11 Abbeova transformace a Abbeova věta

11 ABBEOVA TRANSFORMACE A ABBEOVA VĚTA 1 11 Abbeova transformace a Abbeova věta Abbeova transformace i Abbeova věta jsou významné pro teorii difrakce jak v optice, tak ve strukturní analýze. Abbeova transformace dovoluje v jistých pro prai však velmi důležitých případech snížit dimenzi Fourierova integrálu, jenž charakterizuje difrakční jev (odst. 11.1). Tak lze s její pomocí odvodit výraz pro Youngovu okrajovou vlnu pro Fraunhoferovu difrakci a jde-li o difrakci na otvoru ve tvaru mnohoúhelníka, lze dokonce příslušný Fourierův integrál vyjádřit algebraicky (odst. 11.). Podobně ve strukturní analýze lze jejím prostřednictvím odvodit algebraické výrazy pro tzv. tvarovou amplitudu krystalů, tj. Fourierovu transformaci charakteristické funkce mnohostěnu vymezujícího tvar krystalu (viz dodatek D). Tyto tvarové amplitudy jsou významné pro tvar difrakčních stop (viz kap. 17). Abbeova věta říká, že ve směru kolmém na rovný úsek okraje otvoru v difrakčním stínítku má Fraunhoferova difrakce rameno difrakční hvězdice (odst. 11.3). Tím je užitečná, kdykoli je třeba detegovat přednostní orientaci přímkových útvarů v objektu, např. přednostní orientaci vláken netkaných tetílií. Běžně se jí využívá ke stanovení nebo kontrole vzájemné orientace otvoru a difrakčního obrazce při prezentaci difrakčních obrazců. Abbeovu větu lze ilustrovat mnoha difrakčními obrazci uvedenými v těchto přednáškách. Jedním z nich je i difrakční obrazec na obr. 1. Jde o Fraunhoferovu difrakci na modelu sněhové vločky. Obrázek 1: Fraunhoferova difrakce na otvoru ve tvaru modelu sněhové vločky dobře ilustruje Abbeovu větu: Ramena difrakční hvězdice jsou kolmá k rovným částem okraje otvoru. Pozoruhodné je, že Abbe tyto své výsledky asi nikdy nepublikoval, neboť je marně hledáme v jeho sebraných spisech [1]. Používal jich však v osmdesátých letech devatenáctého století ve svých přednáškách na univerzitě v Jeně. Svědectví o tom podává tištěná disertace jeho žáka R. Straubela z r. 1888 [] a publikace z r. 1895 [3]. 11.1 Abbeova transformace Podstatu Abbeovy transformace vyjadřuje věta: Nechť V je konečná oblast v E N, N, V její hranice, dσ element hranice a n jednotková vnější normála hranice V. Nechť dále ϕ( ) je funkce N proměnných ( 1,..., N ) vyhovující Helmholtzově rovnici Pak ϕ( ) + κ ϕ( ) = 0, κ = konst. (1) (N) ϕ( ) d N = 1 (N 1) κ ϕ( ) n dσ. () V V

