3 - Póly, uly a odezvy Michael Šebek Automatické řízeí 8 9-6-8
Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Póly přeou a póly ytému Póly přeou jou kořey jmeovatele pro g () = b () a () jou to komplexí číla i: a ( i) = pokud přeo emá tejou ulu g ( i ) = odpovídají módům přirozeé odezvy patří mezi póly ytému Póly přeou Póly ytému kořey charakteritického polyomu (polečého jmeovatele všech přeoů) det ( I A) vlatí číla matice ytému ve tavovém popiu λ ( ) i A charakterizují vitří dyamiku ytému, jeho vitří rezoace jou rovy komplexím frekvecím, které je ytém chope ám geerovat (módy odezvy a jeho počátečí tav) ezávií a vtupí matici B ai a výtupí matici C tedy ezávií a umítěí aktuátorů a ezorů (v otevřeé myčce) Póly ytému Michael Šebek ARI-3-8
Nuly přeou Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Nuly přeou (přeoové uly) jou kořey jeho čitatele b () pro g () = jou to komplexí číla i: b ( i) = a () Výzam pro řízeí uly přeou jou komplexí frekvece, pro které je přeo mezi vtupem a výtupem bloková měí odezvu a tím komplikují ávrh řízeí (viz dále) Michael Šebek ARI-3-5 3
Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Nuly ytému jou uly přeou b () a () před vykráceím Schurův doplěk I A B det b () det( I A)det ( C( I A) B+ D) = ( ) + = = C D C I A B D a ( ) det( I A) det( I A) oproti ulám přeoovým tu mohou být avíc vtupí uly (rové pólům eřiditelé čáti), tj. z :rak[ zi A B] < i i výtupí uly (rové pólům zii A epozorovatelé čáti), tj. zi :rak < C Výzam pro řízeí uly ytému charakterizují, jak je ytém poje okolím závií a B,C, D tedy a poloze ezorů a aktuátorů etabilí uly ztěžují ebo zemožňují řízeí, ěkdy je dokoce uto outavu předělat Michael Šebek ARI-3-8 4
Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Pól v ekoeču má eryzí racioálí fukce která má tupeň čitatele otře větší ež tupeň jmeovatele Např. G () = = lim G ( ) = Takový ytém emůže amotatě exitovat, je zapojeí jiými - zeiloval by i ekoečé frekvece Nulu v ekoeču má triktě ryzí racioálí fukce která má tupeň čitatele otře meší ež tupeň jmeovatele Např. G () = lim G ( ) = takové jou všechy fyzikálí ytémy, blokují ekoečé frekvece Počítáme-li áobotmi a ekoečými ulami a póly, má každý přeo tejý počet ul a pólů Póly a uly v ekoeču Michael Šebek ARI-3-8 5
Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Sytém. řádu bez ul Impulzí odezva Skoková odezva (impulzí charakteritika) (přechodová charakteritika) t t at T at T g() t = ae = e ht () = e = e T h ( + ) = a = T % a g( + ) = a = T.9 a G () = = + a + T a Im Re.37a T = a T 3T 4T 5T.63. Doba áběhu T r.t Doba utáleí T = 4T T T 3T 4T 5T Michael Šebek ARI-3-5 6
Sytém. řádu bez ul (tabilí) Automatické řízeí - Kyberetika a robotika ω ω ω ω G () = = = = j j + ζω + ω ( + σ ωd)( + σ + ωd) ( + ζω) + ω( ζ ) ( + σ ) + ωd Tradičě ozačujeme přirozeou frekveci (atural frequecy) ocilací etlumeého ytému ω = b G () = b + a + b a b > frekveci expoeciálího útlumu (expoetial decay frequecy) σ = a obálka ± e σt poměrý útlum, relativí tlumeí (dampig ratio) a a σ T a ζ = = = = = = coθ a b ω π T ω c σ frekveci tlumeých ocilací (damped frequecy) ωd = ω ζ = b ( a ( b)) Michael Šebek ARI-3-7 7
