CHARAKTERISTICKÉ VEKTORY

Kapitola 3 CHARAKTERISTICKÉ VEKTORY Nyní se budeme zabývat vlastnostmi matic lineárních zobrazení A: V V, kde V je vektorový prostor dimenze n Protože každý komplexní n -dimenzionální vektorový prostor je izomorfní C n, může být bez újmy na obecnosti prostor V nahrazen prostorem C n Podle věty 2 je matice lineárního zobrazení V do V jednoznačně určena volbou báze prostoru V Vyšetřujme, jak se při změně báze změní matice zobrazení Nechť U = {u, u 2,, u n } a V = {v, v 2,, v n } jsou báze V Označme V U lineární prostor V s bází U a V V lineární prostor V s bází V Nechť A je matice lineárního zobrazení A: V U V V, které vektoru popsanému souřadnicemi v bázi U přiřadí vektor jeho souřadnic v bázi V a nechť P je transformační matice přechodu od báze U k bázi V Zvolme libovolně vektor x V a označme y = A(x) Dále označme X a Y vektory (sloupcové) souřadnic x a y v bázi U a X a Y souřadnice týchž vektorů v bázi V Pak podle (27) platí X = P X a Y = P Y, takže P Y = AP X, odkud Y = P AP X Vidíme tedy, že zobrazení A má v bázi V matici A = P AP (3) Matice svázané vztahem (3) budeme vyšetřovat v následujícím odstavci 3 Podobné matice Definice Čtvercovou matici B nazveme podobnou čtvercové matici A, jestliže existuje regulární matice P tak, že Z definice jsou viditelné následující vlastnosti podobnosti matic a) Každá čtvercová matice je podobná sama sobě b) Je-li B podobná A, pak A je podobná B B = P AP (32) c) Je-li A podobná B a B podobná C, pak A je podobná C Vlastnost a) plyne ze vztahu A = EAE = E AE Vlastnost b) dostaneme vynásobením obou stran v (32) maticí P zleva a maticí P zprava: A = P BP = Q BQ, kde Q = P 2

CHARAKTERISTICKÉ VEKTORY 2 Konečně je-li pak dosazením dostáváme A = P BP a B = Q CQ, A = P Q CQP = (QP ) CQP = R CR, kde R = P Q Platí tedy i c) Vzhledem k vlastnosti b) můžeme místo A je podobná B nebo B je podobná A též říkat, že matice A a B jsou podobné Podobnost je tedy reflexivní, symetrická a tranzitivní relace a tudíž ekvivalence na množině všech čtvercových matic stejného řádu Množina čtvercových matic téhož řádu se proto rozpadá na třídy vzájemně ekvivalentních (tj podobných) matic Jedním z našich cílů bude vybrat v každé třídě ekvivalence jednu matici, tzv reprezentanta třídy V této kapitole se budeme zabývat otázkou pro které třídy je tímto reprezentantem diagonální matice Uvědomíme-li si, že na základě (3) jedna třída podobných matic reprezentuje matice jednoho lineárního zobrazení C n C n ve všech možných bázích C n, pak právě uvedená otázka se dá ekvivalentním způsobem formulovat takto: Existuje pro dané lineární zobrazení A: C n C n taková báze C n, že A v ní má diagonální matici? Odpověď bude zformulována v následujících odstavcích pomocí charakteristických vektorů Předtím ještě popíšeme přímou souvislost mezi dvěma různými pohledy na podobnost matic: algebraickým, daným vztahem (3) a geometrickým, vycházejícím ze změny matice lineárního zobrazení při změně báze Věta 3 Nechť A je čtvercová matice řádu n a A lineární zobrazení C n C n definované vztahem A(x) = Ax Nechť B = {b,, b n } je báze C n a nechť B je matice, jejíž sloupce jsou b,, b n Pak zobrazení A má v bázi B matici A = B AB Důkaz Vyplývá přímo ze vztahu (3), neboť A je matice zobrazení A ve standardní bázi a B je transformační matice přechodu od standardní báze k bázi B 32 Charakteristická čísla, charakteristické vektory Definice Nechť A je lineární zobrazení vektorového prostoru V do V Číslo λ nazýváme charakteristickým číslem zobrazení A, jestliže existuje nenulový vektor x V tak, že A(x) = λx Vektor x pak nazýváme charakteristickým vektorem zobrazení A příslušným charakteristickému číslu λ Nechť A je komplexní čtvercová matice n -tého řádu Číslo λ nazýváme charakteristickým číslem matice A, jestliže existuje nenulový vektor x C n tak, že Ax = λx Vektor x pak nazýváme charakteristickým vektorem matice A příslušným charakteristickému číslu λ Charakteristická čísla a charakteristické vektory bývají také nazývány vlastní čísla a vlastní vektory a množina všech charakteristických čísel se nazývá spektrum Objasněme nyní souvislost mezi charakteristickými čísly lineárního zobrazení a charakteristickými čísly matice tohoto zobrazení

22 Kapitola 3 Věta 32 Nechť V je vektorový prostor a B nějaká báze V Nechť A je lineární zobrazení V do V a A matice tohoto zobrazení v bázi B Pro každý vektor x V označme [x] B vektor jeho souřadnic v bázi B Pak platí: a) λ je charakteristické číslo zobrazení A právě tehdy, je-li charakteristickým číslem matice A b) Vektor x je charakteristickým vektorem zobrazení A právě tehdy, když [x] B je charakteristickým vektorem matice A Důkaz Podle věty 2 platí vztah y = A(x) právě tehdy, když [y] B = A[x] B Odtud plyne, že A(x) = λx právě tehdy, když A[x] B = λ[x] B, což je ekvivalentní oběma tvrzením věty Z právě dokázané věty vyplývá, že pojmy charakteristického čísla lineárního zobrazení a charakteristického čísla kterékoliv jeho matice jsou totožné a dále že existuje izomorfismus mezi charakteristickými vektory lineárního zobrazení a charakteristickými vektory každé jeho matice Vlastně tedy není třeba od sebe odlišovat charakteristické vektory zobrazení a matic V dalším výkladu bude většina tvrzení pro charakteristické vektory zformulována pro matice; analogická tvrzení pro lineární zobrazení jistě dokáže čtenář zformulovat sám Formulace prostřednictvím lineárního zobrazení bude použita pouze tehdy, přinese-li nějaké zjednodušení (např díky nezávislosti na volbě báze) Věta 33 Číslo λ je charakteristickým číslem matice A právě tehdy, když det (A λe) = (33) Důkaz Rovnice Ax = λx je splněna právě tehdy, když (A λe)x = o; přitom λ bude charakteristickým číslem matice A právě tehdy, když poslední rovnice bude splněna pro nenulový vektor x, což je podle vět 6 a 8 ekvivalentní vztahu (33) Je-li A čtvercová matice n -tého řádu, vyplývá z věty 7, že det (A λe) je polynom n -tého stupně v proměnné λ : det (A λe) = ( λ) n + d λ n + + d n (34) Podle základní věty algebry má polynom (34) celkem n komplexních kořenů λ,, λ n (z nichž některé mohou splývat jsou vícenásobné) Z předcházející věty pak plyne, že charakteristická čísla matice A jsou rovna kořenům polynomu (34), takže Dosazením λ = z tohoto vztahu dostáváme det (A λe) = (λ λ) (λ n λ) λ λ 2 λ n = det A (35) Definice Nechť A je čtvercová matice Pak polynom det (A λe) nazýváme charakteristickým polynomem matice A a vztah det (A λe) = charakteristickou rovnicí matice A Je-li λ k -násobným kořenem charakteristické rovnice, nazýváme jej charakteristickým číslem násobnosti k ( k -násobným charakteristickým číslem)