11 ABBEOVA TRANSFORMACE A ABBEOVA VĚTA Mlčky se ovšem předpokládá, že ϕ, V i V jsou takové, že oba integrály () eistují. K důkazu lze použít Abbeova důkazu pro E uvedeného u Straubela ([], str. 6 9): Z (1) vyplývá ϕ = ϕ/κ, takže levá strana () je rovna integrálu Gaussova (Greenova) věta 1 (N) κ ϕ( ) d N. (3) V (N) V A d N = (N 1) V A n dσ, (4) v níž položíme A = ϕ a A = ϕ, převádí integrál (3) do integrálu na pravé straně vztahu (), a tím je věta dokázána. Jádro Fourierovy transformace ϕ( X ) = ep( ik X ) (5) splňuje Helmholtzovu rovnici (1) s κ = k X. Počítáme-li tedy Fourierův integrál charakteristické funkce oblasti V, redukuje se nekonečný obor integrace na konečnou oblast V a poněvadž má Abbeova transformace tvar (N) V ep( ik X ) = ik ep( ik X ) X, ep( ik X ) d N = ±i kx (N 1) V ep( ik X ) X n dσ. (6) Je-li hranice V tvořena částmi nadrovin, má pravá strana (6) tvar součtů integrálů přes oblasti jednotlivých nadrovin. V každém sčítanci pak lze vytknout X n před integrál a znovu použít (6) k dalšímu snížení dimenze integrálu. (Je však třeba mít na paměti, že integrandy integrálů přes nadroviny splňují Helmholtzovu rovnici (1) s κ = k X f, kde X f je délka průmětu vektoru X do příslušné nadroviny.) Této procedury používáme v dodatku D k algebraickému vyjádření Fourierovy transformace charakteristické funkce mnohostěnů (tj. k algebraickému vyjádření tvarových amplitud krystalů). V příštích dvou odstavcích však využijeme Abbeovy transformace v E k algebraickému vyjádření výrazů pro Fraunhoferovu difrakci na otvorech ve tvaru mnohoúhelníků a k odvození tzv. Abbeovy věty. 11. Fourierova transformace charakteristické funkce mnohoúhelníků. Fraunhoferova difrakce na otvorech ve tvaru mnohoúhelníků Aplikujeme nyní výsledky předchozího odstavce na dvojrozměrný případ, kdy v rovině ( 1, ) je oblast Ω ohraničená po částech hladkou křivkou γ orientovanou proti směru hodinových ručiček. Fourierova transformace charakteristické funkce oblasti Ω je F (X 1, X ) = A ep [ ik(x 1 1 + X )] d 1 d. (1) Ω Podle vztahu 11.1(6) lze integrál (1) vyjádřit křivkovým integrálem, takže Fourierova transformace charakteristické funkce dvojrozměrné oblasti je vyjádřena jednorozměrným integrálem A i F (X 1, X ) = k(x1 + X ) ep [ ik(x 1 1 + X )] (X 1 n 1 + X n ) dγ = γ = A i kx ep( ikx ) X n dγ, () γ kde n(n 1, n ) je jednotková vnější normála oblasti Ω. Integrál () je vyjádřením Youngovy okrajové vlny pro případ Fraunhoferovy difrakce. Je-li oblastí Ω mnohoúhelník, je její okraj γ tvořen úsečkami a Fourierovu transformaci () lze vyjádřit jako součet příspěvků F e jednotlivých stran

11 ABBEOVA TRANSFORMACE A ABBEOVA VĚTA 3 kde E je počet stran mnohoúhelníka. F ( X) E = F e ( X), (3) 11..1 Příspěvek strany mnohoúhelníka k Fourierově transformaci charakteristické funkce V e+1 (V e+1) C e 0 (C e ) (V e ) t e B n e V e Obrázek : K odvození vztahů odst. 11. Podle obr. značí (Ve) průvodič vrcholu V e, L e = (Ve+1) (Ve), t e = L e /L e a n e značí jednotkovou vnější normálu k e té straně. Průvodič obecného bodu B e té strany lze vyjádřit součtem = Ve + t e l, kde l je vzdálenost od vrcholu V e. Příspěvek e té strany pak je F e ( X) = A i kx = A 1 k X X n e ep ( ikx (Ve)) Le Pro další odvozování je účelné vyjádřit příspěvek F e 0 ep( ik X t e l) dl = X ne ep ( ikx X t (Ve)) [ 1 ep( ik ] X t e L e ) e (i) jednak prostřednictvím fázoru vztahujícího se ke středu strany, (ii) jednak prostřednictvím fázorů vztahujících se k vrcholům mnohoúhelníka.. (4) (i) Vytkneme-li z hranaté závorky ve (4) fázor ep( ik X t e L e /) a označíme-li průvodič středu C e e té strany (Ce) = (Ve) + t e L e /, lze příspěvek (4) přepsat do tvaru tj. F e ( X) = A 1 k X X ne ep ( ikx X t (Ce)) [ ep(ikx t e L e /) ep( ik ] X t e L e /), e F e ( X) = A i kx L sin(kx ex n t e L e /) e kx ep ( ikx t (Ce)). (5) e L e / (ii) Poněvadž (Ve+1) = (Ve) + t e L e, plyne ze (4) F e ( X) = A 1 k X X ne [ ep ( ikx X t (Ve)) ep ( ikx (Ve+1))]. (6) e V odst. 11.3 provedeme analýzu výrazu (5) a zformulujeme tzv. Abbeovu větu. Nyní však, v odst. 11.. a 11..3, sečteme jednotlivé příspěvky F e ( X) a získáme algebraické výrazy pro Fourierovu transformaci charakteristické funkce mnohoúhelníka.

