Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a 3 + + c (x a + V miulé předášce jsme zjistili, že c 0 f(a a tj že hledaá aproximace je c 1 lim x a f(x f(a x a f (a, f(x f(a + f (a (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a 3 + + c (x a + Abychom ašli oeficiet c 2, zderivujeme teto vztah a zísáme f (x f (a + 2c 2 (x a + 3c 3 (x a 2 + + c (x a 1 + Koeficiet c 2 lze pa ajít ze vztahu 2c 2 lim x a f (x f (a x a df dx (a, tj jao derivaci derivace fuce f(x v bodě a Je přirozeé azvat teto výraz druhá derivace fuce f(x v bodě a Obecě defiujeme tou derivaci jao derivaci ( 1 í derivace Defiice Necht existuje ( 1 í derivace f ( 1 (x v oolí bodu a (defiujeme f (0 (x f(x Poud existuje oečá limita azýváme ji tou derivací fuce f(x v bodě a f ( f ( 1 (x f ( 1 (a (a lim, (1 x a x a S tou derivací fuce f(x v bodě a souvisí tý difereciál fuce f(x v bodě a Je to vlastě fuce proměé h dx stupě Defiice Necht má fuce f(x v bodě a tou derivaci f ( (a Pa fuci d f(a; h f ( (a h ( ebo d f f ( (a dx (2 proměé h (ebo dx, azýváme tý difereciál fuce f(x v bodě a Ze vztahem (2 souvisí začeí pro tou derivaci f ( (a d f dx (a Pro fuci jedé reálé proměé jsou pojmy tý difereciál a tá derivace v podstatě totožé a protože difereciály počítáme pomocí derivací, mohlo by se zdát, že derivace 1
je důležitější pojem ež difereciál Ale pro fuce více proměých už ta jedoduchá souvislost mezi difereciály a derivacemi eí Záladem je ahrazeí fuce polyomy a to se dělá pomocí difereciálů Proto je pojem difereciálu fuce v matematice důležitější ež pojem derivace, teré slouží pouze výpočtu difereciálů (poud existují Defiice Jestliže existuje -tá derivace fuce f(x v aždém bodě x M, azýváme fuci f ( (x tou derivací fuce f(x a možiě M Z předchozí předášy víme, že poud má fuce f(x a možiě M derivaci, je a možiě M spojitá Z toho plye ásledující věta: Věta Má-li fuce f(x a možiě M tou derivaci, jsou a M spojité všechy derivace f ( (x, de 0, 1,, 1 Defiice Řeeme, že fuce f(x je třídy C (M, jestliže má a M spojitou tou derivaci Má-li derivace f(x a možiě M spojité všechy derivace f ( (x, de N, říáme, že fuce f(x je třídy C (M (čte se třídy C eoečo Z předchozí věty plye C 0 (M C 1 (M C 2 (M C (M C (M Nědy je užitečý vztah pro tou derivaci součiu dvou fucí Věta (Leibizovo pravidlo Jestliže mají fuce f(x a g(x tou derivaci, platí ( f(x g(x f ( (x g ( (x (3 Pozameejme, že vztah (3 je podobý tzv biomicé větě (a + b a b, 0! de je tzv biomicý oeficiet! (! 0 Důaz: Tvrzeí doážeme iducí Pro 1 je (3 vztah pro derivaci součiu (fg f g + fg Necht (3 platí pro Derivací tohoto vztahu dostaeme (+1 ( (fg ( fg f (+1 g ( + f ( g ( +1 0 0 ( f (+1 g + 1 f (+1 g ( + fg (+1 + 0 0 1 ( f (+1 g + fg (+1 + f ( g ( +1 + 1 1 1 ( f (+1 g + fg (+1 + + f ( g ( +1 1 1 2 f ( g ( +1 f ( g ( +1
