Obsah. Gain scheduling. Obsah. Linearizace

Regulace a řízení II Řízení nelineárních systémů Regulace a řízení II Řízení nelineárních systémů - str. 1/29

Obsah Obsah Gain scheduling Linearizace Regulace a řízení II Řízení nelineárních systémů - str. 2/29

Obsah přednášky řízení založené na gain scheduling zpětnovazební linearizace Obsah Gain scheduling Linearizace Regulace a řízení II Řízení nelineárních systémů - str. 3/29

Obsah Gain scheduling Gain scheduling Gain scheduling Příklad gain scheduling Postup Linearizace Regulace a řízení II Řízení nelineárních systémů - str. 4/29

Gain scheduling nelineární systém lze linearizovat v pevném pracovním bodě a navrhnout pevný lineární regulátor vhodné jen pro systémy pracující v malé oblasti kolem pracovního bodu nelineární systém můžeme linearizovat v okolí více pracovních bodů, pro každý pracovní bod navrhnout lineární regulátor a následně přepínat regulátory podle aktuálních hodnot stavů a vstupů metoda gain scheduling možné varianty gain scheduling navrhnout regulátor parametrizovaný dle aktuálních hodnot stavů a vstupů regulátor se spojitě mění v závislosti na stavech systému navrhnout regulátory pro systém linearizovaný v konečném počtu pracovních bodů regulátory přepínáme podle oblasti, ve které se vyskytují aktuální hodnoty stavu a vstupu vhodné zejména pro po částech lineární systémy obvykle požadujeme beznárazové přepnutí navrhnout regulátory pro systém linearizovaný v konečném počtu pracovních bodů a interpolovat mezi nimi řízení přechází plynule mezi dvěma regulátory Obsah Gain scheduling Gain scheduling Příklad gain scheduling Postup Linearizace Regulace a řízení II Řízení nelineárních systémů - str. 5/29

Příklad gain scheduling předpokládejme systém popsaný rovnicí dx dt = 1 ( u c ) 2x = f(x,u) β(x) chceme vytvořit regulátor, který zajistí, že hodnota x bude sledovat referenci x r v ustáleném stavu pro x r = α bude muset platit u 0 (α)=c 2α pracovní bod x 0 = α, u 0 = c 2α Obsah Gain scheduling Gain scheduling Příklad gain scheduling Postup Linearizace Regulace a řízení II Řízení nelineárních systémů - str. 6/29

Příklad gain scheduling provedeme linearizaci rozvojem do Taylorovy řady a dostaneme lineární model d x dt = a(α) x+b(α) u a(α)= f x x=α,u=c 2α = b(α)= f u x=x α» 1 u=u c 2α c β (x) 2x β 2 (x) β(x) = 1 x=α,u=c 2α u c 2x = 1 β(x) x=α β(α) x=α,u=c 2α = c 2α 2αβ(α) pro řízení navrhneme PI regulátor u=k 1 e+k 2 σ e=x r x=α x= x σ= e Regulace a řízení II Řízení nelineárních systémů - str. 7/29

Příklad gain scheduling přenos regulátoru přenos soustavy přenos uzavřené smyčky F= F RF S 1+F R F S = 1 F R (p)=k 1 + k 2 p F S (p)= b p a k 1 bp+k 2 b p 2 + p(a+k 1 b)+k 2 b předpokládejme požadovaný tvar jmenovatele přenosu p 2 +2ξω 0 p+ω 2 0 ω 2 0 >0 0 < ξ <1 porovnáním koeficientů dostaneme k 1 (α)= 2ξω 0+ a(α) b(α) k 2 (α)= ω2 0 b(α) konstanty regulátoru se mění v závislosti na žádané hodnotě α Regulace a řízení II Řízení nelineárních systémů - str. 8/29

Příklad gain scheduling PI regulátor F R (p)=k 1 (α)+k 2 (α) 1 p jiný tvar regulátoru ( F R (p)=k(α) 1+ 1 ) T(α)p k 1 (α)= 2ξω 0+ a(α) b(α) k(α)= 2ξω 0+ a(α) b(α) k 2 (α)= ω2 0 b(α) předpokládejme, že budeme požadovat málo kmitavý a rychlý přechodový děj, pak můžeme předpokládat, že a(α) 2ξω 0, a bude platit k(α) 2ξω 0 b(α) =2ξω 0β(α) T(α) 2ξω 0 ω 2 0 T(α)= 2ξω 0+ a(α) ω 2 0 = 2ξ ω 0 měníme jen jeden parametr k(α) v závislosti na žádané hodnotě α Regulace a řízení II Řízení nelineárních systémů - str. 9/29

