Lineární algebra : Polynomy

Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze LS 2013/2014 vytvořeno: 15. dubna 2014, 11:21 Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 1 / 24

Hlavní body 1 Značení a těleso komplexních čísel 2 Polynomy definice a operace 3 Fundamentální vlastnosti polynomů 4 Vlastnosti polynomů s reálnými koeficienty 5 Součin a částečný podíl polynomů, Hornerovo schéma Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 2 / 24

Značení N := {1, 2, 3... }... množina přirozených čísel (neobsahuje 0). N 0 := N {0}. Z, Q, R a C... po řadě čísla celá, racionální, realná a komplexní. Pro n N, definujeme ˆn := {1, 2, 3,..., n}. Dále budeme běžně používat symbol a v obyklém smyslu: n a i := a 1 + a 2 + + a n i=1 a n a i := a 1 a 2... a n. i=1 Další symboly zavedeme během kurzu. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 3 / 24

Číselné těleso C Přesnou definici číselného tělesa uvedeme později - příklady jsou: Q, R, nebo C. Množina C := {a + ib a, b R}, kde symbol i označuje tzv. imaginární jednotku. Symbol + nemá svůj obvyklý význam, slouží jako "oddělovač"(mohli bychom psát (a, b) místo a + ib). Pro z = a + ib C nazýváme a reálnou částí z a značíme Re z. Číslo b nazýváme imaginární částí z a značíme Im z. Tuto množinu vybavíme dvěma operacemi + : C C C a : C C C, které pro a, b, c, d R definujeme následovně: (a + ib) + (c + id) := (a + c) + i(b + d), (a + ib) (c + id) := (ac bd) + i(ad + bc). Všimněte si, že pravidlo pro násobení bychom dostali formálním roznásobením závorek (a + ib) a (c + id), položíme-li i 2 = 1. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 4 / 24

Komplexní sdružení Definice Buď z = a + ib, a, b R komplexní číslo. Číslo z := a ib nazýváme číslem komplexně sdruženým k číslu z. Dále z := a 2 + b 2 nazýváme absolutní hodnotou komplexního čísla z. Cvičení: Ověřte následující vlastnosti komplexního sdružení: 1 z + w = z + w, 2 z w = z w, 3 z 2 = z z, pro z, w C. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 5 / 24

Polynomy Definice Funkce p : C C je polynom, právě když existují n N 0 a α 0, α 1,..., α n C tak, že ( ) n ( x C) p(x) = α i x i. Čísla α 0, α 1,..., α n nazýváme koeficienty polynomu. Množinu všech polynomů označíme P. Dále definujeme stupeň polynomu p jako i=0 St p := max{j N 0 α j 0}, stupeň nulového polynomu p 0 defininujeme 1. Poznámka Definice stupně polynomu má smysl, protože, jak ukážeme později, polynom má své koeficienty (a tedy i stupeň) určeny jednoznačně (až na "nulové koeficienty navíc"). Příklad: Funkce p(x) = 6x 4 + πx 2 + (2 i)x + 1/3 je polynom stupně 4. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 7 / 24

Polynomy operace Operace sčítání polynomů p a q a násobení polynomu p komplexním číslem α zavádíme stejně jako pro funkce: ( x C)( (p + q)(x) := p(x) + q(x)), ( x C)( (αp)(x) := αp(x)). Množina P je vůči těmto operacím uzavřená, tzn. pro p, q P a α C platí: Cvičení: Ukažte, že pro p, q P platí Poznámka p + q P a αp P. St(p + q) max(st p, St q). Všimněte si, že operace na polynomech lze popsat pouze pomocí jejich koeficientů. Také polynom sám lze chápat jako uspořádanou (n + 1)-tici jeho koeficientů. Algoritmy pro realizaci jednotlivých operací pouze sčítají nebo násobí koeficienty polynomů. S proměnnou x algoritmy vůbec nepracují. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 8 / 24

