.4. DISKRÉTÍ SIGÁLY.4.. Vzorování Vzorování je nejběžnější způsob vznu dsrétních sgnálů ze sgnálů spojtých. Předpoládejme, že spojtý sgnál (t) je přveden na spínač, terý se velce rátce sepne aždých T vz seund. Poud je doba, během teré je spínač sepnut o mnoho menší než nterval mez dvěma sepnutím, můžeme považovat mpulsní sgnál na výstupu spínače za sgnál v dsrétním čase t n = nt vz, de n =.., -, -,,,,. Je označován jao navzorovaný sgnál původního spojtého sgnálu a dobu T vz nazýváme vzorovací peroda, resp. vzorovací nterval. Je-l doba mez aždým dvěma sepnutím spínače onstantní, hovoříme o rovnoměrném vzorování. Obr.-35 Vzorování Obr.-36 Spojtý sgnál a jeho navzorovaná verze Aby bylo možné zjednodušt analýzu vlvu vzorování na vlastnost vzorovaného sgnálu, je navzorovaná verze původního spojtého sgnálu (t) vyjadřována ve tvaru (t).p(t), de p(t) je perodcý sled jednotových mpulsů defnovaný jao Z toho pro navzorovaný sgnál platí p (t) (t nt vz ) (.5) n (t).p(t) (t). (t nt (.5) n vz ) (ntvz ). (t ntvz ) n Tento vztah říá, že navzorovaný sgnál (t)p(t) je sled mpulsů, jejchž úrovně jsou rovny hodnotám vzorů původního sgnálu v časech nt vz. (Vzorování popsané vztahem (.5) označujeme jao deální vzorování.) Podstatné z hledsa vzorování je stanovení velost vzorovací perody T vz, resp. vzorovací frevenc f vz = /T vz nebo vz = /T vz. Pro stanovení této hodnoty uvažujme stuac na obr.-37. 5
Obr.-37 Vzorování sgnálu a jeho spetrum echť má vzorovaný sgnál f(t) (obr.-37a) spetrum zobrazené na (obr.-37b). Puls Dracových mpulsů s perodou T má spetrum ve tvaru perodcého sledu Dracových mpulsů ve frevenční oblast s perodou vz, ta ja bylo určeno v příladu na onc ap..3.3 a ja je zobrazeno na obr.-37 vpravo uprostřed. Protože navzorovaný sgnál je dán součnem původního spojtého sgnálu a sledu jednotových mpulsů (vztah (.5)) je výsledné spetrum nevzorovaného sgnálu dáno onvolucí obou dílčích speter. A protože defnční vlastností jednotového mpulsu je, že výslede jeho onvoluce se sgnálem je hodnota sgnálu v místě výsytu jednotového mpulsu, je výsledné spetrum taové, jaé je uvedeno na obr.-37e. Má perodcý charater s perodou rovnou vzorovací frevenc a tvar jednotlvých segmentů odpovídá tvaru spetra vzorovaného sgnálu. Dgtalzace sgnálu tedy způsobuje perodzac spetra, přčemž jednotlvé spetrální perody mají tvar spetra původního spojtého sgnálu. Z obrázu vyplývá, že jednotlvé segmenty spetra se nebudou prolínat za předpoladu, že mamální frevence slože sgnálu není větší než polovna vzorovací frevence. Toto pravdlo nazýváme vzorovací teorém (yqustův, Kotelnovův č Shannonův teorém) a matematcy jej vyjadřujeme ve tvaru f vz f ma, (.53) de f ma je nejvyšší frevence harmoncé složy obsažené ve vzorovaném sgnálu. Zpětný převod z dsrétní reprezentace na spojtou se provádí potlačením těch částí spetra, teré jsou olem nenulových násobů vzorovací frevence. Toto potlačení lze provést seletvním systémem, terý doáže propustt harmoncé složy sgnálu s nžším frevencem a naopa potlačuje složy s vyšším mtočty - taovému systému (fltru) říáme dolní propust. Poud by vzorovací frevence právě splňovala vzorovací teorém (f vz = f ma ), pa by výsledné spetrum vypadalo ja je zobrazeno na obr.