4 11 ABBEOVA TRANSFORMACE A ABBEOVA VĚTA 11.. Sčítání podle stran Sečtením příspěvků stran ve tvaru (5) se dostane Fourierova transformace charakteristické funkce ve tvaru kombinace fázorů vztahujících se ke středu C e stran mnohoúhelníka: F ( X) = A i kx E L e X ne sin(k X t e L e /) k X t e L e / ep ( ik X (Ce)). (7) Má-li mnohoúhelník středovou symetrii, je E sudé a platí n e+e/ = n e, t e+e/ = t e (viz obr. 3). Vztáhneme-li průvodiče (Ce) ke středu mnohoúhelníka, je (Ce+E/) = (Ce). Sečtením příspěvků n e V e+1 C e t e V e (V e+1) (C e ) (V e ) 0 (V ) e+e/ (C ) e+e/ V e+e/ C e+e/ t e+e/ n e+e/ Obrázek 3: K odvození Fourierovy transformace charakteristické funkce mnohoúhelníka se středovou symetrií. F e ( X) a F e+e/ ( X) se pak dostane E/ F ( X) = A kx L ex sin(kx t e L e /) ne kx t e L e / sin ( k X (Ce)). (8) 11..3 Sčítání podle vrcholů Sečtením příspěvků F e ( X) stran ve tvaru (6), přerovnáním sčítanců tak, aby každý sčítanec obsahoval pouze fázor vztahující se k jednomu vrcholu V e a označením t 0 = t E, n 0 = n e se dostane Fourierova transformace charakteristické funkce mnohoúhelníka ve tvaru kombinace fázorů vztahujících se k vrcholům V e mnohoúhelníka F ( X) = A 1 k X = A 1 k X E ( X ne ) X n e 1 ep ( ikx X t e X t (Ve)) = e 1 E ( X n e )( X t e 1 ) ( X n e 1 )( X t e ) ( X t e )( X ep ( ikx t (Ve)). (9) e 1 ) Čitatele zlomku lze podstatně zjednodušit pomocí následující trigonometrické úpravy (srv. obr. 4)

11 ABBEOVA TRANSFORMACE A ABBEOVA VĚTA 5 ( X n e )( X [ t e 1 ) ( X n e 1 )( X t e ) = = X cos( X, n e ) cos( X, t e 1 ) cos( X, n e 1 ) cos( X, t ] e ) = { = X cos( X, [ n e ) cos ( X, n e ) + π ] [ ( t e 1, t e ) cos ( X, ] n e ) ( t e 1, t e ) { = X cos( X, [ n e ) sin ( X, ] [ n e ) ( t e 1, t e ) + cos ( X, ] n e ) ( t e 1, t e ) sin [ cos ( X, n e ) + π ]} = ]} = [ ( X, n e ) = X sin( t e 1, t e ) = X cos( t e 1, n e ) = X t e 1 n e. (10) V e+1 t e n e V e t e-1 n e n e-1 X t e-1 n e-1 t e X V e-1 Obrázek 4: K trigonometrickým úpravám (10) Dosazením (10) do (9) se dostane Fourierova transformace ve tvaru F ( X) = A 1 k E sin( t e 1, t e ) ( X t e 1 )( X t e ) ep( ik X (Ve)). (11) Má-li mnohoúhelník středovou symetrii, lze výraz (11) dále zjednodušit sečtením e tého a (e + E/) tého sčítance: F ( X) = A E/ sin( t e 1, t e ) k ( X t e 1 )( X t e ) cos(k X (Ve) ). (1) Průvodiče (Ve) zde ovšem vycházejí ze středu 0 mnohoúhelníka (viz obr. 3). Součty (7), (8) a (11), (1) jsou algebraické výrazy, které umožňují počítat Fraunhoferovu difrakci na otvorech ve tvaru mnohoúhelníků algebraicky namísto počítání Fourierova integrálu. Výrazy (11) a (1) jsou jednodušší než (7) a (8). Je-li však vektor X kolmý na některou stranu ( X t e = 0), obsahuje součet (11) resp. (1) singulární sčítance. V odst. 13.4 uvedeme jako příklady algebraické výrazy pro Fraunhoferovu difrakci na pravidelných mnohoúhelnících. Nyní však budeme ilustrovat použití těchto vzorců na nejjednodušším příkladě čtverci. 11..4 Příklad: Čtverec f( 1, ) = rect( 1 /a) rect( /a) Čtverec má střed symetrie, proto můžeme použít k výpočtu Fourierovy transformace jeho charakteristické funkce výrazů (8) a (1). Údaje potřebné k výpočtu uvádí tabulka 1 (viz též obr. 5). (i) Poněvadž L = a, dostaneme dosazením dat z tabulky 1 do součtu (8) F ( X) = A a [ sin(kx 1 a/) sin(kx a/) kx X sin(kx a/) + X 1 kx 1 a/ kx a/ ] sin(kx 1 a/). Rozšířením prvého sčítance faktorem kx a/, druhého faktorem kx 1 a/, sečtením obou sčítanců a krácením faktoru kx = k(x 1 + X ) dostaneme známý výraz F ( X) = A a sin(kax 1/) kax 1 / sin(kax /). (13) kax /

