Relatvstcká kvantová mechanka Mchal Lenc Poznámky k přednášce v jarním semestru Obrazy Postulát o kvantové kausaltě Evoluční operátor 3 Schrödngerův a Hesenbergův obraz 3 4 Interakční obraz4 Relatvta a antčástce podle Feynmana 5 3 Relatvstcká kvantová mechanka7 3 Hstorcký přístup 7 4 Dracova rovnce v elektromagnetckém pol8 4 Vlastnost spnorů 8 4 Lorentzova transformace spnorů 43 Vlnová rovnce pro částce se spnem / - Dracova rovnce 44 Dracova rovnce v elektromagnetckém pol3 45 Hesenbergův obraz 4 46 Rovnce kontnuty5 5 Rovnné vlny 6 6 Transformace Dracovy rovnce 7 6 Rovnce volné částce Foldyova - Wouthuysenova transformace 7 6 Rovnce částce v elektromagnetckém pol 8 7 Rozptyl elektronu na jádře 8 Invarantní účnný průřez 4 9 Spnová matce hustoty5 Spnové středování 8
Obrazy Postulát o kvantové kausaltě Postulát o kvantové kausaltě říká že: a Stav systému v čase t jednoznačně určuje stav systému v lbovolném okamžku t > t v okamžku t < t b Platí prncp superposce: Jsou-l stavy ψ t a t ψ t a ψ t pak také stav c ψ t c ψ t ψ c ψ t c t ψ časové evoluce stavů má časovou evoluc c Norma stavového vektoru se běhen časové evoluce nemění Evoluční operátor Podle postulátu o kvantové kausaltě exstuje jednoznačný vztah mez vektory ψ t a ψ t a lze tedy defnovat evoluční operátor T t t ψ Ze zachování normy dostáváme a platí tak Dále porovnáním t T t t ψ t T t t = = t t T t t t T t t t t t ψ ψ = ψ ψ = ψ ψ T t t T t t = 3
t = T t t t = T t t T t t t ψ ψ ψ ψ t = T t t ψ t 4 dostáváme Evoluční operátor je untární neboť také a dále máme Pro Taylorův rozvoj T t t t T t t = T t t T t t 5 dostáváme T t t T t t = 6 T t t = T t t 7 T t t t = H t ħ 8 kde Ĥ je nějaký hermteovský operátor Evoluční operátor splňuje rovnc d ħ T t t = H t T t t T t t = 9 d t 3 Schrödngerův a Hesenbergův obraz Ve Schrödngerově obraze předpokládáme že se v čase mění stavový vektor Pro stavový vektor platí přrozeně ta samá rovnce jako pro evoluční operátor Schrödngerova rovnce d ħ S t H S t S t d t ψ = ψ a pokud operátory závsí na čase tak pouze explctně V Hesenbergově obraze naopak předpokládáme že se stavový vektor v čase nemění Požadavek rovnost vyjádření střední hodnoty lbovolné fyzkální velčny v obou obrazech vede ke vztahu mez operátory 3
t T t t t ψ ψ = ψ H S S t F t = F t = T t t F t T t t ψ ψ ψ ψ ψ ψ S S S H H H H H H tedy F t = T t t F T t t H S Rovnc pro časovou změnu operátoru v Hesenbergově obraze získáme dervováním předchozího vztahu d d T d T FS F H = FS T T FS T T = d t d t d t t FS T H S FS T T FS H S T T T ħ t 3 S uvážením 6 máme d FH FH = FH H H d t ħ t 4 4 Interakční obraz Velm důležtým pro aplkace je nterakční obraz Předpokládáme že hamltonán je složen ze dvou částí H H V t = kde část která může explctně závset na čase Zvolíme a dostáváme pak Ĥ je na čase nezávslá základní část a ψ ψ I S I S V t je nterakční T t t = exp H t t ħ 5 F = T t t F T t t t = T t t t 4
