OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Jan Franců Obsah 1. Existence a jednoznačnost řešení...................................... 2 2. Okrajové úlohy........................................................ 9 3. Stabilita řešení....................................................... 14 4. Autonomní systémy.................................................. 19 Literatura............................................................... 24 Úvod Tento učební text je určen pro studijní obor Matematické inženýrství. V druhém ročníku se v předmětu Matematická analýza 3 probírají obyčejné diferenciální rovnice. V 3. ročníku je zařazen předmět Parciální diferenciální rovnice. Protože parciální diferenciální rovnice navazují na obyčejné diferenciální rovnice, začátek semestru je věnován opakování a doplnění vybraných partií z obyčejných diferenciálních rovnic. Tento text zatím obsahuje pouze látku z obyčejných diferenciálních rovnic doplňující předmět Matematická analýza 3. Jako další literaturu lze doporučit učebnici [KaRa] a přehledy [PUM1] a [ZAM2]. 6. 12. 2012 Autor

1. Věty o existenci a jednoznačnosti řešení V předchozích kapitolách jsme uvedli a využívali věty o existenci a jednoznačnosti řešení diferenciálních rovnic, aniž bychom se zabývali jejich důkazem. Tento nedostatek nyní napravíme. Jedná se o dva typy vět. První typ zaručuje pouze existenci řešení, tato věta se nazývá Peanova, druhý silnější typ zaručuje nejen existenci ale i jednoznačnost řešení počáteční úlohy, věta se nazývá Picardova. Moderní důkaz této věty je založen na Banachově principu kontrakce Větě o pevném bodu kontraktivního zobrazení. Ačkoliv případ rovnice prvního řádu je zahrnut v existenční větě pro rovnici vyššího řádu a také ve větě pro soustavu rovnic prvního řádu, z didaktického důvodu začneme důkazem věty pro rovnici prvního řádu. Důkazy nebo jejich náznaky lze najít např. v [ČeŽe], str. 95, 99, [Ž-FA1], str. 138. Banachovu větu lze najít také v [F-FA]. Rovnice prvního řádu Buď G oblast v rovině R 2 a (x 0, y 0 ) bod v oblasti G. Uvažujme počáteční úlohu pro rovnici prvního řádu y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0, (1.1) kde f(x, y) je daná funkce definovaná v oblasti G. Připomeňme, že (tzv. klasickým) řešením úlohy (1.1) rozumíme funkci y(x) definovanou na otevřeném intervalu I = (a, b) obsahujícím bod x 0, která má spojitou derivaci na I, tj. y C 1 (I), a která ve všech bodech intervalu I splňuje rovnost y (x) = f(x, y(x)). Existenci a jednoznačnosti řešení úlohy lze vyšetřovat pomocí následujících dvou vět: Věta 1.1 (Peanova věta) Nechť funkce f(x, y) definovaná v G R 2 je spojitá v okolí bodu (x 0, y 0 ) G. Potom úloha (1.1) má řešení y(x) v okolí bodu x 0. Druhá věta je silnější, zaručuje navíc i jednoznačnost řešení: Věta 1.2 (Picardova věta) Nechť funkce f(x, y) definovaná na G je spojitá a navíc lipschitzovská v proměnné y v okolí bodu (x 0, y 0 ). Potom existuje okolí I bodu x 0 na kterém existuje právě jedno řešení úlohy (1.1). Důkazy obou vět spočívají v konstrukci posloupnosti přibližných řešení y n (x). O této posloupnosti (případně podposloupnosti) se dokáže, že konverguje a že její limita je řešením zkoumané úlohy. Důkaz druhé věty provedeme pomocí známé věty z teorie metrických prostorů: 2

Věta 1.3 (Banachova věta o pevném bodu kontraktivního zobrazení) Buď (P, ρ) úplný metrický prostor a T kontraktivní zobrazení na P, tj. zobrazení T : P P splňující podmínku kontrakce, tj. Lipchitzovu podmínku s konstantou c < 1: ρ(t (y 1 ), T (y 2 )) c ρ(y 1, y 2 ) y 1, y 2 P. Potom zobrazení T má pevný bod, tj. existuje y P takové, že T (y ) = y. Navíc, pro každé y 0 P posloupnost {y n } definovaná y n+1 = T (y n ) konverguje k y. Důkaz Picardovy věty 1.2. Viz také [ČeŽe] str. 95, [Ž-FA1] str. 138. Důkaz spočívá ve vhodné volbě metrického prostoru P, zobrazení T : P P a ověření předpokladů Banachovy věty. Nejprve úlohu přeformulujeme. Funkce y(x) je řešením úlohy (1.1), právě když y(x) = y 0 + x x 0 f(t, y(t)) dt. (1.2) Skutečně, pro spojitou funkci f(x, y) je uvedený integrál spojitá diferencovatelná funkce. Derivací vztahu (1.2) podle proměnné x, která se v integrálu vyskytuje pouze v horní mezi, dostáváme y = f(x, y). Navíc pro x = x 0 je integrál roven nule a počáteční podmínka y(x 0 ) = y 0 je splněna. Pravou stranu rovnosti (1.2) využijeme ke konstrukci zobrazení T : y T (y), kde T (y)(x) = y 0 + x x 0 f(t, y(t)) dt. (1.3) Z (1.2) plyne, že funkce y je řešením úlohy (1.1), právě když y je pevným bodem zobrazení T, tj. platí y = T (y ). Existence jednoznačného pevného bodu zobrazení T plyne z tvrzení výše uvedené Banachovy věty, musíme však ověříme její předpoklady: (a) zvolíme metrický prostor P s parametrem δ > 0 a zobrazení T dané (1.6). (b) dokážeme, že pro δ δ 1 operátor T zobrazuje P do P a (c) dokážeme, že pro δ δ 2 je operátor T kontraktivní. (a) Buď Q = x 0 a, x 0 + a y 0 b, y 0 + b omezené obdélníkové okolí bodu (x 0, y 0 ), které je celé obsaženo v G definičním oboru funkce f. Předpokládáme, že funkce f je spojitá na kompaktní (uzavřené omezené) množině Q G, proto je f omezená na Q nějakou konstantou M > 0, tj. platí f(x, y) < M pro (x, y) Q. Předpokládáme také, že funkce f je na množině Q lipschitzovská v y. Za metrický prostor (P, ρ), ve kterém bude řešení, zvolíme prostor spojitých funkcí y(x) na intervalu I δ = x 0 δ, x 0 + δ s hodnotami v intervalu y 0 b, y 0 + b, přičemž hodnotu parametru δ (0, a určíme později. Na metrickém prostoru P uvažujeme obvyklou maximovou metriku užívanou na prostorech spojitých funkcí ρ(y 1, y 2 ) = max x y 1 (x) y 2 (x). Zvolený metrický prostor (P, ρ) je už díky maximové metrice úplný. (b) Protože funkce f(x, y) je spojitá, pro spojité y(x) je složená funkce f(x, y(x)) také spojitá a tedy její integrál existuje. Hodnota T (y) je proto funkce spojitá na I δ pro každé δ (0, a. Nutno ještě zajistit, aby hodnoty funkce T (y) ležely uvnitř y 0 b, y 0 + b. Protože hodnoty funkce f(x, y) jsou ohraničené konstantou M, rozdíl T y y 0 můžeme odhadnout: x x (T (y))(x) y 0 = f(t, y(t)) dt f(t, y(t)) dt x x 0 M. x 0 x 0 3

