5..4 Kolmost přímek rovin II Předpokldy: 503 Př. 1: Zformuluj stereometrické věty nlogické k plnimetrické větě: ným bodem lze v rovině k dné přímce vést jedinou kolmici. Vět: ným bodem lze v prostoru k dné přímce vést jedinou kolmici. je nesprávná, kolmých přímek je nekonečně mnoho tvoří rovinu. můžeme zformulovt dvě věty: ným bodem lze v prostoru k dné přímce vést jedinou kolmou rovinu. ným bodem lze v prostoru k dné rovině vést jedinou kolmici. Pedgogická poznámk: Studenti budou určitě nejdříve nvrhovt větu: ným bodem lze v prostoru k dné přímce vést jedinou kolmici. Že je vět nesprávná můžeme pomocí tužek ukázt sndno. Pokud je čs, je možné diskusi směřovt k tomu, že kolmý směr, který hledáme, je vlstně zbytkem do počtu rozměrů. V dvojrozměrné rovině k přímce zbývl jediný směr, který se směrem přímky nemá nic společného (je n ní kolmý) proto bylo hledání kolmice dným bodem jednoznčné. V trojrozměrném prostoru zbývjí k přímce dv rozměry, které spolu se zdným bodem jednoznčně určují rovinu. Př. : Ve stndrdní krychli njdi: ) přímku kolmou n rovinu procházející bodem, b) rovinu kolmou n přímku procházející bodem. ) přímk kolmá n rovinu procházející bodem b) rovin kolmá n přímku procházející bodem lednou přímkou je přímk (je kolmá n přímku přímku ). lednou rovinou je rovin (obshuje dvě přímky kolmé n přímku : přímku přímku ). 1
Př. 3: Ve stndrdní krychli njdi: ) rovinu kolmou n přímku Sprocházející bodem, b) přímku kolmou n rovinu S procházející bodem. ) rovin kolmá n přímku S procházející bodem b) přímk kolmá n rovinu S procházející bodem S S S S Přímk S leží v přední stěně hledná rovin určitě obshuje přímku (je kolmá n přední stěnu). ruhou přímkou hledné roviny je přímk S (leží v přední stěně je kolmá n S ). lednou rovinou je rovin S. ledná přímk leží v levé boční stěně (boční stěn je kolmá k přímce ), musí být kolmá n přímku S jde o přímku S. Př. 4: oplň následující věty tk, by pltily pro libovolné přímky p, q libovolné roviny ρ σ : ) Je-li p ρ q ρ pk b) Je-li p ρ q! p pk c) Je-li p ρ σ p pk d) Je-li p ρ ρ! σ pk ) Je-li p ρ q ρ, pk p! q. b) Je-li p ρ q! p pk q ρ. c) Je-li p ρ σ p pk ρ! σ. d) Je-li p ρ ρ! σ pk p σ. Kolmý (prvoúhlý) průmět Př. 5: V prxi se čsto využívá kolmý průmět bodu do roviny. Nvrhni, postup konstrukce. Kolmým průmětem bodu do roviny ρ je pt kolmice vedené bodem k rovině ρ. kolmice bodem je pouze jedn kolmý průmět je jednoznčně určený bodem rovinou ρ.
Př. 6: Njdi: ) kolmý průmět vrcholu V prvidelného čtyřbokého jehlnu V do roviny podstvy, b) kolmý průmět vrcholu do roviny ve stndrdní krychli. ) kolmý průmět vrcholu V prvidelného čtyřbokého jehlnu V do roviny podstvy V b) kolmý průmět vrcholu do roviny ve stndrdní krychli S S ledným bodem je střed S podstvy jehlnu. ledným bodem je bod S - střed prvé boční stěny. Kolmý průmět útvru do roviny ρ je množin kolmých průmětů jeho bodů (prvoúhlé promítání). Jk budeme konstruovt kolmý (prvoúhlý) průmět přímky? Promítneme dv vhodné body spojíme je. Př. 7: Ve stndrdní krychli njdi prvoúhlý průmět přímky S S do: ) roviny (horní stěn), b) roviny (přední stěn), c) roviny (prvá boční stěn). ) prvoúhlý průmět přímky S S do roviny (horní stěn) S b) prvoúhlý průmět přímky S S do roviny (přední stěn) S S S 3
