. Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 0 František Mráz Ústav technické matematiky, Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz I. Mocniny, odmocniny, algeraické výrazy Upravte (zjednodušte), případně určete číselnou hodnotu. U výrazů udejte, kdy mají smysl. 4 0. 4n ( n )( n 4 ). (( ) ) 6. 4 4 a 4a a + 4. y : y. 6. a 7. m [6m (n + 4m)] + 4n. 4y ( y 6) (7 + y) 9. ( + ) ( + + 4) 0. 4n (n ) ( + 4y y.. 9 + ) : (. (p + q) : p + ) ( 4. q ) ( ) + 6 yz + 6 6 6 64. 6 6. z 7. y +. + 6 Výsledky kapitoly I 4 4. 4n 9 0 4 y a +. 64. 4. a, ay 0. a, 0, a 0 6., 0, 7. 6m + 6n. 7y 9. 4 0. n 9.., 0, ±,. pq, p 0, q 0, p + q 0 4.. 6. 4z, yz 0 7. 6, ±, 4,,, 6. 0, (zkouška z př. ) II. Rovnice lineární, kvadratické, kuické, s asolutní hodnotou Řešte dané rovnice a proved te zkoušku. 9. (4 ) 6( ) = 7 0. y +. 0 y 4 =.. + u = u u 4 Řešte dané rovnice a proved te zkoušku: t t + = t t + 6 ( ) = + 7 4. 7 + =. + = 0 6. ( + )( ) = 0 7. ( λ) + 4 = 0. 4 + = 0 9. ( + 6) = 0 0. ( λ)( + λ) 4 = 0. ( λ)( λ) + = 0. ( + ) ( + + 9) = 0 Výsledky kapitoly II 9. = 0. Nemá řešení. y = 0. R. Nemá řešení, neot 4 / D 4. =, = 4. = 0, = 6. =, = 7. λ, = ± i. = 0,, = ± i 9. = 0. λ, = ±. λ, = ±i., = ±
III. Funkce Předpokládá se znalost definičních oorů, grafů a základních vlastností elementárních funkcí ( funkce mocninná, lineární, kvadratická, asolutní hodnota, lineární lomená, odmocnina, eponenciální, logaritmická, goniometrické) Určete definiční oor dané funkce y = f():. y = 4. y = 4 7 +. y = 7. y = + 6. y = 4 + 4. y = 9. y = + 40. y = 4. y = e 00 7 4. y = ( + ) e / 4. y = 44. y = sin 4. y = ln ( ) 46. y = ln ( + + ) 47. y = ln Určete hodnoty logaritmické funkce: 4. ln 49. ln 0 0. ln e. ln e. ln. ln( ) Určete logaritmus daného výrazu při daném základu z 4. V = π r v, z =. y =, z = 4 6. T = π 4 Určete výraz V, je-li dán jeho logaritmus e l g, z = e 7. y =. ln V = ln 4 ln + ln π + ln r 9. log V = log + (n + ) log y a y, z = a 60. log a V = 4 log a( + ) log a y 6. log V = log ( ) + log ( + ) log ( 4) Výsledky kapitoly III. R 4. R. R {0} 6. R 7. R {, }. (, / 9. (, + ) 40. (, + ) 4. R 4. R {0} 4., 44. sjednocení intervalů kπ, π + kπ, k Z 4. (, ) (, + ) 46. R 47. (0, ) (, + ) 4. 0 49. není definován 0.. /.. není definován 4. log V = log π + log r + log v log. log 4 y = log 4 6. ln T = ln + ln π + (ln l ln ln g) 7. log a y = log a log a y. V = 4 πr 9. V = y n+ 60. V = 4 ( + ) /y 6. V = ( ) ( + ) ( 4) = + IV. Rovnice eponenciální, logaritmické, s odmocninami Řešte dané rovnice a proved te zkoušku. 6. = 6. = 6 64. = 6. 0 = 66. e = 4 e 67. = 6. = 7 69. +4 = 70. e + e 4 e = 0 7. ( ) e + e = 0 7. e + e ( ) = 0 7. ln = 0 74. ln = 7. ln = 76. ln + = 0 77. ln( ) = 7. ln( + ) = 0 79. ln = 0 0. + ln = 0. ln( ) = 0. = 0. + 4 = 4. = 0. + + + = 0
Výsledky kapitoly IV 6. = 4 6. = 64. nemá řešení 6. = 0 66. = 67. = 7/6 6. = 69. =, = 70. =, = 4 7. = 4 7. = 7. = 74. = e 7. = e 76. = e = /e 77. = e 4 7. = 0 79. = e 0. =. = ±. = 4. = 4, ( = nevyhovuje) e 4. = 0,, = ±. = 0, = / V. Nerovnice lineární, kvadratické, s asolutní hodnotou Řešte dané nerovnice: 6. 4 7. 4 < 4. > 0 9. 4 0 90. + 7 0 9. + < 0 9. + < 0 9. + > 0 94. < 9. < 0 96. + 97. < 9. + 99. < 0 00. + Výsledky kapitoly V 6. (, / 7. (, + ). (, + ) 9. (,, + ) 90. (, 4 /, + ) 9. ( /, 0) 9. 9. R 94. (, ) 9. 96., / 97. (, ) 9. (, 0 99. (, ) 00. (, /), + ) VI. Nerovnice eponenciální a logaritmické Řešte dané nerovnice: 0. 6 0. < 7 0. 04. e + e > 0 0. ln < 0 06. ln 07. ln( + 4) 0 0. ln + 0 Výsledky kapitoly VI 0. (, 4 0. (, + ) 0. (, 04. (, + ) 0. (0, ) 06. e, + ) 07. ( 4, 0. /e, + ) VII. Goniometrické funkce Upravte (zjednodušte) dané výrazy. Určete, pro jaká mají smysl. cos 09. 0. cotg + sin. + sin + cos Najděte řešení daných goniometrických rovnic: + tg + + cotg. sin sin = 0. cos sin = 4. sin = cotg Výsledky kapitoly VII 09. sin, π + kπ, k Z 0. sin, kπ, k Z., k π, k Z. = kπ, = π + kπ, k Z. = kπ, k Z 4. = π + kπ, = π 4 + k π, k Z