6 11 ABBEOVA TRANSFORMACE A ABBEOVA VĚTA e (Ce) (Ve) t e n e 0 0, 1 1 0, a a, a 1, 0 0, 1 a, 0 a, a 0, 1 1, 0 Tabulka 1: Údaje potřebné k výpočtu Fourierovy transformace charakteristické funkce čtverce. n 1 ( ) V C 1 V 1 t 1 a _,a_ C n t 0 t 0 1 Obrázek 5: Ilustrace k tabulce 1. (ii) Podobně dosazením dat z tabulky 1 do součtu (1) dostaneme F ( X) = A k { cos [k(x1 + X )a/] X ( X 1 ) + cos [k( X } 1 + X )a/] ( X 1 )( X ) = A k X 1 X { cos [ka(x 1 X )/] cos [ka(x 1 + X )/] Odtud běžnou trigonometrickou manipulací a rozšířením faktorem a dostaneme výraz (13). 11.3 Abbeova věta Abbeova věta byla původně formulována pro Fraunhoferovu difrakci ([3], str. 758): Ať je otvor jakéhokoliv tvaru, jakmile má nějaké rovné okraje, eistuje v difrakčním obrazci týž počet k nim kolmých pruhů. Tuto větu jakož i její analytický důkaz uvedl p. Abbe ve svých bohužel dosud neuveřejněných studiích o difrakci. Správnost tohoto tvrzení lze nahlédnout analýzou výrazu 11.(5) udávajícího příspěvek jedné úsečky tvořící okraj otvoru k Fourierově transformaci charakteristické funkce otvoru. Vztáhneme-li průvodič ke středu C e úsečky (tj. (Ce) = 0), dostaneme z 11.(5) (i) F e ( X) = A il e k = }. X n e sin(kx t e L e /) X kx. (1) t e L e / Z toho výrazu je zřejmé asymptotické chování velikosti příspěvku F e ( X) : F e ( X) ( ) 1 = O, když X podél přímky X X t e = ξ, kde ξ je konstanta, ξ mπ, m = ±1, ±,.... kl e