Kořen polynomu Definice Číslo λ C nazveme kořen polynomu p, právě když p(λ) = 0. Věta (Základní věta algebry) Polynom stupně alespoň 1 má alespoň 1 kořen. Důkaz: Neuvádíme (důsledek Liouvilleovy věty z analýzy fukce komplexní proměnné). Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 10 / 24

Bézoutova věta Věta (Bézoutova) Nechť p je polynom stupně n N 0, λ 0 C. Potom existuje polynom q stupně n 1 tak, že pro x C platí Důkaz: Tabule. p(x) = (x λ 0 )q(x) + p(λ 0 ). Poznámka Všimněte si, že je-li λ 0 C v Bézoutově větě kořenem p, tj. p(λ 0 ) = 0, pak existuje polynom q stupně n 1 tak, že pro x C platí p(x) = (x λ 0 )q(x). Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 11 / 24

Důsledky Bézoutovy věty 1/2 Důsledek Polynom stupně n 0 má nejvýše n kořenů. Důkaz: Tabule. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 12 / 24

Důsledky Bézoutovy věty 2/2 Protože polynom je speciální druh funkce, také rovnosti dvou polynomů p a q budeme rozumět jako rovnosti dvou funkcí. Tedy p = q def ( x C)(p(x) = q(x)). Je zřejmé, že polynom je jednoznačně určen svými koeficienty. Následující důsledek Bézoutovy věty říká, že je to pravda také obráceně. Důsledek Koeficienty polynomu jsou určeny jednoznačně (až na případné nulové). Nebo-li neexistuje polynom p takový, že ( n ( x C) p(x) = α j x j = a přitom Důkaz: Tabule. j=0 ( j 0)(α j β j ). ) n β j x j, Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 13 / 24 j=0

Rozklad polynomu na kořenové činitele Věta Nechť p je polynom stupně n 1 tvaru p(x) = n α j x j a nechť λ 1, λ 2,..., λ k jsou všechny jeho různé kořeny (tj. k n). Potom existují jednoznačně určená čísla n 1, n 2,..., n k N taková, že j=0 Důkaz: Tabule. k k n i = n a p(x) = α n (x λ i ) ni. (1) i=1 i=1 Definice Číslo n i z věty nazýváme násobnost kořene λ i, vyjádření p(x) ve tvaru (1) rozklad polynomu p na kořenové činitele. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 14 / 24

Kořeny polynomu s reálnými koeficienty Věta Buď p polynom s reálnými koeficienty a λ 0 C kořen polynomu p. Potom λ 0 je také kořen p a násobnosti kořenů λ 0 a λ 0 jsou stejné. Důkaz: Tabule. Důsledek Polynom lichého stupně s reálnými koeficienty má alespoň 1 reálný kořen. Důsledek Každý polynom s reálnými koeficienty lze psát ve tvaru součinu polynomů 1. stupně s reálnými koeficienty a polynomů 2. stupně s reálnými koeficienty. Důkaz: Tabule. Příklad: 2 + 2x 3x 2 + 3x 3 x 4 + x 5 = (x 2)(x 2 + 1)(x 2 + 2) Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 16 / 24

Hledání kořenů polynomu Nalézt rozklad polynomu na kořenové činitele, tedy nalézt kořeny (i s jejich násobnostmi), není algrebraicky možné pro obecný polynom p. Pro polynom 1. stupně je to snadné. Vzorce pro kořeny polynomu stupně 2., p(x) = α 0 + α 1 x + α 2 x 2, jistě znáte: λ 1 = α 1 + α1 2 4α 0α 2, λ 2 = α 1 α 2 1 4α 0 α 2. 2α 2 2α 2 Pro polynomy 3. a 4. stupně vzorce také existují, ale jsou už poměrně komplikované (vizte Cubic and Quartic function, Wikipedia). Pro polynomy stupně 5. a vyššího algebraické vzorce pro kořeny neexistují! Tuto skutečnost dokázali Niels Abel a Évartiste Galois pomocí teorie grup (Abel Ruffini theorem). Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 17 / 24