c) prvoúhlý průmět přímky S S do roviny (prvá boční stěn) S S Př. 8: Njdi kritérium pro kolmost dvou rovin. vě roviny jsou k sobě kolmé právě tehdy, když jedn z nich obshuje přímku kolmou k druhé rovině. Píšeme ρ σ, vzth je oboustrnný. Př. 9: Je dán stndrdní krychle tři roviny,,. Urči, které dvě jsou n sebe kolmé. Nvzájem kolmé jsou roviny. Npříkld rovin obshuje přímku kolmou n přímky. Př. 10: Je dán rovin ρ dvě k ní kolmé nvzájem různoběžné roviny σ τ. Rozhodni, co musí pltit pro průsečnici Rovin σ obshuje směr kolmý k rovině ρ, stejně jko rovin τ, směr průsečnice je společným směrem obou rovin průsečnice je kolmá k rovině ρ. předchozí úvh ukzuje cestu jk hledt kolmice n rovinu: K rovině njdeme dvě nvzájem kolmé roviny jejich průsečnice je hlednou kolmo přímkou. 4
Př. 11: Rozhodni, zd pro roviny ρ, σ přímku p pltí vět: Je-li ρ σ p ρ, pk p σ. Vět nepltí. Npříkld rovin je kolmá n rovinu, přesto v rovině leží přímk, která n rovinu kolmá není. Přímk je dokonce s rovinou rovnoběžná. Shrnutí: 5
5..6 Odchylk rovin Předpokldy: 504 Odchylku dvou přímek už umíme, jk definovt odchylku dvou rovin? o by měl definice splňovt: podobně jko u osttních věcí ji musíme převést n něco co už umíme (si odchylku přímek), měl by být jednoznčná, měl by dávt očekávné výsledku u jsných přípdů (rovnoběžných kolmých rovin). Odchylk dvou rovin je odchylk jejich průsečnic s rovinou, která je k oběm rovinám kolmá. Odchylku rovin ρ σ píšeme: ρσ. p Jk njdeme rovinou kolmou n obě roviny? ledná rovin je kolmá n průsečnici obou rovin. Př. 1: Je dán stndrdní krychle. Urči odchylku rovin. ), b), c), ), Průsečnicí obou rovin je přímk pomocnou kolmou rovinou je rovin (přední stěn) určujeme odchylku průsečnic ϕ = 45. b), Průsečnicí obou rovin je přímk pomocnou kolmou rovinou je rovin (prvá boční stěn) určujeme odchylku průsečnic ϕ = 45. 1
p p c), Průsečnicí obou rovin je přímk pomocnou kolmou rovinou je rovin určujeme odchylku průsečnic SS ϕ = 90. p p Obrázek v klsické poloze je velmi nepřehledný, stčí jej otočit o 90 situce je podsttně zřejmější. Pedgogická poznámk: Studenti by si měli vyzkoušet v bodě c) nkreslit krychli z jiné strny, je to v některých přípdech ž nečekně účinné. Př. : Je dán stndrdní krychle. Urči odchylku rovin. Průsečnicí obou rovin je přímk pomocnou kolmou rovinou je rovin určujeme odchylku průsečnic S nkreslíme si situci v rovině
p Odchylku spočteme z prvoúhlého trojúhelníku tgϕ = = = = ϕ = 54 44 S S: S Př. 3: Je dán prvidelný čtyřboký jehln V; = = 6cm, V = b = 8cm. Urči odchylku rovin V V. Průsečnicí obou rovin je přímk procházející vrcholem V rovnoběžná s přímkou pomocnou kolmou rovinou je rovin SSV určujeme odchylku průsečnic SV SV nkreslíme si situci v rovině SSV. V V p d d v S V d v S S ϕ S sin = S S V S Vzdálenost SV určíme z rovnormenného trojúhelníku V. 4v d = v = v = 4 4 4v 4v d = = 4 3
ϕ SS 6 sin = = = = SV 4v 4v 4 8 6 ϕ = 3 51 ϕ = 47 43 Př. 4: Jdou dány dvě dvojice rovnoběžných rovin ρ, ρ σ, σ. Jký je vzth odchylek ρσ ρσ? Pltí: ρσ = ρ σ Jk jink určit odchylku dvou rovin? Směr roviny je určen tké přímkou, která je k ní kolmá (normál roviny) odchylku rovin můžeme určit jko odchylku jejich normál. Př. 5: Je dán prvidelný čtyřstěn. Urči odchylku stěn. Průsečnicí obou rovin je přímk pomocnou kolmou rovinou je rovin S určujeme odchylku průsečnic S S nkreslíme si situci v trojúhelníku S. p v S S S v ϕ S sin = S 4
élku výšky určíme z rovnostrnného trojúhelníku. 4 v = = = 4 4 v = = 4 3 3 S ϕ S 1 ϕ sin = = = = 35 16 ϕ = 70 31 S 3 3 Př. 6: Petáková: strn 94/cvičení 37 b) strn 94/cvičení 35 d) e) strn 94/cvičení 36 d) Shrnutí: Odchylku rovin určujeme jko odchylku průsečnic s pomocnou n obě roviny kolmou rovinou. 5