CHARAKTERISTICKÉ VEKTORY 23 Věta 33 převádí výpočet charakteristických čísel matice na výpočet determinantu a řešení algebraické rovnice Tento způsob výpočtu však není příliš efektivní a používá se jen ve speciálních případech (zejména malý řád matice) V poslední kapitole ukážeme jiné možnosti výpočtu charakteristických čísel Jednoduchá je situace pro trojúhelníkové matice Důsledek Nechť A = (a ik ) je trojúhelníková matice n -tého řádu Pak její charakteristická čísla jsou a,, a nn Důkaz Podle důsledku věty 7 je determinant trojúhelníkové matice roven součinu jejích diagonálních prvků Odtud plyne, že charakteristická rovnice matice A je (a λ)(a 22 λ) (a nn λ) = a její kořeny jsou a,, a nn Jsou-li známa charakteristická čísla λ i, je výpočet jim příslušných charakteristických vektorů ekvivalentní řešení soustav lineárních homogenních rovnic (A λ i E)x = o Příklad 3 Nechť A = 4 2 3 2 4 Pak det (A λe) = (λ 5)(λ 3) 2, takže A má dvě charakteristická čísla λ = 5 (jednoduché) a λ 2 = 3 (dvojnásobné) Pro λ = 5 je (A λ E) = 2 2 2 a vektor x = (x, x 2, x 3 ) T C 3 bude charakteristickým vektorem příslušným λ právě tehdy, když x o a x 2 2 2 x 2 = x 3 Řešením poslední soustavy je x = t Podobně pro charakteristické vektory příslušné λ 2 = 3 dostaneme soustavu x 2 2 x 2 =, x 3 jejímž řešením je každý vektor tvaru x = r 2 + s, r, s C

24 Kapitola 3 Charakteristické vektory matice A tedy jsou vektory t r 2t, t, t s, r + s r Věta 34 Podobné matice mají stejné charakteristické polynomy a tudíž stejná charakteristická čísla Důkaz Nechť B = P AP Pak det (B λe) = det (P AP λe) = det (P AP λp EP ) = = det (P (A λe)p ) = det P det (A λe) det P = = det (A λe), neboť det P det P = (věta 8) Jak ukazuje následující příklad, nelze poslední větu obrátit; existují matice se stejným charakteristickým polynomem, které si nejsou podobné Příklad 32 Nechť A = ( ) a E značí jednotkovou matici druhého řádu Pak det(a λe) = det(e λe) = (λ ) 2 Avšak matice E není podobná žádné jiné matici než sobě samotné, neboť pro každou regulární matici P je P EP = (P E)P = P P = E Znalost charakteristických čísel a vektorů matice A se jednoduchým způsobem promítá do jejích mocnin i do maticových polynomů Věta 35 Nechť p(x) = a + a x + + a n x n je komplexní polynom a A libovolná čtvercová matice Nechť λ je charakteristické číslo matice A, jemuž přísluší charakteristický vektor x Položme p(a) = a E + a A + + a n A n Pak matice p(a) má charakteristické číslo p(λ), jemuž přísluší charakteristický vektor x Důkaz Postupným násobením obou stran rovnosti Ax = λx maticí A zleva dostaneme A k x = λ k x, k =, 2, Označme B = p(a) Pak Bx = a Ex + a Ax + + a n A n x = a x + a λx + + a n λ n x = p(λ)x 33 Podobnost diagonální matici Nyní můžeme dát první z odpovědí na otázku zformulovanou na začátku této kapitoly: Kdy má matice lineárního zobrazení diagonální matici? Věta 36 Nechť A je lineární zobrazení vektorového prostoru V do V Pak A má diagonální matici právě tehdy, když existuje báze prostoru V tvořená charakteristickými vektory zobrazení A Je-li D = diag(λ,, λ n ) matice zobrazení A v nějaké bázi, pak λ,, λ n jsou charakteristická čísla zobrazení A

CHARAKTERISTICKÉ VEKTORY 25 Důkaz Předpokládejme, že zobrazení A má v bázi B = {x,, x n } diagonální matici D = diag(λ,, λ n ) Pak v bázi B je A(x k ) = Dx k = λ k x k, k =,, n, takže x,, x n jsou charakteristické vektory zobrazení A a λ,, λ n jim příslušná charakteristická čísla Obráceně, nechť x,, x n jsou charakteristické vektory zobrazení A příslušné charakteristickým číslům λ,, λ n a nechť tyto vektory tvoří bázi V Ze vztahů A(x k ) = λ k x k plyne, že obrazy vektorů báze v zobrazení A mají v této bázi souřadnice λ,, λ n, což podle věty 2 znamená, že matice zobrazení A je v této bázi diag(λ,, λ n ) Z právě dokázané věty vyplývá, že čtvercová matice n -tého řádu je podobná diagonální matici právě tehdy, když má n lineárně nezávislých charakteristických vektorů Na základě věty 3 však můžeme říci ještě více Důsledek Nechť λ,, λ n jsou charakteristická čísla matice A n -tého řádu (ne nutně různá), jimž přísluší lineárně nezávislé charakteristické vektory x,, x n Označme P matici, jejíž sloupce tvoří vektory x,, x n a D = diag(λ,, λ n ) Potom D = P AP Poznamenejme, že pořadí sloupců v matici P není libovolné odpovídá pořadí jim příslušných charakteristických čísel na diagonále matice D Příklad 33 Matice A = z příkladu 3 má charakteristické vektory x = t 2, x 2 = r 4 2 3 2 4, x 3 = s, t, r, s Protože vektory x, x 2, x 3 jsou pro nenulové hodnoty r, s, t lineárně nezávislé, je matice A podle důsledku věty 36 podobná diagonální matici 5 D = 3 3 Kromě toho je D = P AP, kde např P = 2

26 Kapitola 3 Příklad 34 Matice A = ( ) má jedno dvojnásobné charakteristické číslo λ =, jemuž přísluší charakteristické vektory ( x = t ), t Mezi nimi neexistují 2 lineárně nezávislé, takže matice A není podobná žádné diagonální matici Věta 37 Nechť x,, x k jsou charakteristické vektory matice A příslušné navzájem různým charakteristickým číslům λ,, λ k Pak vektory x,, x k jsou lineárně nezávislé Důkaz Důkaz provedeme matematickou indukcí Je-li k =, pak x o a x je tedy lineárně nezávislý Nechť nyní tvrzení platí pro každých k charakteristických vektorů a nechť x,, x k+ jsou charakteristické vektory příslušné navzájem různým charakteristickým číslům λ,, λ k+ Ukážeme, že tyto vektory jsou lineárně nezávislé Předpokládejme, že pro čísla a,, a k+, platí a x + + a k+ x k+ = o (36) Vynásobením obou stran rovnice (36) maticí (A λ k+ E) dostaneme po úpravě a (λ λ k+ )x + + a k (λ k λ k+ )x k = o Podle indukčního předpokladu jsou vektory x,, x k lineárně nezávislé, takže a (λ λ k+ ) = = a k (λ k λ k+ ) = Protože čísla λ,, λ k+ jsou navzájem různá, plyne odtud, že a = = a k = a rovnice (36) se redukuje na a k+ x k+ = o Avšak x k+ o a i a k+ = Vektory x,, x k+ jsou tedy lineárně nezávislé Důsledek Má-li čtvercová matice n -tého řádu n navzájem různých charakteristických čísel, je podobná diagonální matici Příklad jednotkové matice ukazuje, že tvrzení posledního důsledku nelze obrátit Dále je vidět, že pokud má matice pouze jednoduchá charakteristická čísla, přísluší ke každému z nich právě jeden lineárně nezávislý charakteristický vektor Ukážeme nyní, že existuje obecnější souvislost mezi násobností charakteristických čísel a maximálním počtem k nim existujících lineárně nezávislých charakteristických vektorů Definice Nechť A je lineární zobrazení lineárního prostoru V do V a λ jeho charakteristické číslo Množinu C λ (A) = {x V ; A(x) = λx} nazýváme charakteristickým prostorem zobrazení A příslušným charakteristickému číslu λ Analogicky se definuje charakteristický prostor čtvercové matice

