Uverza Karlova v Praze Maemaco-fyzálí faula BAKALÁŘSKÁ PRÁC Per Šťása Výpoče rezervy a posá plěí př rozděleí da a suečé IBNR a IBNR Kaedra pravděpodobos a maemacé sasy Vedoucí baalářsé práce: RNDr. Luce Mazurová Ph.D. Sudí program: Maemaa Sudí obor: Obecá maemaa Praha 0
Dovolu s a omo mísě poděova RNDr. Luc Mazurové Ph.D. vedoucí baalářsé práce za eí podporu ceé rady př vzu éo baalářsé práce. Dále děu své rodě za sálou podporu.
Prohlašu že sem uo baalářsou prác vypracoval samosaě a výhradě s použím covaých prameů leraury a dalších odborých zdroů. Beru a vědomí že se a mo prác vzahuí práva a povos vyplývaící ze záoa č. /000 Sb. auorsého záoa v plaém zěí zeméa suečos že Uverza Karlova v Praze má právo a uzavřeí lcečí smlouvy o uží éo práce ao šolího díla podle 60 ods. auorsého záoa. V Praze de 6. 5. 0 Per Šťása
Název práce: Výpoče rezervy a posá plěí př rozděleí da a suečé IBNR a IBNR Auor: Per Šťása Kaedra: Kaedra pravděpodobos a maemacé sasy Vedoucí baalářsé práce: RNDr. Luce Mazurová Ph.D. Absra: Baalářsá práce se zabývá rezervou a posá plěí erá e z pohledu posé maemay evýzaměší rezervou v ežvoí pošťově. Tao rezerva e zde blíže popsáa a ásledě sou uvedey meody eího výpoču. Předložeá práce se zaměřue zeméa a pops modelu erý avrhl švýcarsý maema Reé Scheper. Jedá se o specálí model pro odhad celových šodích áladů založeý a rozladu polože umulavího vývoového roúhelíu a o a složu odpovídaící šodám v daém vývoovém roce ově hlášeým a a složu předsavuící změu ve výš šod hlášeých v předchozích vývoových leech. Závěrečá apola umercy lusrue a srovává meody uvedeé v éo prác. Klíčová slova: rezerva a posá plěí meoda Cha-Ladder Scheperův model Borhueer-Fergusoova meoda. Tle: Clams reserve calculao for daa separag rue IBNR ad IBNR Auhor: Per Šťása Deparme: Deparme of Probably ad Mahemacal Sascs Supervsor: RNDr. Luce Mazurová Ph.D. Absrac: The hess deals wh calculag echcal reserves of o-lfe surace uderags especally calculag he clams reserve whch s he mos mpora o-lfe surace reserve. I descrbes he reserve for clams deal focusg cosequely o he dffere calculao mehods. The hess focuses parcularly o he descrpo of he model proposed by he Swss mahemaca Reé Scheper. Ths s a specal model amed a esmag he ulmae clams based o he decomposo of he curred daa o ew clams amous ad chages curred amous for he exsg clams repored he earler years of he developme. The fal chaper umercally llusraes ad compares he mehods meoed hs hess. Keywords: clams reserve Cha-Ladder Scheper s model Borhueer- Ferguso s mehod.
Obsah Úvod Kapola.. Rezerva a posá plěí.. Meoda Cha-Ladder 4.3. Borhueer-Fergusoova meoda 6 Kapola Scheperův model 8.. Daa 8.. Předpolady modelu 9.3. Nesraé odhady paramerů.4. Koečé šody.5. Vzorec pro odhad oečé šody 3 Kapola 3 Numercá lusrace 5 3.. Řešeí úlohy meodou Cha-Ladder 6 3.. Řešeí úlohy dle Scheperova modelu 6 3.3. Řešeí úlohy Borhueer-Fergusoovou meodou 9 3.4. Shruí umercých výsledů 0 Závěr Leraura
Úvod Tao práce se zabývá modelováím rezerv v ežvoím pošěí. Cílem e v ávazos a čláe [] publovaý auory Huua Lu a Rchardem Verrallem v As Bulleu vylož specálí model pro odhad celových šodích áladů založeý a rozladu polože umulavího vývoového roúhelíu a složu odpovídaící šodám v daém vývoovém roce ově hlášeým a a složu předsavuící změu ve výš šod hlášeých v předchozích vývoových leech. Tao meoda byla původě předsavea R. Scheperem v roce 99 a dále rozvíea dalším auory (posu spočívá apř. v odvozeí vzorce pro odhad chyb v dsus ad možou aplací Scheperova modelu a é ypy da. Baalářsá práce e čleěa do 4 apol. Kapola se věue saovováí rezerv a posá plěí v ežvoím pošěí zeméa výladu meody Cha-Ladder. Kapola popsue Scheperův model pro odhad celových šodích áladů erý explcě rozdělue ahlášeá daa a daa za ové šodí událos a změy v šodích čásách u šod ž ahlášeých. Kapola 3 a záladě umercých výpočů porovává výsledy Scheperova modelu s výsledy meody Cha-Ladder a Borhueer-Fergusoovy meody.