Příklad gain scheduling PI regulátor tedy bude mít tvar ( F R (p)=2ξω 0 β(α) 1+ ω ) 01 2ξ p = 2ξω 0β(α)p+ω 2 0β(α) p přenos uzavřené smyčky - spojení linearizované soustavy a lineárního regulátoru F= F RF S 1+F R F S = = b(α)(2ξω 0 β(α)p+ω0β(α)) 2 p 2 + p(b(α)β(α)2ξω 0 a(α))+b(α)β(α)ω0 2 2ξω 0 p+ω0 2 p 2 + p(2ξω 0 a(α))+ω0 2 = Regulace a řízení II Řízení nelineárních systémů - str. 10/29

Příklad gain scheduling pokusíme se najít linearizaci systému složeného z původní nelineární soustavy a lineárního regulátoru - chování v okolí pracovního bodu by mělo být shodné s předchozím případem stavové rovnice dx dt = 1 ( k(x r ) (x r x+ 1T ) β(x) σ dσ dt = x r x c ) 2x rovnovážný stav při x r = α je x 0 = α a σ 0 = c 2α ω 2 0 β(α) Regulace a řízení II Řízení nelineárních systémů - str. 11/29

Příklad gain scheduling provedeme linearizaci kolem rovnovážného stavu(x 0,σ 0 ) d x [ ] [ ] [ dt d σ = a(α) 2ξω n ωn 2 x 2ξω 0 + γ(α) + 1 0 σ 1 dt [ ] x y=[1 0] σ dk(x r ) dx r σ 0 (α) γ(α)= xr =α Tβ(α) ] x r můžeme vypočítat přenosovou funkci vztahem [ ] 1 F(p)= Cadj(pI A)B+D = (2ξω 0+ γ(α))p+ω0 2 det(pi A) p 2 + p(2ξω 0 a(α))+ω0 2 Regulace a řízení II Řízení nelineárních systémů - str. 12/29

Příklad gain scheduling pokud jsme provedli linearizaci jen soustavy a k ní připojili lineární regulátor, přenos uzavřené smyčky je 2ξω 0 p+ω0 2 F(p)= p 2 + p(2ξω 0 a(α))+ω0 2 pokud k nelineární soustavě připojíme lineární regulátor a pak provedeme linearizaci celé regulační smyčky, dostaneme F(p)= (2ξω 0+ γ(α))p+ω0 2 p 2 + p(2ξω 0 a(α))+ω0 2 oba přenosy by měly být shodné rozdíl v přenosech může způsobit zhoršení dynamických vlastností zůstane zachována schopnost regulátoru regulovat na nulovou ustálenou odchylku pokud zhoršení dynamických vlastností je podstatné, je třeba provést návrh tak, aby se přenosy shodovaly Regulace a řízení II Řízení nelineárních systémů - str. 13/29

Příklad gain scheduling změníme způsob výpočtu PI regulátoru, místo u=k(x r ) ( e+ 1 σ) σ= e T použijeme u=k(x r )e+ 1 z ż= k(x T r)e stavové rovnice dx dt = 1 ( k(x r )(x r x)+ 1 ) β(x) T z c 2x dz dt = k(x r)(x r x) rovnovážný stav při x r = α je x 0 = α,z 0 = ct 2α provedeme linearizaci v okolí rovnovážného stavu Regulace a řízení II Řízení nelineárních systémů - str. 14/29

Příklad gain scheduling linearizace d x dt d z = dt y=[1 0] [ a(α) 2ξωn ω n 2ξβ(α) 2ξω 0 β(α) 0 [ x z ] ] [ x z ] + [ 2ξω 0 2ξω 0 β(α) ] x r můžeme vypočítat přenosovou funkci vztahem [ ] 1 2ξω 0 p+ω0 2 F(p)= Cadj(pI A)B+D = det(pi A) p 2 + p(2ξω 0 a(α))+ω0 2 Regulace a řízení II Řízení nelineárních systémů - str. 15/29