Sytém. řádu bez ul - zajímavé případy Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Netlumeý ytém σ =, ω = ω, ζ = d ω G ( ) = + ω gt ( ) = ω iω t ω ht ( ) = coω t Im ω = ω d Re ω d Podtlumeý ytém ζ <, σ = ζω, ω = ω ζ d G () = = ω + ζω+ ω ω ( + σ jω )( + σ + jω ) d d Im σ = ζω ω = ω ζ d Re ω d gt = e t σt ( ) ( ω ωd) iωd [ co ω ( σω)iω ] σt ht () = e t+ t d d d Michael Šebek ARI-3-5 8
Sytém. řádu bez ul - zajímavé případy Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Kriticky tlumeý ytém ζ =, σ = ω, ω =, d ω G () = ( + ω ) Přetlumeý ytém ωt () = ωte g t ωt ht () = e ω te h( t) = ω t ω G () = ω = ( + σ )( + σ ) + ζω+ ω ω gt () = σ ( t σt e e ) ζ e σ σ σt σ σ + σ σ ζ : e σ = ω = + = σ ζω ω ζ σ ζω ω ζ σ t, σ Im Michael Šebek ARI-3-5 9 σ Im Re Re
Sytém. řádu Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Všechy případy v jedom obrázku Avšak pozor: Je to přeě tak je když ytém emá uly! Michael Šebek ARI-3-5
Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Doba utáleí (ettlig time) T = 4 ζω Doba. maxima (peak time) π Tp = ω ζ Sytém. řádu: vzorce pro podtlumeý případ Překmit, překývutí (overhoot) % OS = e ζ = π ( ζπ ζ ) ( OS ) ( OS ) l % + l % Doba áběhu T r : rozumý vzorec eí, je graf ze imulací. Přeto ěkteří užívají velmi přibližý odhad.8 r ω Michael Šebek ARI-3-7 T
Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Vliv dalších pólů Domiatí póly Někdy můžeme vliv více pólů aproximovat vlivem dvojice domiatích pólů a pak můžeme vzorečky pro. řád použít a tu dvojici a póly otatí zaedbat Příklad: Sytém dvojicí komplexích a ještě třetím reálým pólem má odezvu a kok bc A B + C D c + ca y () = = + + kde A=, B= ( + a + b)( + c) + a + b + c c + b ca c a + ca bc Je-li reálý pól blízko dvojice, zaedbat ho emůžeme! C = Je-li hodě daleko alevo, má vliv zaedbatelý: c + b ca lim A=, lim B=, lim C = a b D = c c c c + b ca ale lim D = c Co je to daleko? Pravidlo 5 (ebo ): Třetí pól zaedbáme, je-li apoň 5 (x) dál alevo od imag. oy ež reálá čát domiatí dvojice. Vždy ověříme imulací! c Michael Šebek ARI-3-8
Vliv uly Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Přidáme k ytému přeoem g () a odezvou y () ulu v a, což změí přeo a ( + ag ) ( ) a odezvu a ( + ay ) ( ) Odezva ového ytému bude ložeá z původí a áobku její derivace y ( ) = ( + ay ) () = y () + ( a) y ( ) Je-li ula hodě tabilí (tj. a je velké kladé), má čle derivací ( a) y () zaedbatelý vliv a odezva e koro ezměí Je-li to ula tabilí méě (tj. a meší kladé), je vliv derivace výzamý! y= ( + y ) Skoková odezva má typicky a počátku y = derivaci kladou, tedy čle derivací e přičte a způobí větší prví překmit Bude-li ula etabilí (záporé a), má derivace opačé zaméko a odezva je zpočátku dokoce obráceá y Nuly eovlivňují typ módů, ale jejich relativí vliv, eboť v rozkladu a parciálí zlomky ovlivňují je čitatele (rezidua) ( + ) + 9 Michael Šebek ARI-3-5 3