Kapola.. Rezerva a posá plěí Nežvoí pošěí e v současé pošťovací prax ermí užívaý pro vešerá pošěí erá espadaí do oblas žvoího pošěí přom žvoím pošěím se rozumí pošěí rza smr ebo doží se určého věu. Smlouvy ežvoího pošěí se uzavíraí spíše a raší posou dobu a pro pošťovu e velm důležý správý odhad pořebých rezerv eboť zšěí oečé výše šody může v ěerých odvěvích ežvoího pošěí rva ěol le. Pro ežvoí pošěí e evýzaměší rezerva a posá plěí. Rezerva a posá plěí e určea e ryí závazů z posých událosí a de o edu z echcých rezerv v ežvoím pošěí eré se v Česé republce řídí záoem č. 77/009 Sb. o pošťovcví. Podle 55 záoa č. 77/009 Sb. o pošťovcví e pošťova pova mí dosaečé rezervy a aby byla v aždém oamžu schopa pl své závazy. Rezerva a posá plěí u žvoích ežvoích pošěí e určea e ryí závazů z posých událosí: - v období před rozvahovým dem vzlých hlášeých ale v omo období ezlvdovaých (rezerva RBNS repored bu o seled; saoveí výše rezervy RBNS provádí lvdáor a záladě souhru odhaduých áladů pro edolvé posé událos - v období před rozvahovým dem vzlých ale v omo období ehlášeých (rezerva IBNR curred bu o repored; saoveí výše rezervy IBNR provádí auár pomocí maemaco-sascých meod.
Vedle ohoo čleěí zá odborá leraura rezervu a šody v období před rozvahovým dem vzlé ale v omo období edosaečě hlášeé (IBNR curred bu o eough repored. Př odhadu výše rezervy RBNS a IBNR se používaí posupy eré vycházeí z uspořádáí podladových údaů za mulé roy podle rou vzu posé událos do zv. vývoových roúhelíů de řáde určue ro vzu šody a sloupec určue zpožděí v úhradě ebo ahlášeí. Rozlšueme dva ypy vývoových roúhelíů: - umulaví roúhelí: : : (. de předsavue celovou výš šod vzlých v roce uhrazeých (případě ahlášeých do oce rou. Troúhelí obsahue daa zámá e oc rou :. - eumulaví roúhelí: Y (šody vzlé v roce uhrazeé (resp. ahlášeé právě v roce. Ozačme: - aožo odhad celové výše šod eré vzly v roce a byly uhrazey do oce rou de 3
- aožo odhad celových plěí za šody vzlé v roce. Předpoládáme-l že vývo šod e po leech uoče poom... Meoda Cha-Ladder Záladí maemaco-sascou meodou pro saoveí rezervy a posá plěí e meoda Cha-Ladder erá vychází z umulavího roúhelíu zaplaceých šod a e založea a předpoladu úměros sloupců umulavího roúhelíu. Nechť sou pro... a pro... áhodé velčy a pro celovou šodu z rou plaí. Předpolad I.:... de c sou zv. vývoové faory. [... ] c Meoda Cha-Ladder odhadue vývoové faory ao: c. (. Pomocí vývoových faorů odhademe celovou šodu z rou ao: c c. (.3 4
Nechť R začí dosud evyplaceé šody z rou. R. Rezerva a šody z rou e dáa odhadem erý dosaeme ásleduícím rozdílem: R ( c c. (.4 Předpolad II.: Možy... }{... } sou vzáemě ezávslé pro p. { p p p T. předpoládáme ezávslos mez edolvým roy vzu šod. Uvažume umulaví roúhelí (. erý po další účely začíme. Za plaos předpoladů I. a II. lze doáza ásleduící vrzeí: ( [ ] c c. (.5 ( Odhady c... c sou esraé eorelovaé a plaí: c c Důazy ěcho vrzeí lze aléz v [3]. c c 3.... (.6 Z (.6 plye [ ] c... c ] (.7 [ edy e esraý odhad. Dále dosáváme že [ R ] [ ] ( c... c [ ] [ R (.8 ]. Tedy R e esraý odhad dosud evyplaceých šod z rou. 5