Jestliže zvolíme δ δ 1 b/m, pak pro x I δ platí (T (y))(x) y 0 b a tedy hodnoty operátoru T leží v metrickém prostoru P. (c) Pro ověření podmínky kontraktivnosti zobrazení T potřebujeme odhadnout rozdíl T (y 1 ) T (y 2 ). Využijeme předpokladu, že funkce f(x, y) je lipschitzovská v proměnné y na obdélníku Q, tj. že existuje konstanta L > 0 taková, že f(x, y 1 ) f(x, y 2 ) L y 1 y 2 (x, y 1 ), (x, y 2 ) Q. (1.4) Pro libovolné funkce y 1, y 2 P platí x x T (y 1 )(x) T (y 2 )(x) = f(t, y 1 (t)) dt f(t, y 2 (t)) dt x 0 x 0 x f(x, y 1 (t)) f(x, y 2 (t)) dt x x 0 L max y 1 (t) y 2 (t). x t 0 Zvolíme-li δ δ 2 < c/l s konstantou c (0, 1), potom pro každé x I δ platí max x (T (y 1 ))(x) (T (y 2 ))(x) c max y 1 (x) y 2 (x), x což je podmínka kontraktivnosti zobrazení T. Nyní položíme δ = min {a, b/m, c/l}. Z předchozích odhadů plyne, že zobrazení T je kontraktivní v úplném metrickém prostoru P s maximovou metrikou a má tedy pevný bod y = T (y ). Tato funkce y je hledaným řešením naší počáteční úlohy. Připomeňme ještě konstrukci přibližných řešení y n, která je součástí důkazu Banachovy věty, tuto konstrukci lze využít k výpočtu řešení. Za počáteční aproximaci y 0 (x) zvolíme konstantní funkci rovnu stejně označené hodnotě počáteční podmínky y 0. Další hodnoty získáme iteracemi y 1 = T (y 0 ), y 2 = T (y 1 ) = T (T (y 0 )) T 2 (y 0 ), y 3. = T (y 2 ) = T (T 2 (y 0 )) = T 3 (y 0 ),. y n+1 = T (y n ) = T (T n (y 0 )) = T n+1 (y 0 ). (1.5) Konvergence takto sestrojené posloupnosti {y n } a skutečnost, že limita y (x) je pevným bodem, je obsahem důkazu Banachovy věty. Poznámky. Pokud funkce f(x, y) má parciální derivaci podle y, potom předpoklad, že funkce f(x, y) je lipschitzovská v y znamená, že tato derivace je ohraničená konstantou lipschitzovskosti L: f (x, y) y L. Skutečně, podle věty o střední hodnotě platí f(x, y 1 ) f(x, y 2 ) = f y (x, ξ)(y 1 y 2 ) pro nějaké ξ z intervalu (y 1, y 2 ) nebo (y 2, y 1 ). Pokud tedy derivace f existuje a je omezená, y funkce f(x, y) je lipschitzovská v y. Proto se často podmínka lipschitzovskosti v proměnné y nahrazuje předpokladem spojitosti parciální derivace funkce f(x, y) podle y, z níž už 4

plyne omezenost této parciální derivace a tím i lipschitzovskost. Protože tvrzení věty dává pouze existenci řešení v okolí bodu (x 0, y 0 ) stačí jenom lokální lipschitzovskost. Věta dává pouze existenci řešení v intervalu I. Pokud v krajním bodě okolí jsou opět předpoklady splněny, existuje řešení i v tomto bodě. Díky jednoznačnosti lze obě řešení lze navázat. Pokud jsou předpoklady splněny v každé bodě oblasti G, lze řešení protáhnout na maximální interval, dokud graf řešení zůstává v oblasti G. Důkaz Peanovy věty je založen na následujícím tvrzení, viz např. [PUM1], str. 610: Věta 1.4 Arzelàova-Ascoliho věta Buď {y n (x)} n posloupnost funkcí definovaných na intervalu I, které jsou: stejně omezené, tj. existuje M > 0, že pro každé x I a každé n N platí y n (x) M a stejně spojité, tj. pro každé ε > 0 existuje δ > 0, že pro každé x 1, x 2 I a n N x 1 x 2 < δ = y n (x 1 ) y n (x 2 ) < ε. Potom posloupnost {y n } obsahuje podposloupnost {y n }, která konverguje stejnoměrně na celém intervalu I k nějaké spojité funkci y. Poznámky. Předpoklad, že funkce jsou stejně omezené (také stejnoměrně omezené), znamená, že všechny funkce jsou ohraničeny stejnou konstantou M > 0 nezávislou na n. V definici stejné spojitosti (také rovnomocně spojité) se pro každé ε > 0 vyžaduje δ > 0 univerzální pro všechny funkce y n (x), tj. konstanta δ závisí pouze na ε a nezávisí ani na n ani na x 1, x 2. Při stejnoměrné spojitosti může být δ pro každou funkci y n jiné a v (obyčejné) spojitosti se δ může měnit i s proměnnou x 1. Idea důkazu Peanovy věty. (Viz také [ČeŽe] str.99., [Ž-FA1] str. 148 a [Ž-vk] str. 47). Sestrojíme posloupnost přibližných řešení y n (x) počáteční úlohy (1.1) na intervalu I = x 0, x 0 + a. Dokážeme že tato posloupnost splňuje předpoklady Arzelàovy-Ascoliho věty. Podle této věty posloupnost {y n } obsahuje podposloupnost {y n } {y n }, která konverguje stejnoměrně na intervalu I k nějaké funkci y (x). Zbývá dokázat, že limita y (x) je řešením úlohy (1.1). Podobně jako v předchozím důkazu využijeme skutečnosti, že funkce y(x) je řešení počáteční úlohy (1.1) jestliže y(x) = y 0 + x x 0 f(t, y(t)) dt. (1.6) Tento vztah obsahuje neznámou funkci na obou stranách, nelze ho tedy využít pro definici řešení y. Položíme-li pro δ > 0 { y0 pro x x 0, x 0 + δ, y δ (x) = y 0 + x δ (1.7) x 0 f(t, y δ (t)) dt pro x > x 0 + δ, máme funkci y δ definovanou na intervalu x 0, x 0 +a. Skutečně, pro x x 0, x 0 +δ funkci y δ nevyužíváme. Při výpočtu hodnoty funkce y δ v druhém intervalu x (x 0 +δ, x 0 +2δ se v integrálu vyskytují pouze hodnoty funkce y δ (x) z prvního intervalu (x 0, x 0 +δ. Podobně při výpočtu hodnoty funkce y δ v k + 1 intervalu x (x 0 + kδ, x 0 + (k + 1)δ se v integrálu vyskytují pouze hodnoty y δ (x) z předchozího intervalu (x 0 + (k 1)δ, x 0 + kδ. Tím je funkce y δ definovaná na celém intervalu x 0, x 0 + a. 5

Posloupnost {y n } přibližných řešení získáme například tím, že v (1.7) volíme δ = 1/n: { y0 pro x x 0, x 0 + 1 n y n =, y 0 + x 1/n x 0 f(t, y n (t)) dt pro x > x 0 + 1. (1.8) n Potřeba ověřit předpoklady Arzelàovy-Ascoliho věty. Pro x < x 0 + 1 odhad platí. n Protože funkce f(x, y) je spojitá, v okolí (x 0, y 0 ) je omezená, tj. f(x, y) M a pro x x 0 + 1 platí n x 1/n y n (x) y 0 + f(t, y n (t)) dt y 0 + am. x 0 Tento odhad dává, že funkce y n jsou stejně omezené na intervalu x 0, x 0 + a. Ověřme ještě, že funkce jsou stejně spojité. Pro x 1, x 2 > x 0 + 1 platí odhad n x2 1/n y n (x 2 ) y n (x 1 ) = f(t, y n (t)) dt M x 2 x 1 x 1 1/n z kterého plyne stejná spojitost funkcí y n, stačí pro ε > 0 položit δ = ε/m. Odhad platí i v případě, kdy x 1 nebo x 2 je menší než x 0 + 1. n Podle Arzelàovy-Ascoliho věty tedy existuje vybraná podposloupnost {y n }, která stejnoměrně konverguje ke spojité funkci y. A protože funkce y n jsou stejně spojité, pro jejich limitu y z (1.8) plyne (1.7), y je tedy řešením. Analogickým postupem lze dokázat existenci řešení i v levém okolí bodu x 0. Poznámka. Poznamenejme, že v tvrzení Arzèlovy-Ascoliho věty není jednoznačnost limity y vybrané podposloupnosti {y n }, lze vybrat různé podposloupnosti konvergující k různým limitám, a proto řešení y (x) není určeno jednoznačně. Také je vidět, že spojitost funkce f(x, y) je podstatná, lokální omezenost funkce f(x, y) odhad f(x, y) < M nestačí. Řešitelnost soustav rovnic prvního řádu (SODR1) Počáteční úlohu pro soustavu (obecně nelineárních) rovnic prvního řádu lze pomocí vektorové symboliky zapsat ve tvaru y = f(x, y) y(x 0 ) = γ, (1.9) kde f (f 1,..., f n ) : I R n R n a γ = (γ 1,..., γ n ) R n. Řešením soustavy na intervalu I R je potom vektorová funkce y (y 1,..., y n ) : I R n taková, že každé y i C 1 (I) a rovnosti v (1.9) platí pro všechna x I. Tato úloha je formulována podobně jako úloha (1.1). O její řešitelnosti platí věty analogické větám Peanově a Picardově: Věta 1.5 (o existenci a jednoznačnosti řešení) Nechť každá složka f i (x, y 1,..., y n ) vektorové funkce f(x, y) je spojitá v okolí bodu (x 0, γ). Potom existuje řešení úlohy (1.9) v okolí x 0. Nechť každá složka f i (x, y 1,..., y n ) vektorové funkce f(x, y) je navíc i lipschitzovská v proměnných y 1,..., y n v okolí (x 0, γ 1,..., γ n ). Potom řešení y(x) úlohy (1.9) je určeno jednoznačně. 6