CHARAKTERISTICKÉ VEKTORY 27 Charakteristický prostor tedy obsahuje všechny charakteristické vektory příslušné uvažovanému charakteristickému číslu a nulový vektor prostoru V Je snadné se přesvědčit, že C λ (A) je lineární podprostor prostoru V, tj že libovolná lineární kombinace charakteristických vektorů příslušných jednomu charakteristickému číslu je opět charakteristický vektor příslušný témuž charakteristickému číslu Věta 38 Nechť A je lineární zobrazení vektorového prostoru V do V a λ jeho charakteristické číslo násobnosti k Potom platí dim C λ (A) k Důkaz Označme p = dim C λ (A) a zvolme v C λ (A) bázi {x,, x p } Bázi doplňme na bázi B = {x,, x p, x p+,, x n } celého prostoru V a označme A matici zobrazení A vzhledem k B Protože x i, i =,, p jsou charakteristické vektory příslušné číslu λ, jsou všechny souřadnice A(x i ) vzhledem k bázi B kromě i -té rovny ; i -tá souřadnice je λ To znamená, že matice A má tvar ( ) λ E A = p B O C kde E p je jednotková matice řádu p Z věty 9 dostaneme det (A λe) = ( ) p (λ λ ) p det (C λe n p ), odkud vyplývá, že λ je aspoň p -násobným kořenem charakteristické rovnice a tedy p k Pokud budou mít všechny charakteristické prostory zobrazení A: V V maximální možnou dimenzi, tj dimenzi rovnou násobnosti příslušného charakteristického čísla, bude součet jejich dimenzí roven stupni charakteristického polynomu, tedy dimenzi V Pak je naděje, že bázi V půjde sestrojit z charakteristických vektorů A a zobrazení A bude mít v této bázi diagonální matici Nutnou a postačující podmínkou existence takovéto báze je existence n lineárně nezávislých charakteristických vektorů Nyní ukážeme, že taková báze opravdu existuje K tomu budeme potřebovat následující pomocné tvrzení Lemma Nechť A je lineární zobrazení vektorového prostoru V do V a λ,, λ k jeho navzájem různá charakteristická čísla Nechť x i C λi (A), i =,, k a nechť Pak x i =, i =,, k x + + x k = o Důkaz Nechť aspoň jeden vektor x i je nenulový Pak lze vektory přerovnat tak, že x i o pro i m, kde m k a x i = o pro ostatní i Platí tedy x + + x m = o přísluší navzájem různým cha- To však je spor s tvrzením věty 37, neboť vektory x,, x m rakteristickým číslům a musí být tudíž lineárně nezávislé Věta 39 Nechť A je lineární zobrazení vektorového prostoru V do V a nechť λ,, λ k jsou navzájem různá charakteristická čísla zobrazení A Nechť S i je lineárně nezávislá podmnožina charakteristického prostoru C λi (A), i =,, k Pak množina S = S S 2 S k je lineárně nezávislá

28 Kapitola 3 Důkaz Předpokládejme, že S i = {x i, x i2,, x ini } Pak S = {x ij ; j n i, i k} Předpokládejme dále, že Označíme-li pro i =,, k k n i a ij x ij = o i= j= n i y i = a ij x ij, j= pak y i C λi (A) a y + + y k = o Z předcházejícího lemmatu nyní vyplývá, že všechny vektory y i jsou nulové; z lineární nezávislosti prvků S i pak plyne a ij = pro všechna i, j, což znamená, že S je lineárně nezávislá Důsledek Matice A je podobná diagonální matici právě tehdy, když násobnost každého jejího charakteristického čísla je rovna dimenzi příslušného charakteristického prostoru Protože charakteristický prostor dim C λ (A ) obsahuje všechny charakteristické vektory příslušné číslu λ, je jeho dimenze rovna dimenzi prostoru všech řešení soustavy (A λe)x = o, tedy n hod(a λe), kde n je řád matice A Závěrem můžeme tedy shrnout, že matice A n -tého řádu je podobná diagonální matici D právě tehdy, má-li n lineárně nezávislých charakteristických vektorů, což nastane právě tehdy, když pro každé charakteristické číslo λ násobnosti k je hodnost matice (A λe) rovna n k Tato podmínka je splněna například má-li A n různých charakteristických čísel Matice D má na své hlavní diagonále vždy charakteristická čísla matice A je tedy určena jednoznačně až na pořadí svých diagonálních prvků Samostatnou zmínku zasluhují reálné matice Má-li reálná matice A pouze reálná charakteristická čísla, bude podobná reálné diagonální matici za výše uvedených podmínek Je-li některé z charakteristických čísel matice A imaginární, nebude A podobná žádné reálné diagonální matici Z komplexního diagonálního tvaru reálné matice lze však odvodit reálný kanonický tvar velice blízký (svou řídkostí) matici diagonální Lemma Nechť x i, y i R n, i =,, r, u i R n, i =,, s a předpokládejme, že vektory z i = x i + jy i, z i = x i jy i, i =,, r, u,, u s, jsou lineárně nezávislé v C n Pak vektory x,, x r, y,, y r, u,, u s jsou lineárně nezávislé v R n Důkaz Nechť α x + + α r x r + β y + + β r y r + γ u + + γ s u s = o Protože z i + z i = 2x i a z i z i = 2jy i, je (α jβ )z + (α + jβ )z + + (α r jβ r )z r + (α r + jβ r )z r + 2γ u + + 2γ s u s = o Z lineární nezávislosti vektorů z, z,, z r, z r, u,, u s plyne α i + jβ i =, α i jβ i =, i =,, r, γ i =, i =,, s, odkud je α i =, β i =, i =,, r; vektory x,, x r, y,, y r, u,, u s jsou tedy lineárně nezávislé

CHARAKTERISTICKÉ VEKTORY 29 Tvrzení lemmatu můžeme stručně formulovat takto: Nahradíme-li v lineárně nezávislé množině vektorů z C n každou komplexně sdruženou dvojici vektorů jejich reálnou a imaginární částí, dostaneme lineárně nezávislé vektory v R n Věta 3 Nechť A je reálná matice n -tého řádu, která má n lineárně nezávislých charakteristických vektorů (obecně komplexních) Pak A je podobná reálné blokově diagonální matici B O O O B 2 O B =, O O B k kde každému reálnému charakteristickému číslu λ odpovídá blok B i = (λ) řádu a každé dvojici komplexně sdružených charakteristických čísel α ± jβ odpovídá blok ( ) α β B i = β α Důkaz Reálná matice má charakteristický polynom s reálnými koeficienty Jeho kořeny jsou tedy buď reálné nebo se vyskytují v komplexně sdružených dvojicích Reálným charakteristickým číslům evidentně odpovídají reálné charakteristické vektory Je-li λ imaginární charakteristické číslo a x jemu příslušný charakteristický vektor, pak ze vztahu (A λe)x = o plyne (A λe)x = (A λe)x = o, takže x je charakteristický vektor A příslušný komplexně sdruženému charakteristickému číslu λ Označme λ = α + jβ a x = u + jv Pak Au + jav = A(u + jv) = (α + jβ)(u + jv) = (αu βv) + j(αv + βu) Odtud porovnáním reálných a imaginárních částí dostáváme Au = αu βv (37) Av = αv + βu Kromě toho pro každý reálný charakteristický vektor x samozřejmě platí Ax = λx (38) Podle předpokladu má matice A n lineárně nezávislých charakteristických vektorů Komplexně sdruženým dvojicím charakteristických vektorů přiřaďme dvojice reálných vektorů u a v budou splňovat vztahy (37) a spolu se zbývajícími reálnými charakteristickými vektory je vezměme jako sloupce matice, kterou označíme P Vztahy (37) a (38) lze pak zapsat v maticovém tvaru: AP = P B P je čtvercová matice n -tého řádu a na základě předcházejícího lemmatu jsou její sloupce lineárně nezávislé, takže je regulární Je tedy B = P AP a matice B je podobná matici A