Součin polynomů Kromě operací p + q a αp pro p, q P a α C lze polynomy také násobit mezi sebou (jako dvě funkce). Výsledek pq bude zřejmě opět polynom. Jaké jsou ale koeficinty polynomu pq, známe-li koeficienty p a q? Buďte n m p(x) = α i x i a q(x) = β j x j, potom i=0 m+n pq(x) = γ r x r, kde γ r = r=0 j=0 min(m,r) j=max(0,r n) α r j β j Nebo trochu jednodušeji: položíme-li α i = 0 pro i > n a β j = 0 pro j > m, můžeme psát r γ r = α r j β j, r {0, 1,..., m + n}. j=0 Výpočet a obrázek: Tabule. Všimněte si, že platí: St p = n St q = m = St pq = m + n. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 19 / 24

Částečný podíl polynomů Věta Pro každé p, q P, q 0, existují jednoznačně určené r, z P takové, že platí: 1 p = rq + z, 2 St z < St q. Důkaz: Tabule. Definice Polynom r nazýváme částečný podíl a polynom z nazýváme zbytek při dělení polynomu p polynomem q. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 20 / 24

Částečný podíl polynomů příklad K získání částečného podílu a zbytku při dělení polynomu p polynomem q používáme známý algoritmus. Ilustrujme si ho nejdříve na příkladě: (2x 5 3x 4 + 3x 3 x 2 6x + 8) : (x 2 2x + 4) = 2x 3 + x 2 3x 11 (2x 5 4x 4 + 8x 3 ) x 4 5x 3 x 2 6x + 8 (x 4 2x 3 + 4x 2 ) 3x 3 5x 2 6x + 8 ( 3x 3 + 6x 2 12x) 11x 2 + 6x + 8 ( 11x 2 + 22x 44) 16x + 52 Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 21 / 24

Částečný podíl polynomů obecně Náčrt algoritmu: p : q = γ k x k + γ k 1 x k 1 + + γ 0 γ k x k q p γ k x k q γ k 1 x k 1 q p (γ k x k γ k 1 x k 1 )q... p (γ k x k + γ k 1 x k 1 + + γ 0 ) q =: z }{{} =:r Algoritmus vždy skončí po konečně mnoha krocích. Algoritmus k dvojici polynomů p a q na vstupu vrátí dvojici polynomů r a z, které mají vlastnosti podle věty o částečném podílu (rozmyslete si, proč). Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 22 / 24

Hornerovo schéma Hornerovo schéma je algoritmus na efektivní vyhodnocení funční hodnoty polynomu p v bodě λ, který je postavený na výrazu: p(λ) = n α i λ i = α 0 + λ(α 1 + λ(α 2 + + λ(α n 1 + λα n )... )). i=0 Mezivýpočty (závorky) mohou zůstávat v registru procesoru. Na vyhodnocení jedné závorky stačí jednou násobit a jednou sečíst. Cvičení: Kolik sčítání a násobení potřebuje počítač k vyhodnocení p(λ), použije-li a) vzorec z definice polynomu, b) Hornerovo schéma? Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 23 / 24

Tři řádky Hornerova schématu Při výpočtu na papír je vhodné zapsat si Hornerovo schéma do třířádkové tabulky následovně: kde α n α n 1 α n 2... α 2 α 1 α 0 λ: λξ n 1 λξ n 2... λξ 2 λξ 1 λξ 0 ξ n 1 ξ n 2 ξ n 3... ξ 1 ξ 0 p(λ) ξ n 1 := α n a ξ k 1 := α k + λξ k, pro k = n 1, n 2,..., 1. Věta Třetí řádek Hornerova schématu obsahuje koeficienty polynomu q z Bézoutovy věty, pro který platí: p(x) = (x λ)q(x) + p(λ). Důkaz: Tabule. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/2014 24 / 24