A protože + 1! ( 1! ( + 1! +! ( + 1 ( + 1!! ( + 1!! (!! + + 1! ( + 1!, je (+1 fg f (+1 g + fg (+1 + 1 ( + 1 f ( g ( +1 +1 0 ( + 1 f ( g ( +1 Přílad: Necht je f(x x si x Najděte f (77 (x Řešeí: Protože x 1 a x ( 0 pro 2, je podle Leibizova vzorce (3 (77 77 77 x si x x (( si x (77 (77 (76 x(si x + 77(si x 0 A protože (si x (76 si x a (si x (77 ( si x cos x je ( x si x (77 x cos x + 77 si x Nyí budeme řešit ásledující úlohu: Je dáa fuce f(x, terá má -tou derivaci a bod a Najděte polyom stupě P (x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + + c (x a c (x a, (4 terý má v bodě a stejých prvích derivací jao fuce f(x, tj pro aždé 0, 1,, platí P ( (a f ( (a Když do (4 dosadíme x a, dostaeme z podmíy P (a f(a vztah c 0 f(a Když derivujeme P (x dostaeme P (x c 1 + 2c 2 (x a + 3c 3 (x a 2 + + c (x a 1 c (x a 1 a podmía P (a f (a dává c 1 f (a Druhá derivace polyomu P (x je P (x 2c 2 + 6c 3 (x a + + ( 1c (x a 2 ( 1(x a 2 a z podmíy P (a f (a plye 2c 2 f (a, tj c 2 1 2 f (a Pro r tou derivaci polyomu P (x zísáme P (r (x ( 1 ( r + 1c (x a r! ( r! (x a r r 3 r 2 0 1
Jestliže do tohoto vztahu dosadíme x a, jsou ulové všechy čley součtu s výjimou čleu, de r Z podmíy P (r (a f (r (a dostaeme r!c r f (r (a c r f (r (a r! Defiice Necht má fuce f(x v bodě a tou derivaci Pa polyom tého stupě T (x; a f(a+ f (a 1! (x a+ f (a 2! (x a 2 + + f ( (a! (x a azýváme Taylorův polyom stupě fuce f(x se středem v bodě a Pomocí difereciálů (2 lze zapsat Taylorův polyom ve tvaru T (a + h; a terý platí i pro fuce více proměých 0 1! d f(a; h, 0 f ( (a! (x a Taylorovým polyomem aproximujeme fuci f(x v oolí bodu x a Poud ahradíme fuci f(x Taylorovým polyomem (5 uděláme chybu (5 R (x; a f(x T (x; a (6 Výraz (6 se azývá zbyte v Taylorově polyomu stupě fuce f(x se středem v bodě a Je důležité aspoň odhadout veliost tohoto zbytu, tj chybu, teré se dopustíme, dyž ahradíme fuci f(x Taylorovým polyomem Věta Necht má fuce f(x a itervalu a, b spojité derivace až do řádu včetě Necht je x (a, b a f(x f(a + f (a 1! Pa pro zbyte R (x; a platí (x a + f (a 2! (x a 2 + + f ( (a! R (x; a lim x a + (x a 0 Podobě lze tvrzeí modifiovat pro iterval b, a Důaz: Máme ajít limitu f(x T (x, a lim x a + (x a (x a + R (x; a To je limita typu 0 Předpolady věty zaručují, že a teto výraz lze rát použít 0 l Hospitalovo pravidlo Ta dostaeme f(x T (x, a f (x T lim lim (x, a x a + (x a x a + (x a 1 lim x a + f ( (x f ( (a! f ( (x T ( (x, a lim x a +! 0, 4