Důkaz věty Picardovy (i Peanovy) lze snadno zobecnit pro případ soustavy rovnic. Vektorová funkce y(x) (y 1 (x),..., y n (x)) je řešením úlohy (1.9), právě když platí pro všechna x I platí rovnost y(x) = γ + x x 0 f(t, y(t)) dt, tj. y i (x) = γ i + x x 0 f i (t, y 1 (t),..., y n (t)) dt. (1.10) Opět využijeme Banachovu větu o pevném bodu kontraktivního zobrazení. Buď okolí Q = x 0 a, x 0 + a γ 1 b, γ 1 + b... γ n b, γ n + b bodu (x 0, γ) obsaženo v definičním oboru G R n+1 funkcí f i (x, y). Za metrický prostor P vezmeme prostor vektorových funkcí spojitých na intervalu I δ = x 0 δ, x 0 + δ a ležících v Q: P = { y = (y 1,..., y n ) y i C 0 (I δ ), y i (x) γ i b pro i = 1,..., n }, přičemž hodnotu δ (0, a určíme později. Na tomto prostoru definujeme metriku ρ(y, z) = max i max y i (x) z i (x). x Zvolený prostor je v dané metrice úplný. Dále postupujeme analogicky: pomocí (1.10) definujeme operátor T, jehož pevný bod je řešením (1.9), ukážeme, že pro malá δ δ 1 tento operátor zobrazuje metrický prostor P do sebe a pro malá δ δ 2 zobrazení T je kontraktivní. Potom už stačí jen zvolit δ = min (δ 1, δ 2 ) a z Banachovy věty už plyne existence jediného pevného bodu a odtud i existence a jednoznačnost řešení naší úlohy. Řešitelnost rovnic vyšších řádů (ODRn) Počáteční úlohu pro rovnici n-tého řádu zapisujeme ve tvaru y (n) = f(x, y, y, y,..., y (n 1) ), y (k) (x 0 ) = γ k k = 0, 1,..., n 1. (1.11) Připomeňme, že funkce y(x) je řešením úlohy (1.11) na intervalu I jestliže y C n (I), jsou splněny podmínky y (k) (x 0 ) = γ k pro k = 0, 1,..., n 1 a rovnost y (n) = f(x, y(x), y (x),..., y (n 1) (x)) platí na celém intervalu I. O existenci a jednoznačnosti řešení této úlohy vypovídá následující věta: Věta 1.6 (o existenci a jednoznačnosti řešení) Nechť funkce f(x, ξ 0, ξ 1,..., ξ n 1 ) je spojitá v okolí bodu (x 0, γ 0, γ 1,..., γ n 1 ). Potom existuje řešení úlohy (1.11) v okolí bodu x 0. Dále nechť f(x, ξ 0, ξ 1,..., ξ n 1 ) je navíc i lipschitzovská v proměnných ξ 0, ξ 1,..., ξ n 1 v okolí bodu (x 0, γ 0, γ 1,..., γ n 1 ). Potom řešení y(x) úlohy (1.11) je i jednoznačné. Důkaz. Úlohu (1.11) převedeme na úlohu (1.9) a využijeme větu o existenci a jednoznačnosti řešení soustavy rovnic. Pomocí transformace y 1 := y, y 2 := y, y 3 := y,..., y n := y (n 1) 7

úloha (1.11) přejde na soustavu n rovnic prvního řádu y 1 = y 2 y 1 (x 0 ) = γ 0 y 2 = y 3 y 2 (x 0 ) = γ 1.... y n 1 = y n y n 1 (x 0 ) = γ n 2 y n = f(x, y 1, y 2,..., y n ) y n (x 0 ) = γ n 1. (1.12) Podle předpokladu je každá z funkcí pravé strany tohoto systému spojitá, případně i lipschitzovská v ξ 0, ξ 1,..., ξ n 1. Proto podle Věty 1.5 o existenci a jednoznačnosti řešení soustav existuje jediné řešení y(x) = (y 1 (x),..., y n (x)) soustavy (1.12), vyhovující uvedeným počátečním podmínkám. První složka y 1 (x) tohoto řešení je současně řešením úlohy (1.11) 8

2. Okrajové úlohy Zatím jsme se zabývali počátečními úlohami. Rovnice n-tého řádu, nebo soustava n rovnic prvního řádu byla doplněna n podmínkami v jednom bodě x 0. Diferenciálními rovnicemi obvykle modelujeme situace z technické praxe. Rovnice, ve kterých nezávislá proměnná x má význam času obvykle vedou na počáteční úlohu pro modelování situace v čase x > x 0 rovnici musíme doplnit informacemi o stavu v čase x 0, z kterého vycházíme. V technické praxi se však vyskytují i situace, které vedou na tzv. okrajové úlohy. Jako příklad uveďme deformaci nosníku. Při deformaci nosníku průhyb popisuje proměnná u(x), přičemž x probíhá interval I = a, b proměnná x zde má význam prostorové souřadnice. Rovnici, kterou uvažujeme uvnitř intervalu I, musíme doplnit informací o situaci na koncích nosníku, tj. v bodech a, b. V případě rovnice nosníku, která je čtvrtého řádu, rovnici doplníme čtyřmi podmínkami: dvěma v bodě a a dvěma v bodě b. U počáteční úlohy má smysl zadávat derivace v jednom bodě; každá rozumná soustava n podmínek pro hodnoty n derivací (nultého až n-1 řádu) tyto hodnoty určuje. V případě okrajových úloh nutno zadávat také v koncovém bodě hodnoty případně a derivace neznámé, má však smysl zadávat také podmínky ve tvaru kombinace hodnot derivací: například u(a) + u (a) = A. Na rozdíl od počátečních úloh, ve kterých je v podstatě jediná možnost jak zadat počáteční podmínky v jednom bodě, v případě okrajových úloh lze tedy zadat okrajové podmínky mnoha různými způsoby. Z hlediska podmínek existence a jednoznačnosti řešení jsou okrajové úlohy obtížnější: zatímco počáteční úloha (pro rozumnou funkci f) má řešení pro libovolné počáteční podmínky, v případě okrajové úlohy však úloha může mít pro některé hodnoty okrajových podmínek právě jedno řešení, zatímco pro jiné však nemá žádné řešení, případně má řešení nekonečně mnoho. Jako příklad uveďme jednoduchou lineární rovnici y + y = 0, y(a) = A y(b) = B. Obecné řešení má tvar y(x) = c 1 cos x + c 2 sin x. Položíme-li a = A = 0, řešení má tvar y(x) = c 2 sin x. Pokud b není násobkem π, pro libovolné B najdeme právě jedno řešení. Pokud však b = π a B 0, podmínku y(π) c 2 sin π = B nelze splnit žádnou volbou c 2 řešení tedy neexistuje. Konečně je-li B = 0, podmínka je splněna pro každé c 2 řešení je tedy nekonečně mnoho. Navíc okrajové úlohy jsou složitější také z hlediska numerického výpočtu. V případě počáteční úlohy, počáteční podmínka určuje hodnotu řešení v x 0 a hodnoty v dalších bodech x i postupně dopočítáváme; úloha je lokální, můžeme kdykoliv skončit. V případě okrajové úlohy rovnici např. diskretizujeme pomocí dělení a = x 0 < x 1 <... < x n = b. Dostáváme tak soustavu rovnic pro neznámé y 0, y 1,..., y n (y i y(x i )). Řešení dostaneme až po vyřešení celé soustavy, okrajová úloha je i v tomto smyslu globální. Okrajové úloha pro rovnici druhého řádu Budeme se zabývat rovnicí druhého řádu y = f(x, y, y ) (2.1) 9