Předpolad III.: Var (... (.9 de e ezámý paramer erý lze a záladě odhadou ao: ( c (.0 0. Výraz (.9 lze přepsa ve varu: Var (.... (..3. Borhueer-Fergusoova meoda Další meodou pro saoveí rezervy a posá plěí e Borhueer-Fergusoova meoda založeá a ombac meody Cha-Ladder a odhadu šodího poměru. Šodím poměrem se rozumí poměr celové výše šod v daém roce zasloužeému posému. Ozačme: - ZP aožo zasloužeé posé v roce. čás předepsaého posého podle uzavřeé posé smlouvy erá souvsí s daým roem bez ohledu a o zda posé bylo zaplaceo - SP aožo šodí poměr v roce 6
- D aožo vývoové faory eré sou defovaé z umulavího vývoového roúhelíu (. ao D de. Celovou šodu z rou lze odhadou ásledově SP ZP (. de SP e odhad šodího poměru v roce. Ozačme D c c (.3 de c c sou odhady vývoových faorů z (.. Jž vyplaceé šody z rou lze vyádř s podílem. (.4 D Po dosazeí (. do (.3 e pa rezerva a šody z rou dáa odhadem R SP ZP. (.5 D Na záladě výše uvedeého lze v případě použí Borhueer-Fergusoovy meody vyádř odhad oečé šody v roce vzu ao SP ZP. (.6 D 7
Kapola Scheperův model.. Daa Scheperův model byl avrže pro aalýzu da ýaících se ahlášeých šod v rámc provozováí zašťovací čos. Záladí myšleou ohoo modelu e rozděl daa do dvou sup. Prví supa obsahue ové šody dle vývoových le. Ve druhé supě sou obsažey změy v ahlášeých šodách eré vzly v předchozích vývoových leech. Too děleí e možé poud sou dosupá podrobá daa. V dalším předpoládáme že ao podrobá daa sou dspozc. Bez úmy a obecos předpoládeme že daa sou dosupá v roúhelíové podobě. Daa dexueme roem vzu šody a vývoovým roem ve formě umulavího roúhelíu (.. Předpoládeme že přírůsy ahlášeých šod sou součem ( - umulavích změ resp. přírůsů šod ahlášeých v předchozích vývoových leech ( D a - ových šod ahlášeých ve vývoovém roce ( N. Tedy D N. (. 8
Model lze aplova éž a eumulaví roúhelí. Y D N. Volba umulavího č eumulavího roúhelía závsí a daých oolosech (apř. př odvozováí odhadu chyb e obvyle výhoděší použí umulaví šody. Dále používáme pouze umulaví hodoy. Důležým faorem modelu e míra rza. Předpoládáme že míra rza e dosupá pro aždý ro vzu šody ačol v prax se časo využívá exerích formací eré sou užečé zeméa pro esablí daa s ráou hsorí da. Nyí ozačme H možu všech N a D eré sou pozorováy až do aledářího rou edy H { N D : }. (. Dále ozačme F možu všech N a D eré se vzahuí až vývoovému rou edy F N D : }. (.3 {.. Předpolady modelu Předpolad I.: Předpoládáme že exsuí osay a máme aové že pro zámou míru rza [ N H ] (.4 [ D H ] (.5 de H e hsore až do aledářího rou erý bezprosředě předchází vzu N a D. 9
Dle ohoo předpoladu přírůse ových šod ahlášeých ve vývoovém roce N e závslý a sloupcových paramerech eré odhademe z da a řádových paramerech eré sou dle ašeho předpoladu zámy. Saoveí přírůsu šod ahlášeých v předchozích vývoových leech e podobé ( D posupu v modelu cha ladder de předsavue vývoový faor. Předpolad II: Předpoládeme že exsuí osay a aové že: Var[ D Var[ N H ] (.6 H ]. (.7 Předpolad III: Předpoládáme ezávslos mez ley vzu šod. možy N D : } N D : } sou vzáemě ezávslé. { { Předpolad IV: Šody N a D sou podmíěě eorelovaé vzhledem H de. 0
.3. Nesraé odhady paramerů Za předpoladů uvedeých v odsavc. lze saov esraé odhady paramerů ao: N (.8 D (.9 ( N (.0 ( D (. Navíc předpoládáme že 0 a 0. Podmíěé rozpyly odhadů a maí vyádřeí: Var( F (.