5..7 Odchylk přímky roviny Předpokldy: 50, 506 Jk odchylk přímky roviny? o by měl definice splňovt: podobně jko u osttních věcí ji musíme převést n něco co už umíme (si odchylku dvou přímek), měl by být jednoznčná, měl by dávt očekávné výsledku u jsných přípdů (přímk rovnoběžná kolmá k rovině). K přímce přidáme její kolmý průmět do roviny určíme odchylku těchto přímek. p Selže někdy tento postup? Když je přímk kolmá k rovině, jejím průmětem je pouze bod nepůjde to spočítt přes odchylku přímek odchylku musíme stnovit přímo. Není-li přímk kolmá k rovině, je odchylk přímky roviny rovn odchylce přímky jejího prvoúhlého průmětu do této roviny. Je-li přímk kolmá k rovině, je její odchylk 90. Př. 1: Je dán stndrdní krychle. Urči odchylku: ) přímky roviny, b) přímky roviny, c) přímky roviny. ) Odchylk přímky roviny. Přímk leží v rovině, která je rovnoběžná s rovinou přímk je rovnoběžná s rovinou odchylk přímky od roviny je 0. 1
b) Odchylk přímky roviny. Přímk je kolmá k rovině odchylk přímky od roviny je 90. c) Odchylk přímky roviny. Kolmým průmětem přímk do roviny je přímk odchylk přímek je 45 odchylk přímky od roviny je 45. Pedgogická poznámk: Všechny body předchozího příkldu by studenti měli vyřešit zpměti bez pomoci obrázků. Odchylk přímky od roviny (tedy odchylk přímky od jejího kolmého průmětu do této roviny) je rovn nejmenší odchylce přímky od libovolné přímky v rovině. Pedgogická poznámk: Předchozí poznámku je dobré demonstrovt pomocí modelu v rbi3. Př. : Je dán stndrdní krychle. Urči odchylku: ) přímky roviny, b) přímky SS roviny, c) přímky S roviny. ) Odchylk přímky roviny.
Kolmým průmětem přímky do roviny je přímk odchylku určíme pomocí obdélníku. Velikost úhlu můžeme určit z prvoúhlého trojúhelníku : tgϕ =. Velikost strny (úhlopříčk čtverce): = + = =. 1 tg ϕ = = = 35 16 ϕ = Odchylk přímky roviny se rovná 35 16. b) Odchylk přímky SS roviny. S S S Kolmým průmětem přímky SS do roviny je přímk S odchylku určíme pomocí obdélníku SS. S S S Velikost strny S ze čtverce : S 3
Velikost úhlu můžeme určit z prvoúhlého SS trojúhelníku SS : tg ϕ = S. S x S = S + = + + 4 5 = = 4 1 tgϕ = = ϕ = 4 6 5 5 Odchylk přímky SS roviny se rovná 4 6.. c) Odchylk přímky S roviny. Kolmým průmětem přímky je přímk S pomocí obdélníku SS. S do roviny odchylku určíme S S S S S Velikost úhlu můžeme určit z prvoúhlého SS trojúhelníku SS : tg ϕ = S. Stejná situce jko v předchozím bodě ϕ = 4 6. Odchylk přímky S roviny se rovná 4 6. 4
Př. 3: Je dán prvidelný šestiboký jehln V, se středem podstvy S. Pltí: = = 3cm, SV = v = 5cm. Urči odchylku přímky S V roviny. V Kolmým průmětem přímky SV do roviny S V je přímk S S (S je střed šestiúhelníku, kolmým průmětem úsečky V je úsečk ) odchylku určíme pomocí prvoúhlého trojúhelníku SSS V. S S S V v v S V S S S Z podobnosti trojúhelníků SV S S S V v je vidět, že pltí: SV S S =. S V S S S Vzdálenost S S je tké výškou v rovnostrnném trojúhelníku se strnou. x 4 3 3 x= = = =. 4 4 x v S S v SV SS v 5 tgϕ = = = = ϕ = 43 54 SS 3 3 3 3 Odchylk S V roviny se rovná 43 54. 5
Př. 4: Je dán stndrdní krychle. Urči odchylku přímky roviny. Kolmým průmětem přímky do roviny je přímk S odchylku určíme pomocí obdélníku. S Velikost úhlu ϕ můžeme spočítt pomocí kosinové věty z trojúhelníku S (trojúhelník nemá viditelné speciální vlstnosti musíme určit délky všech tří strn). Kosinová vět: S c b bcosγ = + S = (polovin úhlopříčky podstvy) S : přepon v prvoúhlém trojúhelníku S = + = + = + S S 4 3 3 S = = : přepon v prvoúhlém trojúhelníku ( ) = + = + = + = = 3 3 + b c cosγ = b 3 3 1 + ( 3) + 3 + S 3 6 S S 4 cosϕ = = = = 3 ( 3) cosϕ = ϕ = 19 8 3 Odchylk přímky roviny se rovná 19 8. 6
Př. 5: Petáková: strn 94/cvičení 33 ) c) d) h) strn 94/cvičení 34 b) d) Shrnutí: Odchylku přímku roviny určujeme jko odchylku přímky jejího kolmého průmětu do roviny. 7