na intervalu (a, b) se spojitou funkcí f(x, ξ, η). Různé formulace okrajových úloh Rovnici (2.1) musíme doplnit dvěmi podmínkami; po jedné v koncových bodech x = a a x = b. Například v bodě a můžeme předepsat: hodnotu y(a) = A tzv. Dirichletova podmínka, derivaci y (a) = A tzv. Neumannova podmínka, nebo jejich kombinaci y (a) + c y(a) = A tzv. Newtonova podmínka. Fyzikální význam podmínek. Pokud neznámá y(x) má význam teploty v rovnici pro vedení tepla (ustálený stav) v tyči a, b, potom podmínka y(a) = A má význam předepsané teploty, například y(a) = 0 dosáhneme ponořením konce a do nádoby se směsí vody a ledu. Podmínka y (a) = A znamená předepsaný tepelný tok, například y (a) = 0 znamená tepelně izolovaný konec a tyče. Také v druhém koncovém bodě b předepíšeme jednu podmínku z uvedených typů. Pokud předepisujeme na obou koncích Dirichletovu (resp. Neumannovu, Newtonovu) podmínku, mluvíme o Dirichletově (resp. Neumannově, Newtonově) úloze. Pokud na obou koncích předepíšeme různé typy podmínek, například y(a) = A a y (b) = B mluvíme o smíšené úloze. Všechny uvedené typy podmínek lze zapsat ve tvaru α a y (a) + β a y(a) = A α b y (b) + β b y(b) = B, (2.2) přičemž koeficienty α a, β a a α b, β b aby podmínky nedegenerovaly nesmějí být současně nulové, což lze například zapsat podmínkou α a + β a > 0 α b + β b > 0. (2.3) Skutečně, volbou α a = 0 a β a = 1 dostáváme Dirichletovu podmínku a volbou α a = 1 a β b = 0 Neumannovu podmínku na konci a a podobně na konci b. Obecněji lze uvažovat také podmínky ve tvaru nelineární kombinace, jako příklad uveďme (y (a)) 2 + (y(a)) 2 = 1 nebo y (a)y(a) = 1 nebo y (a) = sin(y(a)). Okrajová úloha pro lineární rovnici O existenci a případné jednoznačnosti řešení okrajové úlohy nelze obecně snadno rozhodnout. Jak lze očekávat, nejvíce prozkoumány jsou rovnice lineární. Obecné řešení lineární rovnice druhého řádu L y y + a 1 (x) y + a 0 (x) y = b(x) lze zapsat ve tvaru y(x) = y p (x) + c 1 u 1 (x) + c 2 u 2 (x) c 1, c 2 R, (2.4) kde y p (x) je partikulární řešení, tj. libovolné řešení rovnice s pravou stranou Ly = b a u 1 (x), u 2 (x) dvě nezávislá řešení rovnice bez pravé strany tj. rovnice Ly = 0. Uvažujme Dirichletovu úlohu, tj. podmínky y(a) = A a y(b) = B. Dosazením obecného řešení do okrajových podmínek dostáváme y(a) = y p (a) + c 1 u 1 (a) + c 2 u 2 (a) = A, y(b) = y p (b) + c 1 u 1 (b) + c 2 u 2 (b) = B. 10

Je to soustava dvou lineárních rovnic pro konstanty c 1, c 2 s maticí soustavy ( ) u1 (a) u 2 (a). u 1 (b) u 2 (b) Pokud je tato matice regulární, soustava má právě jedno řešení, které určuje konstanty c 1, c 2 v řešení okrajové úlohy. Pokud matice regulární není, soustava a tím i okrajová úloha buď řešení nemá, nebo jich má nekonečně mnoho. Také v případě obecných lineárních podmínek (2.2) tyto podmínky vedou na soustavu lineárních rovnic pro konstanty c 1, c 2 s maticí soustavy ( ) αa u 1(a) + β a u 1 (a) α a u 2(a) + β a u 2 (a) α b u 1(b) + β b u 1 (b) α b u. (2.5) 2(b) + β b u 2 (b) Opět řešitelnost okrajové úlohy závisí na této matici; pokud je regulární, existují jediné konstanty c 1, c 2 a i okrajová úloha má právě jedno řešení pro každé hodnoty A, B. Pokud regulární není, pro některá A, B řešení existuje nekonečně mnoho, pro ostatní neexistuje. Poznamenejme, že v případě počáteční úlohy příslušná matice soustavy rovnic pro konstanty c 1, c 2 je matice Wronského ( ) u1 u 2 W [u 1, u 2 ](x 0 ) = (x u 1 u 0 ), 2 která je regulární. Proto počáteční úloha má vždy právě jedno řešení. Rovnice v divergentním tvaru V případě okrajových úloh se často studují lineární rovnice druhého řádu zapsané v tzv. divergentním tvaru: [p(x) y ] + q(x)y = f(x) x (a, b) (2.6) s koeficienty p(x) α > 0 a q(x) > 0. Pro jednoduchost uvažujme Dirichletovu úlohu, tj. okrajové podmínky y(a) = A a y(b) = B. Lze uvažovat i Neumannovy, Newtonovy nebo smíšené podmínky. Vynásobíme rovnici tzv. testovací funkcí v C 1 (a, b) splňující v(a) = 0 a v(b) = 0 a integrujeme přes I = (a, b). První integrál převedeme pomocí integrace per-partes [p I y ] v dx = p I y v dx. Dostáváme tak identitu b a [p y v + q y v] dx = b a f v dx, (2.7) která umožňuje zavést pojem tzv. zobecněného řešení: Funkci y(x) nazveme zobecněným řešením okrajové úlohy (2.6), jestliže y má integrovatelnou derivaci, splňuje okrajové podmínky y(a) = A, y(b) = B a splňuje integrální identitu (2.7) pro každé v, které má také integrovatelnou derivaci a splňuje nulové okrajové podmínky v(a) = v(b) = 0. Pomocí výsledků funkcionální analýzy lze dokázat, že za uvedených předpokladů má uvedená okrajová úloha právě jedno řešení. Okrajová úloha pro rovnici čtvrtého řádu Rovnici čtvrtého řádu y (4) = f(x, y, y, y, y ) 11