Příklad gain scheduling v tomto případě obě linearizace vedou na systém se stejnou přenosovou funkcí systém dx dt = 1 β(x) tedy můžeme řídit regulátorem u=k(x r )e+ 1 T z kde zesílení regulátoru je ( u c ) 2x k(x r )=2ξω 0 β(x r ) ż= k(x r)e přičemž musí platit pro všechna x r z pracovního rozsahu 2ξω 0 c 2x r 2x r β(x r ) Regulace a řízení II Řízení nelineárních systémů - str. 16/29

Postup při návrhu gain scheduling návrh lze shrnout do následujících bodů 1. linearizovat nelineární model v okolí pracovních bodů, parametrizovat linearizaci pomocí proměnných používaných k přepínání 2. pro jednotlivé pracovní body navrhnout lineární regulátory, parametrizovat regulátory pomocí proměnných používaných k přepínání 3. sestavit takový regulátor s přepínáním, že v každém pracovním bodě platí v konstantním pracovním bodě regulátor dosahuje nulové ustálené odchylky linearizace uzavřené smyčky v každém pracovním bodě se shoduje se zpětnovazebním spojením lineárního regulátoru a linearizace soustavy v daném pracovním bodě 4. ověřit vlastnosti regulátoru simulací pro velké změny pracovního bodu pozor - rychlé přepínání regulátorů může vést ke zhoršení dynamických vlastností a případně i nestabilitě metoda je vhodná především pro systémy, u kterých se pracovní bod mění pomalu Regulace a řízení II Řízení nelineárních systémů - str. 17/29

Obsah Zpětnovazební linearizace Gain scheduling Linearizace Metody linearizace Zpětnovazební linearizace Vstup-stav Vstup-výstup Literatura Regulace a řízení II Řízení nelineárních systémů - str. 18/29

Metody linearizace dosud jsme řešili linearizaci rozvojem do Taylorovy řady získáme lineární aproximaci platnou v okolí pracovního bodu pokud se vzdálíme od pracovního bodu může dojít ke zhoršení dynamických vlastností, případně i k nestabilitě většinou velmi snadná metoda exaktní linearizace lze provést korekci signálu vstupujícího do řízeného systému na základě měření stavů nebo výstupu systému tak, že kompenzujeme nelineární chování zpětnovazební linearizace spojením řízeného systému a korekčního bloku dostaneme skutečný lineární systém (ne pouhou aproximaci) v reálných případech většinou značně komplikované řešení Regulace a řízení II Řízení nelineárních systémů - str. 19/29

Exaktní zpětnovazební linearizace zpětnovazební linearizace je použitelná pro systémy popsané ve tvaru dx dt =f(x)+b(x)u linearizace vstup - stav pomocí zavedení zpětných vazeb od jednotlivých stavových proměnných se snažíme převést diferenciální rovnice systému do tvaru dz dt =Az+Bv linearizace vstup - výstup řeší případ, kdy výstupní funkce je nelineární Obsah Gain scheduling Linearizace Metody linearizace Zpětnovazební linearizace Vstup-stav Vstup-výstup Literatura y=g(x,u) Regulace a řízení II Řízení nelineárních systémů - str. 20/29

metodu si přiblížíme na příkladě Linearizace vstup stav předpokládejme nelineární systém dh dt = 1 S(h) (u a 2hg) zvolíme řízení korigované zpětnou vazbou od veličiny h u=a 2hg+ S(h)v kde v je nový řídící vstup soustavy dostaneme lineární systém dh dt = v jedná se o čistě integrační systém, který můžeme řídit proporcionálním regulátorem v= K(h w h) výsledkem je řízení ve tvaru u=a 2hg+ S(h)K(h w h) Regulace a řízení II Řízení nelineárních systémů - str. 21/29

Linearizace vstup stav linearizace bylo dosaženo vstupní transformací u=α(x)+β(x)v vstupní transformace je použitelná jen pokud je nelineární systém ve tvaru dx dt =Ax+Bβ 1 (x)[u α(x)] pokud nelineární systém není v požadovaném tvaru, musíme použít stavovou transformaci z=t(x) Obsah Gain scheduling Linearizace Metody linearizace Zpětnovazební linearizace Vstup-stav Vstup-výstup Literatura která převede systém do tvaru dz dt =Az+Bβ 1 (z)[u α(z)] transformacez=t(x) i její inverzex=t 1 (z) musí mít spojitou první derivaci Regulace a řízení II Řízení nelineárních systémů - str. 22/29