-38. Z hledsa zpětného převodu by to znamenalo použtá dolní propust by měla mít deální vlastnost, tj. harmoncé složy dsrétního sgnálu o frevencích do f vz / by měla zachovat bez jaéhoolv zreslení, naopa všechny harmoncé složy, jejchž frevence jsou vyšší než f vz / by měla beze zbytu odstrant. Taový deální systém bohužel sestrojt nelze a ta je potřeba př řešení reálných vytvořt vzorováním poněud méně vyhraněnou stuac, tedy používat vzorovací frevenc vyšší než přesně defnuje vzorovací teorém. V pra to bývá 4 až 5-násobe mamální frevence slože obsažených v původním spojtém sgnálu. 6
br.-38 Prncp Č/A (číslcově/analogového) převodu Poud není vzorovací teorém splněn, dochází e zreslení průběhu sgnálu, terému říáme přerývání speter nebo alasng. Znamená to, že složa o frevenc f vyšší než je polovna vzorovací frevence se do navzorovaného sgnálu promítá jao sgnál o frevenc f vz - f, což má v časové oblast vlv ja je naznačeno na obr.-39 vpravo. Obr.-39 Přerývání speter vlvem nevhodné vzorovací frevence Vlv změn vzájemného poměru frevence harmoncého sgnálu a frevence jeho vzorování je jednoznačně zřejmý z obr.-4. Předpoládejme stále stejnou vzorovací frevenc s tím,že se mění frevence vzorovaného spojtého sgnálu. První obráze znázorňuje stuac, dy je frevence původního harmoncého sgnálu nulová, tj. cos () = - průběh je onstantní a tedy jaáolv nenulová vzorovací frevence je dostatečná. Obráze (b) vyjadřuje případ dy je vzorovací frevence 6 větší než frevence sgnálu a následují lustrace sgnálů, dy je vzorovací frevence 8 (c) a 4 (d) větší než frevence sgnálu. V případě sgnálu na část obrázu (d) to onrétně znamená, že v aždé perodě sgnálu jsou známy hodnoty čtyř vzorů. Protože předpoládáme, že je počáteční fáze sgnálu nulová odpovídají vzory sgnálu hodnotám sgnálu pro cos(), cos3 /), cos( ) a cos(3 /). Mezní případ popsuje obráze (e), dy je vzorovací frevence právě rovna dvojnásobu frevence sgnálu, tedy stuace dy je právě splněna mezní podmína vzorovacího teorému. Další obrázy jž lustrují případy tzv. podvzorovaného sgnálu, tj. frevence vzorování jž nesplňuje vzorovací teorém. a obrázu (f) je případ, dy je f = 3f vz /4. Zde se navzorovaný sgnál jeví jao sgnál o frevenc f vz - f = f vz /4, terý je zobrazen v část (d). Zvyšující se poměrnou frevenc sgnálu vůč frevenc vzorování pa zobrazují další čast obrázu až obráze () reprezentuje stav, dy je frevence vzorování právě rovna frevenc sgnálu. Protože opět je počáteční fáze nulová, jsou hodnoty navzorovaného sgnálu právě rovny hodnotám cos( ) a jeví se jao sgnál onstantní. Kdyby došlo dalšímu zvyšování poměru frevence sgnálu frevenc vzorování charater obrázů by se opaoval díy perodctě spetra navzorovaného sgnálu. 7