na intervalu (a, b) nutno doplnit čtyřmi podmínkami. Obvykle zadáváme dvě podmínky v bodě x = a a dvě v x = b. Tyto podmínky svazují hodnoty a derivace neznámé y, y, y, y v krajních bodech, podmínky mohou být libovolné, musí však být navzájem nezávislé. Jako příklad uveďme rovnici popisující deformaci tenkého nosníku y xxxx = f, ve které neznámá y(x) má význam průhybu nosníku. V koncovém bodě x = a musíme zadat dvě z čtyř následujících podmínek y(a) = A 0, y (a) = A 1, y (a) = A 2, y (a) = A 3. Přitom podmínky y(a) = 0 a y (a) = 0 popisují vetknutý konec, y(a) = 0 a y (a) = 0 podepřený konec a y (a) = 0 a y (a) = 0 volný konec. Lze také předepsat kombinace těchto podmínek, například podmínky y (a) + y(a) = A a y = 0 popisují pružné podepření. Stejným způsobem předepisujeme také podmínky na konci b. Řešitelnost okrajové úlohy pro lineární rovnici Opět v obecném případě je obtížné odvodit jednoduché podmínky zaručující existenci a případně i jednoznačnost řešení. Uvažujme rovnici Ly = f s lineárním operátorem čtvrtého řádu Ly = y (4) + a 3 (x) y (3) + a 2 (x) y + a 1 (x) y + a 0 (x) y a spojitými koeficienty a 3 (x), a 2 (x), a 1 (x), a 0 (x). Víme, že obecné řešení této rovnice má tvar y(x) = y p (x) + c 1 u 1 (x) + c 2 u 2 (x) + c 3 u 3 (x) + c 4 u 4 (x) c 1, c 2, c 3, c 4 R, kde y p (x) je partikulární řešení rovnice Ly = f a u 1 (x), u 2 (x), u 3 (x), u 4 (x) je čtveřice nezávislých řešení rovnice Ly = 0. Opět dosazením do okrajových podmínek dostáváme soustavu rovnic. Regularita matice této soustavy analog Wronského matice určuje existenci řešení dané okrajové úlohy. Uvažujme například okrajové podmínky y(a) = A 1, y (a) = A 2, y(b) = B 1, y (b) = B 2, které popisují situaci, kdy oba konce nosníku jsou vetknuté. Dosazením tvaru obecného řešení do okrajových podmínek dostáváme soustavu čtyř lineárních rovnic pro konstanty c 1, c 2, c 3, c 4 s maticí soustavy 12 u 1 (a) u 2 (a) u 3 (a) u 4 (a) u 1(a) u 2(a) u 3(a) u 4(a) u 1 (b) u 2 (b) u 3 (b) u 4 (b) u 1(b) u 2(b) u 3(b) u 4(b).

Pokud je tato matice regulární, uvedená okrajová úloha má právě jedno řešení pro libovolné hodnoty A 1, A 2, B 1, B 2. Vícebodové úlohy a další poznámky Dosud jsme uvažovali počáteční úlohu, kdy všechny podmínky jsou zadány v jednom bodě a okrajovou úlohu, ve které je zadána část podmínek v bodě a a zbývající v bodě b, řešení rovnice přitom hledáme na intervalu a, b. Dalším zobecněním jsou úlohy vícebodové, kdy podmínky jsou zadány ve třech nebo více bodech počet podmínek přitom musí být vždy roven řádu rovnice. Jinou možností je rovnice na intervalu rozděleného na několik sousedních podintervalů. Ve styčných bodech jsou zadány hodnoty nebo spojitý přechod hodnot derivací, případně jejich zadané skoky. Jako příklad uveďme rovnici, která modeluje situaci nosníku vetknutého na koncích a podepřeného uprostřed pilířem. Situaci modeluje rovnice y (4) + Ky = f na intervalu a, b s vnitřním bodem s přičemž a < s < b. Splnění rovnice vyžadujeme uvnitř intervalů (a, s) a (s, b). Úloha představuje soustavu dvou úloh pro rovnice čtvrtého řádu (na intervalech (a, s) a (s, b). Proto potřebujeme 2 4 = 8 podmínek. Skutečnost, že nosník je vetknutý v koncových bodech a, b popisují dvě dvojice podmínek y(a+) = A 0, y (a+) = A 1, y(b ) = D 0, y (b ) = D 1. Ve středu s podpora určují průhyb nosníku, tj. hodnotu řešení y(s) = S s. Tato podmínka však představuje dvě podmínky, protože se týká řešení na dvou intervalech (a, s) i (s, b). Konečně toto podepření představují kloub, kterým spojitě přecházejí první a druhé derivace y (s ) = y (s+) y (s ) = y (s+), čímž máme potřebných 8 podmínek, které jednoznačně určují řešení. Poznámka. S touto situací jsme se setkali při definici kubického splajnu. Také pro soustavy ODR lze formulovat okrajové i vícebodové úlohy. 13

3. Stabilita řešení diferenciálních rovnic Stabilita řešení (také rovnic, úloh, metod atd.) je důležitá vlastnost, která vypovídá a tom, jak je hodnota řešení citlivá na změnu dat. Už jsme se s ní setkali v případě SLR (soustavy lineárních rovnic Ax = b), u nichž se zvažuje zda je soustava dobře nebo špatně podmíněná. Obecně lze stabilitu charakterizovat větou: malé změny dat (koeficientů, parametrů) vyvolají malou změnu řešení. Malost změn obvykle charakterizujeme pomocí tzv. ε-δ symboliky, se kterou jsme se setkali při definici limity funkce: pro každé ε > 0 existuje δ > 0, že pokud se data změní o méně než δ, řešení se změní o méně než ε. V jednotlivých případech však nutno specifikovat, která data měníme a jak změnu (dat i řešení) měříme. Definice spojitosti funkce f(x) v bodě x 0 je vlastně zvláštním druhem stability funkce f při změně x. Stabilita řešení počáteční úlohy ODR1 Nejdříve budeme sledovat závislost řešení obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu na změnách počáteční podmínky: zda malá změna počáteční podmínky vyvolá malou změnu řešení. Přesněji, hledáme rozsah δ počáteční podmínky, která zaručí předem danou přesnost ε řešení. Uvažujme diferenciální rovnici prvního řádu y = f(x, y) x I (3.1) na intervalu I s počáteční podmínkou v bodě x 0 I. Při těchto úvahách obvykle I = x 0, ). Dále buď y 0 (x) řešení této počáteční úlohy na intervalu I. Aby následující definice měla smysl, předpokládáme, že rovnice (3.1) má také řešení na celém intervalu I i pro počáteční podmínky v x 0 s hodnotami v určitém δ-okolí hodnoty y 0 (x 0 ). Obvykle předpokládáme také, že tato řešení jsou svojí počáteční podmínkou určeny jednoznačně. Definice 3.1 Řešení y 0 (x) rovnice (3.1) nazveme stabilní na intervalu I vzhledem k počáteční podmínce v bodě x 0, jestliže pro každé ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé řešení y(x) rovnice (3.1) platí následující implikace: y(x 0 ) y 0 (x 0 ) < δ = y(x) y 0 (x) < ε x I. (3.2) Poznámky. Tato definice popisuje vlastnost: pokud se počáteční podmínka v x 0 změní o méně než δ, potom také řešení na celém intervalu I se změní a o méně než ε. Této vlastnosti se říká obvykle ljapunovská stabilita. Řekneme, že řešení y 0 je stabilní na I, jestliže je stabilní vzhledem k počáteční podmínce v každém x 0 I. Dále řekneme, že rovnice (3.1) je stabilní na I, jestliže všechna její řešení jsou stabilní. Někteří autoři, viz [KaRa], zavádějí další druhy stability, například stejnoměrnou stabilitu, kdy v definici požadujeme stabilitu vzhledem ke všem bodům x 0, přičemž δ závisí pouze na ε (nezávisí na bodě x 0 ). Vedle stabilního řešení zavedeme ještě pojem atraktivního řešení, které je stabilní a navíc přitahuje blízká řešení: 14