d ħ ψ I t = H I t ψ I t H I t = T t t V t T t t d t d V t F I T = t t T t t H F I d t t 6 Relatvta a antčástce podle Feynmana mpltuda pravděpodobnost přechodu 3 * φ χ = d x χ x U x φ x = χ U φ Předpokládáme φ φ = φ U φ = Působení v čase t označme U působení v čase t jako U atd Máme pak Za { } m m m 3 = φ φ φ U ψ exp E t t ψ U φ m ψ m vezmeme rovnné vlny S označením = φ = φ a x E U x t x b x E U x t x p p 4 kde E p m p = ne nutně kladná větev odmocnny můžeme psát φ φ = { } 3 3 * 3 d p 5 d xb x d x a x exp E 3 p t t p x x π E p Proč jsme vyděll člen s energí je vdět z úpravy relatvstcky nvarantního výrazu δ δ p p m 3 d p d p d p d p E p m 3 d E d p 3 3 d p 6 δ E Ep δ E E p d E d p = nv E E p = = p Označme t = t t a r = r r a všmněme s chování funkce 5
{ } 3 d p G r t = exp p r E 3 p t π Ep 7 Předpokládejme E p > a prostorupodobný nterval proměnné dostaneme λ = s = r t Integrací přes úhlové p exp { } G r t = d p p r p m t = 8π r p m { } d p exp p r p m t 8π r r p m 8 Substtuce p = msnhϕ a označení r = λ cosh ϕ t = λ snhϕ převedou ntegrál na G r t = d ϕ exp { mλ snh ϕ ϕ } = K mλ 8π r r 9 8π r r kde K x = d y cos xsnh y je Besselova funkce Pomocí vztahu K x = K x přepíšeme 9 na m G λ = K mλ 8π λ 6
3 Relatvstcká kvantová mechanka 3 Hstorcký přístup V nerelatvstcké teor máme p H H p ħ = ħ 3 m t a Schrödngerovu rovnc ψ r t ħ ħ = ψ r t 3 t m V relatvstcké teor 3 E µ p = p p p p = p c E pµ = p p p p3 = p c 33 Invarantní délka čtyřvektoru mpulzu je 7
Hamltonán je tedy E c p p = p = m c 34 H = p c m c a analoge ke kvantování v souřadncové representac 4 35 p ħ x 36 naloge ke Schrödngerově rovnc je ovšem r t ψ ħ ħ 37 t 4 = c m c ψ r t 4 Dracova rovnce v elektromagnetckém pol 4 Vlastnost spnorů Přpomeňme Paulho matce pro úplnost dodejme jednotkovou matc σ = σ x σ y σ z = = = 4 V trojrozměrném případě je operace nverse provedená dvakrát návratem k původní souřadné soustavě proto u tensorových velčn je P = U trojrozměrných spnorů mohou nastat rotace o a π nejsou ekvvalentní dvě možnost P P P P = = ± = = ± 4 Ve čtyřrozměrném prostoru však prostorová nverse mění znaménko pouze tří x y z ze čtyř c t x y z časoprostorových souřadnc a nekomutuje tedy s rotacem souřadnc které obsahují časovou osu Specálně pro Lorentzovu transformac platí = P L V L V P 43 Př transformac z vlastní Lorentzovy grupy transformuje se spnor jako 8