Obr.-4 Vlv změny poměru mez frevencí harmoncého sgnálu a frevencí jeho vzorování Poznáma naonec aptoly: Je potřeba s uvědomt, že číslcová reprezentace původního spojtého (analogového) sgnálu není v onečném důsledu taová, jaá byla výše použta pro vysvětlování prncpu vzorování. Konečná reprezentace vzorů dsrétního (číslcového) sgnálu je ve formě posloupnost čísel, se terým dále pracují výpočetní systémy, řízené patřčným algortmy založeným na matematcém vyjádření použtých metod..4.. Záladní operace s číslcovým sgnály Podobně jao v případě spojtých sgnálů (ap..3.) lze zoumat vlv jednotlvých matematcých operací na průběh číslcových sgnálů. Obr.-4 Záladní matematcé operace se sgnály - nverze časové osy (vlevo), posun v čase (vpravo) 8
Kromě násobení sgnálu onstantou, se lze zabývat posunem sgnálu v čase, nverzí časové osy, případně ompresí č epanzí časového měříta. První dvě z uvedených operací (posun a nverze v čase) jsou lustrovány na obr.-4 a lze onstatovat, že stuace je zcela evvalentní stuac s níž jsme se setal spojtých sgnálů. Poněud jný je případ změny časového měříta. Záladní tvar časového měříta je dán vzorovací perodou a polohy jednotlvých vzorů jsou defnovány celočíselným násoby vzorovací perody. Poud má dojít e změně časového měříta, pa zdánlvě nejjednodušší cestou ja to učnt je změna velost vzorovací perody - to ovšem naráží na nutnost zachování poměrů vyplývajících ze vzorovacího teorému (musí být zachován, jna dojde e zreslení sgnálu. Druhá možnost je vložení č vyjmutí vzorů ze sgnálu. Ale v tomto případě je nutné, aby byl zachován vzorovací teorém, zejména v případě vyjímání vzorů z dsrétní reprezentace sgnálu. V případě vložení nových n vzorů mez aždé dva stávající je potřeba řešt způsob nterpolace (tj. ja stanovt hodnoty jednotlvých vzorů, což není zcela elementární úloha. V případě vyjmutí vzorů je stuace poněud jednodušší, je vša nanejvýš vhodné zachovat pravdelnost vzorování, tedy mez aždým dvěma ponechaným vzory vypustt stejný počet původních vzorů..4.3. Matematcé modely záladních dsrétních sgnálů Perodcé sgnály Dsrétní sgnál (T) je perodcý s perodou T, právě dyž platí [(+)T] = (T), pro =, ±, ±, (.54) Vzhledem tomu, že perodcta dsrétních sgnálů je vázána na celočíselný násobe vzorovací perody, je logcé, že vzorovaný spojtý perodcý sgnál s perodou T s je reprezentován perodcým dsrétním sgnálem pouze tehdy, je-l peroda T s právě rovna -násobu vzorovací perody, tj. platí T s = T. Jao přílady perodcých sgnálů můžeme považovat sgnály reprezentované funcem (T) = = A.cos( /), (T) = A.sn( /) nebo (T) = Ap(j /). Komplení eponencála samozřejmě rovněž reprezentuje perodcý sgnál, protože platí ( Jednorázové sgnály )T dy ep( j j ( ep ) cos ) j ep p( j ), jsn j (.55) Záladním jednorázovým dsrétním sgnály jsou stejně jao v případě spojtých sgnálů jednotový mpuls a jednotový so, teré jsou defnovány následujícím vztahy: Jednotový mpuls a jednotový so, ( T) (.56),,, ( T) (.57), Obr.-4 Dsrétní reprezentace jednotového mpulsu a jednotového sou 9