3 Kapitola 3 O matici B z poslední věty říkáme, že má reálný kanonický tvar Příklad 35 Hledejme reálný kanonický tvar matice a příslušnou transformační matici A = Charakteristická rovnice matice A je 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 ( (3 λ) 2 + 4 ) 2 = a její kořeny jsou λ = λ 3 = 3 + 2j, λ 2 = λ 4 = 3 2j Matice (A λ E) má tvar (A λ E) = 2j 2 2 2j 2 2 2j 2 2 2j Její hodnost je 2, takže matice A má celkem čtyři lineárně nezávislé komplexní charakteristické vektory dva příslušné charakteristickému číslu 3 + 2j a další dva budou k nim komplexně sdružené Odtud vyplývá, že matice A bude podobná komplexní diagonální matici D = diag(3 + 2j, 3 + 2j, 3 2j, 3 2j) a reálné kanonické matici B = 3 2 2 3 3 2 2 3 Pro nalezení transformační matice P takové, že A = P BP nyní stačí vyřešit soustavu (A λ E)x = o Její řešení lze zapsat ve tvaru x = u j + v j = u + v Na základě důkazu věty 3 má pak matice P tvar P = + j u + v

CHARAKTERISTICKÉ VEKTORY 3 34 Příklady Příklad 36 Ukážeme, jak lze využít podobnosti diagonální matici při řešení homogenních soustav lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty Každá taková soustava má tvar x = a x + a 2 x 2 + + a n x n x 2 = a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n x n = a n x + a n2 x 2 + + a nn x n Označíme-li A = (a ik ) a x(t) = x (t) x 2 (t) x n (t), můžeme soustavu psát též ve tvaru x = Ax (39) Předpokládejme, že matice A je podobná diagonální matici D = diag(λ, λ 2,, λ n ) : D = P AP a definujme y(t) vztahem x(t) = P y(t) Podle důsledku věty 36 tvoří sloupce matice P charakteristické vektory v,, v n příslušné charakteristickým číslům λ,, λ n Z lineárnosti derivování vyplývá, že x (t) = P y (t) Dosazením do (39) dostáváme y = P AP y = Dy Tato soustava se rozpadá na n navzájem nezávislých rovnic y = λ y y 2 = λ 2 y 2 y n = λ n y n, jejichž obecným řešením jsou funkce y (t) = C e λt, y 2 (t) = C 2 e λ2t,, y n (t) = C n e λnt, kde C,, C n jsou libovolné konstanty Je tedy y(t) = C e λ t C 2 e λ 2t C n e λnt,

32 Kapitola 3 odkud x(t) = P y(t) = n C i p i e λ it i= n C i p 2i e λ it i= n C i p ni e λit c i= = n C i v i e λit Z příkladu 4 vyplývá, že funkce v e λt,, v n e λnt jsou lineárně nezávislé Protože dimenze prostoru všech řešení soustavy (39) je n (viz příklad 2), tvoří tyto funkce bázi prostoru všech řešení a každé řešení soustavy (39) má tedy tvar i= x(t) = n C i v i e λit i= Příklad 37 Nalezněte obecné řešení soustavy diferenciálních rovnic Řešení Označme Pak x(t) = x = 3x + x 2 + x 3 x 2 = 2x + 4x 2 + 2x 3 (3) x (t) x 2 (t) x 3 (t) x 3 = x x 2 + x 3 a A = x (t) = x (t) x 2 (t) x 3 (t) 3 2 4 2 a soustavu (3) můžeme zapsat v maticovém tvaru x = Ax Bude-li mít matice A tři reálné lineárně nezávislé charakteristické vektory v, v 2, v 3, bude podle předcházejícího příkladu mít její obecné řešení tvar x(t) = C v e λ t + C 2 v 2 e λ 2t + C 3 v 3 e λ 3t, kde λ, λ 2, λ 3 jsou charakteristická čísla odpovídající vektorům v, v 2, v 3 a C, C 2, C 3 libovolné reálné konstanty Charakteristická rovnice matice A je det(a λe) = (4 λ)(λ 2) 2 = A má tedy jedno jednoduché charakteristické číslo λ = 4 a jedno dvojnásobné charakteristické číslo λ 2 = 2 Řešením soustavy (A λ E)x = o dostaneme vektory charakteristického prostoru C λ (A) Rozšířená matice soustavy je 2 2 3

CHARAKTERISTICKÉ VEKTORY 33 Odtud x = p 2, p R Analogicky dostáváme pro vektory z C λ2 (A) soustavu (A λ 2 E)x = o, jíž odpovídá rozšířená matice 2 2 2 Řešením soustavy jsou vektory Položíme-li v = x = r 2 + s, v 2 = pak obecné řešení soustavy (3) má tvar což rozepsáno do souřadnic dává, r, s R, v 3 = x(t) = C v e 4t + C 2 v 2 e 2t + C 3 v 3 e 2t, x (t) = C e 4t + C 2 e 2t x 2 (t) = 2C e 4t + C 3 e 2t x 3 (t) = C e 4t C 2 e 2t C 3 e 2t Příklad 38 Vypočtěte obecné reálné řešení soustavy diferenciálních rovnic x = Ax, kde A = 3 Řešení Charakteristická rovnice (A λe) = ( λ)(λ 2 2λ + 5) = má kořeny λ =, λ 2 = + 2j, λ 3 = λ 2 = 2j Jim po řadě odpovídají charakteristické vektory 2j 2j v =, v 2 =, v 3 = v 2 =, 3 3 které jsou lineárně nezávislé Bázi prostoru řešení dané soustavy tedy tvoří funkce y (t) = v e t, y 2 (t) = v 2 e (+2j)t, y 3 (t) = v 3 e ( 2j)t ;,

34 Kapitola 3 jsou však komplexní a lze je nahradit řešeními reálnými Položíme-li x (t) = y (t) = e t, x 2 (t) = y 2 sin 2t 2(t) + y 3 (t) = Re y 2 (t) = e t cos 2t 2 3 cos 2t x 3 (t) = y 2(t) y 3 (t) 2j = Im y 2 (t) = e t 2 cos 2t sin 2t 3 sin 2t budou x, x 2, x 3 jako lineární kombinace řešení y, y 2, y 3 rovněž řešeními dané soustavy; navíc jsou reálná a také lineárně nezávislá Podle lemmatu před větou 3 jsou totiž lineárně nezávislé vektory v, Re v 2, Im v 2 a stejně jako v příkladu 4 odtud plyne lineární nezávislost funkcí x, x 2, x 3 Obecné řešení je pak jejich libovolnou lineární kombinací: což rozepsáno do souřadnic dává x(t) = C x + C 2 x 2 + C 3 x 3 C i R, x (t) = e t ( 2C 2 sin 2t + 2C 3 cos 2t) x 2 (t) = e t (C + C 2 cos 2t + C 3 sin 2t) x 3 (t) = e t ( C + 3C 2 cos 2t + 3C 3 sin 2t) Příklad 39 Dokažte, že má-li matice A třetího řádu charakteristická čísla λ =, λ 2 =, λ 3 = 2, je A 3 2A 2 A = 2E Řešení Podle příkladu 32 je jednotková matice E podobná pouze sama sobě; stejně tak i každý násobek E je matice, která je podobná pouze sama sobě Stačí tedy ukázat, že matice B = A 3 2A 2 A je podobná matici 2E Matice A je podle důsledku věty 37 podobná diagonální matici D = 2 Existuje tedy regulární matice P tak, že A = P DP Odtud dostáváme,, a potom platí A 2 = P DP P DP = P D 2 P, A 3 = P D 2 P P DP = P D 3 P B = P D 3 P 2P D 2 P P DP = P (D 3 2D 2 D)P Přímým výpočtem zjistíme, že a tvrzení je dokázáno D 3 2D 2 D = 2E