( F Var. (.3.4. Koečé šody Hlavím movem pro vorbu rezervy a posá plěí e predce evyřízeých šod. Abychom a mohl uč požadueme odhad oečých šod pro aždý ro vzu šod. Vedle oho ás zaímá aé predce vývoe šod v růzých vývoových leech. Pro oba yo účely požadueme -roovou predc umulavích šod. Predce e dáa reurzví formulí ] [ ( ] [ H H (.4 de. Je zřemé že pro řáde požadueme edoroovou predc pro řáde 3 požadueme dvouroovou predc ad. Použím (.4 zísáme vzorec pro očeávaou oečou šodu v roce vzu :...( ( ] [ H ]......( (...( ( [ 4 3 3 =. ( ( l l (.5 Formule (.4 obsahue ezámé paramery a proo e ué použí ásleduící odhad: ] [ ( ] [ H H (.6 de ] [ H e predce.
3 Dále používáme oac. ] [ H Koečě edy dosáváme:. ( (.7 Rezerva a šody z rou e edy dáa ásleduícím odhadem:. ( ( l l R (.8.5. Vzorec pro odhad oečé šody Vzorce pro odhad oečé šody v roce vzu zísaé v prvích dvou apolách lze zobec a vyádř pomocí ásleduícího vzorce: B A (.9 Specálě pro meodu Cha-Ladder volíme c A c 0 B
4 v případě Borhueer-Fergusoovy meody uvažueme A ZP D SP B a ve Scheperově modelu předpoládáme...( ( A.......( (...( ( 4 3 3 B
Kapola 3 Numercá lusrace V éo apole aplueme eorecé pozay uvedeé v předchozích apolách a reálá daa. Uvažume přílad dy máme zadaý ásleduící umulaví vývoový roúhelí: Ro 3 4 5 6 7 004 75 89 56 845 80 769 795 005 6 48 3 396 550 600 006 3 38 44 363 533 965 007 4 9 40 35 469 008 5 9 98 57 009 6 9 94 00 7 9 Tabula Naším cílem e odhad celových rezerv erým by měla pošťova dspoova e oc rou 00. V odsavc 3.. řešíme uo úlohu meodou Cha-Ladder vyložeou v apole. V odsavc 3.. poé aplueme a uéž úlohu meodu vyložeou v apole. Naoec v odsavc 3.3. řešíme úlohu pomocí Borhueer- Fergusoovy meody. Na závěr porováme zísaé výsledy v odsavc 3.4. 5
3.. Řešeí úlohy meodou Cha-Ladder Meodou Cha-Ladder odhademe vývoové faory dle (. ao: c c c 3 c 4 c 5 c 6 4553 8763 46 3055 033 0338 Tabula Celové šody z edolvých le zísáme z (.3: 7 3 7 4 7 5 7 6 7 7 7 60 0 64 053 0 360 Tabula 3 Odhad dosud evyplaceých šod z edolvých le dosaeme z (.4: R R 3 R 4 R 5 R 6 R 7 Celem 0 46 7 56 808 3069 464 Tabula 4 Závěr: Odhaduá rezerva e oc rou 00 by měla bý 464 peěžích edoe. 3.. Řešeí úlohy dle Scheperova modelu Abychom mohl řeš daou úlohu pomocí Scheperova modelu e řeba rozšíř eí zadáí. Předpoládeme eprve že pro aždý ro vzu šody e dáa míra rza ásledově: 6
Ro 3 4 5 6 7 Míra rza 4 475 5875 7365 940 767 89 Tabula 5 Dále echť abula 6 vyadřue šody ově ahlášeé v daém vývoovém roce a abula 7 vyadřue přírůsy šod ahlášeých v předchozích vývoových leech. Ro 3 4 5 6 7 004 75 83 85 34 86 07 5 005 6 6 8 6 40 06 006 3 38 7 40 4 007 4 9 97 64 6 008 5 9 69 37 009 6 9 75 00 7 9 Tabula 6 Ro 3 4 5 6 7 004-3 48-85 30 39 5 005-06 09 86-4 56 006 3-59 0-46 -3 007 4-4 - -8 008 5 00-58 009 6 00 Tabula 7 7
