Buď a. Pak řada (8.) konverguje právě když q < a její součet je aq n = a q. Příkad 8.5. Buď r =, 333... =.3. Jak je to pomocí zomku? Řešení. r = 3 + 3 + 3 + 3 + = 3 ( + + + ) +... = 3 ( + ( ) ( 3 ) + + +... = ) 3 = 3. 49