= = = 44 ξ α ξ β ξ ξ γ ξ δ ξ α δ β γ Koefcenty α β γ a δ jsou funkcem úhlů rotace čtyřrozměrné souřadné soustavy Blneární forma ξ Ξ ξ Ξ 45 je nvarantem částce se spnem nula složená ze dvou částc se spnem / Je užtečné zavést matc která umožňuje snžovat a zvedat ndexy a tak využívat součtové konvence B g B B B = g = ξ = g Bξ ξ = g ξb 46 Potom můžeme psát místo 45 V nerelatvstcké teor určuje ψ ψ ξ Ξ = ξ Ξ = nv 47 ψ ψ hustotu pravděpodobnost a je tedy skalární * * * * velčnou proto musí být spnorová transformace 44 untární α = δ β = γ V relatvstcké teor je hustota pravděpodobnost časupodobnou složkou čtyřvektoru a podmínka untarty nevznká Proto musíme uvažovat ne jeden spnor ale dvojc spnorů ξ a η transformujících se podle komplexně sdružených representací Lorentzovy grupy ξ podle 44 a η podle * * * * * * * * η = α η β η η = γ η δ η α δ β γ = 48 Komponenty spnoru který se transformuje podle komplexně sdružené representace Lorentzovy grupy budeme značt tečkou nad velkým písmenem Pro zvedání a snžování ndexů platí tady vztah 46 Působení operátoru prostorové nverse můžeme nyní zapsat jako volíme representac kde nebol P = Pξ = η ɺ Pη ɺ = ξ 49 9
ɺ Pξ = η Pη ɺ = ξ 4 Dvojce bspnorů ξ η ɺ a Pro skalární velčny skalár a pseudoskalár je Ξ Η ɺ representuje mmo jné skalární a vektorové velčny Pro vektorové velčny Vzhledem k relacím ɺ ζ = ξ Ξ η ɺ Η P ζ = ζ ɺ ζ = ξ Ξ η ɺ Η Pζ = ζ Bɺ Bɺ Bɺ Bɺ ζ = ξ Η Ξ η P ζ = ζ ɺ B Bɺ Bɺ Bɺ Bɺ ζ = ξ Η Ξ η Pζ = ζ ɺ B 4 4 B ζ a a a Tr{ } a Tr{ } ζ = ɺ = σ σ = ζ σ = ζ 43 odpovídá první případ čtyřrozměrnému vektoru s trojrozměrným polárním vektorem a druhý případ čtyřrozměrnému pseudovektoru s trojrozměrným axálním vektorem = = P a a a a P a a a a 44 4 Lorentzova transformace spnorů Vztahů mez bspnorem ζ a čtyřvektorem a využjeme pro nalezení konkrétního tvaru koefcentů transformace Označme ɺ ɺ α β ξ ζ ζ ɺ ɺ L = ξ = η = η η ζ = γ δ ɺ ɺ ξ ζ ζ ξ = L ξ η = η L ζ = Lζ L Pro nfntesmální transformac píšeme L = λ ζ = ζ λζ ζ λ Př nfntesmální Lorentzově transformac máme jednak 45 46
= = δ V Tr { ζ } = = δ V Tr a a a nδ V a n a a a nδ V a n { σ ζ } 47 a také { ζ σ} a { ζ σ λ λ σ } a = Tr = Tr a = Tr{ ζ } = a Tr { ζ λ λ } 48 Porovnáním obou zápsů dostaneme δ V λ = λ = σ n S využtím vztahu můžeme psát pro konečné velkost rychlost n σ n = 49 4 L φ exp cosh snh φ φ = σ = σ tanh φ = V 4 Př nfntesmální rotac souřadnc v geometrckém prostoru máme pak Tr { } δ θ a = a δ θ n a = a ζ σ n a = a 4 odkud δ θ λ = λ = n σ 43 Pro konečné rotace potom L exp θ n cos θ n sn θ = σ = σ 44
43 Vlnová rovnce pro částce se spnem / - Dracova rovnce Př známém vztahu mez čtyřvektory a spnory můžeme operátoru čtyřmpulsu p přřadt operátorový spnor p Bɺ resp p Bɺ Jedné vhodné relatvstcky nvarantní výrazy jsou pak které se značením Bɺ p η m p ɺ = ξ ɺ ξ = mη ɺ 45 B B B ξ ηɺ ξ = η = ξ η ɺ 46 můžeme přepsat na p σ p σ η = mξ p σ p σ ξ = mη 47 Zavedení bspnorů a γ matc je posledním krokem př odvození obvyklého tvaru Dracovy rovnce Se značením ξ ψ = γ = σ γ = σ η σ σ 48 přejde 47 na γ p γ p ψ = mψ 49 Zcela kompaktní záps dostaneme po zavedení matc V souřadncové representac na chvíl v SI jednotkách p γ p p m ψ = 43 p m c ψ = p = γ = γ x c t ħ t ħ ħ ħ γ ħ ψ = H ψ H = cα m c β 43 kde matce α a β jsou dány vztahy