CHARAKTERISTICKÉ VEKTORY 35 35 Úlohy 3 Rozhodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá: a) Je-li matice A podobná B, pak A + C je podobná B + C b) Je-li matice A podobná B, pak AC je podobná BC pro každou matici C, pro níž mají součiny smysl c) Je-li α, pak matice αa je podobná A d) Je-li det A = det B, je A podobná B e) Je-li matice A podobná B, je A 2 podobná B 2 f) Je-li matice A regulární a podobná B, je A podobná B g) Jestliže matice B vznikne z A elementárními úpravami, je podobná A h) Nechť A je lineární zobrazení vektorového prostoru V do V a nechť A a A jsou jeho matice vzhledem ke dvěma různým bázím prostoru V Pak A je podobná A i) Podobné matice mají stejnou hodnost j) Mají-li matice A a B stejnou hodnost, jsou si podobné 32 Rozhodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá: a) Mají-li dvě matice stejná charakteristická čísla, jsou si podobné b) Je-li matice A podobná diagonální matici D = diag(d,, d n ), pak d,, d n jsou charakteristická čísla matice A c) Je-li matice A podobná diagonální matici, pak všechna její charakteristická čísla mají násobnost d) Je-li některé z charakteristických čísel reálné matice A imaginární, není matice A podobná žádné reálné diagonální matici e) Nechť A je lineární zobrazení vektorového prostoru V do V a nechť B je báze prostoru V tvořená charakteristickými vektory zobrazení A Pak A má v bázi B diagonální matici f) Nechť A je lineární zobrazení vektorového prostoru V do V Neexistuje-li žádná báze V tvořená charakteristickými vektory zobrazení A, nemá zobrazení A v žádné bázi diagonální matici g) Reálná matice A řádu n je podobná reálné diagonální matici právě tehdy, když existuje báze R n tvořená charakteristickými vektory matice A h) Ke každému charakteristickému číslu násobnosti k existuje k lineárně nezávislých charakteristických vektorů i) Je-li matice A podobná diagonální matici D, pak matice B je podobná A právě tehdy, když je podobná D j) Každý charakteristický vektor matice A je také charakteristickým vektorem matice A 2

36 Kapitola 3 33 Nalezněte charakteristická čísla a charakteristické vektory následujících lineárních zobrazení: a) rotace kolem některé souřadné osy v R 3 o úhel α; b) A: V 3 V 3 ; A(x) = a x, kde a je pevný nenulový vektor ve V 3 (vektorové násobení v prostoru volných vektorů V 3 ); c) transpozice čtvercové matice 34 U každé z následujících matic vypočtěte její charakteristická čísla a charakteristické vektory Dále určete, zda matice je podobná diagonální matici; v kladném případě nalezněte matici P tak, aby P AP byla diagonální a) A = d) A = 2 2 2 3 2 3, b) A =, e) 3 5 3 4 9 6 6 5 2 3 3, c) A = 4 4 35 Nalezněte matici A, která má dvojnásobné charakteristické číslo λ = 2 s charakteristickým prostorem C λ (A) = {(t, s, t s) T, t, s R} a charakteristické číslo λ 2 = 4 s charakteristickým prostorem C λ2 (A) = {(r, r, r) T, r R} 36 Vypočtěte reálný kanonický tvar B matice 2 2 A = 2 2 a určete matici P tak, aby A = P BP 37 Vypočtěte obecné řešení soustavy diferenciálních rovnic x = Ax, s maticí soustavy 2 2 2 2 a) A =, b) A = 2 2, c) A = 3 3 3 5 2 3 38 Ukažte, že každé dvě matice tvaru ( ) cos α sin α, α R sin α cos α, jsou si podobné, zatímco žádné dvě matice tvaru ( ) ( cos α sin α cos β sin β, sin α cos α sin β cos β ), α, β, π, α β, si podobné nejsou

CHARAKTERISTICKÉ VEKTORY 37 39 Matice A typu 3 x 3 má charakteristická čísla 2,, 2 Vypočtěte charakteristická čísla matice A 2 + A + E a rozhodněte, zda A 2 + A + E je podobná některé diagonální matici 3 Určete takovou bázi R 3, aby lineární zobrazení A: R 3 R 3 dané vztahem mělo v této bázi diagonální matici A(x, x 2, x 3 ) = (, x 3, x 2 ) 3 Rozhodněte a zdůvodněte, zda jsou podobné matice 2 A =, B = 2 2 2 2 32 Převodem na diagonální tvar vypočtěte 33 Určete všechny matice, které jsou podobné pouze samy sobě 34 Vypočtěte všechna reálná α, pro něž je matice ( ) 3 α A = 2 podobná a) reálné diagonální matici, b) komplexní diagonální matici 35 Ukažte, že každá reálná čtvercová matice druhého řádu se záporným determinantem je podobná reálné diagonální matici 36 Ukažte, že existuje jediné lineární zobrazení A: R 3 R 3 takové, že N(A) = (, 2, ) a λ = 2 je jeho charakteristické číslo, jemuž přísluší množina charakteristických vektorů v = (t s, t, s), kde t nebo s Nalezněte matici tohoto zobrazení vzhledem ke standardní bázi R 3 37 V lineárním prostoru P 3 všech polynomů nejvýše třetího stupně je dáno zobrazení A, přiřazující polynomu p polynom q daný vztahem q(x) = p (x) + x x 5 p(t) dt Přesvědčte se, že A je lineární a rozhodněte, zda existuje taková báze P 3, v níž má A diagonální matici 38 Ukažte, že je-li A taková matice, že A 2 = A, pak A nemůže mít jiná charakteristická čísla než a

38 Kapitola 3 39 Dokažte, že čtvercová matice je regulární právě tehdy, když není její charakteristické číslo 32 Nechť A je regulární matice s charakteristickým číslem λ, jemuž přísluší charakteristický vektor x Dokažte, že A má charakteristické číslo λ s charakteristickým vektorem x 32 Dokažte, že jsou-li A a B regulární matice, pak AB a BA jsou podobné 322 Dokažte, že pro libovolné čtvercové matice A, B téhož řádu mají matice AB a BA stejné charakteristické polynomy 323 Dokažte, že podobné matice mají stejné determinanty 324 Dokažte, že pro každou čtvercovou matici A mají A a A T stejné charakteristické polynomy a tudíž i stejná charakteristická čísla 36 Výsledky 3 Pravdivá tvrzení: e), f), h), i) 32 Pravdivá tvrzení: b), d), e), f), g), i), j) 33 a) λ =, charakteristický vektor je každý směrový vektor příslušné souřadné osy; b) λ =, x = a; c) λ = ; všechny symetrické matice 5 3 34 a) λ =,, 2; P = b) λ =,, 2; P = 2 2 2 3 c) λ =, λ 2 = 3; x = d) λ = 2, 3 ± j; P = e) λ = 3, x = 35 A = 36 B = 2 2 2 2 2 2 4 4, x 2 = + j j 2 j 2 + j 2 ; λ 2 = λ 3 = λ 4 = 2, x 2 =, P = 2 4 2 2 4 3, x 3 =

