Exponenciální funkce (daná předpisem Exponenciální a logaritmická funkce a jejich vlastnosti x y a, kde x R, a R 1 libovolné reálné číslo x a nabývá pouze kladných hodnot ( H f R ) je definovaná pro ). Je to monotónní funkce, to znamená, že buď pořád roste, je-li základ a > 1, nebo pořád klesá, je-li základ a 0;1. Logaritmická funkce (daná předpisem y log a x, kde x R, a R 1 ) je definovaná pro libovolné kladné reálné číslo x a nabývá všech hodnot ( H f R ). Je to monotónní funkce, to znamená, že na celém svém definičním oboru buď pořád roste, je-li základ a > 1, a 0;1. nebo pořád klesá, je-li základ Příklad 1) x 3 Určete všechny hodnoty parametru m, pro které je daná funkce y rostoucí. 2m 1 3 Jedná se o exponenciální funkci se základem a. Jak již bylo řečeno, exponenciální 2 m 1 funkce roste právě tehdy, když její základ je větší než 1. Sestavím tedy příslušnou nerovnici. 3 1 2m 1 Má-li být zlomek vlevo větší než 1, musí být jeho jmenovatel kladný a menší než 3. To je logické. 0 < 2m 1 < 3 Toto jsou dvě nerovnice, ale vyřeším je obě najednou. Nejdřív přičtu všude jedničku. 1 < 2m < 4 Vydělím všechno dvěma. 0,5 < m < 2 A zapíšu jako interval. 1 m ; 2 Toť vše. 2 Pozn. V příkladu se vyskytl lomený výraz. Pozorný čtenář však jistě postřehl, že podmínka m 0,5 (plynoucí z nerovnosti 2m 1 0) je obsažena v druhé nerovnosti. Pozn. Podobných příkladů si můžete vymyslet celou hromadu. Výsledek lze jednoduše ověřit pomocí programu MATMAT. 3 ZK: Chci ověřit svůj výsledek nerovnice 1. Zadám do MATMATu obě strany 2m 1 nerovnice (proměnnou však nutno přepsat na x!!) a mám bez práce grafické řešení této nerovnice.
Levá strana nerovnice se vykreslí jako hyperbola, pravá strana se vykreslí jako přímka rovnoběžná s osou x (tedy m). Hledám všechna m, pro která je hyperbola nad přímkou. To je evidentně interval 0,5; 2.
Příklad 2) Určete všechny hodnoty parametru a, pro které je daná funkce y 2a 7 x klesající. Jedná se o exponenciální funkci se základem 2a + 7. Má-li být exponenciální funkce klesající, musí mít základ z intervalu 0 ;1. Sestavím soustavu nerovnic. 0 < 2a + 7 < 1 Zase to vezmu jedním vrzem. Nejdřív odečtu sedmičku. 7 < 2a < 6 Vydělím dvěma. 3,5 < a < 3 A zapíšu jako interval. 7 a ; 3 Fertig. 2 ZK: Tentokrát naházím do MATMATu tři funkce: y = 0, y = 2x + 7, y = 1. Zajímá mne, pro která x (tedy a) bude ta prostřední nad nulou (osou x) a současně pod jedničkou. Na obrázku myslím docela názorné.
Příklad 3) Určete všechny hodnoty parametru a, pro které je daná funkce log x klesající. y 4a 3 Jedná se o logaritmickou funkci se základem 4a 3. Má-li být logaritmická funkce klesající, musí mít logaritmus základ z intervalu 0 ;1. Sestavím soustavu nerovnic. 0 < 4a 3 < 1 Zase to vezmu jedním vrzem. Nejdřív přičtu trojku. 3 < 4a < 4 Vydělím čtyřmi. 0,75 < a < 1 A zapíšu jako interval. 3 a ; 1 Done. 4 ZK:
Příklad 4) Určete definiční obor funkce x 3 y log 2. 2 4 Logaritmická funkce je (na rozdíl od exponenciální funkce) definována pouze pro kladná čísla. Závorku tedy položím větší než nula. x 3 0 2 4 x 3 2 4 3 3 x x ; Hotovo. 2 2 Zkoušku provedu v programu MATMAT vykreslením grafu funkce x 3 y log 2. 2 4
Příklad 5) Určete definiční obor funkce 1 x y log 5. 2x 6 Závorku položím větší než nula. 1 x 2x 6 0 plus mínus Zlomek je kladný, je-li nebo. Začnu těmi plusy. plus mínus 1 x > 0 a současně 2x + 6 > 0 To je jednoduchá soustava nerovnic. Vyřeším každou zvlášť a pak určím průnik dílčích intervalů (výsledků jednotlivých nerovnic). 1 > x a současně 2x > 6 Slovní spojení a současně se v matematice značí symbolem (který by měl trochu evokovat symbol pro průnik ). x < 1 x > 3 x ; 1 x 3; x ; 1 3; x 3;1 Fajn. Teď vyřeším ty mínusy. 1 x < 0 2x + 6 < 0... bla bla bla, už mě to nebaví... x 1 ; x ; 3 1 ; ; 3 x Závěr: Definiční obor funkce 1 x log 5 2x 6 y je interval 3; 1. Pozn. Všimněte si, že při určování definičního oboru logaritmické funkce mě vůbec nezajímá základ logaritmu. mínus Pozn. Kdyby mi v části vyšel místo prázdné množiny také nějaký interval (nechme teď mínus stranou polemiku, zda je to možné či nikoli), musel bych ho sjednotit s intervalem 3; 1. Takhle ovšem nebylo co sjednocovat. Zkouška je na následující straně.
1 x Pozn. Zadání funkce y log 5 do MATMATu provádím následujícím způsobem: 2x 6 log 5 ((1-x)/(2*x+6)) log Dvojité závorky jsou nutné, jinak dostanete graf funkce 5 1 x y. 2x 6