Definice 3.2 Řešení y 0 (x) rovnice (3.1) nazveme atraktivní (nebo přitažlivé) v počáteční podmínce x 0 pro x, jestliže každé blízké řešení (tj. pro řešení y(x) rovnice (3.1) splňující y(x 0 ) y 0 (x 0 ) < δ pro vhodné δ > 0) platí y(x) y 0 (x) 0 pro x. Poznamenejme, že stabilní řešení ještě nemusí být atraktivní a naopak existují řešení atraktivní podle této definice, které nejsou stabilní. Proto někteří autoři požadují, aby atraktivní řešení bylo už stabilní. Obvykle uvažujeme o stabilitě řešení na intervalu I = x 0, ) a atraktivnosti (přitažlivosti) řešení pro x. Analogicky lze definovat stabilitu na libovolném intervalu I = (a, b) obsahujícím x 0 a také atraktivitu řešení pro x nebo x blížící se k jednomu z koncových bodů a nebo b intervalu I = (a, b). Cvičení. Zkoumejte stabilitu a atraktivitu řešení rovnic z předchozích částí. Stabilita řešení lineárních rovnic Za předpokladu, že funkce a(x) i b(x) jsou spojité na intervalu I = x 0, ), obecné řešení lineární rovnice prvního řádu y + a(x)y = b(x) lze zapsat ve tvaru y(x) = y p (x) + cu(x), kde y p je partikulární řešení a u(x) je řešení rovnice bez pravé strany y + a(x)y = 0. Při zkoumání stability konkrétního řešení y 0 (x) je rozdíl y(x) y 0 (x) roven násobku řešení u(x). Všechna řešení jsou proto z hlediska stability stejná: buď jsou všechna stabilní, nebo všechna nestabilní. Navíc stabilita nezávisí na partikulárním řešení y p (x), ale jenom na funkci u(x). Proto se v obvykle zkoumá stabilita nulového řešení rovnice bez pravé strany; je-li toto řešení stabilní, jsou stabilní všechna řešení včetně všech řešení rovnice s pravou stranou. Dále platí, jestliže řešení u(x) je omezené (a u(x 0 ) 0), je každé řešení y 0 (x) stabilní, tj. rovnice je stabilní. Ze stejného důvodu jsou také všechna řešení atraktivní, nebo žádné není atraktivní, záleží opět jenom na u(x). Jestliže u(x) 0 pro x, budou také všechna řešení atraktivní. Stabilita soustav diferenciálních rovnic prvního řádu Soustavu n diferenciálních rovnic prvního řádu na intervalu I = (a, ) s počáteční podmínkou v bodě x 0 I pro řešení y(x) (y 1 (x),..., y n (x)) T zapisujeme ve tvaru y 1 = f 1 (x, y 1,..., y n ). y 1 (x 0 ) = γ 1,. y n = f n (x, y 1,..., y n ) y n (x 0 ) = γ n. (3.3) Buď y 0 (x) řešení počáteční úlohy (3.3) definované na intervalu I = (a, ) obsahujícím bod x 0. Aby definice měla smysl, budeme předpokládat, že uvedená soustava rovnic má řešení na celém intervalu I i pro počáteční podmínky v jistém okolí hodnoty y(x 0 ), proto předpokládáme opět, že funkce f i (x, ξ 1,..., ξ n ) vystupující v pravých stranách rovnic jsou spojité a lipschitzovské v proměnných ξ 1,..., ξ n. 15

Zapíšeme-li soustavu pomocí vektorové symboliky y = f(x, y) y(x 0 ) = γ dostáváme formálně stejný tvar jako v případě rovnice prvního řádu. Definice stability a atraktivity řešení snadno přeneseme z případu jedné rovnice na případ soustavy rovnic. Pouze rozdíl hodnot y(x) y 0 (x) musíme měřit jako vzdálenost vektorů, například pomocí maximové normy (vzdálenosti) y y = max{ y 1,..., y n }. Lze užít také součtovou normu y 1 = n i=1 y i nebo eukleidovskou y 2 = (y 2 1 +... + y 2 n) 1/2. Definice 3.3 Řešení y 0 (x) počáteční úlohy (3.3) nazveme stabilní na intervalu I vzhledem k počáteční podmínce v bodě x 0, jestliže pro každé ε > 0 existuje δ > 0 takové, že každé řešení y(x) úlohy (3.3) platí následující implikace: y(x 0 ) y 0 (x 0 ) < δ = y(x) y 0 (x) < ε x I. (3.4) Dále řekneme, že řešení y 0 (x) je atraktivní (pro x ), jestliže existuje δ > 0, že pro každé řešení y(x) splňující y 0 (x 0 ) y(x 0 ) < δ platí y(x) y 0 (x) 0 pro x. Obecně některá řešení mohou být stabilní a jiná zase nestabilní, také některá atraktivní a jiná neatraktivní. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic Uvažujme soustavu rovnic zapsanou ve vektorovém tvaru y = Ay + b (3.5) s maticí A spojitých koeficientů a ij (x) a vektorem b spojitých pravých stran b i (x). Obecné řešení této soustavy lze zapsat ve tvaru y(x) = y p (x) + c 1 u 1 (x) +... + c n u n (x), kde y p (x) je řešení soustavy y = Ax + b a u 1 (x),..., u n (x) je n-tice nezávislých řešení soustavy y = Ay. Rozdíl mezi řešeními v definici stability y 0 (x) lze vyjádřit ve tvaru lineární kombinace řešení u i : y(x) y 0 (x) = c 1 u 1 (x) +... + c n u n (x). Proto jako v případě jedné lineární rovnice jsou i v případě lineární soustavy buď všechna řešení stabilní anebo všechna nestabilní. Jestliže jsou všechna u 1 (x),..., u n (x) ohraničená, jsou také všechna řešení stabilní. Pokud je alespoň jedno řešení u i (x) neohraničené, jsou všechna řešení soustavy nestabilní. Dále pokud všechna řešení u 1 (x),..., u n (x) konvergují k nule pro x, jsou všechna řešení soustavy atraktivní, pokud alespoň jedno k nule nekonverguje, všechna řešení jsou neatraktivní. V případě soustavy rovnic s konstantními koeficienty a ij stabilitu a atraktivitu řešení lze určit z vlastních čísel matice A = {a ij } n ij. Jednoduché reálné vlastní číslo λ i určuje řešení u i (x) = ve λ ix, které je v případě λ i > 0 neohraničené. Pokud λ i 0 příslušné řešení ohraničené a řešení odpovídající λ i < 0 konverguje k nule. V případě dvojic komplexně 16

sdružených čísel λ 1,2 = µ ± i ν záleží na reálné části µ. V případě násobných kořenů λ se zápornou reálnou částí příslušná řešení konvergují k nule. Složitější situace je pouze v případě vícenásobného kořene λ s nulovou reálnou částí, kdy některé řešení mohou obsahovat navíc x například pro λ 1,2 = 0 máme u 1 (x) = ve 0x a u 2 (x) = vxe 0x + we 0x a být tudíž neohraničené. Úvahy lze shrnout v následujícím tvrzení: Věta 3.4 Uvažujme soustavu lineárních rovnic (3.5) s konstantními koeficienty. Buďte λ 1,..., λ n vlastní čísla (s násobností) matice A koeficientů soustavy. Potom platí: (a) Jestliže všechna vlastní čísla λ i mají zápornou reálnou část, jsou všechna řešení soustavy stabilní a atraktivní. (b) Pokud alespoň jedno vlastní číslo má kladnou reálnou část, jsou všechna řešení nestabilní a neatraktivní. (c) Pokud mají všechna vlastní čísla nezápornou reálnou část a všechna vlastní čísla s nulovou reálnou částí jsou jednoduchá, jsou všechna řešení stabilní a neatraktivní. (d) V případě násobných vlastních čísel s nulovou reálnou částí záleží na tom, zda příslušní řešení jsou ohraničená. Cvičení. Zkoumejte stabilitu a atraktivitu řešení soustav rovnic z předchozích částí. Stabilita řešení rovnic vyšších řádů (ODRn) Uvažujme nyní rovnici n-tého řádu (n 2), kterou můžeme zapsat ve tvaru y (n) = f(x, y, y,..., y (n 1) ). (3.6) Její řešení je určeno jednoznačně n počátečními podmínkami y(x 0 ) = γ 0, y (x 0 ) = γ 1,......, y (n 1) (x 0 ) = γ n 1. (3.7) Nechť x 0 I = (a, ) a y 0 (x) je řešením počáteční úlohy (3.6) (3.7) na intervalu I. Opět budeme předpokládat, že všechna řešení v okolí řešení y 0 (x) jsou definována na celém intervalu I. Aby v definici stability bylo řešení y(x) blízké řešení y 0 (x) musíme blízká řešení určit ne jednou ale n počátečními podmínkami. Pokud rovnici n-tého řádu převedeme na soustavu n rovnic prvního řádu, dojdeme ke stejnému závěru. Pro rovnici vyššího řádu definici stability přepíšeme následovně: Definice 3.5 Řekneme, že řešení y 0 (x) počáteční úlohy (3.6) (3.7) je stabilní v bodě x 0 na intervalu I, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé řešení y(x) rovnice (3.6) s počáteční podmínkou platí y(x 0 ) y 0 (x 0 ) < δ, y (x 0 ) y 0(x 0 ) < δ,..., y (n 1) (x 0 ) y (n 1) 0 (x 0 ) < δ,(3.8) y(x) y 0 (x) < ε x I. Podobně řekneme, že řešení y 0 (x) rovnice (3.6) je atraktivní pro x, jestliže existuje δ > 0 takové, že pro každé řešení y(x) rovnice (3.6) splňující (3.8) platí y(x) y 0 (x) 0 při x. 17

