1 Extrémy funkcí - slovní úlohy

1 Extrémy funkcí - slovní úlohy Příklad 1.1. Součet dvou kladných reálných čísel je a. Určete 1. Minimální hodnotu součtu jejich n-tých mocnin.. Maximální hodnotu součinu jejich n-tých mocnin. Řešení. 1. Chceme najít dvojici čísel x, y 0, a) splňující tak, aby hodnota x + y = a x n + y n = x n + a x) n, kde n je přirozené číslo, byla minimální. Hledáme tedy minimum funkce fx) = x n + a x) n na intervalu 0, a). Tato funkce je spojitá na celém R a také má všude derivaci. Nejprve najdeme stacionární body funkce f. Derivace funkce f je tvaru f x) = nx n 1 na x) n 1. Hledáme body x, ve kterých je derivace nulová, tj. řešíme rovnici To je ekvivalentní s tím, že což nastane právě tehdy, když nx n 1 = na x) n 1. x n 1 = a x) n 1, x = a x. Poznamenejme, že obecně odmocnění není ekvivalentní úprava, nicméně v našem případě to je ekvivalentní úprava, nebot hledáme kladná reálná čísla. Funkce f má tedy stacionární bod v bodě x = a. Na intervalu 0, a) nabývá funkce f v bodě x = a minima, nebot a ) f x) > 0 pro x, a a f x) < 0 pro x 0, a ). Minimlní hodnota součtu n-tých mocnin je pak a ) n.. Nyní chceme najít dvojici čísel x, y 0, a) splňující x + y = a tak, aby hodnota x n y n = x n a x) n, 1

kde n je přirozené číslo, byla maximální. Hledáme tedy maximum funkce gx) = x n a x) n na intervalu 0, a). Tato funkce je spojitá na celém R a také má všude derivaci. Nejprve najdeme stacionární body funkce g. Derivace funkce g je tvaru g x) = nx n 1 a x) n nx n a x) n 1. Hledáme body x, ve kterých je derivace nulová, tj. řešíme rovnici Ekvivalentními úpravami dostaneme nx n 1 a x) n = nx n a x) n 1. x = a x, tedy x = a. Funkce g má v tomto bodě na intervalu 0, a)) maximum, nebot g x) = n x n 1 a x) n 1 a x) > 0 pro x 0, a ) a ) g x) = n x n 1 a x) n 1 a x) < 0 pro x, a. Příklad 1.. Drát délky a máme rozdělit na dvě části. Z první části chceme vyrobit čtverec, ze druhé kruh tak, aby součet ploch obou útvarů byl co možná nejmenší. Určete tento součet obsahů. Řešení. Čtverec s obvodem x má obsah ) x. 4 Kruh s obvodem y má obsah π y ) π = y 4π. Chceme najít dvojici čísel x, y 0, a) splňující tak, aby hodnota x + y = a x 16 + y 4π = x 16 byla co nejmenší. Hledáme minimum funkce fx) = x 16 a x) +, 4π a x) +. 4π Nejprve najdeme stacionární body funkce f. Derivace funkce f je tvaru f x) = x a x π. Hledáme body x, ve kterých je derivace nulová, tj. x a x π = 0.

Odtud poměrně snadno dostaneme 4a πx 4a + 4x = 0, tedy x = 4+π. Druhá derivace f x) = 1 + 1 π je kladná, a proto má funkce f v tomto bodě lokální) minimum. Ve skutečnosti se jedná o globální maximum funkce je spojitá, derivace je definovaná všude a tento bod je jediný, kde mění znaménko). Minimální obsah pak je ) 4a 16a f = 4 + π 164 + π) + π a 4π4 + π) = 4a + πa 44 + π) = a 44 + π). Příklad 1.3. Dva splavné, na sebe kolmé kanály, jsou široké 4 m a 6 m. Jak nejvýše dlouhou kládu můžeme kanály splavit? Řešení. Úlohu lze přeformulovat takto: V kartézské rovině hledáme pravoúhlý trojúhelník, jehož odvěsny leží na osách a jehož přepona prochází bodem [6, 4] resp. [4, 6]). Ze všech takových trojúhelníků chceme určit ten s nejkratší přeponou. Délka této přepony pak odpovídá kládě největší možné délky, kterou jsme schopni ještě splavit. 10 y 6 4 0 4 6 x 10 1 Hledáme minimum funkce Derivace funkce f je fx) = 6 + x) + 4 + 4 ) = x + 1x + 36 + 16 + 96 + 4 x x x. f x) = x + 1 96 x 4 x 3. Hledáme nulové body derivace, tj. řešíme následující rovnici x 4 + 6x 3 96x 4 = x + 6)x 3 96) = 0, 3