CHARAKTERISTICKÉ VEKTORY 39 37 a) x (t) = 3C 2 e 2t + C 3, x 2 (t) = C e t 2C 2 e 2t, x 3 (t) = 2C e t + C 2 e 2t + C 3 b) x (t) = C e t + C 3 e 3t, x 2 (t) = (C + 2C 2 )e t C 3 e 3t, x 3 (t) = C 2 e t 3C 3 e 3t c) x = C e 2t + (C 2 cos t + C 3 sin t), x 2 = ( (C 2 + C 3 ) cos t + (C 3 C 2 ) sin t ) e 3t, x 3 = C e 2t + ( (2C 2 C 3 ) cos t + (2C 3 + C 2 ) sin t ) e 3t 38 Návod: Využijte charakteristických čísel obou matic 39 λ = 3, 3, 7; je podobná diagonální matici D = diag(3, 3, 7) 3 Např,, 3 Obě jsou podobné téže diagonální matici, takže na základě tranzitivnosti podobnosti je A podobná B 32 33 Všechny násobky jednotkové matice 34 a) α > 2; b) α 2 35 Návod: Ukažte, že diskriminant charakteristické rovnice je kladný 2 36 A = 4 2 4 2 2 4 37 Existuje báze P 3, v níž matice zobrazení A bude D = diag (, 2, 3, 4) 32 Návod: Vynásobte matici AB zleva maticí B B 322 Porovnejte charakteristická čísla obou matic Návod: Nechť λ je charakteristické číslo matice AB s charakteristickým vektorem x Vynásobte obě strany rovnosti ABx = λx maticí B zleva

Kapitola 4 JORDANŮV KANONICKÝ TVAR V předcházející kapitole jsme vyšetřovali ta lineární zobrazení, která lze ve vhodně zvolené bázi popsat diagonální maticí Existují však lineární zobrazení, která nemají v žádné bázi diagonální matici V této kapitole budeme pro ně hledat reprezentaci maticemi, které jsou v jistém smyslu blízké diagonálním maticím Navíc se ukáže, že zvolený způsob popisu bude jako zvláštní případ zahrnovat i matice diagonální Pro libovolné lineární zobrazení A vektorového prostoru V do V nalezneme takovou bázi prostoru V (bude se nazývat Jordanova kanonická báze), v níž bude mít matice zobrazení A kromě prvků na dvou diagonálách všechny ostatní prvky nulové Jordanova kanonická báze bude složena ze zobecněných charakteristických vektorů Její konstrukce bude komplikovanější než v případě charakteristických vektorů a vyžádá si zavedení některých pomocných pojmů a odvození několika pomocných tvrzení Existence naznačené báze bude dokázána ve větě?? 4 Zobecněné charakteristické vektory V předcházející kapitole jsme ukázali, že pokud se dá báze definičního oboru lineárního zobrazení A sestavit z jeho charakteristických vektorů, bude mít A v této bázi diagonální matici V maticové terminologii to znamená, že pokud má čtvercová matice n -tého řádu n lineárně nezávislých charakteristických vektorů, je podobná diagonální matici Jak však ukazuje příklad 34, existují matice, které nejsou podobné žádné diagonální matici a tedy existují i lineární zobrazení, která nemají v žádné bázi svého definičního oboru diagonální matici Nyní zobecníme pojem charakteristického vektoru tak, aby pro každé lineární zobrazení A vektorového prostoru V do V bylo možné sestrojit bázi prostoru V z těchto zobecněných charakteristických vektorů Definice Nenulový vektor v C n se nazývá zobecněným charakteristickým vektorem matice A, jestliže existuje λ C a celé k tak, že (A λe) k v = o Analogicky se definuje zobecněný charakteristický vektor lineárního zobrazení: Je-li A lineární zobrazení vektorového prostoru V do V, pak nenulový vektor v V se nazývá zobecněným charakteristickým vektorem zobrazení A, jestliže existuje λ C a celé k tak, že (A λi) k (v) = o Je-li v zobecněným charakteristickým vektorem matice A a k nejmenší celé číslo, pro něž (A λe) k v = o, pak (A λe) k v o Položíme-li v = (A λe) k v, pak 4

JORDANŮV KANONICKÝ TVAR 4 (A λe)v = o Odtud plyne, že λ je charakteristické číslo matice A a v jemu příslušný charakteristický vektor Definice Nechť v je zobecněný charakteristický vektor matice A a nechť k je nejmenší přirozené číslo, pro něž je (A λe) k v = o Položme v = (A λe) k v v 2 = (A λe) k 2 v (4) v k = (A λe)v v k = v Uspořádanou k -tici {v,, v k } nazýváme řetězcem zobecněných charakteristických vektorů příslušných číslu λ, číslo k nazýváme délkou řetězce Podle této definice považujeme samotný charakteristický vektor za řetězec délky Vynásobme každý ze vztahů (4) maticí (A λe) Dostaneme (A λe)v = (A λe) k v = (A λe)v 2 = (A λe) k v = v (A λe)v 3 = (A λe) k 2 v = v 2 (42) (A λe)v k = (A λe)v = v k Opakovaným násobením první rovnice z (42) maticí A λe dostáváme (A λe) i v i = o, i =,, k, takže i -tý vektor řetězce patří do nulového prostoru matice (A λe) i Vlastnosti zobecněných charakteristických vektorů příslušných číslu λ a tvořících řetězec délky k tedy můžeme shrnout do následujícího přehledu: (A λe)v = o (A λe)v = o v N(A λe) (A λe)v 2 = v (A λe) 2 v 2 = o v 2 N(A λe) 2 (A λe)v 3 = v 2 (A λe) 3 v 3 = o v 3 N(A λe) 3 (43) (A λe)v k = v k (A λe) k v k = o v k N(A λe) k Každý ze vztahů v prvním sloupci (43) lze pro i = 2,, k zapsat také ve tvaru Av i = λv i + v i Vztahy v prvním sloupci (43) umožňují postupný výpočet zobecněných charakteristických vektorů, patřících do jednoho řetězce, tedy začínajících jedním konkrétně zvoleným charakteristickým vektorem v Existuje-li k v další vektor řetězce v 2, musí vzhledem k (43) platit (A λe)v 2 = v (44)

42 Kapitola 4 Vektor v 2 je tedy řešením soustavy (A λe)x = v (45) Soustava (45) má podle věty 2 řešení právě tehdy, když hodnost matice této soustavy je rovna hodnosti matice rozšířené To prakticky znamená, že ne ke všem charakteristickým vektorům bude existovat řetězec délky větší než Pokud vektor v 2 existuje, je další výpočet analogický vektor v 3 hledáme jako řešení soustavy (A λe)x = v 2, atd Později ukážeme, že celý proces výpočtu vektorů řetězce má vždy pouze konečný počet kroků

JORDANŮV KANONICKÝ TVAR 43 Příklad 4 Vypočtěte řetězce zobecněných charakteristických vektorů matice A = ( ) 4 2 Řešení Charakteristická rovnice je det(a λe) = (λ 3) 2 =, takže matice A má jediné charakteristické číslo λ = 3 Pro charakteristické vektory v platí (A 3E)v = o; protože ( A 3E = ) (, je v = t ), t Pokud bude existovat zobecněný charakteristický vektor v 2, musí podle (44) splňovat rovnici (A 3E)v 2 = v Rozšířená matice soustavy, jejímž řešením bude vektor v 2, je ( ) t t Hodnost matice této soustavy i hodnost rozšířené matice jsou stejné pro všechna t a podle věty 2 pro všechna t existuje řešení: v 2 = ( u t u ) ( = u ) ( + t Další zobecněný charakteristický vektor v 3 by byl řešením soustavy (A 3E)v 3 = v 2 Rozšířená matice této soustavy je ( ) u t u Zde však jsou si hodnosti matice soustavy a matice rozšířené rovny pouze pro t = Pak by ale v = o, což pro charakteristický vektor není možné Znamená to tedy, že řetězec končí vektorem v 2 délka řetězce je 2 Všimněme si, že všechny soustavy měly stejnou matici soustavy, měnila se pouze pravá strana Výpočet celého řetězce, příslušného charakteristickému číslu λ, lze tedy stručně popsat jedinou maticí, která vznikne z matice (A λe) postupným přidáváním pravých stran v, v 2 : ( ) t u t t u Příklad 42 Vypočtěte zobecněné charakteristické vektory matice A = 2 2 2 Řešení Charakteristický polynom matice A je det(a λe) = (2 λ) 3 ; matice má tedy jedno trojnásobné charakteristické číslo λ = 2 A 2E = )