11 ABBEOVA TRANSFORMACE A ABBEOVA VĚTA 7 (ii) (iii) F e ( X) ( 1 = O X F e ( X) ( 1 = O ), když X podél přímky X (α t e + ) 1 α n e = ξ, X 3 kde konstanta ξ (, ) a konstanta α (0, 1). ), když X podél přímky X n e = ξ, kde ξ 0. (iv) F e ( X) = 0, podél přímky X t e = mπ kl e, m = ±1, ±,..., nebo X n e = 0. (v) Když X t e = 0, tj. když X = ±X n e, nabývá F e ( X) pro určitou hodnotu X maimální hodnoty, a platí ma Fe ( X) = Fe (X n e ) = A L e kx. () Můžeme tedy formulovat Abbeovu větu takto: Pro určité X 0 nabývá velikost příspěvku F e ( X) k Fourierově transformaci charakteristické funkce otvoru s rovným okrajem maimální hodnoty podél směru jdoucího z počátku X = 0 kolmo k rovnému okraji a platí (). Názornou představu o tom, jak přispívá rovná část okraje k Fourierově transformaci charakteristické funkce získáme, vyjádříme-li F e ( X) v polárních souřadnicích (U, Φ). Za tím účelem zvolíme počátek ve středu C e rovného okraje a označíme Φ úhel vektoru X a rovné části okraje, tj. X t e = X cos Φ, X n e = X sin Φ. Označíme-li dále kxl e = U, nabývá výraz (1) tvaru kde funkce F e (U, Φ) = A il e K(U, Φ), (3) K(U, Φ) = sin Φ U sin( U cos Φ) U cos Φ (4) vyjadřuje závislost příspěvku F e ( X) na poloze v polárních souřadnicích U, Φ. Její graf je na obr. 6. Jsou z něho patrné vlastnosti (i) až (v) vysvětlující, jak vzniká rameno difrakční hvězdice ve směru Φ = π/. Nekonečná nespojitost výrazu (4) v počátku U = 0 nevadí, neboť F e vyjadřuje pouze příspěvek od části okraje otvoru k Fourierově transformaci F charakterizující difrakční jev jako celek. Příspěvky od jednotlivých částí okraje se složí tak, že Fourierova transformace F je v počátku jednoznačná, spojitá a konečná. Přesvědčili jsme se o tom na příkladě čtverce v odst. 11..4. Dosud jsme se zabývali příspěvkem jediné úsečky tvořící část okraje k Fourierově transformaci charakteristické funkce otvoru. Může se však stát, že okraj otvoru má dva stejně dlouhé rovné úseky ležící na téže přímce, avšak opačně orientované (srv. příklady na obr. 7). Pak příspěvek obou úseček k Fourierově transformaci charakteristické funkce otvoru je v bodech přímky jdoucí počátkem kolmo k opačně orientovaným rovným úsekům zřejmě roven nule a není důvodu tvrdit, že v difrakčním obrazci klesá amplituda nejpozvolněji podél této přímky. Jak je však vidět z obrázků 8 a 9, ramena difrakční hvězdice ve směru kolmém k opačně orientovaným rovným úsekům otvoru přesto eistují. Jsou však rozštěpena na dva blízké rovnoběžné jasné pruhy s nepatrnou intenzitou mezi nimi. Abychom to vyjádřili kvantitativně, vyšetříme příspěvek F ee dvou stejně dlouhých opačně orientovaných úseků délky L ležících na téže přímce a vzdálených od sebe intervalem délky. Z 11.(5) a z obr. 10 vyplývá, že [ F ee ( X) = A il sin(kx X kx n t 1 L/) 1 kx t 1 L/ + X n sin(k X t L/) k X t L/ ep ( ik X (C1)) ep ( ik X (C))]. (5)

8 11 ABBEOVA TRANSFORMACE A ABBEOVA VĚTA Obrázek 6: Funkce K(U, Φ) udávající příspěvek přímkového okraje otvoru k Fraunhoferově difrakci. Čárkovaně jsou vyznačeny záporné hodnoty funkce K(U, Φ), U = kxl e. Uvážíme-li, že (srv. obr. 10) a označíme-li n 1 = n, t 1 = t (C1) = (C) L + + t, (C) = (C) L + t je snadné upravit výraz (5) do tvaru kxl = U, /L = ε, X t = X cos Φ, X n = X sin Φ, kde funkce F ee (U, Φ) = A L ep ( ik X (C)) M(U, Φ, ε), (6) M(U, Φ, ε) = tg Φ ( ) [ U U (U/) sin cos Φ sin = 1 + ε ] (1 + ε) cos Φ sin Φ sin( [ U cos Φ) sin U (1 + ε) cos Φ] U cos Φ U (1 + ε) cos Φ (7) vyjadřuje závislost příspěvku F ee na poloze v rovině Fraunhoferovy difrakce v polárních souřadnicích U, Φ. Je z ní vidět, že příspěvek F ee je nulový podél přímky Φ = 0 a dále podél dvou soustav přímek =

