VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ Stavební statika Přednáška 2 pro kombinované studium Jiří Brožovský Kancelář: LP C 303/1 Telefon: 597 321 321 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz WWW: http://www.fast.vsb.cz/brozovsky/vyuka.html
Prut geometrický popis s - řídící čára (střednice, a a 1 s 2 b b b h u přímého prutu také osa prutu) b, h šířka a výška průřezu prutu 1, 2 působiště sil 2
Pohybové možnosti prutu Až do konce semestru budeme pokládat prut za dokonale tuhé těleso. ux uz ux ϕ ϕ uz posun prutu (u) pootočení prutu (ϕ) v rovině 3 možnosti ( stupně volnosti ): u x, u z, ϕ y v prostoru 6 možností: u x, u y, u z, ϕ x, ϕ y, ϕ z 3
Vnější vazby Vazba proti posunu v daném směru: 4
Vnější vazby: alternativní znázornění pro 3D Vazba proti posunu v daném směru (posuvné a pevné klouby): 5
Vnější vazby: alternativní znázornění pro 2D Vazba proti posunu v daném směru (posuvné a pevné klouby): 6
Vnější vazby pootočení Vazba proti pootočení v daném směru: 7
Vnější vazby vetknutí ve 2D Je zabráněno všem posunům a pootočením daného bodu prutu v rovině: 8
Zajištění nehybnosti prutu Kinematicky určitá konstrukce: v rovině: jsou odebrány právě 3 stupně volnosti v prostoru: je odebráno právě 6 stupňů volnosti Kinematicky přeurčitá konstrukce: v rovině: jsou odebrány více než 3 (6) stupně volnosti 9
Kinematicky určité konstrukce 10
Prut bez zajištěné nehybnosti Kinematicky neurčitá konstrukce: v rovině: jsou odebrány méně než 3 stupně volnosti v prostoru: je odebráno méně než 6 stupňů volnosti Výjimkový případ: je odebrán potřebný počet stupňů volnosti, ale vazby jsou nevhodně upořádány 11
Prut bez zajištěné nehybnosti 1. N = 3... OK 2. N = 3...!!!! 1. nehybný prut (kinematicky určitý) 2. výjimkový případ 12
Idealizované zatížení 1. 1. 2. 3. 3. 1. bodová síla 2. bodový moment 3. liniové silové zatížení 4. liniové momentové zatížení 4. 13
Výslednice idealizovaného zatížení F = a.q F = (a.p)/2 q p a/2 a/2 (2/3)a a/3 14
Podmínky rovnováhy uvolněného prutu v rovině R2 a R1 R3 b N R =3staticky určitý (kinematicky určitý) n i=1 F i,x =0 m j=1 F j,z =0 g k=1 M k,a=0 N R >3 staticky neučitý (kinematicky přeurčitý) N R <3staticky přeurčitý (kinematicky neurčitý!) 15
Stanovení reakcí nosníku (1) R2 a R1 R3 b vždy ověříme, zda je nosník opravdu staticky určitý z podmínek rovnováhy ( n i=1 F i,x =0, m j=1 F j,z =0, g k=1 M k,a=0) vyjádříme neznámé reakce. 16
Stanovení reakcí nosníku (2) R2 a R1 R3 b máme k dispozici vždy tři (3) podmínky rovnováhy, můžeme použít i 2 momentové a 1 silovou, je-li to vhodné. momentové podmínky píšeme pro působiště reakcí (reakce v tomto místě z rovnice vypadnou) 17
Stanovení reakcí nosníku (3) Jen svislé zatížení, prostý nosník. R a,x = 0, Ra,x = a 0 Ra,z b Rb,z m j=1 M j,a =0 R b,z, g k=1 M k,b=0 R a,z Kontrola: m i=1 F i,z =0 18
