Zobecněné klínové plochy Mgr. Jana Vecková Fakulta stavební, ČVUT v Praze Tato práce byla inspirována články Václava Havla [1] - [3] a prací studentů [4]. Moji snahou bylo zobecnit klasické pojetí klínových ploch, kdy je zadaná dvojice křivek a plocha je definovaná pomocí afinity. Mějme tedy křivku kt v rovině y,z a křivku hu v rovině x,z. Zvolme libovolnou rovinu α0 danou rovnicí x=x0, kde x0 0. Nechť existuje průsečík roviny α0 a křivky hu a nechť je to bod H=hu0. Posuňme rovinu α0 o vektor -x0,0,0. Posunutá rovina α0 splyne s rovinou y,z a bod H se zobrazí do bodu Hp. V rovině y,z buď zadaná středová kolineace ϕ středem S kt a osou kolineace v souřadnicové ose y. Nechť existuje průsečík K kt přímky SHp a křivky kt. A nechť K y. Středová kolineace ϕ je dourčena dvojicí KHp vzor - obraz. Viz. Obr. 1. V takto zadané středové kolineaci je ϕk=kp obraz křivky k. Posuneme křivku kp o vektor x0,0,0 a získáme tak výslednou křivku v rovině α0. Takto postupujeme pro všechna přípustná x0. Obr. 1 Tímto způsobem můžeme postupovat při konkrétních volbách křivek. Uvedla bych několik hezkých příkladů těchto ploch. Tou nejjednodušší je zobecněná parabolicko-parabolická klí-
nová plocha ρ zadaná parabolou k v rovině y,z, která má vrchol v bodě V=[0,0,zV], zv>0, a pro zv chází bodem P=[0,yP,0], yp>0. Její rovnice je kt= 0, t, t + z V. Druhou řídící křivkou h yp nechť je parabola v rovině x,z, která má vrchol v bodě V a prochází bodem Q=[xQ,0,0], xq>0. zv Její rovnice je hu= u,0, u + zv. Středová kolineace nechť má střed S=[0,0,zS], zs>zv. xq Středová kolineace je určena body H=hu0V. Výsledná rovnice plochy pro konkrétní hodnoty Obr. je: 3u + 64 t 5u 16t + u t + 400 ρ t, u = u, 5, 1. 1600 + 3t u 1600 + 3t u Obr. Řídící křivka k nechť je elipsa v rovině y,z, která má střed v počátku souřadné soustavy, velikost hlavní poloosy a>0 a velikost vedlejší poloosy b>0. Křivka k má pak parametrickou rovb a t. Předpokládejme křivku h a střed S kolineace zadané jako nici: kt= 0, t, a v předchozím případě. Vytvoříme tak zobecněnou elipticko-parabolickou klínovou plochu φ, jejíž rovnice je pro konkrétní hodnoty Obr. 3: 3u + 64 t 5 t u 16 φ t, u = u, 5, 1 3u 5 t 15u 30 3u 5 t 15u 30. 3u + 64 t 5 t u 16 u, 5, 1 3u 5 t + 15u + 30 3u 5 t + 15u + 30
Obr. 3 Jedním systémem parametrických křivek jsou křivky v rovinách α0 rovnoběžných s rovinou y,z. Druhý systém křivek na ploše leží v rovinách rovnoběžných s vektorem posunutí x0,0,0 a procházející středem S kolineace. Při záměně křivek k a h získáme zobecněnou klínovou plochu jiného druhu. Výsledná rovnice zobecněné parabolicko-eliptické klínové plochy κ je pro konkrétní hodnoty Obr. 4: 3 16 u 8 t 16 u t 16 κ t, u = u, 16, 1 3t 16 u 1t 56 3t 16 u 1t 56 3 16 u + 8 t 16 u t 16 u, 16, 1 3t 16 u + 1t + 56 3t 16 u + 1t + 56 Obr. 4 Docela zajímavý je pohled do břišní dutiny této plochy Obr. 5.
Obr. 5 Zajímavé plochy dostaneme, když střed S středové kolineace umístíme do bodu [0,yS,zS], zs>0, ys 0. Ukažme si to na příkladu zobecněné parabolicko-parabolické klínové plochy σ. Nechť je plocha σ zadaná stejnými řídícími křivkami jako zobecněná parabolicko-parabolická klínová plocha ρ. Rovnice plochy σ i pro konkrétní hodnoty Obr. 7 je poměrně rozsáhlá, a proto ji zde neuvádím. Obr. 6
Obr. 7 Nechť je nyní řídící křivka k sinusoida v rovině y,z, která má rovnici: kt= [ 0, t, zv cost ] a prochází bodem V=[0,0,zV]. Řídící křivka h nechť je sinusoida v rovině x,z, která má rovnici: hu= [ u,0, zv cosu ] a prochází bodem V. Vytvoříme tak zobecněnou sinovo-sinovou klínovou plochu ε viz Obr. 8, 9, jejíž rovnice je: cos u 7 t cos u cos t ε t, u = u,, 10 cos t cos u + cos u cos t + 7 cos t cos u + cos u cos t + 7 Obr. 8
Obr. 9 Takto upravené klínové plochy by našly praktické využití v moderním stavitelství, protože splňují i základní požadavek, který si kladl Bedřich Hacar při konstrukci Hacarových ploch. Požadoval, aby hraniční křivky plochy nad obdélníkovým půdorysem byly vodorovné úsečky. Seznam použité literatury: [1] Havel, V.: O plochách klínových I, Časopis pro pěstování matematiky, Matematický ústav Československé akademie věd, 1955, str. 51-59. [] Havel, V.: O plochách klínových II, Časopis pro pěstování matematiky, Matematický ústav Československé akademie věd, 1955, str. 308-316. [3] Havel, V.: O projektivním pojetí translačních ploch, Časopis pro pěstování matematiky, Matematický ústav Československé akademie věd, 1956, str. 331-334. [4] Šulc, M., Švorc, K.: Klínové plochy, semestrální práce studentů. ročníku Fakulty stavební ČVUT v Praze, 1997. Mgr. Jana Vecková Katedra matematiky Fakulta stavební ČVUT v Praze Thákurova 7 166 9 Praha 6 E-mail: veckova@mat.fsv.cvut.cz