10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo sčítáí se použije ásobeí, a místo děleí odmocia. Takže geometrický průměr prostý z čísel x 1, x až x vypočteme takto: G xi x 1. x..... x i1 Symbol velkého pí zameá souči jedotlivých hodot x i, kde idex i probíhá od hodoty 1 do hodoty. Geometrický průměr vážeý vziká v případě, když se ěkterá hodota opakuje. Pokud se apříklad ěkterá hodota opakuje dvakrát, pak místo součiu dvou hodot lze umocit tuto hodotu a druhou. Příklad 10.1 Obchodík staovil ceu výrobku (kapesí kalkulačky) a hodotu h = 100 Kč. Pak ceu zvýšil o 10 %, tj. a 110 %, eboli 1,1. Neboli koeficiet růstu čili idex řetězový je 1,1. Po ějaké době ceu zvýšil zovu o 0 % z již zvýšeé cey, tj. a 10 %, eboli 1,. Neboli koeficiet růstu čili idex řetězový je 1,. Jaký je průměrý koeficiet růstu eboli průměrý idex řetězový? Řešeí: Po prvím zdražeí byla cea výrobku: 100 Kč 1,1 = 110 Kč Po druhém zdražeí byla cea výrobku:

Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 110 Kč 1, = 13 Kč což lze vypočítat také jako: 100 Kč 1,1 1, = 100 Kč 1,3 = 13 Kč Jaký je průměrý koeficiet růstu eboli průměrý idex řetězový? Aritmetický průměr koeficietů růstu by byl: x x. 1 x 1,1 1, 1,15 Geometrický průměr koeficietů růstu by byl: G i1 x i x. x 1,1.1, 1 1,3 1,1489 Jaký použijeme průměr pro staoveí průměrého koeficietu růstu? Uvědomíme si, že když platí: 1,3 1,1489 pak po umocěí druhou mociou platí též: 1,3 1,1489 Co to zameá? Že kdyby se cea dvakrát zvýšila právě 1,1489, tak by výsledá cea byla a stejé hodotě 13 Kč, eboť: 100 Kč 1,1489 1,1489 = 100 Kč 1,3 = 13 Kč Geometrický průměr lze použít ke staoveí průměrého koeficietu růstu eboli průměrého idexu řetězového a počítá se podle vztahu:

Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 3 G xi x 1. x..... x i1 Hodoty x 1, x až x jsou jedotlivé koeficiety růstu eboli jedotlivé idexy řetězové. Příklad 10.1: Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy základí, řetězové a tempo přírůstku v příkladu 7.1 jsme počítali idex základí, idex řetězový a tempo přírůstku, které jsou je uvedeé v tabulce 10.10. Připomíáme, že idex řetězový v tomto příkladě porovává, a kolik procet se změila sklizeň obilovi v každém roce vždy oproti předchozímu roku. a) Vypočteme průměrou ročí výrobu obilovi a formulujeme odpověď. b) Vypočítáme průměrý idex řetězový. c) Pro průměrý idex řetězový formulujeme odpovědi typu a kolik %, o kolik % a kolikrát. d) Do tabulky 10.10 doplíme, jaká by byla v uvedeých letech výroba obilovi, kdyby se vyvíjela podle průměrého idexu řetězového. Vypočteme odhad a rok 01. e) Formulujeme odpověď pro výrobu obilovi v roce 01. Tabulka 10.10: Sklizeň obilovi v ČR Ukazatel Rok 006 007 008 009 010 011 01 Výroba v mil. tu 6,4 7,1 8,4 7,8 6,9 8, x Idex základí v % 100,0 110,9 131,3 11,9 107,8 18,1 x Idex základí 1,000 1,109 1,313 1,19 1,078 1,81 x Idex řetězový v % x 110,9 118,3 9,9 88,5 118,8 x Idex řetězový x 1,109 1,183 0,99 0,885 1,188 x Tempo přírůstku v % x 10,9 18,3-7,1-11,5 18,8 x Tempo přírůstku x 0,109 0,183-0,071-0,115 0,188 x Výroba dle průměrého idexu řetězového Řešeí: Ad a) Vypočteme průměrou ročí výrobu obilovi a formulujeme odpověď.

Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 4 Výpočet prostého aritmetického průměru: sečteme hodoty číselých statistických zaků souboru x 1, x,... x a výsledek vydělíme počtem prvků souboru Aritmetický průměr prostý x z číselých statistických zaků se tedy počítá podle vztahu: x xi 1 x1 x... x i U ás: Hodoty x 1, x,... x jsou výroby obilovi v jedotlivých letech, počet let = 6. Vztah má v ašem příkladě tvar: 6 xi i x x1 x x3 x4 x5 x6 6,4 7,1 8,4 7,8 6,9 8, 6 6 1 7,47 mil. t V období 006 až 011 byla průměrá ročí výroba obilovi 7,47 mil. tu. Výpočet v Excelu je =PRŮMĚR(B19:G19) Ad b) Vypočítáme průměrý idex řetězový. Víme, že idex řetězový jako poměré číslo v ašem případě říká, kolikrát se změila sklizeň obilovi v každém roce vždy oproti předchozímu roku. Průměrý idex řetězový jako poměré číslo bude říkat, kolikrát se průměrě změila sklizeň obilovi v každém roce oproti miulému roku. Geometrický průměr lze použít ke staoveí průměrého koeficietu růstu eboli průměrého idexu řetězového a počítá se podle vztahu:

Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 5 G xi x 1. x..... x i1 Hodoty x 1, x,... x jsou jedotlivé idexy řetězové ve tvaru poměrého čísla. Povšiměme si, že idexů řetězových je pouze 5, tj. o jedo méě, ež je hodot výrob obilovi! Průměrý idex řetězový se počítá v ašem případě podle vztahu: G 5 5 x 5 i i1 x. x. x. x. x 1 3 4 5 5 G 5 1,109.1,183.0,99.0,885.1,188 1,81 1,0508 Pozámka: Všiměme si, že souči idexů řetězových je rove idexu základímu v posledím uvedeém roce, u ás 1,109.1,183.0,99.0,885.1,188 = 1,81. To eí áhoda, to je zákoité. Dokázali byste odvodit, proč tomu tak je? V Excelu lze průměrý idex řetězový G vypočítat ěkolika způsoby: i) Pomocí součiu idexů řetězových a odmociy. Pátá odmocia je realizováa jako mocia (1/5). =(1,109*1,183*0,99*0,885*1,188)^(1/5) Kvůli vyšší přesosti je lepší abrat idexy řetězové jako buňky, apříklad: =(C3*D3*E3*F3*G3)^(1/5) Zak mociy se tvoří pomocí ^, který se a české klávesici udělá pomocí trojkombiace pravé Alt + š + mezerík. Místo součiu idexů řetězových lze dosadit rovou idex řetězový v posledím uvedeém období, tj. koeficiet 1,81. ii) Pomocí fukce POWER, kde v argumetu je součiu idexů řetězových a mocia 1/5.

Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 6 =POWER(1,109*1,183*0,99*0,885*1,188;1/5) Kvůli vyšší přesosti je lepší ačíst idexy řetězové jako buňky, apříklad: =POWER(C3*D3*E3*F3*G3;1/5) iii) Pomocí fukce GEOMEAN: =GEOMEAN(C3:G3) Za argumet fukce uto abrat oblast tabulky C3 až G3, kde jsou umístěé jedotlivé idexy řetězové ve tvaru poměrého čísla. Ve všech případech vyjde průměrý idex řetězový 1,0508. Ad c) Pro průměrý idex řetězový formulujeme odpovědi typu a kolik %, o kolik % a kolikrát. Průměrý idex řetězový je přibližě 1,0508, což zameá: V období 006 až 011 rostla výroba obilovi v ČR každý rok průměrě 1,0508 oproti miulému roku, eboli výroba rostla a 105,08 %, čili rostla o 5,08 %. Uvědomíme si: Číslo 105,08 % je průměrý idex řetězový vyjádřeý v procetech. Číslo 5,08 % je průměré tempo přírůstku vyjádřeé v procetech. Ad d) Do tabulky 10.10 doplíme, jaká by byla v uvedeých letech výroba obilovi, kdyby se vyvíjela podle průměrého idexu řetězového. Vypočteme odhad a rok 01. Postup: Je uté se ukotvit do ějaké hodoty. Proto v roce 006 opíšeme hodotu výroby obilovi podle skutečosti, tj. 6,4 mil. t. Hodota výroby v roce 007 podle průměrého idexu řetězového, tj. kdyby stoupala 1,0508 oproti miulému roku, se spočítá: 6,40 mil. t 1,0508 = 6,73 mil. t

Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 7 V Excelu se vzorec apíše tak, že v řádku Výroba dle průměrého idexu řetězového a ve sloupci rok 007 abereme buňku a stejém řádku vlevo a ásobíme buňkou, ve které je vypočte průměrý idex řetězový: =B4*$B14 Hodota výroby v roce 008, kdyby stoupala 1,0508 oproti miulému roku, se spočítá: 6,73 mil. t 1,0508 = 6,4 mil. t 1,0508 = 7,07 mil. t V Excelu se vzorec apíše tak, že v řádku Výroba dle průměrého idexu řetězového ve sloupci rok 008 abereme buňku a stejém řádku vlevo a ásobíme buňkou, ve které je vypočte průměrý idex řetězový. =C4*$B14 Je zřejmé že, teto vzorec můžeme zkopírovat do koce tabulky doprava. Hodota výroby v roce 009, kdyby stoupala 1,0508 oproti miulému roku, se spočítá: 7,07 mil. t 1,0508 = 6,4 mil. t 1,0508 3 = 7,43 mil. t Hodota výroby v roce 010, kdyby stoupala 1,0508 oproti miulému roku, se spočítá: 7,43 mil. t 1,0508 = 6,4 mil. t 1,0508 4 = 7,80 mil. t Hodota výroby v roce 011, kdyby stoupala 1,0508 oproti miulému roku, se spočítá: 7,80 mil. t 1,0508 = 6,4 mil. t 1,0508 5 = 8,0 mil. t Hodota výroby v roce 011 počítaá podle průměrého idexu řetězového musí odpovídat (a také odpovídá) skutečé výrobě 8, mil. t. Lze dokoce spočítat odhad výroby obilovi za další roky 01 i 013 (odhad a více ež roky dopředu již je epřesý): Hodota výroby v roce 01, kdyby stoupala 1,0508 oproti miulému roku, se spočítá: 8, mil. t 1,0508 = 6,4 mil. t 1,0508 6 = 8,6 mil. t

Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 8 Hodota výroby v roce 013, kdyby stoupala 1,0508 oproti miulému roku, se spočítá: 8,6 mil. t 1,0508 = 6,4 mil. t 1,0508 7 = 9,05 mil. t Uvědomíme si: To, že podle průměrého idexu řetězového ročí výroba obilovi roste průměrě o 5,08 %, ezameá stejý přírůstek výroby. o Jde o árůst o 5,08 % z hodoty vždy vyšší. o Tím, že průměrý idex řetězový je větší ež 1, základ 100 % je stále vyšší číslo. o Ročí výroba podle průměrého idexu řetězového stoupá podle geometrické řady s kvocietem q > 1 (u ás q = 1,0508, expoeciálí árůst). Kdyby podle průměrého idexu řetězového sledovaá veličia klesala, o průměrý idex řetězový by byl meší ež 1, základ 100 % by se stále sižoval. o Veličia podle průměrého idexu řetězového by klesala podle geometrické řady s kvocietem q < 1 (expoeciálí pokles). Vyplěá tabulka 10.10, yí tabulka 10.11, vypadá takto: Tabulka 10.11: Sklizeň obilovi v ČR Ukazatel Rok 006 007 008 009 010 011 01 Výroba v mil. tu 6,4 7,1 8,4 7,8 6,9 8, x Idex základí v % 100,0 110,9 131,3 11,9 107,8 18,1 x Idex základí 1,000 1,109 1,313 1,19 1,078 1,81 x Idex řetězový v % x 110,9 118,3 9,9 88,5 118,8 x Idex řetězový x 1,109 1,183 0,99 0,885 1,188 x Tempo přírůstku v % x 10,9 18,3-7,1-11,5 18,8 x Tempo přírůstku x 0,109 0,183-0,071-0,115 0,188 x Výroba dle průměrého idexu řetězového 6,40 6,73 7,07 7,43 7,80 8,0 8,6 Ad e) Formulujeme odpověď pro odhad výroby obilovi v roce 01.

Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 9 V roce 01 je odhad výroby obilovi v ČR asi 8,6 mil. t. Úkol 10.8: Z výsledovek firmy DURA Blatá jsme do tabulky 10.1 vypsali časovou řadu obratů. a) Pamatujete si z ekoomiky, co je to obrat? Jak se liší od tržby? b) Idex základí. Porovejme, a kolik procet se změil obrat v úoru, březu, dubu až květu 01 oproti obratu v prvím uvedeém měsíci ledu 01. V jakém měsíci byl ejvyšší obrat a v jakém měsíci byl ejižší obrat? c) Idex řetězový. Porovejme, a kolik procet se změil obrat v úoru, březu, dubu až květu 01 oproti obratu v předchozím měsíci? V jakém měsíci byl ejvyšší meziměsíčí árůst obratu a v jakém měsíci ejvyšší meziměsíčí pokles obratu? d) Tempo přírůstku. Porovejme, o kolik procet se změil obrat v každém měsíci vždy oproti předchozímu měsíci. e) Pro posledí měsíc květe 01 formulujme odpověď typu a kolik %, o kolik % a kolikrát pro idex základí a řetězový. f) Vypočteme průměrý měsíčí obrat za měsíce lede až květe a formulujeme odpověď. g) Vypočítáme průměrý idex řetězový obratu. h) Pro průměrý idex řetězový formulujeme odpověď typu a kolik %, o kolik % a kolikrát. i) Do tabulky 10.1 doplíme, jaká by byl v uvedeých měsících obrat, kdyby se vyvíjel podle průměrého idexu řetězového. Vypočteme odhad a červe 01. j) Formulujeme odpověď pro obrat v červu 01. Tab. 10.1: Časový vývoj měsíčích obratů fi DURA Blatá za lede až květe 01 Ukazatel Měsíc 1 3 4 5 6 Obrat v mil. Kč 00 180 00 340 300 Idex základí v % Idex základí Idex řetězový v % Idex řetězový Tempo přírůstku v % Tempo přírůstku Obrat podle průměrého idexu řetězového

Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 10 PŘÍKLADY V EXCELU Propočítejte si příklady: 6GeometrickyPrumerNeresee.xlsx zde je eřešeý příklad. 6GeometrickyPrumerResee.xlsx zde je te samý příklad řešeý. 6GeometrickyPrumerUkol.xlsx zde je ový eřešeý příklad. OPAKOVACÍ OTÁZKY 1. Jaký je vzorec pro výpočet prostého aritmetického průměru?. Jaký je vzorec pro výpočet geometrického průměru? 3. V jakém případě se v ekoomické praxi setkáme s výpočtem geometrického průměru? 4. Jak lze v časové řadě pomocí geometrického průměru staovit odhad veličiy do budouca? 5. Pokud ekoomická veličia v časové řadě stoupá (ebo klesá) podle průměrého idexu řetězového, jsou hodoty součástí aritmetické řady, aebo geometrické řady? 6. Jak souvisí průměrý idex řetězový veličiy s parametrem (kvocietem) geometrické řady q?