σ α = γ γ = β = γ = σ α α α α δ β α α β β k k = k = = 43 44 Dracova rovnce v elektromagnetckém pol Se čtyřpotencálem Φ Φ = = c c 433 a záměnou v komutačních relacích vystupuje zobecněný mpulz oprot volné částc dostáváme Dracovu rovnc ve vnějším elektromagnetckém pol p p e 434 γ p e ψ = m cψ 435 kde γ je čtyřvektor matc které mají ve spnorové representac tvar jsou možné jné representace získané untárním transformacem σ γ = γ γ γ = γ = σ 436 a ψ je čtyřkomponentový bspnor V souřadncové representac je p = ħ = p ħ ħ = ħ ħ 437 x c t c t a Dracova rovnce má tvar nebo po přepsání c ħ Φ = t ħ 438 γ e γ e m c ψ 3
ψ ħ = cα p e β mc eφ ψ 439 t kde jsme označl = = γ β α β γ 44 45 Hesenbergův obraz Přpomeňme s vztah pro časovou změnu operátoru v Hesenbergově obraze d F = H F F d t ħ t Zavedeme operátor mechanckého mpulzu π = p e r 44 44 Výpočet komutátorů H r ħ cα = 443 a trochu komplkovaněj e ec ec α α H p ħ ħ ħ e r = Φ 444 S využtím vztahu α = α α α α = α α B 445 dostaneme e ħ ec ħ H p e r = Φ α B 446 Tedy d r d t = cα d π = e Φ e cα B d t 447 4
Charakter operátoru rychlost dal vznk názvu Ztterbewegung 46 Rovnce kontnuty Dracovu rovnc γ m c c t γ ħ ħ ψ = 448 komplexně sdružíme a s využtím vztahů γ = γ γ γ tedy γ = γ γ = γ 449 napíšeme jako γ c t γ ħ ħ ψ 45 * ɶ ɶ m c = Rovnc 45 transponujeme na dferencální operátory působí doleva ψ γ m c c t γ ħ ħ = 45 a po zavedení Dracova sdružení ψ = ψ γ s využtím antkomutačních relací γ matc máme ψ γ m c c t γ ħ ħ = 45 S použtím symbolů = γ můžeme 448 a 45 zapsat jako a a p m c ψ ψ p m c = = 453 Vynásobení první rovnce v 453 zleva ψ a druhé rovnce zprava ψ dává výrazy jejchž sečtením dostáváme rovnc kontnuty j x k k k k = j = ψ γ ψ 454 Časupodobná komponenta je = = > j ψ γ ψ ψ ψ 5
5 Rovnné vlny Dosadíme-l do 453 rovnné vlny volba normovací konstanty ε = c p = p c m c 4 se ozřejmí pozděj ψ dostáváme a = exp = exp 5 ε ε p u p p x ψ p u p p x p m c u p p mc u p = = 5 u p p mc = u p p mc = 53 podmínkou řeštelnost je p p = m c Bspnory normujeme tak že u p u p m c u p u p mc = = 54 Násobení zleva první rovnce v 5 u p a druhé rovnce u p vede na 3 γ γ u ± p p u ± p = m c = c p p u ± p u ± p = c p 55 Pro čtyřvektor toku pak c p v j = ψ ± p ± p = = ε c γ ψ 56 Ve standardní representac kde píšeme φ ψ = χ se Dracova rovnce rozpadá na dvě vázané rovnce 57 m c m c 58 ε φ c p σ χ = ε χ c p σ φ = 6
Máme pak ε m c w ε mc n σ w u p = u p = ε mc n σ w ε m c w 59 kde n = p p a w ± jsou lbovolné dvoukomponentové velčny splňující w w ± ± = Pro relatvstcky sdružené bspnory máme z 59 ε σ ε = ε ε σ u p m c w m c w n = u p mc w n m c w 5 6 Transformace Dracovy rovnce 6 Rovnce volné částce Foldyova - Wouthuysenova transformace Hamltonán je H cα p β m c = 6 Ve standardní reprezentac jsou matce α a β dány vztahy σ β α = = σ 6 Uvažujme o takové untární a na čase explctně nezávslé transformac která by odstranla operátory které vážou velké komponenty s malým Platí U = exp S S = S S = t S ψ ψ = exp 63 64 ħ ψ = exp S H ψ = exp S H exp S ψ = H ψ t Velké a malé komponenty spojuje operátor cα p Uhádneme tedy poměrně snadno potřebný tvar Ŝ 7