protože jsme předpoládali, že tá derivace fuce f(x je spojitá Když budeme předpoládat, že fuce f(x má avíc a itervalu a, b derivaci řádu ( + 1, existuje pro zbyte R (x; a ěoli vyjádřeí Uvedeme pouze tzv Lagrageův tvar zbytu, terý má soro stejý tvar jao ( + 1 í čle Taylorova polyomu Věta Jestliže a itervalu a, b existuje f (+1 (x, pa pro aždé x (a, b existuje c (a, x taové, že R (x; a f (+1 (c ( + 1! (x a+1 (7 Přílad: Najděte Taylorův polyom stupě pro fuci f(x e x se středem v bodě a 0 a odhaděte zbyte Řešeí: Protože pro aždé je f ( (x e x, je f ( (0 1 a Taylorův polyom stupě je podle (5 T (x; 0 1 + x 1! + x2 2! + + x! x! Pro zbyte R (x; 0 dostaeme z (7 R (x; 0 e c ( + 1! x+1, de pro x > 0 je c (0, x a pro x < 0 je c (x, 0 Necht je yí x > 0 pevé Protože pro c (0, x je e c < e x, dostaeme R (x; 0 0 e c e x ( + 1! x+1 < ( + 1! x+1 Z toho plye, že aždé x > 0 je lim R (x; 0 0 a ( e x lim T (x; 0 + R (x; 0 lim x! + lim R (x; 0 x! Podobě pro x < 0 je c (x, 0 a dostaeme e c < 1 Proto i pro x < 0 je lim R (x; 0 0 Z toho plye, že pro aždé x R je 0 0 e x x! (8 0 Teto vztah lze použít pro defiici e x i poud je x omplexí číslo Speciálě pro ix, de x R, dostaeme e ix i! x 0 0 ( 1 (2! x2 + i 0 Podobým způsobem lze uázat, že pro aždé x R je ( 1 (2 + 1! x2+1 cos x 0 ( 1 (2! x2, si x ( 1 (2 + 1! x2+1 0 5
Když srováme posledí tři vztahy, dostaeme tzv Eulerův vzorec Z ěj apřílad plyou vztahy e ix cos x + i si x, x R cos x eix + e ix 2, si x eix e ix 2i Přílad: Najděte Taylorův polyom stupě pro fuci f(x l(1 + x se středem v bodě a 0 a odhaděte zbyte Řešeí: Fuce f(x defiováa pro x > 1 Proto budeme předpoládat, že x > 1 Iducí se sado uáže, že pro aždé 1 je f ( (x ( 1 1 ( 1! (1 + x Pro oeficiety v Taylorově polyomu pa dostaeme c 0 l 1 0, c f ( (0! ( 1 1, 1 Tedy Taylorův polyom stupě pro fuci f(x l(1 + x se středem v bodě a 0 je Z (7 dostaeme pro zbyte T (x; 0 ( 1 1 x 1 R (x; 0 ( 1 + 1 x +1 (1 + c +1, de c (0, x pro x > 0 a c (x, 0 pro x ( 1, 0 Pro x > 0 platí erovost R (x; 0 x+1 + 1 a pro 1 < x < 0 je x +1 R (x; 0 ( + 1 ( 1 x +1 Protože pro x ( 1, 1 je lim R (x; 0 0, dostaeme pro tato x stejě jao předchozím příladě vztah l(1 + x ( 1 1 x Speciálě, pro x 1 dostaeme 1 l 2 ( 1 1 1 1 1 2 + 1 3 1 4 + 6
Ja jsme se již zmíili, ahrazujeme Taylorovým polyomem fuci f(x v jistém oolí bodu a Zajímavý je případ, dy je f ( (a 0 pro 1, 2,, 1 a f ( (a 0 Pa je Taylorův polyom stupě rove a pro fuci f(x platí T (x; a f(a + f ( (a! (x a f(x f(a + f ( (a! Speciálě, je-li a stacioárí bod fuce f(x, je f(x f(a + f (a 2 (x a + R (x; a (9 (x a 2 + R 2 (x; a Má-li fuce f(x v jistém oolí bodu a spojité druhé derivace, je R 2 (x, a lim x a (x a 0 2 Proto apřílad ε 1 4 f (a > 0 existuje δ > 0 taové, že pro aždé x, 0 < x a < δ, má výraz 1 f (a(x a 2 + R 2 2 (x; a stejé zaméo jao f (a Je-li f (a > 0 je pro taová x f(x f(a f (a (x a 2 + R 2 (x; a > 0 2 a fuce f(x má