.4.4 Rozlad dsrétních perodcých sgnálů na dílčí harmoncé složy echť (T) je perodcý sgnál s perodou T; pa lze (T) rozložt pomocí omplení eponencální Fourerovy řady de (T) j n c n p,,,,... (.58) Důaz: j n c n (T)p,,,..., (.59) Změňme nde sumace ve vztahu pro výpočet oefcentu c n Pa je n (mt)p( j mn/ ) m c (.6) (T) c n p( j n / ) m (mt). m ep[ j (mt)p( n( j m) / ], mn/ ) p( j n / ) (.6) Potom pro = m je ep[j n( m) / ] ; (.6) pro m ep[ j n( m) / ] ep[j ( ep[j ( m) / ] m) / ] ; (.63) a tedy (T) m (mt). (T). (T) ep[ j n( m) / ] (.64) Přílad: Určete spetrum sgnálu (T) = A.cos( /). Řešení: Zadaný dsrétní sgnál (T) reprezentuje perodcá funce s perodou, terý s můžeme vyjádřt pomocí Eulerovy vztahu ve tvaru yní protože A j j A.cos. ep ep. (.65) 3
j ( ) j j j ep ep p ep (.66) je A j j ( ) A.cos. ep ep (.67) Z toho plyne, že A A, a a a n = pro všechna jná n. (.68) a Spetrum tohoto sgnálu pa můžeme grafcy vyjádřt ja je tomu na obr.-43. Obr.-43 Ampltudové a fázové spetrum sgnálu (T) = A.cos( /).4.5 Fourerova transformace s dsrétním časem (FTDT) echť (T) je časově omezený sgnál s dsrétním časem s (T)= pro všechna celá < - a >, de je celočíselná onstanta. Dále, nechť pro ladné sudé celé číslo > označíme (T) sgnál s perodou T, terý je (T) pro = -/, -(/)+,, -,,,, (/)-. Z defnce (T) máme (T) lm (T) Protože (T) je perodcá funce s perodou T, má Fourerovu řadu (.69) de (T) c n p j n (.7) ( / ) j n c n (T)p,,,...,. (.7) / Z defnce (T) vyplývá, že lze poslední uvedenou rovnc přepsat do tvaru a potom j nt c n (T)p,,,...,,. (.7) T 3
X( ) (T)p( j T), n / T. (.73) de ω je pro spojtá (nedsrétní) velčna..4.6 Dsrétní Fourerova transformace (DFT) Aby bylo možné počítat s frevenčním spetrem na počítač, je třeba spetrální func dsretzovat. Předpoládejme, že je dsrétní sgnál (nt) = pro n < a n, pa DFT je defnována vztahem j nt j nt T j n / X ( ) (nt) (nt) (nt). (.74) Zpětnou nverzní dsrétní Fourerovu transformac pa defnuje vztah jnt j n / (nt) X( ) X( ). (.75) Poud uvažujeme pouze posloupnost hodnot bez její časové resp. mtočtové nterpretace, lze defnční vztah dsrétní Fourerovy transformace vyjádřt též ve tvaru resp. nverzní transformace j n / X () (n). (.76) j n / (n) X(). (.77) (Tento způsob vyjádření se v odborné lteratuře často vysytuje, ncméně vzhledem e ztrátě fyzální nterpretace použtých posloupností nebudeme nadále tohoto způsobu popsu využívat.) Platí, že - DFT DFT (). (.78) Tuto vlastnost dsrétní Fourerovy transformace nazýváme nverzblta. Můžeme j doázat následujícím postupem: (mt) (nt). j(m n) X( T ) pro jmt (mt). m pro n je (mt) m (nt) n je j(m n) T j j(m n) / T nt T jmt e e j(m n) j(m n) T T. (.79) Vlv DFT na charater spetra harmoncého sgnálu je patrný z obr.-44 a -45. a obr.-44 je zobrazen případ, dy je peroda vzorovaného sgnálu T s = / rovna celočíselnému násobu vzorovací perody T = / vz, v onrétním případě T s = 4T, tj. = vz/4 = /(T). a obou obrázcích jsou zobrazeny v levé část časové průběhy a vpravo jm odpovídající spetra. Konečný úse sgnálu je vytvořen z původního časově neomezeného průběhu vynásobením obdélníovým onem, jehož déla je rovna celočíselnému násobu vzorovací perody, onrétně = 8. Spetrum vynásobeného, tj. časově omezeného úseu spojtého harmoncého sgnálu je dán onvolucí speter původního harmoncého sgnálu a spetra obdélníového ona ve tvaru funce 3