Obecně, jako v předázejících případech, některá řešení rovnice mohou být stabilní a jiná nestabilní. V případě lineárních rovnic je situace jednodušší. Lineární rovnice vyšších řádů Uvažujme lineární diferenciální rovnici Ly = b s lineárním operátorem n-tého řádu Ly = y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 2 y + a 1 y + a 0 y a se spojitými koeficienty a 0 (x),..., a n 1 (x). Obecné řešení této rovnice lze zapsat ve tvaru y(x) = y p (x) + c 1 u 1 (x) +... + c n u n (x), kde y p (x) je partikulární řešení, tj. libovolné řešení rovnice Ly = b, a u 1 (x),..., u n (x) je n-tice lineárně nezávislých řešení rovnice Ly = 0. Opět rozdíl řešení v definici stability lze vyjádřit jako lineární kombinaci řešení u 1 (x),..., u n (x) y(x) y 0 (x) = c 1 u 1 (x) +... + c n u n (x). Proto opět buď jsou všechna řešení stabilní nebo všechna nestabilní. Také buď jsou všechna řešení atraktivní nebo všechna neatraktivní. Stabilita nezáleží na partikulárním řešení, záleží jen na řešeních rovnice bez pravé strany. Pokud jsou všechna řešení u 1 (x),..., u n (x) ohraničená, řešení budou stabilní, pokud alespoň jedno u k (x) ohraničené není, řešení budou nestabilní. Podobně, pokud všechna řešení u 1 (x),..., u n (x) konvergují k nule, řešení jsou atraktivní, v opačném případě řešení atraktivní nejsou. V případě rovnice s konstantními koeficienty stabilitu určují kořeny λ 1,..., λ n charakteristické rovnice P (λ) λ n + a n 1 λ n 1 +... + a 2 λ 2 + a 1 λ + a 0 = 0. Jako v předchozím případě soustav lineárních rovnic, reálná část λ k určuje ohraničenost příslušného řešení u k (x). Snadno lze odvodit následující tvrzení: Věta 3.6 Uvažujme lineární rovnici Ly = b s konstantními koeficienty a 0,..., a n 1. Označme λ 1,..., λ n kořeny (s násobností) příslušné charakteristické rovnice s P (λ) = 0. Potom platí: (a) Pokud mají všechny kořeny zápornou reálnou část, jsou všechna řešení stabilní a atraktivní. (b) Pokud alespoň jeden kořen má kladnou reálnou část, jsou všechna řešení nestabilní a neatraktivní. (c) Pokud všechny kořeny mají nezápornou reálnou část a kořeny s nulovou reálnou částí jsou jednoduché, jsou všechna řešení stabilní a neatraktivní. (d) V případě násobných kořenů s nulovou reálnou částí je alespoň jedno řešení neohraničené a tudíž jsou všechna řešení nestabilní a neatraktivní. Cvičení. Zkoumejte stabilitu a atraktivitu řešení rovnic z předchozích částí. 18

4. Autonomní rovnice a soustavy Rovnici nebo soustavu rovnic nazveme autonomní, jestliže rovnice nebo soustava nezávisí na nezávislé proměnné. Autonomní rovnici prvního řádu tak můžeme zapsat ve tvaru y = f(y), autonomní lineární rovnice y + a y = b má data konstantní, tj. a, b R. Autonomní soustavu rovnic lze zapsat y = f(y), tj. ve stejném tvaru jako jako ODR1, lineární soustava y = A y + b obsahuje matici konstantních koeficientů A R n n i konstantní vektor b na pravé straně. Konečně autonomní rovnici n-tého řádu lze zapsat ve tvaru y = f(y, y, y,..., y (n 1) ). Ve fyzikálních aplikacích obvykle nezávisle proměnnou x je čas. Pojem autonomní rovnice (systém) je proto přirozený jde o jevy, při kterých se s časem x nemění podmínky jevu, které tvoří data úlohy; v případě lineární rovnice jsou to koeficienty a pravá strana. Připomeňme pojem trajektorie řešení soustavy rovnic. Zatímco graf řešení y : I R n je křivka {(x, y 1 (x),..., y n (x)) x I} v prostoru R n+1, trajektorie je průmět řešení y(x) do prostoru hodnot řešení, tzv. fázového prostoru, tj. křivka {(y 1 (x),..., y n (x)) R n x I} v R n. Přitom šipka označující orientaci křivek popisuje orientaci pohybu hodnoty řešení po trajektorii při rostoucím času x. Budeme se přitom zabývat pouze trajektoriemi úplných řešení, tj. řešení, které už nelze prodloužit na větší interval. Z definice řešení plyne následující vlastnost řešení autonomní rovnice (soustavy): Jestliže y(x) (y(x)) je řešením rovnice (soustavy) na intervalu (a, b), potom funkce y c (x) = y(x c), (y c (x) = y(x c)) je také řešením, které je definované na intervalu (a + c, b + c). Grafy obou řešení se liší o posunutí ve směru osy x, obě řešení mají proto identické trajektorie. Rovnice prvního řádu Přestože autonomie a trajektorie mají význam zejména pro soustavu rovnic, nebo rovnice vyššího řádu, začneme tímto jednoduchým případem. Autonomní rovnici prvního řádu zapisujeme ve tvaru y = f(y). Předpokládáme, že funkce f(y) je definovaná a spojitá na množině G R. Trajektorie rostoucího řešení je úsečka orientovaná v kladném směru, klesajícího řešení úsečka orientovaná v záporném směru. Trajektorie konstantního řešení je jednobodová množina degenerovaná úsečka, v tomto případě mluvíme o singulárním řešení a singulární trajektorii. V tomto případě je určení trajektorií a tzv. fázového portrétu řešení jednoduché. Singulární trajektorie jsou kořeny rovnice f(y) = 0. Otevřené úsečky množiny bodů, v kterých je hodnota f(y) kladná, tvoří trajektorie rostoucích řešení; úsečky, kde f(y) je záporná, tvoří trajektorie klesajících řešení. Pokud funkce f(y) je navíc lipschitzovská, řešení je jednoznačné, a proto trajektorie úplných řešení jsou buďto disjunktní nebo totožné. Trajektorie lineární autonomní rovnice y a y = b jsou ještě jednodušší: bod b tvoří singulární trajektori a polopřímky (, b) a (b, ) tvoří ostatní trajektorie, v případě pro a < 0 jsou orientovány směrem k bodu b, pro a > 0 jsou orientovány od bodu b. V případě a = 0 a b 0, je trajektorií celé (, ), pro b > 0 orientovaná v kladném a pro b < 0 v záporném směru. Pokud a = b = 0, všechna řešení jsou konstantní, všechny body y R tvoří singulární trajektorie. Cvičení: Určete trajektorie řešení nelineárních rovnic (a) y = 1 + y 2 (b) y = 2 y, (c) y + 2 y = 0 19

