5. Pravděpodobnost Uvažujme množinu Ω všech možných výsledků náhodného pokusu, například hodu mincí, hodu kostkou, výběru karty z balíčku a podobně. Tato množina se nazývá základní prostor a její prvky se nazývají elementární jevy, přičemž požadujeme, aby se navzájem vylučovaly (nastal-li jeden, nemohl nastat druhý) a aby jeden z nich nastal vždy (tj. nemůže nastat výsledek, který nepatří do Ω). Podmnožiny množiny Ω se nazývají jevy. Jev Ω se nazývá jistý jev, jev Ω se nazývá nemožný jev. Říkáme, že jevy A, B se navzájem vylučují, jestliže A B =. Jev A c := Ω A, A Ω se nazývá jevem opačným nebo též doplňkem k jevu A. 5.. Klasická pravděpodobnst V této části budeme vždy předpokládat, že Ω je konečná množina. Klasickou pravděpodobnost definujeme následujícím způsobem: Pravděpodobnost jevu A Ω je dána vztahem P (A) = A Ω, jedná se tedy o podíl počtu prvků množiny A ku celkovému počtu prvků. Snadno se ověří platnost následujících pravidel:. P (Ω) =, 2. P ( ) = 0, 3. P (A c ) = P (A),. Je-li A B =, pak P (A B) = P (A) + P (B). Příklad 5.. Uvažujme dvě šestistěnné kostky. Stěny první z nich jsou označeny čísly,, 3, 3, 6, 6 a stěny druhé 2, 2, 3,,,. Která z kostek bude mít po vržení větší hodnotu častěji? Řešení. Označme A i jev, že na první kostce padlo číslo i a podobně B j bude značit jev, že na druhé kostce padlo číslo j. Promysleme si, jak vypadá základní prostor Ω a jak vypadají příslušné jevy. Házíme-li jednou kostkou, pak základním prostorem je šestiprvková množina Ω = {s, s 2, s 3, s, s 5, s 6 }, kde s i jsou jednotlivé stěny. Předpokládáme, že házení kostkou je náhodný pokus a že každá stěna může padnout se stejnou pravděpodobností, totiž 6. Obě kostky jsou nějak očíslovány, takže pro každou z kostkem máme zobrazení, které stěně přiřadí číslo. První kostce odpovídá zobrazení h : Ω {, 2, 3,, 5, 6}, které je dáno předpisem h (s ) =, h (s 2 ) =, h (s 3 ) = 3, h (s ) = 3, h (s 5 ) = 6, h (s 6 ) = 6. Druhé kostce odpovídá zobrazení h 2 : Ω {, 2, 3,, 5, 6}, které je dáno předpisem h 2 (s ) = 2, h 2 (s 2 ) = 2, h 2 (s 3 ) = 3, h 2 (s ) =, h 2 (s 5 ) =, h 2 (s 6 ) =.
Pak a podobně A i = {s k Ω; h (s k ) = i} B j = {s k Ω; h 2 (s k ) = j}. Tedy například A = {s, s 2 }, B 3 = {s 3 } apod. Díky tomu snadno spočítáme pravděpodbnosti jevů A i a B j. Platí { P (A i ) = 3, i {, 3, 6}, 0, jinak. a také 3, j = 2, P (B j ) = 6, j = 3, 2, j =, 0, jinak. Házíme-li dvěma kostkami, pak základním prostorem je množina Ω = {s, s 2, s 3, s, s 5, s 6 } {s, s 2, s 3, s, s 5, s 6 } = { (s i, s j ); i, j {, 2, 3,, 5, 6} }. Označme C ij jev odpovídající tomu, že na první kostce padlo i a na druhé kostkce padlo j. Pak platí C ij = {(s a, s b ) Ω ; h (s a ) = i, h 2 (s b ) = j} = {(s a, s b ) Ω ; s a A i, s b B j } = A i B j. Z toho vyplývá, že P (C ij ) = C ij Ω = A i B j Ω Ω = P (A i ) P (B j ). Označme po řadě P ( > 2), P ( = 2), P ( < 2) pravděpodobnosti toho, že číslo, které padlo na první kostce, bude větší, stejné, menší jako číslo, které padlo na druhé kostce. Chceme-li, aby první kostka měla větší hodnotu než druhá kostka, musí nastat jedna z následujících možností: (3, 2), (6, 2), (6, 3), (6, ), kde první číslo dvojice je hodnota na první kostce a druhé na druhé kostce. Platí P ( > 2) = i>j P (C ij ) = P (C 32 ) + P (C 62 ) + P (C 63 ) + P (C 6 ) = = P (A 3 ) P (B 2 ) + P (A 6 ) P (B 3 ) + P (A 6 ) P (B ) = P (A 3 ) P (B 2 ) + + P (A 6 ) (P (B 2 ) + P (B 3 ) + P (B ) ) = P (A 3 ) P (B 2 ) + P (A 6 ) = 3 3 + 3 = 9. Stejná hodnota na obou kostkách může nastat pouze pro dvojici (3, 3), proto P ( = 2) = P (C 33 ) = P (A 3 ) P (B 3 ) = 3 6 = 8. Konečně P ( < 2) = ( P ( = 2) + P ( > 2) ) = 8 8 8 = 9 8. Druhá kostka bude mít větší hodnotu častěji (je to více pravděpodobné). 2