Sa( ). Vzorování tohoto úseu sgnálu o onečné době trvání vyjádříme dle defnce (vztah (.5)) násobením sledem jednotových mpulsů s perodou opaování rovnou vzorovací perodě T. Tomu odpovídá rovněž perodcé mpulsní spetrum s perodou rovnou vzorovací frevenc vz = Ω a výsledné spetrum navzorovaného sgnálu je onvolucí všech tří dílčích slože jejchž násobením vznl dsrétní harmoncý sgnál omezeného trvání. Dsrétní verz spetra zísáme násobení m tohoto spetra pulsem Dracových s frevencí Ω. Tomuto pulsu odpovídá v časové oblast perodcý sled jednotových mpulsů s perodou T a protože onečné spetrum je výsledem násobení spojtého spetra navzorovaného sgnálu onečného trvání je časová reprezentace navzorovaného spetra onvoluce navzorovaného onečného sgnálu s časovou reprezentací vzorovacího pulsu spetra. Touto onvolucí se sgnálu nepřímo vnucuje perodcta, taže výsledné dsrétní spetrum je spetrem perodcého sgnálu. Tím, že vzorování sgnálu je vhodně vázáno s délou onečného obdélníového ona a tím se vzorováním spetra odpovídá ftvní výsledný perodcý sgnál původnímu sgnálu, jehož spetrum jsme pomocí DFT počítal. a druhé straně, poud déla omezujícího obdélníového ona neodpovídá celočíselnému násobu perod vstupního sgnálu, pa výsledné dsrétní spetrum odpovídá sgnálu, jehož průběh modfován, např. ta, ja je zobrazeno na obr.-45. Obr.-44 Prncp a důsledy dsrétní Fourerovy transformace pro mtočet sgnálu ω = vz/4 = /(T) 33
Obr.-45 Prncp a důsledy dsrétní Fourerovy transformace pro mtočet sgnálu ω =5.4.6 Rychlá Fourerova transformace (FFT) 34 vz/6 = 5 /(8T) Defnční vztah pro výpočet dsrétní Fourerovy transformace v eponencálním tvaru můžeme pomocí Eulerova vztahu vyjádřt funcem sn a cos jao X( ) (nt) j nt (nt). cos( nt) jsn( nt). (.8) Výpočet aždé z slože spetra dsrétního sgnálu pa představoval -násobný součet součnu hodnoty sgnálu s reálnou omplení složou jádra transformace, představované odpovídajícím hodnotam funcí sn a cos. Tato defnovaný výpočet je poměrně pracný a je otázou, zda jej nelze optmalzovat. Zrychlení výpočetního algortmu se může dosáhnout využtím dříve vypočítaných mezvýsledů, resp. vynecháním zbytečných výpočtů např. násobení nulou. Relatvně zdlouhavé a opaované výpočty hodnot obou gonometrcých funcí lze usnadnt používáním předem spočítaných tabulových hodnot pro jednu čtvrtnu perody jedné z obou funcí. Dalšího zefetvnění výpočtu lze dosáhnout vhodným uspořádáním výpočetního algortmu, např. tzv. rychlou Fourerovou transformací. Abychom doázal posoudt pracnost jednotlvých varant výpočtu dsrétního spetra dsrétního sgnálu je potřeba určt záladní elementy výpočtu. Z defnčního vztahu (.8) vyplývá taové elementy jsou dva - násobení ompleního čísla a sečítání dvou čísel. Jednotu pracnost P tedy