p θ 65 sn exp S = exp β α p θ = cos p θ β α p p θ = θ p Pro transformovaný hamltonán dostáváme exp H = exp S H S = p θ cos cα p β m c exp β α p θ p θ p θ sn sn cos cos p θ β α p cα p β m c p θ β α p = p p cα p β m c sn p θ β α p p = = sn c p cos p p θ α θ m c p θ p θ sn cos β m c p p m c 66 Položíme-l teď dostáváme výsledný hamltonán tan p p θ = m c 67 H = β m c p c 4 68 6 Rovnce částce v elektromagnetckém pol Hamltonán v tomto případě je H = cα p e β m c eφ = β m c E O 69 kde E = eφ O = cα p e 6 Platí β O = O β β E = E β 6 8
Uvažujme opět o takové untární ale teď už možná na čase závslé transformac která by odstranla lché operátory které vážou velké komponenty s malým a ponechala jen operátory sudé Pro ψ exp S = ψ dostáváme U = exp S S = S 6 odkud pak ħ exp S ψ = exp S ħ ψ ħ exp S ψ = t t t H ψ = H exp S ψ 63 ħ ψ = H ψ H = exp S H ħ exp S 64 t t Mějme výraz chápaný jako funkce parametru λ který pak položíme roven jedné Dervováním 65 dostáváme n n exp exp λ F F λ = B λ B λ = n n = n! λ 65 λ = F λ λ = B = 66 n F n λ λ = n = B B B takže ponecháme-l v rozvoj pouze členy do třetího řádu nebo čtvrtého násobí-l člen kldovou energ v Ŝ dostáváme H = H S H S S H S 6 S S H m c ħ ɺ ħ S S S S β S S S S ɺ ɺ S S ħ 4 6 67 Ponecháme-l v 67 jen členy nejnžšího řádu máme H m c E O m c S 68 = β β 9
Tento tvar vede k tomu že zkusíme zvolt S m c β 69 S označením matce spnu ta je stejná ve spnorové standardní representac σ Σ = σ 6 máme po delších výpočtech výsledný hamltonán ve tvaru 4 H β = mc p e p 3 eφ m 8m c e ħ e ħ e ħ e ħ Σ B Σ E p Σ E E m 4m c 8m c 8m c 6 Pro rotačně souměrné pole máme E r dv r r = d r r 6 a příslušný člen nabude tvaru e ħ e ħ dv r Σ E p = Σ L L = r p 4m c 4m c r d r 63 kterým popsujeme spn - orbtální nterakc Poslední člen se nazývá Darwnův jeho vznk se dá se chápat jako rozmazání energe Coulombova působení V V j ħ V r δ r V r δ x δ x δ x V j x x x 6 mc 64 Schéma nejnžších hladn je na obrázku:
S / Lambův posuv S / P 3/ P / Hyperjemné = spnová nterakce s jádrem Jemné = spn - orbtální nterakce 7 Rozptyl elektronu na jádře Budeme počítat rozptyl elektronu na nekonečně těžkém jádře náboje Ze Volba souřadné soustavy je velm důležtá pro zjednodušení výpočtu Impuls elektronu před rozptylem ať je ve směru osy x mpuls elektronu po rozptylu ať leží v rovně x-y značíme γ γ γ t p p = E c p t E x t E x y p = γ γ p x p = γ γ px γ p y c c 7 Čtyřvektor potencálu je φ Z e Z e t = = = = γ c 4π ε c r 4π ε c r 7 Přpomeňme Dracovu rovnc p e m c ψ = p = ħ 73