Paramery dosaeme z (.8 ao: 3 4 5 6 7 00435 005 035 007 0068 00435 00454 Tabula 8 Paramery dosaeme z (.9 ao: 3 4 5 6 7-03595 0079-00476 -00536 00703 0035 Tabula 9 Paramery dosaeme z (.0 ao: 3 4 5 6 080498 049355 03446 0530 079465 074456 Tabula 0 Paramery dosaeme z (. ao: 3 4 5 6 05008 609408 384870 9738 009046 Tabula Odhad dosud evyplaceých šod z edolvých le dosaeme z (.9 ao: R R 3 R 4 R 5 R 6 R 7 Celem 475 393 945 55338 70 97335 689 Tabula Závěr: Odhaduá rezerva e oc rou 00 by měla bý 69 peěžích edoe. 8
3.3. Řešeí úlohy Borhueer-Fergusoovou meodou Naoec vyřešíme daou úlohu pomocí Borhueer-Fergusoovy meody. Nechť máme zadáy odhady šodích poměrů ásledově: SP 3 SP SP 4 SP 5 SP 6 SP 7 07 07 07 07 07 07 Tabula 3 Dále echť e zadáo zasloužeé posé ásledově: ZP ZP 3 ZP ZP 4 5 ZP 6 ZP 7 475 5875 7365 940 767 89 Tabula 4 Paramery D dosaeme z (.3 ao: D D 3 D 4 D 5 D 6 D 7 0338 04758 36765 99846 37496 70699 Tabula 5 Odhad dosud evyplaceých šod z edolvých le dosaeme z (.5 ao: R R 3 R 4 R 5 R 6 R 7 Celem 3377 5048 3676 67883 90430 9468 3888 Tabula 6 Závěr: Odhaduá rezerva e oc rou 00 by měla bý 389 peěžích edoe. 9
Výše rezervy 3.4. Shruí umercých výsledů Výsledy všech meod sou shruy do abuly 7 a grafcy zázorěy v grafu. Př porováí výsledů všech použých meod sou vdě začé rozdíly. Meoda Odhaduá rezerva e oc rou 00 Tabula 7 Cha-Ladder 464 Scheperova 69 Borhueer-Fergusoova 389 Scheperova meoda a meoda Borhueer-Fergusoova používaí romě původích da z erých vycházeí všechy ř meody doplňuící daa (apř. míru rza šodí poměr ad.. To pa dále ovlvňue výslede. V prax se sále evíce používá záladí a eedodušší meoda výpoču - meoda Cha-Ladder erá vychází z posých plěí a eí čím ým ovlvěa. Odhaduá rezerva e oc rou 00 500 450 400 350 300 50 00 50 00 50 0 Scheper Borhueer-Ferguso Cha-Ladder Meoda Graf 0
Závěr Baalářsá práce se zabývá meodam pro výpoče rezervy a posá plěí v ežvoím pošěí. Tvorba adeváí výše rezervy a posá plěí e edím z líčových úolů auárů zabezpečuící schopos pošťovy spl své závazy vůč pošěým. Meody vorby rezervy a posá plěí v ežvoím pošěí sou založey a maemaco-sascých meodách; eusále se vyvíí a zdooaluí. Cílem éo baalářsé práce bylo popsa přísup výpoču rezervy a posá plěí předsaveý švýcarsým maemaem Reém Scheperem a porova výsledy ohoo modelu s výsledy záladích maemaco-sascých meod (Cha-ladder Borhueer-Fergusoova meoda.
Leraura [] Lu H. ad Verrall R.: Predcve Dsrbuos for Reserves whch seperae rue IBNR ad IBNR Clams. ASTIN Bulle 39( 009 pp. 35-60. [] Scheper R.: Separag True IBNR ad IBNR Clams. ASTIN Bulle ( 99 pp. -7. [3] Mac T.: Dsrbuo-free calculao of he sadard error of cha ladder reserve esmaes. ASTIN Bulle 3( 993 pp. 4-5. [4] Borhueer R. L. ad Ferguso R..: The Acuary ad IBNR. Proc. CAS 59 97 pp. 8-95. [5] Záo č. 77/009 Sb. o pošťovcví.