Linearizace vstup stav předpokládejme systém popsaný rovnicemi dx 1 dt = 2x 1+ ax 2 +sinx 1 dx 2 dt = x 2cos x 1 + ucos(2x 1 ) je zřejmé, že první rovnici nelze linearizovat vstupní transformací zavedeme transformaci stavu z 1 = x 1 Obsah Gain scheduling Linearizace Metody linearizace Zpětnovazební linearizace Vstup-stav Vstup-výstup Literatura nové stavové rovnice z 2 = ax 2 +sinx 1 dz 1 dt = 2z 1+ z 2 dz 2 dt = 2z 1cosz 1 +cosz 1 sin z 1 + aucos(2z 1 ) Regulace a řízení II Řízení nelineárních systémů - str. 23/29

Linearizace vstup stav vstupní transformace u= 1 acos(2z 1 ) (v cos z 1sin z 1 +2z 1 cos z 1 ) výsledné stavové rovnice dz 1 dt = 2z 1+ z 2 dz 2 dt = v kombinací transformace stavu a transformace vstupu jsme získali lineární systém lze nalézt podmínky existence linearizace a obecnou metodu pro nalezení vhodné transformace značně složitá matematická analýza lze nalézt v doporučené literatuře Obsah Gain scheduling Linearizace Metody linearizace Zpětnovazební linearizace Vstup-stav Vstup-výstup Literatura Regulace a řízení II Řízení nelineárních systémů - str. 24/29

Linearizace vstup výstup cílem je získání lineárního chování mezi vstupem a výstupem předpokládejme systém s jedním vstupem a jedním výstupem ve tvaru dx dt =f(x)+g(x)u y= h(x) hledáme odpovídající lineární systém dz dt =Az+bv ỹ= h(x) oba systémy budou vstupně výstupně ekvivalentní, pokud bude platit d i y = di ỹ i=0,1,2,...,n dt i dt i vhodné transformace najdeme tak, že budeme postupně derivovat výstup systému, dokud nenajdeme závislost na u, pak najdeme transformaci stavů porovnáním derivací a transformaci vstupu Regulace a řízení II Řízení nelineárních systémů - str. 25/29

Linearizace vstup výstup předpokládejme nelineární systém ẋ 1 =sinx 2 +(x 2 +1)x 3 ẋ 2 = x 5 1+ x 3 ẋ 3 = x 2 1+ u y= x 1 pokusíme se najít náhradu ve tvaru ż 1 = z 2 ż 2 = v ỹ= z 1 vypočteme derivace ẏ=sinx 2 +(x 2 +1)x 3 ÿ=(x 3 +cosx 2 )(x 5 1+x 3 )+(x 2 +1)(x 2 1+u) transformace vstupu u= 1 x 2 +1 (v (x5 1+ x 3 )(x 3 +cosx 2 )) Regulace a řízení II Řízení nelineárních systémů - str. 26/29

Linearizace vstup výstup výsledná transformace z 1 = x 1 z 2 =sin x 2 +(x 2 +1)x 3 u= 1 x 2 +1 (v (x5 1+ x 3 )(x 3 +cosx 2 )) dostaneme lineární systém ż 1 = z 2 ż 2 = v ỹ= z 1 můžeme navrhnout lineární řízení v a pak vypočítat řízení u pomocí transformačního vztahu Regulace a řízení II Řízení nelineárních systémů - str. 27/29

Linearizace vstup výstup původní systém byl 3 řádu, po transformaci jsme dostali systém druhého řádu transformací je způsobeno, že část dynamiky systému je nepozorovatelná vzniká interní dynamika ẋ 3 = x 2 1+ 1 x 2 +1 (v (x5 1+ x 3 )(x 3 +cosx 2 )) pokud je interní dynamika stabilní (v uzavřené smyčce), je navržený regulátor použitelný v případě, že je interní dynamika nestabilní, nelze navržený regulátor použít analýza stability interní dynamiky může být značně komplikovaná detailní popis metody - viz. doporučená literatura Regulace a řízení II Řízení nelineárních systémů - str. 28/29

Literatura Detailní popis metody zpětnovazební linearizace: Slotine: Applied Nonlinear Control Khalil: Nonlinear Systems Razím, Štecha: Nelineární systémy Obsah Gain scheduling Linearizace Metody linearizace Zpětnovazební linearizace Vstup-stav Vstup-výstup Literatura Regulace a řízení II Řízení nelineárních systémů - str. 29/29