Počáteční a koncový stav je pokud píšeme obvykle vynechávaný normovací faktor p x p x ħ ħ x ψ = u e x ψ = u e 74 E V E V mpltuda pravděpodobnost přechodu je ψ t T u p r 3 γ u Z e p r E t E t ħ ħ ħ ħ H ψ = e e d r e e d t ħ E E V 4π ε r nt 75 Pro ntegrály máme vyjádření E E sn T T E E 3 4 p r p r E t E t T π ħ e e d r e e d t ħ ħ ħ ħ ħ ħ = = e r p E p E ħ 76 První ntegrál počítáme jako π π qr cosϑ λ r 4π λ r lm d ϕ d ϑ snϑ d r r e lm d r sn q r e λ q λ π = = 4π 4π lm = λ q q λ 77 Pro pravděpodobnost přechodu za jednotku času w = lm ψ Hnt ψ = T T E E t sn T u γ u Z e ħ lm ħ 4 ħ E T E V ε T p p E E T ħ 78 Jedním z vyjádření Dracovy delta funkce je δ x Využtím 79 upravíme vztah 78 na xt sn = lm 79 T π x T
t π u γ u Z e ħ w = δ E E ħ 4 E E V ε p p 7 4 Hustota stavů v okolí koncového stavu stav je E = p c m c 3 V d p V E p 3 3 d ρ = = d Ω d E c π ħ π ħ 7 a tak můžeme psát platí p = p V d Ω p t Z e d w = 3 w E p d E = u γ u d Ω π c E V ħ 4π ε p p 7 Poněvadž v = E p máme pro hustotu toku částc výraz j v V p c E V = = 73 a pro dferencální účnný průřez pak t Z e γ π ε q θ d σ = u u d Ω q = p p = 4 p sn 4 74 Nyní zvolme bspnory jako Platí E mc E m c E mc E mc c px py 75 c px py u p = u p = θ E mc p c e v = = t γ E m c θ u u 4 E sn c 76 Obdobně spočteme další výrazy takže máme 3
t v θ t u γ u = 4 E sn u γ u = c t t v θ u γ u = u γ u = 4 E sn c 77 Pro dferencální účnný průřez rozptylu je tedy konečný výraz θ rel = Ruth Ruth = E c 4π ε m v mc v Z e d Ω d σ sn d σ d σ θ 4 sn 78 8 Invarantní účnný průřez Mějme dva svazky částc které se srážejí Počítejme v kldové soustavě částce počet srážek v objemu d V za čas d t dν = n σ v d t n d V dν = n n d t dv 8 rel kde v rel je velkost rychlost částce v kldové soustavě částce n a n jsou hustoty částc a konečně σ je účnný průřez Velčny dν a d t d V jsou nvaranty musí tedy být nvarantem také velčna n n přčemž musí v kldové soustavě jedné z částc přejít na vrel σ Máme n ε n d V = n d V n = = n v c m c 8 a tedy ε ε = = = n n nv εε nv nv p p 83 kde skalární součn označujeme jako p p = p p V kldové soustavě částce je ε ε ε = vrel σ p = = mc p = p p = nv = v rel σ c c c 84 4
a dále m c v m m c p p = m c = rel vrel c c p p 85 Spojením vztahů dostáváme dν c d w = = cσ n n p p m m c d V 86 d t ε ε Účnný průřez dostaneme tedy z pravděpodobnost přechodu za jednotku času p p m m c d w σ = J = n J n d V ε ε 87 V těžšťové soustavě je p = p = p a tedy p v v j = = V ε ε V 88 v souladu s obvyklou defncí hustoty toku 9 Spnová matce hustoty Spnory vyhovují řeštelným determnant je roven nule soustavám algebrackých rovnc Normujeme je tak aby platlo Ve standardní representac máme p m u p p m u p = = 9 u p u p = m u p u p = m 9 5
