Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze LS 2013/2014 vytvořeno: 17. března 2014, 12:45 Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 1 / 21
Hlavní body 1 Násobení matic 2 Inverzní matice Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 2 / 21
Definice násobení mezi maticemi Definice Buďte m, n, p N, A T m,n a B T n,p. Matici C T m,p definovanou ( ) n ( i ˆm)( j ˆp) C ij = A ik B kj k=1 nazýváme součinem matic A a B a značíme C = AB. Poznámka Součin AB máme definován pouze tehdy, je-li počet sloupců matice A roven počtu řádků matice B. Výsledná matice AB má tolik řádků, jako matice A a tolik sloupců, jako matice B. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 3 / 21
Příklady násobení Pozorujeme: ( ) 4 1 2 3 5 = (1 4 + 2 5 + 3 6) 6 1 2 ( 4 5 6 ) 4 5 6 = 8 10 12 3 12 15 18 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 = 1 1 1 1 2 2 ( ) ( ) 1 1 1 1 = 1 1 1 1 Násobení matic není komutativní! ( ) 0 0 0 0 Neplatí implikace: AB = Θ = (A = Θ B = Θ). Co tedy platí?... Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 4 / 21
Vlastnosti maticového násobení Věta V následujících tvrzeních jsou rozměry matic A, B a C vždy takové, aby obsažené výrazy měly smysl. Platí: 1 A(BC) = (AB)C (asociativní zákon) 2 A(B + C) = AB + AC (distributivní zákon) 3 (A + B)C = AC + BC (distributivní zákon) 4 α(ab) = (αa)b = A(αB) 5 (AB) T = B T A T Důkaz: tabule/cvičení Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 5 / 21
Blokové násobení Uvažujme dvě matice sestavené po blocích takto: ( ) ( ) A1,1 A A = 1,2 B1,1 B, B = 1,2. A 2,1 A 2,2 B 2,1 B 2,2 Nechť jednotlivé bloky jsou takového typu, že násobení A i,j B j,k je definováno pro všechna i, j, k ˆ2. Potom platí ( ) A1,1 B AB = 1,1 + A 1,2 B 2,1 A 1,1 B 1,2 + A 1,2 B 2,2. A 2,1 B 1,1 + A 2,2 B 2,1 A 2,1 B 1,2 + A 2,2 B 2,2 (Ověřte!) Analogický výsledek platí i pro jinak vytvořené bloky. Např.: A(B 1 B 2... B p ) = (AB 1 AB 2... AB p ). Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 6 / 21
Výpočetní složitost maticového násobení Uvažujme čtvercové matice A, B T n,n. K výpočtu AB podle definice potřebujeme n 3 operací (=vynásobení dvou čísel). Nedalo by se ušetřit? Rekurzivní algoritmus násobení matic: Vychází z blokového násobení. Pro jednoduchost výpočtu složitosti předpokládejme, že rozměr matic n = 2 k, pro nějaké k N. Počet operací označme F (n), potom máme: F (n) = 8F (n/2) = 8(8F (n/4)) = 8(8(8F (n/8))) =... = 8 k F (n/2 k ) = 8 k F (1) = 8 k = (2 k ) 3 = n 3. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 7 / 21
Strassenův algoritmus Položme X 1 = (A 1 + A 4 )(B 1 + B 4 ), X 5 = (A 1 + A 2 )B 4, X 2 = (A 3 + A 4 )B 1, X 6 = (A 3 A 1 )(B 1 + B 2 ), X 3 = A 1 (B 2 B 4 ), X 7 = (A 2 A 4 )(B 3 + B 4 ), X 4 = A 4 (B 3 B 1 ). Potom platí ( ) ( ) ( ) A1 A 2 B1 B 2 X1 + X = 4 X 5 + X 7 X 3 + X 5. A 3 A 4 B 3 B 4 X 2 + X 4 X 1 X 2 + X 3 + X 6 Rekurzivní Strassenův algoritmus: Vychází z blokového násobení, ale vystačí jen se sedmi součiny. Pro počet operací F (n) nyní dostáváme: F (n) = 7F (n/2) = 7(7F (n/4)) = 7(7(7F (n/8))) =... = 7 k F (n/2 k ) = 7 k F (1) = 7 k = (2 k ) log 2 7 = n 2,807. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 8 / 21
Algoritmy pro rychlé maticové násobení Dnes nejvýkonější algorimus pro maticové násobení je od Vassilevska Williams (publ. květen 2012), který počítá s přibližně n 2,3727 operacemi. Obrázek: Výpočetní složitosti algoritmů pro maticové násobení [zdroj: wikipedia.org] Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 9 / 21
Hlavní body 1 Násobení matic 2 Inverzní matice Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 10 / 21
Inverzní matice Definice Matici A T n,n nazýváme čtvercovou maticí řádu n. Matici E T n,n, kde E ij = δ ij, nazýváme jednotkovou maticí n-tého řádu. Poznámka Pokud A, E T n,n, pak AE = EA = A. Definice Buď A T n,n. Existuje-li matice B T n,n taková, že platí AB = BA = E, nazýváme matici A regulární a B inverzní maticí k matici A. Značíme B = A 1. Pokud A není regulární, nazýváme matici A singulární. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 11 / 21
Inverzní matice je nejvýše jedna Věta Je-li A T n,n regulární, potom je inverzní matice k A určena jednoznačně. Důkaz: Tabule. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 12 / 21