defnujme pomocí jednoho ompleního násobení a sečtení dvou čísel. Výpočet jedné hodnoty spetra sgnálu o vzorcích pomocí defnčního vztahu představuje elementů pracnost výpočtu, tedy.p. Pracnost výpočtu celého spetra zahrnujícího hodnot poté představuje hodnotu..p =.P. Tuto hodnotu můžeme považovat za referenční pro srovnání s pracnostm jných varant výpočtu. Algortmus rychlé Fourerovy transformace má dvě z hledsa pracnost v podstatě evvalentní varanty: rozlad v časové oblast; rozlad ve frevenční oblast, z nchž se podrobněj zabývejme prncpem první varanty, terý je pa snadno aplovatelný pro postup druhý. Předpoládejme, že vstupní sgnálová posloupnost má sudý počet vzorů. Rozdělíme j na dvě dílčí posloupnost (obr.-46): {g } = { } - sudé prvy původní posloupnost; {h } = { + } - lché prvy původní posloupnost, =,,, /-. Obr.-46 Rozdělení sgnálové posloupnost Dále předpoládáme, že všechny posloupností (původní obě dílčí), mají svou DFT, teré jsou defnovány vztahy a / j / / j4 G () g g. e (.8) / j / / j4 H () h h. e (.8) pro,/. -tou hodnotu spetra počítanou podle původního transformačního algortmu nyní vyjádřeme pomocí dílčích výpočtů G() a H(). V tom případě platí X() j j j j... j ( ) g h g h 3 g h 4 5 g... h 7 7 4 5 / g j h j ( ) (.83) / g j h j j G(' ) e j.h(' ) ' mod(/ ) Když hodnoty pomocných dílčích posloupností budeme počítat podle záladního defnčního vztahu, bude celová pracnost součtem pracností výpočtu speter obou posloupností a jejch spojení.(/).p+.p = (.P)/ +.P (.84) 35
tzn. uspoření pracnost téměř na polovnu, poud bude druhý člen vyjadřující pracnost zombnování obou posloupností malý ve srovnání se členem prvním (to bude platt především pro velé hodnoty ). Je-l / opět sudé, může se v dělení dále poračovat celově je výhodné, je-l mocnnou dvou, tj. platí = m - v tom případě lze poračovat v dělení až e vstupní sgnálové posloupnost (obr.-47). a) b) Wr e j r c) Obr.-47 Výpočetní schéma algortmu FFT rozladem v časové oblast Každý uzel ve výpočetním schématu představuje součet příspěvů reprezentovaných vstupním orentovaným hranam, přčemž jeden z obou vstupů je násoben vahou Wr. Pracnost výpočtu v aždém uzlu schématu bude tedy právě P a počet uzlů v aždé výpočetní vrstvě je, pracnost výpočtu v celé vrstvě je.p. Počet vrstev ve výpočetním schématu bude v případě = m právě m = log a proto celová pracnost je.p.m =.P.log. Př velých tento výraz roste jž téměř lneárně a jeho hodnoty jsou proto výrazně menší než původní pracnost s vadratcou závslostí. Vzhledem postupnému dělení a uspořádávání dílčích vstupních posloupností není po doončení rozladu vstupní sgnálová posloupnost uspořádána vzestupně podle jejích ndeů, nýbrž jna. Vyjádříme-l hodnoty ndeů jednotlvých vzorů bnárně a tato bnární čísla čteme zprava doleva tvoří hodnoty ndeů přrozeně rostoucí posloupnost - proto nazýváme uspořádání vzorů vstupní posloupnost btově nverzní. Další sutečností usnadňující výpočet je estence standardních opaujících se motýlovtých výpočetních strutur o čtyřech uzlech a čtyřech hranách, což znamená, že výpočet v rámc aždé taové dílčí strutury se řídí stále stejným algortmem. avíc pro výpočet výstupních hodnot v aždé vrstvě jsou potřeba pouze vstupní vzory aždé vrstvy, výpočet tedy může probíhat vždy jen v jedné vrstvě a lze ta šetřt výpočetní paměť. d) 36