44 Kapitola 4 a řešením soustavy (A 2E)x = o dostaneme charakteristické vektory: x = t s = t + s, t + s Počítejme nyní zobecněné charakteristické vektory Ty budou řešením soustavy, jejíž rozšířená matice je t (46) s Hodnost matice soustavy A 2E je ; podle věty 2 bude soustava řešitelná, pokud i rozšířená matice soustavy bude mít hodnost To nastane právě tehdy, když s = t Vidíme tedy, že první vektor řetězce je v = t, t t a (46) přechází do t t Řešením soustavy s touto rozšířenou maticí je druhý vektor řetězce: t v 2 = u = t + u + v v Zde t, a u, v jsou libovolná čísla Výpočet dalšího vektoru řetězce vede na soustavu s rozšířenou maticí t u (47) v I zde je podmínkou řešitelnosti soustavy, aby hodnost matice (47) byla, to však pro t není možné Řetězec tudíž nemá další pokračování, jeho délka je 2 Celkem má matice A dva řetězce (přesněji řečeno dvě množiny řetězců) jeden délky 2, tvořený vektory v = t t, v 2 = t u v, t a druhý délky, tvořený libovolným charakteristickým vektorem různým od v, tedy w = r, s r s

JORDANŮV KANONICKÝ TVAR 45 Výpočet řetězce v, v 2 lze stručně zapsat pomocí následující matice x v v 2 t t t u s t v U následujícího příkladu uvedeme řešení pouze ve stručném zápisu Příklad 43 Vypočtěte zobecněné charakteristické vektory matice A = 3 2 3 3 2 Řešení A je trojúhelníková, její charakteristická čísla jsou λ = 2 (jednoduché) a λ 2 = 3 (trojnásobné) a) λ = 2 : Pro λ = 2 existuje řetězec délky : b) λ 2 = 3 : 2 u v = u, u w w 2 w 3 2 t s r t s 2t t Pro λ 2 = 3 existuje řetězec délky 3 (t ) : w = t, w 2 = t + s, w 3 = t t 2 + r + s Uvedené příklady ukazují, že vektory řetězců nejsou charakteristickým vektorem určeny jednoznačně; ve všech příkladech však byly vektory v řetězci lineárně nezávislé Dokážeme nyní, že jde o obecnou vlastnost

46 Kapitola 4 Věta 4 Nechť {v,, v k } je řetězec zobecněných charakteristických vektorů matice A, příslušných charakteristickému číslu λ Pak vektory {v,, v k } jsou lineárně nezávislé Důkaz Větu dokážeme matematickou indukcí podle délky řetězce Pro k = je tvrzení zřejmé v o, neboť jde o charakteristický vektor Předpokládejme dále, že řetězce délky k jsou lineárně nezávislé a uvažujme řetězec {v,, v k } Nechť α v + + α k v k = o (48) Vynásobením obou stran rovnice (48) maticí (A λe) dostaneme po úpravě α 2 v + + α k v k = o Protože vektory v, v 2,, v k tvoří také řetězec a jsou podle indukčního předpokladu lineárně nezávislé, je α 2 = = α k = a rovnice (48) se redukuje na α v = o Avšak v je charakteristický vektor a tudíž v o, což znamená, že i α = a vektory v,, v k jsou lineárně nezávislé 42 Jordanova kanonická báze Lineární nezávislost vektorů řetězce lineárního zobrazení A: V V vede k domněnce, že z nich bude možné sestavit bázi prostoru V Vyšetřeme nejdříve, jak by v takové bázi vypadala matice zobrazení A Lemma Nechť A je lineární zobrazení vektorového prostoru V do V Nechť λ je charakteristické číslo zobrazení A, jemuž přísluší řetězec zobecněných charakteristických vektorů v,, v n Nechť vektory v,, v n tvoří bázi prostoru V Pak zobrazení A má vzhledem k této bázi matici λ λ λ J = λ Důkaz Sloupce matice lineárního zobrazení A tvoří vektory souřadnic obrazů A(v k ), k =,, n Tvrzení tedy ihned vyplývá ze vztahů A(v ) = λv a A(v k ) = λv k + v k, k = 2,, n, což jsou vztahy ekvivalentní s (A λi)(v k ) = v k Věta 42 Nechť A je lineární zobrazení vektorového prostoru V do V Nechť existuje báze prostoru V tvořená řetězci zobecněných charakteristických vektorů Pak matice zobrazení A má v této bázi tvar J O O O J 2 O J =, (49) O O J k

JORDANŮV KANONICKÝ TVAR 47 kde J i je čtvercová matice buďto tvaru (λ j ) typu (, ) nebo tvaru λ j λ j λ j J i = λ j (4) pro nějaké charakteristické číslo λ j zobrazení A Přitom každému řetězci zobecněných charakteristických vektorů v bázi odpovídá jedna matice J i ; její řád je roven délce příslušného řetězce Důkaz Vyplývá opakovaným použitím předcházejícího lemmatu; každý řetězec přispěje do matice zobrazení jedním blokem J i Definice Matici (4) nazýváme Jordanovým blokem odpovídajícím charakteristickému číslu λ, o matici (49) říkáme, že má Jordanův kanonický tvar Bázi, v níž má lineární zobrazení matici v Jordanově kanonickém tvaru, budeme nazývat Jordanovou kanonickou bází Poznamenejme, že v Jordanově kanonickém tvaru může více bloků příslušet témuž charakteristickému číslu a řád bloků nemusí být roven násobnosti příslušného charakteristického čísla Počet Jordanových bloků v kanonickém tvaru odpovídá počtu řetězců v bázi, řád každého bloku je určen délkou odpovídajícího řetězce Ihned je vidět, že pokud je matice podobná diagonální matici D, je D také jejím Jordanovým kanonickým tvarem Dále platí Věta 43 Nechť λ je m -násobné charakteristické číslo lineárního zobrazení A Pak součet délek všech řetězců v Jordanově kanonické bázi příslušných číslu λ je m Důkaz Nechť J je Jordanova matice odpovídající Jordanově kanonické bázi Protože matice J je trojúhelníková a má stejný charakteristický polynom jako A, odpovídá počet výskytů každého charakteristického čísla na diagonále J jeho násobnosti Současně však se počet výskytů čísla λ na diagonále J rovná počtu zobecněných charakteristických vektorů v Jordanově bázi odpovídajících číslu λ, což je ekvivalentní součtu délek všech řetězců příslušných číslu λ K větě 42 vyslovíme samostatně i její maticovou analogii Věta 44 Nechť pro čtvercovou matici A n -tého řádu existuje Jordanova kanonická báze C n tvořená zobecněnými charakteristickými vektory {v, v 2,, v n } Pak A je podobná matici v Jordanově kanonickém tvaru (49) a platí J = P AP, kde P je matice, jejíž sloupce jsou v, v 2,, v n Přitom pořadí bloků J i v matici (49) odpovídá pořadí řetězců, v němž jsou jejich vektory zařazeny do Jordanovy báze Důkaz První část je ekvivalentní tvrzení věty 42 a druhá vyplývá z věty 3 Všimneme-li si, že sjednocením vektorů řetězců v každém z příkladů 4, 42 a 43 vznikne vždy lineárně nezávislá množina, můžeme ke každé z matic v těchto příkladech nalézt jejich Jordanův kanonický tvar