odtud dostaneme, že x = 3 1 zbylé kořeny nás nezajímají, protože to nejsou kladná reálná čísla). Protože f 3 1) > 0, jedná se lokální) minimum. Na množině nezáporných reálných čísel funkce f nabývá v tomto bodě nejmenší hodnoty. Hledaná délka je pak 6 + 3 1) + 4 + 4 ) 3 = 3 16 + 3 36) 3. 1 Příklad 1.4. Pro jaký poloměr a výšku bude mít válec s daným objemem V nejmenší povrch. Řešení. Objem válce je dán vzorcem V = πr v, kde r je poloměr podstavy a v je výška. Povrch válce je pak dán vzorcem S = πrv + πr. Našim úkolem je pro dané V minimalizovat S. Bud V libovolné kladné reálné číslo. Pak ze vzorce pro objem jsme schopni vyjádřit výšku jako v = πr V. Toto vyjádření dosadíme do vzorce pro povrch a dostaneme S = πrv + πr = V r + πr. Tím jsme získali funkci v proměnné r. Poznamenejme, že V v tuto chvli není funkce proměnných r a v, ale je to nějaké číslo). Funkci S zderivujeme a dostaneme S r) = V r + 4πr. Chceme najít stacionární body, tj. řešíme rovnici V + 4πr = 0. r Odtud dostaneme tedy Není těžké ukázat, že v bodě r = v πr 3 = V = πr v, v = r. má funkce Sr) minimum. Příklad 1.5. Určete vzdálenost bodu [1; 1] od paraboly y = x. Řešení. Vzdáleností bodu [1; 1] od paraboly y = x rozumíme minimální vzdálenost bodu [1; 1] a bodu [x; y] ležícího na parabole, tj. ze všech takovýchto vzdáleností vybereme tu nejmenší. Vzdálenost bodu [1; 1] od bodu [x; y] je x 1) + y 1). 4

Předpokládáme-li, že bod [x; y] leží na naší parabole, pak dostaneme y ) 1 + y 1), což je funkce proměnné y a my hledáme její minimum. Protože odmocnina je rostoucí funkce, stačí hledat minimum vnitřní funkce ) y fy) = 1 + y 1) = y4 y +. 4 Derivace této funkce je tvaru f y) = y 3. Chceme najt stacionární body, tedy potřebujeme určit kořeny polynomu y 3. Tento polynom má jeden kořen reálný a dva kořeny komplexně sdružené. Reálným kořenem je y = 3. Funkce f má tedy jediný stacionární bod, totiž y = 3. Vidíme, že pro y < 3 je derivace záporná, zatímco pro y > 3 je derivace kladná. To znamená, že v bodě y = 3 má funkce dokonce globální) minimum. Hledaná vzdálenost je pak y ) 1 1 + y 1) = 3 1) + 3 1) = 3 ) 1) 4 13 + 1 = = 3 3 + 1). Příklad 1.6. Účastníte se plavecko-běžeckého závodu. Start je na rovné písčité pláži. Cíl je ve vodě. Do cíle můžete běžet rovně po pláži 4 km a pak plavat 1 km kolmo k pláži. Běžíte rychlostí 6 km/h a plavete rychlostí km/h. V jakém místě je nejvýhodnější začít plavat? Řešení. Označme x vzdálenost, kterou uběhneme na pláži. Zřejmě x [0, 4]. Dále označme y vzdálenost, kterou do cíle doplaveme. Tato vzdálenost je dána vztahem y = 4 x) + 1, tedy y = 1 + 4 x). Do cíle se chceme dostat co nejrychleji, tedy chceme, aby celkový čas byl minimální. Označíme-li t 1, resp. t čas strávený na prvním, resp. druhém úseku, tak celkový čas t bude roven zde jsme využili toho, že Hledáme body, ve kterých funkce t = t 1 + t = x 6 + y = x 1 + 4 x) 6 +, čas = dráha rychlost. fx) = x 6 + 1 + 4 x) 5

nabývá na intervalu [0, 4] minima. Nejprve spočítáme derivaci funkce f: f x) = 1 6 + 1 4 4 x) = 1 1 + 4 x) 6 1 4 x. 1 + 4 x) Hledáme body x, pro které je derivace nulová, tj. řešíme následující rovnici Ekvivalentními úpravami dostaneme 1 = 3 1 6 1 4 x = 0. 1 + 4 x) 4 x 1 + 4 x) 1 + 4 x) = 34 x). Obě strany umocníme na druhou, tím dostaneme Dalšími úpravami získáme 1 + 4 x) = 94 x). 1 = 4 x) 1 = 4 x) a odtud pak x = 4 ± 1. Dosazením do rovnice 1 + 4 x) = 34 x) zjistíme, že pouze 4 1 je nulovým bodem derivace. Druhý kořen stejně nemá smysl uvažovat, vzhledem k našemu předpokladu x [0, 4].) Vidíme, že pro velká kladná x bude derivace kladná, naopak pro velká záporná x bude derivace záporná, a proto funkce f nabývá v bodě x = 4 1 svého minima. 6