Definice 5.2. Řekneme, že jevy A, B jsou stochasticky nezávislé, jestliže pro ně platí 5. Pravděpodobnost P (A B) = P (A) P (B) (5.) kde P (A B) značí pravděpodobnost výskytu jevu A a současně jevu B. Příklad 5.3. Uvažujme hod dvěma standardními šestistěnnými kostkami, obarvenými modrou a červenou barvou. Určete pravděpodobnost následujících jevů a rozhodněte, zda-li jsou po dvou stochasticky nezávislé. A: Součet na kostkách je dělitelný třemi. B: Na kostkách padne stejné číslo. C: Součet na kostkách je dělitelný čtyřmi. Řešení. Obě kostky jsou standardní, pravděpodobnost, že padne jedno z čísel,..., 6, je 6. Označme spomocí uspořádané dvojice (i, j) jev, ve kterém padne na modré kostce číslo i a na červené j. A: Aby byl součet dělitelný třemi, mohou nastat tyto situace: (, 2), (, 5), (2, ), (2, ), (3, 3), (3, 6), (, 2), (, 5), (5, ), (5, ), (6, 3), (6, 6). Celkem máme 2 různých dvojic, proto P (A) = 2 36 = 3. B: Stejné číslo na kostkách odpovídá dvojicím (i, i), i {,..., 6}, proto P (B) = 6 36 = 6. C: Součet dělitelný čtyřmi nastává právě pro dvojice: (, 3), (2, 2), (2, 6), (3, ), (3, 5), (, ), (5, 3), (6, 2), (6, 6). Pravděpodobnost, že padne součet dělitelný čtyřmi, je proto roven P (C) = 9 36. Abychom určili stochastickou nezávislost, potřebujeme určit pravděpodobnosti jednotlivých průniků. A B: Pouze pokud padne (3, 3) nebo (6, 6) bude součet stejných cifer dělitelný třemi, tedy P (A B) = 2 36 = 8. Jevy A a B jsou stochasticky nezávislé, nebot P (A B) = 8 = 3 = P (A) P (B). 6 3
A C: Dvojice popisující dělitelnost třemi a zároveň čtyřmi jsou právě ty, které se vyskytují v případě A i C, tj. pouze (6, 6), čemuž odpovídá pravděpodobnost P (A C) = 36, tedy jevy A, C nejsou stochasticky nezávislé (jsou stochasticky závislé), nebot B C: Případ nastane pro dvojice proto P (A C) = 36 3 = P (A) P (C). (2, 2), (, ), (6, 6), P (B C) = 3 a vidíme, že jevy nejsou stochastický nezávislé 5.2. Podmíněná pravděpodobnst 36 = 2 P (B C) = 2 = 2 6 = P (B) P (C). Definice 5.. Necht B je jev s nenulovou pravděpodobností, tj. splňující P (B) 0, pak definujeme podmíněnou pravděpodobnost: pravděpodobnost jevu A, za předpokladu, že nastal jev B, je dána rovností P (A B) P (A B) = (5.2) P (B) Poznámka 5.. Všimněme si, že jsou-li jevy A, B stochasticky nezávislé, pak můžeme (5.2) přepsat do tvaru P (A B) = P (A) P (B) P (B) = P (A) To je v souladu s intuicí: jsou-li jevy A, B stochasticky nezávislé, pak pravděpodbnost A v závislosti na B je rovna pravděpodobnosti A, jinými slovy: nezávislé jevy mají nezávislé psti. Příklad 5.5. Ve skříni jsou dvě zelené, šest modrých a šest černých ponožek. Postupně vytáhneme dvě. Určete pravděpodobnost toho, že vytažené ponožky mají stejnou barvu. Dále spočtete pravděpodobnost toho, že po vytažení tří ponožek budou mít alespoň dvě stejnou barvu. Řešení. Pro lepší představu budeme předpokládat, že jsme postupně ze skříně vytáhli všech ponožek. Zelené ponožky budeme značit písmenem Z, modré písmene M a černé písmenem Č. Vždy, když ze skříně vytáhneme jednu ponožku, zapíšeme jedno z písmen Z, M, Č v závislosti na barvě ponožky. Po vytažení všech ponožek dostaneme řetězec délky složený z písmen Z, M a Č. Nyní už je možná jasné, jak vypadá základní prostor Ω. Jsou to všechny různé přesmyčky slova ZZČČČČČČMMMMMM.