48 Kapitola 4 Příklad 44 a) Matice A = ( 4 ) 2 z příkladu 4 má jediné charakteristické číslo λ = 3 s řetězcem ( ) ( ) ( ) v = t, v 2 = u + t, t Vektory v, v 2 tvoří tedy pro každé t a každé u Jordanovu kanonickou bázi C 2 Jeden řetězec délky 2 v Jordanově kanonické bázi znamená jeden Jordanův blok řádu 2 v matici J : ( ) 3 J = 3 Podle věty 44 je J = P AP, kde sloupce matice P tvoří vektory v a v 2 (volíme např t =, u = ): ( ) P = b) Matice A = 2 2 2 z příkladu 42 má jedno trojnásobné charakteristické číslo λ = 2 se dvěma řetězci; jeden má délku 2 a tvoří ho vektory t v = t, v 2 = u, t, t v druhý délku, tvořený libovolným charakteristickým vektorem různým od v : w = r, s r, r + s s Vektory v, v 2, w jsou pro každou přípustnou volbu parametrů r, s, t lineárně nezávislé, takže tvoří Jordanovu kanonickou bázi C 3 Protože báze sestává z vektorů dvou řetězců, bude mít Jordanova kanonická matice 2 bloky řádů rovnajících se délkám odpovídajících řetězců: 2 a J = 2 2 2 Matici P, pro níž J = P AP, opět dostaneme podle věty 44 Její sloupce budou tvořit vektory Jordanovy kanonické báze (volíme t =, u = v = s =, r = ): P =

JORDANŮV KANONICKÝ TVAR 49 c) Matice A = 3 2 3 3 2 z příkladu 43 má dvě charakteristická čísla: λ = 2 (jednoduché) a λ 2 = 3 (trojnásobné) Pro λ má matice řetězec délky v = u, u K λ 2 existuje řetězec délky 3 ( t ) w = t, w 2 = t + s, w 3 = t 2 + r + s Pro u a t jsou vektory v, w, w 2, w 3 lineárně nezávislé a tvoří Jordanovu kanonickou bázi C 4 Jí odpovídá Jordanova matice J = 2 3 3 3 a transformační matice P = 2, pro níž J = P AP Ve zbytku této kapitoly bude ukázáno, že existence Jordanových bází v předcházejícím příkladu není náhodná; dokážeme, že každá čtvercová matice je podobná nějaké matici v Jordanově kanonickém tvaru, nebo, což je ekvivalentní, že pro každé lineární zobrazení na vektorovém prostoru V existuje Jordanova kanonická báze V K tomu bude třeba ukázat, že se vždy podaří nalézt dostatečné množství lineárně nezávislých zobecněných charakteristických vektorů Lineární nezávislost tedy bude hrát v úvahách o Jordanově kanonické bázi zásadní úlohu Víme již (věta 4), že vektory každého řetězce jsou lineárně nezávislé Dále postupně ukážeme, že sjednocením vektorů řetězců odpovídajících různým charakteristickým číslům dostaneme lineárně nezávislou množinu a že sjednocením vektorů řetězců začínajících lineárně nezávislými charakteristickými vektory dostaneme také lineárně nezávislou množinu Pokud čtenáře nezajímají podrobnosti naznačeného důkazu, může pokračovat až od důsledku věty?? Důsledek Každá čtvercová matice je podobná matici v Jordanově kanonickém tvaru

5 Kapitola 4 43 Jordanova kanonická matice Z předcházejícího odstavce vlastně již vyplynul tvar matic, jimiž budeme reprezentovat jednotlivé třídy podobnosti Současně se také ukazuje, jak tuto Jordanovu kanonickou matici nalézt Jde však o poměrně komplikovaný způsob výpočet všech řetězců zobecněných charakteristických vektorů, z nichž lze sestavit Jordanovu kanonickou bázi a teprve pak na základě věty 42 Jordanovu kanonickou matici J Přestože k určení J stačí pouze délky všech řetězců báze, není uvedený způsob jejich stanovení příliš efektivní Navíc zatím není jasné, zda a případně jak se liší Jordanovy kanonické matice odpovídající různým bázím Přitom Jordanova kanonická báze není zdaleka určena jednoznačně V tomto odstavci ukážeme jiný možný způsob výpočtu Jordanovy kanonické matice, z nějž zároveň vyplyne její jednoznačnost až na pořadí jednotlivých bloků Podle věty 42 je Jordanův kanonický tvar matice je určen počtem a délkou řetězců v Jordanově kanonické bázi Protože každý řetězec začíná charakteristickým vektorem, je počet řetězců příslušných číslu λ roven maximálnímu počtu lineárně nezávislých charakteristických vektorů příslušných λ, tj dim C λ (A) Délku všech řetězců v Jordanově bázi lze pro každé λ odvodit z hodnosti matic (A λe) i, i =, 2, Namísto ne příliš přehledného explicitního vztahu pro délky řetězců v závislosti na hod(a λe) i uvedeme schematické znázornění jejich výpočtu Úvaha se bude týkat jednoho libovolně zvoleného charakteristického čísla λ a jemu příslušných charakteristických vektorů, zobecněných charakteristických vektorů a řetězců v pevně zvolené Jordanově kanonické bázi o n prvcích Položme h = n hod(a λe); z předchozí úvahy vyplývá, že číslo h udává celkový počet řetězců v bázi Označme dále h 2 = hod(a λe) hod(a λe) 2 h 3 = hod(a λe) 2 hod(a λe) 3 h 4 = hod(a λe) 3 hod(a λe) 4 Protože podle věty je hod(a λe) i hod(a λe) i+, jsou čísla h i nezáporná Současně lze také h i vyjádřit pomocí dimenzí nulových prostorů matic (A λe) j h = dim N(A λe) h 2 = dim N(A λe) 2 dim N(A λe) h 3 = dim N(A λe) 3 dim N(A λe) 2 Odtud vyplývá, že číslo h i udává přírůstek dimenze nulového prostoru matice (A λe) i proti dimenzi nulového prostoru matice (A λe) i Vzhledem k tomu, že pro tyto nulové prostory platí N(A λe) i N(A λe) i, je h i rovno maximálnímu počtu lineárně nezávislých vektorů, které přibudou v N(A λe) i oproti N(A λe) i Každý takový vektor je tudíž i -tý vektor řetězce zobecněných charakteristických vektorů a h i tím udává počet řetězců v bázi, jejichž délka je aspoň i nebo, což je ekvivalentní, kolik řetězců délky i má

JORDANŮV KANONICKÝ TVAR 5 pokračování Posloupnost h, h 2, je tedy nerostoucí a existuje přirozené k tak, že h k a h k+ = h k+2 = = Podrobnosti zdůvodnění lze nalézt v [6], str 432 434 Přiřaďme hodnotám h, h 2,, h k symbolickou tabulku podle tohoto pravidla: hodnotě h i odpovídá i -tý řádek tabulky, v němž je odleva do prvních h i sloupců zapsán symbol Z výše uvedených vlastností čísel h, h 2,, h k pak vyplývá, že k charakteristickému číslu λ existuje v bázi tolik řetězců, kolik má tabulka sloupců a jejich délky jsou reprezentovány počtem hvězdiček v každém sloupci Schéma budeme nazývat hvězdičkový diagram Hlavní význam hvězdičkového diagramu spočívá ve faktu, že jeho konstrukci provádíme jednoduchým způsobem po řádcích a informace o řetězcích pak odečítáme z jeho sloupců Příklad 45 Stanovte Jordanův kanonický tvar matice A = 2 2 2 2 2 3 2 2 Řešení: Matice A má jediné charakteristické číslo λ = 2 násobnosti 5 Počítejme postupně mocniny matice A 2E A 2E = 2 2 3, (A 2E)2 = Odtud hod(a 2E) = 2, takže h = 5 2 = 3 Dále Hvězdičkový diagram má tedy tvar h 2 = hod(a 2E) hod(a 2E) 2 = 2 =, h 3 = hod(a 2E) 2 hod(a 2E) 3 = =, h 4 = hod(a 2E) 3 hod(a 2E) 4 = =, (A 2E)3 = O a matice má jeden řetězec délky 3 a dva řetězce délky, všechny příslušné charakteristickému číslu λ = 2 Odtud dostáváme Jordanův kanonický tvar J = 2 2 2 2 2