ε m w p ε m nσ w p u p = u p = ε m nσ w p ε m w p n = p w p w p = w p w p = p 93 Pro relatvstcky sdružené výrazy pak ε σ ε = ε ε σ u p m w p m w p n = u p m w p n m w p 94 V těchto výrazech jsou w p a w p lbovolné normované dvoukomponentové velčny Uvedené volnost můžeme užít pro vhodnou volbu vlnové funkce Možnou volbou je například σ = σ = * σ = w p = w p = σ y w p = σ = σ = * σ = w p = w p = σ y w p = 95 Platí Pro bspnory pak máme w p w p = w p w p = σ σ 96 σ σ σ σ σ σ σ u p u p p m u p u p σ = = p m 97 σ Prvky spnové matce hustoty jsou v čstém stavu trvální výrazy σ p u p u p ρ = 98 B B Poněkud odlšně oprot běžné matc hustoty zde stopa není rovna Tr{ ρ p } = u p u p = u p u p = m 99 6
Ze 98 je zřejmé že matce hustoty v čstém smíšeném stavu bude splňovat Dracovu rovnc p m ρ p ρ p p m = = 9 V čstém stavu spočteme střední hodnotu spnu podle vztahu ψ ψ γ 4ε 4ε s = * d 3 u * p Σ u p = u p Σ u p 9 a odpovídající výraz pro stav částečné polarzace je pak s = u p γ Σ ub p = 4ε B B { } ρ p γ Σ = ρ p γ γ 4ε 4ε { } 5 Tr Tr 9 Polarzační vektor v kldové soustavě označme ζ = s platí tedy pro čstý stav ζ = pro smíšený stav ζ < Čtyřvektory mpulsu a spnu v kldové soustavě jsou p = m a a = ζ a v lbovolné nercální souřadné soustavě tedy musí platt p p m a a ζ p a = = = 93 Lorentzova transformace do laboratorní soustavy dává a ζ ζ p p p = a = ζ m m m ε 94 Matce hustoty pro nepolarzovaný svazek bude mít tvar musí obsahovat pouze mpuls jako jednou charakterstku a splňovat dané rovnce ρ n p = p m 95 Pro obecný smíšený stav bude mít tvar 7
ɶ 96 ɶ ρ p = p m ρ a p m 4 m ɶ ρ a = = Přpomeňme s že platí p m m p m = Matce ρɶ a má na čtyřvektoru a závset 5 lneárně Napšme tedy ρ = γ a a Konstantní matc určíme výpočtem střední hodnoty spnu v kldové soustavě m 5 m 5 p = = ρ 4 γ γ γ ζ γ γ γ γ ζ ζ = 5 s = Tr{ ρ p γ γ } = Tr{ γ ζ γ } = ζ m 4 97 a musí být tedy = Protože je a p = p antkomutuje s a a komutuje s γ 5 a Výraz pro spnovou matc hustoty lze přepsat do konečného tvaru ρ = 98 5 p p m γ a Vektor spnové polarzace lze naopak z matce hustoty spočítat pomocí vztahu a Tr 5 = { ρ p γ γ } 99 m Obdobně by bylo možné odvodt obecný vztah pro spnovou matc hustoty postronů 5 ρ p = p m γ a 9 Spnové středování Máme-l ve Feynmanově dagramu jen jednu fermonovou čáru rozptyl na vnějším pol Comptonův rozptyl anhlace nebo kreace páru můžeme použít následujícího způsobu spnového středování středování přes počáteční spnové stavy a součtu přes koncové spnové 8
stavy pro rozptyl středování přes spnové stavy elektronu a postronu př anhlac nebo kreac Matcový element M f je ve zmíněných případech možno zapsat jako M = u Q u = u Qu f f B B f B Potom máme B C D E * * * * * M = f u f QB u B = u f C γ C QB u = B B B C u γ γ Q γ u = u Q u * B B D D E B C f C f kde jsme využl vlastností γ γ = γ = γ a označl Q = γ Q γ Můžeme teď psát { } M = u Qu u Q u = Tr u u Qu u Q 3 f f f f f Takže máme Tr Tr Tr Tr { ρ f p Q ρ p Q} ρ p Q ρ p Q { f } { ρ f p Q ρ p Q} { ρ f p Q ρ p Q} rozptyl elektronů na vnějším potencále Comptonův rozptyl anhlace páru kreace páru 4 9