v bodě a loálí miimum Naopa je-li f (a < 0, je f(x f(a < 0, tedy fuce f(x má v bodě a loálí maximum Doázali jsme tedy ásledující větu Věta Necht má fuce f(x v jistém oolí bodu a druhou derivaci, terá je spojitá v bodě a a f (a 0 Pa platí: 1 Je-li f (a > 0 má fuce f(x v bodě a loálí miimum 2 Je-li f (a < 0 má fuce f(x v bodě a loálí maximum Jestliže je ve stacioárím bodě f (a 0, můžeme o tom, zda má fuce f(x v bodě a loálí extrém rozhodout pomocí prví eulové derivace fuce f(x v bodě a Je-li tato derivace lichého řádu, tj je-li f ( (a 0 pro 1,, 2 a f (2+1 (a 0, emá fuce f(x v bodě a loálí extrém, protože prví eulový čle má vlevo a vpravo od bodu a růzá zaméa Je-li tato derivace sudého řádu, tj je-li f ( (a 0 pro 1,, 2 1 a f (2 (a 0, má fuce f(x v bodě a loálí extrém; je-li f (2 (a > 0 je v bodě a loálí miimum a je-li f (2 (a < 0 je v bodě a loálí maximum Existují eulové fuce, teré mají derivace všech řádů a pro teré je f ( (a 0 pro aždé N Příladem taové fuce je f(x e 1/x2 pro x 0 a f(0 0 Tato fuce má všechy derivace v bodě x 0 rovy ule, a tedy její Taylorův polyom libovolého stupě je rove ule Pro taové fuce je lim R (x; a 0 pro aždé x a Zajímavější 7
jsou fuce, pro teré existuje oolí bodu a taové, že pro aždé x z tohoto oolí je lim R (x; a 0 Tyto fuce lze v oolí bodu a vyjádřit pomocí eoečé řady, tzv Taylorovy řady, jao f(x c (x a, de c f ( (a! 0 Taové fuce se azývají aalyticé v bodě a a budeme se jimi zabývat později Podobě jao prví derivace rozhodovaly o tom, zda fuce a itervalu roste ebo lesá, rozhodují druhé derivace o tom, zda a itervalu roste ebo lesá prví derivace, tj směrice tečy To byla právě vlastost ovexích a oávích fucí Proto by emělo být příliš převapující, že platí ásledující věta Věta Necht má fuce a itervalu I druhou derivaci 1 Je-li f (x > 0 pro aždé x I, je fuce f(x a itervalu I ovexí 2 Je-li f (x < 0 pro aždé x I, je fuce f(x a itervalu I oáví Důaz: Necht jsou x 1, x 2, x 3 I a platí x 1 < x 2 < x 3 Z Lagrageovy věty plye, že existují c 1 (x 1, x 2 a c 2 (x 2, x 3 taová, že f(x 2 f(x 1 x 2 x 1 f (c 1 a f(x 3 f(x 2 x 3 x 2 f (c 2 Předpoládejme, že je a itervalu I druhá derivace f (x > 0 Pa je prví derivace f (x a itervalu I rostoucí fuce a protože c 1 < c 2 je f (c 1 < f (c 2, tj f(x 2 f(x 1 x 2 x 1 < f(x 3 f(x 2 x 3 x 2 To ale zameá, že je fuce f(x a itervalu I ovexí Důaz pro f (x < 0 je obdobý Má-li fuce f(x a itervalu I druhou derivaci, mohou být iflexí body pouze body, ve terých je f (x 0 O tom, zda je bod a, ve terém je f (a 0 iflexí bod, rozhodeme bud pomocí chováí fuce f(x v oolí bodu a ebo pomocí vyšších derivací jao v případě stacioárích bodů Napřílad je-li v bodě f (a 0 a f (a 0, má fuce f(x v bodě a iflexí bod 8