Stanovení reakcí nosníku (4) Obecné zatížení, prostý nosník. n i=1 F i,x =0 R a,x m j=1 M j,a =0 R b,z, Ra,x a b g k=1 M k,b=0 R a,z Ra,z Rb,z Kontrola: m i=1 F i,z =0 19
Stanovení reakcí nosníku (5) Jen svislé zatížení, konzola. Ma a Ra,x = 0 Ra,z b R a,x =0 m i=1 F i,z =0 R a,z g k=1 M k,b=0 R a,z 20
Stanovení reakcí nosníku (6) Obecné zatížení, konzola. Ma a Ra,x Ra,z b n i=1 F i,x =0 R a,x m i=1 F i,z =0 R a,z g k=1 M k,b=0 R a,z 21
Příklad stanovení reakcí nosníku Ra,x = 0 a Ra,z 4 10 3 12 4 b Rb,z Mi,a =0: 4 10 7 12+11 R b,z =0 R b,z = 4 10+7 12 11 =4kNm Mk,b =0: 11 R a,z +7 10 4 12=0 R a,z = 7 10+4 12 11 = 2kNm 22
Příklad stanovení reakcí nosníku 10 12 0 a b 4 4 3 4 2 Kontrola: F i,z =0: R a,z +(10 12)+R b,z =4+10 12 2=0 kontrola vyšla! 23
Téma přednášky: Výpočet vnitřních sil nosníku Vnitřní síly nosníku Rovinný nosník Šikmý rovinný nosník Prostorový nosník 24
Prostorový nosník (3D) Vz N... normálová síla y z x My Mz Mx Vy N Vy, Vz... posouvající síly Mx... krouticí moment My, Mz... ohybové momenty Celkem 3 síly a 3 momenty. 25
Rovinný nosník (2D, rovina XZ) Vz N... normálová síla V (Vz)... posouvající z x My N síla M (My)... ohybový moment Celkem 2 síly a 1 moment. Stejně tak je možné počítat rovinný nosník pro rovinu XY (N, Vy, Mz). 26
Normálová síla (osová úloha) R F1 F2 F3x N N= F i,x Normálová síla v průřezu x se určí jako výslednice všech osových sil působících po jedné straně zadaného průřezu (platí pro obě strany průřezu). 27
Normálová síla znaménka Síla je kladná tahová, působí-li od sledovaného průřezu. Síla je záporná tlaková, působí-li k sledovanému průřezu. x 00 11 00 11 +F F 00 00 11 11 F +F 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 28
Normálová síla síla v průřezu Působí-li zatížení právě ve sledovaném průřezu, pak v něm stanovujeme dvě hodnoty - před (N) a za (N+F) silou. N x F N+F 29
Normálová síla příklad 5 4 10 7 Ra,x = 6 +6 + +6 +1 +7 +1 3 3 + +7 0 0 30
Normálová síla zatížení (1) Rax = n L a n L 000000 111111 x n Nv = n L L 00000000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111111 0000000000000000000000000 1111111111111111111111111 000000000000000 111111111111111 n (x L) b N(x)= R(a)+n x= n L+n x=n(x L) 31
Normálová síla zatížení (1a) a x n Nv = n L L 000000000000 111111111111 00 11 000000000000000000000 111111111111111111111 0000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111 n x b Rax = n L n L N(x)=R(a)+n x=0+n x=nx 32
Normálová síla zatížení (2) 1) c Nc x L n n L d Nd 1. Rovnoměrné zatížení: n = konst, R x = n x, N(x)=N c n x 2) c tecna Nc 3) n x x L n d d Nd n d o 2 2. Trojúhelníkové zatížení: n x = n d x L, R x = 1 2 x n x, N(x)=N c n d x 2 2 b 3. Lichoběžníkové zatížení: c Nc x L d Nd 2 o součet rovnoměrného a trojúhelníkového: N(x)=N c n d x 2 2 b n x 33