Jevu A, kdy první dvě vytažené ponožky mají stejnou barvu, odpovídají právě ty přesmyčky, které začínají dvěma stejnými písmeny, tedy dvěma Č, dvěma M nebo dvěma Z. Počet všech přesmyček je! 2 6!6! = 808. Počet přesmyček, které začínají dvěma Z, je Počet přesmyček, které začínají dvěma M, je Počet přesmyček, které začínají dvěma Č, je 2! 6!6! = 92. 2! 2!6! = 3860. 2! 2!6! = 3860. Tedy Ω = 808, a A = 92 + 2 3860 = 286. Výsledná pravděpodobnost je pak P (A) = A Ω = 286 808 = 3 9. Označme nyní B jev, kdy mezi prvními třemi ponožkami jsou alespoň dvě stejné barvy. Spočítáme jev opačný B c, tj. první tři ponožky mají různou barvu (všechny jsou různé). To znamená, že potřebujeme spočítat počet přesmyček, které začínají libovolnou permutací písmen Z, M, Č. Pro jednu konkrétní permutaci je takových přesmyček právě! 5!5! = 2772, pro všechny permutace počátečních tří písmen dostáváme 6 2772 = 6632. Pak pravděpodbnost jevu B c je dána vztahem P (B c ) = Bc Ω = 6632 808 = 8 9. Pravděpodobnost jevu B je pak P (B) = P (B c ) = 73 9. 5
5.3. Geometrická pravděpodobnost V tomto případě je Ω nějaká podmnožina R 2 (a známe její obsah vol Ω). Pak pravděpodobnost A Ω je dána vztahem P (A) = vol A vol Ω Příklad 5.6. V kruhové ohradě s kůlem uprostřed je zavřený kůň (jehož výskyt je náhodný). Jaká je pravděpodobnost, že je kůň blíže středového kůlu, než ohrady? Řešení. Ohradu lze geometricky znázornit jako kruh o poloměru r. Elementární jevy jsou v tomto případě body tohoto kruhu. Jev, který nás zajímá, odpovídá těm bodům, které mají vzdálenost od středu menší než r 2, tedy A je kruh (přesněji vnitřek kruhu) se stejným středem a polovičním poloměrem. Pak platí P (A) = vola volω = π r2 πr 2 =. Příklad 5.7. Dva kamarádi Karel a Vlasta se domluvili, že pojedou v sobotu dopoledne na výlet vlakem do Náměště nad Oslavou. Neví přesně kdy jezdí vlaky a nechají na náhodu, zda se potkají a pojedou stejným vlakem. Oba tedy přijdou náhodně někdy v dobe 8:00-0:00 na hlavní nádraží a nasednou do prvního vlaku, co jede do Náměště. Jaká je pravděpodobnost, že pojedou na výlet spolu, pokud vlaky jezdí každou půlhodinu (tj. 8:30, 9:00, 9:30, 0:00)? Řešení. Karel přijde na nádraží v 8 + x h, kde x je náhodně zvolené číslo z intervalu (0, 2). Podobně Vlasta přijde na nádraží v 8 + y h, kde y je náhodně zvolené číslo z intervalu (0, 2). Základním prostorem je tedy množina v všech takových dvojic, tj. Ω = {(x, y); x (0, 2), y (0, 2)}. Vidíme, že chtějí-li jet oba vlakem v 8:30, musejí oba přijít mezi 8 a 8:30. Chtějí-li jet vlakem v 9, musejí přijít mezi 8:30 a 9. Podobně pro zbylé dva vlaky. Označíme-li A jev, že pojedou stejným vlakem, pak platí A = Pravděpodobnost jevu A je pak {(x, y); x, y ((i )/2, i/2)}. i= P (A) = vola volω = =. 6