Součin regulárních matic je regulární matice Věta Nechť A, B T n,n jsou regulární, potom AB je regulární a platí (AB) 1 = B 1 A 1. Důkaz: Tabule. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 13 / 21
Stačí jedna rovnost v definici inverzní matice Aby B byla inverzní maticí k A, musí podle definice platit dvě rovnosti: AB = E a BA = E. Nyní ukážeme, že vlastně stačí, aby platila pouze jedna z rovností. Druhá už je potom také splňena. Věta Buď A T n,n. Existuje-li B T n,n taková, že platí AB = E nebo BA = E, potom je A regulární a B = A 1. Důkaz: Tabule. Poznámka Toto je speciální případ matic, v obecné algebře (v grupách) jedna rovnost nestačí. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 14 / 21
Maticová realizace kroků GEM 1/3 Řádkové úpravy GEM v matici A T m,n lze realizovat tak, že A vynásobíme zleva vhodnou regulární maticí P T m,m. 1. Prohození i-tého a j-tého řádku: Matici P(i, j) T m,m definujeme takto: { 1, pokud ( k = l / {i, j} ) (k = i l = j) (k = j l = i) [P(i, j)] kl := 0, jinak. Tedy matice P(i, j) je matice E T m,m s prohozeným i-tým a j-tým řádkem. Matice P(i, j)a je matice A s prohozeným i-tým a j-tým řádkem (ověřte!). Matice P(i, j) je regulární a platí P(i, j) 1 = P(i, j) (ověřte!). Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 15 / 21
Maticová realizace kroků GEM 2/3 2. Vynásobení i-tého řádku číslem α 0: Matici P i (α) T m,m definujeme takto: α, pokud k = l = i [P i (α)] kl := 1, pokud k = l i 0, jinak. Tedy matice P i (α) je matice E T m,m, kde v i-tým řádku na diagonále je číslo α. Matice P i (α)a je matice A s i-tým řádkem vynásobeným číslem α (ověřte!). Matice P i (α) je regulární (pro α 0) a platí (ověřte!). P i (α) 1 = P i (α 1 ) Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 16 / 21
Maticová realizace kroků GEM 3/3 3. Přičtení i-tého řádku k j-tému řádku: Matici Q(i, j) T m,m definujeme takto: { 1, pokud (k = l) (k = j l = i) [Q(i, j)] kl := 0, jinak. Tedy matice Q(i, j) je matice E T m,m, kde je navíc 1 na (j, i)-té pozici. Matice Q(i, j)a je matice A akorát na j-tém řádku je A i, + A j, (ověřte!). Matice Q(i, j) je regulární a platí (ověřte!). Q(i, j) 1 = P i ( 1)Q(i, j)p i ( 1) Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 17 / 21
Maticová realizace GEM - celkem Důsledek Nechť A, B T m,n a A B. Potom P T m,m regulární taková, že B = PA. Důkaz: Tabule. Poznámka Analogicky bychom místo řádkových úprav mohli používat 3 typy odpovídajících úprav sloupcových. Pro ně bychom opět sestavili 3 regulární matice realizující jednotlivé kroky. Matici A bychom tentokrát násobili regulární maticí zprava. Cvičení: Nalezněte matice realizující sloupcové úpravy. Je-li matice A čtvercová, jaký vztah mají nalezené matice k maticím P(i, j), P i (α) a Q(i, j) definovaných na předchozích slajdech? Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 18 / 21
Tvrzení ekvivalentní regularitě matice A Věta Buď A T n,n. Následující tvrzení jsou ekvivalentní. 1 A je regulární. 2 Soubor řádků matice A je LN. 3 h(a) = n. 4 A E. 5 det A 0 (dokážeme v kapitole o determinantech). Důkaz: Tabule. Poznámka Protože víme, že h(a) = h(a T ), platí také ekvivalence: A regulární soubor sloupců matice A je LN. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 19 / 21
Výpočet inverzní matice pomocí GEM Algoritmus: Nechť A T n,n je regulární. Na rozšířenou matici (A E) T n,2n aplikujeme řádkové úpravy GEM tak, abychom matici A převedli na E (to jde podle předchozí věty). Matice, která nám takto vznikne v druhém bloku je hledaná inverze A 1, tj. (A E) (E A 1 ). Zdůvodnění: Posloupnost jednotlivých kroků GEM lze realizovat vynásobením matice A zleva regulární maticí P. Dostaneme PA = E a z dřívější věty víme, že z toho vyplývá A 1 = P. V druhém bloku rozšířené matice děláme tytéž úpravy, a proto máme napravo matici PE = P = A 1. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 20 / 21
Hodnost součinu matic Věta Nechť A, B T m,n. Exituje-li P T m,m regulární taková, že B = PA, potom A B. Důkaz: Tabule. Důsledek Násobením regulární maticí se hodnost nezmění. Tzn., je-li A T m,n a P T m,m regularní, potom platí h(a) = h(pa). Věta Nechť A T m,n a B T n,p. Potom platí: Důkaz: Tabule. h(ab) min(h(a), h(b)). Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 21 / 21