Rovnice přímky v prostoru Každá přímka v prostoru je jednoznačně zadána dvěma body. K vyjádření všech bodů přímky lze použít parametrické rovnice. Parametrická rovnice přímky p Pokud A, B jsou dva různé body, pak přímku,. B která je jimi určena označujeme AB nebo např. p. u Vektor u = B A nazýváme směrový vektor A přímky p a pro každý bod P přímky p platí: P = A + t u kde t je parametr, reálné číslo. Tento zápis se nazývá parametrická rovnice přímky. Pro výpočty pak rozepisujeme tuto vektorovou rovnici pro tři souřadnice a hovoříme o parametrických rovnicích přímky p: x = a 1 + t u 1 y = a 2 + t u 2 z = a 3 + t u 3 Každé hodnotě parametru t odpovídá jeden bod přímky p. t R Př. Zapište parametrické rovnice přímky p, která je zadaná body A = [2, 3,4] B = [5, 7,1] Nejdříve určíme souřadnice směrového vektoru u, u = B A u = (5 2, 7 3, 1 4 ) = (3, 4, 3) Pomocí bodu A a parametru t pak sestavíme rovnice: x = 2 + 3 t y = 3 + 4 t z = 4 3 t
Příklady k procvičení 1. Napište parametrické rovnice přímky zadané bodem a směrovým vektorem: a) A = [2, 3, 1] u = (3. 2, 4) b) B = [ 3, 5, 2 ] u = (2,3, 1) c) C = [ 4, 2, 0 ] u = (2, 1, 3) d) D = [0, 2, 3 ] u = ( 2, 0, 1) 2. Nepište parametrické rovnice přímky určené dvěma body: a) P = [3, 2, 4 ] Q = [5, 8, 2 ] b) R = [4, 2, 1 ] S = [ 4, 3, 2] c) T = [ 4, 3, 5 ] U = [0, 5, 2] d) K = [1, 0, 2] L = [ 3, 4, 0 ] 3. Jsou dány body A = [1; 1; 3] a B = [2; 1; 1]. a) Najdi parametrické vyjádření přímky AB. b) Rozhodni, zda na přímce leží body C = [4; 5; 0] a D = [ 1; 1; 7]. c) Urči zbývající souřadnice bodů E = [4;? ;? ], F = [? ; 2;? ] tak, aby ležely na přímce AB. d) Najdi parametrické vyjádření přímky, která je rovnoběžná s přímkou AB a prochází bodem H = [0; 3; 5]. 4. Jsou dány přímky p( A, u) a q (B, v); A[ 3; 1; 1], B[2; 2; 1], u = (2; 1; 0), v = (1; 3; 2). Urči jejich vzájemnou polohu, pokud jsou přímky různoběžné, najdi jejich průsečík.
5. Určete vzájemnou polohu přímek v prostoru: a) p: x = t, y = 4t, z = 3t q: x = s, y = 8 4s, z = 3 3s b) m: x = 3 + 2t, y = 1 + 2t, z = 4t n: x = 3 + s, y = 1 + 2s, z = 4 (a)-rovnoběžky, b)-mimoběžky) 6. Vypočtěte odchylku přímek a, b, je-li: a: x = 10 + 10t, y = 2 + 2t, z = 11 + 11t b: x = 1 + 3s, y = 2 + 12s, z = 4s (α = 59 ) 7. Jsou dány přímky p( A, u) a q (B, v); A[ 2; 3; 2], B[3; 2; 1], u = (1; 2; 2), v = ( 2; 2; 1). Určete vzájemnou polohu. (mimoběžné) 8. Vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku ABC: A = [2, 4, 9], B = [ 1, 4, 5 ], C = [6, 4, 6] (90, 45, 45 )
Rovnice roviny Každá rovina je jednoznačně zadána třemi body, které neleží na přímce. K vyjádření všech bodů roviny lze použít parametrické rovnice nebo rovnici obecnou. Parametrická rovnice roviny B ρ Pokud A, B, C jsou tři různé body neležící na přímce, v pak provinu, která je jimi určena označujeme ABC nebo například ρ. v C Vektory u = B A a v = C A jsou dva A nekolineární vektory roviny ρ a pro každý bod P rovinyρ platí: P = A + t u + s v kde t, s jsou parametry, reálná čísla. Tento zápis se nazývá parametrická rovnice roviny. Pro výpočty pak rozepisujeme tuto vektorovou rovnici pro tři souřadnice a hovoříme o parametrických rovnicích roviny ρ: x = a 1 + t u 1 + s v 1 y = a 2 + t u 2 + s v 2 z = a 3 + t u 3 + s v 3 t, s R Obecná rovnice roviny Každou rovnici přímky lze po eliminaci parametrů t a s upravit na tvar: ax + by + cz + d = 0 Tuto rovnici nazýváme obecná rovnice roviny. Koeficienty a, b, c, určují normálový vektor roviny: n = (a, b, c). Tento vektor je kolmý k rovině a tím také k vektorům u a v. Sestavit obecnou rovnici roviny pak můžeme rovněž s využitím vektorového součinu těchto dvou vektorů n = u v
Příklady: 1. Rovina ρ je určena body A = [1, 2, 5], B = [0, 1, 5 ], C = [2, 1, 3] a) Vyjádřete rovinu ρ parametrickou rovnicí b) Vyjádřete rovinu ρ obecnou rovnicí 2. Napište parametrické rovnice roviny, která je určena body A = [1, 0,2], B = [2, 1, 3 ], C = [0, 0, 1] 3. Zjistěte, zda daná čtveřice bodů leží v jedné rovině a) A = [3, 1, 6], B = [4, 0, 8 ], C = [1, 5, 7], D = [0, 8, 10] b) E = [2, 4,5], F = [3, 1, 4 ], G = [0, 10, 7], H = [0, 1, 6] 4. Rozhodněte, který z bodů A = [1, 1, 1], B = [ 5, 3, 2 ], C = [0, 3,0] leží v rovině určené rovnicí 2x + y 3z + 3 = 0. 5. Napište obecnou rovnici roviny, která je určena body: a) A = [1, 0, 3], B = [ 2, 3,0 ], C = [ 3, 2, 4] b) A = [0, 0, 0], B = [1,0, 3 ], C = [2, 1, 2]
6. Převeďte parametrické rovnice roviny na obecnou: x = 4 + r 2s y = 7 + r + 4s z = 3 + 2r + 3s 7. Určete souřadnici a 1 bodu A = [a 1, 1, 2 ]tak, aby ležel v rovině určené parametrickými rovnicemi: x = t + 2s y = 1 t + s z = 4 + t + s 8. Najdi obecné vyjádření roviny ABC A = [1; 2; 3], B = [3; 0; 2], C = [ 1; 2; 2]. Výpočtem zjisti, zda v rovině leží body D = [3; 2; 1] a E = [ 3; 4; 1]. 9. Najdi obecnou rovnici roviny s parametrickým vyjádřením: σ {[2 + t s ; 3 2t + s; 1 t + 2s], t, sεr}. 10. Urči vzájemnou polohu přímky p {[1 + t; 2 3t; 2 + 2t ], t R} a roviny π x + y + z + 2 = 0. Pokud je přímka s rovinou různoběžná, najdi její průsečík. 11. Urči vzájemnou polohu rovin ρ 2x 4y + 2z 4 = 0 a σ 2x 3y + 3z 3 = 0. Pokud jsou roviny různoběžné, najdi jejich průsečnici.
12. Urči vzdálenost bodu P = [4; 3; 3] od roviny ρ: x 2y + 2z = 0 Pomocí odvozeného vzorce: v(ρm) = am 1+bm 2 +cm 3 +d a 2 +b 2 +c 2 13. Vypočtěte vzdálenost bodu M = [ 1; 3; 3] od roviny τ, která má parametrické rovnice: x = 1 2s y = 1 t + 2s z = 1 3t + 3s Příklady k domácí přípravě 1. Napište rovnici přímky p procházející body A a B. Dále zjistěte, zda na této přímce leží některý z bodů C, D : A = [2, 3, 0], B = [1, 2, 1], C = [3, 8, 1], D = [2, 1, 4] 2. Napište parametrickou rovnici roviny ε zadané body: A = [2, 1, 0], B = [1, 2, 1], C = [0, 1, 2] Zjistěte, zda v této rovině leží bod D = [3, 0, 1] 3. Převeďte rovnici roviny μ na obecnou a vypočtěte vzdálenost bodu M = [3, 2, 3] od roviny μ. μ: x = 1 t + 2s y = 1 + s z = +2t 2s