(d) y = 1 y 2 (e) y = y 2 (f) y = sin y Autonomní soustavy rovnic Počáteční úlohu pro autonomní soustavu ODR prvního řádu zapisujeme ve tvaru y = f(y), y(x 0 ) = γ, (4.1) kde vektorová funkce f : G R n je definovaná a spojitá v oblasti G R n a γ R n. Ke spojitosti vektorové funkce f, která zaručuje existenci řešení počáteční úlohy (4.1) pro libovolné γ přidáme podmínku lokální lipschitzovskosti funkce f, abychom zaručili jednoznačnost řešení. Potom trajektorie úplných řešení mají následující vlastností: Věta 4.1 Uvažujme pouze úplná řešení soustavy (4.1) se spojitou funkcí f : G R n. Potom platí: (a) Trajektorie řešení je souvislá množina. (b) Je-li y(x) úplné řešení definované na intervalu (a, b), potom pro každé c R je vektorová funkce y c (y) = y(x c) také úplné řešení na (a + c, b + c) a má tutéž trajektorii. (c) Pokud f(y) je navíc lipschitzovská, dvě úplná řešení mají buď disjunktní trajektorie nebo jejich trajektorie splývají (jsou totožné). Příklad 1. Soustava y = z, z = y má řešení y(x) = c 1 cos x + c 2 sin x, z(x) = c 1 sin x + c 2 cos x. Snadno lze ověřit, že pro každé c 1, c 2 platí y 2 (x) + z 2 (x) = c 2 1 + c 2 2 k. Pro k > 0 jsou trajektorie těchto řešení kružnice se středem v počátku, k = 0 dává konstantní řešení y(x) = 0, z(x) = 0. Příklad 2. Soustava y = y, z = z má řešení y(x) = c 1 e x, z(x) = c 2 e x, pro něž platí z(x)/y(x) = c 2 /c 1 k. Jeho trajektorie jsou proto polopřímky vycházející z počátku. Některé druhy trajektorií mají svá jména: Definice 4.2 Trajektorie stacionárního (konstantního, singulárního) řešení y(x) = y 0 (y 0 je řešením soustavy rovnic f(y) = 0) je jednobodová množina {y 0 }, která se nazývá singulární bod (také kritický bod, stacionární bod, rovnovážný bod nebo singulární trajektorie). Trajektorii (nekonstantního) periodického řešení y(x) je uzavřená křivka, která se nazývá cyklus. Úplná řešení autonomní soustavy mají jen tři druhy trajektorií Věta 4.3 Uvažujme autonomní soustavu ODR (4.1) se spojitou lipschitzovskou funkcí f : G R n. Potom její úplná řešení y(x) mají trajektorie pouze následujících tří druhů: (a) singulární bod řešení y(x) je konstantní, 20

(b) cyklus, uzavřená křivka řešení y(x) je periodické, (c) otevřená neprotínající se křivka trajektorie řešení představuje prosté zobrazení otevřeného intervalu I = (a, b) (včetně případů a = nebo b = ) do fázového prostoru. Definiční obor G funkce f(y) (na kterém je f spojitá a lipschitzovská) v prostoru hodnot (fázovém prostoru) se tak rozpadá na singulární body trajektorie konstantních řešení, uzavřené křivky (cykly) trajektorie periodických řešení a otevřené neprotínající se křivky trajektorie ostatních řešení. Důkaz. Uvažujme trajektorii T = {y(x) R n x (a, b)} úplného řešení y(x), které není konstantní. Množina T proto není jednobodová. Jestliže existují dvě x 1, x 2 (a, b) (x 1 < x 2 ) taková, že y(x 1 ) = y(x 2 ), potom řešení je periodické s periodou p = x 2 x 1 a jeho trajektorie je uzavřená křivka. Skutečně, protože systém je autonomní, vektorová funkce y p (x) = y(x+p) je také řešením soustavy a y p (x 1 ) = y(x 2 ) = y(x 1 ). Díky tvrzení o jednoznačnosti řešení v okolí x 1 platí y(x) = y p (x) = y(x + p). Protože jednoznačnost platí pro všechna x a y, naše řešení y(x) je periodické s periodou p a jeho trajektorií je cyklus. Pokud tedy neexistují různá x 1, x 2 taková, že y(x 1 ) = y(x 2 ), trajektorie sama sebe neprotíná, je to tedy neprotínající se křivka. Tato trajektorie je také křivka otevřená. Skutečně, trajektorie nemůže končit při x x v nějakém bodě y = y(x ), protože díky věty o existenci řešení je řešení definováno i pro body x > x a díky tvrzení o jednoznačnosti, nekonstantní řešení se nemůže zastavit a nemůže se ani vracet stejnou cestou. Konečně díky větě o existenci řešení, každým bodem y G fázového prostoru prochází řešení, každý bod je tedy bodem trajektorie jednoho ze zmíněných typů. Typy singulárních bodů v rovině Budeme se zabývat autonomní soustavou dvou rovnic y = f(y, z), z = g(y, z). (4.2) Trajektorie řešení soustavy jsou křivky {(y(x), z(x)) R 2 x I} ve dvourozměrném fázovém prostoru rovině. Lze je tedy nakreslit; orientaci křivek vyznačíme šipkou. Z předchozí kapitoly víme, že trajektorie jsou tří typů: body singulární body, uzavřené křivky cykly a otevřené křivky. Podíváme se, jak vypadají tyto trajektorie lokálně. Bod (y 0, z 0 ), který není singulární, leží proto na orientované křivce (oblouku, úsečce). V jeho okolí trajektorie představují rovnoběžné stejně orientované křivky, tj. křivky, které lze lokálně spojitou transformací (y, z) (ξ, η) převést na stejně orientované rovnoběžné úsečky. Jiná situace je v okolí singulárních bodů. Tyto singulární body mohou tvořit souvislé množiny, např. trajektorie soustavy y = 0, z = 0 jsou singulární body, které vyplňují celou rovinu. Budeme se zabývat izolovanými singulárními body, tj. singulárními body, které v okolí nemají žádné jiné singulární body. Rozlišíme několik typů těchto singulárních bodů: 21

Definice 4.4 Typy singlulárních bodů v rovině Uvažujme trajektorie autonomní soustavy (4.2) se spojitými lipschitzovskými funkcemi f, g. Izolovaný singulární bod (y 0, z 0 ) nazveme střed pokud každým bodem ryzího okolí (y 0, z 0 ) prochází trajektorie typu uzavřené křivky cyklus uzel pokud každým bodem ryzího okolí (y 0, z 0 ) prochází trajektorie (y(x), z(x)), x (, ) typu otevřené křivky, jejíž konec (limita pro x nebo x ) je singulární bod (y 0, z 0 ), přičemž směrnice tečny trajektorie (y (x), z (x)) má konečnou limitu. Pokud se body (y(x), z(x)) blíží k bodu (y 0, z 0 ) při x, mluvíme o atraktivním (přitahujícím, přitažlivém) uzlu, pokud naopak body (y(x), z(x)) se blíží k bodu (y 0, z 0 ) při x, tj. při x se vzdalují, mluvíme o neatraktivním (odpuzujícím, odpudivém) uzlu. ohnisko každým bodem ryzího okolí (y 0, z 0 ) prochází trajektorie typu otevřené křivky, jejíž jeden konec (limita pro x nebo x ) je singulární bod (y 0, z 0 ), přičemž směrnice tečny řešení (y (x), z (x)) nemá vlastní limitu (orientovaný úhel tečného vektoru neomezeně roste, případně neomezeně klesá). Pokud se body (y(x), z(x)) blíží k bodu (y 0, z 0 ) při x, mluvíme o atraktivním (přitahujícím, přitažlivém) ohnisku, pokud body (y(x), z(x)) se blíží k bodu (y 0, z 0 ) při x (tj. při x se řešení vzdaluje od singularity), mluvíme o neatraktivním (odpuzujícím, odpudivém) ohnisku. sedlo pokud v ryzím okolí bodů (y 0, z 0 ) existují jak trajektorie, které se při rostoucím x blíží k (y 0, z 0 ), tak trajektorie se při rostoucím x vzdalují od (y 0, z 0 ). Typy singulárních bodů lineární soustavy rovnic v rovině V předchozím odstavci jsme studovali singulární bod (y 0, z 0 ) v obecné poloze. Posunutím, tj. transformací (y, z) (y, z ) = (y y 0, z z 0 ), lze singulární bod (y 0, z 0 ) převézt do počátku (0, 0) a studovat chování řešení v okolí singulárního bodu (0, 0). Dále linearizací funkcí f(y, z) a g(y, z) v okolí počátku (0, 0) f(y, z) a y + b z, g(y, z) c y + d z pomocí konstant a = f (0, 0), y b = f (0, 0), z c = g (0, 0), y d = g (0, 0), z lze typ singulárního bodu (y 0, z 0 ) nelineární soustavy (4.2) studovat pomocí přidružené soustavy lineárních rovnic ( ) ( ) ( ) y a b y z =. (4.3) c d z Napišme charakteristickou rovnici této soustavy P (λ) λ 2 (a + c)λ + (ac bd) = 0. (4.4) Snadno odvodíme tvrzení o typu příslušného singulárního bodu: 22