Diferenciální podmínky rovnováhy pro N N n dx N + dx x dx Fx =0: N+(N+ dn)+n dx=0 dn dx = n 34
Posouvající síla F1 p1 F2 V + R x 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 + Posouvající síla v průřezu x se určí jako výslednice všech příčných sil působících po jedné straně zadaného průřezu (platí pro obě strany průřezu). V x = F i,z 35
Ohybový moment R F1 P3 p3 F2 M 00 11 00 11 00 11 x 00 11 00 11 00 11 d1 d3 d2 00 11 00 11 dr + Ohybový moment v průřezu x se určí jako součet momentů všech příčných sil působících po jedné straně zadaného průřezu (platí pro obě strany průřezu). M x = F i,z d i 36
Diferenciální podmínky rovnováhy pro V a M V M dq= q dx m M + dm x dx V + dv Fz = 0: V+(V+ dv)+q dx=0 dv dx = q Mi.x = 0: M+(M+ dm) V dx+q dx dx 2 + m dx=0 dm dx = V m 37
Diferenciální podmínky rovnováhy pro V a M Schwedlerovy vztahy: Pro m=0dostaneme: dv dx = q, V(x)= q(x)dx+c 1 dm dx = V, M(x)= V(x)dx+C 2 d 2 M dx 2 = q 38
Diferenciální podmínky rovnováhy pro V a M Extrémy V a M: Extrém V je v průřezu, kde q=0: dv dx = q=0 V(x)= q(x)dx+c 1 Extrém M je v průřezu, kde V =0nebo V = m nebo V mění znaménko: dm dx = V =0 M(x)= C 1, C 2 určíme z okrajových podmínek: V(x)dx+C 2, m=0 M =0 M =0, V = 0 39
Extrém M V M 40
Diferenciální podmínky rovnováhy pro V a M důsledek integrace o o o 0 1 2 o o o 1 2 3 q V M derivac n n+1 n+2 41
Konvence při vykreslování M a V kladné posouvající síly se vynášejí nahoru, záporné dolů momenty se vykreslují na stranu tažených vláken (zde podtržená) 42
Příklad výpočtu M a V (1) a L/2 Raz = F + Va = F F L/2 b Rbz =F Vb = F Reakce: R az = F( ) R bz = F( ) Posouvající síla: V a =+F V b = F V(L/2) L =+F V(L/2) P = F Moment: M = Raz L/2 = F L/2 M(L/2)=R az L 2 = F 2 43
Příklad výpočtu M a V (2) q a L L/2 Q L/4 Raz + Va M(L/2) b Rbz Vb Reakce: R az = q L 2 ( ) R bz = q L 2 ( ) Posouvající síla: V a =+ q L 2 V b = q L 2 Moment: M(L/2)=V a L 2 L 2 q L 4 = = q L2 4 L2 8 q=1 8 q L2 44
Příklad výpočtu M a V (3) Q = q L/2 q Reakce: a L b R az = Q=qL( ) M a = Q L 1 2 = q L2 2 Posouvající síla: Ma Raz Va = q L M V a =+R az = q L Moment: M(x)= q(l x) (L x) 2 = q(l x)2 2 M(a)= q(l 0) L 0 2 = 1 8 q L2 M(b)= q(l L) L L 2 =0 45
Pomůcka: Poloha maximálního momentu (1) qc c x d V(c) 1 o V(c) q c x n =0 x n L Tedy x n stanovíme po úpravě: x n = V(c) q c 2 o M(x) = Mmax 46
Pomůcka: Poloha maximálního momentu (2) qd c V(c) x 2 o d Kvadratická rovnice: V(c) 1 2 x n(q d ) x n L =0 q d 2 L x2 n V(c)=0 x n Tedy x n stanovíme: L o 3 M(x) = Mmax 01 01 x n = 2L V(c) q d 47
Pomůcka: Poloha maximálního momentu (3) qd c qc x d V(c) q c x n 1 2 x n(q d q c ) x n L =0 V(c) 2 o Kvadratická rovnice: (q d q c ) 2 L x 2 n+q c x n V(c)=0 x n L o 3 M(x) = Mmax 01 01 Tedy x n stanovíme (viz 8. třída ZŠ): x n = q c+ q 2 c+4 q d q c 2L V(c) 2 q d q c 2L 48