VIII. Komplení čísla (imaginární jednotka, algeraický tvar, goniometrický tvar, aritmetické operace, číslo kompleně sdružené, asolutní hodnota, Moivreova věta) Upravte, případně určete hodnotu:. i 6. i 4 7. i i 6. ( + 7i) i 9. ( + i)( 4i) 0. ( i). ( + i)( i). ( i)( + 4i) ( + i)( 4i) Určete asolutní hodnotu (velikost) kompleního čísla:. z = + 4i 4. z = 4 i. z = i 6. z = + i 7. z = + 6 6 + i. z = i 9. z = cos + i sin, R 4 4 Výsledky kapitoly VIII. i 6. 7. i +. i 7 9. + i 0. i.. 0i. z = 4. z =. z = 6. z = 7. z =. z = 9. z = IX. Analytická geometrie v rovině (ody, vektory, hlavně však přímky, kuželosečky a množiny v rovině ohraničené těmito křivkami) 0. Napište parametrický, oecný a směrnicový tvar rovnice přímky, která prochází ody A = [, ], B = [9, 4]. Načrtněte si orázek. Určete a načrtněte kuželosečky, které jsou dány následujícími rovnicemi.. = y. + y 4 + 4y + = 0. + y + 6y = 0 4. 4y 6 + y = 0 Načrtněte rovinný orazec D, který je omezen danými křivkami neo je zadán nerovnicemi:. + y, + y 0 6. y 0, y, y 7. + y =, y =. + y 4, y 0 Výsledky kapitoly IX 0. = + 4t, y = + t, t R; y = 0; y =. paraola, osa v ose, vrchol V = [, 0], otevřená doprava. elipsa S = [, ], a =, =. kružnice S = [0, ], r = 4. hyperola S = [, ], a = 4, =. rovnoramenný trojúhelník nad osou, souměrný podle osy y 6. křivočarý trojúhelník v prvním kvadrantu ohraničený dvěma úsečkami a částí paraoly 7. orazec ohraničen v prvním kvadrantu úsečkou a rovnoosou hyperolou. posunutý půlkruh v prvním kvadrantu, S = [, 0] Literatura: [] J. Černý a kolektiv: Matematika - přijímací zkoušky na ČVUT. Nakladatelství ČVUT Praha, 007 [] F.Jirásek a kol.: Sírka úloh z matematiky pro SOŠ. SPN, Praha 96 [] J.Neustupa: Matematika I. Skriptum Strojní fakulty. Nakladatelství ČVUT, Praha 0 (též starší vydání...) [4] L.Samková: Sírka příkladů z matematiky. Fak. architektury, Nakladatelství ČVUT, Praha 00 [] F.Vejsada, F.Talafous: Sírka úloh z matematiky pro SVVŠ. SPN, Praha 969
Základní vzorce (vztahy) pro úpravy výrazů a ( + c) = a c, a ( ± c) = a ± ac (a + ) = a + a +, (a ) = a a + (a + ) = a + a + a +, (a ) = a a + a a = (a )(a + ), a = (a )(a + a + ), a + = (a + )(a a + ) Vzorce pro počítání s mocninami a odmocninami (pokud mají uvedené výrazy smysl) ( a ) r a r a s = a r+s, a r : a s = a r s, (a r ) s = a rs, (a) r = a r r a r, = a r = /a r, a r/s = s a r r s a = rs a, r a = r a r, Základní vlastnosti logaritmů ( > 0, y > 0, základ a > 0, a ) log a y = log a + log a y, log a = log y a log a y, log a r = r log a log a = 0, log a a =, log a = ln ln a = log log a Goniometrické funkce (vyrané vztahy) tg = sin cos, π + k π, cotg = cos sin, k π Pro každé R platí: sin = sin cos, cos = cos sin sin + cos =, sin cos =, cos + cos = Aritmetická posloupnost je zadána rekurentním vztahem a n+ = a n + d, kde d je diference, n N, n- tý člen: a n = a + (n ) d, součet prvních n členů: s n = n (a + a n ) r r a r a = r Geometrická posloupnost je zadána rekurentním vztahem a n+ = a n q, kde q je kvocient, n N, n- tý člen: a n = a q n, součet prvních n členů: s n = a q n q Komplení čísla Imaginární jednotka i : i = z = a + i algeraický tvar kompleního čísla z, kde a, R z = a i z = a + z = z (cos α + i sin α) Moivreův vzorec: číslo kompleně sdružené s číslem z = a + i asolutní hodnota (velikost) kompleního čísla z = a + i goniometrický tvar kompleního čísla z (cos α + i sin α) n = cos nα + i sin nα Tvar rovnice přímky v rovině oecný a + y + c = 0; n = (a, ) je normálový (kolmý) vektor k přímce směrnicový y = k + q; k je směrnice, q je úsek na ose y vyt atý přímkou neo y y 0 = k( 0 ); k je směrnice, M = [ 0, y 0 ] je od přímky úsekový a + y =, kde a 0, 0 jsou úseky na osách, y parametrický X = A + t u, t R; A = [a, a ] je od, u = (u, u ) je směrový vektor