11 ABBEOVA TRANSFORMACE A ABBEOVA VĚTA 9 L L L L (a) (b) Obrázek 7: Sudočetná Siemensova hvězdice (a) a dvojice opačně orientovaných půlkruhových otvorů (b) jsou příkladem otvorů, které mají část svého okraje tvořenu dvojicí stejně dlouhých a opačně orientovaných úseček ležících na téže přímce. Obrázek 8: Fraunhoferova difrakce na dvojčetné Siemensově hvězdici. Rozštěpená ramena difrakčního obrazce svírají s vertikálou úhly ± π 4. U cos Φ = mπ a U cos Φ = p 1 + ε π, kde m a p jsou celá čísla. (Hodnoty m = p = 0 jsou zodpovědné za nulovou hodnotu funkce M ve směru Φ = π/.) Vyšetřením funkce M(U, Φ, ε) lze ukázat, že je v počátku mnohoznačná a nabývá tam všech hodnot z intervalu ± 1 (1 + ε), přičemž krajní body tohoto intervalu představují absolutní etrémy funkce M v celé rovině (U, Φ). Dále lze ukázat, že M(U, Φ, ε) klesá nejpozvolněji podél čar lemujících přímku Φ = ± π (viz čerchovaná čára na obr. 11). Vzdálenost asymptot těchto čar nejpozvolnějšího poklesu klesá k nule s rostoucím ε. Eistence těchto dvou hřbetů funkce M lemujících přímku Φ = ± π, podél

10 11 ABBEOVA TRANSFORMACE A ABBEOVA VĚTA Obrázek 9: Fraunhoferova difrakce na dvojici půlkruhových otvorů, jejichž přímkové úseky leží na téže vertikální přímce. V horizontálním směru je zřetelné rozštěpené rameno difrakčního obrazce. C t n (C ) C (C) 0 n 1 t1 C 1 (C 1 ) Obrázek 10: K vyjádření příspěvku F ee dvou stejných opačně orientovaných přímkových úseků okraje otvoru ležících na téže přímce. níž je M = 0, je výrazem onoho rozštěpení ramene difrakční hvězdice patrného na obr. 8 a 9. Pro názornější představu o funkci M je na obr. 11 graf funkce M(U, Φ, 0) odpovídající případu, kdy se oba stejně dlouhé, opačně orientované a na téže přímce ležící rovné úseky difrakčního stínítka dotýkají [ ] svými koncovými body (tj. ε = /L = 0, takže M(U, Φ, 0) = 1 sin Φ sin( U cos Φ) ). U Vzdálenost cos Φ asymptot čar nejpozvolnějšího poklesu funkce M je v tomto případě největší. Asymptoty mají rovnici. U cos Φ = U 0, kde U 0 =, 331 je kořenem rovnice tg U = U. V difrakčním obrazci tomu odpovídá rozštěpení ramen difrakčního obrazce s roztečí X = U0 Reference [1] Abbe, E.: Gesammelte Abhandlungen. Bd. 1,, 3. Verlag von Gustav Fischer, Jena 1904, 1906, 1906. [] Straubel, R.: Über die Berechnung der Fraunhoferschen Beugungserscheinungen durch Randintegrale mit besonderer Berücksichtigung der Theorie der Beugung im Heliometer. Fromannsche Buchdruckerei. Jena 1888. [3] Straubel, R.: Zwei allgemeine Sätze über Fraunhofer sche Beugungserscheinungen. Annalen der Physik und Chemie. N. F. 56 (1895), 746 761. kl.

11 ABBEOVA TRANSFORMACE A ABBEOVA VĚTA 11 Obrázek 11: Graf funkce M(U, Φ, 0). Čárkovaně jsou vyznačeny záporné hodnoty funkce M(U, Φ, 0). Čerchovaně je zakreslena čára, podél níž funkce M(U, Φ, 0) nejpozvolněji monotonně klesá s rostoucím U kxl.

1 11 ABBEOVA TRANSFORMACE A ABBEOVA VĚTA